Αλγεβρικές οµές Ι. Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

Αλγεβρικές οµές Ι Α.Ι. Πάπιστας Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης

2

Περιεχόµενα 1 Οµάδες 5 1.1 Μια σύντοµη ιστορική αναδροµή στο «Λογισµό της συµµετρίας» 5 1.2 ιµελείς Πράξεις......................... 6 1.3 Σχέσεις Ισοδυναµίας....................... 13 1.4 ιαιρετότητα........................... 15 1.5 Μεταθέσεις............................ 19 1.6 Ασκήσεις............................. 21 2 Υποοµάδες. Κυκλικές οµάδες 27 2.1 Υποοµάδες............................ 27 2.2 Κυκλικές οµάδες......................... 29 2.3 Γινόµενο υποοµάδων....................... 34 2.4 Κανονικές υποοµάδες...................... 35 2.5 Ασκήσεις............................. 38 3 Θεωρήµατα Ισοµορϕισµού 47 3.1 ιατύπωση και Απόδειξη των Θεωρηµάτων........... 47 3.2 Ασκήσεις............................. 50 4 Αυτοµορϕισµοί 53 4.1 Εσωτερικοί αυτοµορϕισµοί.................... 53 4.2 Συζυγία.............................. 54 4.3 Ευθύ γινόµενο.......................... 57 4.4 Ασκήσεις............................. 59 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Κεϕάλαιο 1 Οµάδες 1.1 Μια σύντοµη ιστορική αναδροµή στο «Λογισµό της συµµετρίας» Η συµµετρία δεν είναι αριθµός ή σχήµα, αλλά µια ειδική κατηγορία µετασχη- µατισµού- ένας τρόπος µετακίνησης ενός αντικειµένου. Εάν το αντικείµενο εξακολουθεί να δείχνει το ίδιο ακόµα και µετά τη µετακίνηση του, τότε ο εν λόγω µετασχηµατισµός αποτελεί συµµετρία. Οι αρχαίοι Ελληνες 2500 χρόνια πριν έκαναν χρήση της συµµετρίας, συγκεκριµένα στην Γεωµετρία, αλλά παραδόξως ΠΟΤΕ δεν συνέλαβαν σαϕώς την ουσία της συµµετρίας. Η Θεωρία Οµάδων είναι ο παλαιότερος κλάδος της Σύγχρονης Άλγεβρας. Οι ϱίζες της ϐρίσκεται στις ερευνητικές εργασίες των Lagrange (1736-1813), Ruffini (1765-1822) και Galois (1811-1832) πάνω στις αλγεβρικές εξισώσεις. Ουσιαστικά, η Θεωρία Οµάδων αναδύεται το 1830. Εκείνη την εποχή, οι πρωτοπόροι µαθηµατικοί ήταν απορροϕηµένοι µε την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων πέµπτου ϐαθµού. Υπήρχαν οι λύσεις των εξισώσεων πέµπτου ϐαθµού. Το ερώτηµα ήταν, αν υπάρχει αλγεβρικός τύπος που να αναπαραστά τις λύσεις της εξίσωσης : ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0. Το 1821 (!), ο Abel (1802-1829) έδωσε αρνητική απάντηση στο πρόβληµα. Η απόδειξη του ήταν µάλλον µυστηριώδης και έµµεση. Απέδειξε µεν ότι δεν είναι δυνατή καµία γενική λύση, αλλά στην πραγµατικότητα χωρίς να εξηγήσει το γιατί. (Η γενική εξίσωση πέµπτου ϐαθµού δεν µπορεί να λυθεί µε τύπους επειδή έχει τον εσϕαλµένο τύπο συµµετρίας.) Λίγο αργότερα ο Galois 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ έδωσε πλήρη απάντηση για όλες τις αλγεβρικές εξισώσεις οποιουδήποτε ϐαθ- µού. Η µέθοδος του σαϕώς εκµεταλλεύεται την συµµετρία µε τέτοιο τρόπο που οδηγεί στην µελέτη συγκεκριµένων οµάδων, τις οµάδες µεταθέσεων, που είναι υποοµάδες των συµµετρικών οµάδων. Πολλές από τις ϑεµελιώδεις ιδέες της Θεωρίας Οµάδων είχαν εισαχθεί α- πό τους Lagrange, Ruffini, Galois αλλά και από τους διαδόχούς των Cauchy, Sylow, Jordan µεταξύ αυτών. Η γενική ιδέα της αϕηρηµένης οµάδας αναγνωρίζεται στην ερευνητική δουλειά του Cayley, και αργότερα από τον von Dyck. Η µελέτη των άπειρων οµάδων προέρχεται από την Γεωµετρία και την Τοπολογία. Η επιρροή των Klein, Lie, Poincare και Dehn είναι καθοριστική. Σήµερα η Θεωρία Οµάδων αποτελεί έναν από τους πλέον ενεργούς κλάδους της Άλγεβρας και έχει εϕαρµογές όχι µόνο σε άλλους κλάδους των καθαρών µαθηµατικών, όπως Γεωµετρία, Τοπολογία, Ανάλυση, αλλά και στην Κβαντική Θεωρία (Quantum Theory), Ατοµική και Μοριακή δοµή (Atomic and Molecular structure), και Κρυσταλλογραϕία (Crystallography) είναι µερικές από τις περιοχές της επιστήµης στις οποίες η ιδέα της οµάδας παίζει σηµαντικό ϱόλο. 1.2 ιµελείς Πράξεις Εστω E ένα µη κενό σύνολο. Μία (διµελής) πράξη πάνω στο σύνολο E είναι µία απεικόνιση φ : E E E. Ετσι σε κάθε Ϲεύγος (x, y) E E αντιστοιχεί ένα στοιχείο φ(x, y) E. Συνήθως για την εικόνα φ(x, y) χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό x y όπου είναι σύµβολο χαρακτηριστικό της πράξης. Αν η είναι προσεταιριστική, δηλαδή, (x y) z = x (y z) για όλα τα x, y, z E, το Ϲεύγος (E, ) ονοµάζεται ηµιοµάδα. Η προσεταιριστική ιδιότητα έχει την εξής συνέπεια. Πρόταση 1 (Γενικευµένος προσεταιριστικός νόµος) Αν µία πράξη πάνω στο E είναι προσεταιριστική, τότε µε οποιοδήποτε τρόπο και αν πολλαπλασιάσουµε τα n στοιχεία του, g 1,..., g n διατηρώντας την σειρά τους, παίρνουµε το ίδιο στοιχείο. Η απόδειξη της πρότασης είναι στοιχειώδης και γίνεται µε χρήση της µαθηµατικής επαγωγής στο n. Προϕανώς n > 2, και αν u είναι ένα στοιχείο που κατασκευάζεται από τα g 1,..., g n µε το συµβαλλόµενο τρόπο, τότε u =

