ZOBRAZOVACIE METÓDY 2. I Mongeovo zobrazenie
|
|
- Μυρρίνη Βονόρτας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ZOBRAZOVACIE METÓDY 2 (prvý ročník, letný semester; prednáška 2 hod., cvičenie 2 hod. / týž.; 6 kreditov, 40 / 60) Program druhého semestra (Zobrazovacie metódy 2): I Mongeovo zobrazenie; II Perspektívna kolineácia medzi dvoma rovinami v rozšírenom euklidovskom priestore. Rovinné rezy kružnicovej kužeľovej plochy, kužeľosečky; III Aplikácie v riešení úloh na základných telesách (hranol, ihlan, valec, kužeľ, guľová plocha) v Mongeovej metóde i v kótovanom zobrazení. Cieľ: Ovládanie Mongeovej metódy (princíp zobrazenia, riešenie základných polohových a metrických úloh v tejto metóde, konštrukcia obrazov základných plôch a telies ako aj riešenie rozličných úloh na týchto objektoch využitím poznatkov zo stereometrie, afinity, perspektívnej kolineácie (najmä homológie) a projektívnej geometrie). Literatúra je ako obvykle uvedená v závere každej z kapitol I III. I Mongeovo zobrazenie OSNOVA PREDNÁŠKY 1. Princíp zobrazovacej metódy. Základné pojmy. Obraz bodu. Rovina súmernosti a totožnosti. 2. Obraz priamky a roviny. Stopníky priamky, stopy roviny. Hlavné a spádové priamky (príslušnej osnovy) roviny. 3. Obraz dvojice priamok. Vzťah pôdorysov a nárysov bodov tej istej roviny. 4. Dĺžka úsečky. Uhly priamky [roviny] s priemetňami a ich súčet. 5. Polohové úlohy v Mongeovom zobrazení. Vzájomná poloha priamky a roviny. Viditeľnosť. 6. Vzájomná poloha dvoch rovín. Priesek rovinných útvarov. Viditeľnosť. 7. Priečky mimobežných priamok. 8. Konštrukcia rovinného útvaru. Afinita otáčania roviny. Uhol dvoch priamok. 9. Otáčanie roviny kolmej na práve jednu z priemetní do zvyšnej priemetne. Konštrukcia siete kosého hranola. Konštrukcia siete ihlana s podstavou v jednej z priemetní. 10. Kolmica na rovinu. Vzdialenosť bodu od roviny. Rovina kolmá na priamku. Vzdialenosť bodu od priamky. 11. Uhly základných geometrických útvarov (priamka a rovina, dve roviny). 12. Os mimobežných priamok a ich vzdialenosť. 13. Konštrukcia priamky a roviny s danými odchýlkami od priemetní. 14. Rovina súmernosti dvoch rovín. Konštrukcia. 15. Konštrukcia základných telies z daných prvkov. 1
2 MONGEOVO ZOBRAZENIE CVIČENIA 1. Dané sú body A, B, C, D. a) Určte kvadrant, do ktorého patrí každý z nich; b) Dourčte body M, N tak, aby M π, N ν; c) Zobrazte priamky a, b, c, d incidentné v danom poradí s bodmi A, B, C, D tak, aby: a π, b ν, c x, d x. V ktorom prípade nie je priamka určená svojím pôdorysom a nárysom? (Obr. 1) 2. Dourčte priamky b, c, d, e tak, aby: b π, c ν, d π D d, e ν E e a zostrojte existujúce stopníky priamok a, b, c, d, e. (Obr. 2) 3. Dourčte priamku l tak, aby ležala v danej rovine α. Ako by ste riešili úlohu, ak by niektorý zo stopníkov priamky l v úlohe 3a) alebo 3d) bol nedostupný? (Obr. 3a 3e) 4. Zvoľte si obrazy troch nekolineárnych bodov A, B, C. Zostrojte trojuholník 1 A 1 B 1 C zhodný s trojuholníkom ABC, uhly zhodné s uhlami jeho strán s priemetňami a obraz jeho ťažiska. 5. Zobrazte dvojice rovnobežných, rôznobežných a mimobežných priamok (vo všetkých osobitných polohách vzhľadom na priemetne). 6. Zobrazte roviny π, ν, π (M π, π π), ν (M ν, ν,( ν α (a α, α π), β (a β, β ν), γ (a γ, γ x) a zostrojte existujúce stopy rovín. (Obr. 4) 7. Dourčte bod M tak, aby ležal v danej rovine α (obr. 5a 5f). a), b) α = ab; c) α = ABC; d) rovina je určená spádovou priamkou prvej osnovy; e) rovina je určená spádovou priamkou druhej osnovy; f) l α, α x. 8. Vo všetkých prípadoch z predchádzajúcej úlohy zostrojte v rovine α hlavné priamky oboch osnov. 