ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου άλλου συόλου Β Έστω η συάρτηση από το Α στο Β a Ποιο είαι το πεδίο ορισμού της b Πότε η λέγεται πραγματιή συάρτηση πραγματιής τιμής; a Το σύολο Α, που λέγεται πεδίο ορισμού της συάρτησης, b Α το Α είαι υποσύολο του συόλου R τω πραγματιώ αριθμώ, εώ το Β συμπίπτει με το R οι συαρτήσεις αυτές λέγοται πραγματιές συαρτήσεις πραγματιής μεταβλητής αι τις οποίες στο εξής θα τις λέμε απλώς συαρτήσεις 3 Τι οομάζουμε γραφιή παράσταση ή αμπύλη της Οομάζουμε γραφιή παράσταση ή αμπύλη της σε έα αρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω Oy λέγεται το σύολο τω σημείω M, για όλα τα 4 Τι λέγεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της Η εξίσωση y επαληθεύεται μόο από τα ζεύγη, y που είαι συτεταγμέες σημείω της γραφιής παράστασης της αι λέγεται εξίσωση της γραφιής παράστασης της Α, δυο συαρτήσεις πως ορίζοται οι πράξεις μεταξύ αυτώ του αθροίσματος της διαφοράς του γιομέου αι του πηλίου; Α δύο συαρτήσεις, ορίζοται αι οι δύο σε έα σύολο Α, τότε ορίζοται αι οι συαρτήσεις: Το άθροισμα S, με S, Η διαφορά Το γιόμεο Το πηλίο R, με D, με D, P, με P, αι R, όπου αι 6 Πότε μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα συάρτηση αι πότε γησίως φθίουσα συάρτηση Μια συάρτηση λέγεται γησίως αύξουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει, αι γησίως φθίουσα στο Δ, ότα για οποιαδήποτε σημεία, με ισχύει 7 Πότε λέμε ότι μια συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο τοπιό μέγιστο αι πότε τοπιό ελάχιστο στο ; Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Τοπιό μέγιστο στο, ότα για άθε σε μια περιοχή του, αι τοπιό ελάχιστο στο, ότα για άθε σε μια περιοχή του Οομάζουμε περιοχή του είαι έα αοιτό διάστημα το οποίο περιέχει το Σελίδα

Α η αισότητα ισχύει για άθε, τότε, η παρουσιάζει στο ολιό μέγιστο ή απλά μέγιστο, το Ομοίως για το ολιό ελάχιστο Τα μέγιστα αι τα ελάχιστα μιας συάρτησης, τοπιά ή ολιά, λέγοται αρότατα της συάρτησης 8 Πότε μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής Μια συάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συεχής, α για άθε lm ισχύει Χαρατηριστιό γώρισμα μιας συεχούς συάρτησης σε έα λειστό διάστημα είαι ότι η γραφιή της παράσταση είαι μια συεχής αμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται α σηώσουμε το μολύβι από το χαρτί 9 Πότε μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της, α υπάρχει το lm αι είαι πραγματιός αριθμός Το όριο αυτό οομάζεται παράγωγος της στο αι συμβολίζεται με Δηλαδή: lm Τι εφράζει η παράγωγος της της στο Η παράγωγος της στο εφράζει το ρυθμό μεταβολής rate o cane του y ως προς το, ότα Ο συτελεστής διεύθυσης της εφαπτομέης της αμπύλης που είαι η γραφιή παράσταση μιας συάρτησης στο σημείο, θα είαι, δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της ως προς ότα Η ταχύτητα εός ιητού που ιείται ευθύγραμμα αι η θέση του στο άξοα ίησής του εφράζεται από τη συάρτηση t θα είαι τη χροιή στιγμή t υ t t δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της t ως προς t ότα t t εώ η επιτάχυση του ιητού είαι αt o = t t Τι οομάζεται πρώτη παράγωγος της Έστω μια συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α, αι Β το σύολο τω στα οποία η είαι παραγωγίσιμη Τότε ορίζεται μια έα συάρτηση, με τη οποία άθε ατιστοιχίζεται στο lm Η συάρτηση αυτή λέγεται πρώτη παράγωγος dervatve της αι συμβολίζεται με ΠΡΟΣΟΧΗ: Η παράγωγος της στο είαι αριθμός το όριο εώ η παράγωγος της είαι συάρτηση που ατιστοιχεί σε άθε o αυτό το όριο Παραγώγιση Βασιώ Συαρτήσεω Η παράγωγος της σταθερής συάρτησης Έχουμε c c αι για,, οπότε lm Άρα c c Σελίδα

