ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΚΑΙ ΣΟΙΦΕΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΕΚΥΩΝΗΕΙ ΘΕΜΑ Α Α. Αμ ξι ςτμαπσήςειρ f καιg είμαι οαπαγψγίςιμερ ςσξ, μα αοξδείνεσε όσι ( ) f(x) + g(x) ' = f'(x) + g'(x), για κάθε x. (Μονάδες 7) Α. Έςσψ μία ςτμάπσηςη fμε οεδίξ ξπιςμξύ σξ Α. Πόσε λέμε όσι η ςτμάπσηςη f οαπξτςιάζει σξοικό μέγιςσξ ςσξ x 0 A; ( Μονάδες 4 ) A3. Αμ ξμαδξοξιήςξτμε σιρ οαπασηπήςειρ μίαρ μεσαβλησήρ ςε κλάςειρ, σι ξμξμάζξτμε ολάσξρ μίαρ κλάςηρ; ( Μονάδες 4 ) Α4. Να φαπακσηπίςεσε σιρ οπξσάςειρ οξτ ακξλξτθξύμ, γπάυξμσαρ ςσξ σεσπάδιό ςαρ, ση λένη ωστό, αμ η οπόσαςη είμαι ςψςσή, ή Λάθος αμ η οπόσαςη είμαι λαμθαςμέμη. α) Αμ f : ιςφύει: και g: οαπαγψγίςιμερ ςτμαπσήςειρ, σόσε f g( x) ' f ' g( x) g '( x), για κάθε x.
β) Μία ςτμάπσηςη f λέγεσαι γμηςίψρ υθίμξτςα ςε έμα διάςσημα Δ σξτ οεδίξτ ξπιςμξύ σηρ, όσαμ για ξοξιαδήοξσε x, x Δ, x με < x ιςφύει f(x ) < f(x ). γ) Τξ κτκλικό διάγπαμμα φπηςιμξοξιείσαι για ση γπαυική οαπάςσαςη μόμξ οξςξσικώμ δεδξμέμψμ. δ) Για ξοξιαδήοξσε εμδεφόμεμα Α και Β εμόρ δειγμασικξύ φώπξτ Ω ιςφύει όσι P A B P( A) P( B) P( A B). ε) Τξ γπαμμξςκιαςμέμξ φψπίξ ςσξ διολαμό ςφήμα αμσιςσξιφεί ςσξ εμδεφόμεμξ B- A. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Β Σσξμ οαπακάσψ οίμακα δίμξμσαι ξι σιμέρ x i και ξι αμσίςσξιφερ ςτφμόσησερ v οξτ i οπξέκτχαμ αοό οαπασηπήςειρ μίαρ μεσαβλησήρ Χ. χ i ν i 3 3 5 4 9 B. Για σιρ οαπασηπήςειρ ατσέρ μα τοξλξγιςσξύμ: α. η μέςη σιμή x - (μξμάδερ 6) β. η διάμεςξρ δ (μξμάδερ 5)
γ. η διακύμαμςη s (μξμάδερ 7) (Μονάδες 8) B. Να ενεσάςεσε αμ σξ δείγμα σψμ οαπαοάμψ οαπασηπήςεψμ είμαι ξμξιξγεμέρ. ( Μονάδες 7 ) ΘΕΜΑ Γ Δίμεσαι η ςτμάπσηςη f (x) x x, x. Γ. Να βπείσε σα ακπόσασα σηρ ςτμάπσηςηρ f. ( Μονάδες 6 ) Γ. Να βπείσε σημ ενίςψςη σηρ ευαοσξμέμηρ (ε) σηρ γπαυικήρ οαπάςσαςηρ σηρ ςσξ ςημείξ A(,f ()). ( Μονάδες 7 ) Γ3. Να βπείσε σα ςημεία ςσα ξοξία η ετθεία (ε) σξτ επψσήμασξρ Γσέμμει σξτρ άνξμερ x x και y y. ( Μονάδες 4 ) Γ4. Να τοξλξγίςεσε σξ όπιξ lim f(x) -. x x- ( Μονάδες 8 ) ΘΕΜAΔ
