0.8 Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. Έστω η καµπύλη = ( r = r( t) = ( t, t,ln t), t > 0). Να ευρεθεί το µήκος της µεταξύ των σηµείων A = (,, 0) και B = (4,4,ln ). Έχουµε r () t = (,, t ) ( t > 0). Άρα το µήκος της καµπύλης µεταξύ των t σηµείων A= r () και B = r () είναι l( ) = r ( t) dt = 4t + 4 + dt = ( t+ ) dt = 3+ ln t t π. Έστω το σύρµα = r = r() t = ( συνt, ηµ t), t 0, µε θερµοκρασία f ( xy, ) = x y στο σηµείο ( xy, ). Να ευρεθεί η µέση θερµοκρασία του σύρµατος. Ανάλογα µε το παρ..4 σελ. 639 3. Να ευρεθεί η µάζα m= f( x, y, z) ds του σύρµατος (σχήµατος έλικας) 5π = r = r() t = ( συνt, ηµ t,3), t t 0, 5π συν ηµ 0 3 συν... 0 m= t t + tdt = 4. Να υπολογιστεί το I = Fdr, όπου µε πυκνότητα f ( xyz,, ) = xy. i. F( x, y) = ( x, xy) και είναι a) Το ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το (0,0) και πέρας το (,). b) Το τµήµα της παραβολής y = x µε αρχή το (0,0) και πέρας το (,). ii. F( x, y, z) = ( x, y, x+ z ) όπου το ευθύγραµµο τµήµα µε αρχή το (,,) και πέρας (,3,5). iii. F(, xyz,) = ( yz, y, xy) όπου = ( rt ( ) = ( συνt, ηµ tt, ), t [0, π ]) Ανάλογα µε τα παραδείγµατα.8,.9 σελ. 649 648.
5. ια το διανυσµατικό πεδίο f (δυναµικό) ώστε f = F. F x y y xy (, ) = ( + 5, 8) να ευρεθεί συνάρτηση Η συνάρτηση f είναι f ( xy, ) xy 5x 8y c = + + (γιατί;) y y y 6. ια το διανυσµατικό πεδίο F( x, y) = ( e ηµ x, e συν x+ e ) να ευρεθεί συνάρτηση f (δυναµικό) ώστε f = F και να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα Fdr, όπου είναι η καµπύλη 3 y = συν x από το x = 0 στο x = π. 7. ια το διανυσµατικό πεδίο F( x, y, z) = ( xye z, x e z, x ye z + z ) να ευρεθεί συνάρτηση f (δυναµικό) ώστε f = F και να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα F dr, όπου είναι τυχαία C καµπύλη µε αρχή το A = (0,0,0) και πέρας το B = (,,). 8. ια το διανυσµατικό πεδίο F( x, y, z) = ( z + xyσυν ( x + z), ηµ ( x + z), xz+ yσυν ( x + z)) να ευρεθεί συνάρτηση f (δυναµικό) ώστε f = F και να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα F dr, όπου είναι τυχαία C καµπύλη µε αρχή το A = (,,) και πέρας το B = (,, 3). 9. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα π π (,,) ( ) ( ) (0,0,0) I = y + yzσυν xydx+ xy+ xzσυν xydy+ ηµ xydz (πρώτα να εξετάσετε αν έχει έννοια το ολοκλήρωµα). Λύσεις 5-9 α τρόπος: Ανάλογα µε τα παραδείγµατα.30,.3,.33 σελ. 65 654 και χρησιµοποιώντας το θεώρηµα.7 σελ. 649. β τρόπος: Χρησιµοποιείστε το Θεώρ. 4.9 σελ. 708, Πόρισµα 4.0 σελ 709 και Θεώρ..5 σελ. 649 0. Επαληθεύσατε το τύπο του Green για 3 3 3 3 i. F( x, y) = ( x y, x + y ) G = ( x, y): x + y 3 3 ii. F( x, y) = ( x y, x + y ) και G = [, ] [, 3] Ανάλογα µε το παρ. 4.5 σελ 74 75. και { }
