. Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας χαρακτηριτικής τιµής του µ, δηλαδή H 0 : µ = µ 0 ενάντια ε µια εναλλακτική υπόθεη H τέτοια ώτε H : µ µ 0 ( ε έλεγχο διπλό) η H : µ > µ 0 (ε µονό έλεγχο) Με βάη την µ.τ. ενός τυχαίου δείγµατος πληθυµού αποφαίζεται ποια υπόθεη είναι η ωτή. Εδώ θα δούµε πως επεκτείνεται η ιδέα ε ένα ευρύ φάµα περιπτώεων. Έτω ότι ένα τυχαίο δείγµα πληθυµού έχει µ.τ. Χµ. Είναι Ε[ ] = µ και var( ) = Πρέπει να υποτεθεί ότι: () To δείγµα µέης τιµής έχει προεγγιτικά κανονική κατανοµή. Αυτό ικανοποιείται εάν : ο πληθυµός έχει κανονική κατανοµή ή το δείγµα είναι χετικά µεγάλο () Η τυπική απόκλιη είναι γνωτή: Η το δείγµα είναι αρκετά µεγάλο (>50) έτι ώτε είναι λογικό να εκτιµηθεί η τυπική απόκλιη από την τ.α. του δείγµατος s Οι δύο αυτές παραδοχές ικανοποιούνται αυτοµάτως για µεγάλα δείγµατα αλλά οι µέθοδοι αυτού του κεφαλαίου εφαρµόζονται και ε πολύ µικρά δείγµατα αν είναι γνωτή η και ο πληθυµός έχει περίπου κανονική κατανοµή. Η µ.τ. του δείγµατος έχει χεδόν κανονική κατανοµή, µε µ.τ. µ και τ.α. άρα µ µ η έχει (προεγγιτικά) τυπική κατανοµή. ηλ. ~Ν(0,) Για να ελεγχθεί H 0 : µ = µ 0 µ Θέτουµε Ζ = Εάν H 0 αληθής, τότε Ζ~Ν(0,) Σχηµατίζεται µια περιοχή απόρριψης αποτελούµενη από τιµές του Ζ που ανταποκρίνονται την αντίθετη υπόθεη H, τέτοια ώτε όταν H 0 αληθές ( Ζ~Ν(0,)) η πιθανότητα το Ζ να βρίκεται εντός αυτής της περιοχής είναι ίη µε το επίπεδο ηµαντικότητας του ελέγχου (υνήθως 5% ή όπως προδιοριτεί). µ Για το δοµένο δείγµα υπολογίζουµε την τιµή του τατιτικού Ζ = Εάν η τιµή βρίκεται την περιοχή απόρριψης τότε η H 0 δεν γίνεται δεκτή ε διαφορετική περίπτωη γίνεται. Υπάρχει πιθανότητα δύο ειδών λαθών την απόφαη αποδοχής:
a) απόρριψη της H 0 ενώ είναι αληθής, η πιθανότητα του λάθους αυτού είναι ίη µε το επίπεδο ηµαντικότητας. b) Αποδοχή της H 0 ενώ είναι ψευδής. Παράδειγµα Περιεχόµενο φιάλης κραιού ενός οινοποιείου έχει µ.τ. µ ml και τ.α. = ml. Σε επιθεώρηη του υπουργείου Εµπορίου ελέγχεται η υπόθεη H 0 : µ =700ml κόντρα την H : µ < 700, µετράται το µέο περιεχόµενο ml ενός τυχαίου δείγµατος 50 φιαλών µε επίπεδο ηµαντικότητας 5%. ) για ποια τιµή του γίνεται δεκτή η υπόθεη; ) αν µ = 696ml ποια η πιθανότητα να γίνει αποδεκτή; µ 700 ) έτω Ζ = = / 50 εάν H 0 αληθής τότε Ζ~Ν(0,) και η H ευνοείται από αρνητικές τιµές του Ζ αν Ζ>-.645 τότε γίνεται αποδεκτή η H 0 700 έτι είναι >-.645 > 700.645 / 50 > 697.ml 50 ) έτω ότι η έχει προεγγιτικά κανονική κατανοµή µε µ.τ. µ και τ.α.. Αν µ=696ml τότε η έχει µ.τ. 696 και τ.α. 50 έτι έχουµε Ρ(αποδοχή της H 0 ) = Ρ( >697.) 697. 696 = Ρ(Ζ > 50 = Ρ(Ζ >0.7) = -0.767 =0.383 προκύπτει ότι αν µ=696ml δηλαδή η ποτοποιεία δεν έχει ωτά γεµάτες τις φιάλες, υπάρχει µια πιθανότητα 3.83% να περάουν από τον έλεγχο του Υπουργείου. ιαφορές τις µέες τιµές Έτω δύο πληθυµοί µε µ.τ. µ, µ και τ.α., αντίτοιχα. Είναι δυνατό να ελεγχθεί αν οι πληθυµοί έχουν ίες ή όχι µ.τ. χωρίς να έχουµε γνώη του πραγµατικού µεγέθους των µ.τ. ιαµορφώνεται η υπόθεη H 0 : µ = µ µε εναλλακτική την H : µ µ ή (αν υπάρχουν ενδείξεις ότι ο δεύτερος πληθυµός είναι π.χ. µεγαλύτερος) H : µ < µ. Έτω λοιπόν ότι υπάρχουν δύο δείγµατα (ένα από κάθε πληθυµό) µε µ.τ., αντίτοιχα, τότε έχουµε: προεγγιτικά κανονική µε µ.τ. µ και τ.α. προεγγιτικά κανονική µε µ.τ. µ και τ.α. τότε
Ε[ - ] = Ε[ ]-Ε[ ] = µ - µ και λόγω της ανεξαρτηίας των, ιχύει var ( - ) = var ( ) + var( ) = + Άρα η ( - ) είναι προεγγιτικά κανονική µε µ.τ. (µ - µ ) και ( ) ( µ µ ) N(0,) + έτι προκύπτει + άρα Για να ελεγχθεί H 0 : µ = µ Θέτουµε Z = + Εάν H 0 αληθής, τότε Ζ~Ν(0,) Παράδειγµα Έτω δύο θέρετρα Α και Β, τα οποία θέλουµε να υγκρίνουµε τις µέες θερµοκραίες µεηµεριού. Για τυχαίο δείγµα 50 ηµερών το θέρετρο Α είχαµε µέη θερµοκραία 7. 0 C µε τυπική απόκλιη 3.9 0 C, ενώ το Β για άλλο τυχαίο δείγµα 80 ηµερών ήταν µέη θερµοκραία 8. 0 C και τυπική απόκλιη 5.6 0 C. Για ποιο επίπεδο ηµαντικότητας έχουµε ενδείξεις διαφοράς την µέη θερµοκραία της θερµοκραίας µεηµεριού; Έτω ότι για τα δύο θέρετρα είναι αντίτοιχα: Θέρετρο Α µέη θερµοκραία µ και τυπική απόκλιη Θέρετρο Β µέη θερµοκραία µ και τυπική απόκλιη Ελέγχουµε την H 0 : µ = µ ενάντια την H : µ µ για τυχαία δείγµατα, ηµερών αντίτοιχα έχουµε µέες θερµοκραίες, έτω λοιπόν Z = εάν η H 0 είναι αληθής τότε Ζ~Ν(0,) + είναι ύµφωνα µε τα δεδοµένα = 50, = 80, = 7., = 8. και λόγω του µεγέθους των δειγµάτων µπορεί να δεχτούµε 3.9 και 5.6 έτι προκύπτει Z = 7. 