Πλαγιογώνια Συςτήματα Συντεταγμζνων Γιϊργοσ Καςαπίδθσ

Σχετικά έγγραφα
Η γραφικι παράςταςθ τθσ ςυνάρτθςθσ f(x)=αx+β είναι μια ευκεία με εξίςωςθ y=αx+β θ οποία τζμνει τον άξονα των y ςτο ςθμείο Β(0,β) και ζχει κλίςθ λ=α.

ΦΥΕ 14 ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ Η ΕΡΓΑΣΙΑ. Ημερομηνία παράδοςησ: 12 Νοεμβρίου (Όλεσ οι αςκιςεισ βακμολογοφνται ιςοτίμωσ με 10 μονάδεσ θ κάκε μία)

ΑΝΣΙΣΡΟΦΗ ΤΝΑΡΣΗΗ. f y x y f A αντιςτοιχίηεται ςτο μοναδικό x A για το οποίο. Παρατθριςεισ Ιδιότθτεσ τθσ αντίςτροφθσ ςυνάρτθςθσ 1. Η. f A τθσ f.

1. Αν θ ςυνάρτθςθ είναι ΠΟΛΤΩΝΤΜΙΚΗ τότε το πεδίο οριςμοφ είναι το διότι για κάκε x θ f(x) δίνει πραγματικό αρικμό.

Αν η ςυνάρτηςη ƒ είναι ςυνεχήσ ςτο να προςδιορίςετε το α.

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ Αςκήςεισ 11 ησ Ενότητασ

ΘΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι

lim x και lim f(β) f(β). (β > 0)

Η αυτεπαγωγή ενός δακτυλίου

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

8 τριγωνομετρία. βαςικζσ ζννοιεσ. γ ςφω. εφω και γ. κεφάλαιο

Θεςιακά ςυςτιματα αρίκμθςθσ

ΔΙΠΛΨΜΑΣΙΚΗ ΕΡΓΑΙΑ. Η πποβολική τυή σηρ μεσπικήρ ςσιρ κλαςςικέρ γεωμεσπίερ. και διδακσικέρ πποεκσάςειρ ΚΨΣΑ ΓΕΨΡΓΙΟ

ΕΡΓΑΣΗΡΙΑΚΗ ΑΚΗΗ ΜΕΛΕΣΗ ΣΗ ΚΙΝΗΗ ΩΜΑΣΟ Ε ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ - ΜΕΣΡΗΗ ΣΟΤ ΤΝΣΕΛΕΣΗ ΣΡΙΒΗ ΟΛΙΘΗΗ

Δείκτεσ Διαχείριςθ Μνιμθσ. Βαγγζλθσ Οικονόμου Διάλεξθ 8

ςυςτιματα γραμμικϊν εξιςϊςεων

ΚΤΚΛΩΜΑ RLC Ε ΕΙΡΑ (Απόκριςη ςε ημιτονοειδή είςοδο)

Το Ρολφεδρο. Ζδρεσ: ΑΗΘΔ, ΗΘΚΕ, ΕΚΓΒ, ΔΓΚΘ, ΑΒΓΔ. Κορυφζσ: Α, Β, Γ, Δ, Ε,Η Θ, Κ. Διαγϊνιοσ: ΑΚ. Ακμζσ: ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΑΔ,.

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνεσ δφο ςυηυγϊν μιγαδικϊν είναι ςθμεία ςυμμετρικά ωσ προσ τον πραγματικό άξονα

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Άπειρεσ κροφςεισ. Τθ χρονικι ςτιγμι. t, ο δακτφλιοσ ςυγκροφεται με τον τοίχο με ταχφτθτα (κζντρου μάηασ) μζτρου

Πόςο εκτατό μπορεί να είναι ζνα μη εκτατό νήμα και πόςο φυςικό. μπορεί να είναι ζνα μηχανικό ςτερεό. Συνιςταμζνη δφναμη versus «κατανεμημζνησ» δφναμησ

Δομζσ Αφαιρετικότθτα ςτα Δεδομζνα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Γυμνασίου

Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη

ΜΑ032: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Εαρινό εξάμηνο , Διδάςκων: Γιώργοσ Γεωργίου ΕΝΔΙΑΜΕΗ ΕΞΕΣΑΗ, 21 Μαρτίου, 2012 Διάρκεια: 2 ώρεσ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium V

