Technické kreslenie učebné texty

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Technické kreslenie učebné texty pre 1. a 2. ročník študijných odborov 8260 6 propagačné výtvarníctvo 8261 6 propagačná grafika Mgr. Jitka Pukšová marec 2012 Stredná umelecká škola Ladislava Bielika, Vajanského 23, Levice Nitriansky samosprávny kraj

Obsah ÚVOD... 4 1. ROČNÍK... 5 1 TECHNICKÉ PÍSMO... 5 1.1 VÝZNAM TECHNICKÉHO KRESLENIA A ZÁKLADNÉ MATERIÁLY A POMÔCKY POTREBNÉ PRE TECHNICKÉ KRESLENIE... 6 1.2 ZÁSADY KRESLENIA OD RUKY A KRESLENIE NÁČRTU... 7 1.3 DRUHY ČIAR V TECHNICKOM KRESLENÍ... 8 1.4 TECHNICKÉ PÍSMO... 8 2 ZÁKLADY RYSOVANIA... 11 2.1 NORMALIZÁCIA V TECHNICKOM KRESLENÍ... 12 2.2 DRUHY TECHNICKÝCH VÝKRESOV... 13 2.3 FORMÁTY VÝKRESOV... 14 2.4 SKLADANIE VÝKRESOV... 15 2.5 ROZMNOŽOVANIE VÝKRESOV... 16 2.6 MIERKY ZOBRAZOVANIA NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH... 17 3 TECHNICKÝ VÝKRES... 18 3.1 ÚPRAVA VÝKRESOVÉHO LISTU... 19 3.2 TITULNÝ BLOK VÝKRESOV... 22 4 JEDNODUCHÉ TELESÁ... 24 4.1 JEDNODUCHÉ TELESÁ... 25 4.2 SIETE MNOHOSTENOV... 25 4.3 SIETE VALCOV A KUŽEĽOV... 30 4.4 SIETE N-BOKÝCH HRANOLOV A IHLANOV... 31 4.5 SIETE ZREZANÝCH TELIES... 32 4.6 ZAUJÍMA VÁS?... 34 5 PREMIETANIE... 36 5.1 PRAVOUHLÉ PREMIETANIE NA NIEKOĽKO PRIEMETNÍ... 37 6 MONGEOVO PREMIETANIE... 39 6.1 PRIEMETY BODOV...40 6.2 PRIEMETY PRIAMKY... 44 6.3 PRIEMETY ROVINY, STOPY ROVINY... 50 6.4 SKUTOČNÁ VEĽKOSŤ ÚSEČKY... 56 7 KÓTOVANIE NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH... 59 7.1 KÓTOVANIE A PRVKY KÓTOVANIA...60 7.2 KÓTOVANIE POLOMEROV, PRIEMEROV, UHLOV, ZAOBLENÍ... 65 7.3 SPÔSOBY KÓTOVANIA... 69

8 TECHNICKÉ KRIVKY... 71 8.1 TECHNICKÉ KRIVKY, ROZDELENIE... 72 8.2 ELIPSA... 73 8.3 METÓDY KONŠTRUKCIE ELIPSY... 74 8.4 INÉ TECHNICKÉ KRIVKY... 78 2. ROČNÍK... 82 9 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE... 82 9.1 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE... 83 9.2 KOSOUHLÉ PREMIETANIE... 85 9.3 PRAVOUHLÁ AXONOMETRIA... 86 9.4 ZAUJÍMA VÁS?... 89 10 OSVETLENIE TELIES... 92 10.1 OSVETĽOVANIE TELIES... 93 10.2 KONŠTRUKCIA VLASTNÉHO A VRHNUTÉHO TIEŇA... 95 11 PERSPEKTÍVNE ZOBRAZOVANIE...97 11.1 PERSPEKTÍVA... 98 11.2 HISTÓRIA PERSPEKTÍVNEHO ZOBRAZOVANIA... 99 11.3 ZÁKLADNÉ POJMY... 113 11.4 DRUHY PERSPEKTÍV... 115 11.5 KONŠTRUKCIA PERSPEKTÍVY... 119 11.6 ANAMORFÓZA A NESKUTOČNÁ PERSPEKTÍVA... 122 ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY... 128

Úvod Milí študenti, prichádza k vám učebný text, ktorý si kladie vysoký cieľ, a to uľahčiť vám zoznamovanie sa so základnými informáciami predmetu Technické kreslenie. Je určený všetkým vám, ktorí ste sa rozhodli svoje stredoškolské štúdium zasvätiť odborom propagačná grafika a propagačné výtvarníctvo na pôde Strednej umeleckej školy Ladislava Bielika v Leviciach. Veríme, ţe ste sa uţ s technickým kreslením stretli aj na ZŠ a ţe chápete, akým prínosom pre váš odborný rast a vašu profesiu do budúcnosti tento odborný vyučovací predmet je. Veď grafik či výtvarník je často zároveň aj technikom, ktorý svoj nápad a inšpiráciu aj správne navrhne, zakreslí, narysuje, premietne, okótuje, a samozrejme aj zrealizuje. Technické kreslenie je medzinárodným dorozumievacím jazykom všetkých technikov a ostatných odborníkov. Rozvíja chápanie vzťahov medzi skutočnými priestorovými objektami a ich zobrazením, buduje priestorovú predstavivosť a schopnosť čítať a vytvárať technické výkresy, Veríme, ţe sa tento učebný text stane na dva roky vaším sprievodcom na ceste za zdokonalením vašich teoretických vedomostí aj praktických zručností a ţe sa stanete kvalitnými odborníkmi vo svojej profesii. Prajeme vám veľa trpezlivosti a najmä úspechov pri štúdiu Mgr. Jitka Pukšová 4

1. ročník 1 Technické písmo 1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály a pomôcky potrebné pre technické kreslenie 1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu 1.3 Druhy čiar v technickom kreslení 1.4 Technické písmo 5

1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály a pomôcky potrebné pre technické kreslenie Kaţdý technik musí mať veľa trpezlivosti, svedomitosti, presnosti a dokonalých znalostí z oblasti, ktorá úzko súvisí s jeho budúcou profesiou. Študenti študijných odborov propagačná grafika, propagačné výtvarníctvo a priemyselný dizajn musia ovládať základy technického kreslenia, zdokonaľovať vytváranie priestorovej predstavy a budovať medzipredmetové vzťahy s odbornými predmetmi technológia, prax, či navrhovanie. Technické kreslenie a jeho význam: vypestovanie predstavivosti nadobudnutie zručnosti a vôľových vlastností v technickom kreslení, ako pri popisovaní, tak aj pri zhotovovaní výkresov, náčrtov... schopnosť kresliť náčrty od ruky vyuţívanie technických noriem a ich aplikácia čítanie výkresov a inej technickej dokumentácie Pomôcky a materiály: rysovacie dosky príloţník základné pravítko na kreslenie vodorovných čiar trojuholníky ceruzky tuha 6-8 mm, pri kreslení 75º kruţidlo začíname kresliť akoby na číslici 8 na ciferníku hodín v smere pohybu hodinových ručičiek nulovacie kruţidlo malé priemery tuhy liner-graphic guma najlepšie z plastov uhlomer krividlá Obr. 1 Súprava technických pier 6

šablóny rysovací papier pauzovací papier Obr.2 Rysovacie pomôcky 1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu Pri kreslení od ruky dbáme na to, aby sme pohybom ruky a pomôckami nerozotierali čiary po výkrese. Krátke čiary kreslíme pohybom ruky od zápästia, dlhé čiary kreslíme pohybom celej ruky. Najprv kreslíme kruţnice a oblúky, potom k nim pripájame priamky. Vyťahovať začíname vľavo hore a postupujeme vpravo dolu. Náčrt slúţi pre prvotné vyjadrenie myšlienky zrozumiteľným obrázkom. Pri kreslení náčrtu pouţívame mäkkú ceruzku. Postup pri kreslení náčrtu: súčiastku si dobre prezrieme a rozhodneme koľko priemetov potrebujeme na úplné zobrazenie zvolíme veľkosť obrázkov pri súmerných rotačných súčiastkach nakreslíme všetky osi obrysy a hrany súčiastok nakreslíme tenkými plnými čiarami vytiahneme viditeľné hrany a obrysy hrubými čiarami a neviditeľné obrysy čiarkovanými čiarami nakreslíme pomocné a kótovacie čiary, šípky, tapíšeme kóty vyšrafujeme plochy rezu a prierezu napíšeme názov súčiastky, materiál... 7

1.3 Druhy čiar v technickom kreslení Na zobrazovanie na výkresoch sa pouţíva niekoľko druhov čiar. Podľa grafického vyhotovenia sa čiary rozdeľujú na : pravidelné - plné alebo prerušované, nepravidelné - obyčajne kreslené voľnou rukou. Podľa vzájomného pomeru hrúbok delíme čiary na tenké a hrubé a veľmi hrubé. Hrúbka čiar sa volí z geometrického radu, ktorý je odstupňovaný pribliţne s činiteľom 2: 0,13-0,18-0,25-0,5-0,7-1,0-1,4-2,0 mm. Pre technické výkresy sa pouţívajú čiary so vzájomne odlišnými pomermi hrúbok. Obr. 3 Druhy čiar 1.4 Technické písmo Technickým písmom sa v technike popisuje technická dokumentácia výkresy, tabuľky, kóty, poznámky podľa STN ISO 3098 (01 3115) Na popisovanie výkresov sa pouţíva prednostne písmo veľkej abecedy a arabské číslice. Výnimku tvoria zápisy meracích jednotiek, kde sa pouţívajú písmená malej abecedy napr. kg, mm... 8

Písmo je charakterizované: tvarom býva určený vzorovým predpísaním v tabuľke veľkosťou je určená výškou písmen veľkej abecedy v mm šírkou hrúbkou = hrúbka čiary sklonom: kolmé, šikmé 75 Veľkosť písma: (1,8) 2,5 3,5 5,0 7,0 10,0 14,0 (20,0) mm Typ: - kolmé a šikmé písmo typu A: výška = 14 hrúbka - kolmé a šikmé písmo typu B: výška = 10 hrúbka Prednostne sa má pouţívať kolmé písmo abecedy typu B: Obr. 4 Typy písma 9

Zadanie technickej dokumentácie 1. Do predpísanej šablóny doplňte technické písmo 2. Na výkres narysujte podľa vzoru rôzne druhy čiar a technickým písmom ich popíšte. Obr. 5 Technická dokumentácia - druhy čiar 10

2 Základy rysovania 2.1 Normalizácia v technickom kreslení 2.2 Druhy technických výkresov 2.3 Formáty výkresov 2.4 Skladanie výkresov 2.5 Rozmnožovanie výkresov 2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch 11

