Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012

ÐÐ Å Ñ Ø È Φυλλο 11, 27 Απριλιου 2012 ÔÖÓ Ø Ñ Ô Ø Ò Ð Á ØÓÖ Ñ Ñ Ø Ø ÕÓÐ ³ Ð Ö º ½ ΓιάννηςΘωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Εισαγωγή Σ ένα από τα τελευταία τεύχη του μαθητικού περιοδικού Ευκλείδης Β (Νο 82, Οκτώβριος- Νοέμβριος- Δεκέμβριος 2011, σελ. 25) δημοσιεύτηκε η ακόλουθη άσκηση: Δίνεταιηεξίσωση αx 2 +βx+γ= 0,α 0. Εάν α+β+γ < α ναδείξετεότιηεξίσωσηέχειμία τουλάχιστον ρίζα μεταξύ 0 2. Η συγκεκριμένη άσκηση προέρχεται από τον«σκληρό πυρήνα» της παραδοσιακής ασκησιολογίας του δευτεροβάθμιου τριωνύμουτωναπολύτωντιμώνηεπίλυσήτηςστονευκλείδηβ ακολουθεί τη σχετική«μεθοδολογία». Με τη βοήθεια των τύπων του Viéte η δοθείσα σχέση των συντελεστών της εξίσωσης μετασχηματίζεται σε μία σχέση μεταξύ των ριζών από την οποία συνάγεται το ζητούμενο. Αντιγράφουμε τη λύση της άσκησης όπως ακριβώς παρουσιάστηκε στον Ευκλείδη Β : Εχουμε: α+β+γ < α α >0 α+β+γ α <1 α+β+γ <1 α 1+ β α + γ α <1 1 (ρ 1 +ρ 2 )+ρ 1 ρ 2 <1 1 ρ 1 ρ 2 +ρ 1 ρ 2 <1 (1 ρ 1 ) ρ 2 (1 ρ 1 ) <1 (1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) <1 1 ρ 1 1 ρ 2 <1 1 ρ 1 <1 (1) ή 1 ρ 2 <1 (2). (1) 1<1 ρ 1 <1 2< ρ 1 <0 2>ρ 1 >0. Ομοίως(2) 2>ρ 2 >0 Τα προηγούμενα εγείρουν αρχικά δύο ενστάσεις μαθηματικού περιεχομένου: Κανένα στοιχείο στα δεδομένα της άσκησης δεν εξασφαλίζει ότι ηεξίσωσηέχειτιςπραγματικέςρίζες ρ 1 ρ 2 πουεμφανίζονται στην πορεία της απόδειξης. Π.χ., οι συντελεστές της δευτεροβάθμιαςεξίσωσης 4x 2 2x+1=0ικανοποιούντηνυπόθεση Ò Ñ Ø Ò Ô Ö Ø Ð Ö º ƺ˺ŠÙÖÓ ÒÒ ÖÅ Ñ Ø ôò ØÙ Ì ÔÓ Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ È Ö Ñ Ø Ä Ó Ô Ñ Ð ËØÓ Õ Ó Ø Ø Ñ ØÓLA www.nsmavrogiannis.gr/ekthetis.htm TEX¾ε mavrogiannis@gmail.com α+β+γ < α αλλάησυγκεκριμένηεξίσωσηδενέχειπραγματικές ρίζες. Θα πρέπει λοιπόν να προστεθεί στα δεδομένα ως υπόθεση η ύπαρξη πραγματικών ριζών ή κάποια συνθήκη που τηνεξασφαλίζει(π.χ. ρ 1 ρ 2 ). Αντίθετα,ηυπόθεση α 0 που δίνεται είναι περιττή επειδή προκύπτει άμεσα από τη δοθείσα σχέση α+β+γ < α. Κρίνοντας τώρα τα γραφόμενα από διδακτική άποψη εγείρονται ενστάσεις άλλου είδους: Οτρόποςπουεκτίθεταιηλύσητηςάσκησηςσ έναπεριοδικό για μαθητές του Λυκείου δεν απέχει πολύ από τη μηχανική εφαρμογή μιας αλγοριθμικής διαδικασίας, από την οποία απουσιάζει όχι μόνο η ακριβολογία που πρέπει να χαρακτηρίζει τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο επίπεδο του Λυκείου, αλλά η διαύγεια. Ποια σκοπιμότητα εξυπηρετεί η συρρίκνωση της φυσικής γλώσσας στη χρήση δύο μόνο λέξεων, των«εχουμε» «Ομοίως»; Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να υποστηρίξουμε ότι για τους μαθητές της Α Λυκείου(στους οποίους απευθύνεται η άσκηση) θα είχε ίσως μεγαλύτερη διδακτική αξία η οργάνωση μιας δραστηριότητας, με αντικείμενο τη μελέτη της προηγούμενης απόδειξης στόχο να εντοπιστούν να αποκατασταθούν τα δύο προβληματικά σημεία που αναφέρθηκαν. Δραστηριότητες αυτού του είδους αποτελούν ίσως το μόνο τρόπο καταπολέμησης της άκριτης εφαρμογής τεχνικών, τύπων «μεθοδολογίας» που κυριαρχεί σήμερα στη διδασκαλία των Μαθηματικών