9. Zostrojte rovinu prechádzajúcu bodom M a rovnobežnú s danou rovinou α (obr. 6a 6d). b) l α α x; c) Rovina je určená spádovou priamkou prvej osnovy; d) α = ab, a b. 10. Zostrojte priesečnicu rovín α, β (obr. 7a 7e). b) α π; c) β x; d) X α = X β ; e) α x β. 11. Určte vzájomnú polohu priamky a s rovinou α (obr. 8a 8f). b) α x; c) a x, α x, l α; d) α = k l (k l); e) rovina α je určená spádovou priamkou prvej osnovy; f) a x, rovina α je určená spádovou priamkou druhej osnovy. Poznámka: v prípade, keď sa v zadaní úlohy nevyskytuje základnica, daný je vždy smer ordinál (platí to aj pre všetky nasledujúce cvičenia). 12. Zostrojte priečku mimobežných priamok a, b rovnobežnú s priamkou l. (Obr. 9a, 9b; v prípade 9b) je priamka l rovnobežná s priamkou x = π ν.) 13. Zostrojte priečku mimobežných priamok a, b prechádzajúcu bodom M = (M 1,?), ktorý leží v rovine totožnosti. (Obr. 10) 14. Zostrojte priesek rovinných oblastí s hranicami v trojuholníku ABC a rovnobežníku MNPQ. A(0; 1; 8), B(4; 6; 0), C(-4,5; 1; 1), M(-2; 8; 1), N(5,5; 4; 3), P(1; 1; 7) 15. Zostrojte priesek rovinných oblastí s hranicami v trojuholníkoch ABC a DEF. a) A(-2; 1; 1), B(0; 4; 5), C(3; 2; 2), D(-2; 3; 4), E(3; 0; 5), F(0; 5; 0); b) A(-4; 1,5; 1), B(4; 2,5; 1), C(-1; 7; 5), D(-5,5; 4,5; 2,5), E(5; 6; 0), F(0; 0; 6) 2
3 16. Dourčte priamku a tak, aby prechádzala daným bodom A a bola rovnobežná s danou rovinou α. a) α = p α n α ; b) α = bc; c) α x l α; d) α π. (Obr. 11a 11d) 17. Zostrojte priesečnicu roviny α s rovinou totožnosti a v prípade zvolenej základnice x 12 i priesečnicu s rovinou súmernosti. a) α = p α n α ; b) α x; c) α x l α; d) α π; e) α x; f) α = ABC. (Obr. 12a 12f) 18. Dourčte priamky a, b tak, aby prechádzali bodom A a jedna z nich bola rovnobežná s rovinou súmernosti a druhá s rovinou totožnosti. (Obr. 13a 13c) 19. Daná je priamka a = (a 1, a 2 ) (a 1 a 2 ). Zostrojte priesečnicu roviny α (b α α a) s rovinou totožnosti. (Obr. 14) 20. Zostrojte priamku, ktorá prechádza bodom M, je rovnobežná s danou rovinou α = ab (a b) a pretína priamku m. (Obr. 15) 21. Zostrojte dĺžku úsečky AB a uhly priamky AB s oboma priemetňami. (Obr. 16a 16e). 22. Zostrojte uhly roviny α s oboma priemetňami. V a), b) je rovina určená spádovou priamkou (príslušnej osnovy); c) α = ab; d) α x l α; e) α x. (Obr. 17a 17e) 23. Zostrojte uhol zhodný s uhlom priamok a, b (obr. 18a 18d). b) a ν; c) a π; d) a x. 24. Zostrojte uhol zhodný s uhlom rovín α, β (obr. 19a 19d). a) α π, β ν; b) α π, β x; c) α x β; d) β = ab. 25. Zostrojte vzdialenosť priamok a, b (obr. 20a 20c). (V a) i b) ide o rovnobežky.) 26. Dourčte obraz obdĺžnika ABCD (AB π). (Obr. 21) 27. Dourčte obraz štvorca ABCD, ak AB π a strana BC je rovnobežná s danou priamkou l. (Obr. 22) 28. Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC α (α ν). Úlohu riešte pomocou otočenia roviny α okolo hlavnej priamky prvej osnovy do polohy rovnobežnej s priemetňou π. (Obr. 23) 29. Zostrojte rovinu súmernosti úsečky AB (obr. 24a 24c). c) AB π. 30. Určte vzdialenosť bodu M = (M 1, M 2 ) od danej roviny α (obr. 25a, b). a) α = ab, a b; b) α x l α; c) α π. V poslednom prípade si bod a rovinu zvoľte ľubovoľne tak, aby neboli incidentné. 31. Zostrojte vzdialenosť bodu M od danej priamky a (obr. 26a 26c). b) a = AB; c) Priamka a je rovnobežná práve s jednou z priemetní obraz priamky a bodu si zvoľte ľubovoľne tak, aby bod neležal na priamke. Úlohu riešte dvoma spôsobmi. 32. Zostrojte bod súmerne združený s daným bodom M podľa danej priamky a. (Obr. 26a 26c, zadanie je zhodné so zadaním z cvičenia 31.) 33. Zostrojte priamku, ktorá prechádza daným bodom A a s priemetňami π, ν má v danom poradí odchýlky a) 30, 45 ; b) 60, 30 ; c) 60, 75. Obraz bodu A = (A 1, A 2 ) si zvoľte ľubovoľne. 34. Zostrojte rovinu, ktorá prechádza daným bodom A a s priemetňami π, ν má v danom poradí odchýlky a) 60, 75 ; b) 30, 60 ; c) 45, 30. 3
