ΠΡΟΛΟΓΟΣ: Συνεχίζοντας το ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών αναρτώ την 3 η μου άσκηση η οποία καλύπτει την ύλη μέχρι και τα όρια. Δεν βασίζεται αυτήν την φορά σε άσκηση του σχολικού άλλα σε καθαρά δικιά μου ιδέα. Υπάρχουν ενδεικτικές λύσεις με γνώσεις μέχρι τα όρια και κάποια σημαντικά σχόλια. Ελπίζω να σας αρέσει. Σας ευχαριστώ εκ των προτέρων για τον χρόνο που διαθέτετε για να την μελετήσετε! ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ [1]
ΑΣΚΗΣΗ 3. (ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ) ΝΙΚΟΣ ΤΟΥΝΤΑΣ Έστω η συνάρτηση του παραπάνω σχήματος: Ι) Να αναφέρετε το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της, δίνοντας σύντομα τον ορισμό τους. (Η γραφική παράσταση δεν τέμνει τον άξονα χ χ). Αν για την προηγούμενη συνάρτηση ισχύει: και και ΙΙ) Να δείξετε αλγεβρικά και όχι από την Cf ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. ΙΙΙ) Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης, αιτιολογώντας το πεδίο ορισμού της και το σύνολο τιμών της. Αν για τον τύπο της αντίστροφης ισχύει: ΙV) Με βάση το επόμενο σχήμα, να χαράξετε πάνω σε αυτό πρόχειρα την αντίστροφη συνάρτηση εξηγώντας τα βήματα σκέψης σας καθώς την σχεδιάζετε. (Δίνεται ότι η ευθεία είναι η ) [2]
V) Για τις διάφορες τιμές του αριθμού με να υπολογίσετε το όριο (ΟΧΙ ΓΡΑΦΙΚΑ): Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει: VΙ) Να βρείτε το VΙΙ) Αν τότε να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο Έστω η συνάρτηση VIII) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της Αν τότε: ΙΧ) Να δείξετε ότι. X) Να υπολογίσετε το επόμενο όριο αφού πρώτα αναφέρετε το πεδίο ορισμού της [3]
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΜΕ ΣΧΟΛΙΑ Ι) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των τιμών που παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή χ. Γραφικά αυτό φαίνεται από την έκταση της συνάρτησης στον άξονα χ χ. Σύνολο τιμών της είναι το σύνολο των τιμών που παίρνει η τιμή της f στο χ, δηλαδή η εξαρτημένη μεταβλητή. Γραφικά αυτό φαίνεται από την έκταση της συνάρτησης στον άξονα y y. Το σύνολο τιμών της f είναι: με Df το πεδίο ορισμού της f. Με βάση την γραφική και τους παραπάνω ορισμούς ισχύει ότι: ΣΧΟΛΙΟ: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δεν αναφέρεται ως ορισμός μέσα στο σχολικό βιβλίο. Παρόλα αυτά είναι υποχρεωμένοι όλοι οι μαθητές με δύο λόγια να εξηγήσουν τι εννοούμε με αυτήν την έννοια. II) Έστω ότι η f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο τέτοια ώστε να ισχύει:. Τότε θα υπάρχουν Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (3) και (4) προκύπτει: Έστω το τριώνυμο το οποίο έχει ρίζες και για ισχύει: Άρα επειδή το σύνολο τιμών της f είναι το τότε ισχύει: Άρα τα τριώνυμα στην σχέση (5) είναι θετικά. Επειδή και οι δύο όροι στην σχέση (2) είναι θετικοί τότε μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη. Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (2) και (5) προκύπτει: Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΣΧΟΛΙΟ: Προσοχή! Σε τέτοιου είδους ασκήσεις στο άτοπο ποτέ δεν ξεκινάμε έστω ότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα, γιατί αν δείξουμε ότι δεν είναι φθίνουσα τότε δεν σημαίνει ότι είναι αύξουσα, καθώς μπορεί να είναι για παράδειγμα σταθερή. ( Το ίδιο ισχύει προφανώς και για το αντίθετο). Το συγκεκριμένο ερώτημα δεν μπορεί να λυθεί με τον ορισμό της μονοτονίας θεωρώντας μία συνάρτηση καθώς όταν θα πάμε να βρούμε την μονοτονία αυτής της συνάρτηση χτίζοντάς την, όταν θα υψώσουμε στο τετράγωνο τα χ1,χ2 δεν ξέρουμε αν θα αλλάξει η φορά της ανίσωσης ή όχι γιατί το. ( Μπορεί να λυθεί με χρήση παραγώγων, βλέπε παρακάτω κεφάλαιο.) [4]
ΙΙΙ) Αφού στο τότε η f είναι 1-1 άρα αντιστρέφεται. Η αντίστροφη έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της f άρα ισχύει: Για : Άρα Για y το x: ΣΧΟΛΙΟ: Σε τέτοιες ασκήσεις πριν ξεκινήσουμε να εργαζόμαστε για την εύρεση της αντίστροφης είναι σημαντικό να αναφέρουμε τους περιορισμούς, δηλαδή το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της αντίστροφης. IV) Οι γραφικές παραστάσεις και είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου, δηλαδή της ως αντίστροφες συναρτήσεις. Άρα την μπορούμε να την σχεδιάσουμε πρόχειρα με βάση την προηγούμενη πρόταση. Άρα: ΣΧΟΛΙΟ: Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι συμμετρικές ως προς την καθώς μπορούμε σε τέτοιες περιπτώσεις να κάνουμε το σχήμα. Το σχήμα όταν θα το κάνουμε με το χέρι θα είναι πρόχειρο. Σημαντικό είναι να φαίνεται η μονοτονία της αντίστροφης και η μορφή της καμπύλης. (Βλέπε κυρτότητα σε παρακάτω κεφάλαιο) [5]
V) ΘΕΤΩ Άρα όταν το τότε το Άρα το Αφού Άρα το (1) γίνεται: αφού άρα η (2) γίνεται: Άρα η (3) γίνεται: Αν : Αν : Αν : ΣΧΟΛΙΟ: Όταν θέτουμε σε ένα όριο πρέπει πάντα να δικαιολογούμε που τείνει η νέα μεταβλητή. Για τις διάφορες τιμές του μ παίρνω περιπτώσεις όπου καθορίζουν το πρόσημο του όρου μ+1 και τις ρίζες του σε τέτοιου είδους ασκήσεις. [6]
VI) Στην αρχική σχέση (Κ) για : VII) Για κάθε με έχουμε: Άρα αφού τότε: Για κάθε με έχουμε: Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο. ΣΧΟΛΙΟ: Το γεγονός ότι μας δίνεται το πρόσημο της συνάρτησης για χ>1 τότε προσπαθούμε να δείξουμε ότι ο όρος μέσα στην g στο δεξί μέρος της σχέσης (κ) είναι μεγαλύτερος του 1. Τότε θα καταφέρουμε να βγάλουμε σχέση μεταξύ του g(x1) και g(x2). VIII) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ: Πρέπει: 1) (1) 2) (2) 3) (3) 4) γιατί (4) Αν : ΑΔΥΝΑΤΗ Αν : Άρα από τις (1), (2), (3), (4) ισχύει ότι: ΣΧΟΛΙΟ: Σε σχέσεις με απόλυτα πρέπει πολλές φορές να προσέχουμε το πρόσημο του όρου που ισούται με το απόλυτο. Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι ένα απόλυτο είναι διάφορο μίας μεταβλητής, μελετάμε που ισχύει η ισότητα και εξαιρούμε αυτά τα σημεία. Αυτό θα μπορούσε να λυθεί επίσης και με διατήρηση προσήμου. (Βλέπε παρακάτω κεφάλαιο). [7]