συμβάλει ευθέως στην υποβάθμισή της. Η συγκεκριμένη άσκηση όμως περικλείει ιδιαίτερη μαθηματική ¾ διδακτική δυναμική έχει μια ενδιαφέρουσα ιστορία, που ανάγεται σε«ένδοξες» εποχές της νεοελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης. Με αφορμή λοιπόν τη δημοσίευσή της στον Ευκλείδη θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία αυτής της ιστορίας θα σκιαγραφήσουμε ορισμένες μαθηματικές διδακτικές προεκτάσεις. Μερικά στοιχεία από την ιστορία της άσκησης Η άσκηση πρωτοεμφανίστηκε στην ελληνική βιβλιογραφία το 1955,σ έναμικρόβιβλίοπουεκδόθηκεστηναθήναέφερε τον τίτλο Γενικαί Ασκήσεις Αλγέβρας των Απολύτων Τιμών Ανισοτικών Συστημάτων. Συγγραφέας του βιβλίου ήταν ένας σημαντικός δάσκαλος- φροντιστής εκείνης της εποχής, ο μαθηματικός Βάσος Σαββαΐδης. Η άσκηση, η οποία ανήκει στις προτεινόμενες προς λύση, διατυπώνεται στο βιβλίο με διαφορετικήυπόθεσηαλλάμετοίδιοσυμπέρασμα,ωςεξής(σελ.65): Δίδεται η με πραγματικούς συντελεστάς εξίσωσις αx 2 +βx+γ=0όπουυποτίθεται α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ (1) Αν αι ρίζαι της εξισώσεως είναι πραγματικαί δείξατεότιμίατουλάχιστονρίζα ραυτήςπληροίτην ανισότητα 0<ρ<2. 1

Είναι χαρακτηριστικό ότι στον πρόλογο του βιβλίου του ο Β. Σαββαΐδης διεκδικεί την πατρότητα της συγκεκριμένης άσκησης( πολλών άλλων παρόμοιων) απαγορεύει ρητά την αναδημοσίευσή της!½ Οπως βλέπουμε, στη διατύπωση δεν υπάρχει το περιττό δεδομένο α 0,αλλάγίνεταιηαπαραίτητη-σύμφωναμετοζητούμενο- υπόθεση ότι οι ρίζες είναι πραγματικές. Ας επιχειρήσουμε τώρα να εφαρμόσουμε τη σχετική «μεθοδολογία» μετασχηματισμού της σχέσης των συντελεστών σε αντίστοιχη σχέση των ριζών. Ανονομάσουμερ 1,ρ 2 τιςρίζεςτηςεξίσωσηςδιαιρέσουμε ταμέλητηςανισότητας(1)μετονθετικόαριθμό α 2 βρίσκουμε διαδοχικά: α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ β α γ α > β2 α 2 γ α + γ2 α 2 β α (ρ 1+ρ 2) ρ 1ρ 2 > (ρ 1+ρ 2) 2 ρ 1ρ 2 + (ρ 1ρ 2) 2 +ρ 1+ρ 2 ρ 1+ρ 2+ρ 1ρ 2 > ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 1ρ 2 + ρ 2 1ρ 2 2+ρ 1+ρ 2 Απότηντελευταίασχέσηδενφαίνεταιμεποιοτρόποθαμπορούσεναφτάσεικανείςστηζητούμενηανισότητα 0<ρ 1 < 2 ή 0<ρ 2 < 2. Προσπαθώνταςναεξάγουμεκάποιοχρήσιμο συμπέρασμα, παρατηρούμε ότι αν οι δύο ρίζες της εξίσωσης ήταν θετικές, τότε από τη σχέση αυτή προκύπτει δηλαδή ρ 1 +ρ 2 +ρ 1 ρ 2 >ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 1 ρ 2 +ρ 2 1ρ 2 2+ρ 1 +ρ 2 ρ 2 1+ρ 2 2+ρ 2 1ρ 2 2<0 που είναι άτοπο. Άρα εκείνο που συνάγεται μέχρι στιγμής από την ανισότητα(1) είναι ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης θα είναι αρνητικός αριθμός. Για να αποδείξουμε λοιπόν το ζητούμενο θα πρέπει να αναζητήσουμε κάποιο διαφορετικό μετασχηματισμό της (1). Λαμβάνοντας υπόψη (βλέπε παραπάνω την απόδειξη της άσκησης στον Ευκλείδη) ότι ισχύει η συνεπαγωγή α+β+γ < α 1 ρ 1 1 ρ 2 <1(2) Η αξιοποίηση της δεύτερης ανισότητας μας οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα: α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ α(β γ) > β 2 αγ γ 2 +αβ α(β γ) > (β γ)(β+γ)+α(β γ) α(β γ) > (β γ)(β+γ+α) α β γ > β γ α+β+γ α > α+β+γ (επειδή,όπωςεύκολαπροκύπτειαπότην(1),είναι β γ άρα β γ > 0) Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η ανισότητα (1) συνεπάγεται την ανισότητα α+β+γ < α, από την οποία, όπως έχουμε διαπιστώσει, προκύπτει μέσω της (2) ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα (0, 2). Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω καταλήγουμε στα εξής συμπεράσματα: Η άσκηση που δημοσιεύτηκε το 2011 στον Ευκλείδη αποτελεί μια απλοποιημένη εκδοχή εκείνης που είχε δημοσιευθείτο1955(ηυπόθεση α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ αντικαταστάθηκε από μια συνέπειά της, την α > α+β+γ ). Αναζητώντας τις συνέπειες της ανισότητας (1) διαπιστώσαμε προηγουμένως ότι μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσηςαx 2 +βx+γ=0θαείναιαρνητικόςαριθμός.άρα στην αρχική διατύπωση του Β. Σαββαΐδη, το συμπέρασμα «μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα(0, 2») μπορεί να αντικατασταθεί από το ισχυρότερο «μία μόνο μία ρίζα της εξίσωσης ανήκει στο διάστημα (0,2)». Στα56χρόνιαπουμεσολάβησαναπότο1955μέχριτο2011, παρά τη ρητή απαγόρευση του δημιουργού της, η προηγούμενη άσκηση αναδημοσιεύθηκε στα περισσότερα φροντιστηριακά βιβλία Άλγεβρας στις διάφορες μονογραφίες με θέμα το Τριώνυμο ή τις Απόλυτες Τιμές. Ο σπουδαίος μαθηματικός φροντιστής Σπύρος Κανέλλος, στο δεύτερο τόμο του βιβλίου του Μαθήματα Αλγέβρας (1η έκδοση 1956, 2η έκδοση, 1958), προτείνει δύο μορφές της άσκησης. Αρχικά στο κεφάλαιο ΙΙ Το δευτεροβάθμιον τριώνυμον συγκεκριμένα στις ασκήσεις της ενότητας Άθροισμα γινόμενον των ριζών της δευτεροβαθμίου εξισώσεως(σελ. 18), προτείνεται προς λύση η απλοποιημένη εκδοχή: είναιφανερόότιπριναπότηδιαίρεσημετο αγιατηδημιουργία των τύπων του Viéte, απαιτείται κάποιος μετασχηματισμός που οδηγεί σε απλοποίηση της ανισότητας(1). Στο σημείο αυτό ακριβώς βρίσκεται η ουσιαστική δυσκολία της άσκησης που πρότεινε ο Β. Σαββαΐδης το 1955. Ο λογισμός των απολύτων τιμών ½Ì Ø ØÓÙ½ ¼ ½ ¼Ó ß Ô ÐÙØ Ì Ñ Ð ÔÓØ ÐÓ Ò Ñ Ó ÕÑ Ø Ü Ø Ø Ð Å Ñ Ø ôò Ø Û Ü Ø μας δίνει τα μέσα να μετασχηματίσουμε την(1) ελαττώνοντας το μικρότερο δεξιό μέλος, σύμφωνα με τις ιδιότητες α,β,γτηςδευτεροβαθμίουεξισώσεωςαx 2 +βx+γ= Εάν μεταξύ των (πραγματικών) συντελεστών 0 υφίσταται η ανισότης x + y x+y α > α+β+γ Ò Ô ÓÖ ÓÙÒØ Ò Ò ÑÓ Ù ØÛÒ ÛÒÔÓÙ Õ Ò Ô ÒÓ ºÄ ÔØÓÑ Ö Ñ Ð Ø ØÓÙÞ Ø Ñ ØÓ Ò Ø ØÓ ÂÛÑ ½ к Ñ ØÛÒØ Òß Ô Ò Ù Ð Ð ôò ÛÒ Ü ô Ò ô Ò Ø Ø ØÖ ôòùñó ØÐµÑ Ø Ò ÒÒÓ ØÓ Ñ ÓÐÓØ Ô ÐÙØ Ø Ñ º ÌÓ ÓÒ ÙØ Õ ÔÖÓ Ð ØÓÙ ÖÓÒØ Ø Ø ÔÓÕ Ñ Ö ÒØ ÒØ ÛÒ ÑÓ Ø Ò Ò Þ Ø Ô Ö Û Ô Ö ÑÓ ÛÒ ÛÒ Ñ ÔÓØ Ð Ñ Ò Ù ÐÓ ÓÖÓ Ò Ò Ø ÒÔ ÖÓ Ó Ø Ò ÐÐ Ô Ö Ø Ö Ô ½¼ÔÓÐÙ Ð ÑÓÒÓ Ö ÔÓÙ Õ Ò ÔÓ Ð Ø Ñ Ø Ô ÐÙØ Ì Ñ Ò Ñ ÒÓÑÓÒ Ø Ò Ð Ó Ö µºëùò Ò Ñ Ð Ø ÙÕÒ Ò Ô ÐÓ ÒØ Ó Ù Ö ôñ Ø ÔÒ ÙÑ Ø Ó Ø ØÛÒ º ºÁº Ø Ö ØÓÙÈÓÐÙØ ÕÒ ÓÙµ Ô Ó ÒØ ØÓ ÕÓ Ø ¹ Ñ ØÓ Ø ÕÖ ÑÓÔÓ Ó Ò ÙÕÒ ÛÑ Ó ÓÔ Ö Û ÔÖÛØ ØÙÔÛÒ τότεανηεξίσωσιςέχειπραγματικάςρίζας ρ 1,ρ 2 η ¾¼½¹¾¾½µº Ø Ñ Ð ØÑ ÔÓÙ Õ Ö Ó ÓË Ô Ø Ñ Ñ Ø Ô ÙØ Ó Ò Ø Ø Ø ÔÓÕ Ô Ö Ô ÑÔÓÙÑ x + y x y μία τουλάχιστον τούτων περιέχεται μεταξύ 0 2. Ò ÖÓÙÒ Õ Ø Ó Ëº Ö ½ к½ µ ÂºÃ Þ ÒØÞ ½ к¾ ¹ ¼µ ÄºÌ ÐÓ ÐÓÙ ¾¼¼ к½ µº 2

