ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 TΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 5.. Ορισμοί-Ιδιότητες Έστω f : R είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Εστω x, y, z R = x,y,z : a x b, a y b, a z b. είναι μια διαμέριση του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου R, όπου οι x, y, z είναι διαμερίσεις των κλειστών διαστημάτων [α i,b i ] (i=,,) της μορφής a x x... x b, a y y... y b, x N y M a z z... z b. z K Ορίζουμε ένα πλέγμα επιπέδων x xn, y ym, z zk ( n,..., N, m,..., M, k,..., K) παραλλήλων προς τα επίπεδα Οyz, Οxz και Oxy αντιστοίχως που διαμερίζουν το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R σε N M K το πλήθος ορθογώνια παραλληλεπίπεδα n, m, k, όγκου V x x y y z z dx dy dz n, m, k n n m m k k n m k, όπου n,..., N, m,..., M, k,..., K. Αν και τότε ορίζουμε M sup f ( x, y, z) : ( x, y, z) n, m, k n, m, k m inf f ( x, y, z) :( x, y, z), n, m, k n, m, k N M K Lf sup mn, m, k Vn, m, k : οποιαδηποτε διαμεριση της R n m k και 9
N M K U f inf M n m k Vn m k : οποιαδηποτε διαμεριση της R n m k,,,,. Σημειώνουμε ότι οι αριθμοί U f και L f υπάρχουν πάντα και καλούνται ανώτερο και κατώτερο ολοκλήρωμα Darboux της f επί της R. Ορισμός 5. Έστω f : R είναι φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R. Αν U L, f f τότε λέμε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη κατά Darboux πάνω στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R και γράφουμε. f ( x, y, z ) dxdydz R Ισοδύναμα λέμε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωμα της f στο R. Πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο ακόλουθος ισοδύναμος ορισμός: Έστω f : R είναι μια φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R, είναι μια τυχαία διαμέριση του R σε στοιχειώδη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα Ω n,m,k και x,y z είναι τυχαίο σημείο του Ω n,m,k. Εστω, n m k max n m k : n,..., N, m,..., M, k,..., M,, είναι το μέγιστο πλάτος της, όπου Αν υπάρχει το όριο x x y y z z n, m, k n n m m k k. lim δ N- M - K- n= m= k= f x,y,z V n m k n,m,k ανεξάρτητα της επιλογής της διαμέρισης με πλάτος το πολύ ίσο με δ και ανεξάρτητα της επιλογής των σημείων x n,ym, z k, τότε λέμε ότι υπάρχει το τριπλό ολοκλήρωμα της f στο R και γράφουμε
. f ( x, y, z ) dxdydz R Θεώρημα 5. Έστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R εκτός (ενδεχομένως) από ένα υποσύνολο R αμελητέου όγκου (π.χ. το Π μπορεί να είναι είτε αριθμήσιμο πλήθος σημείων, είτε πεπερασμένη ένωση τμηματικά λείων καμπύλων, είτε επιφάνεια z gx, y, όπου συνεχής συνάρτηση). Τότε η είναι ολοκληρώσιμη στο R. f Ο ορισμός του ολοκληρώματος Riemann επεκτείνεται και σε μη ορθογώνια παραλληλεπίπεδα ως εξής: Εστω f : είναι μια φραγμένη συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό, με το σύνορό του να είναι σύνολο αμελητέου όγκου. Τότε υπάρχει ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει εξ ολοκλήρου το στερεό. Ορίζουμε την επέκταση της f στο ως εξής: f ( x, y, z), ( x, y, z) g( x, y, z). (), ( x, y, z) R \ g Αν η g είναι ολοκληρώσιμη στο R, τότε ορίζουμε f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz, αφού αποδεικνύεται ότι η τιμή g ( x, y, z ) dxdydz είναι ανεξάρτητη R από την επιλογή του στερεού R. Ετσι μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο Ορισμός 5. Θα λέμε ότι μια φραγμένη συνάρτηση f : είναι ολοκληρώσιμη πάνω σ ένα κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου, αν η επέκταση της (όπως στην ()) είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann πάνω σ ένα (άρα και σε κάθε) ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο R που καλύπτει το. R f
Ιδιότητες του ολοκληρώματος Εστω f, g : είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου. Αναφέρουμε χωρίς απόδειξη τις κάτωθι ιδιότητες: Η συνάρτηση k f g k, και ισχύει είναι ολοκληρώσιμη στο k f g( x, y, z) dxdydz k f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz Οι συναρτήσεις f g, f g, και f είναι ολοκληρώσιμες στο υπό την προϋπόθεση ότι είναι καλά ορισμένες στο. Αν η f είναι ολοκληρώσιμη στο και η g : f ( ) είναι συνεχής στο f(), τότε και η σύνθεση αυτών g f είναι ολοκληρώσιμη στο. Η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη στο και ισχύει Αν f ( x, y, z) g( x, y, z) f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. x, y,z, τότε ισχύει f ( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz. Αν και (ή γενικότερα το σύνολο είναι αμελητέου όγκου), τότε f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz. Γενικότερα, αν ισχύει, τότε f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz f ( x, y, z) dxdydz.