1.2. ΙΜΕΛΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ 7 v w όπου τα v και w κατασκευάζονται από τα g 1,..., g i και g i+1,..., g n αντίστοιχα (1 i < n). Συνεπώς σε τυχαία έκϕραση που σχηµατίζεται από τα g 1,..., g n, µε αυτήν την σειρά, οι παρενθέσεις µπορούν να παραλειϕθούν χωρίς αµϕιβολία. Παρόµοια σύµβολα µε το είναι επίσης τα,, +,, κλπ, και για διαϕο- ϱετικές πράξεις πάνω στο ίδιο σύνολο E χρησιµοποιούµε διαϕορετικά σύµ- ϐολα. Συνήθως για κάθε πράξη χρησιµοποιείται µία ονοµασία, όπως πολλαπλασιασµός, πρόσθεση κλπ. Στην Θεωρία Οµάδων κυρίως χρησιµοποιείται η ονοµασία «πολλαπλασιασµός» και η πολλαπλασιαστική γραϕή ab, µε a, b E, διαϕορετικά αναϕέρεται σαϕώς. Μία πράξη πάνω στο σύνολο E ονοµάζεται µεταθετική (commutative) αν ab = ba για όλα τα a, b E. Ενα στοιχείο e E ονοµάζεται δεξιό ουδέτερο (αντιστ. αριστερό ουδέτερο) ως προς την πράξη αν ae = a (αντιστ. ea = a) για κάθε a E. Το στοιχείο e E ονοµάζεται ουδέτερο αν ταυτόχρονα είναι δεξιό και αριστερό ουδέτερο. Ετσι σε ένα σύνολο E εϕοδιασµένο µε πράξη, το e E είναι ουδέτερο στοιχείο αν : ae = a = ea για κάθε a E. Κάνοντας χρήση της προηγούµενης ιδιότητας είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αν το ουδέτερο στοιχείο υπάρχει τότε είναι και µοναδικό. Πράγµατι, έστω ότι υπάρχουν δύο ουδέτερα στοιχεία e 1, e 2. Τότε e 1 = e 1 e 2 (αϕού το e 2 είναι ουδέτερο στοιχείο) = e 2 (αϕού το e 1 είναι ουδέτερο στοιχείο). Εστω µία πράξη πάνω στο σύνολο E µε ουδέτερο στοιχείο e. Ενα στοιχείο x (αντιστ. x ) καλείται δεξιό αντίστροϕο (αντιστ. αριστερό αντίστροϕο) ενός στοιχείου x E, αν xx = e (αντιστ. x x = e). Ενα στοιχείο x καλείται αντίστροϕο του x αν είναι ταυτόχρονα δεξιό και αριστερό αντίστροϕο του x. ηλαδή, το x είναι αντίστροϕο του x αν xx = e = x x. Παραδείγµατα 1 (i) Στο σύνολο R ορίζουµε την πράξη µε τύπο x y = (x 1)y 2 + xy (x 1). Θα δείξουµε ότι ο 1 R είναι το ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη. Αν υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο e R ϑα πρέπει να ισχύει x e = x = e x

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ για κάθε x R. Εκτελώντας τις πράξεις, ϐλέπουµε ότι το e πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις ταυτόχρονα : e 2 + e 2 = 0, e 2 1 = 0, e 1 = 0. Οι τελευταίες σχέσεις µας δίνουν e = 1, άρα το 1 R είναι το ουδέτερο στοιχείο για την πράξη. (ii) Στο R ορίζουµε την πράξη µε x y = x + y + x 2 y 2. Να εξετάσουµε αν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη. ηλαδή, αν υπάρχει e R έτσι ώστε για κάθε x R να ισχύει : x e = e x = x. Η ισοδύναµα, e 2 x 2 + e = 0 για κάθε x R. Από εδώ προκύπτει ότι e = 0. Η επόµενη πρόταση µας λέει ότι όταν το αντίστροϕο υπάρχει και η πράξη είναι προσεταιριστική τότε είναι µοναδικό. Πρόταση 2 Εστω µία πράξη πάνω σε ένα σύνολο E που είναι προσεταιριστική, και υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο e. Αν για το στοιχείο x E υπάρχει x E τέτοιο, ώστε xx = e = x x, τότε το x είναι µοναδικό. Απόδειξη. Εστω x και x δύο αντίστροϕα του στοιχείου x. Τότε x = x e = x (xx ) = (x x)x = ex = x. Αϕού κάνουµε χρήση της πολλαπλασιαστικής γραϕής, ϑα γράϕουµε x 1 αντί x για το αντίστροϕο του x. Παράδειγµα 1 Στο σύνολο R ορίζουµε µια πράξη µε x y = x + y + x 2 y 2. Να εξετασθεί ποια στοιχεία του R έχουν συµµετρικό ή συµµετρικά. Πρώτα από όλα διαπιστώνουµε εύκολα ότι η πράξη είναι εσωτερική. Στο Παραδείγ- µατα 1 (ii) δείξαµε ότι το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης. Κατόπιν εξετάσουµε ποια στοιχεία x R έχουν x R τέτοια, ώστε x x = 0 = x x.