Σελίδα 3 Η παράγωγος της ταυτοτιής συάρτησης Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm Άρα Η παράγωγος της συάρτησης ρ Έστω η συάρτηση Έχουμε, αι για, Επομέως, lm lm Άρα Αποδειύεται ότι, όπου φυσιός Καόες Παραγώγισης Η παράγωγος της συάρτησης c Έστω η συάρτηση c Έχουμε c c c, αι για c c Επομέως lm lm c c Άρα c c Η παράγωγος της συάρτησης Έστω η συάρτηση Έχουμε, αι για, Επομέως lm lm lm Άρα Να διατυπώσετε το ριτήριο της πρώτης παραγώγου για τη μοοτοία Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ αι ισχύει για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως αύξουσα στο Δ Α μια συάρτηση είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ αι ισχύει για άθε εσωτεριό σημείο του Δ, τότε η είαι γησίως φθίουσα στο Δ 4

3 Να διατυπώσετε το ριτήριο της πρώτης παραγώγου για τα αρότατα Α για μια συάρτηση ισχύου για α, β, στο α, αι στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για μέγιστο Α για μια συάρτηση ισχύου για α, β, στο α, αι στο, β, τότε η παρουσιάζει στο διάστημα α, β για ελάχιστο η διατηρεί πρόσημο στο α,, β, τότε το δε είαι τοπιό αρότατο αι η είαι γησίως μοότοη στο α, β ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βασιές έοιες Στατιστιή είαι έα σύολο αρχώ αι μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της διαδιασίας συλλογής δεδομέω τη συοπτιή αι αποτελεσματιή παρουσίασή τους τη αάλυση αι εξαγωγή ατίστοιχω συμπερασμάτω Πληθυσμός populaton είαι έα σύολο του οποίου εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρατηριστιά τους Τα στοιχεία του πληθυσμού συχά ααφέροται αι ως μοάδες ή άτομα του πληθυσμού Μεταβλητές λέγοται τα χαρατηριστιά ως προς τα οποία εξετάζουμε έα πληθυσμό varables αι τις συμβολίζουμε συήθως με τα εφαλαία γράμματα X, Y, Z,, Τιμές της μεταβλητής λέγοται οι δυατές τιμές που μπορεί α πάρει μια μεταβλητή Από τη διαδοχιή εξέταση τω ατόμω του πληθυσμού ως προς έα χαρατηριστιό τους προύπτει μια σειρά από δεδομέα, που λέγοται στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις Τα στατιστιά δεδομέα δε είαι ατ αάγη διαφορετιά ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εξετάζουμε τη ομάδα αίματος δέα ατόμω, τα στατιστιά δεδομέα ή παρατηρήσεις που θα προύψου μπορεί α είαι: Α, Α, Β, Α, ΑΒ, Ο, ΑΒ, ΑΒ, ΑΒ, Ο, Β Οι δυατές όμως τιμές που μπορεί α πάρει η μεταβλητή ομάδα αίματος είαι οι εξής τέσσερις: Α, Β, ΑΒ αι Ο Ο πληθυσμός είαι το σύολο τω δέα ατόμω αι μεταβλητή είαι η ομάδα αίματος Τις μεταβλητές τις διαρίουμε: Σε ποιοτιές ή ατηγοριές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές τους δε είαι αριθμοί Τέτοιες είαι, για παράδειγμα, η ομάδα αίματοςμε τιμές Α, Β, ΑΒ, Ο, το φύλο με τιμές αγόρι, ορίτσι, οι συέπειες του απίσματος με τιμές αρδιαά οσήματα, αρίος τλ, όπως επίσης αι η οιοομιή ατάσταση αι η υγεία τω αθρώπω που μπορεί α χαρατηριστεί ως αή, μέτρια, αλή ή πολύ αλή, αθώς αι το εδιαφέρο τω μαθητώ για τη Στατιστιή, που μπορεί α χαρατηριστεί ως υψηλό, μέτριο, χαμηλό ή μηδαμιό Σε ποσοτιές μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί αι διαρίοται: Σε διαριτές μεταβλητές, που παίρου μόο μεμοωμέες τιμές Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης με τιμές,,, το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού με τιμές,,,6 τλ Σε συεχείς μεταβλητές, που μπορού α πάρου οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ α, β Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος αι το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρεια μιας τηλεφωιής συδιάλεξης τλ Απογραφή census Έας τρόπος για α πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για άποιο πληθυσμό είαι α εξετάσουμε όλα τα άτομα στοιχεία του Σελίδα 4

