Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη µηδενικό διάνυσµα v µε πραγµατικά ή µιγαδικά στοιχεία τέτοιο ώστε Av λv Το µη µηδενικό διάνυσµα v καλείται ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Έστω 6 A παρατηρώ ότι λ είναι ιδιοτιµή του πίνακα Α και το 6 4 A οπότε το το αντίστοιχο ιδιονιάνυσµα 6 Επίσης A 4 οπότε το 8 λ 4 είναι ιδιοτιµή του πίνακα Α και το το αντίστοιχο ιδιονιάνυσµα Έστω ένας πραγµατικός πίνακας A τέτοιος ώστε [ ] A [ ] [ ] A [ ] και [ ] [ ] A Να βρείτε τις ιδιοτιµές το χαρακτηριστικό πολυώνυµο και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A Επειδή A λ A λ ο πίνακας την ιδιοτιµή A έχει την ιδιοτιµή A λ και λ µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το [ ] λ [ ] µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα [ ] και την ιδιοτιµή λ Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ είναι ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν και µόνο εάν p( λ) det( AλΙ )

Κεφάλαιο 6 Το πολυώνυµο p(λ) ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο η παραπάνω εξίσωση χαρακτηριστική εξίσωση και οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός πίνακα χαρακτηριστικά µεγέθη Εάν a a Α τότε a a p( λ) det( A λ ) Ι a λ a a a a λ a a a a Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός πίνακα Α είναι ένα πολυώνυµο βαθµού p( λ) ( ) [ λ + b λ + + bλ+ b ] οπότε έχει στο σύνολο πραγµατικές και µιγαδικές ρίζες οπότε και ιδιοτιµές στο σύνολο πραγµατικές ή µιγαδικές ιδιοτιµές Οπότε ισχύει r p( λ) ( ) ( λλ ) ( λλ ) ( λ λ ) m m r r όπου λ λ λm οι m διακεκριµένες ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ιδιοτιµές του πίνακα µε πολλαπλότητα r r r m αντίστοιχα όπου ισχύει r + r + + r m Η πολλαπλότητα κάθε ρίζας του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ονοµάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της αντίστοιχης ιδιοτιµής Εάν λa+bi µία µιγαδική ιδιοτιµή τότε και η συζυγής της λa-bi είναι ιδιοτιµή του πίνακα Επίσης το ιδιοδιάνυσµα της µίας ιδιοτιµής είναι το διάνυσµα µε στοιχεία τα συζυγή στοιχεία του ιδιοδιανύσµατος της άλλης Το σύνολο των ιδιοτιµών ενός πίνακα λέγεται φάσµα του πίνακα και συµβολίζεται συνήθως µε σ(α) Εάν v είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε µία ιδιοτιµή ενός πίνακα Α τότε το κv για κάθε k πραγµατικό είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή του πίνακα Α Πράγµατι Av λv A( kv) λ( kv) Εάν v v είναι ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε µία ιδιοτιµή ενός πίνακα Α τότε το κv +µv για κάθε kµ πραγµατικούς είναι ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή του πίνακα Α Πράγµατι ( ) λ( ) ( ) ( ) Av λv A kv kv A( kv + µ v ) λ ( kv + µ v Av λ v A µ v λ µ v Για να βρούµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός πίνακα: ) λ Υπολογίζουµε τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου ( A I) det λ Για κάθε µία από αυτές λύνουµε το οµογενές σύστηµα ( A λi) v

Να βρεθούν τα χαρακτηριστικά µεγέθη του πίνακα A Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι το λ det ( Aλ I) λ λ+ Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες τις λ ιδιοτιµές του Α λ λ Θα βρούµε τώρα τα ιδιοδιανύσµατα Για λ λ έχουµε: A λi ( ) Το σύστηµα έχει λύση οπότε και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι v Για λ λ έχουµε: A I Το ( λ ) σύστηµα έχει λύση οπότε και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι v Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A ( A λi) λ det λ + λ ιδιοτιµές του Α λ i λ i Θα βρούµε τώρα τα ιδιοδιανύσµατα Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο έχει ρίζες τις