4 35. Zostrojte rovinu súmernosti rovín α, β. (Obr. 27a, b) 36. Daná je hranolová plocha osou o = SL a určujúcim pravidelným šesťuholníkom ABCDEF v rovine π so stredom S. Zostrojte ľubovoľný normálový rez tejto plochy a útvar zhodný s rezovým n-uholníkom. V prípade a) zostrojte aspoň jednu rovinu z druhej sústavy rovinných rezov plochy, ktoré sú pravidelnými šesťuholníkmi. [a) S(-6; 3,5;?), L(0; 3,5; 3), A(-3,5; 3;?); b) S, A ako v a), L(0; 6; 3)] 37. Úlohu 35 vyriešte pre kružnicovú valcovú plochu s určujúcou kružnicou k so stredom S v rovine π a osou o. Polomer kružnice k si zvoľte ľubovoľne. V prípade a) zostrojte aspoň jednu kružnicu z druhej sústavy kružnicových rezov plochy. 38. Daná je ihlanová plocha určujúcim 5-uholníkom ABCDE v rovine π a vrcholom V [A(; ;), B(; ;), C(; ;), D(; ;), E(; ;), V(; ;)]. Zostrojte rovinný rez plochy rovinou α a útvar zhodný s rezom, ak: a) α (; ;); b) α (; ;); c) α (; ;). 39. Zobrazte ľubovoľnú kružnicu so stredom S v rovine α. a) α = p α n α ; b) α ν ; c) α x (obr. 28a 28c). 40. Zostrojte dráhu bodu M pri rotácii okolo priamky a = AB. Zadanie je zhodné so zadaním v cvičení 31. Poznámka. Obrázky k cvičeniam čitateľ nájde v závere kapitoly za literatúrou. KONŠTRUKCIA ZÁKLADNÝCH TELIES Z DANÝCH PRVKOV V MONGEOVEJ METÓDE Poznámka. a) Vyriešte v Mongeovej metóde cvičenia 1 18 z rovnomennej state v metóde kótovaného zobrazenia. b) Ďalšie aplikačné cvičenia a príklady, vrátane stručného vysvetlenia princípu zobrazenia a riešenia základných úloh v Mongeovej metóde čitateľ môže nájsť o. i. v diplomovej práci RNDr. Jána Bakšu Zbierka úloh z deskriptívnej geometrie, MFF UK Bratislava, 1998 v kapitole Mongeovo zobrazenie. Základné pojmy rovnobežného osvetlenia a osvetlenie jednoduchých telies prebraných v stereometrii možno nájsť v diplomovej práci RNDr. Kristíny Rostásovej (Lászlóovej) Osvetlenie základných geometrických útvarov, MFF UK Bratislava, 2000 LITERATÚRA Urban, A., Deskriptivní geometrie I, Praha, SNTL 1997, 1982 Kraemer, E., Zobrazovací metody I, II, SPN Praha, 1991 Kadeřávek, F. Klíma, J. Kounouský, J., Deskriptivní geometrie I, NČSAV, Praha 1954 Medek, V. Šedivý, O., Deskriptívna geometria pre gymnáziá, SPN Bratislava, 1986 Harant, M. Lanta, O., Deskriptívna geometria pre 2. a 3. ročník SVŠ, SPN Bratislava, 1996 Bakša, J., Zbierka úloh z deskriptívnej geometrie, diplomová práca, MFF UK Bratislava, 1998 Lászlóová, K., Osvetlenie základných geometrických útvarov, diplomová práca, MFF UK Bratislava,
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 II Perspektívna kolineácia medzi dvoma rovinami v rozšírenom Euklidovom priestore. Rovinné rezy kružnicovej kužeľovej plochy OSNOVA PREDNÁŠKY 1. Kolineácia. Osová kolineácia medzi dvoma rovinami. Osová kolineácia dvoch súmiestnych rovinných polí, samodružné prvky a vlastnosti. Homológia. Určenie homológie. 2. Osové kolineácie dvoch nesúmiestnych rovinných polí. Dva rovinné rezy tej istej ihlanovej a kružnicovej kužeľovej plochy nevrcholovými rovinami. 3. Úbežnice homológie a ich vlastnosti. Charakteristika homológie. 4. Rovnobežný priemet paraboly a hyperboly. Afinné vlastnosti. Priesečníky priamky s hyperbolou. 