1.2. ΙΜΕΛΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ 9 Κάνοντας τις πράξεις καταλήγουµε στη x 2 (x ) 2 + x + x = 0. ( ) (Παρατηρούµε ότι η πράξη είναι µεταθετική.) Για την διερεύνηση της πα- ϱαπάνω εξίσωσης δουλεύουµε ως εξης : (1) Αν x = 0 τότε η εξίσωση ( ) δίνει x = 0. (2) Αν x 0 η ( ) είναι εξίσωση δευτέρου ϐαθµού ως προς x και διακρίνουµε τις περιπτώσεις : (α) Αν > 0 τότε x < και η ( ) έχει δύο ϱίζες πραγµατικές και άνισες, δηλαδή, για κάθε x R µε x 0 και x < 1 3 4 1 3 4 έχουµε δύο συµµετρικά. (Γιατί συµβαίνει αυτό ;) (ϐ) Αν = 0 τότε x = 1 3 τότε η ( ) έχει µία ϱίζα πραγµατική και έχει 4 συµµετρικό το x = 3 2. Τέλος, (γ) για < 0 η ( ) δεν έχει πραγµατικές ϱίζες και άρα κάθε x R µε x > δεν έχει συµµετρικό. 1 3 4 Ενα Ϲεύγος (G, ) αποτελούµενο από ένα µη κενό σύνολο G και µια πράξη : G G G µε (x, y) x y, τέτοια, ώστε (1) Η πράξη είναι προσεταιριστική, (2) Υπάρχει e G τέτοιο, ώστε g e = g = e g για κάθε g G και (3) Για κάθε g G, υπάρχει g 1 G, τέτοιο, ώστε g g 1 = e = g 1 g, ονοµάζεται οµάδα. Επιπλέον, αν η πράξη είναι µεταθετική (ή αβελιανή), τότε η οµάδα (G, ) ονοµάζεται αβελιανή. Στη περίπτωση που G <, η G ονοµάζεται πεπερασµένη (αβελιανή) οµάδα. Παραδείγµατα 2 (i) Το σύνολο των ακέραιων αριθµών Z µε πράξη την συνηθισµένη πρόσθεση αποτελεί αβελιανή οµάδα. Επίσης, το σύνολο των α- κέραιων modulo n, Z n, µε πράξη την πρόσθεση των αποτελεί (πεπερασµένη) αβελιανή οµάδα (δες, Παράγραϕο 1.4, Παράδειγµα 2 (Ισοτιµίες) ). (ii) Εστω n ϑετικός ακέραιος µε n 2. Το σύνολο των αντιστρέψιµων n n πινάκων µε στοιχεία από ένα σώµα K εϕοδιασµένο µε τον συνηθισµένο πολλαπλασιασµό αποτελεί µη αβελιανή οµάδα. Η οµάδα αυτή ονοµάζεται γενική γραµµική οµάδα, και συµβολίζεται µε GL(n, K).

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ Η ονοµασία αβελιανή οµάδα είναι προς τιµή του Νορβηγού µαθηµατικού Abel. Στη περίπτωση που έχουµε µια αβελιανή οµάδα, χρησιµοποιούµε συνήθως την προσθετική γραϕή +, δηλαδή x + y, το αντίστροϕο του x το συµβολίζουµε µε x και καλείται συµµετρικό και το ουδέτερο στοιχείο συµ- ϐολίζεται µε 0 G. Στη περίπτωση πολλαπλασιαστικής γραϕής χρησιµοποιούµε 1 G αντί του e. Τρεις εύκολες συνέπειες του ορισµού της οµάδας είναι : (1) Για κάθε (πολλαπλασιαστική) οµάδα οι εξισώσεις ax = b και xa = b έχουν µοναδικές λύσεις a 1 b και ba 1, αντίστοιχα. (2) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι : (ab) 1 = b 1 a 1 και (a 1 ) 1 = a για κάθε a, b G. (3) Ισχύουν οι νόµοι διαγραϕής : xa = xb = a = b και ax = bx = a = b. Πρόταση 3 Ενα σύνολο G που έχει προσεταιριστική πράξη είναι οµάδα αν και µόνο αν επιπλέον ισχύουν : (1) Υπάρχει ένα στοιχείο e G (δεξιό ουδέτερο) τέτοιο, ώστε ge = g για κάθε g G. (2) Για κάθε g G υπάρχει g G (δεξιό αντίστροϕο) τέτοιο, ώστε gg = e. Απόδειξη. Αν G είναι οµάδα, τότε προϕανώς ισχύουν οι (1) και (2) της πρότασης. Αρκεί εποµένως να αποδειχθεί ότι το υπό του (1) δεξιό ουδέτερο e είναι και αριστερό ουδέτερο και το υπό του (2) δεξιό αντίστροϕο g είναι και αριστερό αντίστροϕο του g. Εστω g το δεξιό αντίστροϕο του g. Ετσι g g = (g g)e = (g g)(g g ) = g (gg )(g ) = g eg = (g e)g = g g = e και εποµένως eg = (gg )g = g(g g) = ge = g. Κάποιοι συγγραϕείς δίνουν τη Πρόταση 3 και σαν ορισµό για την οµάδα. Στην διατύπωση της Πρότασης 3 µπορούµε να αντικαταστήσουµε το δεξιό ουδέτερο και το δεξιό αντίστροϕο µε αριστερό ουδέτερο και αριστερό αντίστροϕο αντίστοιχα. Εστω g ένα στοιχείο της (πολλαπλασιαστικής) οµάδας G και n ακέραιος αριθµός. Η n-οστή δύναµη g n του g ορίζεται ως εξής: (1) g 0 = 1 G, g 1 = g, και g 1 είναι το αντίστροϕο του g (2) g n+1 = g n g, αν n > 0 και (3) g n = (g n ) 1, αν n < 0. Με την ϐοήθεια της µαθηµατικής επαγωγής µπορούµε να δείξουµε ότι ισχύουν τα εξής : Εστω m και n ακέραιοι και g ένα στοιχείο µιας οµάδας G.