Παράςταςη ςυμπλήρωμα ωσ προσ 1

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Λαμβάνοντασ υπόψη ότι κατά την πρόςθεςη δφο δυαδικϊν ψηφίων ιςχφει: Κρατοφμενο

Τάξη Β. Φυςικθ Γενικθσ Παιδείασ. Τράπεζα ιεμάτων Κεφ.1 ο ΘΕΜΑ Δ. Για όλεσ τισ αςκθςεισ δίνεται η ηλεκτρικθ ςταιερά

Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση

ΝΟΕΜΒΡΙΟ Ημερομηνία: 12/11/2016 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00

Ενδεικτικζσ Λφςεισ Θεμάτων

ΑΝΩΣΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ. Διαφορικόσ και Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ Δφο ή Περιςςοτζρων Μεταβλητϊν

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Η θεωρία τησ ςτατιςτικήσ ςε ερωτήςεισ-απαντήςεισ Μέροσ 1 ον (έωσ ομαδοποίηςη δεδομένων)

ΑΔΡΑΝΕΙΑ ΜΑΘΗΣΕ: ΜΑΡΙΑΝΝΑ ΠΑΡΑΘΤΡΑ ΑΝΑΣΑΗ ΠΟΤΛΙΟ ΠΑΝΑΓΙΩΣΗ ΠΡΟΔΡΟΜΟΤ ΑΝΑΣΑΙΑ ΠΟΛΤΧΡΟΝΙΑΔΟΤ ΙΩΑΝΝΑ ΠΕΝΓΚΟΤ

Παράςταςη ακεραίων ςτο ςυςτημα ςυμπλήρωμα ωσ προσ 2

Οδηγίεσ προσ τουσ εκπαιδευτικοφσ για το μοντζλο του Άβακα

ΑΝΩΣΑΣΟ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΙΔΡΤΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΤ ΣΟΜΕΑ ΧΟΛΗ ΣΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΤΣΟΜΑΣΙΜΟΤ Σ.Ε.

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Δυναμική σε μι α δια στασή και στο επι πεδο

Η άςκθςθ αποτελεί τροποποιθμζνθ εκδοχι του κζματοσ φυςικισ, τθσ Ευρωπαϊκισ Ολυμπιάδασ Φυςικών Επιςτθμών 2009_επιμζλεια κζματοσ: Κώςτασ Παπαμιχάλθσ

x n D 2 ENCODER m - σε n (m 2 n ) x 1 Παραδείγματα κωδικοποιθτϊν είναι ο κωδικοποιθτισ οκταδικοφ ςε δυαδικό και ο κωδικοποιθτισ BCD ςε δυαδικό.

Modellus 4.01 Συ ντομοσ Οδηγο σ

ΕΡΓΑΣΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΝΟΜΟΙ ΚΙΝΗΗ ΠΛΑΝΗΣΩΝ ΣΟΤ ΚΕΠΛΕΡ

ΧΗΥΙΑΚΟ ΔΚΠΑΙΔΔΤΣΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΥΤΙΚΗ ΘΔΣΙΚΗ ΚΑΙ ΣΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΘΔΜΑ Β

Σο θλεκτρικό κφκλωμα

Προχωρθμζνα Θζματα Συςτθμάτων Ελζγχου

Δυναμικι Μθχανϊν I. Διάλεξθ 16. Χειμερινό Εξάμθνο 2013 Τμιμα Μθχανολόγων Μθχ., ΕΜΠ

Τεχνικζσ Ανάλυςησ Διοικητικών Αποφάςεων

HY437 Αλγόριθμοι CAD

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΟ (Β - Γ Λυκείου)

ΗΥ101: Ειςαγωγι ςτθν Πλθροφορικι

Αςκήςεισ. Ενότητα 1. Πηγζσ τάςησ, ρεφματοσ και αντιςτάςεισ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

Η ίδια κατά μζτρο δφναμθ όταν εφαρμοςκεί ςε διαφορετικά ςθμεία τθσ πόρτασ προκαλεί διαφορετικά αποτελζςματα Ροιά;

ΚΩΝΣΑΝΣΙΝΟ ΑΛ. ΝΑΚΟ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΟ M.Sc ΧΟΛΙΚΟ ΤΜΒΟΤΛΟ Πτυχ. ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

Διαγώνισμα Φυσική ς Α Λυκει ου Έργο και Ενε ργεια

Απάντηση ΘΕΜΑ1 ΘΕΜΑ2. t=t 1 +T/2. t=t 1 +3T/4. t=t 1 +T ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ-ΚΥΜΑΤΑ 1) (Β), 2. (Γ), 3. (Γ), 4. (Γ), 5. (Δ).

