v.5 «Αυτό το ρόβλημα, τούτ η μεγάλη συμφορά για να λυθεί χρειάζεται, δίχως αμφιβολία, όως κοιτάζω α τη δική σου την λευρά, να δεις κι εσύ α τη δική μου τη γωνία».. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Β Α ω. Τριγωνομετρικοί αριθμοί οοιασδήοτε γωνίας Μ ρ ψ ψ ημω = = ρ x συνω = = ρ τεταγμένη του Μ αόσταση του Μ αό το Ο τετμημένη του Μ αόσταση του Μ αό το Ο ω εφω = x ψ = τεταγμένη του Μ τετμημένη του Μ x Ο σφω = ψ x = τετμημένη του Μ τεταγμένη του Μ Τριγωνομετρία -
. Ο τριγωνομετρικός κύκλος ρ = 90 άξονας των ημιτόνων 80 70 Ο 60 άξονας των συνημιτόνων Ο σφx ημx ω εφx Ο συνx Τριγωνομετρία -
4. Πρόσημο τριγωνομετρικών συναρτήσεων ημx > 0 συνx < 0 εφx < 0 σφx < 0 0 ημx < 0 συνx < 0 εφx > 0 σφx > 0 ημx > 0 συνx > 0 εφx > 0 σφx > 0 ημx < 0 συνx > 0 εφx < 0 σφx < 0 Μνημονικός κανόνας Ο Η Ε Σ Ο = Όλα θετικά Η = Ημίτονο θετικό Ε = Εφατομένη θετική (και συνεφατομένη) Σ = Συνημίτονο θετικό 5. Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών ημ συν εφ 0 ο 45 ο 60 ο 0 ο 90 ο 80 ο 70 ο σφ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ο = 6 45 ο = 4 60 ο = 90 ο = 80 ο = 70 ο = Τριγωνομετρία -
6. Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες ημx συνx ημ x + συν x = ημx εφx = συνx συνx σφx = ημx εφx σφx = Είσης, ολύ χρήσιμες είναι οι σχέσεις: εφ x ημ x = + εφ x συν x = + εφ x 7. Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο ΓΩΝΙΕΣ ΑΝΤΙΘΕΤΕΣ x, x συν ( x ) = συνx ημ ( x ) = ημx εφ ( x ) = εφx σφ ( x ) = σφx ΓΩΝΙΕΣ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ x, x συν ( x ) = συνx ημ ( x ) = ημx εφ ( x ) = εφx σφ ( x ) = σφx ΓΩΝΙΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ x, x συν ( x) = ημx ημ ( x) = συνx εφ ( x) = σφx σφ ( x) = εφx ΓΩΝΙΕΣ ΠΟΥ ΔΙΑΦΕΡΟΥΝ ΚΑΤΑ x, + x συν ( + x ) = συνx ημ ( + x ) = ημx εφ ( + x ) = εφx σφ ( + x ) = σφx Τριγωνομετρία - 4
Ένας μνημονικός κανόνας Πολλαλάσια του Όταν δυο τόξα έχουν άθροισμα ή διαφορά 0,,, και γενικά ολλαλάσια του τότε έχουν ομώνυμους (ίδιους) τριγωνομετρικούς αριθμούς. Για τον υολογισμό του ροσήμου χρειάζεται να γνωρίζουμε το τεταρτημόριο στο οοίο καταλήγει το τόξο. Σκεφτόμαστε ειδικότερα: α. Τα εριττά ολλαλάσια του καταλήγουν άντα στο του τριγωνομετρικού κύκλου, συνεώς χρησιμοοιούμε τη θέση αυτή για σημείο αναφοράς. β. Τα άρτια ολλαλάσια του είναι αλά ολλαλάσια ολόκληρων κύκλων, συνεώς αλά τα αγνοούμε. Πολλαλάσια του / Όταν δύο τόξα έχουν άθροισμα ή διαφορά /, / και γενικά (εριττά) ολλαλάσια του / τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί εναλλάσσονται (ημ με συν και εφ με σφ). Για να βρούμε το ρόσημο, διαιρούμε τον αριθμητή του κλάσματος, ου μας δίνεται, με το 4 (έτσι βρίσκουμε και αορρίτουμε τους αραανίσιους κύκλους) και κρατάμε το υόλοιο. Αν το τελευταίο είναι τότε ηγαίνουμε στο /, αν είναι στο /. Παρατήρηση: Για άρτια ολλαλάσια του / εκτελούμε αλά τη διαίρεση με το και αναγόμαστε σε ολλαλάσιο του. 8. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ημx [-, ] εριττή Τ = x Τριγωνομετρία - 5