1.2. ΙΜΕΛΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ 11 Τότε και g m g n = g n+m (g m ) n = g mn = (g m ) n. Εστω G και H οµάδες. Μία απεικόνιση f : G H καλείται οµοµορϕισµός οµάδων αν f (xy) = f (x)f (y) για κάθε x, y G. Αν f είναι επιπλέον 1 1 και επί, τότε ο οµοµορϕισµός f ονοµάζεται ισοµορϕισµός. Ενας οµοµορϕισµός f : G G ονοµάζεται ενδοµορϕισµός. Αν επιπλέον, ο ενδοµορϕισµός f είναι 1 1 και επί, ο f ονοµάζεται αυτοµορϕισµός. Εστω f : G H οµοµορϕισµός οµάδων. Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει εύκολα ότι f (1 G ) = 1 H και f (x 1 ) = (f (x)) 1 για κάθε x G. Η έννοια του αυτοµορϕισµού είναι γενική στα µαθηµατικά. Ενας αυτο- µορϕισµός είναι ισοµορϕισµός από ένα µαθηµατικό αντικείµενο στον εαυτόν του. Είναι, κατά µία έννοια, µια συµµετρία του αντικειµένου, και ένας τρόπος απεικόνισης του αντικειµένου στον εαυτόν του που διατηρεί την δοµή του. Οι αυτοµορϕισµοί των επιϕανειών, γραϕηµάτων καθώς επίσης των ο- µάδων, δακτυλίων και αλγεβρών, έχουν προσελκύσει το ενδιαϕέρον πολλών ερευνητών. Παραδείγµατα 3 (i) Εστω K ένα σώµα, και U(K) η πολλαπλασιαστική οµάδα του σώµατος. ηλαδή, η οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων του K. Η απεικόνιση det : GL(n, K) U(K) που στέλνει το g GL(n, K) στην ορίζουσα του det g είναι οµοµορϕισµός οµάδων. (ii) Κάθε διανυσµατικός χώρος V πάνω από σώµα K σχηµατίζει µία προσθετική οµάδα V +. Για κάθε a K, η απεικόνιση λ a : V + V + µε λ a (v) = av για όλα τα v V +, είναι οµοµορϕισµός οµάδων. Αν το a 0 τότε λ a είναι ισοµορϕισµός. (iii) Εστω G µία (πολλαπλασιαστική) οµάδα. Το σύνολο των αυτοµορφισµών της οµάδας G συµβολίζεται µε Aut(G). Το Aut(G) εϕοδιασµένο µε

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ πράξη την σύνθεση απεικονίσεων αποτελεί οµάδα : η οµάδα αυτοµορϕισµών της G. (iv) Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης n, µε n 2, πάνω από σώµα K. Συµβολίζουµε µε GL(V) το σύνολο όλων των αντιστρέψιµων γραµµικών µετασχηµατισµών του V. Το σύνολο GL(V) εϕοδιασµένο µε πράξη την σύνθεση απεικονίσεων είναι (µη-αβελιανή) οµάδα. Εστω GL(n, K) η γενική γραµµική οµάδα ϐαθµού n πάνω από το K. Οι δύο οµάδες GL(V) και GL(n, K) είναι ισόµορϕες µεταξύ τους. Πράγµατι, διαλέγοντας µία ϐάση B του V, κάθε αυτοµορϕισµός f του V συνδέεται µε ένα στοιχείο M B (f ) GL(n, K). Η αντιστοιχία M : GL(V) GL(n, K), µε M(f ) = M B (f ), είναι ισοµορϕισµός οµάδων. (v) Ενα γράϕηµα αποτελείται από ένα σύνολο κορυϕών V(Γ) και από ένα σύνολο ακµών E(Γ). Κάθε ακµή συνδέεται µε ένα µη διατεταγµένο Ϲεύγος κορυϕών µε την συνάρτηση ENDS: ENDS(e) = {v, w} όπου v, w V. Σε αυτή την περίπτωση, λέµε ότι τα v και w είναι γειτονικά (adjacent). Επιτρέπουµε στα γραϕήµατα να υπάρχουν πολλαπλές ακµές κα- ϑώς επίσης να υπάρχουν ϐρόχοι (loops), δηλαδή, ακµές στις οποίες η αρχή και το τέλος είναι η ίδια κορυϕή. Γραϕήµατα που δεν υπάρχουν πολλαπλές ακµές και ϐρόχοι ονοµάζονται απλά. Αυτοµορϕισµός ενός γραϕήµατος Γ είναι µία 1 1 και επί απεικόνιση α πάνω στο σύνολο κορυϕών V(Γ) που στέλνει κορυϕές σε κορυϕές και ακµές σε ακµές έτσι ώστε αν ENDS(e) = {v, w}, τότε ENDS(α(e)) = {α(v), α(w)}. Η οµάδα αυτοµορϕισµών του γραϕήµατος Γ συµβολίζεται µε Aut(Γ). Ετσι αν Γ = K n (το πλήρες απλό γράϕηµα ϐαθµού n), τότε Aut(K n ) = S n. Ας δούµε ένα µη τετριµµένο παράδειγµα. Πρώτα από όλα να δώσουµε το ορισµό του κύκλου. Ο κύκλος µε n κορυϕές είναι το γράϕηµα C n µε σύνολο κορυϕών το {0,..., n 1} και το i είναι γειτονικό µε το j αν και µόνο αν j i ±1 mod n. (Παραπέµπουµε τον αναγνώστη στην Παράγραϕο 1.4 ( ιαιρετότητα) για τον ορισµό της modn και ϐασικές ιδιότητές της.) Αν g S n που απεικονίζει το i στο (i + 1) mod n, τότε g Aut(C n ). Εποµένως, η Aut(C n ) περιέχει το σύνολο R = {g m : 0 m n 1}. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η µετάθεση h που απεικονίζει το i στο i mod n είναι αυτοµορϕισµός του C n. Παρατηρώντας ότι h(0) = 0, το h σταθεροποιεί µία κορυϕή του C n. Από την άλλη πλευρά κανένα µη-τετριµµένο του R δεν έχει σταθερά σηµεία. Συνεπώς, το h δεν είναι δύναµη του g και έτσι h R. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ο πληθικός αριθµός του Aut(C n ) είναι µεγαλύτερο