Κεφάλαιο 6 Για λ λ i έχουµε: ( λ ) λύση i οπότε i είναι v Για λ λ i A I i Το σύστηµα έχει i i i και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα έχουµε: ( λ ) A I i i Το σύστηµα έχει λύση i οπότε i i και οπότε το i αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι ίνεται ο πίνακας Α βρείτε τα ιδιοποσά του πίνακα Από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο που προκύπτει βρίσκουµε τις ιδιοτιµές: λ det( A λι ) λ ( λ) λ( λ ) λ( λ ) λ λ Για κάθε µια ιδιοτιµή λ λύνουµε τώρα το µε σύστηµα ( A λ I) γραµµοπράξεις και βρίσκουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα ως εξής: Για λ βρίσκουµε ότι οι µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος [ ] [ ] όπου R {} δίνουν το ιδιοδιάνυσµα [ ] Παρόµοια για λ οι λύσεις του δίνουν τη λύση από όπου παίρνουµε και τελικά το ιδιοδιάνυσµα [ ] 4

Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα ενώ για λ οι λύσεις του δίνουν τη λύση από όπου παίρνουµε και τελικά το ιδιοδιάνυσµα [ ] Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του A 5 Σύµφωνα µε τη θεωρία τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ λ det ( A λi) λ (5 λ) (( λ) ( ) ( ))(5 λ ) λ 5 λ ( 6 + 94)(5 ) ( 6 + 5)( 5) ( 5) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ Οπότε έχουµε δύο ιδιοτιµές την λ και τη διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας λ 5 Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( A I) 5 4 + 4 4 Οπότε το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής u u µ u Για λ 5τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος 5 ( A5 I) 5 5 5 αυθαίρετο 5

Κεφάλαιο 6 Οπότε τα ιδιοδιανύσµτα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής + και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα της ιδιοτιµής είναι τα Ιδιοχώροι Έστω λ ιδιοτιµή του πίνακα Α και έστω { : λ } E v Av v λ Το σύνολο αυτό είναι ένας υπόχωρός του (ο χώρος µε τα διανύσµατα µε µιγαδικά στοιχεία και καλείται ιδιόχωρος του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Η διάσταση dimε λ του ιδιοχώρου µίας ιδιοτιµής καλείται γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής και ισούται µε την µηδενικότητα του πίνακα Α-λΙ Η γεωµετρική πολλαπλότητα είναι µικρότερη ή ίση από την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής Επίσης ισχύουν: Τα ιδιοδιανύσµατα που παράγουν τον ιδιοχώρο µίας ιδιοτιµής είναι γραµµικά ανεξάρτητα µεταξύ τους Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία όπου λ λ λm οι m διακεκριµένες (διαφορετικές µεταξύ τους) ιδιοτιµές του πίνακα στις οποίες αντιστοιχούν v v vm ιδιοδιανύσµατα Τότε τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία τότε ο πίνακας έχει γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα εάν και µόνο εάν η γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής είναι ίση µε την αλγεβρική πολλαπλότητά της Για τον πίνακα A 5 είχαµε βρει Για λ τα ιδιοδιανύσµατα το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής µ 6

Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Για λ 5τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής + και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα της ιδιοτιµής είναι τα Οπότε για λ 5 E spa µε διάσταση Η γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής της ιδιοτιµής είναι όση και η αλγεβρική οπότε και τα τρία διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα Για τον B τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ det ( B λi) ( λ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµή διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( B I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή έχουµε ιδιοδιάνυσµα οπότε η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής είναι Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του 9 A 5 8 7 Σύµφωνα µε τη θεωρία τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ 9 5 λ 8 det ( A λi) 5 λ 8 ( λ) ( + λ ) 7λ 7λ Οπότε έχουµε την τριπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας λ Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος 7