8. =.856 3.9 5.6 + 50 80 εάν η H 0 είναι αληθής (δηλ. Ζ< -.856) τότε Ρ(Ζ< -.856) = 0.038 και αφού πρόκειται για υµµετρικό έλεγχο η τιµή Ζ = -.856 είναι ηµαντική ε επίπεδο x 3.8% = 6.36%, επειδή η τιµή αυτή είναι µεγαλύτερη του 5% υνήθως δεν λογίζεται ως αρκετή απόδειξη της διαφοράς των µέων θερµοκραιών. Πρέπει να ηµειωθεί ότι η δειγµατοληψία είναι απαραίτητο να είναι ανεξάρτητη για κάθε πληθυµό. Αν είχαν επιλεχτεί 00 τυχαίες ηµέρες κοινές για τα δύο θέρετρα και
γινόταν µετρήεις των θερµοκραιών θα είχαµε µεν τυχαίο αλλά όχι ανεξάρτητο δείγµα µε =00 και υνέπεια η χέη var ( - ) = var ( ) + var( ) = + να µην ιχύει απαραίτητα και ο έλεγχος της αρχικής υπόθεης δεν είναι έγκυρος. Σε τέτοιες περιπτώεις δέον όπως χρηιµοποιείται έλεγχος ζεύγους (βλ. ελ. 33). Ακήεις. Έλεγχοι µέης τιµής πληθυµών. Σε χηµική βιοµηχανία παράγονται ρητίνες οι οποίες υκευάζονται ε δοχεία των οποίων τα βάρη έχουν κανονική κατανοµή µε τ.α. 0.5kg. Η µέη τιµή του βάρους δεν πρέπει να είναι λιγότερο από 7.5 kg. Σε τυχαίο δείγµα δοχείων αν βρεθεί το µέο βάρος τους <7.4 kg η παραγωγή ταµατά αυτόµατα.. έτω ότι λαµβάνουµε τυχαίο δείγµα 0 δοχείων, να βρεθεί το επίπεδο ηµαντικότητας του ελέγχου. Να δοθεί η έννοια της τιµής αυτής.. Ποιο το µέγεθος του δείγµατος για επίπεδο ηµαντικότητας 5%.. Οι ταχύτητες εξόδου των βληµάτων από την κάνη όπλου έχουν κανονική κατανοµή µε µέη ταχύτητα µ m/sec και τυπική απόκλιη 5 m/sec. Με µέτρηη της µέης ταχύτητας τυχαίου δείγµατος βληµάτων ελέγχεται η υπόθεη H 0 : µ =600 (ε επίπεδο ηµαντικότητας 5%) ενάντια την H : µ 600.. Για ποιες τιµές του είναι αποδεκτή η H 0 ε τυχαίο δείγµα 75 βληµάτων; Αν µ = 605 να δοθεί η µέη ταχύτητα και τυπική απόκλιη του και να βρεθεί η πιθανότητα αποδοχής της H 0.. Ποια η πιθανότητα αποδοχής της H 0 τυχαίο δείγµα 50 βληµάτων όταν µ= 605 ; Σχολιάτε την επιρροή του µεγέθους δείγµατος την πιθανότητα αποδοχής. 3. Σε δύο αποµονωµένα νηιά Α,Β έγινε µια οικολογική έρευνα κατά την οποία παγιδεύτηκαν και καταγράφηκαν χελιδόνια. Για την νήο Α βρέθηκε, ε δείγµα 60 πουλιών, µέο ύψος.8 cm µε τυπική απόκλιη.4 cm, αντίτοιχα για την νήο Β ε δείγµα 45 πουλιών ήταν µέο ύψος. cm και τυπική απόκλιη.6 cm. Υπάρχουν ενδείξεις ότι τα χελιδόνια τα δύο νηιά έχουν διαφορετικά ύψη; 4. Στην περιοχή της Έδεας ε οπωρώνα µε δαµακηνιές κάποια δέντρα ψεκάτηκαν µε ζιζανιοκτόνο. Για τυχαίο δείγµα 80 δέντρων που ψεκάτηκαν µετρήθηκε η απόδοη ε kg και ήταν x = 0, x = 975. Σε τυχαίο δείγµα µη ψεκαµένων δέντρων είχαµε αντίτοιχα y = 0, y = 975. Μπορεί να αποδειχτεί αύξηη της απόδοης λόγω της χρήης ζιζανιοκτόνου; 5. εχόµατε ότι η µέη ηλικία κατά την οποία ένα παιδί αρχίζει να µιλά έχει κανονική κατανοµή µε τυπική απόκλιη.8 µήνες. Τυχαία δείγµατα παιδιών από δύο διαφορετικές περιοχές είχαν τις παρακάτω ηλικίες(ε µήνες) έναρξης οµιλίας: Περιοχή : 4.5,3.9,5.,4.0,3.3,9.8,.9,6.6 Περιοχή : 4.0,0.0,0.5,4.6,.4
Υπάρχει ηµαντική διαφορά µεταξύ των δύο περιοχών όον αφορά την ηλικία που τα παιδιά αρχίζουν να µιλούν; 6. Επιλέγονται ανεξάρτητα δείγµατα µεγέθους, πληθυµών µε µέες τιµές µ, µ και τυπική απόκλιη,. Αν δίνονται οι µέες τιµές των δειγµάτων, να δοθεί η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη του ( - ). Υποθέτωντας (προεγγιτικά) κανονική κατανοµή του ( - ) να δείξετε ότι ( ) ±. 96 + είναι τα επίπεδα ηµαντικότητας 95% του (µ - µ ). Μια χηµική αντίδραη επαναλήφθηκε 50 φορές χωρίς την παρουία καταλύτη, και κατόπιν άλλες 00 φορές µε την παρουία καταλύτη. Ο χρόνος αντίδραης χωρίς καταλύτη είχε µέη τιµή 348 sec µε τυπική απόκλιη 6 sec, ενώ µε την παρουία καταλύτη είχαµε µέη τιµή 6 sec µε τυπική απόκλιη sec. Να βρεθούν τα όρια εµπιτούνης 95% της µείωης του χρόνου αντίδραης λόγω της παρουίας του καταλύτη. 