Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr
Εισαγωγή στη Στατιστική
Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες τιμές Ζ Γραφήματα και βασικές έννοιες
Υπολογισμός Διακύμανσης σε Ομαδοποιημένα Δεδομένα Ομαδοποιημένα δεδομένα: ή Εναλλακτικά: (Τύπος 1.1) (Τύπος 1.2)
Ομαδοποιημένα Ποσοτικά Δεδομένα - Δίνεται Xm=572 Τύπος 1.1 Τάξεις mi fi mi-xm (mi-xm)^2 fi(mi-xm)^2 10-20 15 1 20-30 25 6 30-40 35 9 40-50 45 31 50-60 55 42 60-70 65 32 70-80 75 17 80-90 85 10 90-100 95 2 Σύνολο 150.00
Ομαδοποιημένα Ποσοτικά Δεδομένα - Δίνεται Xm=572 Τύπος 1.1 Τάξεις mi fi mi-xm (mi-xm)^2 fi(mi-xm)^2 10-20 15 1-42.2 1780.84 1780.84 20-30 25 6-32.2 1036.84 6221.04 30-40 35 9-22.2 492.84 4435.56 40-50 45 31-12.2 148.84 4614.04 50-60 55 42-2.2 4.84 203.28 60-70 65 32 7.8 60.84 1946.88 70-80 75 17 17.8 316.84 5386.28 80-90 85 10 27.8 772.84 7728.40 90-100 95 2 37.8 1428.84 2857.68 Σύνολο 150.00 35174.00
Με βάση τον Τύπο 1.1 Ομαδοποιημένα δεδομένα: Διακύμανση = 35.174 / 149 = 236.07 Τυπική απόκλιση =? (Τύπος 1.1)
Με βάση τον Τύπο 1.2 Τάξεις mi fi mi^2 fi*mi fi*mi^2 10-20 15 1 20-30 25 6 30-40 35 9 40-50 45 31 50-60 55 42 60-70 65 32 70-80 75 17 80-90 85 10 90-100 95 2 Σύνολο 150.00
Με βάση τον Τύπο 1.2 Τάξεις mi fi mi^2 fi*mi fi*mi^2 10-20 15 1 225 15 225 20-30 25 6 625 150 3750 30-40 35 9 1225 315 11025 40-50 45 31 2025 1395 62775 50-60 55 42 3025 2310 127050 60-70 65 32 4225 2080 135200 70-80 75 17 5625 1275 95625 80-90 85 10 7225 850 72250 90-100 95 2 9025 190 18050 Σύνολο 150.00 8580 525950
Με βάση τον Τύπο 1.2 Ομαδοποιημένα δεδομένα (ισοδύναμα): (Τύπος 1.2) Διακύμανση = 525950 / 149 - (8580)^2 / 149*150 = 236.07
Μέτρα Ασυμμετρίας (Pearson) Συντελεστής Ασυμμετρίας βασισμένος στην επικρατούσα τιμή.= Sp= Αριθμητικός Μέσος-Επικρατούσα τιμή Τυπική Απόκλιση Ερμηνεία Αν ο συντελεστής είναι μηδέν η κατανομή μου είναι απόλυτα συμμετρική Αν ο συντελεστής είναι θετικός η κατανομή μου παρουσιάζει θετική ασυμμετρία Αν ο συντελεστής είναι αρνητικός η κατανομή μου παρουσιάζει αρνητική ασυμμετρία
Μέτρα Ασυμμετρίας (Pearson) Συντελεστής Ασυμμετρίας Pearson Β3= Ερμηνεία Αν ο συντελεστής είναι μηδέν η κατανομή μου είναι απόλυτα συμμετρική Αν ο συντελεστής είναι θετικός η κατανομή μου παρουσιάζει θετική ασυμμετρία Αν ο συντελεστής είναι αρνητικός η κατανομή μου παρουσιάζει αρνητική ασυμμετρία
Ασύμμετρες Κατανομές
Μέτρα Κύρτωσης (Pearson) Συντελεστής Κύρτωσης Pearson Β4= Ερμηνεία Αν ο συντελεστής είναι < 3 τότε η κατανομή χαρακτηρίζεται ως πλατύκυρτη Αν ο συντελεστής είναι = 3 τότε η κατανομή χαρακτηρίζεται ως μεσόκυρτη Αν ο συντελεστής είναι > 3 τότε η κατανομή χαρακτηρίζεται ως λεπτόκυρτη
Κυρτές Κατανομές