Κεφάλαιο 6 9 ( A+ I) 6 8 6 αυθαί ρετο Οπότε τα ιδιοδιανύσµτα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιµή είναι της µορφής + και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα της ιδιοτιµής είναι τα Άρα η ιδιοτιµή έχει γεωµετρική πολλαπλότητα Ιδιότητες ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός πίνακα Α οπότε ισχύει και η ορίζουσα του πίνακα p( λ) ( ) [ λ + b λ + + bλ+ b ] p( λ) ( ) ( λλ ) ( λλ ) ( λλ ) rm r r m Οπότε εάν αντιστρέφεται det ( A) Επίσης σ(α)σ(α Τ ) det ( A) λ λ λ ( ) m b το δεν είναι ιδιοτιµή του πίνακα και ο πίνακας Εάν Α τριγωνικός τότε ιδιοτιµές είναι τα διαγώνια στοιχεία του Εάν Αvλv και Βvµv τότε το (Α+Β)v(λ+µ)v και (ΑΒ)v(λµ)v Έτσι συµπεραίνουµε Α vλ v και γενικεύοντας όταν λ ιδιοτιµή του Α τότε λ m ιδιοτιµή του Α m Επίσης εάν λv χαρακτηριστικά ποσά του Α τότε λ - v χαρακτηριστικά ποσά του πίνακα Α - Στο παράδειγµά µας όπου έχουµε πραγµατικό πίνακα A τέτοιος ώστε [ ] A [ ] [ ] A [ ] και [ ] [ ] Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του ( A I) ( )( )( ) A είναι det ( ) 6 λ λ λ λ+ λ +λ + λ A εν υπάρχει ο ( A) A διότι det λλ λ 8

Οι ιδιοτιµές του 8 8 8 Α είναι λ ( ) 8 8 8 λ και λ 56 Οµοιότητα πινάκων διαγωνοποίηση Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα ύο πίνακες ΑΒ καλούνται όµοιοι εάν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ΒP - AP Ισοδύναµος ορισµός είναι εάν ισχύει PΒAP Φυσικά για τον QP - θα ισχύει BQQA 4 Έστω A B και P 5 4 Ισχύει PB 5 και AP 6 5 4 Έστω A 8 D και P 7 5 7 Ισχύει PA 4 6 5 4 8 5 7 7 6 4 και 4 4 DP 5 7 6 4 Εάν δύο πίνακες ΑΒ καλούνται όµοιοι τότε έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο οπότε και τις ίδιες ιδιοτιµές Ένας πίνακας Α καλείται διαγωνοποιήσιµος εάν υπάρχει διαγώνιος πίνακας D όµοιος µε τον Α ηλαδή υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P ώστε DP - AP Ένας πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος εάν και µόνο εάν έχει γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα ηλαδή είναι διαγωνoποιήσιµος εάν και µόνο εάν η γεωµετρική πολλαπλότητα της κάθε ιδιοτιµής είναι ίση µε την αλγεβρική πολλαπλότητά της 9

Κεφάλαιο 6 Εάν λ λ λ οι ιδιοτιµές και v v v τα αντίστοιχα γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα τότε: λ λ D λ λ και ο πίνακας P έχει ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα P v v v [ ] και ισχύει DP - AP Ένας πίνακας Α µε διακεκριµένες ιδιοτιµές είναι διαγωνοποιήσιµος Εφόσον ισχύει DP - AP ισχύει και ΑPDP - οπότε και ( ) k k k A PDP PDP PDP PDP PD P κ φορές Στο γνωστό παράδειγµά µας όπου έχουµε πραγµατικό πίνακα A τέτοιος ώστε [ ] A [ ] [ ] A [ ] και [ ] [ ] A Επειδή οι ιδιοτιµές είναι διακεκριµένες (δηλαδή όλες διαφορετικές) ο πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιµος Ο δε πίνακας P µε στήλες τα ιδιοδιανύσµατα δηλαδή P είναι αντιστρέψιµος διότι τα ιδιοδιανύσµατα είναι γραµµικά ανεξάρτητα αφού αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές Υπολογίζουµε τον P AP P και επαληθεύουµε την ισότητα