πληθυσμού ως προς το χαρατηριστιό που μας εδιαφέρει Η μέθοδος αυτή συλλογής τω δεδομέω αλείται απογραφή Δείγμα οομάζουμε άθε υποσύολο του πληθυσμού Έα δείγμα θεωρείται ατιπροσωπευτιό εός πληθυσμού, εά έχει επιλεγεί ατά τέτοιο τρόπο, ώστε άθε μοάδα του πληθυσμού α έχει τη ίδια δυατότητα α επιλεγεί Οι αρχές αι οι μέθοδοι για τη συλλογή αι αάλυση δεδομέω από πεπερασμέους πληθυσμούς είαι το ατιείμεο της δειγματοληψίας που αποτελεί τη βάση της Στατιστιής Στατιστιοί Πίαες Οι πίαες διαρίοται στους: α γειούς πίαες, οι οποίοι περιέχου όλες τις πληροφορίες που προύπτου από μία στατιστιή έρευα συήθως με αρετά λεπτομερειαά στοιχεία αι αποτελού πηγές στατιστιώ πληροφοριώ στη διάθεση τω επιστημόω-ερευητώ για παραπέρα αάλυση αι εξαγωγή συμπερασμάτω, β ειδιούς πίαες, οι οποίοι είαι συοπτιοί αι σαφείς Τα στοιχεία τους συήθως έχου ληφθεί από τους γειούς πίαες Κάθε πίαας που έχει ατασευαστεί σωστά πρέπει α περιέχει: α το τίτλο, που γράφεται στο επάω μέρος του πίαα αι δηλώει με σαφήεια αι συοπτιά το περιεχόμεο του πίαα, β τις επιεφαλίδες τω γραμμώ αι στηλώ, που δείχου συοπτιά τη φύση αι τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω, γ το ύριο σώμα ορμό, που περιέχει διαχωρισμέα μέσα στις γραμμές αι στις στήλες τα στατιστιά δεδομέα, δ τη πηγή, που γράφεται στο άτω μέρος του πίαα αι δείχει τη προέλευση τω στατιστιώ στοιχείω, έτσι ώστε ο ααγώστης α αατρέχει σ αυτή, ότα επιθυμεί, για επαλήθευση στοιχείω ή για λήψη περισσότερω πληροφοριώ Ας υποθέσουμε ότι,,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους v, Συχότητα : Στη τιμή ατιστοιχίζεται η απόλυτη συχότητα requency, δηλαδή ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω Ισχύει : v Σχετιή συχότητα : Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα relatve requency της τιμής, δηλαδή,,,, Για τη σχετιή συχότητα ισχύου οι ιδιότητες: για,,, αφού, αφού Συήθως, τις σχετιές συχότητες τις εφράζουμε επί τοις εατό, οπότε συμβολίζοται με %, δηλαδή % Πίαας συχοτήτω: Οι ποσότητες,, για έα δείγμα συγετρώοται σε έα συοπτιό πίαα, που οομάζεται πίαας αταομής συχοτήτω ή απλά πίαας συχοτήτω Καταομή συχοτήτω: Για μια μεταβλητή, το σύολο τω ζευγώ, λέμε ότι αποτελεί τη αταομή συχοτήτω αι το σύολο τω ζευγώ,, ή τω ζευγώ, %, τη αταομή τω σχετιώ συχοτήτω Σελίδα

Αθροιστιή συχότητα Ν μιας τιμής μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, λέγεται το άθροισμα τω συχοτήτω τω τιμώ που έχου τιμή μιρότερη ή ίση με τη, δηλαδή N,για,,, Ισχύει N N Αθροιστιή σχετιή συχότητα μιας τιμής μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, λέγεται το άθροισμα τω σχετιώ συχοτήτω τω τιμώ που έχου τιμή μιρότερη ή ίση με τη δηλαδή :,για,,, Ισχύει Γραφιή Παράσταση Καταομής Συχοτήτω v 8 6 4 H/Y Διασέδαση - Ντίσο Τηλεόραση- Κιηματογρ ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ για ποιοτιές μεταβλητές Άλλο 3 αδέλφια ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ για ποσοτιές μεταβλητές α = 36 o ΚΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ για ποσοτιές αι ποιοτιές μεταβλητές v 8 6 4 6 6 68 74 8 86 9 Υψος σε cm,9,8,7,6,,4,3,, 6 6 68 74 8 86 9 Ύψος σε cm,37,3,,,7 6 7 8 9 Ύψος σε cm Ιστόγραμμα συχοτήτω Ιστόγραμμα αι πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω Καμπύλη σχετιώ συχοτήτω Το ραβδόγραμμα barcart χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ορθογώιες στήλες που οι βάσεις τους βρίσοται πάω στο οριζότιο ή το αταόρυφο άξοα Σε άθε τιμή της μεταβλητής Χ ατιστοιχεί μια ορθογώια στήλη της οποίας το ύψος είαι ίσο με τη ατίστοιχη συχότητα ή σχετιή συχότητα Έτσι έχουμε ατίστοιχα το ραβδόγραμμα συχοτήτω αι το ραβδόγραμμα σχετιώ συχοτήτω Τόσο η απόσταση μεταξύ τω στηλώ όσο αι το μήος τω βάσεώ τους αθορίζοται αυθαίρετα Διάγραμμα συχοτήτω Στη περίπτωση που έχουμε μια ποσοτιή μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω lne daram Αυτό μοιάζει με το ραβδόγραμμα με μόη διαφορά ότι ατί α χρησιμοποιούμε συμπαγή ορθογώια υψώουμε σε άθε υποθέτοτας ότι μία άθετη γραμμή με μήος ίσο προς τη ατίστοιχη συχότητα, όπως φαίεται στο σχήμα α Μπορούμε επίσης ατί τω συχοτήτω στο άθετο άξοα α βάλουμε τις σχετιές συχότητες, οπότε έχουμε το διάγραμμα σχετιώ συχοτήτω Εώοτας τα σημεία, ή, έχουμε το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω ή πολύγωο σχετιώ συχοτήτω, ατίστοιχα, που μας δίου μια γειή ιδέα για τη μεταβολή της συχότητας ή της σχετιής συχότητας όσο μεγαλώει η τιμή της μεταβλητής που εξετάζουμε, βλέπε σχήμα β Σελίδα 6