Στο ίδιο κεφάλαιο, στις ασκήσεις της ενότητας Διάφοροι εφαρμογαί της θεωρίας του τριωνύμου(σελ. 43) προτείνεται προς λύση η αρχική άσκηση, αλλά με το ισχυρότερο συμπέρασμα: Εάν μεταξύ των πραγματικών αριθμών α,β,γ πληρούται η ανισότης Δίδεταιηεξίσωσις αx 2 +βx+γ= 0έχουσαρίζας πραγματικάςταςρ 1 ρ 2.Εάνοιπραγματικοίσυντελεσταί της εξισώσεως πληρούν μίαν των κατωτέρων σχέσεων είτε την α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ α(β γ) > β 2 αγ + γ 2 αβ αιδερίζαιτης αx 2 +βx+γ= 0είναιπραγματικαί, τότεημίαμόνονημίαρίζαθαπεριέχεταιμεταξύ 02. Οι δύο αυτές ασκήσεις περιλαμβάνονται επίσης στις ίδιες ενότητες του δεύτερου τόμου του βιβλίου του Σ. Κανέλλου ΆλγεβραδιαταΛύκεια,(1ηέκδοση1966,2ηέκδοση1970:σελ.31 άσκησηβ-98σελ.64άσκησηβ-167,όπουμετοδιακριτικό Β υποδηλώνονται οι σύνθετες ασκήσεις). Το 1959 εμφανίζεται επίσης ο πρώτος... απόγονος της άσκησης, στο δεύτερο τόμο του βιβλίου του Χρίστου Μπαρμπαστάθη Μεγάλη Άλγεβρα. Στο κεφάλαιο Εξισώσεις του δευτέρου βαθμού προτείνεται προς λύση η επόμενη(σελ. 12): Αν οι συντελεσταί α,β,γ της εξισώσεως αx 2 + βx+γ= 0ηοποίαέχειπραγματικάςρίζας ρ 1,ρ 2 συνδέωνται δια της σχέσεως α > α+2β+4γ η μία τουλάχιστον των ριζών αυτής περιέχεται μεταξύ01. Η απόδειξη είναι ουσιαστικά μια επανάληψη της μεθόδου που εφαρμόστηκεστηνπερίπτωσητηςυπόθεσης α+β+γ < α : α+2β+4γ < α 1+2 β α +4γ α <1 1 2(ρ 1 +ρ 2 )+4ρ 1 ρ 2 <1 1 2ρ 1 2ρ 2 +4ρ 1 ρ 2 <1 (1 2ρ 1 ) 2ρ 2 (1 2ρ 1 ) <1 (1 2ρ 1 )(1 2ρ 2 ) <1 1 2ρ 1 1 2ρ 2 <1 1 2ρ 1 <1 ή 1 2ρ 2 <1 1 2ρ 1 <1 1<1 2ρ 1 <1 2< 2ρ 1 <0 0<ρ 1 <1 είτε την α > α+β+γ. Να αποδειχθεί ότι μία τουλάχιστον των ριζών της εξισώσεως περιέχεται μεταξύ των 0 2. Οι δύο μορφές της άσκησης(ανάλογα με την ανισότητα που δίνεται ως υπόθεση) καθιερώθηκαν έκτοτε στη σχετική βιβλιογραφία εμφανίζονται στα περισσότερα από τα πολυάριθμα βιβλία Άλγεβρας ή τις μονογραφίες για το Τριώνυμο τις Απόλυτες Τιμές που εκδόθηκαν τις επόμενες δεκαετίες. Για να αναφέρουμε ένα μόνο χαρακτηριστικό παράδειγμα, αμφότερες περιέχονται στο κεφάλαιο για την εξίσωση το τριώνυμο 2ου βαθμού όλων των εκδόσεων της περίφημης Άλγεβρας του ΘεόδωρουΚαζαντζή(1967,σελ.2053,1971,σελ.2154, 1978,σελ.25). Σε ορισμένες μάλιστα περιπτώσεις εμφανίστηκαν νέοι... απόγονοι ή επιχειρήθηκαν από τους συγγραφείς εναλλακτικές διατυπώσεις. Στο βιβλίο του Δ. Μάγκου Τριώνυμο(Θεσσαλονίκη, 1978) αφού λύνεται πρώτα η αρχική μορφή(σελ. 11), στη συνέχεια προτείνεται προς λύση μαζί με την απλοποιημένη εκδοχή μια νέα μορφή της άσκησης που έχει διαφορετική υπόθεση συμπέρασμα(σελ. 23): Ανηεξίσωση αx 2 +βx+γ= 0, α,β,γ R,έχει ρίζες πραγματικές, να αποδειχθεί ότι: α)αν α > α+β+γ, τότε μια τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα (0,2). β)αν α > α β+γ, τότε μια τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα ( 2,0). Τον επόμενο χρόνο, οι Α. Κουκλάδας Π. Γεωργιακάκης, στο βιβλίο τους Μεθοδική Άλγεβρα 2(Αθήνα, 1979) στην ενότητα Μέθοδος της εις άτοπον του κεφαλαίου Απόλυτα, προτείνουν προς λύση την αρχική άσκηση στην εξής, ισοδύναμη μορφή που παρακάμπτει την αναφορά στην εξίσωση τις ρίζες της(σελ. 50): Ομοίως Εάν α,β,γ,x,y R, 1 2ρ 2 <1 0<ρ 2 <1. Λίγα χρόνια μετά ακολούθησε η πρώτη δημοσίευση της άσκησης στο Παράρτημα του Δελτίου της Ε.