Δείκτεσ απόδοςθσ υλικών

ΧΕΔΙΑΜΟ ΠΡΟΪΟΝΣΩΝ ΜΕ Η/Τ

Ερωτιςεισ & απαντιςεισ για τα ξφλινα πνευςτά

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΘΕΡΜΟΔΤΝΑΜΙΚΗ IΙ. Ενότθτα 4: Χθμικζσ αντιδράςεισ αερίων τακερά Χθμικισ Ιςορροπίασ Πρότυπθ Ελεφκερθ Ενζργεια

Μθχανολογικό Σχζδιο, από τθ κεωρία ςτο πρακτζο Χριςτοσ Καμποφρθσ, Κων/νοσ Βαταβάλθσ

ΒΙΟΛΟΓΟΙ ΓΙΑ ΦΥΣΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΓΕΝΙΚΗ ( ΑΠΟ ΘΕΜΑΣΑ ΛΤΚΕΙΩΝ ) ΕΡΩΣΗΕΙ ΩΣΟΤ ΛΑΘΟΤ ΑΝΑΛΤΗ

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

ΕΙΣΗΓΗΣΗ. Από τον Γιώργο Σ. Ταςςόπουλο. Επίτιμο Σχολικό Σφμβουλο Μαθηματικών. ΘΕΜΑ: Η Μαθηματική Λογική ωσ εργαλείο ζκφραςησ και κατανόηςησ

Εργαστηριακή άσκηση στο μάθημα του Αυτομάτου Ελέγχου (ΜΜ803)

Ενδεικτική Οργάνωςη Ενοτήτων. Α Σάξη. Διδ. 1 ΕΝΟΣΗΣΑ 1. 6 Ομαδοποίθςθ, Μοτίβα,

ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΘ Ι. Ενότθτα 7: Θεωριματα και ςχζςεισ μερικϊν παραγϊγων Σχζςεισ Maxwell Θερμοδυναμικζσ Καταςτατικζσ Εξιςϊςεισ

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

Διδάςκων: Κακθγθτισ Αλζξανδροσ Ριγασ υνεπικουρία: πφρογλου Ιωάννθσ

Slide 1. Εισαγωγή στη ψυχρομετρία

ΠΡΟΦΟΡΑ ΖΗΣΗΗ ΚΡΑΣΘΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΗ

Ανάλυςη κλειςτϊν δικτφων

ΕΝΟΣΗΣΑ 1: ΓΝΩΡIΖΩ ΣΟΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Εργονομία

HY437 Αλγόριθμοι CAD

Εργαςτιριο Βάςεων Δεδομζνων

Διαγώνισμα Χημείας Γ Λυκείου στα Κεφάλαια 1-4

Μετατροπεσ Παραςταςεων

Σχεδίαςη Σφγχρονων Ακολουθιακών Κυκλωμάτων

17. Πολυδιάςτατοι πίνακεσ

ΛΕΙΣΟΤΡΓΙΚΆ ΤΣΉΜΑΣΑ. 7 θ Διάλεξθ Διαχείριςθ Μνιμθσ Μζροσ Γ

Γράφοι. Δομζσ Δεδομζνων Διάλεξθ 9

ΘΕΜΟΔΥΝΑΜΙΚΗ IΙ. Ενότθτα 1: Μερικζσ Γραμμομοριακζσ Ιδιότθτεσ. Σογομϊν Μπογοςιάν Ρολυτεχνικι Σχολι Τμιμα Χθμικϊν Μθχανικϊν

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

ΓΕΦΤΡΟΠΟΙΪΑ: ΜΟΝΙΜΑ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΑ ΦΟΡΣΙΑ. ΔΙΟΝΥΣΙΟΣ Ε. ΜΠΙΣΚΙΝΗΣ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τ.Ε. Τ.Ε.Ι. Δυτικής Ελλάδας

Ένα πρόβλθμα γραμμικοφ προγραμματιςμοφ βρίςκεται ςτθν κανονικι μορφι όταν:

δ) Αf=R-{ 2}=(-,-2)U(-2,2)U(2,+ ). f (x) f(x) ε) Αf=R- 3 =(-,- 3 )U(- 3, 3 )U( 3,+ ).