3 αδέλφια 3 αδέλφια α β Διάγραμμα συχοτήτω α αι πολύγωο συχοτήτω β για τη μεταβλητή αριθμός αδελφώ του παραπάω πίαα Το υλιό διάγραμμα pecart χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τόσο τω ποιοτιώ όσο αι τω ποσοτιώ δεδομέω, ότα οι διαφορετιές τιμές της μεταβλητής είαι σχετιά λίγες Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς, τα εμβαδά ή,ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες ή τις σχετιές συχότητες τω τιμώ της μεταβλητής Α συμβολίσουμε με α το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τμήματος στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω, τότε o 36 o α 36 για,,, Σημειόγραμμα: Ότα έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η αταομή τους μπορεί α περιγραφεί με το σημειόγραμμα dot daram, στο οποίο οι τιμές παριστάοται γραφιά σα σημεία υπεράω εός οριζότιου άξοα Στο σχήμα έχουμε το σημειόγραμμα τω χρόω σε λεπτά 4,,3,,,6,4,,3,4,7,4,8,6,3 που χρειάστηα δεαπέτε μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα 3 4 6 7 8 χρόος σε λεπτά Το χροόγραμμα ή χροολογιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή απειόιση της διαχροιής εξέλιξης εός οιοομιού, δημογραφιού ή άλλου μεγέθους Ο οριζότιος άξοας χρησιμοποιείται συήθως ως άξοας μέτρησης του χρόου αι ο άθετος ως άξοας μέτρησης της εξεταζόμεης μεταβλητής Στο σχήμα έχουμε το χροόγραμμα του ποσοστού αεργίας στη χώρα μας από το 99 έως το 99 Πηγή ΕΣΥΕ % 6 4 8 6 4 Θήλεις Σύολο Άρρεες 99 99 99 993 994 99 Ομαδοποίηση τω Παρατηρήσεω Κλάσεις : Ότα το πλήθος τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι αρετά μεγάλο είαι απαραίτητο α ταξιομηθού ομαδοποιηθού τα δεδομέα σε μιρό πλήθος ομάδω, που οομάζοται αι λάσεις class ntervals Οι λάσεις είαι της μορφής [ α, β, [β, γ, Όρια τω λάσεω λέγοται τα άρα τω λάσεω Κετριή τιμή μιας λάσης λέγεται το ημιάθροισμα τω άρω της λάσης Πλάτος μιας λάσης λέγεται η διαφορά του ατώτερου από το αώτερο άρο της λάσης Σελίδα 7