συνx [-, ] άρτια Τ = x x - {κ+ } Τ = εριττή εριττή Τ = Τ = εριττή x - {κ} εφx εφx Τριγωνομετρία - 6
9. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις θ x θ ημx = ημθ x = κ + θ x = κ + ( θ), κ x θ συνx = συνθ x = κ + θ x = κ θ, κ θ εφx = εφθ x = κ + θ, κ x κ + θ x σφx = σφθ x = κ + θ, κ x κ + θ θ x + θ Τριγωνομετρία - 7
. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις Αν η τριγωνομετρική εξίσωση έχει μια αό τις αρακάτω βασικές μορφές τότε χρησιμοοιούμε τους αντίστοιχους τύους είλυσης, τους οοίους έχουμε αοστηθίσει ώστε να μην σάμε τα νεύρα των καθηγητών μας, κάθε φορά ου μας ρωτάνε: κ ημx = ± ημθ x = κ + θ ή x = κ + θ συνx = ± συνθ x = κ + θ ή x = κ θ εφx = ± εφθ x = κ + θ x κ + σφx = ± σφθ x = κ + θ x κ Παρατήρηση: Οι εριορισμοί ου συνοδεύουν τους δύο τελευταίους τύους ααιτούνται γιατί δεν ορίζεται για όλες τις γωνίες εφατομένη και συνεφατομένη. Αντιθέτως όλες οι γωνίες έχουν ημίτονο και συνημίτονο. Ασκ.Φυλ., 7 (σελ.8) Αν στο ένα μέλος δεν έχουμε άμεσα τριγωνομετρικό αριθμό αλλά κάοιον αριθμό α : ημx = ± α, α συνx = ± α, α εφx = ± α σφx = ± α τότε, αφού καταλλαγιάσει ο ανικός μας, αναζητούμε ψύχραιμα μία γωνία θ τέτοια ώστε ο αντίστοιχος τριγωνομετρικός της αριθμός να ισούται με α. Δύσκολο; Όχι βέβαια, αφού για καλή μας τύχη οι ασκήσεις είναι φτιαγμένες έτσι ώστε να ροκύτει κάοιο α τα νούμερα με τα οοία είμαστε εξοικειωμένοι α τα σκονάκια μας χ., Τριγωνομετρία - 8
0, -, /, ½ κτλ. Τελικά, αναγόμαστε άλι σε μια αό τις ροηγούμενες βασικές εξισώσεις. Ασκ.Φυλ. (σελ 8) Γενικότερα, αν έχουμε μια εξίσωση ου βαθμού με άγνωστο ένα μόνο τριγωνομετρικό αριθμό, τότε τη λύνουμε ως ρος τον άγνωστο με τη ασίγνωστη σε όλους (;) διαδικασία (χωρίζουμε γνωστούς αό αγνώστους, κτλ.), καταλήγοντας σε μία αό τις ροηγούμενες εριτώσεις. Ασκ.Φυλ. 5 (σελ.9) Ειδικές εριτώσεις Ειδικότερα για τις αρακάτω εριτώσεις, είναι ειθυμητό να υάρχει μια άνεση στην εξαγωγή των συμερασμάτων, αλλά και να μην υάρχει δεν τρέχει και τίοτα: ημx = 0 x = κ ημx = x = κ + κ συνx = 0 x = κ + κ ημx = x = κ εφx = 0 x = κ συνx = x = κ σφx = 0 x = κ + συνx = x = κ + Περιτώσεις αρνητικών ρόσημων Ασκ.Φυλ. (σελ 8) Σε ερίτωση ου μροστά αό κάοιον τριγωνομετρικό αριθμό υάρχει αρνητικό ρόσημο, τότε χρησιμοοιούμε τον αρακάτω κανόνα (σε ερίτωση ου δεν υάρχει αρνητικό ρόσημο, τότε δεν τον χρησιμοοιούμε): ημx = ημ( x) συνx = συν( x) εφx = εφ( x) σφx = σφ( x) Ασκ.Φυλ. 4 (σελ.9) Τριγωνομετρία - 9
