1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος Τετράγωνο διαφοράς Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά Κύβος αθροίσματος
Κύβος διαφοράς Άθροισμα κύβων Διαφορά κύβων Παρατηρσεις 1. Οι παραστάσεις των δεύτερων μελών των ταυτοττων λέγονται αναπτύγματα. 2. Οι ταυτότητες του τετραγώνου και του κύβου της διαφοράς αποδεικνύονται και αν στις αντίστοιχες ταυτότητες του αθροίσματος θέσουμε όπου το. 3. Οι ταυτότητες ισχύουν και στην περίπτωση που στη θέση των μεταβλητών και υπάρχουν οποιεσδποτε αλγεβρικές παραστάσεις. 4. Παραστάσεις της μορφς και ονομάζονται συζυγείς παραστάσεις. 5. Τονίζουμε ότι:,,,
6. Ισχύει ότι:,,, Παραδείγματα Εφαρμογές 1. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: δ) δ) 2. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: δ) δ)
3. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: 4. Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητούς παρονομαστές: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα που έχει άρρητο παρονομαστ της μορφς με α, β, γ, δ ρητούς σε ισοδύναμο με ρητό παρονομαστ, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με την συζυγ παράσταση του παρονομαστ, εφαρμόζουμε στον παρονομαστ την ταυτότητα του «γινομένου αθροίσματος επί διαφορά» και κάνοντας πράξεις οδηγούμαστε στο ζητούμενο.
5. Να βρεθούν τα αναπτύγματα: 6. Να γίνουν οι πράξεις: 7. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες: Κάνοντας πράξεις στο 1 ο μέλος έχουμε: Άρα
Το 1 ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (1) Το 2 ο μέλος της ταυτότητας γράφεται: (2) Από (1) και (2), λόγω μεταβατικς ιδιότητας, έχουμε: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα για να αποδείξουμε μια ταυτότητα Α=Β εργαζόμαστε με μια από τις παρακάτω μεθόδους: Ξεκινάμε από το ένα μέλος της ταυτότητας, συνθως εκείνο που έχει τις περισσότερες πράξεις και καταλγουμε στο άλλο. Κάνουμε τις πράξεις στο 1 ο μέλος της ταυτότητας και καταλγουμε σε μια ισότητα Α=Γ. Κάνουμε τις πράξεις στο 2 ο μέλος της ταυτότητας και καταλγουμε σε μια ισότητα Β=Γ. Αφού Α=Γ και Β=Γ, λόγω μεταβατικς ιδιότητας, συμπεραίνουμε ότι Α=Β. 8. Αν και, να υπολογιστούν οι αριθμητικές τιμές των παραστάσεων και. Ισχύει ότι: Άρα Α=17.
Ισχύει ότι: Άρα Β=65. Ασκσεις: 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ι ι 2. Να βρείτε τα αναπτύγματα: δ) ε) στ)
ζ) η) θ) ι) ι ι 3. Να βρείτε τα αναπτύγματα: δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ι ι 4. Να βρείτε τα αναπτύγματα: δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ι ι
5. Να βρείτε τα αναπτύγματα: δ) ε) στ) ζ) η) θ) ι) ι ι 6. Να μετατραπούν τα παρακάτω κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητούς παρονομαστές: δ) ε) 7. Να βρείτε τα αναπτύγματα: δ) 8. Να συμπληρώσετε τις ισότητες: δ) ε)
στ) ζ) η) θ) ι) 9. Να κάνετε τις πράξεις: δ) ε) στ) ζ) η) 10. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: δ) ε) στ) ζ)
η) θ) ι) 11. Να αποδείξετε την ταυτότητα: Να δείξετε ότι ο αριθμός είναι κύβος ακέραιου αριθμού. 12. Δίνονται οι παραστάσεις: και Να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων και. Να δείξετε ότι. 13. Αν και, να υπολογίσετε την αριθμητικ τιμ της παράστασης. 14. Έστω και. Να υπολογίσετε το άθροισμα και το γινόμενο των. Με τη βοθεια της ταυτότητας, να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγώνων των. 15. Αν και, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: δ)
16. Αν και, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: και 17. Αν και, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων:, και 18. Αν, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: και 19. Αν, να υπολογίσετε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων: και 20. Αν, να δείξετε ότι. 21. Αν, να δείξετε ότι. 22. Το μκος των δύο κάθετων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι και. Να αποδείξετε ότι η υποτείνουσα του τριγώνου έχει μκος.