Έμα κξτσί έφει σπείρ μοάλερ, μία άςοπη, μία μαύπη και μία κόκκιμη. Κάμξτμε σξ ενήρ οείπαμα: οαίπμξτμε αοό σξ κξτσί μία μοάλα, κασαγπάυξτμε σξ φπώμα σηρ και σημ ναμαβάζξτμε ςσξ κξτσί. Εοαμαλαμβάμξτμε ση διαδικαςία άλλη μία υξπά. Δ. Να κασαςκετάςεσε σξ δεμδπξδιάγπαμμα οξτ οεπιγπάυει σξ οαπαοάμψ οείπαμα ( μξμάδερ 3 ) και μα γπάχεσε σξμ δειγμασικό φώπξ Ω σξτ οειπάμασξρ ( μξμάδερ ) ( Μονάδες 5 ) Δ. Να οαπαςσαθξύμ με αμαγπαυή σψμ ςσξιφείψμ σξτρ σα εμδεφόμεμα οξτ οπξςδιξπίζξμσαι αοό σημ αμσίςσξιφη ιδιόσησα: Α: <<η δεύσεπη μοάλα οξτ θα εναφθεί μα είμαι μαύπη>> Β: <<μα εναφθξύμ δύξ μοάλερ διαυξπεσικξύ φπώμασξρ.>> ( Μονάδες 6 ) Δ3. Υοξθέσξτμε όσι ξ δειγμασικόρ φώπξρ Ω σξτ οπξηγξύμεμξτ οαπαδείγμασξρ αοξσελείσαι αοό ιςξοίθαμα αολά εμδεφόμεμα και Α, Β είμαι σα εμδεφόμεμα σξτ επψσήμασξρ Δ. α. Να τοξλξγίςεσε σημ οιθαμόσησα σψμ οαπακάσψ εμδεφξμέμψμ: Α, A B, A B, B A. ( Μονάδες 8 ) β. Αμ Γ είμαι έμα εμδεφόμεμξ σξτ δειγμασικξύ φώπξτ Ω, σξ ξοξίξ είμαι αςτμβίβαςσξ σόςξ με σξ εμδεφόμεμξ Α όςξ και με σξ εμδεφόμεμξ Β, μα
έφει η τοξλξγίςεσε οξια είμαι η μεγαλύσεπη σιμή οξτ μοξπεί μα οιθαμόσησα P(Γ). ( μξμάδερ 6) (Μονάδες 4) ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑ Α Α. Σφξλικό βιβλίξ ςελίδα 3. Α. Σφξλικό βιβλίξ ςελίδα 4. Α3. Σφξλικό βιβλίξ ςελίδα 7. Α4. α) Σψςσό β) Λάθξρ γ) Λάθξρ δ) Σψςσό ε) Λάθξρ ΘΕΜΑ Β Β. Στμοληπώμξτμε ςσξ οίμακα σιρ ςσήλερ x i Χν i, N i και έφξτμε x i v i N i x i ν i 3 3 5 9 5 4 9 0 9 0 9 ύνολο 0 40
α) Για ση μέςη σιμή έφξτμε 4 x xi i 40 4 0 i β) Έφξτμε ςτμξλικά 0 οαπασηπήςειρ, άπα η διάμεςξρ θα είμαι t5+ t6 3+ 5 δ= = = 4 γ) Για ση διακύμαμςη, θα υσιάνξτμε έμαμ οίμακα με σιρ ςσήλερ i, i, i i i x x x x x. x i ν i x i x x i x ν i 9 8 3 3 3 5 4 4 9 5 5 ύνολο 0 50 Οοόσε για ση διακύμαμςη έφξτμε 4 i i 50 5 i 0 s x x Β. Για σημ στοική αοόκλιςη έφξτμε s = s = 5 Για σξ ςτμσελεςσή μεσαβξλήρ έφξτμε s 5 CV = = x 4 Είμαι λξιοόμ, CV 5 5 5 5 0 4 00 00 Άπα είμαι CV > 0%, ξοόσε σξ δείγμα δεμ είμαι ξμξιξγεμέρ.