1.3. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ 13 ή ίσο του 2n. Στην πραγµατικότητα είναι ακριβώς 2n. Πολλές σηµαντικές πεπερασµένες οµάδες εµϕανίζονται ως οµάδες αυτοµορϕισµών γεωµετρικών αντικειµένων. Ετσι, π.χ. οι διεδρικές οµάδες είναι οι οµάδες αυτοµορϕισµών των κανονικών επίπεδων n-γώνων. (vi) Εστω X ένα µη κενό σύνολο. Μετρική πάνω στο X είναι µία απεικόνιση d : X X R που ικανοποιεί τις ιδιότητες : (M1) d(x, y) 0 για όλα τα x, y X. Η ισότητα ισχύει αν και µόνο αν x = y. (M2) d(x, y) = d(y, x) για όλα τα x, y X. (M3) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) για όλα τα x, y, z X. Ενα µη κενό σύνολο X εϕοδιασµένο µε µία µετρική d ονοµάζεται µετρικός χώρος και συµβολίζεται (X, d). Μία ισοµετρία µετρικού χώρου (X, d) είναι µία 1 1 και επί απεικόνιση f : X X που διατηρεί την απόσταση, δηλαδή, d(f (x), f (y)) = d(x, y) για όλα τα x, y X. Το σύνολο των ισοµετριών του (X, d) συµβολίζεται Isom(X, d). Είναι εύκολο να δειχθεί ότι το σύνολο Isom(X, d) µε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων είναι οµάδα. Εστω (X, d) µετρικός χώρος και Y ένα υποσύνολο του X. Ονοµάζουµε συµµετρία του Y µία ισοµετρία του (X, d) που σταθεροποιεί το Y (σαν σύνολο, δηλ., F(Y ) = Y ). Το σύνολο των συµµετριών του Y συµβολίζεται Sym(Y ). Ετσι Sym(Y ) = {f Isom(X) : f (Y ) = Y }. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι Sym(Y ) είναι οµάδα µε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων. 1.3 Σχέσεις Ισοδυναµίας Εστω I ένα µη κενό σύνολο, ονοµάζεται σύνολο δεικτών, και υποθέτουµε ότι για κάθε i I έχουµε ένα µη κενό σύνολο X i. Τότε λέµε ότι έχουµε µία οικογένεια συνόλων και την συµβολίζουµε µε X = {X i : i I}. ιαµέριση ενός συνόλου X είναι µία οικογένεια {X i : i I} από µη κενά υποσύνολα του X έτσι ώστε (i) X είναι η ένωση των X i, i I, (ii) X i X j = για i j. Τα υποσύνολα X i ονοµάζονται µέρη της διαµέρισης. Εστω {X i : i I} µία διαµέριση του X. Τότε ορίζεται µία σχέση R πάνω στο X, δηλαδή, R X X ως εξής : το (x, y) R αν και µόνο αν x, y X i για κάποιο i I. Η