f x,y,z dxdydz. Αν είναι σύνολο αμελητέου όγκου, τότε Αν m f ( x, y, z) M, τότε ισχύει mv f ( x, y, z) dxdydz M V όπου V είναι ο όγκος του στερεού., Θεώρημα 5. (Μέσης Τιμής) Εστω f, g : είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου και έστω ότι η g είναι μη αρνητική συνάρτηση στο. Tότε υπάρχει πραγματικός αριθμός μ: inf f sup f έτσι ώστε Επιπλέον, αν η ( f g)( x, y, z) dxdydz g( x, y, z) dxdydz. σύνολο, τότε υπάρχει f είναι συνεχής στο και το είναι και συνεκτικό * P έτσι ώστε f P και * ( ) * ( f g)( x, yz) dxdydz f P g( x, y, z) dxdydz. 5.. Υπολογισμός τριπλού ολοκληρώματος. Α. Πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Για τον υπολογισμό του τριπλού ολοκληρώματος πάνω σε ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ισχύει το ακόλουθο: Θεώρημα 5. (Fubini) Εστω f : R είναι συνεχής συνάρτηση πάνω στο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο Τότε οι συναρτήσεις R = x,y,z : a x b, a y b, a z b. g y z b f x y z dx, (, ) (,, ) a b g x z f x y z dy, (, ) (,, ) a (, ) b (,, ) a g x y f x y z dz
είναι συνεχείς επί των ορθογωνίων χωρίων D, a, b a, b D a, b a, b και D a, b a, b, επιπλέον f x y z dxdydz (,, ) (,, ), D a b,, αντιστοίχως και f x y z dz dxdy b b f ( x, y, z) dy dxdz (,, ) f x y z dx dydz. D a D a,, Το Θεώρημα 5. μας λέει ότι τα τριπλά ολοκληρώματα πάνω σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα μπορούν να υπολογισθούν ολοκληρώνοντας αρχικά ως μία τυχαία μεταβλητή (κρατώντας τις υπόλοιπες δύο σταθερές), οπότε καταλήγουμε σε διπλό ολοκλήρωμα επί ορθογωνίου χωρίου. Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε ως προς κάποια από τις εναπομείναντες μεταβλητές (κρατώντας την άλλη σταθερή) και καταλήγουμε σε ολοκλήρωμα συνάρτησης μιας μεταβλητής. Β. Πάνω σε φραγμένο στερεό Ορισμός 5. Εστω είναι κλειστό και φραγμένο στερεό του το σύνορο του οποίου έχει αμελητέο όγκο. Τότε το καλείται κανονικό ως προς y, εάν (α) το εσωτερικό του είναι ένα μη κενό συνεκτικό σύνολο και (β) κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των y που διέρχεται από το εσωτερικό του έχει δύο μόνον κοινά σημεία με το σύνορο του. Με όμοιο τρόπο ορίζουμε ότι το είναι κανονικό ως προς x ή ως προς z. Aν το είναι κανονικό και ως προς x και ως προς y και ως προς z θα λέμε απλά ότι το είναι κανονικό σύνολο. Θεώρημα 5.4 Έστω f : είναι μία συνεχής συνάρτηση πάνω σε κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου και έστω ότι τα χωρία D, D και D είναι οι ορθογώνιες xy προβολές του στερεού πάνω στα επίπεδα Oxy, Οxz και Oyz αντίστοιχα. (i) Αν το είναι κανονικό ως προς x στερεό της μορφής xz yz 4