. Κανόνας συμληρωματικών γωνιών Αν η τριγωνομετρική εξίσωση έχει μία αό τις αρακάτω μορφές, τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα των συμληρωματικών γωνιών καταλήγουμε σε μια ισοδύναμη εξίσωση με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό και στα δύο μέλη. Έτσι, αναγόμαστε σε μια εξίσωση της ροηγούμενης κατηγορίας, ου υοτίθεται ότι γνωρίζουμε: ημx = ± συνθ ημx = ± ημ θ συνx = ± ημθ συνx = ± συν εφx = ± σφθ εφ = ± εφ θ σφx = ± εφθ σφx = ± σφθ θ θ Ασκ.Φυλ. 8 (σελ.9). Αλγεβρική εξίσωση ως ρος ένα τριγωνομετρικό αριθμό ου βαθμού Όως έχουμε ήδη αναφέρει, στην ερίτωση αυτή λύνουμε την εξίσωση σύμφωνα με τα γνωστά σε όλους μας λάθη στα βήματα, τις ράξεις και τα ρόσημα (όως δηλαδή σε κάθε ρωτοβάθμια εξίσωση με έναν άγνωστο), καταλήγοντας σε μια ερίτωση της ης κατηγορίας εξισώσεων. Ασκ.Φυλ. 5 (σελ.9) ου βαθμού Ανάλογα με τη μορφή της εξίσωσης, τα χάνουμε και με διαφορετικό τρόο: ) α ημ x + β = 0 Χωρίζουμε γνωστούς αό αγνώστους και στη συνέχεια ± τετραγωνική ρίζα. Ασκ.Φυλ. 0 (σελ.0) Τριγωνομετρία - 0
) α ημ x + β ημx = 0 Βγάζουμε κοινό αράγοντα το ημx και θέτουμε κάθε αράγοντα ίσο με το 0. Ασκ.Φυλ. 9 (σελ.0) ) α ημ x + β ημx + γ = 0 Δηλαδή, λήρες τριώνυμο. Λύνεται κατά τα γνωστά με διακρίνουσα κτλ. Βοηθάει αν θέσουμε ημx = y οότε η εξίσωση αίρνει την ιο κατανοητή μορφή: αy + βy + γ = 0 Ασκ.Φυλ. (σελ.) Εννοείται ως, χάρη συντομίας, οι αραάνω μορφές ισχύουν και για τις αντίστοιχες εξισώσεις με συνημίτονο, εφατομένη και συνεφατομένη, αλλά ού να άει ο νους σας. Παρατήρηση: Προσέχουμε όταν αντικαθιστούμε ημx = y ή συνx = y να μην αραλείουμε τον εριορισμό y. Για την εφx και σφx δεν υάρχει αντίστοιχος εριορισμός. ου ή μεγαλύτερου βαθμού Αν υάρχει μόνο ένας τριγωνομετρικός αριθμός τότε λύνουμε ως ρος αυτόν και στη συνέχεια βγάζουμε αντίστοιχης τάξης ρίζα, μια γελοία διαδικασία την οοία φυσικά αγνοούμε θανάσιμα (βλ. αρατήρηση ιο κάτω). Ασκ.Φυλ. 0 (σελ.0) Γενικότερα Στην ερίτωση ου υάρχουν ερισσότεροι όροι της εξίσωσης ου εριέχουν άγνωστο, τους μεταφέρουμε όλους στο ο μέλος και αραγοντοοιούμε. Κατόιν θέτουμε κάθε αράγοντα ίσο με το μηδέν και λύνουμε ξεχωριστά, κάθε εξίσωση ου ροκύτει. Πείθουμε τον εαυτό μας ότι μορούμε να εκτελέσουμε όλα τα ροηγούμενα χωρίς καμία βοήθεια! Παρατήρηση: Υενθυμίζουμε τους κανόνες είλυσης της x ν = α. ν, α. Αν ν = άρτιος και α > 0 τότε: x = ± ν α. Αν ν = άρτιος και α < 0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Τριγωνομετρία -
. Αν ν = εριττός και α > 0 τότε: x = ν α 4. Αν ν = εριττός και α < 0 τότε: x = ν α Κλασματικές εξισώσεις Κάνουμε ααλοιφή αρονομαστών (αν δεν ξέρουμε ολύ κρίμα!) με το ΕΚΠ και έτσι οδηγούμαστε σε μία αό τις ροηγούμενες εριτώσεις. 