Εύρος του δείγματος rane R οομάζουμε τη διαφορά της μιρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη παρατήρηση του δείγματος Συχότητα της λάσης ή συχότητα της ετριής τιμής,,,, αλείται το πλήθος τω παρατηρήσεω που προύπτου από τη διαλογή για τη λάση ΣΧΟΛΙΑ : Οι παρατηρήσεις άθε λάσης θεωρούται όμοιες, οπότε μπορού α ατιπροσωπευθού από τις ετριές τιμές, τα έτρα δηλαδή άθε λάσης Οι παρατηρήσεις άθε λάσης θεωρούται ομοιόμορφα αταεμημέες σε άθε λάση οπότε για παράδειγμα οι μισές παρατηρήσεις άθε λάσης βρίσοται αριστερά του έτρου λάσης αι οι μισές δεξιά αυτού Ιστόγραμμα Συχοτήτω Ιστόγραμμα συχοτήτω οομάζεται η ατίστοιχη γραφιή παράσταση εός πίαα συχοτήτω με ομαδοποιημέα δεδομέα Πως ατασευάζεται: Στο οριζότιο άξοα εός συστήματος ορθογωίω αξόω σημειώουμε, με ατάλληλη λίμαα, τα όρια τω λάσεω Στη συέχεια, ατασευάζουμε διαδοχιά ορθογώια ιστούς, από αθέα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της λάσης αι ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδό του ορθογωίου α ισούται με τη συχότητα της λάσης αυτής ΕΙΔΙΚΑ : Σε Κλάσεις Ίσου Πλάτους Θεωρώτας το πλάτος c ως μοάδα μέτρησης του χαρατηριστιού στο οριζότιο άξοα, το ύψος άθε ορθογωίου είαι ίσο προς τη συχότητα της ατίστοιχης λάσης, έτσι ώστε α ισχύει πάλι ότι το εμβαδό τω ορθογωίω είαι ίσο με τις ατίστοιχες συχότητες Επομέως, στο αταόρυφο άξοα σε έα ιστόγραμμα συχοτήτω βάζουμε τις συχότητες Με αάλογο τρόπο ατασευάζεται αι το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω, οπότε στο άθετο άξοα βάζουμε τις σχετιές συχότητες Πολύγωο Συχοτήτω Α στα ιστογράμματα συχοτήτω θεωρήσουμε δύο αόμη υποθετιές λάσεις, στη αρχή αι στο τέλος, με συχότητα μηδέ αι στη συέχεια εώσουμε τα μέσα τω άω βάσεω τω ορθογωίω, σχηματίζεται το λεγόμεο πολύγωο συχοτήτω requency polyon Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το άθροισμα τω συχοτήτω, δηλαδή με το μέγεθος του δείγματος Όμοια ατασευάζεται από το ιστόγραμμα σχετιώ συχοτήτω αι το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω με εμβαδό ίσο με, Με το ίδιο τρόπο ατασευάζοται αι τα ιστογράμματα αθροιστιώ συχοτήτω αι,9 αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω,8 Α εώσουμε σε έα ιστόγραμμα,7,6 αθροιστιώ συχοτήτω τα δεξιά, άρα όχι μέσα τω άω βάσεω τω,4,3 ορθογωίω με ευθύγραμμα τμήματα, βρίσουμε το πολύγωο αθροιστιώ, συχοτήτω ove της αταομής 6 Στο σχήμα παριστάεται το ιστόγραμμα αι το πολύγωο αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω για το ύψος τω μαθητώ του πίαα 6 68 74 8 86 9 Ύψος σε cm Σελίδα 8

Καμπύλες Συχοτήτω,37,3,,,7 6 7 8 9 Ύψος σε cm Εά υποθέσουμε ότι ο αριθμός τω λάσεω για μια συεχή μεταβλητή είαι αρετά μεγάλος τείει στο άπειρο αι ότι το πλάτος τω λάσεω είαι αρετά μιρό τείει στο μηδέ, τότε η πολυγωιή γραμμή συχοτήτω τείει α πάρει τη μορφή μιας ομαλής αμπύλης, η οποία οομάζεται αμπύλη συχοτήτω Μεριές χαρατηριστιές αταομές συχοτήτω α β α ομοιόμορφη αταομή β αοιή αταομή γ ασύμμετρη αταομή θετιή ασσυμετρία δ ασύμμετρη αταομή αρητιή ασσυμετρία Καοιή αταομή Η αταομή β, με ωδωοειδή μορφή λέγεται αοιή αταομή normal dstrbuton αι παίζει σπουδαίο ρόλο στη Στατιστιή Ομοιόμορφη αταομή Ότα οι παρατηρήσεις αταέμοται ομοιόμορφα σε έα διάστημα [α, β], όπως στη αταομή α, η αταομή λέγεται ομοιόμορφη Ασύμμετρη Ότα οι παρατηρήσεις δε είαι συμμετριά αταεμημέες, η αταομή λέγεται ασύμμετρη με θετιή ασυμμετρία όπως στη αταομή γ ή αρητιή ασυμμετρία όπως στη αταομή δ Η μορφή μιας αταομής συχοτήτω εξαρτάται από το πώς είαι αταεμημέες οι παρατηρήσεις σε όλη τη έταση του εύρους τους ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Μέτρα θέσης μιας αταομής οομάζουμε τα μέτρα που μας δίου τη θέση του έτρου τω παρατηρήσεω στο οριζότιο άξοα Μέση Τιμή ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t, t,, tv, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με αι δίεται από τη σχέση: t t t γ t,,, Σε μια αταομή συχοτήτω, α είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες v, v,, v ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: όπου οι σχετιές συχότητες t δ Σελίδα 9