. Υπολογίστε (µε τη βοήθεια του τύπου του Green) τα ολοκληρώµατα ( xy x ) dx+ x ydy, ydx+ xdy όπου G το τρίγωνο µε κορυφές τα G G σηµεία (0,0), (,0) και (,).. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα (5 xy y ) dx ( xy x ) dy όπου η περίµετρος του τετραγώνου µε κορυφές τα σηµεία (0,0), (, 0), (,) και (0,). 3. Ένα κινητό ξεκινά από το σηµείο (,0), κινείται κατά µήκος του άξονα των x και φθάνει στο (,0) και µετά κατά µήκος του ηµικυκλίου y = 4 x επιστρέφει στο αρχικό σηµείο. Να υπολογιστεί το έργο W = Fdr, αν η δύναµη είναι F x y x x xy 3 (, ) = (, + 3 ) και η διαδροµή που ακολούθησε. Λύσεις -3 Ανάλογα µε το Παρ. 4.6 σελ 75 4. Πόσο διαφέρουν τα ολοκληρώµατα F x y = x+ y x y (, ) (( ), ( ) ) (0,0), (,) και το τµήµα της Ι = F dr, Ι = F dr όπου, είναι το ευθύγραµµο τµήµα µε άκρα τα y = x µεταξύ x = 0, x =. (,) (0,0)
Από τον τύπο του Green έχουµε x I I = F dr F dr = ( 4 x) dydx= 0. Άρα Η διαφορά είναι x 3 I I =. 3 5. Έστω G = {( x, y) : x + y }. Πού είναι το λάθος στον υπολογισµό; y x x y π = dx + dy = dxdy = x + y x + y x x + y y x + y G G = 0dxdy = 0 G Ελέγξτε προσεκτικά αν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήµατος Green (Θεώρ. 4.3 σελ 74) 6. i. Έστω F = ( P, Q): \{( x } 0, y0) αστρόβιλο C διανυσµατικό πεδίο και τυχαία απλή κλειστή C καµπύλη που δεν διέρχεται από το σηµείο ( x0, y 0). Αποδείξτε ότι a) F dr = 0, αν το ( x0, y0) δεν βρίσκεται στο εσωτερικό της. b) F dr = c ( c σταθερά), εάν το ( x0, y 0) βρίσκεται στο εσωτερικό της. ii. Υπολογίστε το ολοκλήρωµα y x dx + dy όπου η x + y x + y έλλειψη µε εξίσωση ( x x0) ( y y0) + = α β µε x0 y0 +, ( αβ, > 0). α β i.a) του Green έχω Το εσωτερικό της, έστω G έχει σαν σύνορο την. Άρα από τον τύπο Q P Fdr = dxdy = 0 x y G ( x, y ) 0 0
i.b) Έστω, απλές κλειστές εσωτερικό τους. C καµπύλες που περιέχουν το 0 0 ( x, y ) στο ( x, y ) 0 0 Τότε από τον τύπο του Green έχουµε Άρα F dr + F dr = 0. + + F dr = F dr το οποίο σηµαίνει πως το ολοκλήρωµα F dr δεν εξαρτάται από την καµπύλη. ii. Χρησιµοποιείστε το i.b) και το παρ. 4.0 σελ. 79 70. f f f 7. Υπολογίστε την Λαπλασιανή f = + + x y z i. ii. 3 xy f ( xyz,, ) = xyz+ ze x f ( xyz,, ) = eηµ y+ xy z για και εξετάστε αν οι συναρτήσεις είναι αρµονικές. 8. Υπολογίστε την απόκλιση divf και τον στροβιλισµό curlf του z z διανυσµατικού πεδίου F( x, y, z) = ( xy, e x, x ye + z ). 3 3 = συντηρητικό διανυσµατικό πεδίο 9. Έστω F ( P, Q, R): V ( ) Αποδείξτε ότι το F είναι αστρόβιλο. Ισχύει το αντίστροφο; Θεώρηµα 4.7 σελ. 706 Παράδειγµα 4.9 σελ. 70 C.
0. Έστω Αποδείξτε ότι G απλό σύνολο Green και f, g: g + = + C συναρτήσεις. g. f gdxdy f g dxdy f dx f dy G G + y x ( G) g Εφαρµόζουµε τον τύπο του Green για F( x, y) = f, f y g. x