Σχέσεις δύο μεταβλητών - Συναρτήσεις

Πανελλαδικε σ Εξετα ςεισ Γ Τα ξησ Ημερη ςιου και Δ Τα ξησ Εςπερινου Γενικου Λυκει ου

Κλαςικι Ηλεκτροδυναμικι

ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Το γραφικό περιβάλλον Επικοινωνίασ (Γ.Π.Ε)

ΕΛΑΣΘΚΟΣΗΣΑ ΖΗΣΗΗ ΚΑΘ ΠΡΟΦΟΡΑ

Ειςαγωγή ςτη μοντελοποίηςη και προςομοίωςη με τη χρήςη του λογιςμικού Interactive Physics [Οδηγόσ Γρήγορησ Εκκίνηςησ]

Transcript:

Πρόλογοσ το άρκρο αυτό κα δοφμε πωσ διαμορφϊνονται κάποιεσ ζννοιεσ όπωσ το εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων, οι ςυνκικεσ κακετότθτασ και παραλλθλίασ διανυςμάτων και ευκειϊν, ο ςυντελεςτισ διευκφνςεωσ διανφςματοσ και ευκείασ, όταν οι ςχετικζσ ζννοιεσ είναι εκφραςμζνεσ όχι ωσ προσ ζνα ορκοκανονικό, αλλά ωσ προσ ζνα πλαγιογϊνιο ςφςτθμα ςυντεταγμζνων. Ειδικότερα κα μελετθκοφν δυο διαφορετικά αλλά ςτενά ςυνδεδεμζνα ςυςτιματα ςυντεταγμζνων, οι ανταλλοίωτεσ και οι ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ ωσ προσ ζνα πλαγιογϊνιο ςφςτθμα. Ωσ μια απλι εφαρμογι των ιδεϊν που κα αναπτυχκοφν ςτο άρκρο, κα δοκεί και μια ερμθνεία του επονομαηόμενου πλζον κεωριματοσ του Κοφτρα. Γιώργοσ Καςαπίδησ Δράμα 1/1/2019 1

Συντεταγμζνεσ ωσ προσ ζνα πλαγιογώνιο ςφςτημα ςυντεταγμζνων το επίπεδο κεωροφμε ζνα (πλαγιογϊνιο) ςφςτθμα ςυντεταγμζνων xoy. χιμα 1 Αν Γ είναι ζνα ςθμείο του επιπζδου, τότε θ κζςθ του ωσ προσ το ςφςτθμα xoy μπορεί να κακοριςτεί με πολλοφσ τρόπουσ. υνικωσ όμωσ κάνουμε χριςθ δυο ςυγκεκριμζνων τρόπων, οι οποίοι και καταλιγουν ςτον οριςμό δυο διαφορετικϊν ςυςτθμάτων ςυντεταγμζνων τα οποία ςχετίηονται ςτενά. Α. Ανταλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ Ζςτω το διάνυςμα με αρχι το ςθμείο Ο (αρχι ςυςτιματοσ ςυντεταγμζνων) και πζρασ το ςθμείο Γ. Ζςτω επίςθσ τα μοναδιαία διανφςματα των αξόνων. Από το ςθμείο Γ φζρνουμε παράλληλεσ προσ τουσ άξονεσ ςυντεταγμζνων. χιμα 2 2