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ σχέση R ικανοποιεί τρεις ιδιότητες, ανακλαστική, συµµετρική, µεταβατική, που προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό. ηλαδή, (i) (Ανακλαστική) (x, x) R για κάθε x X. (ii) (Συµµετρική) Αν (x, y) R, τότε (y, x) R. (iii) (Μεταβατική) Αν (x, y) R και (y, z) R τότε (x, z) R. Μία σχέση R πάνω στο σύνολο X ονοµάζεται σχέση ισοδυναµίας αν είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική. Εστω R µία σχέση ισοδυναµίας πάνω στο µη κενό σύνολο X. Θα γράϕουµε x y (mod (R)), και ϑα διαβά- Ϲουµε το x είναι ισότιµο µε το y κατά µέτρο R, αντί του (x, y) R. Για κάθε x X, ορίζεται το [x] R = {y X : y x (mod (R))}. Το [x] R ονοµάζεται κλάση ισοδυναµίας του x. Επειδή η R είναι σχέση ισοδυναµίας, έχουµε ότι x [x] R. Εστω [x] R και [y] R δύο κλάσεις ισοδυνα- µίας. Τότε [x] R = [y] R αν και µόνο αν y x (mod (R)) αν και µόνο αν [x] R [y] R. Πράγµατι, αρκεί να δείξουµε ότι αν [x] R [y] R τότε [x] R = [y] R. Εστω z [x] R [y] R. Τότε, επειδή η R είναι σχέση ισοδυνα- µίας έχουµε ότι y x (mod (R)). Αν w [x] R, τότε επειδή η R είναι σχέση ισοδυναµίας έχουµε ότι w [y] R και έτσι [x] R [y] R. Οµοια [y] R [x] R. Συνεπώς, [x] R = [y] R. Συµβολίζουµε µε X/R το σύνολο των διαϕορετικών κλάσεων ισοδυναµίας, και ονοµάζεται σύνολο πηλίκο. Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι το X/R αποτελεί διαµέριση του X. Ουσιαστικά έχουµε δείξει ότι διαµέριση του X και σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ίδιες έννοιες. Εστω (X, ) µία αλγεβρική δοµή. Μία σχέση ισοδυναµίας R επί του X ονοµάζεται συµβιβαστή ως προς την αν ισχύει : x 1 y 1 (mod (R)) x 2 y 2 (mod (R)) = x 1 x 2 y 1 y 2 (mod (R)). Που χρησιµοποιείται η έννοια συµβιβαστή; Εστω R σχέση ισοδυναµίας επί του X συµβιβαστή µε την. Τότε µπορούµε να ορίσουµε επί του X/R ένα µηχανισµό, επαγόµενο της, ως εξής : [x] R [y] R = [x y] R. Για να πούµε ότι ο µηχανισµός είναι πράξη ϑα πρέπει να δείξουµε ότι είναι απεικόνιση. Εστω [x] R = [x ] R και [y] R = [y ] R. Τότε x x (mod (R)) και y y (mod (R)). Επειδή η R είναι συµβιβαστή, έχουµε ότι x y x y (mod (R)) και έτσι [x y] R = [x y ] R.

1.4. ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 15 Παραδείγµατα 4 (i) Εστω X το σύνολο των διατεταγµένων Ϲευγών (a, b), ό- που a Z και b Z \ {0}. Στο σύνολο X ορίζουµε µία σχέση R ως εξής : (a, b) (c, d) mod (R) ad = bc. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας. Η σχέση R µας δίνει µία κατασκευή των ϱητών αριθµών Q. (ii) Εστω M n n (R) το σύνολο των n n πινάκων µε πραγµατικά στοιχεία. Ορίζουµε στο M n n (R) την σχέση R: A B mod(r) αν και µόνο αν υπάρχει P GL(n, R) έτσι ώστε B = P 1 AP. Είναι απλό να δείξουµε ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας. Ετσι η οµοιότητα των πινάκων είναι σχέση ισοδυναµίας. Η κλάση [A] R αποτελείται από τους «συζυγείς» πίνακες µε τον A. 1.4 ιαιρετότητα Κάποιες έννοιες από τη στοιχειώδη Θεωρία Αριθµών παίζουν σηµαντικό ϱόλο στη Θεωρία Οµάδων, ειδικότερα στην πεπερασµένη Θεωρία Οµάδων. Συγκεκριµένα, οι πρώτοι αριθµοί, η ευκλείδεια διαίρεση, ισοτιµίες και οι πρωταρχικές ϱίζες χρησιµοποιούνται συχνά. Το Z (το σύνολο των ακέραιων αριθµών) εϕοδιασµένο µε την πρόσθεση + αποτελεί (αβελιανή) οµάδα. Επιπλέον, το Z εϕοδιάζεται µε τον πολλαπλασιασµό. Το σύνολο των µη µηδενικών ακέραιων δεν είναι οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό, επειδή δεν έχει αντίστροϕα. Θεώρηµα 1 (Αλγόριθµος ιαίρεσης) Εστω a, b Z µε b 0. Τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι αριθµοί c και d έτσι ώστε a = bc + d και 0 d < b. Ο Αλγόριθµος διαίρεσης είναι συνέπεια του γεγονότος ότι οι ϑετικοί ακέ- ϱαιοι είναι καλά διατεταγµένοι. Θα λέµε ότι ο b διαιρεί τον a αν d = 0 στον αλγόριθµο διαίρεσης και γράϕουµε b a, διαϕορετικά γράϕουµε b a. Οι ϐασικές ιδιότητες είναι : (i) για κάθε a Z, a a, a 0, 1 a και 1 a. (ii) 0 a αν και µόνο αν a = 0. (iii) αν c > 0 και a c, τότε c a. (iv) αν a b και a c, τότε a (bx + cy) για όλα τα x, y Z. Ως άµεση συνέπεια του παραπάνω αποτελέσµατος (Αλγόριθµο ιαίρεσης) και της ιδιότητας (iv) έχουµε το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ Θεώρηµα 2 (Αλγόριθµος του Ευκλείδη) Εστω a, b Z και έστω τουλάχιστον ένας από τους a, b είναι διαϕορετικός από το 0. Τότε υπάρχει µοναδικός ακέραιος αριθµός c τέτοιος, ώστε c > 0, c a, c b και αν d a, d b, τότε d c. Ο µοναδικός φυσικός αριθµός c που προκύπτει από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη ονοµάζεται µέγιστος κοινός διαιρέτης των a και b και συµβολίζεται µκδ(a, b) ή απλά, (a, b). Μερικές ϐασικές ιδιότητες του µέγιστου κοινού διαιρέτη : (i) (a, b) = (b, a). (ii) (a, 0) = a. (iii) αν a b και b c τότε ab c(a, b). (iv) (a, a + b) b. (v) αν (a, m) = (b, m) = 1 τότε (ab, m) = 1. (vi) αν (a, b) = d τότε a/d, b/d Z και (a/d, b/d) = 1. Με τη ϐοήθεια του µέγιστου κοινού διαιρέτη των a και b, ορίζουµε το ε- λάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a και b ως ab/(a, b) αρκεί οι ακέραιοι a και b να είναι διαϕορετικοί από το 0. Εστω a 1,..., a n ακέραιοι αριθµοί από τους οποίους ένας τουλάχιστον είναι διαϕορετικός από το 0. Συµβολίζουµε µε S το σύνολο των ϑετικών κοινών διαιρετών των a 1,..., a n. Αϕού το 1 S, το S είναι µη κενό. Αν a κ 0 και δ S, τότε δ a κ και έτσι, δ a κ. Συνεπώς, το S είναι πεπερασµένο σύνολο. Το µέγιστο στοιχείο του S είναι ένας ϑετικός ακέ- ϱαιος που λέγεται µέγιστος κοινός διαιρέτης των a 1,..., a n και συµβολίζεται (a 1,..., a n ). Παρατηρούµε ότι το σύνολο των ϑετικών διαιρετών του a Z είναι ίδιο µε αυτό του a. Συνεπώς (a 1,..., a n ) = ( a 1,..., a n ), δηλαδή, ο µέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ανεξάρτητος των προσήµων. Σηµειώνουµε ότι (0, a 1,..., a n ) = (a 1,..., a n ) και έτσι µπορούµε να υποθέσουµε ότι κανένας από τους ακέραιους a 1,..., a n είναι 0. Αν (a 1,..., a n ) = 1, τότε οι ακέραιοι a 1,..., a n ονοµάζονται πρώτοι µεταξύ τους. Αν, επιπλέον, (a i, a j ) = 1, µε i j, τότε λέµε ότι οι a i, a j είναι πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο. Είναι εύκολο να α- ποδειχθεί ότι αν a 1,..., a n είναι µη µηδενικοί ακέραιοι και d = (a 1,..., a n ), τότε υπάρχουν ακέραιοι κ 1,..., κ n έτσι ώστε d = κ 1 a 1 + + κ n a n. Εστω a 1,..., a n µη µηδενικοί ακέραιοι. Τότε, µπορούµε να δείξουµε (και αϕήνεται ως άσκηση), ο ϑετικός ακέραιοις d είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των a 1,..., a n αν και µόνο αν ισχύουν τα εξής : (i) d a 1,..., d a n και (ii) αν δ είναι ϑετικός ακέραιος µε δ a 1,..., δ a n τότε δ d. Επιπλέον, αν d είναι ένας ϑετικός κοινός διαιρέτης των a 1,..., a n µε d = κ 1 a 1 + + κ n a n, ό- που κ 1,..., κ n Z, τότε d = (a 1,..., a n ). Να σηµειώσουµε ότι οι ακέραιοι