7. Θεωρούµε ότι τα δέντρα την νότια πλαγιά ενός λόφου γίνονται ψηλότερα από ότι αυτά που βρίκονται την βόρεια πλαγιά. Τυχαίο δείγµα 60 δέντρων της νότιας πλαγιάς είχε µέο ύψος 8.3 m µε τυπική απόκλιη 4.6 m, ενώ τυχαίο δείγµα από την βόρεια πλαγιά είχε µέο ύψος 6.7 m µε τυπική απόκλιη 3.5 m. Να δειχτεί αν ιχύει η παραδοχή που αρχικά κάναµε και να δοθεί το όριο εµπιτούνης 99% για την διαφορά µεταξύ των µέων υψών. 8. Έτω τυχαίο δείγµα µεγέθους πληθυµού που ακολουθεί την κατανοµή Posso µ µε µέη τιµή µ. Εάν η µέη τιµή δείγµατος είναι εξηγήτε γιατί η µ έχει προεγγιτικά την τυπική κανονική κατανοµή. Για µια µακρά περίοδο ο καθηµερινός αριθµός των πελατών ενός κατατήµατος είχε κατανοµή Posso µε µέη τιµή 75. Στις 0 ηµέρες που ακολούθηαν µια διαφηµιτική καµπάνια του κατατήµατος εξυπηρετήθηκαν υνολικά 565 πελάτες. Υπάρχουν αποδείξεις ότι η διαφηµιτική εκτρατεία αύξηε τον µέο καθηµερινό αριθµό των πελατών; 9. Ο εβδοµαδιαίος αριθµός των ατυχηµάτων ε οριµένο µήκος οδού είχε κατανοµή Posso µε µέη τιµή 5.8. Έγιναν αλλαγές την χάραξη κάποιων διαταυρώεων και ε µια περίοδο 5 εβδοµάδων µετά τις αλλαγές αυτές ο εβδοµαδιαίος αριθµός των ατυχηµάτων ήταν 6.6. Υπάρχει ένδειξη αλλαγής του ρυθµού των ατυχηµάτων (χρηιµοποιήτε επίπεδο ηµαντικότητας %).. Έλεγχοι αναλογιών(τµηµάτων). Αν θεωρηθεί πληθυµός του οποίου ένα ποοτό θ έχει κάποιο χαρακτηριτικό (π.χ. ε ανθρώπινο πληθυµό θ το ποοτό των αριτερόχειρων, ε πληθυµό βιοµηχανικών προϊόντων θ το ποοτό των ελαττωµατικών). Θέλοντας να ελέγξουµε αν το θ παίρνει µια υγκεκριµένη τιµή ελέγχουµε την υπόθεη Η 0 : θ = θ 0
ενάντια την Η 0 : θ θ 0. Έτω ότι ε τυχαίο δείγµα µεγέθους, Χ κατέχουν κάποια χαρακτηριτικά. Τότε το Χ ακολουθεί διωνυµική κατανοµή Β(,θ). Είναι λοιπόν Ε[Χ] = θ και var() = θ(-θ). Έτω ότι οι υνθήκες είναι τέτοιες ώτε η διωνυµική κατανοµή Β(,θ) µπορεί να προεγγιτεί από µια κανονική κατανοµή. Τότε η Χ είναι κατά προέγγιη κανονική, θ µε µέη τιµή θ και τυπική απόκλιη θ ( θ ) ώτε Ν(0,) θ θ ( ) Για να ελεγχθεί H 0 : θ = θ 0 θ Θέτουµε Z = θ ( θ ) Εάν H 0 αληθής, τότε Ζ~Ν(0,) Παράδειγµα Γνωρίζουµε ότι % του πληθυµού παρακολούθηε το πρώτο επειόδιο µιας νέας τηλεοπτικής ειράς. Την επόµενη εβδοµάδα ε τυχαίο δείγµα πληθυµού 500 ανθρώπων βρέθηκε ότι 75 από αυτούς παρακολούθηαν το δεύτερο επειόδιο. Υπάρχει διαφορά τα ποοτά τηλεθέαης µεταξύ των δύο επειοδίων(εβδοµάδων); Έτω θ το ποοτό των ανθρώπων που παρακολούθηαν το δεύτερο επειόδιο η υπόθεη µας είναι αν το ποοτό θ είναι το ίδιο µε αυτό του πρώτου επειοδίου. Ελέγχουµε H 0 : θ = 0. ενάντια την H 0 : θ 0. Για τυχαίο δείγµα ανθρώπων, από τους οποίους παρακολούθηαν το δεύτερο 0. επειόδιο έχουµε Z = 0. 0.88 Εάν H 0 αληθής, τότε Ζ~Ν(0,), µε τα δεδοµένα του προβλήµατος είναι =500,=75 75 500 0. έτι προκύπτει Z = =. 064 500 0. 0.88 Και η Η 0 απορρίπτεται, δηλ. όντως υπάρχει διαφορά ανάµεα τις τηλεθεάεις. ιόρθωη υνέχειας Χρηιµοποιώντας την Κανονική προέγγιη της ιωνυµικής κατανοµής Β(,θ) είναι απαραίτητη µια διόρθωη υνέχειας, όµως λόγω της µικρής επίδραης την τιµή της Ζ αυτή αγνοείται. Κατά τον υπολογιµό του επιπέδου ηµαντικότητας η χρήη διόρθωης δίνει ακριβέτερες τιµές. Π.χ. ας υπολογίουµε το επίπεδο ηµαντικότητας για Χ = 75 το προηγούµενο παράδειγµα. Εάν H 0 αληθής, τότε Χ~ Β(500,0.) και 74.5 500 0. Ρ(Χ 75) = Ρ(Χ>74.5 την κανονική) = Ρ( Ζ > ) 500 0. 0.88 = Ρ(Ζ >.995) = - 0.9770 = 0.030
αφού ο έλεγχος είναι υµµετρικός το αποτέλεµα Χ = 75 είναι ηµαντικό ε επίπεδο.3 % = 4.6 %. ιαφορές τις αναλογίες (τµήµατα) Έτω δύο πληθυµοί, τον πρώτο υπάρχει ένα ποοτό θ µε κάποιο χαρακτηριτικό και τον δεύτερο ένα ποοτό θ µε κάποιο χαρακτηριτικό, για τα οποία θέλουµε αν ελέγξουµε κατά πόο τα δύο ποοτά θ και θ είναι όµοια δηλαδή ελέγχουµε την υπόθεη H 0 : θ = θ. Υποθέτουµε δύο ανεξάρτητα δείγµατα, ένα από κάθε πληθυµό. Στο τυχαίο δείγµα µεγέθους του πρώτου πληθυµού Χ κατέχει κάποιο χαρακτηριτικό, αντίτοιχα το τυχαίο δείγµα µεγέθους του δεύτερου πληθυµού Χ κατέχει το ίδιο χαρακτηριτικό. Τότε Χ ~ Β(,θ ) και η Χ είναι κατά προέγγιη κανονική µε µέη τιµή θ και διαπορά θ (-θ ) προκύπτει ότι το ποοτό του δείγµατος είναι προεγγιτικά κανονικό, Με µέη τιµή θ θ = και διαπορά ( ) ( ) θ θ θ θ = αντίτοιχα η είναι προεγγιτικά κανονική µε Με µέη τιµή θ και διαπορά ( ) ( ) θ θ θ θ = Τότε η έχει µέη τιµή θ = θ = E E E Και αφού τα δείγµατα είναι ανεξάρτητα ( ) ( ) var var var θ θ θ θ + = + = έτι προκύπτει ( ) ( ) ( ) (0,) N + θ θ θ θ θ θ όταν θ = θ τότε (θ - θ ) = 0. Χρηιµοποιούµε το p + + = δηλαδή το υνδυαµένο ποοτό των δύο δειγµάτων για να εκτιµήουµε τις τιµές των θ, θ.