Από τη σχέση P AP A P P 5 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Για τον B έχουµε δείξει ότι έχει διοτιµή λ διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας µε γεωµετρική πολλαπλότητα Οπότε ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται 9 Για τον A 5 8 έχουµε την τριπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας λ 7 µε γεωµετρική πολλαπλότητα Συµπέρασµα δεν διαγωνοποιείται Για τον πίνακα A 5 είχαµε βρει: Για την µονής αλγεβρικής πολλαπλότητας ιδιοτιµή λ που αντιστοιχεί ιδιοδιάνυσµα της µορφής µ Για την διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας ιδιοτιµή λ 5τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν είναι της µορφής + οπότε ο ιδιοχώρος της συγκεκριµένης ιδιοτιµής είναι ο E spa έχει διάσταση Άρα η γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής της ιδιοτιµής είναι όση και η αλγεβρική οπότε και τα τρία διανύσµατα είναι γραµµικώς ανεξάρτητα Συµπεραίνουµε

Κεφάλαιο 6 λοιπόν ότι ο πίνακας διαγωνοποιείται και P D 5 5 Μπορούµε να το πιστοποιήσουµε χωρίς να βρούµε τον αντίστροφο αφού 5 5 AP 5 PD 5 5 5 5 5 5 Έστω ο πραγµατικός πίνακας A υπολογίστε τον Α 4 Σε προηγούµενο παράδειγµα είχαµε δει ότι ο πίνακας έχει δύο διαφορετικές ιδιοτιµές ( λ λ µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα v και λ λ µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα είναι v ) Επειδή ο Α είναι ένας πίνακας που έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές ο Α διαγωνοποιείται Έστω P (οι στήλες του Ρ είναι ιδιοδιανύσµατα του Α) Τότε Ρ - ΑΡ A PDP + + 4 4 4 A P P 4 4 5 5 Θεώρηµα Cayley-Hamilto Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία τότε ικανοποιεί το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο: Από αυτό το θεώρηµα όταν οπότε και det ( A) τον αντίστροφο του Α pa ( ) ( ) [ A+ b A + + ba+ bi] b δηλαδή το µηδέν δεν είναι ιδιοτιµή του πίνακα τότε ο αφού ο πίνακας αντιστρέφεται µπορούµε να βρούµε

Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα ( ) [ A + b A + + b A+ b I] b I A b A ba Έστω ο πραγµατικός πίνακας Α πολυώνυµο του A ( ) A A b A b AbI b Εκφράστε τον πίνακα A ως Λύση Τα χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι p( λ ) λ + λ +λ Αφού ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύµου δεν είναι µηδέν το δεν είναι ιδιοτιµή του πίνακα οπότε ο Α είναι αντιστρέψιµος (αφού το γινόµενο των ιδιοτιµών ισούται µε την ορίζουσα του πίνακα) Από το Θεώρηµα Cayley Hamilto έχουµε A + A + A I και πολλαπλασιάζοντας µε τον A παίρνουµε A ( A + A+ I) Με ανάλογο τρόπο πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω µε Α - παίρνουµε A ( A+ I + A ) Άρα ( 5 A A+ I + A + A+ I) A + I 4 4 Να βρεθεί ο αντίστροφος των πινάκων A και Caley-Hamilto A 4 λ A I 4 λ α) det ( λ ) λ 5λ P ( λ) B µε τη χρήση του θεωρήµατος B 4 Αφού ο σταθερός όρος δεν είναι µηδέν το δεν είναι ιδιοτιµή του Α οπότε ο Α είναι αντιστρέψιµος Τότε P A A 5A I A A 5I I β) ( ) ( ) A ( A 5I) 5 4

