ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xv 1 Εισαγωγή 1 1.1 Θεωρία Παιγνίων υό Λόγια για το Αντικείµενο........ 1 1.2 Μερικά Ιστορικά Στοιχεία..................... 3 1.3 Ενα Παράδοξο Παιχνίδι...................... 4 Μέρος 1: Παιχνίδια Χωρίς Συνεργασία µε Πλήρη Πληροϕόρηση 11 2 Παιχνίδια σε Εκτεταµένη Μορϕή 13 2.1 ύο Παραδείγµατα........................ 13 2.2 Ορισµός ενός Πεπερασµένου Παιχνιδιού σε Εκτεταµένη Μορϕή 16 2.3 Ενα Παιχνίδι Πόκερ και ένα Παιχνίδι Αναζήτησης....... 18 2.4 Τέλεια Πληροϕόρηση και Τέλεια Ανάµνηση, Πλήρης Πληροϕό- ϱηση............................... 22 2.5 Η Εννοια της Στρατηγικής.................... 25 2.6 Παραδείγµατα........................... 27 2.7 Η Συνάρτηση Πληρωµής Πάνω στο Χώρο των Στρατηγικών Καταστάσεων.............................. 29 2.8 Πινακοπαιχνίδια και ι-πινακοπαιχνίδια............. 32 2.9 Απλοποιήσεις........................... 35 2.10 Ασκήσεις.............................. 36 3 Σηµείο Στρατηγικής Ισορροπίας, Κανονική Μορϕή και Μεικτή Επέκταση ενός Παιχνιδιού 43 3.1 υναµικός Προγραµµατισµός.................. 43 3.2 Το Σηµείο Στρατηγικής Ισορροπίας ή Σηµείο Nash....... 48 3.3 Παραδείγµατα και Συζήτηση των Ιδιοτήτων του ΣΣΙ...... 49 3.4 Υπαρξη ΣΣΙ για Παιχνίδια Τέλειας Πληροϕόρησης....... 52 ix
x ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.5 Η Κανονική Μορϕή Ενός Παιχνιδιού και η Μεικτή του Επέκταση............................. 58 3.5.1 Η Κανονική Μορϕή.................... 58 3.5.2 Μεικτές Στρατηγικές.................... 60 3.5.3 Η Μεικτή Επέκταση ενός Παιχνιδιού σε Κανονική Μορϕή........................... 63 3.6 Ασκήσεις.............................. 67 4 Παιχνίδια 2-παικτών 0-αθροίσµατος 71 4.1 Επίπεδο Ασϕάλειας και Σηµείο Στρατηγικής Ισορροπίας.... 71 4.2 Το Θεώρηµα Minimax...................... 81 4.3 Απλοποιήσεις........................... 86 4.4 Πινακοπαιχνίδια µε ύο Γραµµές είτε ύο Στήλες........ 91 4.5 Εξισωτικές Στρατηγικές...................... 98 4.6 Τα Βήµατα για την Επίλυση ενός π.π............... 100 4.7 Παραδείγµατα........................... 103 4.8 Χαρακτηρισµός των Βέλτιστων Στρατηγικών µέσω Εξισωτικών Στρατηγικών..................... 111 4.9 Μη Πεπερασµένα Παιχνίδια 2-παικτών 0-αθροίσµατος..... 116 4.9.1 Τιµή και ε-ϐέλτιστες Στρατηγικές............. 116 4.9.2 Συνεχή Παιχνίδια Πάνω σε Συµπαγή Σύνολα....... 124 4.10 Ασκήσεις.............................. 131 5 Ειδικές Κατηγορίες Παιχνιδιών 2-παικτών 0-αθροίσµατος 139 5.1 Συµµετρικά Παιχνίδια...................... 139 5.2 Παιχνίδια σε Στάδια........................ 141 5.2.1 Συµπεριϕορικές Στρατηγικές............... 141 5.2.2 Πεπερασµένα Αναδροµικά Παιχνίδια........... 144 5.2.3 Αναδροµικά Παιχνίδια µε Άπειρο Αριθµό Κινήσεων... 155 5.2.4 Στοχαστικά Παιχνίδια................... 161 5.3 Κυρτά Παιχνίδια στο Μοναδιαίο Τετράγωνο........... 171 5.4 Παιχνίδια Εναντίον της Φύσης.................. 179 5.5 Στατιστική Θεωρία Αποϕάσεων.................. 184 5.5.1 Εκτιµήτριες Bayes..................... 190 5.6 Ασκήσεις.............................. 193 6 Πεπερασµένα Παιχνίδια 2-παικτών Μη Μηδενικού Αθροίσµατος 201 6.1 ιπινακοπαιχνίδια 2 2 Γραϕική Επίλυση.......... 201 6.2 Ο Αλγόριθµος Lemke-Howson.................. 204