= x, y,z : y,z D, g ( y,z) x g ( y,z), yz όπου g, g: Dyz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών πάνω στο χωρίο, τότε D yz (,, ) (,, ) yz (, ) g ( y, z) f x y z dxdydz f x y z dx dydz. D g y z (ii) Αν το είναι κανονικό ως προς y στερεό της μορφής = x, y,z : x,z D, h ( x,z) y h ( x,z) xz όπου h, h: Dxz είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών πάνω στο χωρίο, τότε D xz (,, ) (,, ) xz (, ) h ( x, z) f x y z dxdydz f x y z dy dxdz. D h x z (iii) Αν το είναι κανονικό ως προς z στερεό της μορφής = x,y,z : x,y D, k ( x,y) z k ( x,y) xy όπου k, k: Dxy είναι συνεχείς συναρτήσεις δύο μεταβλητών πάνω στο χωρίο, τότε D xy (,, ) (,, ) xy (, ) k ( x, y) f x y z dxdydz f x y z dz dxdy. D k x y (iv) Aν το είναι κανονικό στερεό και άρα μπορεί να εκφρασθεί είτε μέσω της μορφής (i) είτε μέσω της (ii), είτε μέσω της (iii), τότε f x y z dxdydz (,, ) (,, ) xy (, ) k ( x, y) D k x y f x y z dz dxdy h( x, z) g( y, z) f ( x, y, z) dy (, ) dxdz (,, ) (, ) f x y z dx dydz. D h x z D g y z xz yz 5
Σημείωση: Το δυσκολότερο μέρος υπολογισμού ενός τριπλού ολοκληρώματος είναι η εύρεση των ορίων ολοκλήρωσης. Αν το στερεό δεν είναι κανονικό ούτε ως προς x ούτε ως προς y ούτε ως προς z προσπαθούμε να το εκφράσουμε ως ένωση κανονικών στερεών ξένων μεταξύ τους ανά δύο. Στη συνέχεια δουλεύουμε σε κάθε κανονικό στερεό ξεχωριστά. Έστω είναι στερεό κανονικό ως προς z. Tότε για να υπολογίσουμε τα όρια ολοκλήρωσης στο f ( x, y, z ) dxdydz εργαζόμαστε ως εξής: Παίρνουμε τυχαία ευθεία L παράλληλη με τον άξονα zz (ή κάθετη στο επίπεδο Οxy) που να διαπερνά τo στερεό κατά τη διεύθυνση αύξησης των z. Ολοκληρώνουμε την f ως προς z από την τιμή της επιφάνειας z=g (x,y) μέσω της οποίας η ευθεία L εισέρχεται στo στερεό, έως την τιμή της επιφάνειας z= g (x,y) μέσω της οποίας η ευθεία L εξέρχεται από το στερεό. Τα χωρίο D xy στερεού στο επίπεδο Οxy. προκύπτει από την oρθογώνια προβολή του Eφαρμογές του τριπλού ολοκληρώματος (α) Εστω είναι κλειστό και φραγμένο στερεό με σύνορο αμελητέου όγκου. Tότε το τριπλό ολοκλήρωμα V, dxdydz ισούται με τον όγκο του στερεού. (β) Εστω : (, ) είναι πυκνότητα μάζας που κατανέμεται με συνεχή τρόπο επί στερεού. Τότε το τριπλό ολοκλήρωμα M ( x, y, z) dxdydz ισούται με τη συνολική μάζα του. Επιπλέον το κέντρο βάρους (x,y,z ) του δίνεται από τις σχέσεις 6
x M x( x, y, z) dxdydz M y( x, y, z) dxdydz, y M ( x, y, z) dxdydz M ( x, y, z) dxdydz yz xz, z M M xy z( x, y, z) dxdydz ( x, y, z) dxdydz όπου οι M yz, M xz και M xy είναι οι ροπές ης τάξης του. 5.. Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων. Θεώρημα 5.5 Εστω F : T G είναι ένα συνεχώς διαφορίσιμο και αντιστρέψιμο πεδίο επί κλειστού και φραγμένου τόπου της μορφής F u,v,w x,y,z x u,v,w,y u,v,w, z u,v,w, δηλαδή x x x u v w ( ) Dx, y,z F u v w u,v,w D u,v,w J P y y y z z z u v w Αν f : G είναι μία συνεχής συνάρτηση, τότε T G. G D x, y,z f x, y,zdxdydz f xu,v,w, yu,v,w, zu,v,w dudvdw T D u,v,w (α)μετασχηματισμός σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Σ αυτή την περίπτωση έχουμε: άρα: συνφ -ρημφ D x,y,z = ημφ ρσυνφ = ρσυν φ+ ρημ φ= ρ, D ρ,φ,z f x, y,z dxdydz = f ρσυνφ,ρημφ,z ρdρdφdz. G 7
