Ιωάννης Βέργαδος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΟΣ Ι Επιμέλεια έκδοσης Μαρία Καφεσάκη E-BOOK ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ Ιδρυτική δωρεά Παγκρητικής Ενώσεως Αμερικής Hράκλειο 2011
ΠANEΠIΣTHMIAKEΣ EKΔOΣEIΣ KPHTHΣ IΔPYMA TEXNOΛOΓIAΣ KAI EPEYNAΣ Hράκλειο Kρήτης, T.Θ. 1527, 71110. Tηλ.: 2810 391097, Fax: 2810 391085 Aθήνα: Κλεισόβης 3, 10677. Tηλ.: 210 3849020-22, Fax: 210 3301583 e-mail: info@cup.gr www.cup.gr ΣEIPA: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΗ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΤHΣ ΣΕΙΡΑΣ: ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΤΡΑΧΑΝΑΣ 2004: Επιμέλεια: Στοιχειοθεσία: Eκτύπωση: Σχεδίαση εξωφύλλου: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΕΣ EΚΔΟΣΕΙΣ KΡΗΤΗΣ Μαρία Καφεσάκη Γιάννης Κελεφούρας (ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE) ΛΥΧΝΟΣ PRINTHOUSE Bάσω Aβραμοπούλου ISBN 978-960-524-180-3
Στη μνήμη του πατέρα μου
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΙΓΑΔΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ...1 1.1 Eισαγωγή...1 1.2 Tο μιγαδικό επίπεδο...1 1.3 Συναρτήσεις μιγαδικής μεταβλητής...4 1.4 Πλειότιμες συναρτήσεις μίας μιγαδικής μεταβλητής...8 1.5 Σημεία διακλάδωσης...14 1.6 Mονοσημαντοποίηση πλειότιμων συναρτήσεων...18 1.7 Παράγωγος συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής...22 1.8 Oι συνθήκες των Cauchy - Riemann...24 1.9 Aρμονικές συναρτήσεις...28 1.10 Oλοκλήρωμα συνάρτησης μίας μιγαδικής μεταβλητής...36 1.11 Tο θεώρημα του Cauchy...39 1.12 O τύπος του Caudy (ολοκληρωτική αναπαράσταση συναρτήσεων)...42 1.13 Παράγωγοι αναλυτικών συναρτήσεων...45 1.14 Θεώρημα του Morera...48 1.15 Σειρές Taylor (δυναμοσειρές)...53 1.16 Σειρές Laurent...55 1.17 Tαξινόμηση ανώμαλων σημείων...64 1.18 Λογισμός των υπολοίπων...67 1.19 Yπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων...74 1.20 Γενίκευση της έννοιας του ολοκληρώματος...92 1.21 H συνάρτηση Γ(z)...108 1.22 Σύμμορφοι μετασχηματισμοί...118 1.23 H μέθοδος της πιο απότομης καθόδου...133 Bιβλιογραφία...140 Προβλήματα...142 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ...175 2.1 Eισαγωγή-Συμβολισμός...175 2.2 Γενικεύσεις...178
viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.3 Aξιωματική θεμελίωση διανυσματικών χώρων...180 2.4 H ανισότητα του Schwarz...184 2.5 Γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων Bασικά διανύσματα...185 2.6 Oρθογωνιοποίηση Gram-Schmidt...189 2.7 Kλασικά ορθογώνια πολυώνυμα...194 2.8 Σχέση Parseval Aνισότητα Bessel...195 2.9 Περίληψη...197 Bιβλιογραφία...199 Προβλήματα...200 3 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΑΠΕΙΡΩΝ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ...203 3.1 Γενικές έννοιες...204 3.2 Bασικές σχέσεις Πληρότητα...207 3.3 Eίδη συγκλίσεων Φαινόμενο Gibbs...216 3.4 Σειρές Fourier...219 3.5 Πολυωνυμικές βάσεις...232 3.6 Tα κλασικά πολυώνυμα...233 3.7 Tαυτότητα Cristoffel-Darboux. Pίζες κλασικών πολυωνύμων...251 3.8 Oρθοκανονικά συστήματα...255 3.9 Eφαρμογές στην Aριθμητική Aνάλυση...257 3.10 Iδιότητες κλασικών πολυώνυμων Περίληψη...261 Bιβλιογραφία...271 Προβλήματα...272 4 ΤΕΛΕΣΤΕΣ...285 4.1 Στοιχειώδης άλγεβρα τελεστών...285 4.2 Iδιότητες των τελεστών...287 4.3 Γραμμικοί τελεστές...291 4.4 Προσαρτημένοι τελεστές...295 4.5 Iδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις...305 4.6 Παραδείγματα χρήσιμων τελεστών...312 Bιβλιογραφία...318 Προβλήματα...319 5 N-ΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ...327 5.1 Αναπαράσταση διανυσμάτων...327 5.2 Aναπαράσταση τελεστών...328 5.3 Άλγεβρα πινάκων (μητρών)...334 5.4 Mερικοί χρήσιμοι πίνακες...339 5.5 Aλλαγή ορθοκανονικής βάσης...340 5.6 Mετασχηματισμοί ομοιότητας...344 5.7 Ίχνος πίνακα Oρίζουσες...347 Bιβλιογραφία...351 Προβλήματα...352
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ix 6 IΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ...361 6.1 Διαγωνιοποίηση ενός πίνακα...361 6.2 Πληρότητα ιδιοδιανυσμάτων κανονικών πινάκων...370 6.3 Mερικές εφαρμογές...380 Bιβλιογραφία...392 Προβλήματα...393 7 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΕ ΑΠΕΙΡΟΔΙΑΣΤΑΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ...401 7.1 Aπόλυτα συνεχείς τελεστές...401 7.2 Tο φασματικό θεώρημα...404 7.3 Eφαρμογή στην Kβαντομηχανική...406 Bιβλιογραφία...413 Προβλήματα...414 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ...417 8.1 Mετασχηματισμοί Fourier...418 8.2 H κατανομή δ(x)...422 8.3 O μετασχηματισμός Fourier της παραγώγου Eφαρμογές...432 8.4 Oλοκληρώματα Fourier στις τρεις διαστάσεις...440 8.5 Mετασχηματισμοί Laplace...444 8.6 Mετασχηματισμοί Laplace της παραγώγου Eφαρμογές...450 Bιβλιογραφία...465 Προβλήματα...466 9 ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ...483 9.1 Mετρική καμπυλόγραμμων συντεταγμένων...486 9.2 Παράγωγοι μοναδιαίων διανυσμάτων...491 9.3 Διαφορικοί τελεστές...493 9.4 H μέθοδος χωρισμού μεταβλητών...502 9.5 Kαρτεσιανές συντεταγμένες...504 9.6 Σφαιρικές συντεταγμένες...507 9.7 Kυλινδρικές συντεταγμένες...516 9.8 Παραβολικές συντεταγμένες...519 9.9 Oι πεπλατυσμένες σφαιροειδείς συντεταγμένες...522 9.10 Άλλα ορθογώνια συστήματα...527 Bιβλιογραφία...532 Προβλήματα...533 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Mερικά θεωρήματα της θεωρίας μιγαδικών συναρτήσεων...547 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B. Mερικά θεωρήματα διανυσματικών χώρων και σειρών Fourier...553 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα Εφαρμογές...560