5. Obraz kružnice v homológii. Konštrukcie pre jednotlivé kužeľosečky. 6. Rovinné rezy rotačnej kužeľovej plochy. Q-D veta. Stredový priemet guľovej plochy. Definícia paraboly a hyperboly. Ohniskové vlastnosti. Kužeľosečky ako množiny stredov kružníc požadovanej vlastnosti. Spoločná definícia kužeľosečiek. 7. Rovinný rez kružnicovej kužeľovej plochy rovinou neprechádzajúcou vrcholom plochy. Stredový priemet kružnice. 8. Pravouhlé priemety rovinných rezov rotačnej kužeľovej plochy do roviny kolmej na os plochy. Využitie pri konštrukcii rovinného rezu kužeľovej plochy v Mongeovej metóde pri vhodnej polohe plochy vzhľadom na priemetne. 9. Množina vrcholov rotačných kužeľových plôch, ktorých prienik s danou rovinou je daná kužeľosečka v tejto rovine. 10. Asymptoty hyperboly. Vlastnosti a konštrukcia. LITERATÚRA Sklenáriková, Z., Zobrazovacie metódy II, MFF UK, Bratislava 1980, 1976 (vysokoškolské skriptum) Urban, A., Deskriptivní geometrie I, Praha, SNTL 1997, 1982 Kraemer, E., Zobrazovací metody I, II, SPN Praha, 1991 Kadeřávek, F. Klíma, J. Kounouský, J., Deskriptivní geometrie I, NČSAV, Praha 1954 Bakša, J., Zbierka úloh z deskriptívnej geometrie, diplomová práca, MFF UK Bratislava, 1998 Lászlóová, K., Osvetlenie základných geometrických útvarov, diplomová práca, MFF UK Bratislava,
15 III Aplikácia v riešení úloh na základných telesách v Mongeovom a v kótovanom zobrazení OSNOVA PREDNÁŠKY 1. Bod na ploche. Dotyková (styčná) rovina v bode plochy. Dotykové roviny kružnicovej V (K) plochy a styčné roviny H (I) plochy prechádzajúce daným bodom a rovnobežné s danou priamkou. Dotykové roviny guľovej plochy prechádzajúce danou priamkou. 2. Rovinné rezy telies a ich rovnobežné priemety. Vzájomná poloha priamky s plochou, konštrukcia priesečníkov. Riešenie úloh v prebraných zobrazovacích metódach. 3. Rovnobežné osvetlenie základných telies do roviny a konštrukcia vlastných tieňov (KZ, MZ). 4. Sústavy kružnicových rezov kružnicovej valcovej a kružnicovej kužeľovej plochy. 5. Konštrukcia siete hranola a ihlana. 15
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá
Zobrazovacie metódy 3
Zobrazovacie metódy 3 (druhý ročník, zimný semester, prednáška 4 hod., cvičenie 2 hod. / týž.; 7 kreditov, 40/60) Program tretieho semestra (Zobrazovacie metódy 3): I. Pravouhlá axonometria, II. Šikmé
23. Zhodné zobrazenia
23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:
ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ. Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol
II. ZÁKLADNÉ GEOMETRICKÉ TELESÁ Hranolová plocha Hranolový priestor Hranol Definícia II.1 Nech P n je ľubovoľný n-uholník v rovine α a l je priamka rôznobežná s rovinou α. Hranolová plocha - množina bodov
GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA
GEOMETRIA 4 KONŠTRUKČNÁ GEOMETRIA Obsahom predmetu je súhrn poznatkov viacerých geometrických disciplín od elementárnej planimetrie a stereometrie, syntetickej deskriptívnej geometrie, cez analytickú a
Obvod a obsah štvoruholníka
Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka
Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava
Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE
ŠTÁTNY PEDAGOGICKÝ ÚSTAV CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z DESKRIPTÍVNEJ GEOMETRIE BRATISLAVA 2012 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky dňa
Zhodné zobrazenia (izometria)
Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných
stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.
Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa
Stereometria Základné stereometrické pojmy Základné pojmy: Základné vzťahy: (incidencie) Veta 1: Def: Veta 2:
Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady.
Povrch a objem ihlana
Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky
Zobrazenia v rovine. Každé zhodné zobrazenie v rovine je prosté a existuje k nemu inverzné zobrazenie.
Zobrazenia v rovine Zobrazením Z z množiny A do množiny B nazývame predpis, ktorý každému prvku x množiny A priraďuje práve jeden prvok y množiny B. Zobrazenie v rovine priraďuje každému bodu X danej roviny
9 Planimetria. 9.1 Uhol. Matematický kufrík
Matematický kufrík 89 9 Planimetria 9.1 Uhol Pojem uhol patrí k najzákladnejším pojmom geometrie. Uhol môžeme definovať niekoľkými rôznymi spôsobmi, z ktorých má každý svoje opodstatnenie. Jedna zo základných
Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie
Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x
Súradnicová sústava (karteziánska)
Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme
Povrch a objem hranola
Povrch a objem hranola D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a priamka, ktorá nie je rovnobežná s rovinou mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme priamky rovnobežné
ANULOID GEOMETRICKÉ VARIÁCIE NA TÉMU ANULOID
ANULOID ÚVOD Matematická analýza a deskriptívna (prípadne konštrukčná) geometria sú dva rôzne predmety, ktoré úzko spolu súvisia. Anuloid a guľová plocha sú plochy technickej praxe.v texte sú z geometrického
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA
UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCA Bratislava 2006 Petra Klenková UNIVERZITA KOMENSKÉHO V BRATISLAVE FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY Katedra
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Bratislava
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO Bratislava D I P L O M O V Á P R Á C A 2004 Vladimír Palaj Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského Bratislava Algoritmizácia
Kapitola K2 Plochy 1
Kapitola K2 Plochy 1 Plocha je množina bodov v priestore, ktorá vznikne spojitým pohybom čiary u, ktorá nie je dráhou tohto pohybu, pričom tvar čiary u sa počas pohybu môže meniť. Čiara u sa nazýva tvoriaca
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh
16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA
ZBIERKA ÚLOH Z GEOMETRIE - ZOBRAZENIA 1. Afinné zobrazenia Definícia. Zobrazenie F z afinného priestoru A n do A m, ktoré zobrazuje každú trojicu nekolineárnych bodov do jedného bodu alebo do trojice bodov,
1. písomná práca z matematiky Skupina A
1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi
Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )
Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým
Matematika 2. časť: Analytická geometria
Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové
STEREOMETRIA. Umenie vidieť a predstavovať si priestor
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA V NITRE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED STEREOMETRIA Umenie vidieť a predstavovať si priestor Ondrej Šedivý Gabriela Pavlovičová Lucia Rumanová Dušan Vallo Vydané v septembri 007
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie
MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude
1. Trojuholník - definícia
1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných
Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE
7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje
DESKRIPTÍVNA GEOMETRIA
EKRIÍN GEERI meódy zobrzovni priesorových úvrov do roviny (premieni) mericé polohové vzťhy priesorových úvrov riešené v rovine bsh predmeu G Zobrzovcie meódy: olohové mericé úlohy: ongeov projeci Rezy
1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej
. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny
Analytická geometria
Analytická geometria Analytická geometria je oblasť matematiky, v ktorej sa študujú geometrické útvary a vzťahy medzi nimi pomocou ich analytických vyjadrení. Praktický význam analytického vyjadrenia je
Ekvačná a kvantifikačná logika
a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných
Obvod a obsah rovinných útvarov
Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom
1 Logika a dôkazy. 2 Množiny. 3 Teória čísel. 4 Premenné a výrazy. 5 Rovnice, nerovnice a ich sústavy. Pojmy:
1 Logika a dôkazy výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia výroku, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné,
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A
M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x
ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE
UNIVERZITA KONŠTANTÍNA FILOZOFA FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED ZÁKLADY ELEMENTÁRNEJ GEOMETRIE ŠEDIVÝ ONDREJ VALLO DUŠAN Vydané v Nitre 2009 Fakultou prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre s finančnou
Téma c. 1. Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu
Téma c. 1 Výroková logika a logika výrokových foriem (predikátovej logiky). Množinovo-logický rozbor slovného textu A) Výrok a jeho vlastnosti. Výroky tvorené z jednoduchých výrokov pomocou logických operátorov.