2.1 Normalizácia v technickom kreslení Normalizácia je usmernenie ľudskej činnosti z hľadiska hospodárnosti, materiálu, kvality a vymeniteľnosti výrobkov podľa určitých zásad. Súčasne umoţňuje zvyšovať produktivitu práce, dosahovať úspory materiálu, lepšie vyuţívať výrobné prostriedky a zaisťovať bezpečnosť a ochranu zdravia pri práci. Tvorbu a vydávanie noriem riadi Slovenský ústav technickej normalizácie pomocou Technických normalizačných komisií vytvorených pre jednotlivé odbory. Slovenské technické normy (STN) s medzinárodnými normami. sa označujú podľa toho, aká je ich zhoda Značku STN XX XXXX majú normy platné len na Slovensku. Značku STN ISO YYY ( XX XXXX ) majú slovenské technické normy, v ktorých sú zapracované medzinárodné normy ISO čísla YYY. Číslo v zátvorke (XX XXXX) je triediace číslo danej normy v sústave STN a má význam: Obr. 6 Slovenská technická norma 1. trieda normy, ktorá označuje názov odboru pre ktorý norma platí 2. skupina normy 3. podskupina normy 4. poradové čislo 5. doplnkové číslice Značku STN EN ISO YYY (XX XXXX) majú slovenské technické normy platné ako európske normy EN a medzinárodné normy ISO čísla YYY 12

Technická normalizácia umoţňuje sériové, hromadnú a plynulú výrobu, a tým ju urýchľuje a zlacňuje zvyšuje produktivitu práce, poskytuje výhody národnému hospodárstvu i spotrebiteľom zabezpečuje kvalitu výrobkov dáva predpoklady na dokonalejšie vyuţitie energie, materiálu a surovín, zniţuje hmotnosť výrobkov rieši pracovné a ţivotné prostredie 2.2 Druhy technických výkresov Základom technickej dokumentácie je technický výkres, ktorý je nositeľom technickej myšlienky a zároveň dorozumievacím prostriedkom medzi technikmi. Delenie výkresov: podľa obsahu a určenia o výkresy jednotlivých súčiastok čiţe detailné výkresy o výkresy zmontovaných súčiastok čiţe výkresy zostáv Obr. 7 Druhy technických výkresov 13

podľa spôsobu vyhotovenia o náčrt (škica) - väčšinou sa kreslí ceruzkou voľnou rukou, nemusí sa kresliť v mierke a udávajú sa v ňom iba základné kóty, o originál (základný výkres alebo matrica) - kreslí sa ceruzkou alebo tušom, najčastejšie na pauzovacom papieri. Originál je určený na zhotovenie kópie a archivuje sa, o kópia sa zhotovuje z originálu rozmnoţovaním. Kópia sa pouţíva ako pracovný výkres pre výrobu a montáţ. 2.3 Formáty výkresov Výkresy kreslíme na papieri určitej veľkosti čiţe formátu. Základným formátom skupiny A je obdĺţnik plochy 1 m 2 s pomerom strán 1: 2, (1: 1,414). Tento formát označujeme A0. Ostatné formáty vznikajú postupným delením väčších formátov na menšie: A1, A2, A3, A4. Formáty výkresov skupiny A Obr. 8 Formáty výkresov Základný formát je A0, má plochu 1m² a strany v pomere 1: 2 Rozmery základných formátov sú v tabuľke Formáty výkresov sú leţaté (v horizontálnej polohe), iba formát A4 sa prednostne pouţíva vo vertikálnej polohe (stojatý formát) 14

Tab. 1 Formáty výkresov Formát a (mm) b (mm) A4 210 297 A3 297 420 A2 420 594 A1 594 841 A0 841 1189 Predĺžené formáty V osobitých prípadoch môţeme pouţiť predĺţené formáty. Ich pouţitiu sa však treba vyhýbať. Predĺţené formáty sa tvoria kombináciou rozmerov kratšej strany formátov radu A (napr. A3) s rozmermi dlhšej strany nasledujúcich väčších formátov radu A (napr. A1). Výsledkom je nový formát, napríklad s označením A3.1. 2.4 Skladanie výkresov STN 01 3111 určuje spôsoby skladania kópii všetkých druhov technických výkresov. Výkresy originálov a matíc sa neskladajú. Kópie výkresov sa môţu skladať na : voľné zaraďovanie do súboru (zloţiek), priame zviazanie (zošitie a pod.), zviazanie (zošitie a pod.) s pásikom na zachytenie. Skladanie výkresov: skladanie na formát A4, skladanie harmonikovite v oboch smeroch, 15

titulný blok má byť vpredu dole. Obr. 9 Skladanie výkresov 2.5 Rozmnožovanie výkresov Originály sú veľmi dôleţité tak pre výrobu, ako aj pre dokumentáciu. Preto sa pre výrobu priamu nepouţívajú, ale ukladajú sa do archívu. V praxi sa pouţívajú kópie, ktoré môţu byť negatívne, pozitívne, prípadne transparentné. Pri rozmnoţovaní výkresovej dokumentácie sa dnes pouţívajú rozličné techniky a spôsoby reprografie. Diazografia (nesprávne nazývaná svetlotlač) je technika vyuţívajúca na vytvorenie obrazu vlastnosti diazozlúčeniny (čpavok). Elektrografia je technika vyuţívajúca vlastnosti fotopolovodičov na vytvorenie latentného nábojového obrazu, ktorý počas vyvolávacieho procesu púta pigment. (Xerografia názov podľa prístroja Rank Xerox). Mikrofilmová technika pouţíva zvitok alebo pásik filmu s mikrozáznamami. Plocha mikroštítku je 600-krát menšia neţ plocha výkresu A0. Z mikroštítku sa premieta zväčšený obraz na reprodukčný materiál. 16

2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch Mierky, ich veľkosť a zapisovanie na všetkých druhoch technických výkresov sa zvolí podľa : účelu a obsahu výkresu, zloţitosti a hustoty kresby zobrazeného predmetu, poţiadaviek na čitateľnosť a presnosť kresby. Úplnosť označenia mierky pozostáva zo slova MIERKA (alebo jeho ekvivalentu v jazyku pouţitom na výkrese a za ním sa uvedie označenie pomeru, napríklad : MIERKA 1:1 MIERKA X:1 MIERKA 1:X pre skutočnú veľkosť, pre zväčšenie, pre zmenšenie. Ak nemôţe dôjsť k nedorozumeniu, slovo MIERKA sa nemusí uviesť. Označenie mierky pouţitej na výkrese sa zapisuje do titulného bloku výkresu. Ak nie je obraz kreslený v mierke, napíše sa v titulnom bloku v rubrike Mierka písmeno N ako skratka NIE JE. Mierky zmenšenia: 1:2 1:5 1.10 1:20 1:50 1:100... Mierky zväčšenia: 2:1 5:1 10:1 20:1 50:1... 17

3 Technický výkres 3.1 Úprava výkresového listu 3.2 Titulný blok výkresov 18

3.1 Úprava výkresového listu Výkresový list technického výkresu musí byť orezaný. Lem plocha medzi rámikom kresliacej plochy a okrajom orezaného listu Šírka lemu: hore, dole, vpravo 10 mm vľavo kvôli väzbe 20 mm Rámik kresliacej plochy súvislá hrubá čiara hrúbky 0,7 mm Strediace úsečky: sú štyri, umiestňujú sa na koncoch dvoch osí súmernosti orezaného listu, kreslia sa súvislou čiarou hrúbky 0,7 mm, začínajú sa na leme orientačnej mrieţky a presahujú 5 mm za rámček plochy na kreslenie. Obr. 10 Úprava výkresového listu 19

Orezávacie značky: umiestňujú sa v rohoch výkresového listu majú tvar prekrývajúcich sa obdĺţnikov s rozmermi 10x5 mm Obr. 11 Orezávacie značky Sústava orientačnej mriežky: podľa normy STN ISO 3098-1, 5 mm od lemu po všetkých stranách, pri formáte A4 sa robí len na hornej a pravej strane, dĺţka polí je 50 mm, delenie začína vţdy od strediacich značiek, počet polí závisí od formátu, polia sa označujú zhora nadol veľkými zvislými písmenami (okrem I a O) po oboch stranách, polia sprava doľava sa označujú zvislými číslicami, výška písmen a číslic má byť 3,5 mm, čiary sústavy orientačnej mrieţky sa kreslia súvislou čiarou hrúbky 0,35 mm. 20

Obr.12 Sústava orientačnej mrieţky Obr. 13 Technický výkres 21

3.2 Titulný blok výkresov Výrobný výkres je dorozumievacím prostriedkom medzi konštrukciou a výrobou. Musí spĺňať poţiadavky noriem a podľa toho musí obsahovať titulný blok. Titulný blok: podľa STN ISO 7200 (01 3250) umiestňuje sa v pravom dolnom rohu obsahuje: o identifikačné pole o doplňujúce polia: informatívne údaje technické údaje administratívne údaje Informatívne údaje: Metóda zobrazenia Hlavná mierka Dĺţkové jednotky ak sú iné ako milimetre Technické údaje: Spôsob značenia drsnosti povrchu Tolerancie Technické normy materiál, druh, tvar, rozmer Administratívne údaje: Formát výkresového listu Dátum vydania prvého výkresu Mená a podpisy zodpovedných osôb 22

Obr. 14 Titulný blok Obr. 15 Titulný blok 23

4 Jednoduché telesá 4.1 Jednoduché telesá 4.2 Siete mnohostenov 4.3 Siete valcov a kužeľov 4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov 4.5 Siete zrezaných telies 4.6 Zaujíma vás? 24

4.1 Jednoduché telesá Telesá moţno rozdeliť podľa rôznych kritérií. Jedno možné rozdelenie telies do dvoch skupín je nasledovné: Mnohosteny, kde patria napr. kocka, hranol, kváder, štvorsten, rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan. Všetky ostatné, kde patria napr. rotačný a šikmý valec, rotačný a šikmý kuţeľ, zrezaný kuţeľ, guľa a jej časti. V škole budeme pouţívať najčastejšie rozdelenie telies na nasledujúce dve hlavné skupiny: Mnohosteny, ktoré sa rozdeľujú do dvoch podskupín: 1) hranoly - hranol, kocka, pravidelný n-boký hranol, kváder... 2) ihlany ihlan a zrezaný ihlan, pravidelný n-boký ihlan a pravidelný zrezaný n-boký ihlan, štvorsten a pravidelný štvorsten... Rotačné telesá: kolmý (kruhový) valec, kolmý (kruhový) kuţeľ a zrezaný kolmý (kruhový) kuţeľ, guľa a jej časti 4.2 Siete mnohostenov Pravidelný mnohosten musí spĺňať kritériá: 1. konvexnosť musí byť konvexný, t. j. kaţdá jeho strana má šancu byť zvolená, padnúť (napr. konvexný je štvrťkruh, nekonvexný je trištvrtekruh), 2. steny musia byť pravidelné n-uholníky najmenší je rovnostranný trojuholník, teleso je štvorsten, 3. pri kaţdom vrchole musí byť zoskupený rovnaký počet stien (inak by nebol pravidelný). 25

4. dá sa opísať aj vpísať guľa, t. j. existuje guľová plocha, ktorá obsahuje všetky vrcholy a guľová plocha dotýkajúca sa všetkých stien zvnútra. Mnohosteny, ktoré spĺňajú tieto podmienky sú: pravidelný štvorsten, pravidelný šesťsten, pravidelný osemsten, pravidelný dvanásťsten a pravidelný dvadsaťsten. Medzi počtom stien, hrán a vrcholov konvexného mnohostena platí vzťah (známy asi dvetisíc rokov ), ktorý dostal pomenovanie po matematikovi, ktorý ho dokázal. Eulerova veta o mnohostenoch V kaţdom konvexnom mnohostene, v ktorom označíme s počet stien, h počet hrán, v počet vrcholov, platí rovnosť s+v = h+2, resp s+v -h = 2 Mnohosteny pravidelný štvorsten (tetraéder), steny sú rovnostranné trojuholníky, pravidelný šesťsten (hexaéder) - kocka, steny sú štvorce, pravidelný osemsten (oktaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky, pravidelný dvanásťsten (dodekaéder), steny sú pravidelné päťuholníky, pravidelný dvadsaťsten (ikosaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky. Obr. 16 Mnohosteny 26