(β) Μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες. Στην περίπτωση αυτή έχουμε: συνθημφ -rημθημφ rσυνθσυνφ D x,y,z = ημθημφ rσυνθημφ rημθσυνφ Dr,θ,φ συνφ -rημφ, r ημφ όπου και. Αρα συνεπώς D x, y,z r ημφ D r,θ,φ, G f x, y,z dxdydz f rσυνθημφ, rημθημφ, rσυνφ r ημφdrdθdφ T Παρατήρηση. O ορισμός των τριπλών ολοκληρωμάτων μπορεί να γενικευθεί και σε χώρους περισσοτέρων διαστάσεων. Τότε έχουμε τα λεγόμενα πολλαπλά ολοκληρώματα. 5.4 Λυμένες ασκήσεις. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωμα. xydxdzdy Λύση. H oλοκλήρωση γίνεται επί ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου οπότε έχουμε x ( ) xydx dzdy y dzdy y y dzdy y yz 9y 6y dz dy dy dy 5y 5 dy 4. x y z dxdydz, όπου είναι το φραγμένο στερεό μεταξύ των επιφανειών x=,y=,z=, y=x και z=x+y.. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωμα 8
Λύση. Εχουμε xy ( x y z) dxdydz ( x y z) dz dydx D x y x z xz yz dydx x x y dydx x y y x dx 4 6 5 7 x x x x 8 dx. 4 5. Να υπολογισθεί το τριπλό ολοκλήρωμα xyzdxdydz, όπου είναι το στερεό μεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Λύση. Το στερεό είναι ένα πρίσμα το οποίο είναι κανονικό. yy ' zz ' xx ' Η oρθογώνια προβολή D του πρίσματος στο επίπεδο Οxy προκύπτει θέτοντας z= στην x+y+z=, συνεπώς είναι το τρίγωνο με πλευρές x=, y= και x+y=. Θεωρούμε ευθεία παράλληλη στον άξονα των z z όπως φαίνεται στο σχήμα. Αυτή πάντα εισέρχεται από την τιμή z= και εξέρχεται πάνω στην επιφάνεια z=-x-y. Aρα έχουμε xy xy z xyzdxdydz xyzdz dxdy xy dxdy D D xy x y dxdy D. 9
Oπως είπαμε παραπάνω το χωρίο D είναι το τρίγωνο με πλευρές x=, y= και x+y=. Με τη συνήθη ολοκλήρωση που μάθαμε για τα διπλά ολοκληρώματα έχουμε x xy x y dxdy xy x y dy dx D 7. 4. Να υπολογισθεί ο όγκος που περικλείεται μεταξύ των επιφανειών με εξισώσεις z = x +y και z = 8 - x - y. Λύση. Οι δύο επιφάνειες τέμνονται πάνω στην έλλειψη x +y = 8 - x - y x +y = 4. Αρα η κοινή προβολή των επιφανειών αυτών στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο D ( x, y) : x y 4. Eχουμε λοιπόν: 8-x -y. V = dzdxdy 8 - x - 4y dxdy D x +y D Με αλλαγή μεταβλητής στον κυκλικό δίσκο x, το χωρίο D y μετασχηματίζεται και έχουμε D (, ) :,, π 8 - x - 4y dxdy 8 - ρ dρdθ 8π D ρ. 5. Υπολογίστε τον όγκο του στερεού που φράσσεται κάτω από το επίπεδο Οxy, πάνω από τη σφαίρα x + y + z = 4α και πλευρικά από ρ = ασυνθ, θ -π/,π/, ( a ). τον κύλινδρο Λύση. Το στερεό είναι η τομή των επιφανειών όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (στο σχήμα θεωρήσαμε ενδεικτικά ότι a=): 4
.5 z'z.5 - - x'x To στερεό είναι κανονικό ως προς z. Aρα οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στον άξονα z z εισέρχεται στο στερεό από την τιμή z= και εξέρχεται μέσω του άνω ημισφαιρίου z = 4a x y. Επίσης φαίνεται από το σχήμα ότι η προβολή της πάνω στο επίπεδο Οxy είναι ο κύκλος ρ = ασυνθ, θ -π/,π/ όπως φαίνεται στο σχήμα y'y - - y'y 4 x'x - - Εφόσον η προβολή δίνεται σε πολικές συντ/νες είναι λογικό να χρησιμοποιήσουμε μετασχηματισμό σε κυλινδρικές συντ/νες για να βρούμε τον όγκο του στερεού. Εχουμε x, y, z z και λαμβάνοντας υπόψη ότι z = 4a x y 4a ρ έχουμε: 4a -ρ dxdydz = ρdρdθdφ= dz ρdρdθ G D π/ ασυνθ π/ aσυνθ / 4α - ρ ρdρdθ d(4a - ρ ) dθ -π/ -π/ π/ / = (( 4a - 4a συν θ) 8 a ) dθ -π/ 4