Για να ελεγχθεί H 0 : θ = θ Θέτουµε Z = όπου p( p) p( p) + Εάν H 0 αληθής, τότε Ζ~Ν(0,) p = + + Παράδειγµα Μια εταιρεία παράγει χάλυβες προένταης ε δύο ποιότητες κανονική και ειδική. Κάποια τεχνική εταιρεία αγόραε 0 ράβδους κανονικές και 80 ειδικές οι οποίες χρηιµοποιήθηκαν το ίδιο έργο (χωρίς να ληφθεί υπ όψη πιθανή διαφορά). Τρία χρόνια αργότερα 33 κανονικές ράβδοι και 3 ειδικές παρουίααν χαλάρωη (µορφή ατοχίας). Προκύπτουν ικανοποιητικές αποδείξεις (για επίπεδο ηµαντικότητας %) για το ότι οι ειδικές ράβδοι είναι καλύτερες από τις κανονικές ; Υποθέτουµε ότι η πιθανότητα χαλάρωης κατά τα πρώτα 3 χρόνια είναι θ για τις κανονικές ράβδους και θ για τις ειδικές. Αναµένεται οι ειδικές ράβδοι να έχουν χαµηλότερη πιθανότητα χαλάρωης γι αυτό δεν απαιτείται υµµετρικός έλεγχος, έτι ελέγχουµε H 0 : θ = θ ενάντια την H 0 : θ > θ. Εάν χαλαρώουν Χ κανονικές ράβδοι και Χ ειδικές είναι + Z = όπου p = και εάν H 0 αληθής, τότε Ζ~Ν(0,) p( p) p( p) + + η Η ευνοείται από θετικές τιµές του Ζ και µε τα δεδοµένα που έχουµε = 0, =80 33 + 3 = 33, = 3 άρα p = = 0. 3 0 + 80 33 3 Έτι προκύπτει Z = 0 80 =.85 0.3( 0.3) 0.3( 0.3) + 0 80 Άρα η H 0 αληθής, δηλ. δεν υπάρχουν ικανοποιητικές αποδείξεις ότι η ειδική ποιότητα είναι καλύτερη της κανονικής (για επίπεδο ηµαντικότητας %). Ακήεις. Έλεγχοι αναλογιών. Ρίχνουµε κέρµα 00 φορές και φέρνουµε φορές κορώνα. Υπάρχει απόδειξη ότι το κέρµα είναι πειραγµένο ;. Ρίχνουµε ζάρι 0 φορές και το 6 εµφανίζεται 30 φορές. Για ποιο επίπεδο ηµαντικότητας έχουµε ένδειξη αλλοίωης; Βρείτε κατά προέγγιη το όριο εµπιτούνης 95% της πιθανότητας εµφάνιης του 6 το υγκεκριµένο ζάρι. 3. Οι οργανωτές πουδών δια αλληλογραφίας υποτηρίζουν ότι 80% των µαθητών ολοκληρώνουν µε επιτυχία τις πουδές τους. Κάποιος που πιτεύει ότι το ποοτό αυτό είναι µικρότερο επικοινώνηε µε τυχαίο δείγµα 7 µαθητών και
προέκυψε ότι 50 από αυτούς ολοκλήρωαν µε επιτυχία τις πουδές. Ποιο υµπέραµα προκύπτει όον αφορά τους ιχυριµούς των οργανωτών? 4. Από έρευνες είναι γνωτό ότι το ύνολο του πληθυµού 4% φορούν γυαλιά. Σε τυχαίο δείγµα 50 φοιτητών του Πανεπιτηµίου βρέθηκαν 7 διοπτροφόροι, κατά πόο δείχνει αυτό ότι το ποοτό των φοιτητών που φορούν γυαλιά είναι διαφορετικό από αυτό του υνολικού πληθυµού? 5. Κατά την διάρκεια του Αυγούτου ε δηµοκόπηη δείγµατος 000 ατόµων, 376 απάντηαν ότι θα ψήφιζαν την παρούα κυβέρνηη, τον Σεπτέµβριο ε δείγµα 500 ατόµων 5 απάντηαν ότι θα ψήφιζαν την κυβέρνηη. Προκύπτει ηµαντική αλλαγή το ποοτό υποτήριξης της κυβέρνηης? 6. Φαρµακευτική εταιρεία εφεύρε προϊόν που ελπίζει να µεγαλώει τις πιθανότητες ανάρρωης προβάτων που πάχουν από κάποια αθένεια. Στις δοκιµές που έγιναν ένα δείγµα 0 άρρωτων ζώων χωρίτηκε τυχαία ε δύο οµάδες των 60. Η µία οµάδα πήρε το νέο φάρµακο και 48 πρόβατα ανάρρωαν, η άλλη οµάδα πήρε το παλαιό φάρµακο και 37 πρόβατα έγιναν καλά. Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις, για επίπεδο ηµαντικότητας %, ότι το νέο φάρµακο αυξάνει τις πιθανότητες ανάρρωης? 7. Εταιρεία που κατακευάζει πυροτεχνήµατα υποτηρίζει ότι κάτω από 0% των προϊόντων της είναι ελαττωµατικά. Κάποιος πελάτης αγόραε 0 πυροτεχνήµατα και 5 από αυτά ήταν ελαττωµατικά. Να εξηγηθεί γιατί δεν µπορούµε να χρηιµοποιήουµε την Κανονική προέγγιη της ιωνυµικής κατανοµής την περίπτωη αυτή. Αν υποτεθεί ότι 0% των προϊόντων είναι ελαττωµατικά να υπολογιτεί η πιθανότητα ότι ε τυχαίο δείγµα 0 πυροτεχνηµάτνω 5 είναι ελαττωµατικά. Γίνεται δεκτή η υπόθεη ότι τα ελαττωµατικά προϊόντα είναι πραγµατικά 0%?. 8. Στη υκευαία χυµού φρούτων αναγράφεται ότι ο όγκος της είναι λίτρα e (όπου e δηλώνει ότι χρηιµοποιείται η µέη τιµή) πρέπει να ικανοποιούνται οι παρακάτω υνθήκες: A) Το µέο περιεχόµενο της υκευαίας δεν πρέπει να είναι µικρότερο από lt B) Λιγότερο από τις 40 υκευαίες µπορεί να περιέχει <970 ml C) Καµία υκευαία δεν επιτρέπεται να περιέχει λιγότερο από 940 ml. Μετρήθηκαν τα περιεχόµενα τυχαίου δείγµατος 500 υκευαιών και το αποτέλεµα δίνεται οµαδοποιηµένο τον παρακάτω πίνακα Περιεχόµενο ε ml Αριθµός υκευαιών Περιεχόµενο ε ml Αριθµός υκευαιών 940-960 960-970 970-980 980-990 990-000 5 56 83 6 000-00 00-00 00-030 030-040 040-060 88 35 30 3 6 Ελέγξετε µε τη χρήη του επιπέδου ηµαντικότητας 5% εάν: ) Ικανοποιείται η υνθήκη Α ) Ικανοποιείται η υνθήκη Β.