Sieťou telesa [sieťou mnohostena] sa nazýva súvislý rovinný útvar, ktorý je zjednotením častí [mnohouholníkov] zhodných s časťami hranice telesa [so stenami mnohostena], rozloţených v rovine tak, ţe ich opätovným zloţením dostaneme hranicu telesa [mnohostena]. V prípade mnohostena dotýkajúce sa hraničné mnohouholníky majú spoločnú celú stranu. Rozloţiť hranicu telesa (mnohostena) do roviny je moţné viacerými spôsobmi, ale len niektoré z nich budú jeho sieťami, a teda vhodnými na vytvorenie (papierového) modelu. Vytvoriť (takýto) model telesa teda znamená: zostrojiť sieť telesa (mnohostena), umiestniť vhodne záloţky na zlepenie. Najdôležitejšie vlastnosti pravidelných mnohostenov týkajúcich sa počtu stien, vrcholov a hrán uvedieme prehľadne v nasledujúcej tabuľke: Tab.2 Dôleţité číselné údaje o pravidelných mnohostenoch. Počet Počet hrán/strán Názov pravidelného mnohostena stien vrcholov hrán jedného vrchola jednej steny s v h m n štvorsten (tetraéder) 4 4 6 3 3 šesťsten (hexaéder) kocka 6 8 12 3 4 osemsten (oktaéder) 8 6 12 4 3 dvanásťsten (dodekaéder) 12 20 30 3 5 dvadsaťsten (ikosaéder) 20 12 30 5 3 27

Na nasledujúcom obr.17 sú ukáţky sietí všetkých pravidelných mnohostenov (aj so záloţkami). Nakreslite ďalšie siete pravidelných mnohostenov a zostrojte si modely týchto telies. Obr. 17 Siete pravidelných mnohostenov - platónskych telies aj so záloţkami: štvorstena, šesťstena, osemstena, dvanásťstena, dvadsaťstena 28

Na obr. 18 je ukáţka hranového a stenového modelu konvexného mnohostena, mnohostena s čiastočne rozloţenou sieťou a jeho siete a) b) c) d) Obr. 18 Konvexný mnohosten 29

4.3 Siete valcov a kužeľov Hranica valcov a kuţeľov je zjednotením ich plášťov a podstáv. Z toho vyplýva výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P (ak budú dve, pridáme k písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom Q. Hranicu rotačného valca tvorí plášť a dve kruhové podstavy. Aby sme zostrojili sieť valca, rozvinieme plášť do roviny. Preto plášť rozstrihneme pozdĺţ jednej tvoriacej úsečky a vznikne obdĺţnik. Dĺţky strán tohto obdĺţnika sú určené výškou valca a obvodom podstavného kruhu. k S k S r s v v r S k k r Z S r 2r S r k 30 X r O r r Y Obr. 20 Rotačný valec a jeho sieť, rektifikácia kruţnice Hranicu rotačného kuţeľa tvorí plášť a kruhová podstava. Plášť kuţeľa môţeme tieţ rozstrihnúť pozdĺţ tvoriacej úsečky s dĺţkou s a rozvinúť do roviny. Vznikne kruhový výsek s polomerom s r 2 v 2 (obr. 14b), pričom dĺţka oblúka sa rovná dĺţke obvodu kruhovej podstavy l = 2πr. Stredový uhol kruhového výseku má veľkosť l 2πr a obsah kruhového výseku, t.j. obsah plášťa je Q πs πs 2πr πrs s s 2π 2π s 2. 2 30

V s V s v r r S S k k Obr. 21 Rotačný kuţeľ a jeho sieť 4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov V tejto časti sa budeme zaoberať vzťahmi, pomocou ktorých vypočítame povrch jednoduchých hranatých telies, a to hranolov a ihlanov (vrátane zrezaných ihlanov) a sieťami týchto telies. Zjednotenie všetkých bočných stien hranola, ihlana alebo zrezaného ihlana tvorí ich plášť. Hranica kaţdého z týchto telies je zjednotením jeho plášťa a podstáv. Z toho vyplýva výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P (ak budú dve, pridáme k písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom Q. C C A C A a B v B C v C a A A a B B C C C a a A w a B Obr. 22 Pravidelný 3-boký hranol a jeho sieť C 31

Sieť ihlana z obr. 23 tvorí zjednotenie štyroch rovnoramenných zhodných trojuholníkov so základňou a, výškou w (w je stenová výška) a jedného štvorca so stranou dĺţky. A V A D v S a w B P C A V w D A a C P B Obr. 23 Pravidelný 4-boký ihlan a jeho sieť a B 4.5 Siete zrezaných telies Hranicu zrezaného rotačného kužeľa tvorí plášť a dve kruhové podstavy. Pretoţe plášte rotačných kuţeľov sú kruhové výseky, plášť zrezaného kuţeľa sa rozvinie do výseku medzikruţia výseku kruhového pásu (ako rozdiel kruhových výsekov - plášťov pôvodného a odrezaného kuţeľa) so stranou dĺţky s 2 1 r2 ) ( r v 2, za predpokladu, ţe poznáme polomery podstáv a výšku zrezaného rotačného kuţeľa. Obsah plášťa zrezaného rotačného kuţeľa je Q π( r1 r2 ) s. s 2 2r 1 2r r 2 S 2 r 1 S 1 Obr. 24 Zrezaný kuţeľ a jeho sieť 32

Príklad konkrétnej konštrukcie siete a znázornenie zrezaného pravidelného šesťbokého ihlana a jeho sieť vidíme na nasledujúcom obr. 25 Obr. 25 Zrezaný pravidelný šesťboký ihlan 33

4.6 Zaujíma vás? Pravidelné mnohosteny alebo platónovské či Platónove telesá, sú špecifické mnohosteny. Ich názov naznačuje, ţe boli známe matematikom uţ v starovekom antickom Grécku. Napriek názvu neobjavil ich samotný Platón (ţil asi v rokoch 428-347 pred n.l.), ale venoval sa len ich štúdiu v súvislosti s filozofiou. Pravidelné mnohosteny boli opísané Euklidom (ţil asi v rokoch 365-300 pred n.l.) v 13. knihe (kapitole) jeho Základov. Pravidelných mnohostenov je len päť typov a tento fakt bol dokázaný aţ v 18. storočí. Podľa Platóna štvorsten predstavuje oheň, kocka zem, osemsten vzduch, dvanásťsten éter, materiál, z kt. sú nebo a hviezdy, dvadsaťsten vodu. Štvorsten, osemsten, dvadsaťsten patria do početnejšej skupiny telies, pretoţe ich steny sú zhodné rovnostranné trojuholníky, nazývame ich deltaédry (z gréckeho: stena = éder).. Platónovské telesá sú geometrickým modelom viacerých (súmerných) prírodných štruktúr. V chémii sa napr. študuje stavba molekúl a kryštálových mrieţok, v mineralógii sa podobne študuje geometria kryštálov. Je všeobecne známe, ţe chlorid sodný (NaCl kuchynská soľ) kryštalizuje v kockách, ale asi uţ menej, ţe napr. bór v dokonalých dvadsaťstenoch. Podľa najnovších objavov v biológii aj mnohé vírusy, o ktorých sa predpokladalo, ţe majú guľovitý tvar, by mali mať tvar pravidelného dvadsaťstena, napr. vírus detskej obrny a iné. Pravidelné mnohosteny (ich rovinné grafy) sa študujú aj v teórii grafov. Ku kaţdému konvexnému mnohostenu sa dá zostrojiť duálny mnohosten tak, ţe za vrcholy duálneho mnohostena zvolíme stredy stien pôvodného. Potom vzniknú: - duál štvorstenu = opäť štvorsten - duál kocky = osemsten - duál osemstenu = kocka - duál dvanásťstenu = dvadsaťsten - duál dvadsaťstenu = dvanásťsten 34

Worling - teória skladania papiera do geometrických tvarov, napr. štvorec, obdĺţnik, trojuholník, päťuholník, šesťuholník a pod. Popis: Papier A4 - máme štyri vrcholy, dva susedné, dva protiľahlé, spojte dva protiľahlé vrcholy, stisnite papier, nechajte preloţené, spojíme dva najvzdialenejšie vrcholy, preloţíme tak, aby vznikla stredová os, potom narovnáme naspäť, dve protiľahlé najkratšie strany priloţíme na stredovú os a vznikne päťuholník (moţno). Stella octangula - Je to hviezdicový mnohosten, ktorý je zloţený z dvoch do seba prenikajúcich štvorstenov, tak vytvára hviezdu. Všetky steny sú zhodné rovnostranné trojuholníky. Prienikom dvoch štvorstenov je pravidelný osemsten. Obr. 19 Stella octangula Projekt Siete jednoduchých telies Poďme sa hrať Navrhnite a vytvorte model hračky pre deti alebo darčekového predmetu pre dospelých zloţený z jednoduchých a zrezaných telies. Prezentujte svoj model formou albumu fotografií. 35

5 Premietanie 5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko priemetní 36

5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko priemetní Pre zobrazenie predmetu do rovinnej plochy pouţívame rôzne druhy premietania. Ak chceme zobraziť celkový tvar predmetu na jednu plochu, tzv. priemetňu, pouţívame názorné obrazy telesa, ktoré vyuţívajú tieto druhy premietania: pravouhlá axonometria a šikmé premietanie. S týmito druhmi premietania sa budeme zaoberať neskôr. Druhy premietania podľa sklonu premietacích lúčov: Stredové premietanie: je také, ak premietané lúče vychádzajú z jedného centra Kosouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú navzájom rovnobeţné a dopadajú na premietaciu rovinu šikmo Pravouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú rovnobeţné a kolmé na premietaciu plochu Na dokonalé technické určenie tvaru telesa nestačí jeho názorný obraz. Vidíme len obmedzený počet hrán a stien telesa. Preto v technickom kreslení zobrazujeme predmety presnejším spôsobom, tzv. pravouhlým premietaním. Rovinu, na ktorej zobrazujeme teleso, nazývame priemetňou. Samotný obraz je priemet. Spôsob, akým teleso zobrazujeme, nazývame premietaním. Pre technické zobrazovanie je typické, ţe zobrazovaný predmet umiestnime vzhľadom na priemetne do priečelnej polohy Priemetňa - rovina, na ktorú premietame Nárysňa - označenie X,Z. Zobrazuje teleso pri pohľade spredu - 1 Bokorysňa - označenie Z,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zľava - 2 Pôdorysňa - označenie X,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zhora - 3 ľavý bokorys spodný pohľad zadný pohľad 37

Obr. 26 Uloţenie priemetní Obr. 27 Pravouhlé premietanie Obr. 28 Zdruţené priemetne a priemety 38