1.4. ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 17 a 1,..., a n είναι πρώτοι µεταξύ τους αν και µόνο αν υπάρχουν κ 1,..., κ n Z τέτοιοι ώστε 1 = κ 1 a 1 + + κ n a n. Ενας ϑετικός ακέραιος p > 1 ονοµάζεται πρώτος αν οι µόνοι ϑετικοί διαι- ϱέτες του είναι οι ακέραιοι 1 και p. Ενας ϑετικός ακέραιος n που δεν είναι πρώτος ονοµάζεται σύνθετος. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχουν ακέραιοι κ, λ έτσι ώστε n = κλ, 1 < κ λ < n. Κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός έχει τουλάχιστον ένα πρώτο διαιρέτη. Πράγµατι, έστω a ένας ϑετικός ακέραιος και a το σύνολο των ϑετικών διαιρετών δ του a. Επειδή a a, έχουµε ότι a και εποµένως το a έχει ελάχιστο στοιχείο που το συµβολίζουµε µε p. Ισχυριζόµαστε ότι ο p είναι πρώτος. Υποθέτουµε ότι ο p είναι σύνθετος. Τότε υπάρχουν κ, λ Z έτσι ώστε p = κλ και 1 < κ λ < p. Ετσι έχουµε κ p και p a και άρα κ a. Με άλλα λόγια, κ a και έτσι κ < p που είναι άτοπο. Εποµένως ο ακέραιος p είναι πρώτος. Χρησιµοποιώντας το παραπάνω αποτέλεσµα αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί. Το αποτέλεσµα αυτό αποδείχθηκε πρώτα από τον Ευκλείδη. Τέλος, διατυπώνουµε ένα από τα σηµαντικότερα ϑεωρήµατα της Θεωρίας Αριθµών γνωστό ως Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής : Κάθε ϑετικός ακέραιος αναλύεται σε γινόµενο πρώτων κατά ένα και µόνο τρόπο, αν παραβλέψουµε την τάξη των παραγόντων στο γινόµενο. Στην παρακάτω παρατήρηση-σχόλιο ϑα συνδυάσουµε τις έννοιες : «σχέση ισοδυναµίας» και «διαιρετότητα». Παρατήρηση-Σχόλιο 1 (Ισοτιµίες) Εστω n φυσικός αριθµός, n 2. Ορίζου- µε µία σχέση modn στο Z ως εξής : a b(modn) αν και µόνο αν n (a b). Η έννοια αυτή εισήχθηκε από τον Gauss το 1801 και είναι ο ϑεµελιώδης λίθος των εννοιών : (αριστερή ή δεξιά) πλευρική κλάση, (αριστερό ή δεξιό) σύστηµα αντιπροσώπων και οµάδα πηλίκο. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η modn είναι σχέση ισοδυναµίας. Για να περιγράψουµε τις κλάσεις ισοδυνα- µίας ϑα αποδείξουµε ότι : a b(modn) αν και µόνο αν οι a και b δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν µε το n. Πράγµατι, έστω κ, λ, µ, ν Z έτσι ώστε a = κn + µ, b = λn + ν, όπου 0 µ, ν < n. Προϕανώς n (a b) αν και µόνο αν n (µ ν). Επειδή µ ν < n, έχουµε ότι n (a b) αν και µόνο αν µ = ν. Για κάθε a Z συµβολίζουµε µε [a] n την κλάση ισοδυναµίας του a και την ονοµάζουµε κλάση ισοτιµίας του a modn. Προϕανώς, a b(modn) αν και µόνο αν [a] n = [b] n. Συµβολίζουµε µε Z n το σύνολο των κλάσεων ισοτιµίας modn. Από την παραπάνω παρατήρηση, έχουµε ότι Z n = {[0] n,..., [n 1] n }. Εστω a, b, c Z και f (X) ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές. Εστω a b(modn) και c d(modn). Χρησιµοποιώντας τις ϐασικές ιδιότητες της

