ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΜΑΚΡΟΧΡΟΝΙΕΣ ΚΑΙ ΒΡΑΧΥΧΡΟΝΙΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΟΥ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΟΧΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Π. ΤΡΙΠΟΛΙΤΑΚΗΣ Επιβλέπουσα: Αικατερίνη Πανοπούλου Επίκουρος Καθηγήτρια Πανεπιστημίου Πειραιώς Πειραιάς, Οκτώβριος 011

Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία μελετά την επιρροή της ανάλυσης στο πεδίο των συχνοτήτων (frequecy domai) στο κλασικό μοντέλο CAPM. Για το σκοπό αυτό εξετάζουμε τις μηνιαίες αποδόσεις σε τρία διαφορετικά είδη χαρτοφυλακίων, τα book o marke, τα momeum και τα ize, όπως χρησιμοποιούνται ευρέως στη σχετική βιβλιογραφία. Επιπλέον, διακρίνουμε δυο διαφορετικές χρονικές περιόδους, για τις οποίες το κλασικό μοντέλο CAPM παρουσιάζει διαφορετική συμπεριφορά. Η ανάλυση σε πεδία συχνοτήτων (φασματική ανάλυση) μας παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία για να απομονώσουμε τα ενυπάρχοντα κυκλικά χαρακτηριστικά των χρονοσειρών και μάλιστα, όπως θα δείξουμε, διατηρώντας τη μεταβλητότητα της αρχικής χρονοσειράς σε επιλεγμένες κυκλικές περιόδους. Με τον τρόπο αυτό, μπορούμε να φιλτράρουμε τις βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες επιρροές, επιδιώκοντας στη βελτίωση των χαρακτηριστικών του κλασικού CAPM, που είναι η απόρριψή του στην περίοδο 1963-010 και η αδυναμία τιμολόγησης του κινδύνου κατά την επιπλέον διαστρωματική ανάλυση σε ize και book o marke χαρτοφυλάκια. Syopi Thi hei udie he ifluece of he frequecy domai aalyi o he adard CAPM model. For hi purpoe, we examie he mohly performace of hree differe ype of porfolio, he book o marke, momeum ad ize porfolio, which are widely ued i he relaed lieraure. Moreover, we diiguih bewee wo differe ime period for which he adard CAPM model how differe behavior. The aalyi i he frequecy domai (pecral aalyi) give u he ool o iolae he ihere cyclic characeriic of he ime erie ad ideed, a we will how, by maiaiig he volailiy of he origial ime erie i eleced cyclical period. I hi way, we ca filer ou horerm ad log-erm ifluece, eekig o improve he characeriic of claic CAPM, which i dicharged i he period 1963-010 ad, imulaeouly, cao price he rik i he furher croecioal aalyi io ize ad book o marke porfolio.

3 Ευχαριστίες Για τη συγγραφή της παρούσας διπλωματικής εργασίας οφείλω να ευχαριστήσω την Επίκουρο Καθηγήτρια του Πανεπιστημίου Πειραιώς, κ. Κατερίνα Πανοπούλου, για την αμέριστη συμπαράσταση και καθοδήγηση καθόλη τη διάρκεια της εκπόνησής της.

4 Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή...5 1.1 Το κλασικό μοντέλο CAPM (Capial Ae Pricig Model) και η υπόθεση σταθερού βήτα...5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Φασματική ανάλυση χρονοσειράς...8.1 Στάσιμες χρονοσειρές.. 8. Φασματική ανάλυση στάσιμης χρονοσειράς...8.3 Παραδείγματα φασματικών πυκνοτήτων.......13.4 Το δειγματικό περιοδόγραμμα.......14.5 Γραμμικά φίλτρα...0.6 Τα bad-pa φίλτρα Baxer-Kig και Chriiao-Fizgerlad......1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εμπειρική ανάλυση δεδομένων.......5 3.1 Περιγραφή δεδομένων...5 3. Στατιστική περιγραφή δεδομένων..6 3.3 Μεθοδολογία..30 Συμπεράσματα... 43 Παράρτημα 1... 46 Παράρτημα...68 Βιβλιογραφία........70

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Το κλασικό μοντέλο CAPM (Capial Ae Pricig Model) και η υπόθεση σταθερού βήτα Το κλασικό μοντέλο εκτίμησης των αποδόσεων περιουσιακών στοιχείων ή το Sadard CAPM αναπτύχθηκε από τους W. Sharpe, J. Lier και J. Moi, βασιζόμενο στις παρακάτω υποθέσεις 1 Υ1 Τα κόστη συναλλαγών είναι αμελητέα σε σχέση με το συνολικό όγκο συναλλαγών. Υ Τα περιουσιακά στοιχεία είναι απείρως διαιρετά. Υ3 Οι φόροι προσωπικού εισοδήματος είναι αμελητέοι (επομένως ένα άτομο είναι αδιάφορο στην επιλογή μεταξύ του κέρδους από μερίσματα ή από άλλες επενδύσεις κεφαλαίου). Υ4 Ένα μεμονωμένο άτομο ή επιχείρηση δεν μπορεί να επηρεάσει την τιμή μιας μετοχής (τέλειος ανταγωνισμός). Υ5 Όλα τα άτομα επενδύουν με βάση την αναμενόμενη απόδοση και τη διασπορά των αποδόσεων. Υ6 Επιτρέπονται απεριόριστες ανοιχτές πωλήσεις (hor ale). Υ7 Επιτρέπεται απεριόριστος δανεισμός με το ακίνδυνο επιτόκιο (rik free rae) Υ8 Ισορροπία αποδόσεων-διασποράς-χρόνου (όλοι οι επενδυτές αναμένουν τις ίδιες αποδόσεις και διασπορά αποδόσεων, και επενδύουν στον ίδιο χρονικό ορίζοντα). Υ9 Όλα τα περιουσιακά στοιχεία είναι εμπορεύσιμα. Η εξίσωση του κλασικού CAPM Έστω i η απόδοση του στοιχείου ή χαρτοφυλακίου i, free η ακίνδυνη απόδοση και m η απόδοση της αγοράς. Τότε ισχύει η σχέση Ε( i ) = free + i (Ε( ) m free ), [1.1] όπου i = Cov( i, m ) Var( ) m = συντελεστής συστηματικού ρίσκου ή συντελεστής «βήτα» [1.] Η σχέση [1.1] υποδηλώνει ότι η αναμενόμενη απόδοση ενός περιουσιακού στοιχείου ή χαρτοφυλακίου, ξεπερνά την ακίνδυνη απόδοση κατά ένα ποσό γραμμικά ανάλογο με το συστηματικό ή μη-διαφοροποιήσιμο μέρος του ρίσκου. Με άλλα λόγια, ο επενδυτής δεν αναμένει 1 βλ. Elo, Gruber 007:84 και Fabozzi 006:08