6 Mongeovo premietanie 6.1 Priemety bodov 6.2 Priemety priamok 6.3 Priemety roviny, stopy roviny 6.4 Skutočná veľkosť úsečky 39

6.1 Priemety bodov Mongeova projekcia (premietanie) je zobrazovacia metóda, v ktorej priestorové objekty kolmo premietame do dvoch vzájomne kolmých priemetní a potom tieto priemetne zdruţíme, t.j. jednu otočíme okolo ich spoločnej priesečnice o uhol veľkosti 90. Zdruţením priemetní získame jedinú rovinu, tzv. nákresňu, v ktorej máme obidva priemety zobrazovaných priestorových objektov. Dve navzájom kolmé roviny π, υ v trojrozmernom euklidovskom priestore: prvá priemetňa rovina π; v technickej praxi pôdorysňa druhá priemetňa rovina υ; υ technickej praxi nárysňa základnica x priesečnica rovín π, υ Obr. 29 Navzájom kolmé priemetne Kolmé premietanie bodu A: prvý priemet bodu A pôdorys A 1 Obr. 30 Pôdorysný priemet bodu A druhý priemet bodu A nárys A 2 Obr. 31 Nárysný priemet bodu A 40

Obr. 32 Priemety bodu A Združenie priemetní otočenie O priemetne π okolo priamky x do priemetne υ tak, aby kladná polrovina roviny π sa otočila do zápornej polroviny roviny υ. Obr. 33 Zdruţené priemety združené priemety bodu A (pôdorys, nárys) usporiadaná dvojica bodov A 1, A 2 (ozn. [A 1, A 2 ]) ordinála bodu spojnica bodov A 1 A 2 kolmá na základnicu x Orientácia polpriestorov: I. kvadrant (π +, υ + ) II. kvadrant (π +, υ - ) III. kvadrant (π -, υ - ) IV. kvadrant (π -, υ + ) Obr. 34 Rozmiestnenie kvadrantov 41

I. kvadrant: bod A (x, y>0, z> 0) Obr. 35 Obraz bodu A v I. kvadrante II. kvadrant: bod B (x, y <0, z >0) Obr. 36 Obraz bodu A v II. kvadrante 42

III. kvadrant: bod C (x, y <0, z <0) Obr. 37 Obraz bodu A v III. kvadrante IV. kvadrant: bod D (x, y >0, z <0) Obr. 38 Obraz bodu A v IV. kvadrante 43

6.2 Priemety priamky Obraz priamky v Mongeovom premietaní je určený prvým a druhým priemetom priamky. Stopník priamky je priesečník priamky s priemetňou. Pôdorysný stopník P je priesečník priamky s pôdorysňou, hľadáme preň prvý a druhý priemet - P 1 P 2. Obdobne nárysný stopník N je priesečník priamky s nárysňou a hľadáme preň N 1 N 2. Niektorý stopník aj nemusí existovať, prípadne priamka leţí v niektorej súradnicovej rovine a preto má nekonečne veľa stopníkov. Nech priamka a je vo všeobecnej polohe vzhľadom k priemetniam a základnici. združené priemety priamky usporiadaná dvojica priamok [a 1, a 2 ] a 1 pôdorys priamky a a 2 nárys priamky a Obr. 39 Zdruţené priemety priamky 44

Významné body priamky: pôdorysný stopník priamky P a priesečník priamky a s priemetňou π (ak existuje); P a = a π nárysný stopník priamky N a priesečník priamky a s priemetňou υ (ak existuje); N a = a υ Niektoré špeciálne polohy priamky vzhľadom k priemetniam a základnici, určenie stopníkov, ak existujú: Priamka a je kolmá na pôdorysňu Obr. 40 Priamka kolmá na pôdorysňu Priamka a je kolmá na nárysňu Obr. 41 Priamka kolmá na nárysňu 45

Priamka a leţí v rovine kolmej na pôdorysňu a nárysňu Obr. 42 Priamka v rovine kolmej na obe priemetne a π Obr. 43 Priamka rovnobeţná s pôdorysňou a υ Obr. 44 Priamka rovnobeţná s nárysňou 46

a x Obr. 45 Priamka rovnobeţná s oboma priemetňami Obraz bodu na priamke Bod A leţí na priamke a práve vtedy, keď pôdorys bodu A 1 leţí na pôdoryse priamky a 1, nárys bodu A 2 leţí na náryse priamky a 2. Obr. 46 Obraz bodu na priamke 47

Obraz dvojice priamok Priamky a, b sú vo všeobecnej polohe vzhľadom k rovinám π, υ a základnici x. rovnobežné priamky: a b Obr. 47 Rovnobeţné priamky Obr. 48 Obraz rovnobeţných priamok 48

rôznobežné priamky: axb Obr. 49 Rôznobeţné priamky mimobežné priamky: a,b Obr. 50 Mimobeţné priamky 49

6.3 Priemety roviny, stopy roviny Rovina je určená zdruţenými priemetmi určujúcich prvkov. Môţu to byť: tri nekolineárne body priamka a bod, ktorý na nej neleží dve rovnobežné rôzne priamky dve rôznobežné priamky Obr. 51 Priemet roviny p α - pôdorysná stopa roviny priesečnica roviny s priemetňou π, ak existuje, p α = α π n α - nárysná stopa roviny priesečnica roviny s priemetňou υ, ak existuje, n α = α υ Zápis roviny: α = (a, b, c) = [X(a,0,0) Y(0,b,0) Z(0,0,c)] Obr. 52 Stopy roviny 50

Špeciálne roviny: prvá premietacia rovina rovina kolmá na priemetňu π Obr. 53 Rovina kolmá na pôdorysňu druhá premietacia rovina rovina kolmá na priemetňu υ Obr. 54 Rovina kolmá na nárysňu 51

rovina rovnobežná so základnicou x, λ x; Obr. 55 Rovina rovnobeţná so základnicou Obraz bodu a priamky v rovine Bod leží v rovine práve vtedy, keď leží na priamke roviny. Obr. 56 Bod v rovine Priamka v rovine určenej stopami: pôdorysný stopník priamky leţí na pôdorysnej stope roviny a nárysný stopník priamky na jej nárysnej stope. Obr. 57 Priamka a stopy roviny 52

Významné priamky roviny (rovina nemá špeciálnu polohu): - hlavné priamky - spádové priamky Hlavné priamky sú priamky rovnobežné so stopami roviny hlavná priamka I. osnovy priamka h I roviny rovnobeţná s priemetňou π; h I = α π, π π Obr. 58 Hlavná priamky I. osnovy hlavná priamka II. osnovy priamka h II roviny rovnobeţná s priemetňou υ; h II = α υ, υ υ Obr. 59 Hlavná priamky II. osnovy 53

Spádové priamky sú priamky kolmé na stopy roviny (kolmé na hlavné priamky roviny) spádová priamka I. osnovy priamka s I roviny kolmá na hlavné priamky prvej osnovy h I ; spádová priamka II. osnovy priamka s II roviny kolmá na hlavné priamky druhej osnovy h II ; Obr. 60 Spádová priamka I. osnovy Obraz dvojice rovín Dve roviny a ich združené priemety: rovnobežné roviny α β Obr. 61 Rovnobeţné roviny 54

rôznobežné roviny α β = r priesečnica Obr. 62 Rôznobeţné roviny 55

6.4 Skutočná veľkosť úsečky Obr. 63 Sklopené body A,B Obr. 64 Sklopené body A,B 56

Cvičenia 1. Bod A leţí v rovine ρ. Zostrojte chýbajúci prvý priemet bodu A. Obr. 65 Zadanie a riešenie úlohy Obr. 66 Iné riešenie úlohy 2. Daným bodom A veďte priamku a rovnobeţnú s danou priamkou b. Obr. 67 Zadanie a riešenie úlohy 57

3. Daným bodom A veďte priamku a rôznobeţnú s danou priamkou b, ak poznáte prvý priemet priamky a 1. Obr. 68 Zadanie a riešenie úlohy 4. Zostrojte stopy roviny ρ, ktorá je určená bodom A a priamkou b. Obr. 69 Zadanie a riešenie úlohy 5. Daný je obraz trojuholníka ABC ρ. Zostrojte trojuholník zhodný s trojuholníkom ABC. Obr. 70 Zadanie a riešenie úlohy 58

7 Kótovanie na technických výkresoch 7.1 Kótovanie a prvky kótovania 7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení 7.3 Spôsoby kótovania 59

7.1 Kótovanie a prvky kótovania Patrí k najzodpovednejšej práci pre kreslení, uľahčuje čítanie výkresov, výrobu a montáţ. Kótovanie je určovanie rozmerov súčiastky, jej tvaru a vzájomnej polohy tvarových prvkov na súčiastke Prvky kótovania: kótovacia čiara ukončenie kótovacej čiary predlţovacia čiara (pomocná) odkazová čiara kóta Obr. 71 Prvky kótovania Kótovacia čiara je to tenká súvislá neprerušovaná čiara nesmie ju nič kriţovať výnimočne kreslíme kótovaciu čiaru neúplnú kótovacia čiara je: o o o priamka, ak kótujeme lineárne rozmery oblúk, ak kótujeme uhly alebo oblúky a má stred vo vrchole uhla alebo v strede oblúka polpriamka, ak kótujeme polomery, začína v strede kótovaného polomeru. 60

Ukončenie kótovacej čiary a) šípkami otvorené uzatvorené uzatvorené a plné (obr. 79) b) bodkami, krátkymi úsečkami pod uhlom 45º Obr. 72 Moţnosti kótovania Obr. 73 Rôzne kótovanie Predlžovacia (pomocná) čiara je tenká súvislá čiara väčšinou je kolmá na kótovaný obrys môţe sa kresliť aj šikmo, ale v tom prípade musí byť odpovedajúca dvojica rovnobeţná kreslí sa vţdy za kótovaciu čiaru 1-2mm môţe prechádzať obrysmi, pretínať iné čiary a môţeme ju prerušiť 61

Odkazová čiara tenká súvislá čiara kreslí sa vţdy šikmo a na konci môţe byť zalomená vodorovne alebo zvislo začína bodkou alebo šípkou, prípadne je bez začiatku o o o bodkou začína na ploche šípkou na hrane bez začiatku na kótovacej čiare vţdy sa vynášajú mimo obraz ak prechádzajú šráfovaním, musí sa ich sklon výrazne meniť od sklonu šráfovania Obr. 74 Odkazové čiary Obr. 75 Pouţitie odkazových čiar 62

Kóta je číselný údaj, ktorý udáva rozmer v milimetroch výška čísla závisí od veľkosti obrázku písmo - typ B - podľa formátu, hrúbky čiar kóta sa píše vţdy nad kótovaciu čiaru a vţdy tak, aby sa výkres dal čítať zdola nahor a sprava doľava kóta nesmie byť rozdelená ţiadnou čiarou Obr. 76 Vpisovanie kót Obr. 77 Vpisovanie kót Obr. 78 Vpisovanie kót 63

