Zhodné zobrazenia (izometria)

Transcript

1 Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných dvojíc vytvorených z prvkov množín: na prvé miesta idú body z prvej množiny a na druhé z druhej A B {[a; b] a A b B} ak A = n a B = m A B = n.m pr. A = {a; b; c; d; e}; B = {K; L; M; N} A B = {[a; K]; [a; L]; [a; M]; [a; N]; [b; K]; [b; L]; [b; M]; [b; N]; [c; K]; [c; L]; [c; M]; [c; N]; [d; K]; [d; L]; [d; M]; [d; N]; [e; K]; [e; L]; [e; M]; [e; N];} D. Zobrazenie je takou podmnožinou karteziánskeho súčinu dvoch bodových množín, v ktorej na prvých miestach v usporiadaných dvojiciach patriacich do zobrazenia sa neopakuje ani jeden bod. φ A B φ {[a; b] a A b B; [a1; b1]; [a2; b2] φ a1 = a2 b1 = b2} D. (krátka verzia) Ku každému jednému (bodu) vzoru je pridelený iba jeden (bod) obraz. pr. φ1 = {[a; M]; [b; K]; [e; L]} φ2 = {[a; L]; [b; M]; [c; N]; [d; K]; [e; N]} φ3 = {[a; N]; [c; L]; [d; M]; [e; K]} protipríklad: φ4 = {[a; K]; [b; L]; [c; L]; [d; L]; [d; N]; [e; M]} definičný obor zobrazenia množina vzorov (obor, doména), ktoré sú na prvých miestach v usporiadaných dvojiciach patriacich do zobrazenia D(φ) A D(φ) {a b: [a; b] φ} pr. D(φ1) = {a; b; e}, D(φ2) = {a; b; c; d; e}, D(φ3) = {a; c; d; e} obor hodnôt zobrazenia množina obrazov (koobor, kodoména), ktoré sa vyskytujú na druhom mieste v usporiadaných dvojiciach patriacich do zobrazenia H(φ) B H(φ) {b a: [a; b] φ} pr. H(φ1) = {K; L; M}, H(φ2) = {K; L; M; N}, H(φ3) = {K; L; M; N} injektívne (prosté) zobrazenie na druhých miestach v usporiadaných dvojiciach patriacich do zobrazenia sa neopakuje ani jeden obraz φ { [a1; b1]; [a2; b2] φ b1 = b2 a1 = a2} zobrazenie φ1 a φ3 sú injektívne surjektívne (zobrazenie na množinu B) zobrazenie každý bod druhej (B) množiny sa stane obrazom (je pridelený) aspoň raz H(φ) = B H(φ) = {b b B a: [a; b] φ} zobrazenie φ2 a φ3 sú surjektívne bijektívne (jednojednoznačné; vzájomne jednoznačné) zobrazenie aj injektívne aj surjektívne zobrazenie φ3 je bijektívne samodružný bod zobrazenia obraz bodu je totožný so vzorom (ostáva na mieste) φ(s) = S samodružný útvar zobrazenia obraz útvaru je totožný so vzorom (sa zobrazí sám na seba) B U φ(b) U Zhodné zobrazenia (izometria) Euklidovské konštrukcie konštrukcie pomocou pravítka (rovné pravítko) a kružidla

2 - spojiť dva rôzne body jednou priamkou - zobrať do kružidla vzdialenosť dvoch bodov - nakresliť kružnicu okolo daného bodu s daným polomerom (aby prechádzala iným bodom alebo mala polomer ako veľkosť známej úsečky) - vyznačiť priesečník priamok (ak existuje) - vyznačiť priesečník priamky a kružnice (jeden alebo obidva ak existuje/ú) - vyznačiť priesečník dvoch kružníc (jeden alebo obidva ak existuje/ú) pomocou predchádzajúcich postupov vieme zostrojiť nasledujúce objekty - stred úsečky - os uhla - kolmicu na priamku v danom bode (os priameho uhla) v strede úsečky je vlastne os úsečky - viesť s danou priamkou rovnobežnú priamku v danom bode - preniesť daný uhol Konštrukcia stredu úsečky - v obidvoch koncových bodoch úsečky (A a B) narysujeme kružnicový oblúk o1 a o2 s rovnakým polomerom, väčším ako polovica úsečky - spojíme priesečníky oblúkov P1 a P2 - priesečník spojnice s úsečkou je hľadaný stred S P. Spojnica P1P2 je osou danej úsečky. Konštrukcia osi uhla - vo vrchole V narysujeme kružnicový oblúk o s ľubovoľným polomerom - v priesečníkoch oblúka s ramenami P1 a P2 narysujeme ďalšie dva oblúky o1 a o2 s rovnakým polomerom aby sa pretkli - spojnica vrcholu uhla V s priesečníkom oblúkov O1 a O2 je hľadaná os uhla o Konštrukcia kolmice na priamku v ľubovoľnom bode priamky alebo mimo priamky - narysujeme kružnicu k okolo bodu B s ľubovoľným polomerom (ak bod B je mimo priamky, potom si zvolíme taký polomer, aby kružnica prechádzala priamkou) - v priesečníkoch kružnice a priamky P1 a P2 narysujeme dva oblúky s rovnakým polomerom o1 a o2 aby sa pretkli - spojnica priesečníkov oblúkov O1 a O2 je hľadaná kolmica k