Αν θ παράλλθλθ προσ τον άξονα y, τζμνει τον άξονα x, ςτο ςθμείο με τετμθμζνθ x 1, ενϊ θ παράλλθλθ προσ τον άξονα x τζμνει τον y-άξονα ςτο ςθμείο με ζνδειξθ y 1, τότε το ηεφγοσ των πραγματικϊν αρικμϊν (x 1,y 1 ) λζμε ότι είναι οι ανταλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ του διανφςματοσ. Ιςχφει θ ςχζςθ. (1) τθν περίπτωςθ αυτι λζμε επίςθσ ότι το ςθμείο Γ ζχει ανταλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ (x 1,y 1 ) και γράφουμε Γ(x 1,y 1 ). Β. Συναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ Από το ςθμείο Γ φζρνουμε κάθετεσ πάνω ςτουσ άξονεσ του ςυςτιματοσ ςυντεταγμζνων. χιμα 3 Αν θ κάκετθ από το Γ προσ τον χ-άξονα τον τζμνει ςτο ςθμείο με τετμθμζνθ x 1, ενϊ θ κάκετθ προσ τον y-άξονα τον τζμνει ςτο ςθμείο με τετμθμζνθ y 1, τότε λζμε ότι το ηεφγοσ πραγματικϊν αρικμϊν (x 1,y 1 ) είναι οι ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ του διανφςματοσ κακϊσ και του ςθμείου Γ. υνικωσ το γεγονόσ αυτό το ςθμειϊνουμε και πάλι ωσ Γ(x 1,y 1 ). Ζνα εφλογο ερϊτθμα ςτθν περίπτωςθ αυτι είναι αν υφίςταται κάποια ςχζςθ ςαν τθν (1). Προφανϊσ ςτθν περίπτωςθ αυτι. Πωσ ςυνδζονται λοιπόν οι ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ του με το ίδιο το διάνυςμα; Η δυϊκή βάςη τησ { } Αναφορικά με τθν βάςθ { } του ςυςτιματοσ ςυντεταγμζνων, ορίηουμε ζνα νζο ςφςτθμα ςυντεταγμζνων x Oy του οποίου οι άξονεσ είναι κάκετοι πάνω ςτουσ άξονεσ του xoy και τα μοναδιαία διανφςματα των αξόνων { } ορίηονται μζςω των ςχζςεων όπου είναι το δ του Kronecker, και ιςοφται με 0 όταν i j ενϊ =1 όταν i=j. Σο ςφςτθμα των διανυςμάτων { } λζμε ότι αποτελεί τθν δυϊκι βάςθ τθσ { }. 3

χιμα 4 Ζτςι ςτο ςχιμα 4 ζχουμε,,,. Λόγω των δυο τελευταίων ςχζςεων, γενικά τα μοναδιαία διανφςματα των αξόνων των δυο ςυςτθμάτων δεν ζχουν γενικά το ίδιο μικοσ. (Ιςχφει ότι ). Μετρϊντασ όμωσ με βάςθ τα οριςκζντα διανφςματα του δυϊκοφ ςυςτιματοσ, οι ανταλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ του διανφςματοσ ωσ προσ τθν δυϊκι βάςθ είναι το ηεφγοσ (x 1,y 1 ) των ςυναλλοίωτων ςυντεταγμζνων ωσ προσ τθ βάςθ { }. Βεβαίωσ κα ιςχφει θ ςχζςθ (2). Παρατήρηςη 1: Θ ορολογία ανταλλοίωτεσ ι ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ ενόσ διανφςματοσ ζχει να κάνει με τον τρόπο όπου οι ςυντεταγμζνεσ αυτζσ μεταςχθματίηονται όταν τισ εκφράηουμε ωσ προσ ζνα άλλο κατάλλθλο ςφςτθμα ςυντεταγμζνων, και δεν κα μασ απαςχολιςει ςτο ςυγκεκριμζνο άρκρο. Οι ενδιαφερόμενοι μποροφν να ςυμβουλευτοφν οποιοδιποτε βιβλίο τανυςτικοφ λογιςμοφ για να μελετιςουν τισ λεπτομζρειεσ. το άρκρο αυτό επίςθσ δεν κα κάνουμε χριςθ του κλαςικοφ τρόπου ςυμβολιςμοφ ανταλλοίωτων και ςυναλλοίωτων ςυντεταγμζνων. Παρατήρηςη 2: Είναι φανερό ότι όταν το ςφςτθμα των αξόνων, είναι ορκογϊνιο (ω=90 0 ), τότε οι ανταλλοίωτεσ και οι ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ του ςθμείου Γ ταυτίηονται. και 4