6 την αποζημίωσή του για το μέρος εκείνο του ρίσκου το οποίο μπορεί να αντισταθμίσει με μια κατάλληλη διαφοροποίηση του χαρτοφυλακίου του, και το οποίο δεν σχετίζεται με τον κίνδυνο της αγοράς (ιδιάζων ή μη-συστηματικό μέρος του ρίσκου). Η σχέση [1.1] μπορεί να εξεταστεί (βλ. 3.3) για i σταθερό. Στην πραγματικότητα, η σταθερότητα του συντελεστή βήτα δεν εξασφαλίζεται. Για παράδειγμα, αν μια εταιρεία μεταβάλλει την κεφαλαιοποίησή της, τότε δεν εξασφαλίζεται η σταθερότητα της συνδιασποράς Cov(, ). Οι Fama και Frech (199, 1993) εξέτασαν το κλασικό CAPM με σταθερό βήτα και βρήκαν ότι το μοντέλο αδυνατεί να εξηγήσει κάποιες ανωμαλίες τιμολόγησης. Για παράδειγμα, αναφέρουν ότι το μοντέλο δεν μπορεί να εξηγήσει γιατί i) χαρτοφυλάκια με μικρές εταιρείες ξεπερνούν σε απόδοση τις μεγάλες εταιρείες (επιρροή μεγέθους, βλ. 3.3), ii) χαρτοφυλάκια εταιρειών με μεγάλη αναλογία λογιστικής αξίας προς αξία από την αγορά ξεπερνούν σε απόδοση τις εταιρείες με αντίστοιχη μικρή αναλογία (book o marke επιρροή, βλ. 3.3) και iii) γιατί χαρτοφυλάκια εταιρειών με σχετικά μεγαλύτερες αποδόσεις στο παρελθόν ξεπερνούν σε απόδοση τις εταιρείες με αντίστοιχα χαμηλές προηγούμενες αποδόσεις (momeum επιρροή, βλ. 3.3). i m Μια πιθανή αιτία για την αποτυχία του κλασικού CAPM να εξηγήσει τις παραπάνω διαφοροποιήσεις, είναι η υπόθεση του σταθερού βήτα. Πολλές αναλύσεις (για παράδειγμα των Jagaaha και Wag (1996), των Fama και Frech (1997, 006) και των Ag και Che (007)) εντοπίζουν μια συνδιασπορά ανάμεσα στο χρονικά μεταβαλλόμενο βήτα και στη χρονικά μεταβαλλόμενη υπερβάλλουσα απόδοση της αγοράς. Οι Fero και Harvey (1999) και οι Pekova και Zhag (005) χρησιμοποιούν βοηθητικές μεταβλητές για να εντοπίσουν τις μεταβολές του βήτα και της υπερβάλλουσας απόδοσης της αγοράς, αλλά και τη συνδιασπορά τους. Οι Abdymomuov και Morley (011) ερευνούν τις μεταβολές του βήτα σε book o marke και momeum χαρτοφυλάκια σε σχέση με κάποιες διακριτές αλλαγές στη μεταβλητότητα της αγοράς των μετοχών και στις υπερβάλλουσες αποδόσεις της αγοράς. Oι Badi και Garcia (010) επιχειρούν να εκτιμήσουν τη δυνατότητα τιμολόγησης του κινδύνου (rik pricig) στο κλασικό CAPM, διακρίνοντας σε βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες σωρευτικές αποδόσεις, και καταφέρνουν να εξομαλύνουν τη γραμμική σχέση του χρονικά μεταβαλλόμενου βήτα ως προς τις μέσες αποδόσεις, για μεγαλύτερα χρονικά διαστήματα. Η δική μας ανάλυση εστιάζει στο φιλτράρισμα των αποδόσεων των διαμερισμένων χαρτοφυλακίων και στη βελτίωση της προσαρμογής του κλασικού μοντέλου CAPM, για τις διάφορες κυκλικές συνιστώσες. Όπως θα δείξουμε, το μοντέλο CAPM βελτιώνεται με χρήση ειδικού φίλτρου, η Αυτό το διαχωρισμό υιοθετούμε κι εμείς (βλ. Fama και Frech 199 και Fama και Frech 1993).

7 βελτίωση όμως αυτή δεν αφορά και την τιμολόγηση του κινδύνου, ο οποίος προκύπτει αρνητικός σε σχέση με τις μέσες αποδόσεις. Στο ο Κεφάλαιο παρουσιάζουμε τα βασικά στοιχεία της φασματικής ανάλυσης, με στόχο την κατανόηση των ιδιοτήτων και των σχετικών μηχανισμών της. Στη συνέχεια, στο Κεφάλαιο 3, έχουμε την εφαρμογή των μηχανισμών αυτών στα δεδομένα των χαρτοφυλακίων μας και την εξαγωγή των συμπερασμάτων. Ακολουθούν τα Παραρτήματα, στα οποία συμπεριλαμβάνονται αναλυτικά όλοι οι πίνακες, τα στατιστικά συμπεράσματα και κάποια επιπλέον γραφήματα.