Μ.Ε.(τον πρόδρομο του x+y= β α,xy= γ α Ø Ð Ö Â Ñ Ø ØÓÙÈ Ò ôø Å Ö ÔÖôØ Ó ØÓ½ ¾ Ô Ò ØÓ½ ½ ¼ ½ µºë Ñ Ô Ø Ô Ò Ò ÓÖ º σημερινού Õ ÑÓ ÙØ Ù Ö Ñ Ò Ô Ö ØÓ ÓÒ Ø Ô Ö ÕÓÒØ ÙØ ØÓÒØ Ô Ö ÑÓ º ¾ Ô Ø Ø Ñ ÕÖ Ñ Ö Ù Ö Ñ Ò Õ ÑÓ Ù ØÓÈ Ö ÖØ Ñ ØÓÙ ÐØÓÙ ØÓÒ Ù Ð ØÓÒ Ù Ð ³ØÓÙÐ Õ ØÓÒ½¼ Ó Ü Ó Ñ ÛØ Ü Ö ÔÓØ ÐÓ Ò Å Ð ³ Ð Ö ØÓÙ Ö Ø È ÐÐ ÔÖôØ Ó ØÓ½ Ô Ò ØÓ½ ¼ ½ ½ ¼µ Ευκλείδη)¾. Στο τεύχος 144 που κυκλοφόρησε το α(β γ) > β Δεκέμβριο του 1963, προτείνεται προς λύση από τον Ι. Τ- 2 αγ + γ 2 αβ σακιρίδη με την εξής, κάπως περίεργη, διατύπωση στην οποία τότεέναςμόνοναπ τους x,yπεριέχεταιμεταξύ0 αναμειγνύονται οι δύο υποθέσεις(σελ. 93): 2. 3

Ολες οι εμφανίσεις της συγκεκριμένης άσκησης ή των παραλλαγών της στη σχετική βιβλιογραφία ακολουθούν την πεπατημένη της παραδοσιακής«ασκησιολογίας» «μεθοδολογίας» που εντάσσεται στο γενικότερο πλαίσιο της «προετοιμασίας για τις εξετάσεις». Δεν συναντούμε σε καμιά περίπτωση προβληματισμούς για μαθηματικές ή διδακτικές προεκτάσεις, όπως π.χ. αναζήτηση γενικεύσεων, διαφορετικών αποδείξεων ή την ένταξη της άσκησης σ ένα ευρύτερο εννοιολογικό πλαίσιο. Ορισμένα ζητήματα αυτού του είδους θα εξετάσουμε στην ενότητα που ακολουθεί. Μερικές μαθηματικές διδακτικές προεκτάσεις Η πρώτη ερευνητική δραστηριότητα που ακολουθεί συνήθως την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος, είναι η αναζήτηση κάποιων γενικεύσεων(οι οποίες συχνά ανοίγουν το δρόμο για διαφορετικές λύσεις ή αποδεικτικές προσεγγίσεις). Στην άσκηση που μας απασχολεί εδώ, μια πρώτη αυθόρμητη απόπειρα γενίκευσης θα μπορούσε να αναφέρεται στο βαθμό του πολυωνύμου: Τι συμπέρασμα εξάγεται από τη σχέση α+β+γ+δ < α για τους πραγματικούς συντελεστές ενός τριτοβάθμιου πολυωνύμουαx 2 +βx 2 +γx+δπουέχειτρειςπραγματικέςρίζες ρ 1,ρ 2 ρ 3 ; Μετασχηματίζονταςτηνανισότητα α+β+γ+δ < α με χρήση των αντίστοιχων τύπων του Viéte ρ 1 +ρ 2 +ρ 3 = β α,ρ 1ρ 2 +ρ 2 ρ 3 +ρ 3 ρ 1 = γ α,ρ 1ρ 2 ρ 3 = δ α διαπιστώνουμε (αποτελεί μια ενδιαφέρουσα άσκηση παραγοντοποίησης) ότι στην περίπτωση αυτή προκύπτει ηανισότητα (1 ρ 1 )(1 ρ 2 )(1 ρ 3 ) <1 από την οποία έπεται βέβαια ότι μία τουλάχιστον ρίζα του πολυωνύμου βρίσκεται ανάμεσα στο 0 το 2. Αυτή η γενίκευση μεταφέρεται άμεσα στην περίπτωση του αντίστοιχου πολυωνύμου ν-οστού βαθμού φέρνει στο προσκήνιο μια νέα αποδεικτική προσέγγιση. Αν λάβουμε υπόψη τιςθεμελιώδειςταυτότητες: λ Rμε λ 0,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες,τότε μίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα(0, 2 )αν λ>ήστο αx 2 λ +βx+γ=α(x ρ 1 )(x ρ 2 ) ( 2,0)αν λ<0. λ ÔÓÙ Þ ÒØ Ðô Òô ÔÖôØ ÙÐÞ Ø ßØ ÔÓÔ Ö ÓÒØÓÔÓ ÐºË Ñ ÛÒ Ñ Ø Õ ÓÒØ Ò ÐÙØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ø ÔÖÓØ Ö Ø Ø Ø ÀÑ Ð Ñ ÙØôÒØÛÒØ ÙØÓØ ØÛÒ Ò ÒØ ØÖ Û Ò ÐÓ Ñ Ø ÒÕÖ ØÓÙ Ø Ð Ø ³ Ð Ö ØÓÄ ÓºÀ Ø Ö Αποδειξη. Η απόδειξη γίνεται με τη γνωστή διαδικασία, από την οποία προκύπτει ότι: αx 2 +βx 2 +γx+δ=α(x ρ 1 )(x ρ 2 )(x ρ 3 ) α+λβ+λ 2 γ < α 1 λρ 1 1 λρ 2 <1 διαπιστώνουμε άμεσα ότι ισχύει