Κεφάλαιο 6 λ ( B λi) λ ( λ)( λ λ ) + ( + + λ) det 6 4 4 4 λ + + + 6 P ( ) λ λ λ λ Αφού ο σταθερός όρος δεν είναι µηδέν το δεν είναι ιδιοτιµή του Β οπότε ο Β είναι αντιστρέψιµος Άρα P B B + B + B+ 6I B B + B+ I 6I ( ) ( ) ( + + ) ( ) 6 6 6 4 4 4 9 8 6 5 4 6 9 6 6 6 8 9 6 6 B B B I B B I Για το παράδειγµα που είχαµε δει µε A 6 A Είχαµε δει ότι ( A λi) λ det + λ λ A Εφαρµόζοντας το θεώρηµα Cayley-Hamilto έχουµε οπότε Άλλος τρόπος : Αν ( ) P A A + I A I ( ) ( ) ( ) ( ) 6 να υπολογισθεί ο πίνακας A A A A I I I+ I i i P έχουµε i P AP D i 4

Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Άρα 6 6 i i A P D P i i i i και i i i i i i i i A P D P i i Τότε A 6 A Ασκήσεις: Έστω f : R R µια γραµµική απεικόνιση µε τύπο f ([ y z] ) [ + y z + 4y 4z 4y + 4z] α) Να βρεθεί ο πίνακας Α της f ως προς τη συνήθη βάση e ( e [ ] e [ ] e [ ] ) Και να βρεθούν τα χαρακτηριστικά του µεγέθη β) είξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και βρείτε µια διαγωνοποίησή του Στη συνέχεια βρείτε έναν τύπο για τον πίνακα Λύση: f ([ ] ) e+ e e ([ ] ) 4 4 + 4 4 f e e e A f ([] ) 4 e + 4e 4e 4 Άρα ο πίνακας Α ισούται µε 4 4 4 4 και Θα βρούµε πρώτα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα αυτού λ Έχουµε p λ A λi λ λ λ ( ) det( ) 4 4 ( 9) 4 4λ το και το 9 Ιδιοτιµές είναι λοιπόν 5

Κεφάλαιο 6 Ιδιοδιανύσµατα για το : (A- Ι) ή Α + y z 4 4 y + 4y 4z 4 4 z 4y+ 4z y+ z y y y z + z z Ιδιοδιανύσµατα για το 9: (A-9 Ι) 8 8+ y z 5 4 y 5y 4z 4 5 z 4y 5z 8+ y z 8 4z z 5y 4z z y 9y 9z y z y + z Άρα Άρα y z Β) Θεωρούµε τον πίνακα P που έχει στήλες τα ιδιοδιανύσµατα και Τότε P /9 5/9 4/9 /9 4/9 5/9 Άρα /9 /9 /9 A P P πράξεις 9 4 4 9 4 4 πράξεις ίνεται ο πίνακας A (α) Να βρείτε έναν πίνακα Ρ τέτοιον ώστε ο Ρ - ΑΡ να είναι διαγώνιος (β) Να υπολογίσετε τον πίνακα A Λύση: (α) Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α 6

Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα λ p(λ) det( A I) ( )( ) λ λ λ + λ λ λ λ + λ Οι ιδιοτιµές του είναι διακεκριµένες και συνεπώς ο πίνακας διαγωνιοποιείται Ιδιοδιανύσµατα: λ + y z y + y y y z + y z 4 Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή είναι της µορφής λ 4 z z + y z y y z z + y z Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή είναι της µορφής λ- z z y z z y + y y z z + y+ z Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή είναι της µορφής z z 4 Σχηµατίζουµε από τα ιδιοδιανύσµατα τον πίνακα Ρ z z Τότε P 7