8 Κεφάλαιο Φασματική ανάλυση χρονοσειράς.1 Στάσιμες χρονοσειρές Ισχυρή Στασιμότητα Η χρονοσειρά { κάθε k (k ), η από κοινού κατανομή των { κατανομή των {, 1 k k } είναι (ισχυρά) στάσιμη, αν για κάθε 1,,, 1,,, και για } ταυτίζεται με την από κοινού,, }. Η από κοινού κατανομή, λοιπόν, των { k παραμένει σταθερή για οποιαδήποτε κοινή χρονική μετατόπιση κατά k. 1,,, } Στασιμότητα έως βαθμού m Η χρονοσειρά { } είναι στάσιμη έως το βαθμό m (m ), αν για κάθε 1,,, και για κάθε k, οι από κοινού ροπές έως του βαθμού m των { είναι ίσες με τις από κοινού ροπές έως βαθμού m των {, ή 1 k k,, } k 1, 1 Ε[ { } m { } m m { } 1 ] = Ε[ { } m { } m m { } ] 1 ( m 1 + m + + m m : i m, m για κάθε i) 1 k k k,, } Διακρίνουμε δυο βασικές περιπτώσεις. 3 1 1. m = m 3 = = m = 0 και m1 m. Τότε, για k = Ε[ { } m 1 ] = Ε[ { } m ] = σταθερό και ανεξάρτητο του. 1. m 3 = m 4 = = m = 0 και m 1 + m m. Τότε, για k = Ε[ { } m 1 = Ε[ { } m { } m ] = συνάρτηση του ( ) μόνο. 0 0 { } m ] Από τα προηγούμενα συνεπάγεται ότι, i) Αν η { } είναι στάσιμη έως βαθμού m = 1, τότε Ε[ ] = σταθερό = μ. ii) Αν η { } είναι στάσιμη έως βαθμού m =, τότε Ε[ ] = σταθερό = μ (η στάσιμη βαθμού είναι και στάσιμη βαθμού 1) και για m 1 =, Ε[ ( ) ] = = σταθερά (ανεξάρτητη του ) Var( ) = Ε[ ( ) ] E [ ] = = = σταθερά. 3 Βλ. Prieley:105 και Mood, Graybill:159

9 iii) Αν m = και m 1 = m = 1, τότε για κάθε και, E[ ( ) μόνο Cov(, ) = E[ ] ] = συνάρτηση της διαφοράς = συνάρτηση της διαφοράς ( ) μόνο. Συνεπώς, μια στάσιμη χρονοσειρά έως βαθμού, i) Έχει σταθερή μέση τιμή μ για κάθε ii) Έχει σταθερή διασπορά για κάθε iii) Η συνδιασπορά για οποιαδήποτε χρονικά σημεία, εξαρτάται μόνο από το διάστημα ( - ) και όχι από το που βρίσκονται τα σημεία, στο χρόνο. Εξαιτίας των ιδιοτήτων αυτών, η στάσιμη χρονοσειρά έως βαθμού κρίνεται ικανοποιητική για τα οικονομικά μοντέλα μας και εφεξής αυτή θα εννοείται ως η «στάσιμη» χρονοσειρά. Αυτοσυσχέτιση Aν x = Var( ) και (τ) = Cov(, ) είναι η συνάρτηση (αυτο)συνδιακύμανσης, τότε ορίζεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης, ως ρ(τ) = (τ)/. Για μια x στάσιμη χρονοσειρά, (0) = Cov(, ) = Var( ) = x ρ(0) = 1. Επίσης, (τ) (0) ρ(τ) 1 για κάθε τ. Αν η στάσιμη χρονοσειρά λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές ( ), τότε ισχύει ότι για κάθε (-τ) = (τ) για κάθε τ ρ(-τ) = ρ(τ). Τέλος, για μια στάσιμη χρονοσειρά, φυσιολογικά (τ),ρ(τ) 0 όταν τ. 4. Φασματική ανάλυση στάσιμης χρονοσειράς Περίοδος, συχνότητα, κυκλική συχνότητα Ορίζονται ως Τ = Περίοδος = Ο χρόνος ενός κύκλου (στις αντίστοιχες χρονικές μονάδες μέτρησης) ν = 1/Τ = Συχνότητα = Αριθμός κύκλων ανά μονάδα χρόνου ω = πν = π/τ = Κυκλική συχνότητα = συχνότητα σε rad ανά μονάδα χρόνου Φασματική αναπαράσταση Grager Σύμφωνα με τον Grager 5, για τη στάσιμη χρονοσειρά { ορίζεται η φασματική της αναπαράσταση: } i = e dz ( ) = [co( ) ii( )] dz ( ), [.1] όπου Ζ(ω) είναι μια (μιγαδική) στοχαστική διαδικασία στο (-π, π) με τα εξής χαρακτηριστικά: 4 Το τ χαρακτηρίζεται ως το lag (υστέρηση). 5 Βλ. Arrow και Iriligaor 1984: 989