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Είναι ίσως κοινοτυπία η φράση «τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα της Φυσικής». Αν όμως αυτό είναι αλήθεια, η γλώσσα αυτή, όπως και κάθε άλλη, θα πρέπει να μαθευτεί στη πράξη. Αυτόν ακριβώς το στόχο επιδιώκει η διδασκαλία των Mαθηματικών Mεθόδων Φυσικής (MMΦ), την οποία έρχεται να υπηρετήσει το παρόν σύγγραμμα. Δεν σκοπεύει δηλαδή να θεμελιώσει τις μαθηματικές έννοιες, αλλά να αναπτύξει μεθόδους λύσεων μαθηματικών προβλημάτων τα οποία απαντώνται όχι μόνο στη Φυσική αλλά ίσως και σ άλλες επιστήμες. Έτσι, ξεφεύγει από το στιλ «ορισμός θεώρημα απόδειξη» που κυριαρχεί σήμερα στα Μαθηματικά. Είναι όμως σε ορισμένες περιπτώσεις χρήσιμο να δίδονται και μερικές αποδείξεις θεωρημάτων, ιδιαίτερα εκείνων που έπαιξαν σημαντικό ρόλο στην πρόοδο της μαθηματικής επιστήμης ή αυτών τα οποία αποδεικνύονται με έναν τρόπο που αποτελεί ταυτόχρονα και «μέθοδο». H παραπάνω φιλοσοφία, την οποία ακολουθεί το παρόν βιβλίο, είναι απόρροια της άποψης ότι από τη μια μεριά ο κλασικός Μαθηματικός και από την άλλη ο ασχολούμενος με τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ή ο Φυσικός διαφέρουν κατά πολύ στη νοοτροπία. O Μαθηματικός εκείνος που δημιουργεί τη μαθηματική επιστήμη θα πρέπει να πάει πέρα από το παραδεκτό και το καθιερωμένο. Κατά συνέπεια, πολύ σπάνια θα βρει χρήσιμη τη χρήση διαισθητικών συλλογισμών. Αντίθετα, εκείνος που χρησιμοποιεί τα Μαθηματικά ως εργαλείο όχι μόνο χρειάζεται αλλά και στηρίζεται στη διαίσθηση. Υποθέτουμε ότι ο αναγνώστης, πριν πάρει στα χέρια του το βιβλίο αυτό, θα έχει ήδη επίγνωση της μαθηματικής αυστηρότητας, ώστε να μπορεί να διακρίνει μια απόδειξη από μια «ψευδοαπόδειξη». Το βιβλίο αυτό δεν έχει ούτε τη φιλοδοξία αλλά ούτε και τη δυνατότητα να υποκαταστήσει τα καθαυτό Μαθηματικά συγγράμματα. Το μάθημα των MMΦ διαφέρει από την παραδοσιακή θεωρητική Φυσική, της οποίας άλλοτε αποτελούσε τμήμα, κατά το ότι δεν βλέπει τα Μαθηματικά μόνο σαν εργαλείο, αλλά προσπαθεί να δώσει αρκετή έμφαση και στη μαθηματική δομή. Κρίνεται δηλαδή απαραίτητο να μην εισάγονται οι διάφορες μέθοδοι αποσπασματικά, δηλαδή για την αντιμετώπιση ενός συγκεκριμένου φυσικού προβλήματος, αλλά κα-
xii ΠΡΟΛΟΓΟΣ τά τρόπο που να μπορούν να εφαρμοστούν σε μια μεγάλη ποικιλία φυσικών προβλημάτων. Είναι ευτύχημα ότι, από μαθηματικής σκοπιάς, τα είδη των εξισώσεων που συναντάει κανείς τόσο στην Κλασική όσο και στη σύγχρονη, Κβαντική Φυσική είναι αρκετά περιορισμένα. Έτσι, είναι δυνατόν να αναπτυχθεί μια διαίσθηση και να καλλιεργηθεί μια τεχνική που να μπορούν να εφαρμοστούν σε μια μεγάλη ποικιλία φυσικών προβλημάτων. Τέλος, η μελέτη του αντικειμένου αυτού ίσως βοηθήσει τον ασχολούμενο με τις εφαρμογές των Μαθηματικών στη μελέτη της μαθηματικής βιβλιογραφίας. Στην υλοποίηση των παραπάνω στόχων παρουσιάζονται, από παιδαγωγικής πλευράς, αρκετές δυσκολίες. Αν σκοπός των MMΦ είναι να αποφευχθούν άσκοπες επαναλήψεις, που σημαίνουν απώλεια χρόνου, ποιο είναι το βέλτιστο ποσόν «αφαίρεσης» που αφ ενός πετυχαίνει το σκοπό αυτόν και αφ ετέρου επιτρέπει να προχωρήσει κανείς πέρα από τις γενικότητες, σε συγκεκριμένες εφαρμογές; H απάντηση σ αυτό δεν είναι εύκολη. Ένα δεύτερο πρόβλημα είναι η ύπαρξη του κατάλληλου «κινήτρου». Συγκεκριμένα, είναι δυνατόν ο αναγνώστης να μην έχει συναντήσει προηγουμένως, σε προβλήματα Φυσικής, πολλές από τις εξισώσεις των MMΦ. H αναπαραγωγή και η ανάπτυξη της φυσικής σημασίας του συνόλου αυτών των εξισώσεων είναι πέρα από τους στόχους αλλά και τις δυνατότητες του βιβλίου αυτού. Συνεπώς, για να μην βρει ο αναγνώστης το βιβλίο ανιαρό ή άχρηστο, θα πρέπει να είναι ήδη κάπως εξοικειωμένος με τις εξισώσεις της Φυσικής ή να αγαπάει αρκετά τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ώστε να τον θέλγει η δυνατότητα να βρει λύση στις εξισώσεις αυτές καθαυτές, ανεξάρτητα από την πρακτική τους χρησιμότητα. Ελπίζουμε ότι ένας κατάλληλος συνδυασμός και των δύο θα κρατήσει το ενδιαφέρον του αναγνώστη μέχρι το τέλος. Το βιβλίο αυτό για να διαβαστεί προϋποθέτει ένα ελάχιστο μαθηματικών γνώσεων. Συγκεκριμένα, Ολοκληρωτικό και Διαφορικό Λογισμό, Διανυσματικό Λογισμό, Αναλυτική Γεωμετρία και στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας. Καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια να συμπεριληφθούν πολλά παραδείγματα τόσο από τη Φυσική όσο και από τα Μαθηματικά, τα οποία σκοπεύουν να βοηθήσουν στην εμπέδωση της θεωρίας, να διδάξουν την τεχνική λύσεως προβλημάτων και, προπάντων, να εφαρμόσουν τη θεωρία σε συγκεκριμένα προβλήματα της Φυσικής. Θα ήταν όμως αυταπάτη να νομίσει ο αναγνώστης πως μπορεί ν ανταποκριθεί στις απαιτήσεις του αντικειμένου αυτού χωρίς να λύσει ο ίδιος μερικά αντιπροσωπευτικά προβλήματα. Για το λόγο αυτόν, συμπεριλήφθηκε στο τέλος κάθε κεφαλαίου μια αρκετά εκτεταμένη συλλογή προβλημάτων. Τα προβλήματα αυτά έχουν αριθμηθεί αντίστοιχα με τα σχετικά εδάφια της θεωρίας, ώστε να διευκολυνθεί ο άπειρος αναγνώστης στην εξεύρεση της λύσης τους. Τα θέματα τα οποία κρίθηκαν «ενδιαφέροντα» και συμπεριλήφθηκαν στο βιβλίο αντιπροσωπεύουν, ως ένα σημείο, τις προκαταλήψεις του συγγραφέα. Κυρίως, όμως, καθορίστηκαν με γνώμονα την πιθανή χρησιμότητά τους στη Φυσική, κατά τα διεθνή παραδεδεγμένα. O Μαθηματικός ίσως βρει τη συλλογή κάπως αστεία, ιδιαίτερα όταν στοιχειώδη θέματα (Μιγαδικές Συναρτήσεις, Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις
ΠΡΟΛΟΓΟΣ xiii κ.λπ.) βρίσκονται πλάι-πλάι, και όχι ίσως σε ειρηνική συνύπαρξη με θέματα κάπως προχωρημένα, όπως, π.χ., οι χώροι Hilbert. Δεν είναι πάντως αυτό προϊόν πολυπραγμοσύνης. Σε μια μεγάλη ποικιλία θεμάτων όπως αυτή που αποτελεί το αντικείμενο των MMΦ δεν υπάρχει μια προφανής λογική σειρά παρουσίασης. Ακολουθήθηκε αυτή που κατά τη γνώμη μας συνδέει καλύτερα μεταξύ τους τα τόσο διαφορετικά θέματα. Δεν επιτεύχθηκε, όμως, η αποφυγή παραπομπών σε θέματα που ακολουθούν. Επίσης, συχνά, το περιεχόμενο των κεφαλαίων που προηγούνται μπορεί να ιδωθεί και σε μια άλλη διάσταση κάτω από το πρίσμα αυτών που ακολουθούν. Οι διάφορες συσχετίσεις θα εκτιμηθούν όταν κανείς ολοκληρώσει τη μελέτη τόσο του παρόντος τόμου όσο και του Τόμου ΙΙ. O γράφων θα είναι πολύ ευτυχής αν, ως υποπροϊόν της μελέτης του βιβλίου, ο αναγνώστης διαπιστώσει πόσο οι διάφοροι μαθηματικοί κλάδοι Άλγεβρα, Ανάλυση, Γεωμετρία συνδέονται μεταξύ τους. H σύνδεση αυτή αποτέλεσε ίσως το μεγαλύτερο θρίαμβο της Μαθηματικής επιστήμης του 20ού αιώνα. Αυτό έχει μεγάλη σημασία για το Φυσικό ή τον ειδικό στα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, ο οποίος, από ανάγκη, άλλοτε φοράει το καπέλο της Ανάλυσης, άλλοτε της Γεωμετρίας και άλλοτε της Άλγεβρας. Όχι σπάνια, είναι απαραίτητο να αλλάζει καπέλο πάρα πολύ γρήγορα! Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχει σχετική βιβλιογραφία. Για κατατόπιση του άπειρου αναγνώστη γίνεται και μια προσπάθεια αξιολόγησης της βιβλιογραφίας, η οποία όμως είναι τελείως υποκειμενική. Στη βιβλιογραφία συμπεριλήφθηκαν μόνο τα βιβλία εκείνα τα οποία επηρέασαν το γράφοντα. Δεν συμπεριλήφθηκαν ειδικά μαθηματικά συγγράμματα, εκτός από εκείνα που έχουν χαρακτηριστεί ως κλασικά ή που κρίθηκαν απαραίτητα για περαιτέρω μελέτη. H ύλη του συνολικού συγγράμματος οργανώθηκε σε τρεις τόμους *. O πρώτος περιέχει βασικά και κάπως γενικότερα θέματα, όπως θεωρία συναρτήσεων μίας μιγαδικής μεταβλητής, βασικές έννοιες από τη θεωρία των γραμμικών διανυσματικών χώρων, καθώς και ανάπτυξη συναρτήσεων σε πλήρη συστήματα (σειρές Fourier, κλασικά πολυώνυμα κ.λπ.). Επίσης, δίνονται βασικά στοιχεία της άλγεβρας και αναπαράστασης τελεστών, αναπτύσσεται το φασματικό θεώρημα και μελετώνται μερικά απλά προβλήματα ιδιοτιμών, μελετώνται οι ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί Fourier και Laplace και οι εφαρμογές τους, και, τέλος, εξετάζονται τα συστήματα συντεταγμένων στα οποία χωρίζεται ο τελεστής Laplace και γίνονται εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Στο δεύτερο τόμο αναπτύσσονται οι βασικές μέθοδοι επίλυσης γραμμικών διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, μελετώνται τα συστήματα Sturm-Liouville και οι κλασικές συναρτήσεις (με εφαρμογές σε ρεαλιστικά προβλήματα ιδιοτιμών), και ακολουθεί μια συνοπτική θεωρία των συναρτήσεων Green και ένα κεφάλαιο πάνω στη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους (οι πιο συνηθισμένες εφαρμογές του αντιμετωπί- * Ο Τόμος ΙΙ κυκλοφορεί από το Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων (2003) και ο Τόμος ΙΙΙ από τις εκδόσεις «Συμεών» (1991).
xiv ΠΡΟΛΟΓΟΣ ζονται στα Κεφ. 9 και 13). Η αρχική ιδέα να περιληφθεί και ένα ακόμα κεφάλαιο με στοιχεία ολοκληρωτικών εξισώσεων εγκαταλείφθηκε, κυρίως λόγω χώρου, αλλά και λόγω του γεγονότος ότι τέτοια θέματα δεν περιλαμβάνονται στην ύλη των σχετικών μαθημάτων. Ο τρίτος τόμος περιλαμβάνει μια εισαγωγή στη θεωρία των διακριτών ομάδων και των αναπαραστάσεών τους, στοιχεία από τις κλασικές ομάδες, τις άλγεβρες Lie και τη θεωρία των αναπαραστάσεών τους, και επίσης εφαρμογές της θεωρίας των ομάδων στην Κβαντομηχανική, την κρυσταλλική δομή και τη θεωρία πολλών σωμάτων. H έκδοση του βιβλίου αυτού υπαγορεύτηκε κυρίως από τις διδακτικές ανάγκες του Πανεπιστημίου Iωαννίνων και κατά δεύτερο λόγο από την έλλειψη ανάλογου βιβλίου στα ελληνικά. Γι αυτό, προτιμήθηκε η σχετική αυτοδυναμία του. Επίσης, καταβλήθηκε ιδιαίτερη προσπάθεια να δοθούν κατάλληλα κίνητρα για μελέτη, αρκετές επεξηγήσεις και, όπου ήταν δυνατόν, να μπουν οι εισαχθείσες έννοιες σε ιστορική προοπτική. Επιδιώχθηκε επίσης η απλότητα, έστω και αν πολλές φορές αυτό σήμαινε θυσία της ακριβολογίας. Επιπλέον, αποφεύχθηκε, σκόπιμα, η συχνή χρήση του μαθηματικού συμβολισμού και επιχειρήθηκε η αντικατάστασή του «με λόγια». Αυτό είχε ως συνέπεια να αυξηθεί κάπως ο όγκος του βιβλίου, πλην όμως, από ό,τι διαφάνηκε από τις αντιδράσεις κατά την κυκλοφορία του υπό μορφή σημειώσεων, είχε καλά παιδαγωγικά αποτελέσματα. Ελπίζουμε ότι το στιλ αυτό όχι μόνο ανταποκρίνεται στις ανάγκες του Φυσικού αλλά ίσως αποτελέσει και ευχάριστη «αλλαγή» για το σπουδαστή των Μαθηματικών. Λίγα λόγια για την ιστορία του βιβλίου: Η παρούσα έκδοση του πρώτου τόμου είναι η πέμπτη κατά σειρά. Οι πρώτες τρεις έγιναν μέσω του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, κατά τα έτη 1979, 1981 και 1986, και η τέταρτη από τις «Εκδόσεις Κωσταράκη», το 1991. Η δεύτερη έκδοση ακολούθησε τη στρατηγική της πρώτης, με κάποιες διορθώσεις και προσθήκη ορισμένων εδαφίων (μέθοδος πιο απότομης καθόδου στο Κεφ. 1, μερικά θεωρήματα ριζών των κλασικών πολυωνύμων με μερικές εφαρμογές στην Αριθμητική Ανάλυση στο Κεφ. 3, μερικές επιπλέον εφαρμογές στα Κεφ. 5 και 6, και ένα κεφάλαιο πάνω στα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, ως Παράρτημα Γ). Στις πρώτες εκδόσεις συνέβαλαν με την εποικοδομητική τους κριτική οι τότε φοιτητές του Πανεπιστημίου Iωαννίνων, και ιδιαίτερα οι επιμελητές Ν. Μπατάκης, Δ. Τσουμπελής και Γ. Παντής, και με τις εύστοχες υποδείξεις τους οι επιστημονικοί συνεργάτες της Έδρας Σοφία Κουκοβίνου-Μπολοβίνου και Γ. Λεοντάρης. Oι παρασκευάστριες Χρυσαυγή Παπαϊωάννου και Λιούτα Παπαφωτίκα δακτυλογράφησαν και επιμελήθηκαν το κείμενο, και ο Μίλτος Χριστουλάκης σχεδίασε τα σχήματα, επιμελήθηκε την εμφάνιση του βιβλίου αλλά συνέβαλε και στον εντοπισμό λαθών. Η τρίτη έκδοση του βιβλίου ήταν απλή αναπαραγωγή της δεύτερης, με ορισμένες διορθώσεις τυπογραφικών λαθών, τις οποίες έκανε η Χρυσαυγή Παπαϊωάννου. Η τέταρτη έκδοση επίσης ήταν αναπαραγωγή της προηγούμενης, με αρκετές