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xi 6.2.1 Οι Ταµπέλες........................ 204 6.2.2 Σχέση ΣΣΙ και Ταµπέλων................. 210 6.2.3 Το διάγραµµα Lemke-Howson.............. 211 6.2.4 Σκιαγράϕηµα της Αριθµητικής Επίλυσης......... 219 6.3 Απλοποιήσεις σε δ.π.π....................... 223 6.4 Συµµετρικά δ.π.π. και Εξελικτικά Ευσταθή Σηµεία Στρατηγικής Ισορροπίας..................... 229 6.4.1 Εξελικτικά Ευσταθές ΣΣΙ................. 231 6.5 Ασκήσεις.............................. 235 7 Θεωρήµατα Υπαρξης Σηµείου Στρατηγικής Ισορροπίας 243 7.1 Εισαγωγικά............................ 243 7.2 Το Θεώρηµα Nash - Πρώτη Απόδειξη.............. 244 7.3 Το Θεώρηµα Nash - εύτερη Απόδειξη.............. 248 7.4 Κοίλα Παιχνίδια.......................... 249 7.5 Ασκήσεις.............................. 252 8 Πρότυπα Μη Πεπερασµένων Παιχνιδιών n-παικτών. Εϕαρµογές στα Οικονοµικά 255 8.1 Πρότυπα Ολιγοπωλίων...................... 255 8.1.1 Το Ολιγοπώλιο του Cournot................ 255 8.1.2 Το Ολιγοπώλιο του Bertrand............... 262 8.1.3 Το Ολιγοπώλιο του Stackelberg.............. 267 8.2 Παιχνίδια σε Στάδια........................ 269 8.2.1 Εξακολουθητική ιαπραγµάτευση (Παζάρι)........ 269 8.2.2 ιεθνής Ανταγωνισµός και ασµοί............. 272 8.2.3 Συστήµατα Αποζηµίωσης Βασισµένα σε ιαγωνισµούς....................... 276 8.3 Παιχνίδια σε Συνθήκες Ελλιπούς Πληροϕόρησης........ 282 8.3.1 Μια Αλυσίδα Ανεϕοδιασµού σε Συνθήκες Αβεβαιότητας........................ 283 8.3.2 Αγοραπωλησία Μέσω Σϕραγισµένων Προσϕορών..... 286 8.3.3 Μπεϋζιανά Παιχνίδια................... 297 8.4 Παιχνίδια Αγορών : Σηµεία Ανταγωνιστικής Ισορροπίας και Σηµεία Στρατηγικής Ισορροπίας............... 301 8.4.1 Η Κλασική Θεωρία της Γενικής Ανταγωνιστικής Ισορροπίας......................... 303 8.4.2 Η Καθαρά Ανταλλακτική Οικονοµία ως Παιχνίδι Χωρίς Συνεργασία..................... 308 8.5 Ασκήσεις.............................. 319
xii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέρος 2: Παιχνίδια µε Συνεργασία 327 9 Συντονισµός των Κινήσεων των Παικτών 329 9.1 Συσχετισµένες Στρατηγικές.................... 329 9.2 Συσχετισµένη Ισορροπία..................... 333 9.2.1 Συζήτηση.......................... 333 9.2.2 Ορισµός της Συσχετισµένης Ισορροπίας......... 337 9.2.3 Παραδείγµατα....................... 339 9.3 Ιδιότητες των Συσχετισµένων Στρατηγικών σε Κατάσταση Ισορροπίας............................ 344 9.4 Παιχνίδια µε Επικοινωνία - Η Αρχή της Αποκάλυψης για Παιχνίδια σε Κανονική Μορϕή.................. 346 9.5 Επαναλαµβανόµενα Παιχνίδια - Πεπερασµένος Αριθµός Επαναλήψεων........................... 