.3 Ο έλεγχος της προαρµογής χ Κατανοµές χ Εάν οι Ζ, Ζ,., Ζ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν τυπική Κανονική κατανοµή τότε η ανεξάρτητη µεταβλητή Y = Z + Z + + Z έχει την x κατανοµή (κατανοµή χι τετράγωνο µε βαθµούς ελευθερίας) και είναι µια υνεχής τυχαία µεταβλητή που παίρνει µη-αρνητικές τιµές µε υνάρτηη την f ( x)= Cx e x αν χ 0 f ( x)= 0 αν χ 0 0 ( ) όπου C ταθερά επιλεγµένη ώτε f x dx =. Για κάθε θετικό ακέραιο υπάρχει διαφορετική χ κατανοµή, x. Για παράδειγµα, αν =8 (χ. 4.5) η υνάρτηη της κατανοµής είναι x 3 x f ( x)= Cx e Και αν = 5 (χ. 4.6) η υνάρτηη της κατανοµής είναι x.5 f ( x)= 6 Cx e x Σηµειώτε ότι οι χ κατανοµές έχουν θετική λοξότητα. Η υνάρτηη είναι δύκολο να ολοκληρωθεί (εκτός αν το είναι µικρό και περιττό). Πίνακες χ (βλ. ελ.398) δίνουν την τιµή χ που ξεπερνάται µε πιθανότητα p% από µια ανεξάρτητη µεταβλητή που έχει την κατανοµή (χ.4.7). x αν Υ ~ x τότε Ρ(Υ p >χ) = 00 Για παράδειγµα αν = 3 και p = 5 (χ. 4.8) οι πίνακες δίνουν χ = 7.85. Αν Υ ~ τότε Ρ(Υ >7.85) = 0.05 x 3 Όταν = 7 και p = 90 από τους πίνακες προκύπτει χ =.833. Αν Υ ~ τότε Ρ(Υ >.833) = 0.90. x 3
Καταλληλότητα της προαρµογής Σε αρκετές περιπτώεις υπολογίτηκαν αναµενόµενες υχνότητες από µια θεωρητική κατανοµή οι οποίες υγκρίθηκαν µε τις πραγµατικά παρατηρούµενες. Εδώ θα δούµε κατά πόο υµφωνούν οι παρατηρούµενες µε τις αναµενόµενες υχνότητες. Έτω ανεξάρτητες δοκιµές µε k πιθανά αποτελέµατα κάθε δοκιµής (π.χ. αν ρίξουµε ζάρι υπάρχουν 6 πιθανά αποτελέµατα,,3,4,5,6, αν επιλέξουµε τυχαία ένα όχηµα ανήκει ε µια από 8 κατηγορίες µοτοικλέτα, αυτοκίνητο, ηµιφορτηγό, λεωφορείο, φορτηγό, νταλίκα, αγροτικό, άλλο ειδικό όχηµα. Μια τυχαία επιλεγµένη οικογένεια κατατάεται ύµφωνα µε τον αριθµό των παιδιών: χωρίς παιδιά, ένα παιδί, δύο παιδιά, περιότερα από δύο παιδιά κ.ο.κ.). Τα πιθανά αποτελέµατα καλούνται κλάεις ή κελιά και έτω ότι τα k πιθανά αποτελέµατα έχουν πιθανότητες P, P,, P κ ώτε p + p + + pk = Τότε για δοκιµές οι αναµενόµενες υχνότητες είναι p, p,.., p k αν θέουµε για τις δοκιµές Χ πόες φορές προκύπτει το πρώτο αποτέλεµα Χ πόες φορές προκύπτει το δεύτερο αποτέλεµα και υνεχίουµε όµοια έως το k αποτέλεµα τότε οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Χ,., Χ k εκφράζουν τις παρατηρούµενες υχνότητες και ιχύει + + + k = ορίαµε ότι Χ είναι το πόες φορές προκύπτει το πρώτο αποτέλεµα ε ανεξάρτητες δοκιµές έτι έχουµε Χ ~Β(,p ). Αν τώρα το p δεν είναι πολύ µικρό p τότε η Χ είναι κατά προέγγιη κανονική και ~Ν(0,) όµοια αν p p ( ) υποθέουµε για τις υπόλοιπες µεταβλητές Χ ι ιχύει τελικά για το άθροιµα των τετραγώνων k τυπικών κανονικών µεταβλητών ( p ) ( p ) ( k pk ) + + + p p p p p p ( ) ( ) k ( ) ότι αναµένουµε να έχει την x k κατανοµή. Επειδή οι Χ, Χ,., Χ k δεν είναι ανεξάρτητες (αφού + + + k = ) το επιχείρηµα αυτό δεν ιχύει. Χρειαζόµατε δύο τροποποιήεις για την ωτή θεωρητική αντιµετώπιη, οι παράγοντες (-p ), (-p ),, (-p k ), απαλείφονται από τους παρονοµατές και η κατανοµή γίνεται αντί της δηλαδή η x k x k ( p ) ( p ) ( p ) k p + p + + έχει κατά προέγγιη την xk κατανοµή. Έτι οι Χ, Χ,., Χ k είναι οι παρατηρούµενες υχνότητες(ο) και p, p,.., p k είναι οι αναµενόµενες (Ε) και ( ) µπορεί να γραφεί O E ~ x k E πρέπει να παρατηρήουµε ότι οι Χ, Χ,., Χ k είναι ακέραιοι αριθµοί p k k k
ώτε η k = υνεχή κατανοµή ( p ) p x k έχει διακριτή κατανοµή την οποία προεγγίζουµε µε την θα έπρεπε να γίνει µια διόρθωη υνέχειας αλλά την αγνοούµε λόγω της πολυπλοκότητάς της. Έτι θα ελέγξουµε την υπόθεη H 0 ότι οι πιθανότητες P, P,, P κ έχουν υγκεκριµένες τιµές ενάντια την υπόθεη H (οι πιθανότητες έχουν κάποιες άλλες τιµές) ύµφωνα µε τον παρακάτω τρόπο. Υποθέτουµε ότι ιχύει η H 0 και υπολογίζουµε τις αναµενόµενες υχνότητες(ε) ( O E) κατόπιν θέτουµε Y =, το τατιτικό ελέγχου Υ δίνει ένα µέτρο της E διαφοράς µεταξύ των παρατηρούµενων και αναµενόµενων υχνοτήτων. Αν η H είναι αληθής οι Ο και Ε διαφέρουν ηµαντικά, κατά υνέπεια η ποότητα (Ο-Ε) γίνεται µεγάλη, δηλαδή η H ευνοείται από µεγάλες τιµές του Υ και η H 0 θα απορρίπτεται όταν το Υ λαµβάνει µεγάλες τιµές. Εάν η H 0 είναι αληθής τότε Υ ~ x k και µε τη χρήη πινάκων χ επιλέγουµε την περιοχή απόρριψης για το επιθυµητό επίπεδο ηµαντικότητας (υνήθως 5%). Παράδειγµα Βιοµηχανία υποδηµάτων κατακευάζει παιδικά παπούτια ε πέντε µεγέθη Α,B,C,D,E τις παρακάτω αναλογίες: A: % B: 8% C: 30% D: 40% E: 0% Σε τυχαίο δείγµα 500 παιδιών βρέθηκαν για κάθε κατηγορία µεγέθους: A: B: 46 C: 7 D: 78 E: 93 Προκύπτει από το δείγµα αυτό ότι τα µεγέθη παπουτιών των παιδιών είναι διαφορετικά από αυτά που υπέθεε ο κατακευατής? Στο υγκεκριµένο παράδειγµα ορίζουµε ως δοκιµή την επιλογή ενός παιδιού και την κατάταξή του ε µία από τις πέντε κλάεις µεγεθών (αυτό επαναλαµβάνεται για ολόκληρο το δείγµα των 500 παιδιών). Ελέγχονται οι υποθέεις: H 0 τα ποοτά είναι όντως A: % B: 8% C: 30% D: 40% E: 0% H τα παρατηρούµενα ποοτά είναι διαφορετικά από τα αναµενόµενα. Έτω λοιπόν ότι H 0 αληθής έχουµε: Κλάη µεγέθους A B C D E Πιθανότητα 0.0 0.08 0.3 0.4 0. Αναµενόµενη υχνότητα (Ε) 0 40 50 00 00 Παρατηρούµενη υχνότητα (Ο) 46 7 78 93 ( O E) E 0.4 0.9.94.4 0.49