Ďalšie vlastnosti prvkov kótovania - pri kótovaní sa môţe medzi obrysovou a pomocnou čiarou vynechať medzera - kótovacia čiara je od obrysovej najmenej 7 mm vzdialená - kótovacie čiary sa musia ukončovať šípkami - veľkosť šípok je najmenej 2,5 mm - pri krátkych kótach môţe byť namiesto šípok úsečka sklonená pod uhlom 45º vpravo - kóta sa umiestňuje nad súvislou kótovacou čiarou vo vzdialenosti 1 mm - kóta, ktorá nezodpovedá nakreslenému rozmeru sa musí podčiarknuť - kóty sa uvádzajú v milimetroch, jednotky dĺţky sa neuvádzajú - uhly sa uvádzajú v stupňoch, minútach a sekundách - ak pretína šípka obrysovú čiaru, musí sa čiara prerušiť - kaţdý rozmer kótujeme iba raz Obr. 79 Šípky a kótovacie čiary 64

7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení Kótovanie polomerov pred kótu sa dáva značka "R" (Rádius) Obr. 80 Kótovanie polomerov Obr. 81 Rôzne druhy kótovania polomerov 65

Kótovanie priemerov pred kótu dávame značku ϕ Obr. 82 Kótovanie priemerov Obr. 83 Kótovanie priemerov Obr. 84 Kótovanie priemerov Obr. 85 Kótovanie priemerov 66

Kótovanie uhlov Obr. 86 Kótovanie uhlov Obr. 87 Kótovanie uhlov Kótovanie oblúkov Stredový uhol Dĺţkou tetivy Dĺţkou oblúka Obr. 88 Stredový uhol Obr. 89 Dĺţka tetivy Obr. 90 Dĺţka oblúka Kótovanie skosení vonkajšie skosenie Obr. 91 Vonkajšie skosenie 67

vnútorné skosenie Obr. 92 Vnútorné skosenie Kótovanie zaoblení hrán polomer zaoblenia stred polomeru nevyznačujeme Obr. 93 Kótovanie zaoblenia Kótovanie opakujúcich sa prvkov kótujú sa zjednodušene tak, ţe zakótuje sa jeden pomocou značky násobenia. na odkazovaciu čiaru sa uvedie celkový počet prvkov Obr. 94 Kótovanie opakujúcich sa prvkov Kótovanie závitov 1. zobrazenie profilu závitu 2. vonkajší priemer 3. stúpanie iba ak je iné ako v STN 4. dĺţka závitu Obr. 95 Kótovanie závitov na skrutke 68

7.3 Spôsoby kótovania - reťazcové kótovanie - kótovanie od jednej základne je najpouţívanejšie - zmiešané kótovanie Obr. 96 Reťazcové kótovanie Obr. 97 Kótovanie od jednej základne Obr. 98 Zmiešané kótovanie Zadanie technickej dokumentácie Narysujte podľa vzoru dva technické výkresy na výkres a na pauzovací papier: - hriadeľ - skrutka M12 x 1,5 dĺţky 50 mm 69

Obr. 99 Skrutka M12 Obr.100 Hriadeľ 70

8 Technické krivky 8.1 Technické krivky, rozdelenie 8.2 Elipsa 8.3 Metódy konštrukcie elipsy 8.4 Iné technické krivky 71

8.1 Technické krivky, rozdelenie Názov kuţeľosečky pomenováva moţnosť ich vytvorenia ako prieniku rotačnej kuţeľovej plochy a príslušnej roviny rezu. Kuţelosečky: elipsa kruţnica hyperbola parabola Obr. 101 Kuţelosečky Iné technické krivky: evolventa Archimedova špirála skrutkovica 72

8.2 Elipsa Elipsa je rovinná krivka, ktorá patrí do triedy kuţeľosečiek. Elipsu moţno definovať ako mnoţinu všetkých bodov roviny, ktoré majú od dvoch pevných bodov F1 a F2 konštantný súčet vzdialeností, ktorý je väčší ako vzdialenosť týchto bodov. Body F1, F2 sa nazývajú ohniská, priamka prechádzajúca bodmi F1, F2 sa nazýva hlavná os elipsy, body A, B v ktorých os elipsy pretína elipsu sú hlavné vrcholy elipsy, stred úsečky F1, F2 je stred elipsy a priamka kolmá na hlavnú os elipsy prechádzajúca jej stredom je vedľajšia os elipsy a body C, D, v ktorých vedľajšia os elipsy pretína elipsu sú vedľajšie vrcholy elipsy. Obr. 102 Elipsa Obr. 103 Elipsa 73

8.3 Metódy konštrukcie elipsy trojuholníková priečková metóda metóda oskulačných kruţníc pásikové metódy Trojuholníková metóda Obr. 104 Trojuholníková metóda Obr. 105 Trojuholníková metóda Priečková metóda Obr. 106 Priečková metóda 74

Prúžková metóda rozdielová súčtová Obr. 107 Prúţková metóda rozdielová Obr. 108 Prúţková metóda súčtová Prúžková konštrukcia elipsy Majme dĺţky hlavnej a vedľajšej poloosi a, b. Na prúţok papiera si vyznačíme bod X na jednom konci, bod 1 vo vzdialenosti b a bod 2 vo vzdialenosti a. Keď teraz budeme pohybovať prúţkom tak, ţe bod 2 sa bude pohybovať po vedľajšej osi a bod 1 zasa po hlavnej osi elipsy, krajný bod X nám opíše hľadanú elipsu. Táto konštrukcia má svoj názov odtiaľ, ţe na prúţku papiera máme naznačený rozdiel 12 = a b 75

Metóda hyperoskulačných rovníc Obr. 109 Metóda hyperoskulačných rovníc Metóda hyperoskulačných kružníc Kvôli presnejšej konštrukcii krivky v jej jednotlivých bodoch pouţívame tzv. oskulačné kruţnice, ktoré v okolí bodu nahrádzajú oblúk krivky. Oskulačná kruţnica má v bode krivky tzv. trojbodový dotyk. Pre konštrukciu krivky kuţeľosečiek v jej vrcholoch vyuţívame tzv. hyperoskulačné kruţnice, ktoré majú v okolí vrcholov aţ štvorbodový dotyk. Zostrojíme obdĺţnik SBS C a jeho uhlopriečku CB. Z bodu S zostrojíme kolmicu na uhlopriečku CB, ktorá pretne osi elipsy v hľadaných stredoch hyperoskulačných kruţníc SB a SC pre vrcholy B a C (polomer je SBB a SCC ). Stredy SA a SD pre hyperoskulačné kruţnice pre vrcholy A a D sú symetrické podľa stredu S elipsy so stredmi SB a SC (pre polomery platí: SAA = SBB, SDD = SCC ). 76

Kužeľosečky v praxi Obr. 110 Hyperbola Obr. 111 Parabola Obr. 112 Elipsa Obr. 113 Parabolický hyperboloid Obr. 114 Rotačný hyperboloid 77

8.4 Iné technické krivky Evolventa - krivka, ktorá vzniká valením priamky h po kruţnici p, bod pevne spojený s priamkou h opíše evolventu. Postup: Obvod kruţnice rozdelíme na určitý počet rovnakých dielov, oblúk prislúchajúci jednému dielu zretifikujeme a nanesieme na dotyčnice vedené ku kruţnici v deliacich bodoch Obr. 115 Konštrukcia evolventy Obr. 116 Konštrukcia evolventy Obr. 117 Evolventa 78

Archimedova špirála rovinná krivka vytvorená rovnomerným pohybom bodu po sprievodiči, ktorý sa rovnomerne otáča okolo pólu. Postup konštrukcie: Ak sa otočí sprievodič o uhol 2π, bude sa vzdialenosť bodu A od začiatku rovnať r0. Uhol 2π rozdelíme na n rovnakých dielov a tieţ úsečku r0, na jednotlivé sprievodiče nanesieme od začiatku postupne dĺţky r0/n, 2r0/n... Obr. 118 Archimedova špirála Obr. 119 Archimedova špirála Obr. 120 Archimedova špirála Obr. 121 Archimedova špirála 79

Skrutkovica priestorová krivka, ktorú opíše bod A rovnomerným otáčaním okolo osi o a súčasným rovnomerným posuvom v smere tejto osi pravotočivé a ľavotočivé Obr. 122 Skrutkovica Postup konštrukcie Obvod kruhovej podstavy valca, na ktorom má byť skrutkovica vytvorená, rozdelíme na vhodný párny počet rovnakých dielov (napr.12) a rozvinieme ho do priamky. Ak sa otočí bod o 2π, posunie sa súčasne v smere osi o veľkosť stúpania s. Veľkosť stúpania s vynesieme na kolmicu v koncovom bode rozvinutého obvodu podstavca valca. Vznikne tak základný tvoriaci trojuholník, ktorého prepona po navinutí na valec vytvorí hľadanú skrutkovicu. 80

Obr. 123 Skrutkovica Obr. 124 Skrutkovica Obr. 125 Skrutkovica 81

2. ročník 9 Názorné zobrazovanie 9.1 Názorné zobrazovanie 9.2 Kosouhlé premietanie 9.3 Pravouhlá axonometria 9.4 Zaujíma vás? 82

9.1 Názorné zobrazovanie Na zobrazovanie predmetov na technických výkresoch sa pouţívajú rôzne metódy premietania normalizované v technických normách ISO 5456-1 aţ 4. Tieto metódy moţno rozdeliť na dve základné skupiny: metódy 3D, ktoré poskytujú trojrozmerný pohľad na predmet - názorné zobrazovanie, metódy 2D, ktoré zobrazujú predmet dvojrozmernými obrazmi - kolmé premietanie zobrazovanie. V technickej literatúre a v technickej praxi sa často snaţíme vytvoriť obrazom ţiadúcu predstavu o skutočnom tvare predmetu. Pouţívame pritom premietanie na jednu plochu, tzv. priemetňu. Zobrazovanie priestoru do roviny sa uskutočňuje teda špecifickým spôsobom. Existujú dva základné druhy premietania: - stredové premietanie (SP) - rovnobežné premietanie (RP). Obr. 126 Stôl s kompozíciou v RP a SP Stredové premietanie nie je zobrazovacou metódou. Špeciálnym prípadom je lineárna perspektíva, ktorá sa pouţíva hlavne v technickej praxi (v architektúre a stavebníctve - návrhy projektov stavieb a pod.). 83

Rovnobežné premietanie je zobrazenie, ktoré spĺňa poţiadavku názornosti, príslušná teória aj praktické zostrojovanie rovnobeţných priemetov sú jednoduché a pochopiteľné pre študentov stredných škôl. Názorné zobrazovanie je také zobrazenie predmetov, z ktorého je z jedného obrázka zrejmý celkový tvar predmetu. Názorné obrázky zostrojujeme spravidla týmito druhmi rovnobežného premietania: - kosouhlé premietanie (šikmé premietanie) - pravouhlá axonometria 84