Άσκηση #1 Με βάση τα στοιχεία του πίνακα να χαρακτηρίσετε τις κατανομές ως προς την ασυμμετρία τους: Συντελεστές Χμ Διάμεσος Επ.Τιμή Είδος Κατανομή Α 54 72 83 Κατανομή Β 12 95 75 Κατανομή Γ 43 42 42 Κατανομή Δ 38 62 71
Άσκηση #2 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω κατανομές ανάλογα με τους συντελεστές ασυμμετρίας και κύρτωσης που παρουσιάζουν: Συντελεστές Β3 Β4 Είδος Κατανομή Α 012 29 Κατανομή Β -28 14 Κατανομή Γ 13 52 Κατανομή Δ 25 43
Η Κανονική Κατανομή Ανήκει στην κατηγορία των συνεχών κατανομών. Η σπουδαιότερη και περισσότερο χρησιμοποιούμενη. Πολλα πειράματα μπορούν να περιγραφούν ικανοποιητικά μέσω τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν την κανονονική κατανομή. Μπορεί να χρησιμοποιηθει ως προσέγγιση πολλών άλλων κατανομών. Αποτελεί βάση για πολλές τεχνικές της Στατιστικής Συμπερασματολογίας. Αρκεί να γνωρίζουμε τον αριθμητικό μέσο και την τυπική απόκλιση για να την χαρακτηρίσουμε και να τη μελετήσουμε.
Η Κανονική Κατανομή Συμβολισμοί: Η Χ μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους μ και σ 2 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίνεται από τον τύπο (δηλ. η πιθανότητα σημείου):
Η Κανονική Κατανομή Συμβολισμοί: Η αναμενόμενη τιμή της τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται από τη σχέση: = = = = = = Ε(Χ)=μ= Η Διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Χ δίνεται από τη σχέση: V(X)=σ 2
Η Κανονική Κατανομή
Η Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Συμβολισμοί: Η τυχαία μεταβλητή Ζ ονομάζεται τυποποιημένη μεταβλητή και ακολουθεί την κανονική κατανομή με παραμέτρους μ=0 και σ 2 =1. Ζ ~ Ν(01)= Ε(Ζ)=0 και V(Ζ)=1
Τυποποιημένες τιμές Ζ
Η Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Μεθοδολογία Υπολογισμού Πιθανότητας Ζ:= Χρησιμοποιούμε τον τύπο των Ζ-τιμών για να υπολογίσουμε το Ζ. Από τους πίνακες των πιθανοτήτων εντοπίζουμε την πιθανότητα που αντιστοιχεί στην τιμή του Ζ που βρήκαμε Η πιθανότητα αυτή μου εκφράζει το εμβαδόν της καμπύλης αριστερά της ζητούμενης τιμής. Ανάλογα με τα ζητούμενα του προβλήματος που έχω προσαρμόζω και την απάντησή μου.
Η Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή Πίνακας Υπολογισμού Πιθανότητας για τιμές Ζ
Η Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή
Η Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή
Παράδειγμα Κανονικής Κατανομής Το βάρος των παραγόμενων πακέτων ζάχαρης ενός εργοστασίου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μ=9995 gr και σ=6 gr.: Αν επιλεγεί τυχαία ένα πακέτο ποιά η πιθανότητα το βάρος του να ξεπερνάει τα 1004 gr? Αν επιλεγεί τυχαία ένα πακέτο ποιά η πιθανότητα το βάρος του να βρίσκεται μεταξύ 998 και 1001 gr? Λύση