ΙΧ), Άρα το κοντά στο. Άρα το (1) γίνεται: ΓΙΑΤΙ για κάθε : Από κριτήριο παρεμβολής ισχύει: Άρα. ΣΧΟΛΙΟ: Εδώ έχουμε την κλασσική περίπτωση θέτω-λύνω-limάρω με μια περίπτωση κριτήριου παρεμβολής με ανισότητα του συνημιτόνου, καθώς έχουμε περίπτωση φραγμένης συνάρτησης. Χ) Άρα ΘΕΤΩ Όταν το τότε το Άρα το Αφού ΓΙΑΤΙ αφού Για κάθε : [8]
Άρα από κριτήριο παρεμβολής ισχύει: ΣΧΟΛΙΟ: Αυτό το ερώτημα είναι παρόμοιο με το V) όμως εδώ χρειάζεται και το κριτήριο παρεμβολής για την λύση του. Όταν ξέρουμε την τιμή για κάποιο Χ της αντίστροφης τότε προφανώς ξέρουμε και για την f, ακόμα κι αν δεν γνωρίζουμε τον τύπο της. ΓΕΝΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ: H άσκηση αποτελείται από πολλά ερωτήματα και σε καμία περίπτωση δεν αντιπροσωπεύει θέμα για εξετάσεις ή για κάποιο διαγώνισμα σε ορισμένο κομμάτι της ύλης. Συνολικά θα την χαρακτήριζα ως μία απαιτητική άσκηση αφού οι αδύνατοι μαθητές δεν μπορούν να ανταποκριθούν σε κάποια ερωτήματα. Υπάρχουν πολλές συναρτησιακές σχέσεις τις οποίες οι μαθητές δεν έχουν μάθει ακόμα πώς να τις χειρίζονται με άνεση και ίσως μόνο που θα τις δουν θα πανικοβληθούν. Συγκεκριμένα, το Ι) ερώτημα χαρακτηρίζεται ως αρκετά εύκολο το οποίο οφείλουν να μπορούν να απαντήσουν όλοι οι μαθητές. Όσον αφορά το ερώτημα ΙΙ) είναι αρκετά απαιτητικό αφού οι μαθητές ακόμα δεν έχουν πέσει στα βαθιά. Τα ερωτήματα ΙΙΙ) και ΙV) είναι κλασσικά και θεωρώ πως μόνον λίγοι μαθητές θα έχουν πρόβλημα, αν και αυτή η συναρτησιακή μόνο στην όψη μπορεί να τους τρομάξει. Το ερώτημα V) κρίνεται ως δύσκολο στο οποίο ο μαθητής θα πρέπει να είναι αρκετά παρατηρητικός, να ξέρει να δουλεύει όρια με αντίστροφες και να έχει την ικανότητα να διερευνήσει ένα όριο. Το ερώτημα VI) είναι το πιο εύκολο της άσκησης. Το ερώτημα VII) είναι αρκετά απαιτητικό για τους μαθητές στο επίπεδο που βρίσκονται αυτή τη στιγμή. Το ερώτημα VIII) είναι αρκετά εύκολο όμως το απόλυτο θα προβληματίσει πολλούς μαθητές, καθώς έχουν κακή σχέση με τις ιδιότητες και πράξεις των απολύτων. Το ερώτημα ΙΧ) είναι κλασσικό ερώτημα όχι πολύ εύκολο, όμως αντιμετωπίσιμο από πολλούς μαθητές. Το τελευταίο ερώτημα μπορεί στην όψη να τρομάξει πολλούς μαθητές, όμως δεν είναι αρκετά δύσκολο αν γνωρίζει ο μαθητής να δουλεύει με το όριο της αντίστροφης και να λύνει τέτοιου είδους όρια που χρειάζονται κριτήριο παρεμβολής γιατί περιέχουν φραγμένη συνάρτηση. [9]
[10]
[11]