ΠΡΟΛΟΓΟΣ xv διορθώσεις και αλλαγές. Η βασικότερη αλλαγή ήταν η μεταφορά των Κεφαλαίων 8 και 9 από τον Τόμο ΙΙ στον Τόμο Ι και η αναπροσαρμογή τους. Η σχεδίαση των σχημάτων έγινε εκ νέου, από το Μίλτο Χριστουλάκη. Σε όλους τους παραπάνω συνεργάτες εκφράζω και σήμερα τις ειλικρινείς μου ευχαριστίες. Η παρούσα έκδοση του Τόμου Ι διατηρεί την στρατηγική των προηγουμένων. Έγιναν, πάντως, μερικές βελτιώσεις, παιδαγωγικού κυρίως χαρακτήρα, και διορθώσεις λαθών που υπέπεσαν στην αντίληψή μας. Επίσης, η παρούσα έκδοση έχει αξιοποιήσει τις προόδους της σχετικής τεχνολογίας τα τελευταία χρόνια και, προπάντων, έχει επωφεληθεί από την τάση για αναζήτηση της πληρότητας και την μεγάλη εκδοτική εμπειρία των Πανεπιστημιακών Εκδόσεων Κρήτης (ΠΕΚ). Θα ήθελα και από τη θέση αυτή να ευχαριστήσω τον διευθυντή των Π.Ε.Κ. Στέφανο Τραχανά και τη γενική επιμελήτρια Διονυσία Δασκάλου, για τη μεγάλη φροντίδα με την οποία περιέβαλαν το βιβλίο. Θέλω, επίσης να εκφράσω τις μεγάλες ευχαριστίες μου στη Δρα Μαρία Καφεσάκη, την επιμελήτρια της έκδοσης, που αγόγγυστα προέβη σε επανειλημμένες διορθώσεις, θα έλεγε κανείς με διάθεση τελειομανίας. Όχι μόνο επειδή επεξεργάστηκε άψογα, από τεχνική άποψη, τα δοκίμια και συνέβαλε έτσι ουσιαστικά στην άρτια εμφάνιση του βιβλίουø κυρίως επειδή, έχοντας πλήρη κατανόηση του κειμένου και αγάπη προς αυτό, έκανε και εύστοχες προτάσεις για την παιδαγωγική και επιστημονική βελτίωση του χειρογράφου και συνέβαλε σημαντικά στην άρση ασαφειών και τη διόρθωση λαθών. Αν ακόμη παρέμειναν μερικά λάθη ή ασάφειες, αυτό είναι αποκλειστικά ευθύνη του συγγραφέα. Iωάννινα, Απρίλιος 2004 I. Δ. Bέργαδος
1 1 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 1.1 ÐÙÈÊàÊÎ ÊÔàÙÎ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÈÔÈÒÜÙÎÚ, ÈÑÖÓÎ ÑÈÐ ÙÌ ÌØÐÖØÐÙÓÌ ÔÎ ÑÒÐ ÓÈÑÈ, ÌÐ ÔÈÐ ÓÌÊÈÒÎÚ ÙÎÓÈÙÐ ÈÚ ÙÛÎ ÏÌàØÐ È ÛàÔ ÙÜÔÎÏàÔ ÑÈÐ ÛàÔ ÓÌ ÓÌØÐÑÌ Ú ÈØÈÊàÊÖÜÚ ËÐÈ- ÝÖØÐÑàÔ ÌÕÐÙàÙÌàÔ, ÛàÔ ÖÒÖÑÒÎØàÛÐÑàÔ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓàÔ ÑÈÐ ÛàÔ ÌÐËÐÑàÔ ÙÜ- ÔÈØÛÎÙÌàÔ ÛÎÚ»ÈÏÎÓÈÛÐÑÎÚ ÄÜÙÐÑÎÚ. ÖÒÒÈ È Ö ÛÈ È ÖÛÌÒÌ ÙÓÈÛÈ ÛÎÚ ÏÌàØÐ ÈÚ ÛàÔ ÙÜÔÈØÛÎÙÌàÔ ÓÐ ÈÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎÚ ÌÐ ÔÈÐ ÈÔÈ ÈÔÛÌÞÈ.Þ., ÛÖ ÖÛÐ ÈÔ ÓÐÈ ÙÜÔÈØÛÎÙÎ ÓÐ ÈÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌ- ÛÈÉÒÎÛÎÚ Ì ÞÌÐ ÈØÈÊàÊÖ ÙÌ ÓÐÈ ÌØÐÖÞÎ, ÛÖÛÌ Ì ÞÌÐ ÈØÈÊàÊÖ ÑÈÏÌ ÛÈÕÎÚ. Ð ÙÎÚ, ÈÔ ÓÐÈ ÈÔÈÒÜÛÐÑÎ ÙÜÔÈØÛÎÙÎ ÌÐ ÔÈÐ ÊÔàÙÛÎ ÑÈÛÈ ÓÎÑÖÚ ÓÐÈÚ ÑÒÌÐÙÛÎÚ Ì Ð ÌËÎÚ ÑÈÓ ÜÒÎÚ, ÌÐ ÔÈÐ ÒÎØàÚ ÖØÐÙÓÌ ÔÎ ÙÌ ÑÈÏÌ ÙÎÓÌÐ Ö ÛÖÜ Ì Ð Ì ËÖÜ ÖÜ ÌØÐÑÒÌÐ ÌÛÈÐ È Ö ÛÎÔ ÑÈÓ ÜÒÎ. ÔÈÒÖÊÈ ÙÜÓ ÌØÈÙÓÈÛÈ ËÌÔ ÐÙÞÜÖÜÔ ÙÛÎÔ ÌØÐ ÛàÙÎ ÛàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÙÜÔÈØÛÎÙÌàÔ. 1.2 ÂÖ ÓÐÊÈËÐÑÖ Ì Ð ÌËÖ»ÐÊÈËÐÑÖÚ ÈØÐÏÓÖÚ z ÌÐ ÔÈÐ Ì ÔÈ ÍÌÜÊÖÚ ËÐÈÛÌÛÈÊÓÌ ÔàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ (a;b). Ôz 1 =(a 1 ;b 1 ) ÑÈÐ z 2 =(a 2 ;b 2 ),ÛÖÛÌ ÐÙÞÜÖÜÔ ÖÐ ÌÕÎÚ ÐËÐÖÛÎÛÌÚ: (i) z 1 = z 2 ÈÔ a 1 =a 2 ÑÈÐ b 1 = b 2. (ii) z 1 + z 2 =(a 1 ;b 1 )+(a 2 ;b 2 )=(a 1 +a 2 ;b 1 + b 2 ): (1:1) (iii) kz = k (a; b)=(ka; kb); k ØÈÊÓÈÛÐÑÖÚ. (iv) z 1 z 2 =(a 1 ;b 1 )(a 2 ;b 2 )=(a 1 a 2 ÿ b 1 b 2 ; a 1 b 2 +a 2 b 1 ). (1:2) (v) (x; 0) $ x; Ö ÖÜ x 2 RI,ËÎÒÈËÎÛÖ ÙÜÔÖÒÖ ÛàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ Ó ÖØÌÐ ÔÈ ÏÌàØÎÏÌÐ àú Ü ÖÙÜÔÖÒÖ ÛÖÜ ÙÜÔÖÒÖÜ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ. (vi) z =(0; 0) $ 0 (ÓÎËÌÔÐÑÖ ÙÛÖÐÞÌÐ Ö). (1:3) (vii) z =(1; 0) $ 1 (ÓÖÔÈËÐÈÐ Ö ÙÛÖÐÞÌÐ Ö). (1:4)
2 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á (viii) Ô z 6= 0) z ÿ1 = Ö ÛÐÚ (iii), (iv) ÑÈÐ (v) ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ (ix) (0; 1)(0; 1) = ÿ1. a a 2 + b ; ÿ b 2 a 2 + b 2. (1:5) Ô ÙÜÓÉÖÒÐ ÍÖÜÓÌ ÓÌ i ÛÖÔ ÓÐÊÈËÐÑÖ ÈØÐÏÓÖ (0; 1), ËÎÒÈËÎi (0; 1), ÐÙÞÜÌÐ i 2 = ÿ1, ËÎÒÈËÎ Ö ÓÐÊÈËÐÑÖÚ ÈØÐÏÓÖÚ (0; 1) ÌÐ ÔÈÐ Î ÛÌÛØÈÊàÔÐÑÎ ØÐ ÍÈ ÛÖÜ ÿ1. ÂÖÛÌ, ÊØÈÝÖÜÓÌ z =(a;b) = a(1; 0) + b(0; 1) = a + bi: ÛÙÐ, ÖÐ ØÈÕÌÐÚ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈÔÈÊÖÔÛÈÐ ÙÌ ØÈÕÌÐÚ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ. ¾ÓÖÐÈ, ÓÐÈ ÓÐÊÈËÐÑÎ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎ z ÏÈ ÈØÐÙÛÈÔÌÛÈÐ àú ÌÕÎÚ: z (x; y) x + iy; i 2 = ÿ1: ²ØÈÝÖÜÓÌ x =Rez ( ØÈÊÓÈÛÐÑÖ ÓÌ ØÖÚ) ÑÈÐ y =Imz (ÝÈÔÛÈÙÛÐÑÖ ÓÌ ØÖÚ), Ö ÖÛÌ TÖÜÛÖ ËÌÐ ÞÔÌÛÈÐ ÙÛÖ ÁÞ. 1.0. z =Rez + i Imz: (1:6) ÁÞ. 1.0: ÔÈ ÈØÈ ÙÛÈÙÎ ÓÐÊÈËÐÑÖÜ ÈØÐÏÓÖÜ ÙÛÖ ÑÈØÛÌÙÐÈÔÖ Ì Ð ÌËÖ. Ö ÛÖ ÁÞ. 1.0 ÉÒÌ ÖÜÓÌ ÖÛÐ r =(x 2 + y 2 ) 1=2 jzj )z = r(cos + i sin ); ËÎÒÈËÎ z = jzj(cos + i sin ),Ö ÖÜ jzj ÌÐ ÔÈÐ ÛÖ ÓÌ ÛØÖ ÑÈÐ =tan ÿ1 (y=x) ÛÖ ÖØÐÙÓÈ (arg) ÛÖÜ z. Ô ÖØÐ ÙÖÜÓÌ Arg z = Ö ÖÜ 0 <<2p, ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ arg z =2kp +Argz; k =0; 61; 62;... (1:7) ¾ ÈØÐÏÓÖÚ Arg z ÒÌ ÊÌÛÈÐ ÉÈÙÐÑÖ ÖØÐÙÓÈ ÛÖÜ z.