Σταθμιός Μέσος Στις περιπτώσεις που δίεται διαφορετιή βαρύτητα έμφαση στις τιμές,,, εός συόλου δεδομέω, τότε ατί του αριθμητιού μέσου χρησιμοποιούμε το σταθμισμέο αριθμητιό μέσο ή σταθμιό μέσο weted mean Εά σε άθε τιμή,,, δώσουμε διαφορετιή βαρύτητα, που εφράζεται με τους λεγόμεους συτελεστές στάθμισης βαρύτητας w, w,, w, τότε ο σταθμιός μέσος βρίσεται από το τύπο: w w w w w w Διάμεσος δ Οι χρόοι σε λεπτά που χρειάστηα 9 μαθητές, για α λύσου έα πρόβλημα είαι: 3,,, 36, 6, 7, 4, 7, 8 με μέση τιμή 9 Παρατηρούμε όμως ότι οι οτώ από τις εέα παρατηρήσεις είαι μιρότερες του 9 αι μία αραία τιμή, η οποία επηρεάζει αι τη μέση τιμή είαι, αρετά μεγαλύτερη του 9 Αυτό σημαίει ότι η μέση τιμή δε εδείυται ως μέτρο θέσης έτρο τω παρατηρήσεω αυτώ Ατίθετα, έα άλλο μέτρο θέσης που δε επηρεάζεται από αραίες παρατηρήσεις είαι η διάμεσος medan, η οποία ορίζεται ως εξής: Διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος ημιάθροισμα τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός ΣΧΟΛΙΟ : Παρατηρούμε ότι, η διάμεσος είαι η τιμή που χωρίζει έα σύολο παρατηρήσεω σε δύο ίσα μέρη ότα οι παρατηρήσεις αυτές τοποθετηθού με σειρά τάξης μεγέθους Αριβέστερα, η διάμεσος είαι η τιμή για τη οποία το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ % τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή Διάμεσος σε Ομαδοποιημέα Δεδομέα : Θεωρούμε τα δεδομέα του ύψους τω μαθητώ στο παραπάω πίαα αι το ατίστοιχο ιστόγραμμα αθροιστιώ σχετιώ συχοτήτω με τη πολυγωιή γραμμή, σχήμα 3 Η διάμεσος, όπως ορίστηε, ατιστοιχεί στη τιμή δ της μεταβλητής Χ στο οριζότιο άξοα, έτσι ώστε το % τω παρατηρήσεω α είαι μιρότερες ή ίσες του δ Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστιή σχετιή συχότητα % Εφόσο στο άθετο άξοα έχουμε τις αθροιστιές σχετιές συχότητες, από το σημείο Α % τω παρατηρήσεω φέρουμε τη // αι στη συέχεια τη Γ Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω Δηλαδή, δ 73 9 8 7 6 4 3 % w Γ 6 6 68 74 8 86 9 μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας λέγοται τα μέτρα που εφράζου τις απολίσεις τω τιμώ μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα ετριής τάσης Εύρος ή ύμαση R ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος: δ R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-μιρότερη παρατήρηση w Σελίδα

Έας άλλος τρόπος για α υπολογίσουμε τη διασπορά τω παρατηρήσεω t, t,, tv μιας μεταβλητής Χ θα ήτα α αφαιρέσουμε τη μέση τιμή από άθε παρατήρηση αι α βρούμε το αριθμητιό μέσο τω διαφορώ αυτώ, δηλαδή το αριθμό: t t t tv v v Ο αριθμός όμως αυτός είαι ίσος με μηδέ, αφού t t tv t t tv v v v v Γι αυτό, ως έα μέτρο διασποράς παίρουμε το μέσο όρο τω τετραγώω τω απολίσεω τω t από τη μέση τιμή τους Διαύμαση ή διασπορά s είαι το μέτρο διασποράς που ορίζεται ως μέσο όρο τω τετραγώω τω απολίσεω τω t από τη μέση τιμή τους αι ορίζεται από τη σχέση s t Ο τύπος αυτός αποδειύεται ότι μπορεί α πάρει τη ισοδύαμη μορφή: t s t t v v η οποία διευολύει σηματιά τους υπολογισμούς υρίως ότα η μέση τιμή δε είαι αέραιος αριθμός Ότα έχουμε πίαα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διαύμαση ορίζεται από τη σχέση: s ή τη ισοδύαμη μορφή: v s v v v v όπου,,, οι τιμές της μεταβλητής ή τα έτρα τω λάσεω με ατίστοιχες,,, συχότητες Τυπιή Απόλιση s είαι η θετιή τετραγωιή ρίζα της διαύμασης αι δίεται από τη σχέση: s s ΣΧΟΛΙΟ : Η διαύμαση δε εφράζεται με τις μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις εώ η τυπιή απόλιση εφράζεται με τις ίδιες μοάδες Για παράδειγμα, α οι παρατηρήσεις εφράζοται σε cm, η διαύμαση εφράζεται σε απόλιση σε cm Συτελεστής Mεταβολής CV : ορίζεται από το λόγο: τυπιή απόλιση s CV % % μέση τιμή cm εώ η τυπιή Α < τότε ατί για χρησιμοποιούμε ΣΧΟΛΙΑ: Ο συτελεστής μεταβολής εφράζεται επί τοις εατό, είαι συεπώς αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης αι παριστάει έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς, όπως έχουμε δει έως τώρα Εφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα τω δεδομέω απαλλαγμέη από τη επίδραση της μέσης τιμής Σελίδα

Δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής θα είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής δε ξεπερά το % ΕΦΑΡΜΟΓΗ Έστω,,, v παρατηρήσεις με μέση τιμή αι τυπιή απόλιση, y y α Α y,, v είαι οι παρατηρήσεις που προύπτου α προσθέσουμε σε αθεμιά από τις,,, v μια σταθερά c, τότε: y c, s y s β Α y, y,, yv είαι οι παρατηρήσεις που προύπτου α πολλαπλασιάσουμε τις,,, v επί μια σταθερά c, τότε: y c, s y c s s ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Αξίζει α σημειωθεί ότι α η αμπύλη συχοτήτω για το χαρατηριστιό που εξετάζουμε είαι αοιή ή περίπου αοιή, τότε η τυπιή απόλιση s έχει τις παραάτω ιδιότητες: το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα s, s το 9% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα s, s s s το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα 3s, 3s 3s s s s s 3s v το εύρος ισούται περίπου με έξι τυπιές απολίσεις, δηλαδή R 6 s ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Ετός από τα μέτρα θέσης αι διασποράς μιας αταομής πολλές φορές είαι απαραίτητος αι ο προσδιορισμός άποιω άλλω μέτρω, που αθορίζου τη μορφή της αταομής Κατά πόσο δηλαδή η ατίστοιχη αμπύλη συχοτήτω είαι συμμετριή ή όχι ως προς τη ευθεία, για δεδομέο σημείο του άξοα Τα μέτρα αυτά, που συήθως εφράζοται σε συάρτηση με τα μέτρα θέσης αι διασποράς, αλούται μέτρα ασυμμετρίας measures o skewness Υπολογίζοτας από έα σύολο δεδομέω άποια από τα αωτέρω μέτρα, μπορούμε α έχουμε μια σύτομη περιγραφή της μορφής της αμπύλης συχοτήτω Στο Γ σχήμα οι αμπύλες συχοτήτω Α αι Β Δ είαι συμμετριές με το ίδιο έτρο, αλλά η Β έχει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Α Οι αμπύλες Γ αι Δ είαι ασύμμετρες, με τη Γ όπως λέμε α παρουσιάζει θετιή ασυμμετρία αι τη Δ αρητιή ασυμμετρία Το έτρο της Γ είαι αριστερότερα του, εώ της Δ είαι δεξιότερα του Η Δ παρουσιάζει μεγαλύτερη μεταβλητότητα από τη Γ 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Τι λέγεται αιτιορατιό πείραμα 68% 9% 99,7% Κάθε πείραμα ατά το οποίο η γώση τω συθηώ άτω από τις οποίες ετελείται αθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιορατιό determnstc πείραμα Σελίδα

Τι οομάζεται πείραμα τύχης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έα πείραμα οομάζεται πείραμα τύχης ότα δε μπορούμε ε τω προτέρω α προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολοότι επααλαμβάοται φαιομειά τουλάχιστο άτω από τις ίδιες συθήες 3 Ποια λέγοται δυατά αποτελέσματα ή δυατές περιπτώσεις του πειράματος τύχης Όλα τα αποτελέσματα που μπορού α εμφαιστού σε έα πείραμα τύχης λέγοται δυατά αποτελέσματα ή δυατές περιπτώσεις του πειράματος 4 Τι λέγεται δειγματιός χώρος Δειγματιός χώρος του πειράματος τύχης λέγεται το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω Τι λέγεται εδεχόμεο Το σύολο που έχει ως στοιχεία έα ή περισσότερα αποτελέσματα εός πειράματος τύχης λέγεται εδεχόμεο event ή γεγοός 6 Πότε έα εδεχόμεο λέγεται απλό αι πότε σύθετο Έα εδεχόμεο λέγεται απλό ότα έχει έα μόο στοιχείο αι σύθετο α έχει περισσότερα στοιχεία 7 Πότε λέμε ότι το εδεχόμεο πραγματοποιείται ή συμβαίει Ότα το αποτέλεσμα εός πειράματος, σε μια συγεριμέη ετέλεσή του είαι στοιχείο εός εδεχομέου, τότε λέμε ότι το εδεχόμεο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίει Γι αυτό τα στοιχεία εός εδεχομέου λέγοται αι ευοϊές περιπτώσεις για τη πραγματοποίησή του 8 Ποιο λέγεται βέβαιο εδεχόμεο Βέβαιο εδεχόμεο είαι εδεχόμεο, το οποίο πραγματοποιείται πάτοτε Ο ίδιος ο δειγματιός χώρος Ω εός πειράματος θεωρείται ότι είαι εδεχόμεο, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάτοτε, αφού όποιο αι α είαι το αποτέλεσμα του πειράματος θα αήει στο Ω Γι αυτό το Ω λέγεται βέβαιο εδεχόμεο 9 Ποιο λέγεται αδύατο εδεχόμεο Αδύατο εδεχόμεο λέγεται το εδεχόμεο που δε πραγματοποιείται σε αμιά ετέλεση του πειράματος τύχης Δεχόμαστε ως εδεχόμεο αι το εό σύολο που δε πραγματοποιείται σε αμιά ετέλεση του πειράματος τύχης Γι αυτό λέμε ότι το είαι το αδύατο εδεχόμεο Πράξεις με Εδεχόμεα Το εδεχόμεο Α πραγματοποιείται Το εδεχόμεο Α δε πραγματοποιείται Έα τουλάχιστο από τα Α αι Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούται αμφότερα ταυτόχροα τα Α αι Β Δε πραγματοποιείται αέα από τα Α αι Β Πραγματοποιείται μόο το Α Η πραγματοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγματοποίηση του Β ω ω ή ω ω ω ω ω ή ω Σελίδα 3