Κεφάλαιο 6 Επαληθεύουµε ότι 4 (β) Εποµένως ( ) D ( P AP) P A P A P P 4 A Έστω ο πραγµατικός πίνακας A (α) Εξετάστε αν ο πίνακας Α διαγωνοποιείται Αν ναι να βρεθεί ένας πίνακας Ρ τέτοιος ώστε ο Ρ - ΑΡ να είναι διαγώνιος (β) Να βρεθεί τα χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α και να υπολογίστε τον πίνακα A Λύση: α) Υπολογίζοντας την ορίζουσα det(a λi) βρίσκουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο p( λ ) λ Οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του συνεπώς λ λ Επειδή ο Α είναι ένας πίνακας που έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές ο Α διαγωνοποιείται Τα ιδιοδιανύσµατα είναι οι λύσεις των αντίστοιχων συστηµάτων της µορφής AλI που µετά από γραµµοπράξεις δίνουν για ( ) λ το ιδιοδιάνυσµα {[ a a] / a R {}} και για λ το { [ a a] / a R {}} Έστω ο πίνακας P οι στήλες του P είναι τα ιδιοδιανύσµατα του Α Κάνοντας τις πράξεις έχουµε ότι ο πίνακας P AP είναι πράγµατι διαγώνιος β) Από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο που υπολογίσθηκε στο α) ερώτηµα και το Θεώρηµα Cayley-Hamilto έχουµε A I A I Πολλαπλασιάζοντας µε Α την τελευταία σχέση επανειληµµένα µε Α έχουµε 4 5 6 A I A A A A I A A A A I 8

Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα κλπ Από εδώ παρατηρούµε (εύκολα αποδεικνύεται µε επαγωγή) ότι για A όταν k+ k ισχύει A I όταν k k 4 ίνονται οι πίνακες A και B είξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και εκτελέστε την διαγωνοποίησή του είξτε ότι ο πίνακας Β δεν διαγωνοποιείται Να υπολογιστεί ο A και µε βάση το αποτέλεσµα αυτό να υπολογίστε το 4 I + A+ A + + A Λύση Σύµφωνα µε τη θεωρία έχουµε: Για τον Α τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ p( λ) det( A λi) ( λ+ )( λ ) + ( λ+ )( λ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµές και - (Σηµείωση: Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός θα µπορούσαµε να πούµε άµεσα ότι οι ιδιοτιµές του είναι τα διαγώνια στοιχεία) Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( A I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ µ Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος ( A + I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή - έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ µ Η ορίζουσα του πίνακα είναι διαφορετική από το µηδέν (-/) οπότε οι στήλες του είναι γραµµικώς ανεξάρτητα διανύσµατα Η διαγωνοποίηση του A επιτυγχάνεται µε τους πίνακες P D P όπου P AP D Για τον B τo χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα είναι λ det( B λi) ( λ)( λ ) + ( λ ) λ Οπότε έχουµε ιδιοτιµή διπλή Για λ τα ιδιοδιανύσµατα προκύπτουν από την λύση του συστήµατος 9

Κεφάλαιο 6 ( B I) και το παίρνει αυθαίρετες τιµές οπότε για την ιδιοτιµή έχουµε ιδιοδιάνυσµα µ οπότε ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται δεν διαγωνοποιείται γιατί η διάσταση του ιδιοχώρου της διπλής ιδιοτιµής είναι Έχουµε ότι A PDP A PD P k όπου ( ) D οπότε για άρτιο D I και για περιττό D D Συνεπώς Για άρτιο A PIP I Για περιττό A PDP A Οπότε 4 I + A+ A + + A A+ I + I + + 6 5 Σηµείωση Για τον υπολογισµό του A µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και τον εξής συλλογισµό Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του Α είναι το λ Από το Θεώρηµα των Cayley-Hamilto έχουµε A I δηλαδή A ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνοµο διδακτικό υλικό βασίζεται στο σύγγραµµα που διανέµεται και στην προτεινόµενη βιβλιογραφία του µαθήµατος Το περιεχόµενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραµµα των παραδόσεων του µαθήµατος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του µαθήµατος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να µη χρησιµοποιηθεί και να µην αναπαραχθεί και διανεµηθεί για άλλο σκοπό