3 Konštrukcia rovnobežnej priamky v danom bode - mohli by sme konštruovať pomocou kolmíc (kolmicu na danú priamku z bodu, a znovu kolmicu na kolmicu v bode) ale môžeme aj rýchlejším spôsobom nájsť rovnobežnú priamku - narysujeme kružnicu k okolo bodu B s ľubovoľným polomerom, aby prechádzala priamkou - tým istým polomerom narysujeme oblúk o1 okolo jedného z dvoch spoločných bodov kružnice s priamkou P1 alebo P2 - jeden priesečník oblúka o1 a priamky, bod P3 bude stredom ďalšieho oblúka o3 s pôvodným polomerom - tak dostaneme bod O, ako priesečník o3 s kružnicou k (druhý priesečník je samozrejme bod P1) - spojnica daného bodu s O je tá hľadaná rovnobežná priamka r P. Využili sme konštrukciu kosoštvorca BP1P3O, kde protiľahlé strany sú rovnobežné (a všetky strany sú zhodné to je ten polomer, ktorý sa používa pri kružnici k a oblúkoch). Konštrukcia zhodného uhla prenášanie uhlov - vo vrchole V narysujeme kružnicový oblúk k s ľubovoľným polomerom - tým istým polomerom aj okolo V' oblúk k' vznikne bod P'1 ako priesečník s polpriamkou V X - zoberme do kružidla vzdialenosť priesečníkov oblúka k s ramenami VX a VY daného uhla úsečku P1P2 - narysujeme oblúk o' s tým polomerom okolo bodu P'1 - priesečníkom oblúkov k' a o', bodom P'2 prechádza hľadané rameno V'P'2

4 D. Zobrazenie je zhodné, ak vzdialenosť ľubovoľných dvoch bodov a ich obrazov je rovnaká. A, B: Z(A) = A Z(B) = B AB = A B V. Zhodné zobrazenie zachováva vzdialenosti zachováva uhly 1. Identické zobrazenie (identita) I a, A: I(A) = A každý bod je samodružným bodom 2. Stredová súmernosť (centrálna symetria) S a,! S: S(S) = S S (stred súmernosti) je jediným samodružným bodom b, A: S(A) = A S AA spojnica vzor-obraz prechádza stredom súmernosti c, A: S(A) = A AS = SA vzor a obraz sú v rovnakej vzdialenosti od S d, A: A S A A vzor a obraz sú na opačných polpriamkach podľa S A, B: S(A) = A S(B) = B AB A B úsečka a obraz úsečky sú rovnobežné zachováva smer otáčania (orientáciu) poradie ABC a A B C sú rovnaké (v smere alebo proti chodu hodinových ručičiek) S.Ú. (samodružné útvary): priamky prechádzajúce S, kružnice so stredom v S, štvorec so stredom v S, 3. Osová súmernosť (osová symetria) O

5 a,! o: A o O(A) = A každý bod osi (o) je samodružným bodom b, A: O(A) = A AA o spojnica vzor-obraz je kolmá na os c, A: O(A) = A Ao = A o vzor a obraz sú v rovnakej vzdialenosti od osi d, A: A o A A vzor a obraz sú v opačných polrovinách podľa o A, B: O(A) = A O(B) = B AB A B o úsečka a obraz úsečky sa pretínajú na osi nezachováva smer otáčania poradie ABC a A B C sú opačné S.Ú.: priamky kolmé na o, kružnice so stredom na o, štvorec s protiľahlými vrcholmi na o, 4. Posúvanie (translácia) T a, A, B: T(A) = A T(B) = B AA BB spojnice vzor-obraz sú navzájom rovnobežné b, A, B: T(A) = A T(B) = B AA = BB vzory a obrazy sú v rovnakej vzdialenosti c, A, B: T(A) = A T(B) = B AB A B všetky obrazy sú posunuté v rovnakom smere A, B: T(A) = A T(B) = B AB A B úsečka a obraz úsečky sú rovnobežné zachováva smer otáčania poradie ABC a A B C sú rovnaké samodružný bod nemá S.Ú.: jedine priamky rovnobežné so smerom posúvania 5. Otáčanie (rotácia) R

6 a,! S: R(S) = S S (stred otáčania) je jediným samodružným bodom b, A, B: R(A) = A R(B) = B ASA = BSB spojnice vzor-stred-obraz zvierajú rovnaký uhol c, A: R(A) = A AS = A S vzor a obraz sú v rovnakej vzdialenosti od S d, A, B: R(A) = A R(B) = B ASB = A SB všetky obrazy sú otočené v rovnakom smere zachováva smer otáčania poradie ABC a A B C sú rovnaké S.Ú.: s ľubovoľným uhlom iba kružnice so stredom v S, špeciálne uhly pre pravidelné mnohouholníky so stredom v S (štvorec: 90, 180, 270 ; päťuholník: 72, 144, 216, 288, ) Zhodnosť trojuholníkov D. Dva geometrické útvary sú zhodné, ak existuje súčin takých zhodných zobrazení, ktorý prenesie jeden do druhého. V. Dva trojuholníky sú zhodné ( ABC A B C ), ak sa zhodujú: a, vo všetkých troch stranách sss AB A B BC B C CA C A b, v dvoch stranách a nimi zovretom uhle sus AB A B BC B C β = β c, v jednej strane a priľahlých uhloch usu AB A B α = α β = β d, v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej z nich Ssu AB A B BC B C α = α AB < BC P. S údajmi, ktoré sú vo vetách o zhodnosti trojuholníkov, trojuholník sa dá jednoznačne konštruovať.