Πότε δυο εδεχόμεα λέγοται ασυμβίβαστα Δύο εδεχόμεα Α αι Β λέγοται ασυμβίβαστα, ότα Δύο ασυμβίβαστα εδεχόμεα λέγοται επίσης ξέα μεταξύ τους ή αμοιβαίως απολειόμεα Τι οομάζεται σχετιή συχότητα του εδεχομέου Α Α σε ετελέσεις εός πειράματος έα εδεχόμεο Α πραγματοποιείται φορές, τότε ο λόγος v οομάζεται σχετιή συχότητα του Α αι συμβολίζεται με Ιδιαίτερα α ο δειγματιός χώρος εός πειράματος είαι το πεπερασμέο σύολο Ω ω, ω,, ω } αι σε ετελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά εδεχόμεα { λ { ω }, { ω},,{ ωλ πραγματοποιούται,,, λ φορές ατιστοίχως, τότε για τις λ σχετιές συχότητες,,, λ τω απλώ εδεχομέω θα έχουμε: v v v,,,, λ αφού v λ v λ v v Τι οομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή όμος τω μεγάλω αριθμώ Οι σχετιές συχότητες πραγματοποίησης τω εδεχομέω εός πειράματος σταθεροποιούται γύρω από άποιους αριθμούς όχι πάτοτε ίδιους, αθώς ο αριθμός τω δοιμώ του πειράματος επααλαμβάεται απεριόριστα Το εμπειριό αυτό εξαγόμεο, το οποίο επιβεβαιώεται αι θεωρητιά, οομάζεται στατιστιή ομαλότητα ή όμος τω μεγάλω αριθμώ 3 Ποιος είαι λασιός ορισμό της πιθαότητας Σε έα πείραμα με ισοπίθαα αποτελέσματα ορίζουμε ως πιθαότητα του εδεχομέου Α το αριθμό: Πλήθος Ευοϊώ Περιπτώσεω N P Πλήθος Δυατώ Περιπτώσεω N Ω 4 Ποιος είαι ο Αξιωματιός Ορισμός Πιθαότητας Έστω ω, ω,, ω } έας δειγματιός χώρος με πεπερασμέο πλήθος στοιχείω Σε { άθε απλό εδεχόμεο { ω } ατιστοιχίζουμε έα πραγματιό αριθμό, που το συμβολίζουμε με P ω, έτσι ώστε α ισχύου: P P P P Το αριθμό P οομάζουμε πιθαότητα του εδεχομέου { } Ως πιθαότητα P εός εδεχομέου {,,, } ορίζουμε το άθροισμα ΡΑ= P P P, εώ Ως πιθαότητα του αδύατου εδεχομέου ορίζουμε το αριθμό P Καόες Λογισμού τω Πιθαοτήτω Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους εδεχόμεα Α αι Β ισχύει: P P P Ω Σελίδα 4

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α N αι N λ, τότε το έχει λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α αι Β δε θα ήτα ασυμβίβαστα Δηλαδή, έχουμε N λ N N Επομέως: P N N Ω N N N Ω N N N Ω N Ω P P Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως απλός προσθετιός όμος smply addtve law αι ισχύει αι για περισσότερα από δύο εδεχόμεα Έτσι, α τα εδεχόμεα Α, Β αι Γ είαι αά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε P Γ P P P Γ Για δύο συμπληρωματιά εδεχόμεα Α αι ισχύει: P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή, δηλαδή τα Α αι είαι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχιά, σύμφωα με το απλό προσθετιό όμο: P P P P P P P P Οπότε P P Ω 3 Για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου Ω ισχύει: P P P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Για δυο εδεχόμεα Α αι Β έχουμε N N N N, αφού στο άθροισμα N N το πλήθος τω στοιχείω του υπολογίζεται δυο φορές Α διαιρέσουμε τα μέλη της με N έχουμε: Ω N N N N N N N N αι επομέως P P P P Η ιδιότητα αυτή είαι γωστή ως προσθετιός όμος addtve law 4 Α, τότε P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή έχουμε διαδοχιά: N N N N N Ω N Ω P P Ω Σελίδα

Για δύο εδεχόμεα Α αι Β εός δειγματιού χώρου Ω ισχύει P P P ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τα εδεχόμεα αι είαι ασυμβίβαστα αι, έχουμε: P P P Άρα P P P Ω Σελίδα 6