10 (i) E[dZ(ω)] = 0, για κάθε ω, 0, αν ω λ (ii) Ε[dZ(ω) dz(λ) ] = ( ) ( ) ( ), αν ω = λ, x df x f d όπου dz(λ) είναι η συζυγής της προσαύξησης dz(λ) και f(ω) η (κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα της. Προφανώς, Ε[dZ(ω) dz(λ) ] ω=λ = Ε[ dz(ω) ] = Var[dZ(ω)]. Η παραπάνω αυτή αναπαράσταση της μπορεί να ερμηνευθεί ως ένα άθροισμα ενός απείρου αριθμού ασυσχέτιστων τυχαίων μεταβλητών (εξαιτίας των χαρακτηριστικών (i) και (ii), συνδεδεμένων με κάποια αντίστοιχη συχνότητα (μεταβλητές ή συνιστώσες συχνότητας). Το ολοκλήρωμα όλων των στοιχειωδών διασπορών Var[dZ(ω)] ισούται με την διασπορά χρονοσειράς, κάτι που χρησιμεύει στην ανάλυση της σχετικής σημασίας των μεταβλητών συχνότητας. Βάσει του ότι ω=π/τ, έχουμε ότι οι μικρές (ή χαμηλές) κυκλικές συχνότητες αντιστοιχούν σε μεγάλες οικονομικές περιόδους Τ, ενώ οι μεγάλες (ή υψηλές) κυκλικές συχνότητες (κοντά στο π) αντιστοιχούν σε σύντομες οικονομικές περιόδους Τ. Αυτή η διάκριση καθιστά τη φασματική ανάλυση συχνοτήτων πιο ελκυστική από την κλασσική ανάλυση χρονοσειρών (που βασίζεται στην καθαυτή μελέτη της ρ(τ)) όταν πρωταρχικός στόχος είναι η ανίχνευση των οικονομικών κύκλων στην πραγματοποίηση μιας χρονοσειράς. 6 x της Θεώρημα Wold 7 Οι συναρτήσεις {ρ(τ): τ = 0, ±1, ±, } αποτελούν συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης μιας στάσιμης χρονοσειράς διακριτού χρόνου, { συνάρτηση F(ω) η οποία: : = 0, ±1, ±, }, αν και μόνο αν υπάρχει (i) Διαθέτει τα χαρακτηριστικά συνάρτησης κατανομής [δηλ. 0 F(ω) 1 για κάθε ω στο (-π, π), F(-π) = 0, F(π) = 1 και η F(ω) είναι μη-φθίνουσα] στο διάστημα (-π, π) και i (ii) ρ(τ) = e df ( ), τ = 0, ±1, ±, Η συνάρτηση F καλείται φασματική συνάρτηση κατανομής. Σημειώνουμε ότι, αν η είναι τέτοια ώστε η F(ω) να είναι παντού διαφορίσιμη, τότε η f(ω) = df(ω)/dω (f 0) υπάρχει για κάθε ω, και η αυτοσυσχέτιση ρ(τ) μπορεί να γραφεί ισοδύναμα ως 6 Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να διευκρινίσουμε ότι ω π ή πν π ή ν ½ ή Τ. 7 Βλ. Prieley:

11 i ρ(τ) = e f ( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.] (Kανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα Η ρ(τ) μπορεί να αντιστραφεί (βλ. Prieley: 5) δίνοντας την παρακάτω συνάρτηση συχνοτήτων ή (κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα: f(ω) = 1 i ( ) e = 1 [co( ) ii( )] ( ), -π ω π [.3] Αν η στάσιμη { } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε ρ(-τ) = ρ(τ) και άρα και f(-ω)= f(ω) για όλα τα ω στο (-π, π). Τότε, μάλιστα, η [.3] γίνεται, 8 f(ω) = 1 1 [co( ) ii( )] ( ) + 1 1 (0)[co(0) ii(0)] + 1 [co( ) ii( )] ( ) = 1 1 ( )co( ), -π ω π [.4] 1 Αντίστοιχα με την [.] και επειδή (τ) = x ρ(τ), θα έχουμε ότι: (τ) = e i f x ( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.5] (Μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα ή φάσμα διακριτού χρόνου, { : = 0, ±1, ±, } και (τ) = Cov(, Έστω μια στάσιμη χρονοσειρά ) η συνάρτηση (αυτο)συνδιακύμανσης. Τότε ορίζουμε ως (μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα ή φάσμα της τη συνάρτηση h(ω) = 1 i ( ) e = 1 [co( ) ii( )] ( ), -π ω π [. 6] Συγκρίνοντας με τη [.3] και λαμβάνοντας υπόψη ότι (τ) = x ρ(τ), παρατηρούμε ότι h(ω) = x f(ω). Μάλιστα, f 0 h 0. Aν η στάσιμη { } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε f(-ω) = f(ω) h(-ω)= h(ω) για όλα τα ω στο [-π, π]. 8 Βλ. Prieley: 08, 17

1 Αν η στάσιμη { τη [.4], η [.6] γράφεται ως: } λαμβάνει μόνο πραγματικές τιμές, τότε ισχύει (-τ) = (τ) και, αντίστοιχα με h(ω) = 1 (0) ( )co( ), -π ω π [.7] 1 Ερμηνεία του φάσματος Έχουμε πει ότι h(ω) = x f(ω), και η [.5], τότε, γίνεται i (τ) = e h( ) d, τ = 0, ±1, ±, [.9] Για τ = 0 θα είναι, (0) = h( ) d x = h( ) d [.10] Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η περιοχή κάτω από τη συνάρτηση φάσματος h(ω), για -π ω π, αντιστοιχεί στη διασπορά της χρονοσειράς { }. 9 Επειδή η h(ω) είναι μη-αρνητική, το ολοκλήρωμα 1 h( ) d, 0 < 1 < π είναι θετικό και εκφράζει το ποσοστό της διασποράς της χρονοσειράς { 1 συχνότητες ω όπου 1. Αν λάβουμε υπόψη και ότι h(-ω)= h(ω), τότε η ποσότητα } που συνδέεται με τις 1 h( ) d, 0 < 1 < π αναπαριστά το ποσοστό της διασποράς της χρονοσειράς { κυκλικών συχνοτήτων μικρότερων ή ίσων από μια δεδομένη συχνότητα 1. 0 } που συνδέεται με ένα σύνολο 9 Βλ. Hamilo: 156

13.3 Παραδείγματα φασματικών πυκνοτήτων Τα επόμενα παραδείγματα είναι ενδεικτικά και στοιχειώδη στη μελέτη της φασματικής πυκνότητας μιας χρονοσειράς. Παράδειγμα 1 Η φασματική πυκνότητα του «λευκού θορύβου» Για την εξίσωση του «λευκού θορύβου» είναι γνωστό ότι (βλ. Prieley: 33): ρ(τ) = 1, = 0 0, = ±1, ±,... Συνεπώς, η φασματική πυκνότητα f(ω), με βάση τη σχέση [.4] θα ισούται με f(ω) = 1 (0) ( )co( ) 1 = 1, -π ω π [.11] Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ομοιόμορφη κατανομή της πυκνότητας σε όλες τις κυκλικές συχνότητες ω στο (-π, π). Παράδειγμα Διακριτή χρονοσειρά A(1) Για τη διακριτή χρονοσειρά A(1) της μορφής { x ax 1 }, η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης βρίσκεται για a 1, ίση με (βλ. Prieley: 119) ρ(τ) = a, οπότε από την [.4] και με δεδομένο ότι co(ωτ) = e( e i ), έχουμε ότι f(ω) = = 1 1 a co( ) 1 1 e 1 ( i ae ) 1 = 1 i ae 1 e i 1 ae = 1 a (1 a a co ), -π ω π, a 1 [.1] Η φασματική πυκνότητα f(ω) για διάφορες (θετικές) τιμές του a παριστάνεται στο γράφημα 1.