( O E) Θέτουµε Y = και αφού E υπάρχουν 5 κλάεις, αν η H 0 αληθής τότε Υ ~. Είναι όµως x 4 Y = 0.40 + 0.90 +.94 +.4 + 0.49 = 7.5 άρα η H0 γίνεται αποδεκτή. Το δείγµα δεν µας δίνει ικανοποιητικές αποδείξεις (το επίπεδο ηµαντικότητας 5%) για να υποτηρίξουµε διαφορές µεταξύ των ποοτών που παρατηρήθηκαν και αυτών που υπέθεε ο κατακευατής. Όταν θέλουµε να ελέγξουµε την υπόθεη H 0 η οποία όµως δεν έχει αρκετές πληροφορίες ώτε να υπολογιτούν οι πιθανότητες P, P,, P κ είναι απαραίτητο να χρηιµοποιηθούν οι παρατηρούµενες υχνότητες Χ, Χ,., Χ k για εκτιµηθούν παράµετροι του πληθυµού (π.χ. η µέη τιµή) προτού µπορέουµε να εκτιµήουµε τις πιθανότητες και κατά υνέπεια τις αναµενόµενες υχνότητες. Για παράδειγµα αν προαρµόζουµε µια κατανοµή Posso ε κάποια δεδοµένα, πρώτα βρίκουµε την µέη τιµή του δείγµατος, κατόπιν υπολογίζουµε την πιθανότητα η κατανοµή Posso να έχει αυτή τη µέη τιµή. k ( p ) Στην οι πιθανότητες p I εξαρτώνται από τις Χ, Χ,., Χ k άρα είναι και = p αυτές ανεξάρτητες µεταβλητές, µια ωτή θεωρητική αντιµετώπιη γίνεται λοιπόν εξαιρετικά πολύπλοκη. k ( p ) Σηµειωτέον ότι η έχει (προεγγιτικά) την χ κατανοµή, αλλά για = p κάθε φορά που χρηιµοποιούνται τα δεδοµένα για την εκτίµηη µιας παραµέτρου πρέπει να αφαιρείται ένας βαθµός ελευθερίας. Ο έλεγχος προαρµογής χ εφαρµόζεται ε ένα ευρύ φάµα περιπτώεων εάν τηρούνται οι παρακάτω όροι: () Είναι δυνατή η αναγνώριη ανεξάρτητων δοκιµών οι οποίες µπορεί να καταταγούν ε k πιθανές κλάεις. () Οι κλάεις πρέπει να ανταποκρίνονται ε όλα τα ενδεχόµενα (ακόµη κι αν δεν υπάρχουν δεδοµένα για κάποιες). () Καµία από τις αναµενόµενες υχνότητες δεν πρέπει να είναι µικρότερη από 5 (αν είναι απαραίτητο υνδυάζουµε περιότερες κλάεις ε µία). Για να ελεγχθεί υ υπόθεη H 0 υπολογίζουµε τις αναµενόµενες υχνότητες, θεωρώντας ότι η H 0 είναι αληθής και θέτουµε ( ) = O E Y E Αν χρηιµοποιήθηκαν k κλάεις για τον υπολογιµό της Υ και από τη χρήη των δεδοµένων προέκυψαν m παράµετροι πληθυµού τότε Όταν η H 0 είναι αληθής Υ ~ x k m Σηµειώνεται ότι οι παρατηρούµενες υχνότητες (Ο) είναι πραγµατικές υχνότητες εµφάνιης και πρέπει κατά υνέπεια να είναι ακέραιοι αριθµοί, αντίθετα οι αναµενόµενες υχνότητες (Ε) δεν είναι απαραίτητο να είναι ακέραιοι. Παράδειγµα 3 Να ελεγχθεί (το επίπεδο ηµαντικότητας %) η προαρµογή µιας κατανοµής Posso τα παρακάτω δεδοµένα
Αριθµός Η/Υ που πωλήθηκαν ε µια ηµέρα 0 3 4 5 6 7 8 9 Αριθµός ηµερών 3 4 35 33 5 8 5 6 0 3 Στο παράδειγµα αυτό µια δοκιµή είναι να εξετατεί µια ηµέρα η οποία κατόπιν θα καταταγεί ε µια κλάη ανάλογα µε τον αριθµό των υπολογιτών που πωλήθηκαν, η διαδικαία θα επαναληφθεί 00 φορές (όες ο αριθµός των ηµερών). Γίνεται ο έλεγχος των υποθέεων H 0 είναι κατανοµή Posso Ενάντια τον έλεγχο H δεν είναι κατανοµή Posso. Η υπόθεη H 0 είναι κατανοµή Posso είναι αρκετή για τον υπολογιµό των πιθανοτήτων αφού είναι απαραίτητη η γνώη της µέης τιµής. 560 Υπολογίζουµε την µέη τιµή του δείγµατος = xf x = =. 8 καθώς και τις f 00 πιθανότητες, και τις αναµενόµενες υχνότητες της κατανοµής Posso (.8). Είναι απαραίτητη η ειαγωγή µιας κλάης περιότερες από 9 πωλήεις ώτε να καλύπτονται τα ενδεχόµενα να είναι υλλεκτικά εξαντληµένα. Αριθµός πωλήεων 0 3 4 5 Πιθανότητα από Posso (.8) 0.0608 0.703 0.384 0.5 0.557 0.087 Αναµενόµενη υχνότητα. 34. 47.7 44.5 3. Αριθµός πωλήεων 6 7 8 9 >9 Πιθανότητα από Posso (.8) 0.0407 0.063 0.0057 0.008 0.0006 7.4 Αναµενόµενη υχνότητα 8. 3.3. 0.4 0. Λόγω του ότι οι τέερις τελευταίες κλάεις έχουν αναµενόµενες υχνότητες της οµαδοποιούµε ε µία κλάη περιότερες από 7 πωλήεις Αριθµός πωλήεων 0 3 4 5 6 7 Αναµενόµενη υχνότητα (Ε) Παρατηρούµενη υχνότητα (Ο) ( O E) E ( O E). 3 34. 4 47.7 35 44.5 33 3. 5 7.4 8 8. 5 4.9 9.56.83 3.38.97.0 0.0 5.88 3.43 Θέτουµε Y = E Επειδή υπάρχουν 8 κλάεις και τα δεδοµένα χρηιµοποιήθηκαν για την εκτίµηη της µέης τιµής ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας είναι 8--=6 Εάν η H 0 είναι αληθής τότε Υ ~ Είναι Υ = 9.56+.83+ +3.43=8.7 Άρα η H 0 απορρίπτεται, υπάρχουν πολύ ιχυρά πειτήρια ότι οι καθηµερινές πωλήεις υπολογιτών δεν ακολουθούν κατανοµή Posso. x 6 9