Η ςχζςη μεταξφ ανταλλοίωτων και ςυναλλοίωτων ςυντεταγμζνων Θεωροφμε ζνα πλαγιογϊνιο ςφςτθμα ςυντεταγμζνων ςτο επίπεδο και ασ είναι ω θ γωνία που ςχθματίηουν οι άξονεσ του ςυςτιματοσ. (0 0 <ω<180 0 ). χιμα 5 Είναι πολφ εφκολο να δοφμε ότι x 1 -x 1 =y 1 ςυνω και y 1 -y 1 =x 1 ςυνω, οπότε κα ζχουμε τελικά x 1 =x 1 + y 1 ςυνω και y 1 = x 1 ςυνω+y 1 (3) Μποροφμε επίςθσ να βροφμε τθν παραπάνω ςχζςθ μζςω των ςχζςεων (1), (2) και του γεγονότοσ ότι Εςωτερικό γινόμενο διανυςμάτων τον διανυςματικό χϊρο Δ των διανυςμάτων του επιπζδου δοκζντων δυο διανυςμάτων και είναι γνωςτό ότι ορίηεται μεταξφ τουσ μια πράξθ που τθν αποκαλοφμε εςωτερικό γινόμενο μέσω της σχέσης σ θ όπο θ η γω ί τω δι σμάτω και. Θ πράξθ αυτι ωσ γνωςτόν ικανοποιεί τισ παρακάτω ιδιότθτεσ: 1. = 2. ( ) ( ) ( ), για λ R 3. ( γ ) γ 4., όπου θ ιςότθτα ιςχφει ακριβϊσ όταν. 5. Για τα μοναδιαία διανφςματα των αξόνων, ιςχφει,, σ ω. 5

Είναι γνωςτό ότι αν τα διανφςματα ζχουν ςυντεταγμζνεσ =(x 1,y 1 ), =(x 2,y 2 ) ωσ προσ ζνα ορκοκανονικό ςφςτθμα ςυντεταγμζνων, τότε το εςωτερικό τουσ γινόμενο δίνεται από τθν ςχζςθ =x 1 x 2 +y 1 y 2. Σι ςυμβαίνει όμωσ όταν το ςφςτθμα ςυντεταγμζνων δεν είναι ορκοκανονικό; Ζςτω λοιπόν ότι ωσ προσ το πλαγιογϊνιο ςφςτθμα ςυντεταγμζνων xoy του οποίου οι άξονεσ ςχθματίηουν γωνία ω, τα διανφςματα δίνονται μζςω των ανταλλοίωτων ςυντεταγμζνων τουσ από τισ ςχζςεισ =x 1 +y 1 και =x 2 +y 2. Σότε =( x 1 +y 1 ) ( x 2 +y 2 ). Με χριςθ των ιδιοτιτων 1-4 βρίςκουμε: =x 1 x 2 +(x 1 y 2 +y 1 x 2 ) +y 1 y 2 =x 1 x 2 +y 1 y 2 +(x 1 y 2 +y 1 x 2 )ςυνω (4) Ζχουμε δει ότι =x 1 x 2 +y 1 y 2 +(x 1 y 2 +y 1 x 2 )ςυνω. Απ τθν άλλθ κάνοντασ χριςθ των ςχζςεων (3) παρατθροφμε ότι θ παράςταςθ x 1 x 2 +y 1 y 2 = x 1 x 2 +y 1 y 2 +(x 1 y 2 +y 1 x 2 )ςυνω. Άρα αν κάνουμε χριςθ ταυτόχρονα ανταλλοίωτων και ςυναλλοίωτων ςυντεταγμζνων ο τφποσ του εςωτερικοφ γινομζνου παίρνει τθ ευκολομνθμόνευτθ «κλαςικι» μορφι: = x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 +y 1 y 2. (5) 6

Σνντελεςτήσ διευθφνςεωσ διανφςματοσ ωσ προσ ζνα πλαγιογώνιο ςφςτημα. Είναι φανερό ότι θ διεφκυνςθ ενόσ διανφςματοσ, μπορεί να κακοριςτεί πλιρωσ από τθ γωνία κ που ςχθματίηει το διάνυςμα με τον άξονα των χ-ςυντεταγμζνων. χιμα 6 Σο ερϊτθμα που προκφπτει είναι πωσ ςχετίηεται θ γωνία κ με τισ ςυντεταγμζνεσ του διανφςματοσ. Είναι γνωςτό ότι αν θ γωνία ω είναι ορκι και το ςφςτθμα ςυντεταγμζνων ορκοκανονικό, τότε με τθν προχπόκεςθ ότι το διάνυςμα δεν είναι παράλλθλο ςτον y-άξονα και οι ςυντεταγμζνεσ του είναι (x 1,y 1 ), τότε ε θ. Σι γίνεται όμωσ όταν θ γωνία ω των αξόνων δεν είναι ορκι; Αν υποκζςουμε ότι το διάνυςμα ζχει ανταλλοίωτεσ ςυνιςτϊςεσ (x 1,y 1 ). χιμα 7 Από τον νόμο των θμιτόνων ςτο τρίγωνο ΟΑΚ προκφπτει ( ). 7