π/ π/ 8a 8πa 8 8a ημ θ a dθ = ημ θdσυνθ + -π/ -π/ 8a π/ 8πa -συν θ dσυνθ + -π/ / 8a συν θ 8πa 8πa συνθ - + /. 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα zdxdydz + το θετικό ημισφαίριο σφαίρας x y z a,, όπου a. είναι Λύση. Χρησιμοποιούμε το μετασχηματισμό σε σφαιρικές συντ/νες και έχουμε: zdxdydz = + π/ π a rσυνφ r ημφdr dθdφ 4 4 πα π/ πα = ημφσυνφdφ. 4 7. Να υπολογισθεί με τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z x y, x y a και z=. Λύση. Το στερεό αποτελεί την τομή της κωνικής επιφάνειας z x y και της κυκλικής κυλινδρικής επιφάνειας όπως ενδεικτικά φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (για α=): x y a.75.5.5 - -.5 -.5.5.5-4
Το στερεό είναι άνω φραγμένο από την κωνική επιφάνεια, έχει ως παράπλευρη επιφάνεια τον κύλινδρο και είναι κάτω φραγμένο από το επίπεδο z=. Eχουμε λοιπόν x y V dxdydz dz dxdy x y dxdy D D. Το χωρίο D είναι η προβολή του στερεού στο επίπεδο Οxy, συνεπώς D ( x, y) : x y. Με μετασχηματισμό είναι ο κυκλικός δίσκος σε πολικές συντ/νες παίρνουμε V dd. 8. Να υπολογισθεί με τριπλή ολοκλήρωση ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες z x y ( ) και x y z 6. Λύση. Το στερεό είναι άνω φραγμένο από το άνω ημισφαίριο και κάτω φραγμένο από την κωνική επιφάνεια όπως φαίνεται στο κάτωθι σχήμα: 4 4-4 - - -4 4 H προβολή της τομής των επιφανειών x y z 6 στο επίπεδο Οxy είναι το χωρίο z x y ( ) και D x y x y (, ) : 4 το οποίο προκύπτει από την απαλοιφή του z από τις εξισώσεις των δύο επιφανειών. Εχουμε λοιπόν: dxdydz dz dxdy x y x y dxdy 6x y 6 ( ) D ( x y ) D 4
/ 6 6 dd 64. 9. Υπολογίσετε το (μη γνήσιο) ολοκλήρωμα I x y z a dxdydz, a>. Λύση. Θεωρούμε το στερεό r,, : r r, /, / n n όπου rn, n. Το στερεό n παριστάνει επιφάνεια σφαίρας κέντρου (,,) και ακτίνας για x, y, z. Τότε με μετασχηματισμό σε σφαιρικές συν/νες έχουμε: a / / r n In r drd d r r n / / rn r a a drd d / rn r n dr a dr r a r rn a a r n rn rn a a a. 44
5.5 Αλυτες ασκήσεις. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα dxdydz, ( x y z ) όπου είναι το στερεό μεταξύ των επιπέδων x=,y=,z= και x+y+z=. Απάντ. 8 n 5 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα z x y dxdydz, όπου είναι το στερεό μεταξύ των επιφανειών x +y =, z=x, z= (z). Aπάντ.. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I x y z dxdydz είναι το εσωτερικό της μοναδιαίας σφαίρας με κέντρο το (,,)., όπου Aπάντ. 4 5 4. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I το εσωτερικό του ελλειψοειδούς xyzdxdydz, όπου είναι x y z για x, y, z. a b c Aπάντ. abc 48 5. Υπολογίστε με τριπλή ολοκλήρωση τον όγκο του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες y x, y x, x+z =6, z =. 6. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα Aπάντ. 48 6 5 a b y x y dzdydx, ( a, b ). axx 45
7. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα Aπάντ. 4 5 4 ab R R x y x y dzdydx, ( R ). R x Aπάντ. 8. Υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα R 5 5 x y z dzdxdy επί της σφαίρας με κέντρο το σημείο (,,) και ακτίνα /. Απάντ. 8 n 9. Εστω είναι η στερεά περιοχή που περικλείεται από τα παραβολοειδή z x y και z 6 8x y. Υπολογίστε τους όγκους των δύο στερεών στα οποία χωρίζει ο κύλινδρος 9x 4y το στερεό. Απάντ. V 48 και V 6 46