1.2 ¾» ² ³ ¹¾ ³¾ 3 Ö ÛÖÔ ÖØÐÙÓÖ ÛÖÜ ÖØÐ ÙÓÈÛÖÚ ØÖÑÜ ÛÌÐ ÖÛÐ ÛÖ ÖØÐÙÓÈ ÛÖÜ z =0(r =0)ËÌÔ ÖØÐ ÍÌÛÈÐ ÓÖÔÖÙÎÓÈÔÛÈ.» ÖØÌÐ,ÖÓàÚ, ÔÈ Ì ÐÒÌÊÌÐ Arg (0) = 0. ÂÖÐ ËÐÖ ÐÙÞÜÌÐ ÑÈÐ ÊÐÈ ÛÖ z = 1 (r!1), ÑÈÏÖÙÖÔ ÙÛÖ ÙÜÔÖÒÖ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ Ü ÈØÞÌÐ Ì ÔÈ ÓÖÔÖ 1 (ÙÌ ÈÔÛÐ ÏÌÙÎ ÓÌ ÛÖÜÚ ØÈÊÓÈÛÐÑÖÜÚ, Ö ÖÜ Ì ÞÖÜÓÌ +1 ÑÈÐ ÿ1). Ö ÛÈ ÐÖ ÈÔà, ÌÜÑÖÒÈ ÙÜÔÈÊÖÔÛÈÐ ÓÌØÐÑÌ Ú ÈÑÖÓÈ ÐËÐÖÛÎÛÌÚ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ, ÛÐÚ Ö ÖÐ ÌÚ ÈÔÈÝÌ ØÖÜÓÌ ÈÓÌ ÙàÚ ÈØÈÑÈÛà. Ô z 1 = jz 1 j (cos 1 + i sin 1 )ÑÈÐz 2 = jz 2 j (cos 2 + i sin 2 ),ÛÖÛÌ z = z 1 z 2 = jz 1 jjz 2 j 2 (cos 1 cos 2 ÿ sin 1 sin 2 )+i(sin 1 cos 2 + sin 2 cos 1 ) 3 = jz 1 jjz 2 j 2 cos( 1 + 2 )+i sin( 1 + 2 ) 3 : ØÈ jzj = jz 1 jjz 2 j ÑÈÐ arg z = arg z 1 +argz 2 : Ð ÙÎÚ, ËÖÏÌ ÔÛÖÚ ÌÔÖÚ ÓÐÊÈËÐÑÖÜ z = x + iy, Ö ÙÜÍÜÊÎÚ ÈÜÛÖÜ ÖØÐ ÍÌÛÈÐ àú ÌÕÎÚ: z 3 = x ÿ iy; ËÎÒÈËÎ ÑÈÔÖÜÓÌ ÛÎÔ ÈÔÛÐÑÈÛÈÙÛÈÙÎ i!ÿi. ¾Ð ØÈÕÌÐÚ z 3 ÑÈÐ z 1 z 2 Ì ÞÖÜÔ È ÒÎ ÊÌàÓÌÛØÐÑÎ ÌØÓÎÔÌÐ È, Î Ö ÖÐ È ËÌÐ ÞÔÌÛÈÐ ÙÛÈ ÁÞÎÓÈÛÈ 1.1b ÑÈÐ 1.1a. ÁÞ. 1.1a: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ ÈÔÈ ÈØÈ - ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÊÐÔÖÓÌ ÔÖÜ ËÜ Ö ÓÐÊÈËÐ- ÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ. ÁÞ. 1.1b: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ ÈÔÈ ÈØÈ - ÙÛÈÙÎ ÛÖÜ ÙÜÍÜÊÎ ÌÔÖ Ú ÓÐÊÈËÐÑÖÜ ÈØÐÏÓÖÜ. ÁÞ. 1.1c: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ È ÌÐÑÖ ÔÐ- ÙÎ ØÖ ÙÏÌÙÎÚ ËÜ Ö ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ. ¾ àú ÝÈÐ ÔÌÛÈÐ ÙÛÖ ÁÞ. 1.1b, ÛÈ z ÑÈÐ z 3 ÑÌÐ ÔÛÈÐ ÙÜÓÓÌÛØÐÑÈ àú ØÖÚ ÛÖÔ ÈÕÖÔÈ ÛàÔ x.
4 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á ÜÑÖÒÈ È ÖËÌÐÑÔÜÖÔÛÈÐ ÖÐ ÌÕÎÚÐËÐÖÛÎÛÌÚ: (i) z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + i(y 1 + y 2 ). ²ÌàÓÌÛØÐÑÈ, ÛÖÈÏØÖÐÙÓÈ ÉØÐ ÙÑÌÛÈÐ ÓÌ ÛÖÔ ÑÈÔÖÔÈ ÛÖÜ ÈØÈÒÒÎÒÖÊØÈÓÓÖÜ (ÁÞ. 1.1c). (ii) jz 1 z 2 j = jz 1 jjz 2 j. (iii) jz 1 + z 2 jjz 1 j + jz 2 j. (iv) (v) jz1 jÿjz 2 j jz1 + z 2 j. z x 1 1 + iy x 1 1x 2 + y 1 y 2 = = z 2 x 2 + iy 2 x 2 2 2 + y 2 (vi) jzj 2 = x 2 + y 2 = zz 3. (vii) (z 1 z 2 ) 3 = z 3 1 z3 2. + i y 1x 2 ÿ y 2 x 1 ; z x 2 2 2 6=0. 2 + y 2 ¾Ð ÙÞÌ ÙÌÐÚ (iii) ÑÈÐ (iv) ÌÐ ÔÈÐ ÊÔàÙÛÌ Ú àú ÛØÐÊàÔÐÑÎ ÈÔÐÙÖÛÎÛÈ. 1.3 ÁÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ ÓÐÊÈËÐÑÎ Ú ÓÌÛÈÉÒÎÛÎ Ú ¾ØÐÙÓÖ Ú: ÁÜÔÈØÛÎÙÎ ÛÎÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎÚ z; f(z),ìð ÔÈÐ Ì ÔÈÚ ÑÈÔÖÔÈÚ ÖÜ ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÐ ÍÌÐ Ì ÔÈ ÓÐÊÈËÐÑÖ ÈØÐÏÓÖ w 2 T ÙÌ ÑÈÏÌ ÓÐÊÈËÐÑÖ z 2 S : z! w = f(z). ÂÖ ÙÜÔÖÒÖ S ÌÐ ÔÈÐ ÛÖ ÌËÐ Ö ÖØÐÙÓÖÜ ÛÎÚ f ÑÈÐ ÛÖ ÙÜÔÖÒÖ T ÛàÔ ÙÎÓÌÐ àô w ÌÐ ÔÈÐ ÛÖ ÌËÐ Ö ÛÐÓàÔ ÛÎÚ.ÂÈÙÜÔÖÒÈ S ÑÈÐ T Ó ÖØÌÐ ÔÈ ÌÐ ÔÈÐ ÖÒÖÑÒÎØÖ ÛÖ ÓÐÊÈËÐÑÖ Ì Ð - ÌËÖ. ³ÜÙÛÜÞàÚ, ËÌÔ Ó ÖØÖÜÓÌ ÔÈ ÈØÈÙÛÎÙÖÜÓÌ ÊØÈÝÐÑÈ ÛÎÔ È ÌÐÑÖÔÐÙÎ, ÌÝÖÙÖÔ ÞØÌÐÈÍÖÓÈÙÛÌ ÌØÐÙÙÖÛÌØÌÚ È Ö ÛØÌÐÚ ËÐÈÙÛÈÙÌÐÚ. ²ÐÈ ÊÌàÓÌÛØÐÑÎ È ÌÐÑÖÔÐÙÎ ÙÜÔÎÏàÚ ÞØÎÙÐÓÖ ÖÐÖÜÓÌ ÑÈÐ ÛÈ ËÜÖ Ì Ð ÌËÈ, z ÑÈÐ w, Ö àú ÙÛÖ ÁÞÎÓÈ 1.2a. ²ØÈÝÖÜÓÌ w = u + i. ÁÞ. 1.2a: ÁÞÎÓÈÛÐÑÎ È ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ ÛÖÜ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓÖÜ w = f(z). ÂÖa ÎÊÈÐ ÔÌÐ ÙÛÖ a 0 ÛÖ b ÙÛÖ b 0 Ñ.Ö.Ñ.