4. Αλγεβρική εξίσωση με δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς ου βαθμού Προσαθούμε χωρίζοντας τους δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς να αναχθούμε σε μια ερίτωση της δεύτερης κατηγορίας ασκήσεων. Αν δεν τα καταφέρουμε φυσικά ξαναροσαθούμε. Αν το ροηγούμενο δεν είναι εφικτό, δεν ανοίγουμε κατευθείαν την τηλεόραση ή τον υολογιστή μας, αλλά μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος και αραγοντοοιούμε. Κατόιν θέτουμε κάθε αράγοντα ίσο με το μηδέν και λύνουμε την αντίστοιχη εξίσωση. ου βαθμού με ημx, συνx Ασκ.Φυλ. 6 (σελ. 9), (σελ.0) Αντικαθιστούμε έναν αό τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ου βρίσκονται υψωμένοι στο τετράγωνο, με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής ταυτότητας: ημ x = συν x ή συν x = ημ x. Με αυτόν τον τρόο αναγόμαστε σε μια βάθμια εξίσωση με ένα μόνο τριγωνομετρικό αριθμό, η οοία λύνεται όως εριγράψαμε στην ροηγούμενη κατηγορία ασκήσεων (αίστευτο; αυτή είναι η ομορφιά των μαθηματικών!). Ασκ.Φυλ. (σελ.) 5. Άλλες μορφές συνx = ± α ημx, ημx = ± α συνx (α ) Σε κάθε ερίτωση, διαιρούμε και τα δύο μέλη με ημx ή συνx, αντίστοιχα. Έτσι ροκύτει μια εξίσωση της μορφής: Τριγωνομετρία -
συνx ημx συνx = ± α ημx = ± α σφx = ± α ημx ημx ημx συνx ημx = ± α συνx = ± α εφx = ± α συνx συνx η οοίες λύνονται εύκολα, όως οι εξισώσεις της ρώτης εθνικής κατηγορίας. Παρατηρήσεις. Για να εφαρμόσουμε αυτή τη μέθοδο ααραίτητη ροϋόθεση είναι και στα δύο μέλη είτε οι γωνίες, είτε οι αραστάσεις ου βρίσκονται μέσα στους τριγωνομετρικούς αριθμούς να είναι ίσες.. Εειδή διαιρούμε και τα δύο μέλη με ημx ή συνx θα ρέει ημx ή συνx 0. Ωστόσο, αν ήταν χ. στην η ερίτωση ημx = 0, τότε θα ήταν είσης: συνx = ±α 0 ή συνx = 0. Αυτό όμως είναι άτοο, αφού ρέει ααραίτητα: ημ x + συν x =. Συνεώς, ημx 0 για κάθε x (Ομοίως εξετάζουμε και τη δεύτερη ερίτωση). Σύνθετες μορφές με ημx, συνx, εφx και σφx Ασκ.Φυλ. 4 (σελ.) Στην ερίτωση αυτή, αναλύουμε την εφατομένη ή τη συνεφατομένη, σύμφωνα με τις αντίστοιχες τριγωνομετρικές ημ x συν x ταυτότητες: εφx =, σφx =. Κατόιν κάνουμε ααλοιφή συνx ημx αρονομαστών με το ΕΚΠ και ευχόμαστε να καταλήξουμε σε μία αό τις ροηγούμενες εριτώσεις. Ασκ.Φυλ. 5 (σελ.), 7 (σελ.) Τριγωνομετρία -
. Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας. Ποιες αό τις αρακάτω τιμές δε μορεί να είναι ημίτονο γωνίας; α. β. γ. δ. ε. στ. 8 ζ. 4. Αν ημ x + συνx = τότε η γωνία x ισούται με: α. 0 ο β. 90 ο γ. 80 ο δ. 70 ο ε. 45 ο στ. Τίοτα αό αυτά. Να βρείτε το ρόσημο των αρακάτω γινομένων: α. ημ80 ο συν60ο β. συν0 ο εφ0ο γ. ημ00 ο συν00ο εφ00ο δ. εφ40ο συν0ο σφ50ο 4. Η τιμή του γινομένου συν0 ο συν90 ο συν80 ο συν70 ο συν60 ο είναι: α. - β. γ. 0 δ. ε. 5. Να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: συν 0 + συν + ημ ημ εφ 6 4 4 6. Να υολογίσετε τους αρακάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: 97 α. εφ845 ο β. ημ580 ο γ. σφ 6 δ. συν 7. Εάν ημx = και 90 o < x < 80 o, να υολογίσετε τους υόλοιους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. Τριγωνομετρία - 4