9.2 Kosouhlé premietanie Najjednoduchším spôsobom názorného zobrazovania tvaru telies je kosouhlé premietanie. Priemetom čelnej steny je obraz jej skutočnej veľkosti i tvaru. Šikmé priemety hrán bočnej steny sú skrátené. Pri skosení priemetu na 45º sa rozmer bočnej steny skráti na ½ (k). kosouhlé premietanie uhol medzi osami x,y = 135º, k=0,5 Ak k = 1 - kavalierna alebo kavalierska perspektíva Ak je izometrický na vodorovnú priemetňu vojenská perspektíva Obr.127 a) vojenská perspektíva, b) kavalierna perspektíva, c) kosouhlé premietanie Vojenská perspektíva je zobrazenie vhodné na technické výkresy pouţívané v urbanizme pri návrhu sídlisk a zostrojovaní priemetov objektov s komplikovaným pôdorysom a zloţitou stavbou. Priemety súradnicových osí x a y sú kolmé, a platí p : q : r = 1 : 1 : 1, čiţe jx = jy = jz Kavalierna perspektíva je šikmé premietanie, v ktorom sa premieta do roviny rovnobeţnej s nárysňou alebo bokorysňou. Pouţívala sa uţ v 16. a 17. storočí pri zhotovovaní plánov (tzv. vedút) dôleţitých miest a sídlisk. Priemety súradnicových osí x a z, príp. y a z sú kolmé, a p : q : r = 1 : 1 : 1, jx = jy = jz. Obe spomenuté zobrazenia sa pouţívali na vojenské účely, praktickosť konštrukcií prevládala nad dobrou názornosťou. 85

9.3 Pravouhlá axonometria V praxi sa pouţívajú dva druhy axonometrického premietania: a) izometria uhly osí x, y, z = 120º, k = 1 b) technická dimetria uhly osí x, z = 97º, uhly osí z, y = 131º, k = 0,5 Obr. 128 Izometria Obr. 129 Dimetria V izometrii pri zobrazení kocky sú priemety kruţníc zhodné elipsy, ktorých osi sú zhodné s uhlopriečkami kosoštvorcov, do ktorých sa premietajú steny kocky. 86

Ak je skutočná veľkosť strany kocky s a ak nanášame rozmery neskrátene, potom dĺžky osí elíps sú: 2a = 1,226.s 2b = 0,707.s V dimetrii sa kruţnice vpísané do stien kocky zobrazia ako elipsy e 1, e 2, e 3. Elipsa e 1 v priečelnej stene blíţi kruţnici a elipsy e 2 a e 3 sú zhodné a platí: 2a 1 = 2a 2 = 2a 3 = 1,06.s 2b = 0,955.s Zobrazovanie predmetov na jednu priemetňu je obtiaţne najmä pri rotačných tvaroch, kde treba kresliť elipsy. To je jedna z hlavných príčin, prečo sa názorné priestorové zobrazovanie pouţíva na technických výkresoch len zriedkavo. Kosouhlé a axonometrické obrazy pouţívame iba ako doplnok k technickým výkresom v kolmých pravouhlých priemetoch. Obr. 130 Vyuţitie izometrie 87

Obr. 131 Názorné zobrazenie 88

9.4 Zaujíma vás? Snaha človeka zobraziť rôzne priestorové objekty do roviny vznikla z praktických potrieb. Niektoré prvky zobrazovania trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny boli známe uţ pomerne dávno pred naším letopočtom (napr. náčrt mestského plánu Nippuru, starého kultového sumerského strediska, asi 15. storočie pred n.l.). Metódy na zobrazenie priestoru do roviny sa rozvíjali postupne a veľmi dlho, boli podmienené prvotnou snahou umelcov o verné zobrazenie okolitého sveta. Po kolmom premietaní (plány miest) to bola lineárna perspektíva, ktorú objavili aţ renesanční umelci (14.- 16. storočie) a bola pouţívaná a rozvíjaná ako názorná metóda veľmi blízka ľudskému vnímaniu očami okrem maliarov zo začiatku aj architektmi a staviteľmi pri navrhovaní stavieb. Ciele zobrazovania však boli a sú u maliarov aj architektov a staviteľov rôzne. Technický obraz priestorového útvaru musí byť nielen názorný, ale aj presný a mal by sa dať jednoducho zostrojiť, a na druhej strane z obrazu v nákresni by sa mali dať určiť niektoré vlastnosti priestorového útvaru, ako napr. tvar, rozmery a pod. Z týchto dôvodov sa v technických aplikáciách vyuţívajú metódy zobrazovania priestoru do roviny, ktorých základom je rovnobeţné premietanie. Tieto presné metódy skúma samostatná matematická a technická disciplína - deskriptívna geometria. Jej teoretické základy vypracoval dôsledne aţ na konci 18. storočia francúzsky matematik, geometer a fyzik Gaspard Monge (1746-1818) vo svojej knihe Géométrie descriptive. 89

Zobrazte kocku - v kosoúhlom premietaní - v izometrii Zadanie technickej dokumentácie Obr. 132 Kocka v kosoúhlom premietaní 90

Obr. 133 Kocka v izometrii 91

10 Osvetlenie telies 10.1 Osvetľovanie telies 10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého tieňa 92

10.1 Osvetľovanie telies Kaţdý predmet, ktorý pozorujeme v priestore je osvetlený. Dôleţitým sprievodným javom osvetľovania je tieň. Niektoré steny sú vţdy odvrátené od zdroja svetla a sú teda vo vlastnom tieni. Nepriehľadné teleso súčasne bráni priechodu svetla na podloţku a okolité objekty a vytvára tak vrhnutý tieň. Podľa zdroja svetla rozlišujeme osvetľovanie: rovnobežné - svetelné lúče sú rovnobeţné (zdroj svetla je nekonečne vzdialený - slnečné lúče) stredové - svetelné lúče vychádzajú z jedného bodu ( zdroj svetla je bodový napr. osvetlenie ţiarovkou) Skonštruovaním vrhnutých a vlastných tieňov predmetov vyvoláme dokonalý priestorový dojem. Pri osvetľovaní v technickom kreslení pracujeme so zidealizovanými podmienkami: osvetlenie je rovnobeţné (svetelné lúče sú rovnobeţné, podobne ako je to pribliţne pri slnečných lúčoch) osvetľované útvary sú nepriehľadné a neodráţajú slnečné lúče Osvetľovanie v mongeovej projekcii: Vrhnutý tieň bodu na rovinu je priesečník svetelného lúča vedeného týmto bodom so záchytnou rovinou (priemetňou). Rovinný útvar leţiaci v rovine rovnobeţnej s priemetňou a jeho vrhnutý tieň sú útvary zhodné, vzájomne posunuté v smere svetla. Vrhnutý tieň kruţnice v rovine rovnobeţnej s priemetňou je opäť kruţnica, posunutá do priemetne v smere svetla. 93

Technické osvetľovanie často sa pouţíva pri osvetľovaní fasády budov. Šírka tieňa v oknách a dverách udáva hĺbku ich zapustenia rovnobeţné osvetľovanie, svetelné lúče sú rovnobeţné s telesovou uhlopriečkou kocky, zvierajú so základnicou uhol 45 stupňov. Obr. 134 Osvetľovanie telies Obr. 135 Vrhnutý tieň 94

10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého tieňa Obr. 136 Vlastný a vrhnutý tieň telesa Obr. 137 Vlastný a vrhnutý tieň ihlanu 95

Obr. 138 Vlastný a vrhnutý tieň telesa Obr. 139 Vlastný a vrhnutý tieň kuţeľa 96

11 Perspektívne zobrazovanie 11.1 Perspektíva 11.2 História perspektívneho zobrazovania 11.3 Základné pojmy 11.4 Druhy perspektív 11.5 Konštrukcia perspektívy 11.6 Anamorfóza a neskutočná perspektíva 97

11.1 Perspektíva Kaţdý, kto sa pustí do kreslenia zátišia alebo krajiny, narazí na problém zobrazenia hĺbky priestoru. Vynorí sa otázka, ako zobraziť trojrozmerný priestor na ploche papiera. Na preštudovanie zákonov perspektívy je nutné venovať trochu viac času, ale my sa pokúsime tento problém zjednodušiť a poukázať iba na to, čo je pre nás najdôleţitejšie. Perspektíva je vlastne spôsob, akým naše oči vnímajú priestorové vzťahy medzi predmetmi. Povedané inými slovami a veľmi jednoducho čím sú predmety vzdialenejšie, tým sa nám zdajú menšie. Ilustrujme si túto vetu na veľmi známom príklade predstavte si, ţe stojíte na koľajniciach a očami hľadáte ich neviditeľný koniec. Bude sa Vám zdať, ţe koľaje sa v diaľke zbiehajú do jedného bodu, hoci viete, ţe v skutočnosti sú rovnobeţné. Človek, stromy a vôbec všetky predmety stojace v diaľke sa vám budú zdať menšie ako sú naozaj. Keď sa postavíte pod vysokú budovu, ktorá má rovnobeţné strany, tieto sa vám budú javiť akoby sa do výšky zbiehali. Keby ste strany budovy predĺţili, priamky by sa stretli v jednom bode. Na pochopenie tohto javu si musíme objasniť niekoľko dôleţitých pojmov: pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a ktoré sa nám zdajú zbiehavé, sa volajú úbežníky. Stretávajú sa v bode, ktorý nazývame úbežníkový bod. Samozrejme, tento bod v skutočnosti neexistuje, pouţívame ho len ako pomôcku pri konštruovaní perspektívneho zobrazovania. Keď kreslíme, je dôleţité vedieť, kde sa vlastne tento bod nachádza. Nachádza sa na horizonte, a to je rovina presne vo výške našich očí. Pozor tento horizont nie je totoţný s horizontom krajiny! Keď je pozorovaný predmet vo vyššej pozícii ako pozorovateľ, úroveň jeho očí a teda horizont bude zníţený. Takémuto zobrazovaniu hovoríme aj ţabia perspektíva. Keď kreslíme predmety z vysokého stanovišťa, povieme, ţe kreslíme z vtáčej perspektívy. 98

11.2 História perspektívneho zobrazovania Staroveký Egypt Uţ Egyptskí výtvarníci pozorovali, ţe postavy v ich blízkosti sú veľké a naopak s rastúcou vzdialenosťou od pozorovateľa sa zmenšujú aţ sa nakoniec úplne "stratia". Na kresbách, ktoré znázorňovali akýsi dej, bol vţdy ústrednou postavou faraón, jeho kňazi a úradníci. Faraón však vynikal svojou veľkosťou v popredí, kňazi boli menší, vojaci ešte menší a úplne najmenší boli radoví ľudia. Postavy sú kreslené mimoriadne realisticky, avšak len z profilu a bez pouţitia perspektívy. Jedná sa teda o významovú perspektívu, čo znamená, ţe Egypťania zdôrazňovali veľkosťou hodnosť alebo moc kaţdej postavy, preto je faraón najväčším. Obr. 140 Egyptská perspektíva Staroveký Rím Prvú zmienku o perspektíve nájdeme v Ríme a to u rímskeho architekta a staviteľa Vitruvia Pollia. Ten tvrdil: "Potom, čo určíme stredový bod, musia sa čiary ako v prírode zbiehať v projekčnom bode zorných paprskov tak, ţe mnohé časti sa zdajú ustupovať dozadu, zatiaľ čo iné vystupujú dopredu." Slovo perspektíva však nemá rovnaký význam po celú dobu ľudstva. V minulosti sa slovo perspektíva pouţívalo k označeniu súboru poučiek z geometrickej optiky. Tieto poučky dnes môţeme nájsť v Euklidových spisoch, v ktorých ide o zdôraznenie priamočiareho šírenia svetla. Euklides ale objavil omnoho viac pre deskriptívu. Skúmaním optiky zistil, ţe náš vizuálny obraz sa skladá z priamok, ktoré 99

vychádzajú z oka a tvoria kuţeľ. A tak sa objavujú prvé pokusy o perspektívne zobrazenie predmetu. Nakoľko však rímska ríša zaniká, vývoj sa spomaľuje. Zopakujme si Ako by ste definovali jednoduchými slovami pojem perspektíva? Čo platí pre znázorňovanie blízkych a vzdialených predmetov v perspektíve? Ako sa nazývajú pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a zdajú sa nám zbiehavé? V akom bode sa tieto priamky zbiehajú? Čo chápeme v perspektíve pod pojmom horizont? Kde sa nachádza horizont v porovnaní s pozorovaným predmetom pri ţabej a kde pri vtáčej perspektíve? Ako sa nazýva perspektíva pouţívaná v umení Starovekého Egypta? Aký je princíp perspektívy pouţívanej v Starovekom Egypte? Ako sa volal rímsky architekt, ktorý ako jeden z prvých začal vyuţívať perspektívu? 100