14 Γράφημα 1 φασματική πυκνότητα f(ω) της διακριτής A(1) [α = 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9] Για όλα τα α από 0 έως 1, παρατηρούμε μια μεγαλύτερη συγκέντρωση πυκνότητας (και άρα και διασποράς) στις χαμηλότερες κυκλικές συχνότητες (ω 0) ή όταν Τ..4 Το δειγματικό περιοδόγραμμα Έστω μια πραγματοποίηση { y : = 1,,, T} της στάσιμης χρονοσειράς { Y }. Τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τις δειγματικές (αυτο)συνδιακυμάνσεις ˆ( ), όπου τ η υστέρηση, ως 10 T 1 (y y)(y y), για = 0, 1,,...,T-1 ˆ( ) = 1 ˆ( ), για = -1, -,..., - (T-1) [.13] όπου y είναι ο δειγματικός μέσος, y = T 1 y. Για κάθε ω ορίζεται, αντίστοιχα με τη σχέση [.6], T 1 το δειγματικό φάσμα ή δειγματικό περιοδόγραμμα: T-1 1 h ˆ( ) = ˆ( ) i e [.14] T+1 Όπως στη σχέση [.7], το δειγματικό περιοδόγραμμα μπορεί να γραφεί και ως: 10 Βλ. Hamilo: 158

15 T-1 1 h ˆ( ) = ˆ(0) ˆ ( )co( ), -π ω π [.15] 1 Αποδεικνύεται, τότε, το δειγματικό ανάλογο του θεωρήματος αναπαράστασης Grager M y = â 0 + { ˆ co[ ( 1)] ˆ a i[ ( 1)]} [.16] 1 όπου 1 =π/τ, =4π/Τ,, = πμ/τ, δηλαδή = π/t με = 1,,,Μ και T /, αν Τ άρτιος M= (T-1) /, αν Τ περιττός, ώστε π για κάθε, ενώ το â0 και οι συντελεστές â και ˆ προκύπτουν από την παλινδρόμηση ελαχίστων τετραγώνων του μοντέλου y = a 0 + M 1 { a co[ ( 1)] i[ ( 1)]} + u [.17] Η σχέση [.17] δηλώνει ότι οποιαδήποτε πραγματοποίηση { y : = 1,,, T : T - περιττός} μιας στάσιμης χρονοσειράς { Y } μπορεί να εκφρασθεί ως μια σταθερά συν ένα σταθμισμένο άθροισμα Μ ή (Τ-1) περιοδικών συναρτήσεων με Μ ή (Τ-1)/ διαφορετικές συχνότητες. 11 Αν και το ω μπορεί να λάβει οποιαδήποτε τιμή από 0 έως π, εμείς, λοιπόν, αποδίδουμε όλη τη δειγματική διασπορά σε ένα αριθμό συχνοτήτων το πλήθος των οποίων εξαρτάται από το πλήθος των παρατηρήσεων. Αυτό μας περιορίζει στο να ανάγουμε στη συχνότητα τη διασπορά που συνδέεται με συχνότητες κοντά στην. Το μοντέλο [.17] αντιστοιχεί σε ένα πολυμεταβλητό γραμμικό μοντέλο της μορφής Y = B + U όπου Y = [ y1 y και... y T ], = 1 x z x z 1 x z x z 11 11 1M 1M T1 T1 TM TM T (M +1) U = [ u1 u... u T ], x = co[ ( 1) ] και z = i[ ( 1) ]., B = [ a0 a1 1 a M M ] 11 Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα προκύπτει και για Τ άρτιο. Σημειώνουμε ότι για λόγους ευκολίας επιλέγουμε θετικές κυκλικές συχνότητες από 0 έως π.

16 Σύμφωνα με τους Hamilo (1994) και Weber (001), αν επιλέξουμε Τ περιττό (ώστε Τ = Μ+1), τότε η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων στο μοντέλο [.17], με Τ επεξηγηματικές μεταβλητές και Τ παρατηρήσεις, έχει τέλεια προσαρμογή, ώστε U ˆ 0 Y ˆ = Y. Τότε, προκύπτουν τα εξής: (i) ˆ = [ â0 1 ˆ â M â 1 ˆ ] M = T T T T y y x y z y x y z T T T T 1 1 M M 1 1 1 1 ώστε y = y + M { ˆ co[ ( 1)] ˆ a i[ ( 1)]} [.18] 1 με a ˆ = T T 1 y x, για = 1,,, M και ˆ = T y z, για = 1,,, M [.19] T 1 (ii) Δειγματική Διασπορά = 1 T T ( y y) = 1 1 ˆ [.0] ( aˆ ) 1 και το μέρος της δειγματικής διασποράς που μπορεί να αποδοθεί σε κύκλους με συχνότητα δίνεται από την ποσότητα 1 ˆ ( aˆ ). (iii) Tο μέρος της δειγματικής διασποράς που μπορεί να αποδοθεί σε κύκλους με συχνότητα εκφράζεται ισοδύναμα ως 1 ˆ ˆ ( a ) = 4π hˆ( ) [.1] όπου h ˆ( ) το δειγματικό περιοδόγραμμα στη συχνότητα. Όπως αναφέραμε προηγουμένως, στην περιγραφή του μοντέλου [.17], στη συχνότητα ανάγουμε τη διασπορά που συνδέεται με συχνότητες κοντά στην. Έτσι, η ποσότητα της διασποράς της Y, δεν συνδέεται μόνο με τη συχνότητα 1 ˆ ˆ ( a ), ως μέρος αλλά και με κύκλους συχνοτήτων κοντά στην. Εφόσον = π/t με = 1,,,Μ 1 = π/τ και από τη σχέση [.1] έχουμε ότι 1 ˆ ( aˆ ) = ( 1 ) h ˆ( ), που είναι περίπου διπλάσιο από το εμβαδόν που