ΘΕΜΑ Γ Γ. Η ςτμάπσηςη f(x) ξπίζεσαι για κάθε x. Εοίςηρ είμαι ςτμεφήρ και οαπαγψγίςιμη με f '(x) = x -. Έφξτμε f '( x) 0 x 0 x. f x 0 x 0 x x f x 0 x 0 x x Η μξμξσξμία σηρ f υαίμεσαι με ση βξήθεια σξτ οαπακάσψ οίμακα: f x Ά ( x) - + f( x ) Εοξμέμψρ η f είμαι γμηςίψρ υθίμξτςα ςσξ διάςσημα (, ] και γμηςίψρ αύνξτςα ςσξ διάςσημα [, ) Εοίςηρ οαπξτςιάζει ελάφιςσξ ςση θέςη x =, σξ f 4 3 4 4 4 4 4
Γ. Η γπαυική οαπάςσαςη σηρ fέφει ευαοσξμέμη ςσξ ςημείξ A(,f()) ετθεία σηρ μξπυήρ: y = λx + β (). Είμαι f () = 4 - + = 3. Άπα σξ ςημείξ εοαυήρ είμαι σξ A(,3 ). Εοίςηρ η ευαοσξμέμη θα έφει ςτμσελεςσή διεύθτμςηρ ςσξ ςημείξ A(,3), λ = f '() = 4 - = 3. Αμσικαθιςσώμσαρ ςσημ () οπξκύοσει: 3 3 3 6 3 Εοξμέμψρ η ευαοσξμέμη σηρ γπαυικήρ οαπάςσαςηρ σηρ f ςσξ ςημείξ Α(,3) είμαι η ετθεία (ε): y = 3x- 3 Γ3.Για μα βπξύμε σξ κξιμό ςημείξ σηρ (ε) και σξτ άνξμα φ φ αμσικαθιςσξύμε y= 0 ςσημ ενίςψςη(ε): y = 3x- 3. Έφξτμε λξιοόμ: 0 3x 3 3x 3 x. Εοξμέμψρ σξ κξιμό ςημείξ σξτ άνξμα x xκαι σηρ ετθείαρ (ε) είμαι σξ B(,0) Για μα βπξύμε σξ κξιμό ςημείξ σηρ (ε) και σξτ άνξμα y y αμσικαθιςσξύμε x= 0 ςσημ ενίςψςη(ε): y = 3x- 3. Έφξτμε λξιοόμ:
y 30 3 y 3. Εοξμέμψρ σξ κξιμό ςημείξ σξτ άνξμα y yκαι σηρ ετθείαρ (ε) είμαι σξ Γ(0, - 3) Γ4.Έφξτμε διαδξφικά: f( x) x x ( x x ) ( x x ) lim lim lim x x x x x ( x ) ( x x ) x x x x x x( x ) lim lim lim x x x ( x ) ( x x ) ( x ) ( x x ) ( x ) ( x x ) lim x x x ΘΕΜΑ Δ Δ. Έςσψ Α, Μ, Κ η μοάλα οξτ εοιλέγξτμε μα είμαι άςοπη, μαύπη ή κόκκιμη αμσίςσξιφα. Τξ δεμδπξδιάγπαμμα οξτ οεπιγπάυει σξ οείπαμα είμαι
Άπα ξ δειγμασικόρ φώπξρ είμαι Δ. Έφξτμε, και Ω = { AA,AM,AK,MA,MM,MK,KA,KM,KK } B = A = { AM,MM,KM} { AM,AK,MA,MK,KA,KM } Ά=, άπα Δ3. α) Είμαι A { AA,AK,MA,MK,KA,KK } N A 6 P A N 9 3 Είμαι A B { AM,KM} Η =, άπα
N A B P A B N 9 Είμαι A B { MM} - =, άπα N A B P A B N Τέλξρ, B- A = { AK,MA,MK,KA}, άπα N B A PB A N β) Αυξύ σξ Γ είμαι αςτμβίβαςσξ με σξ Α και με σξ Β, θα είμαι αςτμβίβαςσξ και με σξ A B { AM,AK,MM,MA,MK,KA,KM } Θ =. 9 4 9 Άπα σξ Γ θα είμαι έμα αοό σα { KK },{ AA },{ KK,AA }, Ζ = = =. 9 9 Οοόσε P( Γ) 0 ή P( Γ) ή P( Γ) Τελικά η μέγιςση σιμή σηρ οιθαμόσησαρ P( Γ ) είμαι P( Γ) =. 9