Από την τελευταία ανισότητα δεν είναι δύσκολο να οδηγηθούμε Ð Ô Ô Ö Ø Ö ØÓÞ Ø Ñ ÙØ ØÓ ÂÛÑ ¾¼½½µº Ð ØÛÒÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ø ³ÄÙ ÓÙ ÕÓÙÒÙÔÓÐÓ Ø Ø ÕÒ ÔÛØÓ Õ Ñ Hornerº Ø Ø Ø ÓÖ Ñ ÒÛÒ Ø ÖôÒ Ô Ô Ö Ñ ØÖÓÙºÀ Ò ÔØÙÜ Ø Ò Ø Ø ß ØÓÙ Ò Ó Ñ ØÓ Ð ÔÓØ Ð Ò Þ ØÓ Ñ ÒÓ Ø Ø ØÛÒÅ Ñ Ø ôò Ò Õ Ø ÓÐÓØÖ ÔÓÒ ÐÐ Ö ÙØ Ò Ø Ø Ô Ø Ð ØÛÒÅ Ñ Ø ôò Ò Ò Ò ÖÖ ÒÓÒØ Ó Ñ Ø Ò ÖÒÓÙÒØ Ò ÔÐÙ Ñ ÓÕ Ö ÑÓ ÛÒ ÛÒ Ô Ñ Ñ Ð Ø Ô ÒÛ ØÓ ÒÓÐÓ ÙØôÒØÛÒ ÛÒº ËØ ÒÔÓÖ ÔÖÓØ Ø ÔÛ Ø ÈÖ Ø ½ Ô ØôÒÓÙÑ Ò Õ Ö Ø Ö Ø Ø Ò Ù Ø Å Ñ Ø Ð Ø Ò Ò¹ α+β+γ=α(1 ρ 1 )(1 ρ 2 ) στο συμπέρασμα της πρότασης, διακρίνοντας τις περιπτώσεις 4 α+β+γ+δ=α(1 ρ 1 )(1 ρ 2 )(1 ρ 3 ) Από τις σχέσεις αυτές οι ανισότητες α+β+γ < α α+β+γ+δ < α μας δίνουν αμέσως τα αντίστοιχα συμπεράσματα για τις ρίζες, χωρίς εμπλοκή των τύπων του Viéte παραγοντοποιήσεων. Μια άλλη ενδιαφέρουσα προοπτική γενίκευσης μας παρέχει η σύγκριση των τριών διαφορετικών υποθέσεων των αντίστοιχων συμπερασμάτων που έχουμε συναντήσει ήδη στην βιβλιογραφία: 1. α+β+γ < α ρ (0,2)(Κανέλλος) 2. α+2β+4γ < α ρ (0,1)(Μπαρμπαστάθης) 3. α β+γ < α ρ ( 2,0)(Μάγκος) Ξαναγράφοντας τις ανισότητες αυτές στη μορφή α+1 β+1 2 γ < α α+2 β+2 2 γ < α α+( 1)β+( 1) 2 γ < α οδηγούμαστε αυθόρμητα στην εικασία- ερώτηση: Τι συμπέρασμαπροκύπτειγιατιςπραγματικέςρίζεςτουτριωνύμου αx 2 + βx+γότανισχύει α+3β+9γ < α ; Ηεφαρμογήτηςίδιας διαδικασίας που ακολουθήσαμε στις προηγούμενες περιπτώσεις μας οδηγεί στην ανισότητα 1 3ρ 1 1 3ρ 2 <1 από την οποία προκύπτει ότι μία τουλάχιστον ρίζα του τριωνύμουανήκειστοδιάστημα(0, 2 ). Τοσυμπέρασμααυτόη 3 μορφή των αντίστοιχων διαστημάτων μας οδηγούν στη διατύπωση της επόμενης πρότασης: Προταση 1. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = α+λβ+λ 2 γ < α

λ>0 λ<0. Οι κλασικές ασκήσεις που είχαν ως υποθέσεις τις ανισότητες (1),(2) (3) αποτελούν πλέον ειδικές περιπτώσεις της Πρότασης1,για λ=1, λ=2 λ= 1αντίστοιχα. Μια άλλη προοπτική γενίκευσης μας παρέχει η αποδεικτική μέθοδος που υποδείξαμε παραπάνω με βάση την ταυτότητα αx 2 +βx+γ= α(x ρ 1 )(x ρ 2 ). Τοαποτέλεσμαστοοποίο καταλήγουμε μας οδηγεί στην επόμενη βασική πρόταση, την απόδειξη της οποίας αφήνουμε ως άσκηση για τον αναγνώστη: Προταση 2. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = αµ 2 +βµ+γ < α, µ R, (δηλαδή f(µ) < α ) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, τότε μία τουλάχιστον ρίζα ανήκει στο διάστημα (µ 1,µ+1). Ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης η γεωμετρική ερμηνεία αλλά η περαιτέρω μελέτη αυτού του αποτελέσματος, το οποίο εκφράζει μία αντιστοιχία ανάμεσα σ ένα διάστημα που περιέχει τιμές του τριωνύμου ένα διάστημα που περιέχει μία ρίζα του: f(µ) ( α, α ) ρ (µ 1,µ+1). Μετοντρόποπουέχουμεεργαστείμέχριτώραφαίνεταιότιέχουμε εξαντλήσει τα περιθώρια γενικεύσεων της άσκησης για τοτριώνυμο f(x)=αx 2 +βx+γ.μιανέαπροοπτικήανοίγεται όμως αν συνδυάσουμε την Πρόταση 2 με τις επόμενες βασικές προτάσεις της σχολικής Άλγεβρας: Θεωρημα. Αν α,β,γ,ρ 1,ρ 2 R, α 0 β 2 > 4αγ,τότε οισχέσεις ρ 1 + ρ 2 = β α ρ 1ρ 2 = γ α αποτελούνικανές αναγκαίεςσυνθήκεςώστεοιαριθμοί ρ 1,ρ 2 ναείναιοιρίζεςτου τριωνύμου f(x)=αx 2 +βx+γ. Πορισμα.