8. Εάν εφθ = και 70 o < θ < 60 o, να υολογίσετε τους υόλοιους 4 τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας θ.. Αοδεικτικές ασκήσεις Να αοδείξετε ότι για οοιεσδήοτε γωνίες x, y ισχύουν οι σχέσεις:. (ημx συνx) = ημx συνx. ημ 4 x συν 4 x = ημ x συν x = συν x = ημ x. συν x συν y ημ x ημ y + = συν x + συν y 4. ( + ημx + συνx) = ( + συνx) ( + ημx) 5. εφ + εφ x x = ημ x 6. συν x + ημx = ημx 7. εφ x συν x + σφ x ημ x = 8. ημ x + ημx συν x = ημx 9. ημx - συνx + ημx + συνx - = συνx - ημx 0. ημx + συνx + συνx + ημx = ημx. συν x + ημ x = + εφ x + εφ x. εφx εφy (σφx + σφy) = εφx + εφy. ημ x + συνx + συνx ημx + σφx = 0 4. συν x εφx ημx + + εφ x = σφx 5. εφx εφy + + σφy σφx = εφx εφy 6. συνx συνx = εφx + ημx 7. σφ x εφx ημx + συνx = 8. - σφx - εφx ημx - συνx εφx + ημx εφx - ημx = ημx + σφx Τριγωνομετρία - 5
9. εφx - ημx ημ x = συνx + συν x 0. εφx σφx = συν x ημx συνx. σφx + σφx εφx + + εφx =. σφx + ημx + συνx = ημχ. ημ x ( + σφ x) + συν x ( + εφ x) = 4. συν 4 x + ημ x συν x + ημ x =. Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο. Συμληρώστε τον αρακάτω ίνακα ημ ( x) = ημx ημ ( x) = ημ ( + x) = συν ( x) = συν ( x) = συν ( + x) = εφ ( x) = εφ ( x) = εφ ( + x) = σφ ( x) = σφ ( x) = σφ ( + x) = ημ ( x) = ημ ( + x) = ημ ( x) = συν ( x) = συν ( + x) = συν ( x) = εφ ( x) = εφ ( + x) = εφ ( x) = σφ ( x) = σφ ( + x) = σφ ( x) = ημ ( + x) = συν ( + x) = εφ ( + x) = σφ ( + x) = ημ ( x) = ημ ( + x) = συν ( x) = συν ( + x) = εφ ( x) = εφ ( + x) = σφ ( x) = σφ ( + x) = Τριγωνομετρία - 6
. Να αλοοιηθούν οι αραστάσεις: ημ( + α) σφ(7 + α) συνα α. συν( + α) σφ(4 + α) ημα ημ( θ) + συν θ ημ( θ) β. ημ θ συν( θ) + συν( θ). Να εκφράσετε συναρτήσει των συνx και ημx την αράσταση: Α = συν( x) + ημ( x) + ημ( + x) + συν( x) 4. Εάν Α, Β και Γ είναι γωνίες τριγώνου, να αοδείξετε ότι: α. ημ(β + Γ) = ημα β. συν(β + Γ) = συνα γ. εφ(β + Γ) = εφα 5. Αν 0 < α <, να αοδειχθεί ότι: 9 συν α εφ + α ημ α συνα 6 ημ + α σφ α συν( α) ημα = 6. Να αοδειχθεί ότι: ημ συν0 συν 48 = συν + ημ ημ58 συν + ημ9 ημ48 ημ58 ημ48 εφ x συν + x 7. Έστω Α = συν( x) Β = συν x ημ( + x) Γ = συν( + x) ημ x Τριγωνομετρία - 7
Να αοδειχθεί ότι: α. Γ = Β + β. Β + Α = συν α γ. Α + Β = Γ 4. Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx = ημ 7 ii. ημx = ημ70 0 iii. συνx = συν 5 iv. συνx = συν5 0 v. εφx = εφ 0 vi. εφx = εφ4 ο vii. σφx = σφ viii. σφx = σφ88 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx = 0 ii. ημx = iii. ημx = iv. συνx = 0 v. συνx = vi. συνx = vii. εφx = 0 viii. εφx = ix. εφx = x. σφx = 0 xi. σφx = xii. σφx =. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx = ii. ημx = iv. συνx = vii. εφx = v. συνx = iii. ημx = vi. συνx = viii. εφx = ix. εφx = x. σφx = xi. σφx = xii. σφx = Τριγωνομετρία - 8