1.3 Áü À Á Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 5 ÁÞ. 1.2b: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ È ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ ÛÖÜ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓÖÜ w =1=z; z 6= 0:S = fz 2 CI ÓÌ jzj 1, z 6= 0g, T = fw 2 CI, jwj 1g. ÂÖCI ÙÜÓÉÖÒÐ ÍÌÐ ÛÖ ÙÜ ÔÖÒÖ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ. ÈØÈËÌÐ ÊÓÈÛÈ: ²ÐÈ ÛÐÚ ÐÖ ÑÈÛà ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ f(z) ÏÈ ÉØÌÏÖÜÔ ÖÐu ÑÈÐ. (i) f(z) = 1 z ; z 6= 0) x zÿ1 = x 2 + y ; ÿ y. 2 x 2 + y 2 ØÈ (ÑÖÐ ÛÈÕÌ ÁÞ. 1.2b), x u = ÑÈÐ = ÿ y x 2 + y 2 x 2 + y 2. (ii) (iii) f(z) =z 3 = x ÿ iy = w ) u = x ÑÈÐ = ÿy. f(z) =z 2 =(x + iy) 2 = x 2 ÿ y 2 + i2xy ) u = x 2 ÿ y 2 ÑÈÐ =2xy (ÑÖÐ ÛÈÕÌ ÁÞÎÓÈ 1.2c). (iv) ÌÑÏÌÛÐÑÎ ÙÜÔÈ ØÛÎÙÎ ÖØÐ ÍÌÛÈÐ àú ÌÕÎÚ: e z e x+iy e x (cos y + i sin y): ÂÖÛÌ, u(x; y) =e x cos y; (x; y) =e x sin y: Ö ÛÖÔ ÈØÈ ÈÔà ÖØÐÙÓÖ ËÐÈ ÐÙÛàÔÖÜÓÌ ÖÛÐ e z 1 ez 2 = e x 1 (cos y 1 + i sin y 1 ) e x 2 (cos y 2 + i sin y 2 ) = e x 1+x 2 2 cos(y1 + y 2 )+i sin(y 1 + y 2 ) 3
6 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á ÁÞ. 1.2c: H È ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ w = f(z) =z 2. ³ÌÐ ÞÔÌÛÈÐ Î ÌØÐÖÞÎ ÛÖÜ ÞàØÖÜ jim f(z)j 1, 1 Ì Ð ÌËÈ z ÑÈÐ w. ÙÛÈÏÌØÈ, ÙÛÈ = e x 1+x 2 +i(y 1 +y 2 ) = e x 1+iy 1 +x 2 +iy 2. ØÈ e z 1 ez 2 = e z 1+z 2 (Ö àú ÑÈÐ ÙÛÖÜÚ ØÈÊÓÈÛÐÑÖÜÚ). (v) ÂØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú ÙÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ: Ôz = iy, Ì ÞÖÜÓÌ A Ö ÈÜÛÌ Ú ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ e z = e iy = cos y + i sin y ÑÈÐ e ÿiy = cos y ÿ i sin y: (1:8) cos y = 1 2 (eiy + e ÿiy ); sin y = 1 2i (eiy ÿ e ÿiy ): (1:9) ÛÙÐ, Î ÙÞÌ ÙÎ z = jzj (cos + i sin ) ÊØÈÝÌÛÈÐ z = jzj e i. (1:10) (vi) ÂØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ ÓÐÊÈËÐÑÎÚ ÓÌÛÈÉÒÎÛÎÚ: cos z 1 2 (eiz + e ÿiz ); sin z 1 2i (eiz ÿ e ÿiz ); tan z sin z cos z ; cot z cos z sin z : (1:11)
1.3 Áü À Á Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 7 ÜÑÖÒÈ ËÐÈ ÐÙÛàÔÖÜÓÌ ÖÛÐ cos z = cos(ÿz) sin z = ÿ sin(ÿz) (ÈØÛÐÈ), ( ÌØÐÛÛÎ), sin(z +2p) = sin z; cos(z +2p) = cos z (sin z) 3 = ÿ1 2i (eiz ÿ e ÿiz ) 3 = ÿ1 2i (eÿiz3 ÿ e iz3 ) = sin z 3 (vii) à ÌØÉÖÒÐÑÌ Ú ÙÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ: ( ÌØÐÖËÐÑÎ ÓÌ ÌØÐ ÖËÖ 2p), Ñ.Ö.Ñ. cosh z 1 2 (ez + e ÿz ); sinh z 1 2 (ez ÿ e ÿz ); (1:12) tanh z sinh z cosh z ; cosh z coth z sinh z : ÙÞÜÌÐ cos(iz) = 1 2 h ei(iz) + e ÿi(iz) i = 1 2 (ez + e ÿz ); ËÎÒÈËÎ cos (iz) = cosh z: ¾ÓÖÐÈ, sin (iz) =i sinh z: E Ð ÙÎÚ, cosh 2 z ÿ sinh 2 z = 1 4 e2z + e ÿ2z +2 ÿ 1 1ÿ 1 ÿ =1; ËÎÒÈËÎ ÑÈÐ ÊÐÈ ÓÐÊÈËÐÑÖÜÚ ÈØÐÏÓÖÜÚ ÐÙÞÜÌÐ cosh 2 z ÿ sinh 2 z =1: 4 e2z + e ÿ2z ÿ 2 Î (viii) ÂØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú ÛÈÜÛÖ ÛÎÛÌÚ: e i = cos + i sin ) e in = (cos + i sin ) n = X n k=0 n i k (sin ) k (cos ) (nÿk) k