17 περικλείει η συνάρτηση h ˆ( ) ανάμεσα στις συχνότητες 1 και, όπως φαίνεται στο γράφημα. 1 Γράφημα Δειγματικό περιοδόγραμμα ˆ( ) h Y-Axi h ˆ( ) 10 90 70 55 48 46 45 46 49 59 1 0 π Πηγή:Weber 008, Hamilo:163 Επομένως, με βάση τη σχέση [.0] η συνολική δειγματική διασπορά κατανέμεται σε όλο το εμβαδόν του δειγματικού περιοδογράμματος, ώστε να είναι ανάλογη με το συνολικό εμβαδόν ως εξής T 1 1 ˆ ˆ π ˆ y ˆ y a 1 h h T 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Το δειγματικό περιοδόγραμμα, με χρήση των [.19] και [.1], ισοδύναμα υπολογίζεται ως T T T 1 ˆ ˆ h( ) = ( ˆ ) y x y z 8π πτ 1 1 [.] Εφαρμογή σε δεδομένα των αποδόσεων αγοράς Οι αποδόσεις της αγοράς εξομοιώνονται στο value-weighed (στάθμιση βάσει της κεφαλαιοποίησης) χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από όλες τις μετοχές των δεικτών NYSE, AME και NASDAQ. Η χρονοσειρά περιέχει μηνιαία δεδομένα από το 197 έως και το 010. 1 Αυτό είναι αντίστοιχο με τη συνεχή περίπτωση (το ω λαμβάνει πραγματικές τιμές από 0 έως 1 < π) όπου το μέρος της διασποράς της χρονοσειράς που συνδέεται με συχνότητες έως την 1 δίνεται από το διπλάσιο του ολοκληρώματος 1 h( ) d (βλ..). 0

18 Η κυκλική συχνότητα = π/t ανταποκρίνεται σε περιόδους π/ = T/. Επομένως, με βάση το γράφημα 3b, παρατηρούμε μια κορυφή περίπου στο =1, συνεπώς έχουμε μια κυκλική περίοδο ίση με 1007/1 = 83,9 μήνες ή περίπου 7 χρόνια. Η περίοδος αυτή μπορεί να ερμηνευθεί ως η διάρκεια ενός πλήρους οικονομικού-χρηματιστηριακού κύκλου (ανάπτυξη (bull marke) - ύφεση (bear marke) ανάπτυξη), ώστε το εμβαδόν κάτω από την περιοχή αυτή (για =1±), να εξηγεί το ποσοστό της διασποράς στις μηνιαίες αποδόσεις που οφείλεται στους οικονομικούς κύκλους. Γράφημα 3 Αποδόσεις αγοράς και δειγματικό περιοδόγραμμα (3a) marke reur 197-010 (3b) ample periodogram of marke reur 40 30 30 0 10 5 0 0 15-10 -0 10-30 5-40 30 40 50 60 70 80 90 00 10 0 50 100 150 00 50 300 350 400 450 500 Στο γράφημα 3a έχουμε τις λογαριθμικές αποδόσεις των αποδόσεων της αγοράς, ενώ στο γράφημα 3b υπολογίζουμε το δειγματικό περιοδόγραμμα h ˆ( ) σε συνάρτηση του, για τα = π/t, με βάση τον τύπο [.], για Τ= 1007 και Μ = (Τ-1)/=503. 13 Πηγή: Keeh Frech library (hp://mba.uck.darmouh.edu/page/faculy/ke.frech/daa_library.hml) Εξομάλυνση του περιοδογράμματος Σύμφωνα με τον Hamilo (Hamilo 1994:165), για μπορούμε να ορίσουμε μια νέα τιμή h ˆ ( ), υποθέτοντας ότι hˆ ( ) h ˆ( ) για συχνότητες i i i κοντά στην. 14 Το h ˆ ( ) μπορεί, τότε, να υπολογισθεί ως ένα σταθμισμένο άθροισμα των τιμών των h ˆ( i ) για συχνότητες i κοντά στην, όπου οι σταθμίσεις θα εξαρτώνται από την απόσταση ανάμεσα στα i,. 13 Στο παράρτημα βρίσκονται οι σχετικοί αλγόριθμοι που υλοποιούνται στο στατιστικό περιβάλλον του EView 6 (Κώδικες Κ1-Κ3). 14 Ο δείκτης προκύπτει από την αγγλική λέξη «mooh».