Renesancia 14. storočie, obdobie renesancie, najlepšie charakterizuje nová architektúra, ktorá pouţitím jednoduchých geometrických tvarov a symetrie usiluje o jasné definovanie a ovládnutie priestoru. O to sa snaţí aj maliarstvo. Od prvých nesmelých pokusov sa v priebehu krátkej doby jedného storočia podarilo prevaţne florentským maliarom nájsť všetky dôleţité zákonitosti lineárnej perspektívy. Jej pouţitie im umoţňovalo maľovať úplne bezchybné perspektívne obrazy. Pritom toto hľadanie nestavalo na znalostiach matematiky a geometrie, ale bolo prevaţne intuitívne, odvodené od priameho pozorovania a pokusov. V tomto období sa objaví muţ menom Giotto, ktorý vysloví nesúhlas so svetskou byzantskou abstrakciou. Tento maliar ako prvý do svojej tvorby zahrňuje perspektívu. Príklad jeho chápania perspektívy je vidieť na obrázku Giottovej fresky Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi (okolo 1325, obr.141), ktorá sa nachádza v kostole Santa Croce vo Florencii. Giotto uţ vedel, ţe na vyvolanie ilúzie rovnobeţných čiar treba namaľovať čiary, zbiehajúce sa k spoločnému úbeţníku. Na druhej strane však úbeţník priamok prislúchajúcich miestnosti ako celku a úbeţník priamok prislúchajúcich baldachýnu, sú rôzne. Zdá sa preto, ţe obraz má dva hlavné body (t.j. úbeţníky priamok idúcich do hĺbky) a aj dva horizonty. To znamená, ţe u Giotta je perspektíva akoby "lokálna", rôzne prvky architektúry sú zakreslené v rôznych pohľadoch. Obr. 141 Giotto, Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi Ďalším intuitívnym perspektívcom bol Amerogio Lorenzetti. Jeho obraz Zvestovanie (1344) uţ prináša do maliarstva úplne novú hodnotu. Všetky hĺbkové priamky, ktoré sú kolmé na rovinu obrazu, sa zbiehajú v jedinom úbeţníkovom bode. Z geometrického hľadiska je na obraze zaujímavá dlaţba, pomocou ktorej Lorenzetti 101

vyvoláva ilúziu hĺbky priestoru. Bočné hrany dlaţdíc sa zbiehajú do jediného bodu, ktorý je súčasne aj hlavným bodom obrazu (t.j. obraz je maľovaný vo frontálnom pohľade). To je v súlade s geometrickými princípmi. Keď si však do siete dlaţdíc zakreslíme uhlopriečky, zistíme, ţe tieto tvoria krivku. Z geometrického hľadiska je to nesprávne, lebo v skutočnosti je diagonálou priamka, a pri stredovom premietaní sa táto musí zobraziť opäť na priamku. Preto čiara tvorená uhlopriečkami dlaţdíc na obraze by mala byť priamkou. Otázka, ako správne zobraziť dlaţbu predstavovala váţny technický problém. Lorenzetti uţ vie, ţe dlaţdice na obraze sa musia postupne zmenšovať, ale ešte nevie podľa akého pravidla. Pravidlo, ako sa majú na obraze zmenšovať dlaţdice objavil aţ Alberti. Obr. 142 Lorenzetti, Zvestovanie V renesancii perspektíva opäť oţíva aj vďaka architektovi menom Filippo Bruneleschi, ktorý je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie perspektívy.. Pri stavbe florentského domu vytvoril systém vyuţívajúci pôdorys i nárys, čo umoţňovalo pomocou priesečníkov rovnobeţiek nakresliť perspektívne zobrazenie. Jeden jeho priateľ maliar, architekt a historik Vassari o ňom povedal: "Vynález perspektívy uspokojil Filippa natoľko, ţe rýchlo namaľoval Plaza de San Giovanni a reprodukoval krásu čiernobielych mramorových dlaţdíc, ktoré ubiehali do vnútra chrámu." Vďaka jeho technike namaľoval Masaccio svoju Najväčšiu trojicu. Vassari sa k tejto freske opäť vyjadruje: "Ale to najkrásnejšie, keď opomenieme postavy, je perspektívny obraz tabuľovej valenej klenby pri pohľade zdola. Optické skrátenie je tak skvele namaľované, ţe strop pôsobí ako reliéf". 102

Obraz znázorňuje imaginárnu architektúru, výklenok, v ktorom je Kristus na kríţi a pod ním kľačia modliace sa postavy donátorov (obrazy tých, ktorí dielo financovali), ďalej pod nimi akoby zo steny vystupuje Adamov hrob s kostrou, ako symbol ľudskej pominuteľnosti v kontraste s večnosťou Najsvätejšej trojice. Po odhalení diela boli údajne súčasníci zaskočení jeho dokonalosťou. Vraj v prvých okamţikoch pri vstupe do chrámu verili, ţe vidia skutočný výklenok alebo dokonalý reliéf. Obr. 143 Masaccio, Najsvätejšia trojica Ďalším významným architektom, ktorý sa zaoberal hĺbkovou perspektívou bol Leon Battista Alberti. Vo svojej knihe O maliarstve uvádza vzorec na zistenie vzdialenosti medzi opakujúcimi sa tvarmi v hĺbke. Výtvarníci túto vzdialenosť len odhadovali a väčšinou dosť nepresne. Na Albertiho nadviazal taliansky maliar Andrea Mantegna. Jeho vynachádzavé narábanie s perspektívou a iluzionistickými efektmi spôsobuje, ţe svet jeho obrazu akoby prekračoval svoje hranice a vnucuje sa do priestoru diváka. Na jeho obraze Oplakávanie mŕtveho Krista pouţíva dramaticky skrátenú perspektívu. Divák má pocit, akoby nohy Krista vystupovali z obrazu a keď sa vzďaľuje od obrazu, zdá sa, ţe ho postava sleduje. Obr. 144 Andrea Mantegna, Oplakávanie mŕtveho Krista 103

V 15. storočí bola Albertiho metóda ešte zdokonalená maliarom Pierom della Franceskom. V tejto dobe bola perspektíva prvýkrát v dejinách umenia povaţovaná za umenie riadnej výstavby obrazu. Obr.145 Piero della Francesca, Bičovanie Krista Veľmi významným renesančným perspektívcom bol Leonardo da Vinci, ktorý vo svojej knihe uvádza: "Perspektíva je ako pohľad na teleso, ktoré leţí za sklenenou tabuľou a v nej sa odráţa". Objavil dvojstredovú atmosférickú perspektívu. Jeho vyspelú perspektívu je vidieť na obrazoch ako sú: Klaňanie troch kráľov, Posledná večera, Madona v skalách. Obr. 146 Leonardo da Vinci, Posledná večera 104

Okrem podrobného štúdia perspektívy zistil Da Vinci a Raffaello aj nedostatky perspektívneho zobrazovania. V rohoch obrazu vo veľkej vzdialenosti od hlavného bodu sú obrazy extrémne skreslené. Ak si divák prezerá obraz z rôznych stanovíšť a ak je plátno široké, môţe sa stať, ţe v určitých pohľadoch vidíme nevýhody lineárnej perspektívy. Toto skreslenie sa môţe prejaviť tým viac, čím väčší zorný uhol obrazu zvolíme. Typickými príkladmi sú diela Klaňanie troch kráľov od Leonarda a Aténska škola od Raffaella. Obr.147 Leonardo da Vinci, Klaňanie troch kráľov Obr. 148 Leonardo da Vinci, Madona v skalách Obr. 149 Raffaelo Santi, Aténska škola 105

Okrem Leonarda da Vinci sa štúdiom perspektívy v renesancii veľmi podrobne zaoberal aj nemecký maliar Albrecht Dürer. Bol to maliar s veľkým talentom, ktorý bol obdarený fantáziou a ohromným pozorovacím talentom. Mal pocit, ţe umenie by malo mať správne teoretické základy. Navštívil Bolognu, aby sa naučil umeniu tajnej perspektívy, ktorej zákonitosti podrobne študoval a prakticky overoval. Svoje vedomosti uverejnil vo svojej práci Pojednanie o meraní. Obr. 150 Dürerove štúdie Obr. 151 Dürerove štúdie V renesancii tieţ Quido Ubaldo del Monte uskutočnil dôkaz o tom, ţe sa rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu. Tento dôkaz sa nazýva punctu concursuum. 106

Perspektíva, podobne ako iné veľké myšlienky svojej doby, bola ohromne precenená. Nebola vţdy chápaná ako jedna zo zloţiek správneho maliarstva, ale ako jeho podstata. Niektoré maliarske diela sa zvrhli v akúsi geometrické cvičenia, i keď krásne. Príkladom je Zvestovanie so svätým Emidiom od Carla Crivelliho z roku 1486. Kvalita perspektívnej kompozície bola chápaná ako merítko umeleckej hodnoty diela. Vlastná myšlienka obrazu často ustupovala do pozadia. Obr. 152 Carl Crivelli, Zvestovanie so svätým Emidiom 107

Zopakujme si Ako sa volal taliansky renesančný maliar, ktorý ako prvý do svojej tvorby zahrňuje princípy perspektívy a ktorá freska je typickým príkladom jeho chápania perspektívy? Aká chyba perspektívy je na obraze Lorenzettiho Zvestovanie? Ktorý renesančný architekt je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie perspektívy? V čom je prínos dokonalej perspektívy na Massaciovej freske Najsvätejšia trojica? V akej knihe sa Alberti venoval výpočtom vzdialeností v perspektíve? Ako sa volá obraz Andrea Mantegnu, na ktorom perfektne pouţil dramaticky skrátenú perspektívu? Uveďte tri najdôleţitejšie diela Leonarda da Vinci, na ktorých je najviac vidieť jeho vyspelú perspektívu. Uveďte dvoch maliarov a názvy ich diel, ktoré sú typickými príkladmi nevýhody lineárnej perspektívy, ktorá má priveľký zorný uhol. Ako sa volal renesančný nemecký maliar, ktorý podrobne aj prakticky študoval perspektívu a spracoval jej teoretické zákonitosti v knihe Pojednanie o meraní? Ako sa volá dôkaz o tom, ţe sa rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu? Uveďte jeden príklad maliara, ktorého perspektíva sa stala takmer geometrickým cvičením na úkor myšliebky obrazu? 108