Παράδειγµα 3 Να εξετατεί αν το παρακάτω δείγµα µπορεί ύµφωνα µε την λογική να προέκυψε από µια κανονική κατανοµή. Ηλιοφάνεια µηνός Ιουνίου (ακέραιες τιµές) 4-50 5-60 6-70 7-80 8-90 Αριθµός ετών 3 6 Ηλιοφάνεια µηνός Ιουνίου (ακέραιες τιµές) 9-00 0-0 -0-30 Αριθµός ετών 0 5 Στο παράδειγµα αυτό µια δοκιµή είναι να εξετατεί ένα έτος το οποίο κατόπιν θα καταταγεί ε µια κλάη ανάλογα µε τον αριθµό των ωρών ηλιοφάνειας, η διαδικαία θα επαναληφθεί 80 φορές (όες ο αριθµός των ετών). Γίνεται ο έλεγχος των υποθέεων H 0 είναι κανονική κατανοµή Ενάντια τον έλεγχο H δεν είναι κανονική κατανοµή. (Τα υγκεκριµένα δεδοµένα εξετάτηκαν και την παράγραφο 3.5 βλ. ελ. 90). Βρήκαµε την µέη τιµή x = 80. 75 και τυπική απόκλιη s = 4. 403 του δείγµατος και υπολογίτηκαν οι αναµενόµενες υχνότητες για µια κανονική κατανοµή µε αυτά τα δεδοµένα, οι υπολογιµοί δίνονται τον πίνακα. Ώρες ηλιοφάνειας <50.5 50.5-60.5 60.5-70.5 70.5-80.5 80.5-90.5 90.5-00.5 00.5-0.5 0.5-0.5 >0.5 Αναµενόµενη υχνότητα.4 5.0 443 6.4.7 0.4 0.6 3. 5.3.3 0. 4443 4 6.8 Παρατηρούµενη υχνότητα ( O E) E Θέτουµε Y = ( O E) E 5 6 0 7 0.3 0.3.54 0.0 0.73 0.0 ( O E) Επειδή υπάρχουν 6 κλάεις για τον υπολογιµό του και τα δεδοµένα E χρηιµοποιήθηκαν για την εκτίµηη της µέης τιµής καθώς και της τυπικής απόκλιης ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας είναι 6--=3 Εάν η H 0 είναι αληθής τότε Υ ~ Είναι Υ = 0.3+0.3+ +0.0=.8 Άρα η H 0 γίνεται αποδεκτή, η κανονική κατανοµή προαρµόζεται ικανοποιητικά τα δεδοµένα. x 3
Πίνακες υχέτιης Ας θεωρήουµε πληθυµό που µπορεί να καταταχθεί µε δύο διαφορετικούς τρόπους (π.χ. ένας άνθρωπος µπορεί να καταταγεί ύµφωνα µε το χρώµα των µατιών : γαλάζιο ή κατανό αλλά και ύµφωνα µε το χρώµα των µαλλιών: κατανό, ξανθό, κόκκινο). Καλούµατε να απαντήουµε αν οι δύο κατατάξεις χετίζονται κατά κάποιο τρόπο µεταξύ τους (π.χ. οι γαλανοµάτηδες είναι και ξανθοί?), ή είναι οι κατατάξεις ανεξάρτητες µεταξύ τους? Σε τέτοιε περιπτώεις η αρχική υπόθεη είναι τέτοια ώτε δηλώνει την µηχετικότητα µεταξύ των κατατάξεων (δηλ. ότι είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους). Αν αντίθετα υποθέουµε πιθανή υχέτιη δεν είναι δυνατό να γίνουν ακριβείς υπολογιµοί εκτός αν γνωρίζουµε επακριβώς τον τρόπο υχέτιης. Παράδειγµα 4 Σε τυχαίο δείγµα 60 αξιωµατικών των Ενόπλων υνάµεων, καταγράφηκε ο κλάδος τον οποίο ανήκουν (Στρατός Ξηράς, Ναυτικό, Αεροπορία) καθώς και ο τύπος του Λυκείου από το οποίο αποφοίτηαν ( ηµόιο, Ιδιωτικό). Τα αποτελέµατα της καταγραφής δίνονται τον παρακάτω πίνακα υχέτιης. ηµόιο Λύκειο Ιδιωτικό Λύκειο Σύνολα Στρατός Ξηράς Ναυτικό Αεροπορία 7 5 7 4 8 5 70 39 Σύνολα 06 54 60 Όπου για παράδειγµα 5 αξιωµατικοί του δείγµατος είναι µέλη του Στρατού Ξηράς και αποφοίτηαν από ηµόιο Λύκειο. Να υπολογιτούν οι αναµενόµενες υχνότητες µε βάη την υπόθεη ότι δεν υπάρχει υχέτιη µεταξύ του κλάδου των Ενόπλων υνάµεων και του τύπου του Λυκείου αποφοίτηης. Αν οι δύο κατατάξεις είναι ανεξάρτητες τότε έχουµε π.χ. Ρ(Ναυτικό και ηµόιο Λύκειο) = Ρ(Ναυτικό) * Ρ( ηµόιο Λύκειο) 5 Από τη τιγµή που 5 αξιωµατικοί ανήκουν το Ναυτικό προκύπτει Ρ(Ναυτικό)= 60 06 και αφού 06 αξιωµατικοί αποφοίτηαν από ηµόιο Λύκειο Ρ( ηµ.λύκειο)= 60 5 06 και προκύπτει Ρ(Ναυτικό και ηµόιο Λύκειο)= άρα η αναµενόµενη 60 60 5 06 υχνότητα Ναυτικό και ηµόιο Λύκειο είναι 60 = 33. 8 κατά τον ίδιο 60 60 τρόπο είναι για την αναµενόµενη υχνότητα Ναυτικό και Ιδιωτικό Λύκειο 5 54 60 = 7. κ.ο.κ 60 60 προκύπτουν οι αναµενόµενες υχνότητες που δίνονται τον παρακάτω πίνακα.
Ε Ναυτικό Στρατός Ξηράς Αεροπορία ηµόιο Λύκειο 33.8 46.4 5.8 Ιδιωτικό Λύκειο 7. 3.6 3. Τώρα µπορούµε να ελέγξουµε την αρχική υπόθεη (δεν υπάρχει υχέτιη) κάνοντας µια δοκιµαία προαρµογής χ, µε την ύγκριη των αναµενόµενων υχνοτήτων (Ε) µε αυτές που πραγµατικά παρατηρήθηκαν (Ο) και δίνονται τον πρώτο πίνακα. Στο υγκεκριµένο παράδειγµα µια δοκιµή είναι η επιλογή ενός αξιωµατικού και η κατάταξή του ε ένα από τα έξη κελιά του πίνακα, αυτό επαναλαµβάνεται 60 φορές (όες και το µέγεθος του δείγµατος). Κατά τον υπολογιµό των αναµενόµενων υχνοτήτων χρηιµοποιήαµε τα δεδοµένα για να υπολογιτούν οι πιθανότητες 5 70 06 Ρ(Ναυτικό) =, Ρ(Στρατός Ξηράς) =60, Ρ( ηµόιο Λύκειο) =60 60 Μένει να υπολογιτούν οι εναποµείναες πιθανότητες Ρ(Αεροπορία) =- Ρ(Ναυτικό)- Ρ(Στρατός Ξηράς) και Ρ(Ιδιωτικό Λύκειο) = - Ρ( ηµόιο Λύκειο) Προκύπτει λοιπόν ότι τα δεδοµένα χρηιµοποιήθηκαν 3 φορές, και αφού έχουµε ένα πίνακα υχέτιης 3 δηλ. έξη κλάεις ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας είναι υνεπώς 6 3 = Γενικά για ένα πίνακα υχέτιης r s έχουµε rs κλάεις (κελιά). Ακολούθως τα δεδοµένα χρηιµοποιούνται για την εκτίµηη (r-) πιθανοτήτων για την κατάταξη των ειρών του πίνακα και (s-) πιθανοτήτων για την κατάταξη που δίνεται τις τήλες του πίνακα, έτι προκύπτει ο αριθµός των βαθµών ελευθερίας rs (r - ) (s - ) = rs r s + = (r - )(s -) Για ένα πίνακα υχέτιης r s Προκειµένου να ελεγχθεί η H 0 : δεν υπάρχει υχέτιη, θέτουµε ( ) = O E Y E Όταν η H 0 είναι αληθής τότε Υ ~ x ( r )( s) Παράδειγµα 5 Να δειχθεί αν από τα δεδοµένα που δίνονται τον πίνακα υχέτιης του προηγούµενου παραδείγµατος προκύπτουν αποδείξεις υχέτιης µεταξύ του κλάδου των αξιωµατικών του Στρατού Ξηράς και του τύπου Λυκείου αποφοίτηης. Ελέγχουµε την υπόθεη H 0 : δεν υπάρχει υχέτιη Ενάντια την υπόθεη H : υπάρχει υχέτιη Οι πραγµατικά παρατηρούµενες υχνότητες εµφάνιης δίνονται τον αρχικό πίνακα υχέτιης. Υποθέτοντας την H 0 οι αναµενόµενες υχνότητες υπολογίζονται όπως είδαµε το προηγούµενο παράδειγµα 4.