19 Η στάθμιση θα είναι της μορφής w(m) = (g + 1 m )/ ( g 1), όπου g = παράμετρος εύρους (badwidh) έτσι ώστε ˆ g 1 m h ( ) [ ] ( ) [.3] g ˆ h m m g ( g 1) Παρατηρούμε ότι η στάθμιση γίνεται με μεγαλύτερη βαρύτητα για τις πιο κοντινές τιμές και λαμβάνει την ελάχιστη τιμή, που ισούται με 1/ ( g 1), όταν m = ± g, ενώ, εύκολα, αποδεικνύεται g ότι w( m) = 1. 15 Στη συνέχεια εξομαλύνουμε τα δεδομένα του γραφήματος 3b, για g=0, και έτσι m g προκύπτει το επόμενο περιοδόγραμμα. Γράφημα 4 Εξομαλυμένο δειγματικό περιοδόγραμμα 8 7 6 5 4 3 4(a) marke reur mooh periodogram badwidh=0 30 5 0 15 10 5 (4b) periodogram moohig badwidh=0 1 50 100 150 00 50 300 350 400 450 500 0 1 51 101 151 01 51 301 351 401 451 501 Η πρώτη κορυφή παρατηρείται περίπου για =4 που αντιστοιχεί σε περίοδο Τ/=1007/5 4 μήνες ή περίπου 3,5 έτη και αφορά το μέρος της διασποράς που οφείλεται σε μακροπρόθεσμες επιρροές, δηλαδή, στους κύκλους της αγοράς. 16 Η δεύτερη κορυφή συμβαίνει περίπου για =116, ώστε Τ/=8.7 μήνες, κάτι που αντιστοιχεί σε έναν κύκλο που περιέχει βραχυπρόθεσμες ή εποχιακές επιρροές. Ακολουθούν αντίστοιχοι κύκλοι (βραχείας διάρκειας) 5.9, 4.4,.9,.4 και. μηνών. g 15 Πράγματι, ( g 1 m ) = mg g g g g ( g 1) m ( g 1) 1 m ( g 1)( g 1) g( g 1) / ( g 1). mg mg m g m0 16 Το αποτέλεσμα αυτό συμφωνεί με τον C.J. Grager (βλ. Ghyel και Swao: 11), σύμφωνα με τους οποίους η μέση διάρκεια των οικονομικών κύκλων είναι περίπου ίση με 40 μήνες.

0.5 Γραμμικά φίλτρα Φιλτράρισμα ή φίλτρο Έστω η διακριτή χρονοσειρά { } και a μια δοσμένη (ντετερμινιστική) ακολουθία πραγματικών. Ονομάζουμε ένα φιλτράρισμα ή φίλτρο τη χρονοσειρά { Y } Y = a [.4] Το φίλτρο, λοιπόν, είναι ένας σταθμισμένος γραμμικός συνδυασμός παρελθοντικών (lag), τωρινών και μελλοντικών (lead) τιμών της { }. Αποδεικνύεται, 17 ότι εάν η { } είναι στάσιμη χρονοσειρά με φασματική πυκνότητα h ( ) και a τέτοια ώστε a <, τότε η Y παραπάνω, είναι επίσης στάσιμη με φασματική πυκνότητα όπως hy ( ) = h ( ), ω π [.5] ( ) όπου, ( ) = μεταβίβασης. i ae η συνάρτηση απόκρισης συχνοτήτων και ( ) η συνάρτηση Τα βάρη a υπολογίζονται μέσω του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier στην A( ), ώστε a = 1 π i e A( ) d, = 0, ±1, ±, [.6] Φίλτρο Low-Pa Αν επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, 0 0, 0 a, τέτοια ώστε [.7] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «low-pa». Το φίλτρο low-pa αφήνει αμετάβλητες όλες τις μεταβλητές συχνοτήτων σε συχνότητες (απολύτως) μικρότερες της 0, ενώ όλες οι μεταβλητές σε υψηλότερες συχνότητες αφαιρούνται. Λαμβάνοντας υπόψη και τη σχέση [.5] συμπεραίνουμε ότι το low-pa φίλτρο διατηρεί, για τις συχνότητες εκείνες, αμετάβλητη την κατανομή της διασποράς x της χρονοσειράς { }. 18 Αποδεικνύεται (βλ. Baxer και Kig 1995) ότι τα κατάλληλα βάρη για το (ιδανικό) low-pa φίλτρο είναι ίσα με a 0 = 0 /π και a = i( 0 )/π για = ±1, ±, [.8] a 17 Βλ. Weber, Prieley: 68 18 Για 0 ω έχουμε ότι π/τ π/ Τ 0 0 0.

1 Φίλτρο High-Pa Αν επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, 0 0, 0 a, τέτοια ώστε [.9] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «high-pa». Το φίλτρο high-pa αφήνει αμετάβλητες όλες τις μεταβλητές συχνοτήτων σε συχνότητες μεγαλύτερες της 0, ενώ όλες οι μεταβλητές σε χαμηλότερες συχνότητες αφαιρούνται. Φίλτρο Bad-Pa Αν, με βάση τη [.5], επιλέξουμε μια ακολουθία από = ( ) 1, ω 1 0, αλλιώς a, τέτοια ώστε [.30] τότε έχουμε ένα (ιδανικό) φίλτρο «bad-pa». Το φίλτρο bad-pa διατηρεί τις μεταβλητές συχνοτήτων στην περιοχή ( ω 1, ω ), ενώ όλες οι μεταβλητές των υπολοίπων συχνοτήτων αφαιρούνται. Με τον τρόπο αυτό απομονώνονται τα κυκλικά χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς σε μια συγκεκριμένη περιοχή συχνοτήτων ή περιόδων. Είναι εύκολο να δούμε ότι το φίλτρο bad-pa μπορεί να γραφεί ως διαφορά δυο low-pa, για τις συναρτήσεις απόκρισης των οποίων έχουμε ότι = ( ) 1, 0, (άνω φίλτρο) και = ( ) 1, 1 0, 1 (κάτω φίλτρο) Τότε, = ( ) ( ) ( ) [.31].6 Τα bad-pa φίλτρα Baxer-Kig και Chriiao-Fizgerlad Το φίλτρο Baxer-Kig Οι Baxer και Kig (1995) εξήγαγαν ένα bad-pa φίλτρο αφαιρώντας τις βραχυπρόθεσμες συνιστώσες (υψηλών συχνοτήτων) για τις περιόδους Τ= έως 18 μηνών και τις μακροπρόθεσμες συνιστώσες (χαμηλών συχνοτήτων) για τις περιόδους Τ=96 μηνών και άνω (συνιστώσες τάσης). Οι ενδιάμεσες συνιστώσες (για περιοδικότητες από 18 έως 96 μήνες) που παραμένουν, αποτελούν την περιοχή εμφάνισης των οικονομικών κύκλων (buie cycle). Η μέθοδος που ακολουθείται πάνω σε ένα δείγμα δεδομένων, χρησιμοποιεί το γραμμικό φίλτρο [.4]