Baroko Zobrazované figúry majú v tomto období expresívne gestá, často sú deformované, bez ohľadu na anatómiu, len aby dobre vyjadrili náboţenský záţitok a odovzdanie. Perspektíva z obrazu zmizla. Prejavuje sa len na postavách a vo výzdobe interiérov. Znalosť perspektívy totiţ umoţňovala efektnú iluzionistickú výzdobu, imaginárne pokračovanie priestoru. Z maliarov tohto obdobia vyuţíval intuitívne zásady perspektívy holandský maliar Jan van Eyck (1441). Jeho obrazy vynikali takmer fotografickou presnosťou, neskôr bolo jeho oko nazývané teleskopom a mikroskopom zároveň. Dôkazom je jeho dokonalý naturalistický portrét Portrét manţelov Arnolfiniovcov (1434). Takmer sa nechce veriť, ţe Eyck nepoznal správnu geometrickú konštrukciu lineárnej perspektívy. Ak si však predĺţime línie spárov podlahy, stropu a okna, vidíme, ţe sa pretínajú v niekoľkých rôznych úbeţníkoch. Sú však veľmi blízko seba, takţe dojem priestoru je vynikajúci. Obr. 153 Jan van Eyck, Portrét manţelov Arnolfiniovcov Iným maliarom perspektívcom v období baroka bol v katolíckom Španielsku pôsobiaci Diego Veláquez (1599-1660), a to priamo na kráľovskom dvore. Bol veľkým priaznivcom perspektívy, geometrie a optiky. Na obraze Las Meninas (1656) zobrazuje princeznu, dvorné dámy a tieţ seba ako kreslí kráľa a kráľovnu. Tí sa odráţajú v zrkadle na protiľahlej strane miestnosti. Perspektíva Veláquezovho ateliéru je jednoduchá a bezchybná. Všetko sa zbieha k jedinému úbeţníku 109

zvýraznenému svetlou plochou otvorených dverí. Perspektíva však nepôsobí prehnane, je zmäkčená tmavým pozadím a krivkou postáv v prednom pláne. V nasledujúcich umeleckých obdobiach uţ od konca 16. storočia je perspektíva ako výrazový prostriedok takmer nepouţívaná. Mnoho umelcov ju zavrhuje ako otrockú a zväzujúcu metódu. Zobrazenie priestoru je nahradené inými umeleckými prostriedkami hrou tieňov, svetla a farieb. Často sa však maliari dopúšťajú hrubých chýb a priestupkov proti jej zákonom. Paradoxne, keď maliarstvo lineárnu perspektívu opustilo, geometri a matematici ju teoreticky povýšili. Z umeleckých smerov dodrţiavajúcich zásady perspektívy bol výraznejší len impresionizmus. Obr. 154 Diego Veláquez, Las Meninas Impresionizmus Vynález fotografie (Francúz Nicephon Niepce roku 1827 zhotovil prvú neumelú fotografiu a Luis Daguerre predviedol svoj objav daguerrotypie 1839) bol jedným z najvýraznejších vplyvov na maliarstvo a zavŕšení znalostí perspektívy v 19.storočí. Najviac boli fotografiou ovplyvnení impresionisti. Pouţívali ju ako vzor k presvedčivému zobrazeniu pohybu. Fotografia im umoţnila doslova "vidieť" perspektívu a dokonale ju pochopiť. Impresionisti sa tak stávajú najlepšími, ale, ako sa potvrdí neskôr, tieţ poslednými plnými perspektívcami. 110

Obr. 155 Monet, Most v d'argenteuil Obr. 156 Alfred Sisley, Bridge at Hampton Court Keď na konci 18. storočia uzrela svetlo sveta deskriptívna geometria, ktorej tvorcom bol Gaspard Monge, dostalo sa i na perspektívu a jej vedecký podklad. Dnes sa s perspektívnym zobrazením stretávame takmer na kaţdom kroku. 111

Zopakujme si V čom sa prejavuje perspektíva v období baroka? Ktorý holandský maliar vyuţíval aţ fotograficky presnú perspektívu? Ktoré jeho dielo je typickým príkladom správneho pouţitia perspektívy? Kto zo španielskych barokových maliarov bezchybne vyuţíval perspektívu? Akým vynálezom boli najviac ovplyvnení impresionisti k perspektívnemu zobrazeniu? Uveďte príklad aspoň dvoch maliarov impresionizmu. Kto bol zakladateľom deskriptívnej geometrie? 112

11.3 Základné pojmy Perspektíva vznikla z latinského slova perspicere, čo znamená pozretie sa skrz niečo. Je to jeden z prostriedkov, ktorými sa zobrazuje na dvojrozmernej ploche trojrozmerný predmet. Perspektíva zachováva priestor, objekty a ich vzťahy, tak ako ich vidí oko. To znamená, ţe vzdialenejšie objekty sú menšie, bliţšie väčšie. Lineárna perspektíva je stredové premietanie, ktoré vyhovuje podmienkam minimálnej dištancie a maximálneho uhla zorného kuţeľa. Lineárna perspektíva berie do úvahy iba časť priestoru, ktorý je naše oko schopné dostatočne ostro pozorovať bez pohybu hlavy. Je to priestor ohraničený kuţeľovou plochou s vrcholovým uhlom asi 45 stupňov a nazýva sa zorným kužeľom. Obr. 157 Zorný kuţeľ kz zorná kruţnica, ktorá vzniká pretnutím zorného kuţeľa s priemetňou H hlavný bod, stred zornej kruţnice z základnica h horizont v hlavná vertikála d dištancia, vzdialenosť nášho oka S od priemetne kd dištančná kruţnica, jej vrcholový uhol = 90 stupňov Pomer zornej kruţnice r a dištancie d sa pouţíva najčastejšie vo vzťahu 2r=d 113

Priemety rovnobeţných priamok, ktoré nie sú rovnobeţné s priemetňou sa zbiehajú do bodu u - úbežníka leţiaceho na horizonte. Všetky priamky kolmé na priemetňu majú úbeţník v hlavnom bode H a nazývame ich hĺbkovými priamkami. Lineárna perspektíva je vhodne upravené stredové premietanie dané hlavným bodom H, horizontom h a dištanciou d. V lineárnej perspektíve volíme dištanciu d = HS vo vzťahu ku polomeru r zornej kruţnice tak, aby platilo r d 3r. V lineárnej perspektíve sa rovnobeţné línie zbiehajú na horizonte. Bod, v ktorom sa tieto línie zbiehajú na horizonte sa nazýva úbeţník. Môţe byť jeden alebo dva, tri. Pojem úbeţník bude pouţívaný pre priamky, na ktorých leţia úsečky súvisiace s prvkami objektov. Stručne ich budeme nazývať napr. úbeţník strany, hrany, uhlopriečky a pod. Perspektívny obraz bodu A,ozn. Ap určíme zásadami stredového premietania, jeho jednoznačné určenie v priestore získame doplnením o Ap 1 perspektívny obraz pôdorysu bodu A. Perspektívny obraz priamky: vo všeobecnej polohe je určený perspektívnymi obrazmi aspoň dvoch jej bodov, spoločný úbeţník všetkých hĺbkových priamok (priamok kolmých na priemetňu) je hlavný bod H ; pre určenie takej priamky stačí poznať perspektívny obraz ešte jedného jej bodu, spoločný úbeţník všetkých priamok leţiacich v základnej (alebo horizontálnej) rovine a zvierajúcich s priemetňou 45, je bod D, ktorý voláme dištančník (ľavý, pravý); pre určenie takej priamky stačí poznať perspektívny obraz ešte jedného jej bodu, Z vlastností stredového premietania vyplýva, ţe vo zvislej perspektíve úbeţník kolmíc na základnú rovinu (a horizontálne roviny) je nevlastný bod, takţe tieto kolmice, tzv. priečelné priamky sa zobrazia navzájom rovnobeţne, kolmé na horizont h. 114

11.4 Druhy perspektív Lineárna perspektíva sa delí: jednoúbeţníková priečelná, dvojúbeţníková - nároţná perspektíva - zachováva stredovú os, od ktorej je jeden úbeţník vpravo, druhý vľavo, vojenská perspektíva (zachováva pôdorys, ale skracuje ľubovoľné výšky, pouţíva sa predovšetkým pri znázornení miest, vojenských situácií apod.), trojúbeţníková - vtáčia perspektíva (zobrazenie z vysokého nadhľadu, ktorý umoţňuje zobrazovať aj to, čo u iných perspektív nie je vidieť napr. strechy budov, vyuţíva sa hlavne v architektúre), trojúbeţníková - ţabia perspektíva (zobrazuje objekt naopak z extrémneho podhľadu = vysoko poloţený horizont), obrátená perspektíva (úbeţník leţí pred plochou obrazu), výtvarná (atmosférická) perspektíva zachytáva tieţ farby predmetov a ich odtieň, ktoré sú spôsobené rôznou vzdialenosťou predmetov od maliara. Blízke objekty sú maľované sýtymi a teplými farbami, vzdialené studenými a rozmazanými farbami. Jednoúbežníková priečelná perspektíva Obr. 158 Jednoúbeţníková perspektíva Obr. 159 Jednoúbeţníková perspektíva 115

Túto perspektívu pouţívame, ak sa dívame na objekt priamo čelom. Často sa tak zobrazujú rôzne tunely, chodby atď. Dvojúbežníková - nárožná perspektíva V tejto perspektíve máme dva úbeţníky a obidva leţia na horizonte. Vzniká, keď pozorujeme objekt akoby cez roh. V tomto prípade máme dva typy úbeţníc. Vertikálne línie sa javia ako vertikálne (sú rovnobeţné) a horizontálne línie sa zbiehajú do jedného z dvoch úbeţníkov. Obr. 160 Nároţná perspektíva Príkladom môţe byť Vermeerov obraz Hodina hudby. V tejto perspektíve sú stavané napr. dlaţdice alebo modrá stolička. Obidva úbeţníky sú mimo obraz. Keď spojíme priesečníky úbeţníc, výsledné priamky sa nám spoja v hlavnej časti obrazu dievčaťa hrajúceho na piáno. Za povšimnutie tieţ stojí odraz v zrkadle. Obr. 161 Vermeer, Hodina hudby My vidíme svet z tejto perspektívy najčastejšie, a preto je to tieţ najpouţívanejšia forma perspektívy v maliarstve. 116

Perspektíva s tromi úbežníkmi Pokiaľ sa začneme dívať hore (ţabia perspektíva) alebo dole (vtáčia), objaví sa nám tretí úbeţník, ktorý je väčšinou mimo plátno. Ďalšie dva úbeţníky sú na horizonte. To znamená, ţe uţ ţiadne línie na obraze nebudú rovnobeţné, všetky smerujú do nejakého bodu. Obr. 162 Vtáčia perspektíva Ako príklad poslúţi fotografia dnes uţ neexistujúceho World Trade Center. Červené línie sa stretávajú v treťom úbeţníku (mimo horizont). Ţlté a zelené v dvoch samostatných úbeţníkoch, a keď nimi pretneme priamku, vytvoria nám horizont. Obr. 163 Ţabia perspektíva 117