Οιαριθμοί ρ 1,ρ 2 με ρ 1 +ρ 2 =S ρ 1 ρ 2 =Pείναι ρίζεςτουτριωνύμου f(x)=αx +βx+γ 2 Από το προηγούμενο πόρισμα γίνεται άμεσα φανερό ότι μ- πορούμε να δημιουργήσουμε διάφορα τριώνυμα που οι ρίζες τους είναισυναρτήσειςτωνριζών ρ 1 ρ 2 ενόςδεδομένουτριωνύμου f(x)=αx 2 +βx+γ.γιαπαράδειγμα,απότιςσχέσεις λρ 1 +λρ 2 =λ(ρ 1 +ρ 2 )= λβ α έχειρίζεςτουςαριθμούς ρ 2 1 ρ2 2 (ασκήσειςαυτούτουείδους αφθονούσαν στην βιβλιογραφία της κλασικής σχολικής Άλγεβρας). Η εφαρμογή τώρα της παραπάνω Πρότασης 2 στο τριώνυμο ϕ(x)=αx 2 +λβx+λ 2 γ, οδηγεί στο συμπέρασμα ότι αν ισχύει αµ 2 +λβµ+λ 2 γ < α (δηλαδή ϕ(µ) < α ) το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες, τότε μία τουλάχιστον από αυτές (δηλαδή ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς λρ 1 λρ 2 ) θα ανήκει στο διάστημα (µ 1,µ+1). Τοσυμπέρασμααυτόμαςοδηγείστηνεπόμενη πρόταση, την απόδειξη της οποίας αφήνουμε ως άσκηση για τον αναγνώστη: Προταση 3. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = αµ 2 +λβµ+λ 2 γ < α με λ,µ R λ 0,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα( µ 1 λ, µ+1 λ )αν λ>0ήστο( µ+1 )αν λ<0. λ, µ 1 λ Με τη μέθοδο αυτή, δηλαδή την εφαρμογή της Πρότασης 2σετριώνυμαπουοιρίζεςτουςείναισυναρτήσειςτωνριζών του f(x), ανοίγει ο δρόμος για ένα μεγάλο αριθμό ωραίων συμπερασμάτων. Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης δεν θα έχει δυσκολία να αποδείξει δύο από αυτά, τα οποία διατυπώνουμε ως εξής: Προταση 4. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = α+µβ+µ 2 γ < γ µ R µ ±1, τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστονρίζαανήκειστοδιάστημα( 1 µ 1, 1 µ+1 )αν 1<µ<1ήστοδιάστημα( 1 µ+1, 1 )αν µ< 1ήµ>1. µ 1 Υποδειξη: Να γίνει εφαρμογή της Πρότασης 2 στο τριώνυμο σ(x)=γx 2 + βx+απουέχειρίζεςτιςαντίστροφεςτων ριζώντου f(x)=αx 2 +βx+γ. Προταση 5. Αν οι συντελεστές του τριωνύμου f(x) = λρ 1 λρ 2 =λ 2 ρ 1 ρ 2 = λ2 γ α f( µ)f( µ) < α 2 προκύπτεισύμφωναμετοπόρισμαότιοιαριθμοί λρ 1 λρ 2 είναιρίζεςτουτριωνύμου ϕ(x)=αx 2 + λβx+λ 2 γ. Εύκολα µ R µ 1,τοτριώνυμοέχειπραγματικέςρίζες,τότε μπορεί να αποδειχθεί επίσης ότι το τριώνυμο γιαμίατουλάχιστονρίζατου ρ,ισχύει ρ ( µ 1, µ+1). ³ Ð Ö Ø ³ÄÙ ÓÙ Ð Õ Ø ÙÑ Ð Ø Ò Ø Ò ØÓÙ Ñ ÒØ Ø ØÓÙÖ ÐÓÙØÓÙ Ø ÛÖ ØÛÒÔÓÐÙÛÒÙÑ ôò Ü ô ÛÒº Ô σ(x)=γx 2 +βx+α Υποδειξη: Να γίνει εφαρμογή της Πρότασης 2 στο τριώνυμο τ(x)=αx 2 +(β 2 2αγ)x+γ 2 πουέχειρίζεςτατετράγωνα ÛßØ ÔÓØ ÖÒÓÙ ÐØÛÒ Ü ô ÛÒ¾ÓÙ ÑÓ º À Ð ØÛÒÐ Ñ ÒÛÒØ ÔÛÒØÓÙViéte ØÓ Õ ô ÙÑÑ ØÖ Ô Ö Ø ØÛÒÖ ÞôÒµ Ñ ÛÒ Ñ Ò ÖÓÒØ ØÓ ÕÓÐ ÐÓ S xy=pºìó Ø Ñ ÙØ ÙÔ ÖÜ ØÓÖ ØÓÔÖ Ð Ñ ¹ ÒÒ ØÓÖ Ô Ø Ð ØÓÙÓÔÓÓÙÔÖÓ Ð Õ ÔÓÙ Ò ÒÛ Ø έχειρίζεςτουςαριθμούς 1 1 ρ 1 ρ 2 0ÐÙÔÓ ÑÞ Ø Ñ Ð Ñ Ñ Ø Ø Ñ ØÓÙ,ενώτοτριώνυμο τωνριζώντου f(x)=αx 2 +βx+γ. Μιαενδιαφέρουσαειδική περίπτωση αποτελεί η επόμενη άσκηση, η οποία προκύπτει από τ(x)=αx 2 +(β 2 2αγ)x+γ 2 τηνπρόταση4για µ=2: Ñ ØÓÒÐ Ñ ÒÓßØ ÔÓ Ø Ù Ü Û ¾ÓÙ ÑÓ x2 Sx+P = Ù Ø Ñ ØÓx+y= 5