353 9.5.1 ΣΣΙ Τέλειο ως προς τα Υποπαιχνίδια........... 354 9.5.2 Επαναλαµβανόµενα Παιχνίδια µε Μοναδικό ΣΣΙ..... 357 9.5.3 Επαναλαµβανόµενα Παιχνίδια µε Περισσότερα από Ενα ΣΣΙ.......................... 359 9.6 Επαναλαµβανόµενα Παιχνίδια - Άπειρος Αριθµός Επαναλήψεων.............................. 363 9.6.1 Η Συνάρτηση Πληρωµής.................. 364 9.6.2 Μεικτές και Συµπεριϕορικές Στρατηγικές........ 365 9.6.3 ηµόσιοι Τυχαίοι Μηχανισµοί και Σηµεία Συντονισµού............................ 367 9.6.4 Τα Λαϊκά Θεωρήµατα................... 369 9.6.5 Παραδείγµατα....................... 374 9.6.6 Παραπέρα Συζήτηση.................... 377 9.7 Ασκήσεις.............................. 379 10 Παιχνίδια σε Συµµαχική Μορϕή 385 10.1 Η Χαρακτηριστική Συνάρτηση Ενός Παιχνιδιού......... 387 10.2 Παραδείγµατα........................... 392 10.2.1 Η Καθαρά Ανταλλακτική Οικονοµία ως Παιχνίδι..... 396 10.3 Κανονικοποίηση.......................... 396 10.4 Ιδιότητες και Ιδιαίτερες Κατηγορίες Παιχνιδιών......... 400 10.5 Ασκήσεις.............................. 406 11 Ο Πυρήνας Ενός Παιχνιδιού σε Συµµαχική Μορϕή 413 11.1 Το Σύνολο των Αποδόσεων.................... 414 11.2 Ο Πυρήνας του Παιχνιδιού : Ορισµός και Παραδείγµατα.... 414
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ xiii 11.3 Ο Πυρήνας για Ειδικές Κατηγορίες Παιχνιδιών......... 418 11.4 Χαρακτηρισµός των Παιχνιδιών n-παικτών µε µη Κενό Πυρήνα.............................. 424 11.5 Ο Πυρήνας στα Παιχνίδια Αγοράς................ 429 11.5.1 Αγορές µε Ωϕέλεια που Μπορεί να Μεταϕερθεί : Σηµεία Ανταγωνιστικής Ισορροπίας και Πυρήνας.... 437 11.6 Ασκήσεις.............................. 440 12 Σηµειακές Λύσεις : Πυρηνίσκος και Τιµή Shapley 445 12.1 Ο Πυρηνίσκος........................... 446 12.2 Ορισµός και Αξιώµατα για την Τιµή Shapley.......... 450 12.3 Υπαρξη, Μοναδικότητα και Μαθηµατικοί Τύποι της Τιµής Shapley.............................. 453 12.4 Ιδιότητες της Τιµής Shapley................... 460 12.5 Παραδείγµατα Υπολογισµού της Τιµής Shapley......... 462 12.6 Εϕαρµογές της Τιµής Shapley σε Πραγµατικά Προβλήµατα. Κριτική της Εϕαρµοσιµότητας της Τιµής Shapley........ 467 12.6.1 Αυτοδιοίκηση Β Βαθµού της Κοµητείας Nassau στην Πολιτεία της Ν. Υόρκης (ΗΠΑ).............. 469 12.6.2 ιαχείριση των Αποθεµάτων Νερού της Περιοχής Καναγκάβα στην Ιαπωνία................. 470 12.6.3 Κατανοµή Πυροσβεστικών Αντλιών στους Πυροσβεστικούς Σταθµούς ανά την Ελλάδα............ 474 12.7 Ασκήσεις.............................. 476 Παράρτηµα Α. Ευκλείδειοι Χώροι : Χρήσιµες Γνώσεις 479 Παράρτηµα Β. Στοιχεία Συνδυαστικής και Θεωρίας Πιθανοτήτων 497 Παράρτηµα Γ. Μαθηµατικός Προγραµµατισµός 523 Παράρτηµα. Θεωρία της Ωϕέλειας 545 Παράρτηµα Ε. Θεωρήµατα Σταθερού Σηµείου 559 Σύµβολα και Επεξηγήσεις 569 Απαντήσεις σε Ασκήσεις 572 Βιβλιογραϕία 581
xiv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ευρετήριο 593 Index 611