Για κάθε κλάη υπολογίζουµε ( O E ) ηµόιο Λύκειο είναι π.χ., E ( O E) = E για την κλάη αξιωµατικοί Ναυτικού και ( 7 33.8) 33.8 =.37 και οµοίως για τις άλλες. Παρατηρούµενες υχνότητες Αναµενόµενες υχνότητες ( O E) E ηµόιο Ιδιωτικό Σύνολο ηµόιο Ιδιωτικό ηµόιο Ιδιωτικό Ναυτικό 7 4 5 33.8 7..37.69 Στρατός Ξηράς 5 8 70 46.4 3.6 0.68.33 Αεροπορία 7 39 5.8 3. 0.06 0. Σύνολο 06 54 60 ( ) Έτω λοιπόν = O E Y αφού έχουµε πίνακα υχέτιης 3 ο αριθµός των E βαθµών ελευθερίας είναι = εάν η υπόθεη H0 είναι αληθής τότε Υ ~ x, έχουµε Υ =.37+.69+.+0.=6.4 Άρα η υπόθεη H 0 απορρίπτεται. Υπάρχει λοιπόν κάποια ένδειξη (το επίπεδο ηµαντικότητας 5%) για την υχέτιη µεταξύ των αξιωµατικών του κλάδου του Στρατού Ξηράς και του τύπου του Λυκείου από το οποίο αποφοίτηαν. ( O E) Η υψηλότερη τιµή του,.69 εµφανίζεται την κλάη Ναυτικό και E Ιδιωτικό Λύκειο. Συγκρίνοντας τις παρατηρούµενες µε τις αναµενόµενες υχνότητες (Ο =4, Ε =7.) γίνεται αντιληπτό ότι οι αξιωµατικοί του Ναυτικού που αποφοίτηαν από Ιδιωτικό Λύκειο είναι περιότεροι από ότι θα περιµέναµε. Ακήεις.3 Κατανοµές χ και καταλληλότητα προαρµογής. Χρηιµοποιώντας τους πίνακες της κατανοµής χ. οθέντος Υ ~, να υπολογιτεί η τιµή του a όταν Ρ(Υ >a) =0.05 x 5. οθέντος Υ ~, να υπολογιτεί η τιµή του b όταν Ρ(Υ <b) =0.0 x 0
. οθέντος Υ ~, να υπολογιτεί η Ρ(Υ >0.09) x 8 v. οθέντος Υ ~, να υπολογιτεί η Ρ(8.94<Υ<50.89) x 30 v. οθέντος Υ ~, και Ρ(Υ >0.64) =0.0, να βρεθεί η τιµή του x v. οθέντος Υ ~, να υπολογιτεί η τιµή του c όταν Ρ(Υ >c) =0.005 x x 50 v. οθέντος Υ ~, να υπολογιτεί η τιµή του d όταν Ρ(Υ >d) =0.05. Χρηιµοποιώντας τους πίνακες κανονικών κατανοµών, µε δεδοµένο ότι η Ζ είναι µια τυπική κανονική µεταβλητή, να βρεθούν:. Η Ρ(Ζ <.706). Η τιµή της a όταν Ρ(Ζ > a) =0.0 Να ελεγχθούν τα αποτελέµατα µε τη χρήη πινάκων χ (η Ζ έχει την x κατανοµή). 3. Η τυχαία µεταβλητή Υ ακολουθεί την κατανοµή χ. Να βρεθούν µε ολοκλήρωη :. Η ταθερά C της υνάρτηης Υ. Η τιµή της Ρ(Υ > 6). Η τιµή της a όταν Ρ(Υ > a) =0.09 v. Ο µέος όρος της Υ Να ελεγχθούν οι απαντήεις των () και () µε τη χρήη πινάκων χ. 4. Η τυχαία µεταβλητή Υ ακολουθεί την κατανοµή x 4, να βρεθεί η ταθερά C της υνάρτηης κατανοµής της και να δείξετε ότι η cdf της Υ είναι η x F( x) = ( x + ) e (για x 0) Έπειτα να βρεθούν οι Ρ(Υ < ) και Ρ(Υ > 8). 5. Η τυχαία µεταβλητή Υ ακολουθεί την κατανοµή. Με τη χρήη της Y = Z + Z + + Z [ Z ] E = και var( ) = x ε υνδυαµό µε τα αποτελέµατα Z (βλ. άκηη 3.4, ερώτηµα 6) να δειχθεί ότι η µεταβλητή Υ έχει µέη τιµή και απόκλιη. Να εξηγηθεί γιατί µεταβλητή Υ έχει προεγγιτικά την κανονική κατανοµή όταν το λαµβάνει µεγάλες τιµές. Εάν =30, µε τη χρήη της κανονικής προέγγιης να βρεθούν τα a και b ώτε Ρ(Υ < a)=0.05 και Ρ(Υ > b)=0.05. Να υγκριθούν οι τιµές που προκύπτουν µε τις πραγµατικές (οι οποίες δίνονται τους πίνακες χ. 6. Γνωρίζουµε ότι η κανονική προέγγιη της κατανοµής x (βλ. ερώτηµα 6) δεν είναι ικανοποιητική εάν το δεν είναι αρκετά µεγάλο. Μια καλύτερη προέγγιη δίνεται από την : Υ ~ x, τότε η Y είναι προεγγιτικά κανονική µε µέη τιµή και τυπική απόκλιη. Χρηιµοποιώντας την προέγγιη αυτή :. Εάν Υ ~, βρείτε τα a και b ώτε Ρ(Υ < a) =0.05 και Ρ(Υ > b) =0.05 x 30. Εάν Υ ~, βρείτε το c ώτε Ρ(Υ > c) =0.0. x 50
7. Ρίχνουµε ένα ζάρι 00 φορές µε τα ακόλουθα αποτελέµατα Αριθµός που εµφανίζεται 3 4 5 6 Συχνότητα εµφάνιης 4 0 8 9 3 6 Υπάρχουν ενδείξεις ότι το ζάρι είναι πειραγµένο? 8. Σύµφωνα µε θεωρητικές αναλύεις οι γενετικοί τύποι A,B,C,D απαντώνται τους απογόνους ενός υγκεκριµένου πληθυµού µε αναλογία :::. Σε τυχαίο δείγµα 50 απογόνων του πληθυµού είχαµε 9 τύπου A, 66 τύπου B, 4 τύπου C, και 3 τύπου D. Μπορούµε να ιχυριτούµε ότι η θεωρία αληθεύει? 9. Οι υχνότητες εµφάνιης των ψηφίων τις πρώτες 800 θέεις του π = 3.459. είναι αυτές που φαίνονται τον παρακάτω πίνακα Ψηφίο 0 3 4 5 6 7 8 9 εκαδικές θέεις -400 39 43 44 39 47 39 4 4 44 39 εκαδικές θέεις 40-800 35 49 39 40 33 34 35 5 3 5 Να ελεγχθεί η υπόθεη ότι όλα τα ψηφία έχουν ίδια πιθανότητα εµφάνιης.. Με τη χρήη των πρώτων 400 ψηφίων. Με τη χρήη των πρώτων 800 ψηφίων. 0. Σε δείγµα οικογενειών που έχουν 6(έξη) παιδιά ο αριθµός των κοριτιών ήταν Αριθµός κοριτιών 0 3 4 5 6 Αριθµός οικογενειών 6 9 9 3 0 Θεωρώντας ίες πιθανότητες ύπαρξης αγοριών και κοριτιών να υπολογιτούν οι αναµενόµενες υχνότητες εµφάνιης και η ποιότητα προαρµογής.. Αφού προαρµόετε µια ιωνυµική κατανοµή τα παρακάτω δεδοµένα να ελεγχθεί η ποιότητα προαρµογής. Αριθµός ηµερών µε βροχή ε µία εβδοµάδα 0 3 4 5 6 7 Αριθµός εβδοµάδων 85 8 3 9 8 4 0 3. Να ελεγχθεί ο ιχυριµός ότι το παρακάτω δείγµα είναι ε ακολουθία µε κάποιο που έχει παρθεί από µια κατανοµή Posso µε µέη τιµή.5.