1 Δυναμική φορτίων σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο Μέρος 1 ο Μαθηματική Μοντελοποίηση Μάθημα 13
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ex ( ) + - + + + q FE - - - Φορτισμένο σωμάτιο με θετικό φορτίο q (olomb)και μάζα m Για θετικά φορτισμένο σωμάτιο (q>) η διεύθυνση του πεδίου είναι η διεύθυνση της δύναμης. + - F E qe Μάθημα 13 2
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ + Ex ( ) - Ex ( ) + + q F E - - F E + - q + - + - F E qe Μάθημα 13 3
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ηλεκτρικό Πεδίο E E( x) Φορτισμένο σωμάτιο με φορτίο q (olomb)και μάζα m Δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο F E qe Ταχύτητα σωμάτιου Νόμος Νεύτωνα F E m d dt qe Η Δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο δεν εξαρτάται από την ταχύτητά του Μάθημα 13 4
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ B : Μαγνητικό Πεδίο Εξισώσεις Maxwell Β E B t Για Μαγνητικό πεδίο σταθερό ως προς το χρόνο E Μάθημα 13 5
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Για Μαγνητικό πεδίο σταθερό ως προς το χρόνο E Ορίζουμε Δυναμικό Φ(x) E Θα μελετήσουμε το πρόβλημα στο πεδίο x,y ( xy, ) Μάθημα 13 6
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ F ( F, F, F ) x y z xˆ yˆ zˆ F ˆ ˆ yx xy x y z F F F x y z xˆ yˆ zˆ x y z Μάθημα 13 7
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Εξισώσεις Κίνησης Έχουμε δει ότι F E d m qe dt E ( xˆ, yˆ) x y mx q x my q y Μάθημα 13 8
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Εξισώσεις Κίνησης mx q x my q y Δυναμική Ενέργεια V q( x, y) Συνολική Ενέργεια 1 ( 2 2 ) (x, y) Etot m x y q 2 Μάθημα 13 9
ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Παραγωγίζοντας de tot m( xx yy) q x q y dt x y x( mx q ) y( my q ) x y αφού mx q x my q y Η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή Μάθημα 13 1
z Β y Θεωρούμε μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο x,y x B ˆ Bz Μάθημα 13 11
z Β y F B Θεωρούμε μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο x,y x B B ˆ Bz F qb Μάθημα 13 12
B ˆ Bz Δύναμη που ασκείται στο φορτίο λόγω του μαγνητικού πεδίου F qb B Νόμος Νεύτωνα d d qb m q zˆ zˆ dt F B dt m qb m Κυκλική Συχνότητα Μάθημα 13 13
Πως θα υπολογίσουμε το zˆ xˆ yˆ zˆ zˆ xˆ yˆ d dt x y y x 1 zˆ ( xˆ yˆ) Επομένως y x x y y x Μάθημα 13 14
Υπολογισμός των τροχιών κίνησης x y y x Υπολογισμός των ταχυτήτων επιλύοντας το σύστημα To μέτρο της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται κατά την κίνηση του φορτίου d dt ( xˆ yˆ) y x 2 d d 2 2 ( ˆ ˆ yx x y) dt dt 2qB ˆ ˆ ˆ ˆ x x y y y x x y m Μάθημα 13 15
Υπολογισμός των τροχιών κίνησης x y y x Θεωρούμε i x i i i ( i ) x y y x x y y i i i Μάθημα 13 16
Υπολογισμός των τροχιών κίνησης i Η λύση είναι i( t) t Ce e e e () i t i i t i( t ) e {os( t ) i sin( t )} ( t) i ( t) x y ( t) os( t ) x ( t) sin( t ) y, Μάθημα 13 17
Υπολογισμός των τροχιών κίνησης ( t) os( t ) x ( t) sin( t ) y, δ καθορίζει την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας για tan y x () () y () (,) () os() x y () sin() () x x Μάθημα 13 18
Υπολογισμός των τροχιών κίνησης dx os( t) dt dy sin( t ) dt Ολοκληρώνοντας x t t x ( ) sin( ) y t t y ( ) os( ) Κυκλική κίνηση γύρω από το και ακτίνα R Μάθημα 13 19 o x, με κυκλική συχνότητα yo
Υπολογισμός των τροχιών κίνησης x, y 1, 2 2 2, 3 R 2 3 x( t) Rsin( t ) x y( t) R os( t ) y o 2 x( t) sin( t 2) 1 3 2 y( t) os( t 2) 2 3 Μάθημα 13 2
() R 2 3 2 x( t) sin( t 2) 1 3 2 y( t) os( t 2) 2 3 2 x() sin(2) 1 1.66 3 2 y() os(2) 2 1.722 3 x y () 2 os(2).8323 () 2sin(2) 1.8186 Μάθημα 13 21