4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx = ii. συνx = iii. εφx = iv. σφx = v. ημx = vii. εφx = vi. συνx = viii. σφx = ix. ημx = ημ 0 x. συνx = συν 5 xi. εφx = εφ55 0 xii. σφx = σφ7 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx = 0 ii. ημx + = 0 iii. συνx + = 0 iv. 6συνx = 0 v. εφx = 0 vi. 6 σφx + 8 = 0 vii. ημx ημ 9 = 0 viii. συνx συν 7 = 0 ix. εφx + εφ 8 = 0 x. σφx + σφ 9 = 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx ( συνx ) = 0 ii. συνx (ημx ) = 0 iii. εφx ( σφx + ) = 0 iv. σφx (εφx ) = 0 v. ( ημx) ( + συνx) = 0 vi. (εφx + ) (σφx + ) = 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ x + = ημ x + ii. ημ( x) = ημ x 5 0 4 iii. συνx = συν x iv. συν x + = συν x 6 iii. εφ x + εφ x = 0 4 6 iv. σφ(x + 0 0 ) σφx = 0 Τριγωνομετρία - 9
8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx = συνx ii. εφx = σφx iii. ημx = συν x iv. συνx = ημ x + 4 v. εφ( + x) = σφ x vi. σφ x εφ x + = 0 4 5 0 vii. ημ x = συν x viii. συν x = ημ x 4 4 4 ix. εφ x = σφ x x. σφ x + εφ x + = 0 6 4 8 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ x = ημx ii. ημ x ημ x = 0 iii. συνx συν x = 0 iv. συν x = συνx v. εφ x εφx = 0 vi. σφx σφ x = 0 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ x = ii. ημ (x) 4 = 0 iii. συν x = 0 iv. 4συν x = v. εφ x = 0 vi. x σφ ( ) = 0 vii. 8ημ x + = 0 viii. 9σφ 4 x = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx συνx = συνx ημx ii. ημx + ημx συνx = + ημx iii. ημ x συν x = 0 iv. εφx εφ x σφx + = 0 v. ( ημx) + ημx = 0 iv. σφ 4 x + σφx = 0 Τριγωνομετρία - 0
. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημ x ημx + = 0 ii. ημ x + ημx = 0 iii. 4συν x 4συνx + = 0 iv. συν x συνx = 0 4 + v. ημ x ημx + = 0 vi. συν x vii. 4συν x ( + )συνx + = 0 συνx + = 0 viii. εφ x ( )εφx = 0 ix. σφ x 4 σφx + = 0. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. συν x 0 ημ x + = 0 ii. 5συν x ημ x 5 = 0 iii. ημ x + = συνx iv. ημ x + 6 6συνx = 0 v. 4συνx συν x = ημ x vi. συνx = ημ x 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. ημx = συνx ii. ημx + συνx = 0 iii. ημ x + συν x = 0 iv. ημx = συνx 4 4 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. σφx = συνx ii. εφx = ημx iii. εφx συνx + = 0 iv. ημx = εφx συνx συνx εφ x v. εφ x + = vi. σφ x ημx συνx = 0 συνx 6. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. εφx = iii. εφ x, x [0, ] ii. συνx + = 0, x (, ) 5 =, x (, ] iv. ημ(x) = 0, x [, ] Τριγωνομετρία -
7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. συνx ( + εφ x ) εφx = συνx ii. εφ x = 4συν x iii. = εφx iv. = εφx συν x συν x 8. Να βρείτε για οιες τιμές του x, καθεμιά αό τις εόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για οιες την ελάχιστη τιμή της. i. f(x) = ημ x, 0 x 6 x ii. f(x) = 4συν +, 0 x 4 iii. f(x) = + συν( x ), - x Τριγωνομετρία -