ΛΥΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 0 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 53 Α. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α3. Θεωρία : Σχολικό βιβλίο σελίδα 58 Α4.. α.σ, β.σ, γ.λ, δ.λ, ε.λ ΘΕΜΑ Β Β. Έστω yi 4 ( ) yi ( ) yi 4 ( ( ) y ) ( ( ) y ) 4 y y 4 y Αρα ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων των αριθµών είναι ο κύκλος µε κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ. Β. Αφού οι, ανήκουν στον κύκλο (Ο, ) θα ισχύει () ( ) ( )( ) ( )( ) 0 () () (),() 0 Άρα
Β3.. Έστω w yi w 5 w yi 5( yi) 4 6yi 6 36y 6 36y 44 6 44 36y 44 9 y 4 3 y έλλειψη Η παραπάνω έλλειψη έχει τις εστίες της στον άξονα µε α 3 και β. Κορυφές τη έλλειψης είναι τα σηµεία Α ( 3, 0), Α( 3, 0), Β (0, ), Β(0, ) Το w γίνεται µέγιστο όταν ο w έχει εικόνα το Α ή το Α, οπότε w mα 3 Το w γίνεται ελάχιστο όταν ο w έχει εικόνα το Β ή το Β, οπότε w min B4. Τριγωνική ανισότητα : w w w w w w (3) Από το Β 3 έχουµε w >, οπότε η (3) γίνεται w w w Το αριστερά µέλος γίνεται ελάχιστο όταν w ελάχιστο δηλαδή w και το δεξιά µέλος γίνεται µέγιστο όταν το w γίνεται µέγιστο δηλαδή όταν w 3 Οπότε τελικά w 3 w 4 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο (0, ) µε f () ln Προφανής ρίζα της f είναι η Και επειδή f () > 0 για κάθε > 0, η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα της f είναι µοναδική. f γν. αύξ. Πρόσηµο της f : Όταν 0 < < f () < f ( ) f () < 0 Άρα f γν. φθίνουσα στο (0, ] f γν. αύξ. Όταν > f () > f ( ) f () > 0 Άρα f γν. αύξουσα στο [, ) Σύνολο τιµών της f : Όταν ϵ, τότε το σύνολο τιµών είναι το f( ) [f(), lim f() 0 Αλλά f() )
3 και lim f() 0 lim (( ) ln ) 0 ( ) Άρα f( ) [, ) Όταν ϵ, τότε το σύνολο τιµών είναι το f( ) [f(), lim f() ) Αλλά lim f() lim (( )ln ) ( )( ) Άρα f( ) [, ) Τελικά f(a) f( ) f( ) [, ) [, ) [, ) Γ. Η δοσµένη εξίσωση γράφεται - 03 ln - ln 03 ( )ln 03ln ( )ln 03 ( )ln 0 f() 0 Επειδή 0 f( ), η εξίσωση f() 0 έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (0, ] προφανώς θετική και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, η ρίζα είναι µοναδική. Οµοίως, επειδή 0 f( ) Γ3. Θεωρώ τη συνάρτηση h() f () f() 0, > 0 συνεχής () σαν πράξεις συνεχών. Είναι h( ) f ( ) f( ) 0 f ( ) 0 0 f ( ) < και f γν. αύξουσα (από το Γ ) f ( ) < f () 0 Οπότε h( ) < 0 () h( ) f ( ) f( ) 0 f ( ) 0 0 f ( ) > και f γν. αύξουσα (από το Γ ) f ( ) > f () 0 Οπότε h( ) > 0 (3) (), (), (3) ικανοποιούν τις προυποθέσεις του Θ. Bolano, άρα υπάρχει o (, ) έτσι ώστε h( o ) 0 f ( o ) f( o ) 0. Γ4. g() 0 f() 0 ( )ln 0 Οπότε το διάστηµα ολοκλήρωσης είναι το [, ] στο οποίο > 0 και ln > 0 άρα g() > 0 Ε g()d ( )lnd lnd