Ο ίδιοσ τφποσ ιςχφει ακόμθ κι αν θ γωνία κ είναι αμβλεία. χιμα 8 Είναι φανερό ότι ο παραπάνω τφποσ ιςχφει με τθν προχπόκεςθ ότι το διάνυςμα δεν είναι παράλλθλο ςτον άξονα y, δθλ. κ ω π ω. Σον λόγο ( ) (6) κα τον ςυμβολίηουμε με λ(κ) ι, και κα τον ονομάηουμε ανταλλοίωτη κλίςη ι ανταλλοίωτο ςυντελεςτή διεφθυνςησ του διανφςματοσ. Θ ςυνάρτθςθ λ είναι μια π-περιοδικι ςυνάρτθςθ που θ γραφικι τθσ παράςταςθ μοιάηει πολφ με αυτιν τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ εφχ. χιμα 9 Επειδι μασ ενδιαφζρουν τιμζσ τθσ γωνίασ κ για τισ οποίεσ 0 κ<2π, θ γραφικι παράςταςθ τθσ λ κα ζχει τθ μορφι: 8

χιμα 10 Ιςχφει λ(κ 1 )=λ(κ 2 ) κ 1 =κ 2 ι κ 2 =π+κ 1 πράγμα που ςθμαίνει ότι τα αντίςτοιχα διανφςματα κα είναι παράλλθλα. Δθλαδι ζχουμε τθν ςυνκικθ παραλλθλίασ διανυςμάτων: //. (7) (Με τθν προχπόκεςθ ότι ορίηονται οι αντίςτοιχοι ανταλλοίωτοι ςυντελεςτζσ διεφκυνςθσ). Αν τϊρα κεωριςουμε ότι το διάνυςμα παριςτάνεται μζςω των ςυναλλοίωτων ςυνιςτωςϊν του (x 1,y 1 ), τότε ο λόγοσ = ( ) (8) καλείται ςυναλλοίωτη κλίςη του και ςυμβολίηεται με κ(κ) ι. Θ ςυνάρτθςθ κ είναι μια επίςθσ π- περιοδικι ςυνάρτθςθ με γραφικι παράςταςθ όπωσ φαίνεται παρακάτω: χιμα 11 9

Ειδικά για 0 κ<2π, θ γραφικι παράςταςθ τθσ κ κα ζχει τθ μορφι: χιμα 12 Ιςχφει κ(κ 1 )=κ(κ 2 ) κ 1 =κ 2 ι κ 2 =π+κ 1 πράγμα που ςθμαίνει ότι τα αντίςτοιχα διανφςματα κα είναι παράλλθλα. Δθλαδι ζχουμε τθν ςυνκικθ παραλλθλίασ διανυςμάτων: //. (9) (Με τθν προχπόκεςθ ότι ορίηονται οι αντίςτοιχοι ςυναλλοίωτοι ςυντελεςτζσ διεφκυνςθσ). τθν παρακάτω εικόνα βλζπουμε ταυτόχρονα τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των ςυναρτιςεων λ, κ, και εφ για τθν τιμι ω=2,8. χιμα 13 Λαμβάνοντασ υπόψθ τισ ςχζςεισ που ςυνδζουν τισ ανταλλοίωτεσ με τισ ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ, βρίςκουμε τθ ςχζςθ που ζχουν μεταξφ τουσ θ ςυναλλοίωτθ με τθν ανταλλοίωτθ κλίςθ ενόσ διανφςματοσ. υγκεκριμζνα:. (10) 10