8 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á X n cos(n) +i sin(n) = k=0 n i k (sin ) k (cos ) nÿk : k ÐÖ ÈÔà ÛÈÜÛÖÛÎÛÈ ÌÐ ÔÈÐ ÐÙÖËÜÔÈÓÎ ÓÌ ËÜÖ ÛÈÜÛÖÛÎÛÌÚ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ: cos(n) = X a r=0 (ÿ) r n 2r h i (sin ) 2r (cos ) nÿ2r ; a= n 2 ; X b sin(n) = r=0 (ÿ) r n 2r +1 (sin ) 2r+1 (cos ) nÿ(2r+1) ; b = n ÿ 1 2 ; Ö ÖÜ [x] ËÎÒàÔÌÐ ÛÖ ÈÑÌ ØÈÐÖ ÓÌ ØÖÚ ÛÖÜ x ÑÈÐ.Þ., ÊÐÈ n =2ÑÈÐ n =4Ì ÞÖÜÓÌ n k = n! k!(n ÿ k)! : cos (2) = cos 2 ÿ sin 2 ; sin (2) =2sin cos ; cos (4) = cos 4 ÿ 6 cos 2 sin 2 +sin 4 = 2 cos 2 (2) ÿ 1; sin (4) =4sin cos 3 ÿ 4sin 3 cos = 2 sin (2) cos (2): ¾Ð ÈØÈ ÈÔà ÙÞÌ ÙÌÐÚ Ó ÖØÖÜÔ ÔÈ ØÖÑÜßÖÜÔ ÑÈÐ ÓÌ ÓÌÏÖËÖÜÚ ÛØÐÊàÔÖÓÌÛØÐÑÌ Ú. 1.4 ÒÌÐÖ ÛÐÓÌÚ ÙÜÔÈØÛÎ ÙÌÐÚ ÓÐ ÈÚ ÓÐÊÈËÐÑÎ Ú ÓÌÛÈÉÒÎÛÎ Ú ¾ÒÌÚ ÖÐ ÐÖ ÈÔà ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ Ì ÞÖÜÔ ÛÎÔ ÌÕÎÚ ÐËÐÖÛÎÛÈ: ÁÌ ËÖÙÓÌ ÔÖ ÙÎÓÌÐ Ö z 2 S ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÌÐ ÓÐ ÈÓÖÔÖ ÌÐÑÖÔÈ w 2 T.±Ì ÉÈÐÈ, ÓÌØÐÑÌ ÚÝÖØÌ Ú, Î È ÌÐÑÖÔÐÙÎ ËÌÔ ÌÐ ÔÈÐ 1-1 (Ì ÔÈ ØÖÚ Ì ÔÈ),.Þ. w = e z = e z+2pmi, m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. ÁÛÐÚ ÌÝÈØÓÖÊÌ Ú, È ÈÔÛàÔÛÈÐ ÌØÐ ÛàÙÌÐÚ ûùüôèøûîùìàôý ÖÜ ÞÈØÈÑÛÎØÐ ÍÖ- ÔÛÈÐ È Ö ÈÙÈÝÎ ÑÈÔÖÔÈ ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÐ ÈÚ. ¾Ð»ÈÏÎÓÈÛÐÑÖÐ ËÌÔ ÈØÈËÌ ÞÖÔÛÈÐ ÛÖÜÚ ÑÈÔÖÔÌÚ ÈÜÛÖÜÚ àúùüôèøûîùìðú ÖÐ ÄÜÙÐÑÖÐ ÖÓàÚ ÛÖÜÚ ËÌ ÞÖÔÛÈÐ, Ì ÌÐËÎ Ð- ÙÛÌÜÖÜÔ àú ÈÑÖÓÈ ÑÈÐ Ì ÔÈÚ ÑÈ àú ÈÙÈÝÎÚ ÑÈÔÖÔÈÚ ÌÐ ÔÈÐ ØÖÛÐÓÖÛÌØÖÚ È Ö ÛÎÔ Ì ÒÒÌÐßÎ Ö ÖÐÖÜËÎ ÖÛÌ ÑÈÔÖÔÈ. ÒÒàÙÛÌ, ÑÈÏàÚ ÏÈ ËÖÜÓÌ, ÌÐ ÔÈÐ ËÜÔÈÛÖÔ Ö ÑÈÔÖ- ÔÈÚ ÔÈ ÊÐ ÔÌÐ ÙÈÝÎÚ ÑÈÐ Î ÙÜÔÈØÛÎÙÎ ÓÖÔÖÛÐÓÎ. 1.4.1 ºÖÊÈ ØÐÏÓÖÚ ln z (ÝÜÙÐÑÖ Ú ÒÖÊÈ ØÐÏÓÖÚ) Õ' ÖØÐÙÓÖÜ f(z) =lnz, e f(z) = z; z 6= 0: (1:13)
1.4 º ¾Â» Á Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 9 O ÐÖ ÈÔà ÑÈÔÖÔÈÚ (ÖØÐÙÓÖÚ) ËÌÔ ÌÐ ÔÈÐ ÙÈÝÎÚ. ØÈÊÓÈÛÐÑÈ, Ì ÙÛà f(z) =w = u + i ) e u+i = z = jzj (cos + i sin ) Î e u (cos + i sin ) jzj (cos + i sin ) ) e u = jzj; = +2pm; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. AÒÒÈ, ÌÝÖÙÖÔ u ÑÈÐ jzj ÌÐ ÔÈÐ ØÈÊÓÈÛÐÑÖÐ ÈØÐÏÓÖÐ, u =lnjzj. ÛÙÐ, ÛÌÒÐÑÈ, ÉØÐ - ÙÑÖÜÓÌ ÖÛÐ ln z = w = u + i =lnjzj + i(argz +2pm) Î w m =lnz =lnjzj + i(argz +2pm); m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. (1:14) O ØÖÎÊÖÜÓÌÔÖÚ ÑÈÔÖÔÈÚ ËÌÔ ÌÐ ÔÈÐ ÙÈÝÎÚ. ÔÈÒÖÊÈ ÓÌ ÛÎÔ ÛÐÓÎ ÛÖÜ m ÓÈÚ ËÐ ÔÌÐ ËÐÈÝÖØÌÛÐÑÖÜÚ ÓÐÊÈËÐÑÖÜÚ ÈØÐÏÓÖÜÚ (ÌÐÑÖÔÌÚ) ln z, ËÎÒÈËÎ ÙÌ ÑÈÏÌ ÓÐÊÈËÐÑÖ z ÈÔÛÐÙÛÖÐÞÖÜÔ È ÌÐØÖÐ ÓÐÊÈËÐÑÖÐ ÈØÐÏÓÖÐ ln z. ÌÑÒÖÊÎ ÛÖÜ m ØÖÙËÐÖØÐ ÍÌÐ, Ö àú ÏÈ ËÖÜÓÌ ÐÖ ÑÈÛà, Ì ÔÈÔ ÑÒÈËÖ ÛÎÚ ÒÌÐÖÛÐÓÎÚ ÙÜÔÈØÛÎÙÎÚ ln z. ÁÎÓÌÐ àùî 1: ÁÛÖ Ì Ð ÌËÖ ÛàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ ÑÈÐ ÖÐ ÈØÔÎÛÐÑÖÐ ÈØÐÏÓÖÐ Ì ÞÖÜÔ ÒÖÊÈØÐÏÓÖ,.Þ. Ö ln(ÿ1) Ü ÈØÞÌÐ. ÞÖÜÓÌ Arg(ÿ1) = p. ÁÜÔÌ àú, ln(ÿ1) = ln 1 + i(p +2pm) =pi(2m +1); m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, ØÈÊÓÈ ÖÜ Ó ÖØÌÐ ÌÜÑÖÒÈ ÔÈ Ì ÐÉÌÉÈÐàÏÌÐ : e pi(2m+1) = e 2pim e pi = e ip = cos p + i sin p = ÿ1: ÁÎÓÌÐ àùî 2: ÑÖÓÈ ÑÈÐ ÖÐ ÒÖÊÈØÐÏÓÖÐ ÏÌÛÐÑàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ, ÙÛÖ ÓÐÊÈËÐÑÖ Ì Ð ÌËÖ, ÊÐ ÔÖÔÛÈÐ ÒÌÐÖÛÐÓÌÚ ÙÜÔÈØÛÎÙÌÐÚ..Þ., ÈÔ z = x; x > 0, ²ØÈÝÖÜÓÌ Argz =0) ln z =lnjxj +2pim; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. ln(x + i0) = ln jxj +2pim: ÁÎÓÌÐ àùî 3: ÒÌÐÖÛÐÓÐ È ÏÈ ØÌ ÌÐ ÔÈ ÓÈÚ ÑÈÔÌÐ ÑÈ àú ØÖÙÌÑÛÐÑÖÜÚ ÖÛÈÔ ÊÌÔÐÑÌÜÖÜÓÌ ÛÐÚ ÐËÐÖÛÎÛÌÚ ÛàÔ ÒÖÊÈØÐ ÏÓàÔ ØÈÊÓÈÛÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ..Þ., ÊÌÔÐÑÈ, ln(z 1 z 2 ) 6= lnz 1 +lnz 2 : ØÈÊÓÈÛÐÑÈ, ln(z 1 z 2 )=ln jz 1 jjz 2 je i( 1+ 2 ) :