4 ΘΕΜΑ. ln ln Η υπόθεση ( ) 4 d d 3 τετραγωνικές µονάδες 4 4 4 4 f t dt ( ) f t dt 0 Έστω η συνάρτηση h() f( t) dt, ϵ(0, ) Προφανώς είναι h() 0 και h() 0 h() h() για κάθε > 0 Άρα η h παρουσιάζει ελάχιστο για εσωτερικό σηµείο του (0, ). Ακόµα η h παραγωγίζεται στο (0, ) ως πράξεις παραγωγίσιµων συναρτήσεων. Άρα, κατά το Θ. Frmat, θα είναι h () 0. Όµως h () f( )( ) Οπότε h () 0 f() 0 f() Επειδή η f είναι συνεχής στο (0, ) και δεν µηδενίζεται σε αυτό, θα διατηρεί σταθερό πρόσηµο. Αφού δε f() < 0, θα είναι f() < 0 για κάθε > 0, άρα f() f(). t Η υπόθεση ln dt f() t ln dt Γνωρίζουµε ότι ln ln < 0 f() () Οπότε, από την () συµπεραίνουµε ότι Και αφού f() < 0, θα είναι t dt > 0 t dt f() < 0
5 Τότε η () δίνει f() ln t dt f(t) εδοµένου ότι οι συναρτήσεις t, f(t) είναι συνεχείς, η συνάρτηση t dt είναι παραγωγίσιµη. Όπως επίσης παραγωγίσιµη είναι και η ln. Άρα τελικά είναι παραγωγίσιµη και η f ως πράξεις παραγωγίσιµων Η () γράφεται ln f() Έστω η συνάρτηση g() Τότε g () ln f() Η () γίνεται t dt () t dt (3) g ( ) g() και από γνωστή εφαρµογή του βιβλίου g() c (4) Η (3) για δίνει g() Η (4) για δίνει g() c c c Η (4) γίνεται g() Η () γίνεται. Είναι lim f() Θέτω 0 0 u f() ln f() lim (ln 0 f() (ln ) -, > 0 ) ( ). Οπότε 0 lim 0 f() οπότε όταν 0 τότε u 0 και το ζητούµενο όριο γίνεται ( ) lim f() ηµ f() f() lim ηµu u u ηµu u u 0 0 (ηµu u) lim (u ) lim συνu 0 lim u 0 (συνu ) ηµu lim lim 0 u
6 3. Επειδή η f είναι συνεχής για κάθε > 0, η F είναι παραγωγίσιµη µε F () f() και F () f () - (ln ) - - ln Όµως - > 0 και ln ln 0 ln > 0 Αρα F () > 0, άρα η F είναι κυρτή, οπότε η F είναι γνησίως αύξουσα. Αφού η F είναι παραγωγίσιµη σε κάθε ένα από τα διαστήµατα [, ], [, 3], όπου > 0, σύµφωνα µε το θεώρηµα της µέσης τιµής, θα υπάρχουν ξ (, ) και ξ (, 3) έτσι ώστε F ( ξ ) F() F() και F ( ξ ) F(3) F() 3 F ( ξ ) F() F() και F ( ξ ) F(3) F() Όµως ξ < ξ και F γνησίως αύξουσα F ( ξ ) < F ( ξ ) και αφού > 0 έχουµε F() F() < F(3) F() F() F() < F(3) F() F(3) F() > F() 4.. Έστω η συνάρτηση K() F(β) F(3β) F() H K είναι συνεχής στο [β, β] ως πράξεις συνεχών. Είναι Κ(β) F(β) F(3β) F(β) F(3β) F(β) (5) Όµως F () f() < 0 F γνησίως φθίνουσα. Οπότε 0 < β < 3β F(β) > F(3β) Κ(β) < 0 Είναι Κ(β) F(β) F(3β) F(β) > 0 λόγω του 3 ηλαδή Κ(β) Κ(β) < 0 Συνεπώς, µε βάση το θεώρηµα Bolano, θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (β, β) έτσι ώστε Κ(ξ) 0 F(β) F(3β) F(ξ) Και επειδή Κ () F () > 0, η συνάρτηση Κ είναι γνησίως αύξουσα, άρα το ξ είναι µοναδικό.