Pri stredovom premietaní je dôležitý stred premietania S : bod, z ktorého premietame do priemetne ε a stred S neleží v priemetni ε
PEMIETANIE Proce vialiácie útvarov U trojromerného prietor v dvojromernej rovine ( výkre, monitor počítača, tlačiareň ) a íka potpnoťo operácií. K obraovani útvarov vyžívame premietanie tredové rovnobežné
PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY. Pomôcka pre prípravný kurz
KATEDRA APLIKOVANEJ MATEMATIKY A INFORMATIKY STROJNÍCKA FAKULTA TU KOŠICE PREHĽAD ZÁKLADNÝCH VZORCOV A VZŤAHOV ZO STREDOŠKOLSKEJ MATEMATIKY Pomôcka pre prípravný kurz 8 ZÁKLADNÉ ALGEBRAICKÉ VZORCE ) (a±b)
9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,
9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky
Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009
Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica
Tézy matematika. 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy. 2. Výroky a ich pravdivostné hodnoty
Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami
M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou
M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny
Neeuklidovská geometria
Pedagogická fakulta, Katolícka univerzita, Ružomberok Neeuklidovská geometria Seminárna práca História matematiky Katarína Dovcová Biológia matematika 1.Mgr 2008/2009 Cieľom mojej práce je priblížiť čitateľom
Využitie programu Cabri pri riešení geometrických úloh na gymnáziu
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ RNDr. Helena Repková Využitie programu Cabri pri riešení geometrických úloh na gymnáziu Osvedčená pedagogická skúsenosť
Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami
Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop
1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s
Maturita z matematiky T E S T Y
RNr. Mário oroš Maturita z matematiky príprava na prijímacie skúšky na vysokú školu T E S T Y Všetky práva sú vyhradené. Nijaká časť tejto knihy sa nesmie reprodukovať mechanicky, elektronicky, fotokopírovaním
MANUÁL PRAVOUHLÉ PREMIETANIE, PREMIETACÍ KÚT 02_VP00010
MANUÁL PRAVOUHLÉ PREMIETANIE, PREMIETACÍ KÚT 02_VP00010 ZLOŽENIE UČEBNEJ POMÔCKY základňa bočné steny 2 ks sklenená matnica bočné steny 2 ks zrkadlo LED zdroj svetla fixačný element ochranné okuliare ROZSAH
CABRI GEOMETRY TM II PLUS
CABRI GEOMETRY TM II PLUS Inovačné nástroje matematiky KURZ PRE POKROČILÝCH VITAJTE! Vitajte v kurze pre pokročilých užívateľskej príručky Cabri Geometry. V tejto časti uvádzame v troch kapitolách niektoré
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.
Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,
PROGRAM GEOGEBRA AKO VHODNÝ MOTIVAČNÝ
ODBORNÁ KONFERENCIA PRIMAS: OBJAVNÉ VYUČOVANIE MATEMATIKY A PRÍRODOVEDNÝCH PREDMETOV PROGRAM GEOGEBRA AKO VHODNÝ MOTIVAČNÝ PROSTRIEDOK VO VYUČOVANÍ GEOMETRIE GABRIELA DUŠOVÁ ABSTRAKT Predmetom tohto príspevku
Povrch a objem zrezaného ihlana
Povrch a objem zrezaného ihlana Ak je daný jeden ihlan a zobereme rovinu rovnobežnú s postavou, prechádzajúcu ihlanom, potom táto rovina rozdelí teleso na dve telesá. Jedno teleso je ihlan (pôvodný zmenšený
Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.
14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12
Motivácia pojmu derivácia
Derivácia funkcie Motivácia pojmu derivácia Zaujíma nás priemerná intenzita zmeny nejakej veličiny (dráhy, rastu populácie, veľkosti elektrického náboja, hmotnosti), vzhľadom na inú veličinu (čas, dĺžka)
2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.
Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16
Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
Štátny pedagogický ústav, Pluhová 8, 830 00 Bratislava CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY Bratislava 2008 ÚVOD Cieľové požiadavky z matematiky sú rozdelené vo väčšine kapitol
Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti
Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky
Cabri Geometry TM II Plus
Cabri Geometry TM II Plus Užívateľská príručka Vitajte! Vitajte vo svete dynamickej geometrie! Cabri Geometry TM bola vyvinutá v 80-ich rokoch, vo výskumných laboratóriách CNRS (Centre National de Recherche
Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad
Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov
TEÓRIA. Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín,
TEÓRIA Množiny a operácie s nimi Objasnite pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, prienik, zjednotenie, rozdiel a doplnok množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, konečná a nekonečná množina,
SK skmo.sk. 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 63. ročník Matematickej olympiády 2013/2014 Riešenia úloh domáceho kola kategórie A 1. Číslo n je súčinom troch (nie nutne rôznych) prvočísel. Keď zväčšíme každé z nich
Tematický výchovno - vzdelávací plán. Cvičenia z matematiky. pre 9. ročník
výchovno vzdelávací plán Cvičenia z matematiky pre 9. ročník Počet hodín : 1 hod. týždenne Plán bol vypracovaný podľa: ŠVP pre 2. stupeň ZŠ ISCED 2 Plán vypracoval/a: Mgr. Viera Obložinská Školský rok:
Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika
Osnovy pre slovensko-francúzske sekcie gymnázií Matematika CIELE Ciele matematiky na bilingválnom gymnáziu sa v zásade nelíšia od cieľov klasických slovenských gymnázií. Hlavným rozdielom je získanie schopnosti
Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu
Február Mesiac Týždeň Tematický výchovno-vzdelávací plán k pracovnému zošitu NOVÝ POMOCNÍK Z MATEMATIKY 8, časť Stupeň vzdelania: ISCED 2 - nižšie sekundárne vzdelávanie Vzdelávacia oblasť: Matematika
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie
Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE
AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody
Mocniny : 1. časť. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník
1. Kontrolná práca z matematiky 8. ročník Mocniny : 1. časť 1. Vypočítajte pomocou tabuliek : a) 100 ; 876 ; 15,89 ; 1, ; 0,065 ; b) 5600 ; 16 ; 0,9 ;,64 ; 1,4 ; c) 1,5 ; 170 ; 0,01 ; 148 0, 56 ; 64, 5
ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3
ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY
CIEĽOVÉ POŽIADAVKY NA VEDOMOSTI A ZRUČNOSTI MATURANTOV Z MATEMATIKY BRATISLAVA 2016 Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskum a športu Slovenskej republiky dňa 21. 12. 2016 pod číslom 2016-25786/49974:1-10B0
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015
MATEMATIKA 4.OA - 5 h týždenne 165 h ročne školský rok 2014/2015 Mgr. Valeria Godovičová 1. Mesiac 1 Úvodná hodina Telo 2-5 Druhá a tretia mocnina - čo už poznáme - opačné čísla a ich mocniny SEPTEMBER
3. ročník. 1. polrok šk. roka 2016/2017
Príklady z MAT 3. ročník 1. polrok šk. roka 016/017 GONIOMETRIA 1. Načrtnite grafy daných funkcií na intervale 0, : f: y= tg x, g: y = -3.cos x, h: y = sin (x + ) -1. Určte hodnoty ostatných goniometrických
Matematika test M-1, 2. časť
M O N I T O R 001 pilotné testovanie maturantov MONITOR 001 Matematika test M-1,. časť forma A Kód školy: Číslo žiaka A B C F H I K L M O P S Kód A B C F H I triedy: 01 0 03 04 05 06 07 08 09 10 11 1 13
Učebné osnovy. Predmet: Matematika vo francúzskom jazyku. 1. ročník 2. ročník 3. ročník 4. ročník 5. ročník Spolu počet h týždenne.