10 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á ÂÖÛÌ Arg (z 1 z 2 )= 1 + 2 kai jz 1 z 2 j = jz 1 jjz 2 j) ln(z 1 z 2 )=ln ÿ jz 1 jjz 2 j 1 + i( 1 + 2 +2pm) ) (1:15) ln(z 1 z 2 )=lnjz 1 j +lnjz 2 j + i( 1 + 2 +2pm): ÕÈÒÒÖÜ, ln z 1 =lnjz 1 j + i( 1 +2kp) ln z 2 =lnjz 2 j + i( 2 +2`p) 9 >= >; ) ln z 1 +lnz 2 =lnjz 1 j +lnjz 2 j + i( 1 + 2 +2kp +2`p); k; ` ÈÑÌ ØÈÐÖÐ. (1:16) ³ÎÒÈËÎ, ÊÐÈ ÛÜÞÖÔÛÌÚ ÈÑÌØÈÐ ÖÜÚ m, k, `, Ì ÞÖÜÓÌ ln (z 1 z 2 ) 6= lnz 1 +lnz 2 : (1:17a) ¾ÓÖÐÈ, Ú ËÖÜÓÌ ÓÐÈ ÌÐËÐÑÎ ÌØÐ ÛàÙÎ: p 4lni =4i +2pm 2 ln z m 6= m ln z: (1:17b) = i(2p + 8pm); m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, ln i 4 =ln1=2pmi; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. ØÈ 4lni 6= lni 4 : ¾ ÑÒÈËÖÚ m = 0 ÑÈÒÌÐ ÛÈÐ ÉÈÙÐÑÖÚ ÑÒÈËÖÚ ÛÎÚ ÙÜÔÈØÛÎÙÎÚ ln z ÑÈÐ ÙÜÓÉÖÒÐ ÍÌÛÈÐ Ln z. Ð ÔÈÐ Ln z =lnjzj + i Arg z: (1:18) ÈØÈÛÎØÖÜÓÌ Ì Ð ÙÎÚ ÖÛÐ Î ÙÞÌ ÙÎ (1.17b) ÐÙÞÜÌÐ ÈÑÖÓÈ ÑÈÐ ÊÐÈ ÛÖ ÉÈÙÐÑÖ ÒÖÊÈ- ØÐÏÓÖ: 4Lni =2pi; Ln (i 4 )=0. 1.4.2 ÀÐ ÍÌÚ È ÒÌ ÓÌ ÖÛÐ Î ÙÜÔÈØÛÎÙÎ w = f(z) ÌÐ ÔÈÐ ÛÌÛØÈÊàÔÐÑÎ ØÐ ÍÈ ÛÖÜ z, ËÎÒÈËÎ
1.4 º ¾Â» Á Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á 11 p w z z 1=2 ; ÈÔ w 2 = z: (1:19) ÙÛà z = jzje i ÑÈÐ w = jwje if. ÌÕÐ ÙàÙÎ (1.19) ÊÐ ÔÌÛÈÐ jwj 2 e 2if = jzje i )jwj 2 = jzj; 2f = +2pm; jwj = p jzj kai f = + pm; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ 2 m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, Î ÜÑÖÒÈ ËÐÈ ÐÙÛàÔÖÜÓÌ ÖÛÐ w m = jzj 1=2 e i(=2+pm) ; m =0: w 0 = jzj 1=2 e i=2 ; m ÈÑÌ ØÈÐÖÚ. m =1: w 1 = jzj 1=2 e i(=2+p) = jzj 1=2 e i=2 e ip = ÿw 0 ; m =2: w 2 = jzj 1=2 e i(=2+2p) = w 0 ; m = ÿ1 : w ÿ1 = ÿw 0 Ñ.Ö.Ñ. ²ÌÔÐÑÈ, w m =(ÿ1) m w 0 = 8 < : w 0 ; ÿw 0 ; m ÈØÛÐÖÚ m ÌØÐÛÛÖÚ. ÙÜÔÈØÛÎÙÎ w ÌÐ ÔÈÐ ËÐ ÒÖÛÐÓÎ, ËÎÒÈËÎ Ì ÞÌÐ ËÜÖ ÑÒÈËÖÜÚ.»Ì ÈÒÒÈ ÒÖÊÐÈ, Î ÌÕÐ ÙàÙÎ w 2 ÿ z =0(z ÊÔàÙÛÖ) Ì ÞÌÐ ËÜÖ ØÐ ÍÌÚ, ØÈÊÓÈ ÖÜ ÈÒÒàÙÛÌ ÌØÐÓÌ ÔÖÜÓÌ. ÔÈÒÖÊÈ, ÉØÐ ÙÑÖÜÓÌ ÖÛÐ Î w = f(z) =z 1=n ; n ÈÑÌ ØÈÐÖÚ, ÌÐ ÔÈÐ ÒÌÐÖÛÐÓÎ ÑÈÐ Ì ÞÌÐ ÛÖÜÚ ÌÕÎÚ ÑÒÈËÖÜÚ: w m = jzj 1=n e i(+2pm)=n = jzj 1=n e i =n+2pm=n ( ) : (1:20) ÁÞ. 1.3a: ÌÐÑÖ ÔÐÙÎ ÛÖÜ ÓÌÛÈÙÞÎÓÈÛÐÙÓÖÜ w = z 1=2.
12 Áü À Á Á» Á» ² ³ ¹ Á»  ±º  Á» ÖØÖÜÓÌ ÔÈ ËÐÈÒÌ ÕÖÜÓÌ m>0. ÄÜÙÐÑÈ, ÓÖÔÖ ÊÐÈ m =0; 1; 2;...;nÿ 1 ÈÐ Ø- ÔÖÜÓÌ ËÐÈÝÖØÌÛÐÑÌ Ú ÛÐÓÌ Ú *, ÑÈÏÖÙÖÔ ÐÙÞÜÖÜÔ w n = w 0 ; w n+k = w k ; k =0; 1; 2;... ; ËÎÒÈËÎ Î ÙÜÔÈØÛÎÙÎ f(z) =z 1=n Ì ÞÌÐ n ÑÒÈËÖÜÚ. ÁÜÔÌ àú, Î ÌÕÐ ÙàÙÎ w n ÿ z =0 (z ÊÔàÙÛÖ) Ì ÞÌÐ n ØÐ ÍÌÚ..Þ., ÊÐÈ n =4Ì ÞÖÜÓÌ ÛÎÔ ÌÐÑÖÔÈ ÛÖÜ ÁÞ. 1.3b. ÁÞ. 1.3b: ²ÌàÓÌÛØÐÑÎ ÈÔÈ ÈØÈ ÙÛÈÙÎ ÛàÔ ÛÌ ÛÈØÛàÔ ØÐÍàÔ ÛÖÜ ÓÐÊÈËÐÑÖÜ ÈØÐÏÓÖÜ z. ÂÈ ÐÖ ÈÔà Ó ÖØÖÜÔ ÔÈ ÞØÎÙÐÓÖ ÖÐÎÏÖÜÔ ÊÐÈ ÛÖÔ Ü ÖÒÖÊÐÙÓÖ ÛàÔ ØÐÍàÔ ÓÐÊÈËÐÑàÔ ÈØÐÏÓàÔ..Þ.: (È) à ÖÒÖÊÐÙÓÖÚ ÛÖÜ w = 8p 1. ÞÖÜÓÌ Arg 1 = 0; j1j =1, ËÎÒÈËÎ w m = e i 2 pm=8 ; m =0; 1; 2;... ; 7; w 2 = e i p=2 = i; w 3 = e i 3p 6p=8 = cos 4 + i 3p sin 4 = p 1 (ÿ1 +i); 2 p + w 0 =1; w 1 = e i p=4 = cos p 4 + i sin p 4 = 1 2 p i = 1 2 2 p (1 + i); w 4 = e i p = ÿ1; w 5 = e i 5p=4 = p 1 (ÿ1 ÿ i); 2 * È Ó ÖØÖÜÙÈÓÌ ÉÌ ÉÈÐÈ ÔÈ ÌÐ ÞÈÓÌ ËÐÈÒÌ ÕÌÐ m 0, Ö ÖÛÌ ÖÐ ÈÔÌÕÈØÛÎÛÌÚ ØÐ ÍÌÚ ËÐ ÔÖÔÛÈÐ È Ö ÛÐÚ ÛÐÓÌ Ú m =0; ÿ1; ÿ2;...; ÿ(n ÿ 1).