με πεπερασμένο αριθμό από k lag και lead, ώστε να ορίζεται μια νέα (προσεγγιστική) συνάρτηση απόκρισης 19, η A ( ) k = k i be [.3] k Αντίστοιχα, έχουμε το φιλτράρισμα k Y = b [.33] k Για την ακριβή εύρεση των βαρών συνάρτησης 0 b της συνάρτησης [.3] ζητείται η ελαχιστοποίηση της Q = ( ) ( ) d k = k i i ae be d k [.34] Τα βέλτιστα βάρη όπου b για το φίλτρο bad-pa προκύπτουν, τότε, ίσα με a τα βάρη του (ιδανικού) άνω-φίλτρου low-pa, b = a a + θ θ [.35] a τα βάρη του (ιδανικού) κάτω-φίλτρου low-pa, όπως ορίζονται στη σχέση [.8], και θ μια σταθερά η οποία εξαρτάται από τον αριθμό των υστερήσεων k ώστε θ = 1 k k a k 1 και θ = 1 k k a k 1 [.36] Το φίλτρο συχνοτήτων Baxer-Kig συμβολίζεται ως BP k (p,q), όπου p είναι η μικρότερη και q η μεγαλύτερη περίοδος. Στα γραφήματα 5a και 5b έχουμε την εφαρμογή του bad-pa φίλτρου Baxer-Kig πάνω στη χρονοσειρά των αποδόσεων της αγοράς από το 197 έως το 010. 19 Η συνάρτηση αυτή προσεγγίζει την ιδανική συνάρτηση απόκρισης A( ) για k ±. Γενικά, για μεγαλύτερο k έχουμε και καλύτερη προσέγγιση της ιδανικής συνάρτησης απόκρισης που λαμβάνει τιμές ακριβώς ίσες με 0,1, ταυτόχρονα, όμως, πρέπει να αφαιρέσουμε περισσότερες τιμές από το δείγμα μας (τις k αρχικές και k τελευταίες τιμές). 0 Βλ. Ever 006. Το Α(ω) είναι η συνάρτηση απόκρισης που ορίζεται στη σχέση [.5].

3 Γράφημα 5 Το φίλτρο Baxer-Kig (5a) Fixed Legh Symmeric (Baxer-Kig) Filer lag/lead = 36 40 0 0 1. 0.8 (5b) Frequecy epoe Fucio 8 4 0-4 -0-40 0.6 0.4 0. 0.0-8 30 40 50 60 70 80 90 00 10-0..0.1..3.4.5 _1 No-cyclical Cycle Acual Ideal cycle/period Στο σχήμα 5a έχουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής του φίλτρου Baxer-Kig στις αποδόσεις της αγοράς και την εξαγωγή των συνιστωσών που ανήκουν στην περιοχή των οικονομικών κύκλων [ B 1, B ] = [18,96]. Στο σχήμα 5b έχουμε την απόκριση A ( ) για k=36, σε συνάρτηση με τη συχνότητα f (κύκλοι ανά περίοδο). Η ιδανική συνάρτηση απόκρισης σχηματίζεται για k=. k Το φίλτρο Chriiao-Fizgerald 1 Για τις = 1,,,T παρατηρήσεις, το φίλτρο Chriiao- Fizgerald προκύπτει με βάση την ελαχιστοποίηση της συνάρτησης Q = ( ) B T ( ) h( ) d [.37] όπου Α(ω) η συνάρτηση απόκρισης του ιδανικού φίλτρου bad-pa, Β(ω) η προσεγγιστική συνάρτηση απόκρισης, η οποία ορίζεται ως ( ) = 1 i be, = 1,,,T [.38] T και h(ω) η (μη-κανονικοποιημένη) φασματική πυκνότητα της δοθείσας χρονοσειράς { }. Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε ότι έχουμε Τ διαφορετικές συναρτήσεις απόκρισης και Τ δυνατά φίλτρα (εξισώνουμε f=t και p= 1) με Τ βάρη Y, T = b για το κάθε φίλτρο, p b [.39] f Τα φίλτρα αυτά είναι μη-συμμετρικά (διαφορετικός αριθμός lag και lead), με μοναδική εξαίρεση την περίπτωση όπου p=f (συμμετρικό φίλτρο Chriiao-Fizgerald), δηλαδή στην ημερομηνία εκείνη για την οποία =(T+1)/. 1 Βλ. Ever 006 και Chriiao και Fizgerald 003.

4 Η ελαχιστοποίηση της [.37] δίνει τα Τ βέλτιστα βάρη b, 1 1 a0 a, για 1 0 b = a, για,..., T 1 0 1 a0 a, για T 1 [.40] όπου τα βάρη του ιδανικού bad-pa φίλτρου, a i 1 {i( i ) i( 1i )}, για i 0 i ( 1 ) /, για i=0 [.41] με 1, όπως ορίζονται στη σχέση [.30]. Γράφημα 6 Το φίλτρο Chriiao-Fizgerald aymmeric 8 4 0-4 -8 Aymmeric (ime-varyig) Filer 30 40 50 60 70 80 90 00 10 40 0 0-0 -40 Στο γράφημα 6 έχουμε το αποτέλεσμα της εφαρμογής του φίλτρου Chriiao-Fizgerald aymmeric στις αποδόσεις της αγοράς και την εξαγωγή των συνιστωσών που ανήκουν στην περιοχή των οικονομικών κύκλων [ B 1, B ] = [18,96]. Το EView δημιουργεί έναν πίνακα ΤxΤ με Τ φίλτρα (ανά στήλη) και Τ βάρη για κάθε φίλτρο (ανά γραμμή). _1 No-cyclical Cycle Στη συνέχεια (Κεφάλαιο 3), και με τη χρήση των προαναφερθέντων φίλτρων, εξάγουμε τις βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συνιστώσες των αποδόσεων χαρτοφυλακίων book o marke, ize και momeum (όπως τα κατηγοριοποιούν οι Fama και Frech - 199, 1993), επιδιώκοντας τη βελτίωση των χαρακτηριστικών του στατικού μοντέλου CAPM.