Gymnázium Ľudovíta Štúra v Trenčíne Učebné osnovy Stupeň vzdelania: ISCED 3A Študijný odbor: 7902 J gymnázium Zameranie školského vzdelávacieho programu: bilingválne štúdium Predmet: Matematika vo francúzskom
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka
Obvod a obsah nepravidelného a pravidelného mnohouholníka Ak máme nepravidelný mnohouholník, tak skúsime ho rozdeliť na útvary, ktorým vieme vypočítať obsah z daných údajov najvšeobecnejší spôsob: rozdeliť
Goniometrické funkcie
Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej
Planárne a rovinné grafy
Planárne a rovinné grafy Definícia Graf G sa nazýva planárny, ak existuje jeho nakreslenie D, v ktorom sa žiadne dve hrany nepretínajú. D sa potom nazýva rovinný graf. Planárne a rovinné grafy Definícia
x x x2 n
Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol
NUMERICKÁ MATEMATIKA. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť/ Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ NUMERICKÁ MATEMATIKA Fakulta elektrotechniky a informatiky Štefan Berežný Táto publikácia vznikla za finančnej podpory
Vektorové a skalárne polia
Vetorové a salárne pola Ω E e prestorová oblasť - otvorená alebo uavretá súvslá podmnožna bodov prestoru E určených arteánsm súradncam usporadaným trocam reálnch čísel X [ ] R. Nech e salárna unca torá
ZÁKLADY ELEKTROTECHNICKÉHO INŽINIERSTVA
ZÁKLADY ELEKTROTECHNICKÉHO INŽINIERSTVA Technická dokumentácia v elektrotechnike Prednáška 2 1. časť Kreslenie výkresov mechanických častí elektrotechnických strojov a zariadení Mierky Pomer veľkosti obrazca
Zlomky sčítanie, odčítanie. A forma. B forma. 1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník. 1. Vypočítajte : = d) ( ) Vypočítajte : a) 5 + =
1. Kontrolná práca z matematiky 7. ročník Zlomky sčítanie, odčítanie 1. Vypočítajte : 6 2 5 7 2 2 2 a) + + = c) + = 7 3 21 9 3 3 9 3 5 1 1 + + 1 = d) ( ) 5 + 3,7 + 1 4 15 6 = 2. Vypočítajte : a) 1 5 5
Numerické metódy Zbierka úloh
Blanka Baculíková Ivan Daňo Numerické metódy Zbierka úloh Strana 1 z 37 Predhovor 3 1 Nelineárne rovnice 4 2 Sústavy lineárnych rovníc 7 3 Sústavy nelineárnych rovníc 1 4 Interpolačné polynómy 14 5 Aproximácia
KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita
132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:
CABRI GEOMETRY TM II PLUS
CABRI GEOMETRY TM II PLUS Inovačné nástroje matematiky REFERENČNÁ PRÍRUČKA VITAJTE! Vitajte v interaktívnom svete Cabri Geometry! V nasledujúcej časti nazvanej «Referenčná príručka» nájdete všetky softvérom
7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii
Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických
G. Monoszová, Analytická geometria 2 - Kapitola III
text obsahuje znenia viet, ktoré budeme dokazovat na prednáškach text je doplnený aj o množstvo poznámok, ich ciel om je dopomôct študentom k lepšiemu pochopeniu pojmov aj súvislostí medzi nimi text je
TC Obsahový štandard Výkonový štandard
Celé čísla. Počtové operácie s celými číslami UČEBNÉ OSNOVY ÔSMY ROČNÍK TC Obsahový štandard Výkonový štandard Pojem celé číslo Kladné a záporné čísla, kladné a záporné desatinné čísla Opačné čísla Absolútna
SK skmo.sk. 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B
SK MATEMATICKÁOLYMPIÁDA skmo.sk 66. ročník Matematickej olympiády 2016/2017 Riešenia úloh domáceho kola kategórie B 1. Každému vrcholu pravidelného 66-uholníka priradíme jedno z čísel 1 alebo 1. Ku každej
2. UHLY. Zapisovanie uhlov 1. spôsob pomocou troch bodov. Pri zápise uhla pomocou troch bodov je VRCHOL VŽDY V STREDE ZÁPISU.
2. UHLY 2.1 ZÁPIS A OZNAČOVANIE UHLOV Dve polpriamky VA, VB, ktoré majú spoločný začiatok v bode V delia rovinu na dve časti. Tieto časti nazývame uhly. UHOL je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami,
Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013
Individuálny študijný plán M A T E M A T I K A - KVARTA 2012/2013 ( Číslovanie kapitol je kvôli lepšej prehľadnosti podľa učebníc. ) Odporúčam: www.oskole.sk cez učivá, predmety a ročník navštíviť príslušné
Matematika 2. časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014
Matematika 2 časť: Funkcia viac premenných Letný semester 2013/2014 RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk
Gramatická indukcia a jej využitie
a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)
Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %
Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO
7. Dokážte, že z každej nekonečnej množiny môžeme vydeliť spočítateľnú podmnožinu.
Teória množín To, že medzi množinami A, B existuje bijektívne zobrazenie, budeme symbolicky označovať A B alebo A B. Vtedy hovoríme, že množiny A, B sú ekvivalentné. Hovoríme tiež, že také množiny A, B
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY
STRIEDAVÝ PRÚD - PRÍKLADY Príklad0: V sieti je frekvencia 50 Hz. Vypočítajte periódu. T = = = 0,02 s = 20 ms f 50 Hz Príklad02: Elektromotor sa otočí 50x za sekundu. Koľko otáčok má za minútu? 50 Hz =
DOMÁCE ZADANIE 1 - PRÍKLAD č. 2
Mechanizmy s konštantným prevodom DOMÁCE ZADANIE - PRÍKLAD č. Príklad.: Na obrázku. je zobrazená schéma prevodového mechanizmu tvoreného čelnými a kužeľovými ozubenými kolesami. Určte prevod p a uhlovú