Ασκηση. Αν ισχύει α+2β+4γ < γ τοτριώνυμο f(x)=αx 2 +βx+γέχειπραγματικέςρίζες, τότεμίατουλάχιστοναπόαυτέςθαανήκειστοδιάστημα( 1 3, 1). Το ενδιαφέρον εστιάζεται αρχικά στην αποδεικτική τεχνική που απαιτεί η επίλυση της συγκεκριμένης άσκησης, αν θεωρηθεί ανεξάρτητα από την Πρόταση 4. Μια άλλη ενδιαφέρουσα προοπτική ανοίγεται από τη σύγκριση της ανισότητας α+2β+4γ < γ μετην α+2β+4γ < α ηοποία,όπωςδιαπιστώσαμε παραπάνω, εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστονρίζαςστοδιάστημα(0,1).ησύγκρισηαυτήμπορείναμας οδηγήσει σε μια συζήτηση για το πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα του εντοπισμού των ριζών ενός πολυωνύμου τη βελτίωση των σχετικώνφραγμάτων(ηαλλαγήτουσυντελεστήαμετονγστο δεύτερο μέλος της ανισότητας περιορίζει το διάστημα κατά τοένατρίτο). Ησχετικήέρευνα,στηνοποίαείχανκατάτο παρελθόνλάβειμέροςμεαξιόλογη-σεδιεθνέςεπίπεδο-συμβολή Ελληνες μαθηματικοί από το χώρο της μέσης εκπαίδευση- ς, περιέχει πολλά ωραία αποτελέσματα που θα μπορούσαν(με κατάλληλη προσαρμογή) να ενταχθούν στη διδασκαλία των Μαθηματικών να αποδώσουν κάποιο νόημα στην ασυνάρτητη παραδοσιακή ασκησιολογία. Επίλογος Κλείνοντας αυτή την εργασία θέλουμε να σημειώσουμε ότι περιοριστήκαμε στο τριώνυμο δευτέρου βαθμού, έτσι ώστε το περιεχόμενό της να μπορεί να αξιοποιηθεί διδακτικά σε όλες τις τάξεις του Λυκείου. Είναι όμως φανερό ότι τα συμπεράσματαγενικεύονταιγιαπολυώνυμα ν-οστούβαθμού(ν N, ν>2). Για τον ίδιο λόγο επίσης υποθέσαμε την ύπαρξη πραγματικών ριζών περιοριστήκαμε σε διαστήματα της πραγματικής ευθείας, ενώ τα συμπεράσματα ισχύουν στη γενική περίπτωση μιγαδικών εν γένει ριζών αντίστοιχους τόπους(κυκλικούς δίσκους ή δακτυλίους) του μιγαδικού επιπέδου. Θέλουμε επίσης να τονίσουμε ότι στην κλασική βιβλιογραφία της στοιχειώδους Άλγεβρας υπάρχει ένα πλούσιο απόθεμα προβλημάτων ασκήσεων τα οποία σήμερα, εποχή υποβάθμισης της διδασκαλίας των Μαθηματικών στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση μετατόπισης του«ασκησιολογικού» ενδιαφέροντος προς την Ανάλυση, έχουν περιέλθει στην αφάνεια. Ολο αυτό το υ- λικό, που είχε μείνει κατά το παρελθόν εγκλωβισμένο στην εξεταστική θεματολογία, αξίζει να γίνει αντικείμενο μελέτης διδακτικής ανάλυσης με στόχο την αξιοποίησή του στην τάξη, σε ερευνητικές εργασίες των μαθητών σε μαθηματικούς ομίλους. Βιβλιογραφικες παραπομπες Σ. Ζερβος, Ιστορική αναδρομή στο ρόλο του φροντιστή. Η- μερολόγιο 1999, σελ. 16-26. Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδας. Γ. Θωμαΐδης, Διδακτική μετατόπιση μαθηματικών εννοιών εμπόδια μάθησης ( η περίπτωση της απόλυτης τιμής). Διδακτορική διατριβή, Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ., Θεσσαλονίκη 1995. Γ. Θωμαΐδης, Ιστορικές διδακτικές όψεις της γενίκευσης στην Άλγεβρα. Στο συλλογικό τόμο της Επιστημονικής Ενωσης για τη Διδακτική των Μαθηματικών: Η Άλγεβρα η Διδακτική της στη Σύγχρονη Εκπαίδευση, σελ. 145-182. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 2011. Θ. Καζαντζης, Φροντιστήρια μαθηματικοί- φροντιστές. Ημερολόγιο 1999, σελ. 28-30. Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδας. Λ. Τσιλογλου, Τα Φροντιστήρια στην Ελλάδα: Η Ιστορία οιάνθρωποι.α τόμος1860-1940.κέδρος,αθήνα2007. 6