Συνθήκεσ παραλληλίασ και καθετότητασ διανυςμάτων Α. Συνθήκη παραλληλίασ Όπωσ είδαμε όταν ορίηονται οι ςυντελεςτζσ διεφκυνςθσ, ζχουμε // x 1 y 2 =x 2 y 1 x 1 y 2 -x 2 y 1 =0 det( ). Θ τελευταία ςυνκικθ είναι εφκολο να δοφμε ότι ιςχφει ςε κάκε περίπτωςθ ακόμθ κι αν δεν ορίηονται οι ςυντελεςτζσ διεφκυνςθσ. Ώςτε γενικά // det( ). (11) Αν D ςυμβολίηει τθν ορίηουςα των διανυςμάτων ςυναρτιςει των ανταλλοίωτων ςυντεταγμζνων τουσ και Dϋ θ ορίηουςα των διανυςμάτων ςυναρτιςει των ςυναλλοίωτων ςυντεταγμζνων τουσ, τότε D =(1-ςυνω)D. Ζτςι D=0 Dϋ=0. Άρα // και γενικά // D=0 D =0. (12) Β. Συνθήκη καθετότητασ Είναι γνωςτό ότι τα διανφςματα είναι κάκετα αν και μόνο αν το εςωτερικό τουσ γινόμενο ιςοφται με μθδζν. Δθλαδι. (13) Ζτςι κάνοντασ χριςθ των τφπων που βρικαμε παραπάνω για το εςωτερικό γινόμενο ζχουμε: x 1 x 2 +y 1 y 2 +(x 1 y 2 +y 1 x 2 )ςυνω=0 (14) όπου (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ) οι ανταλλοίωτεσ ςυνιςτϊςεσ των διανυςμάτων. Επίςθσ x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 +y 1 y 2 =0 (15) με ταυτόχρονθ χριςθ ςυναλλοίωτων και ανταλλοίωτων ςυντεταγμζνων. Αν τα διανφςματα δεν είναι παράλλθλα προσ τον ψ-άξονα, οι τελευταίεσ ιςότθτεσ δίνουν τισ ςυνκικεσ:. (16) Με όρουσ μόνο ανταλλοίωτων ςυντελεςτϊν διευκφνςεωσ ζχουμε: ( ). (17) 11

Εξίςωςη ευθείασ ωσ προσ πλαγιογώνιο ςφςτημα αναφοράσ Εξίςωςη ευθείασ που περνάει από δοθζν ςημείο Ι και είναι παράλληλη ςτο διάνυςμα. Ζςτω Ι(x 0,y 0 ) και λ ο ανταλλοίωτοσ ςυντελεςτισ διεφκυνςθσ του δ το οποίο είναι παράλλθλο ςτθν (ε). Σο τυχαίο ςθμείο Ρ(x,y) ανικει ςτθν ευκεία (ε) αν και μόνο αν ιςχφει //δ. χιμα 14 Θα είναι y-y 0 =λ(x-x 0 ). (18) Αν κάνουμε χρήςη ςυναλλοίωτων ςυντεταγμζνων και αν P(x,y ), I(x 0,y 0 ) είναι οι ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ των ςθμείων Ρ και Ι αντίςτοιχα και κ ο ςυναλλοίωτοσ ςυντελεςτισ διεφκυνςθσ του διανφςματοσ δ, τότε εφκολα διαπιςτϊνουμε κάνοντασ χριςθ των ςχζςεων που ςυνδζουν τα δυο είδθ ςυντεταγμζνων, ότι θ εξίςωςθ τθσ ευκείασ παίρνει τθ μορφι y -y 0 =κ(x -x 0 ). (19) Είναι προφανισ θ πλιρθσ αναλογία μεταξφ των δυο τελευταίων εξιςϊςεων. 12

Μια τελική παρατήρηςη (Θεώρημα Κοφτρα) χιμα 15 Ωσ «κεϊρθμα Κοφτρα» ςε κάποιεσ ιςτοςελίδεσ 1 αναφζρεται θ πρόταςθ που αναφορικά με το ςχιμα 15 δθλϊνει ότι οι ευκείεσ ΜΝ και ΑΒ είναι κάκετεσ αν και μόνο αν ιςχφει. φμφωνα με όςα ειπϊκθκαν παραπάνω για τισ ανταλλοίωτεσ και τισ ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ, είναι πολφ εφκολο να δοφμε ότι θ ςυνκικθ του κεωριματοσ δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια ερμθνεία του τφπου (15) ι του τφπου (16) που εκφράηει τθν κακετότθτα διανυςμάτων ι ευκειϊν με ταυτόχρονθ χριςθ ανταλλοίωτων και ςυναλλοίωτων ςυντεταγμζνων. Πράγματι αν ΟΑ=α, ΟΒ=β,ΟΗ=η,ΟΕ=ε, ΟD=d,OC=c, τότε οι ςυναλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ του διανφςματοσ είναι (η-ε,d-c), ενϊ οι ανταλλοίωτεσ ςυντεταγμζνεσ του διανφςματοσ είναι (-β,α). Ζτςι =0 - (ζ-ε) (d-c)=0 -O ΕΖ Ο CD=0. 1 https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=181451=8 http://www.cut-the-knot.org/m/geometry/stathiskoutras.shtml 13