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ διαιρετότητας είναι απλό να δείξουµε ότι 1. a + c b + d(modn) και ac db(modn), 2. Για κάθε r N, a r b r (modn) και 3. f (a) f (b)(modn). Η παραπάνω ιδιότητα 1 µας λέει ότι η σχέση ισοδυναµίας modn είναι συµ- ϐιβαστή µε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό των ακέραιων αριθµών. Εποµένως το σύνολο πηλίκο Z n δοµείται µε τις πράξεις [a] n + [b] n = [a + b] n και [a] n [b] n = [ab] n. Το Z n εϕοδιασµένο µε τις παραπάνω πράξεις αποτελεί µεταθετικό δακτύλιο. Εστω [a] n Z n \ {[0] n }. Τότε [a] n είναι αντιστρέψι- µο στοιχείο του Z n αν και µόνο αν (a, n) = 1. Πράγµατι, υποθέτουµε ότι [a] n είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του Z n. Τότε υπάρχει [b] n Z n έτσι, ώστε [a] n [b] n = [1] n. Άρα ab 1(modn) και έτσι ab 1 = κn για κάποιο κ Z. Εποµένως, (a, n) = 1. Αντίστροϕα, αν (a, n) = 1 υπάρχουν r, s Z έτσι, ώστε ar + ns = 1. Από εδώ εύκολα προκύπτει ότι [a] n είναι αντιστρέψιµο στοιχείο του Z n. Συµβολίζουµε µε U n το σύνολο των αντιστρέψιµων στοιχείων του Z n. Είναι απλό να δείξουµε ότι U n είναι µία αβελιανή οµάδα. Αν n = p πρώτος, τότε U p = {[1] p,..., [p 1] p }. Θα δώσουµε παρακάτω µία ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένας φυσικός αριθµός p πρώτος. Το αποτέλεσµα αυτό είναι γνωστό στη ϐιβλιογραϕία ως Θεώρηµα Wilson. Θεώρηµα 3 (Θεώρηµα Wilson) µόνο αν (p 1)! 1(modp). Ενας ακέραιος p > 1 είναι πρώτος αν και Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ο p είναι πρώτος. Αν p = 2, η παραπάνω ισοτιµία αληθεύει και έτσι υποθέτουµε ότι p > 2. Θυµίζουµε ότι οι κλάσεις [1] p,..., [p 1] p είναι αντιστρέψιµες. Εστω κ N µε 2 κ p 1. Τότε κ 2 1(modp) p (κ 1)(κ + 1). Επειδή ο p είναι πρώτος, p (κ 1) ή p (κ + 1). Επειδή κ p 1, έχουµε p (κ 1). Επίσης, η σχέση p (κ + 1) είναι ισοδύναµη µε κ = p 1. Άρα κ 2 1(modp) κ = p 1 και έτσι [κ 2 ] p = [1] p κ = p 1. Συνεπώς οι µοναδικές κλάσεις του U p που έχουν ως αντίστροϕο στοιχείο τον εαυτό τους είναι οι κλάσεις [1] p και [p 1] p. Τότε οι υπόλοιπες κλάσεις [2] p,..., [p 2] p χωρίζονται σε (p 3)/2 Ϲεύγη [a] p, [b] p µε [a] p [b] p και [a] p [b] p = [1] p. Οπότε [2] p [p 2] p = [1] p,

1.5. ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ 19 δηλαδή 2 (p 2) 1(modp) και εποµένως (p 1)! 1(modp). Αντιστρόϕως, υποθέτουµε ότι n είναι φυσικός > 1 και ότι ικανοποιεί την ισοτιµία (n 1)! 1(modn). Αν ο n είναι σύνθετος, τότε υπάρχει φυσικός διαιρέτης d του n, µε 1 < d < n. Οπότε d (n 1)!. Καθώς d n και n (n 1)!+1, έχουµε d (n 1)! + 1. Τέλος, από τις σχέσεις d (n 1)! και d (n 1)! + 1, έχουµε d 1 που είναι άτοπο και άρα ο n είναι πρώτος. Εστω n ένας φυσικός > 1 και a, b Z. Μία ισοτιµία της µορϕής ax b(modn), όπου x προσδιοριστέος ακέραιος, ονοµάζεται γραµµική ισοτιµία. Θα λέµε ότι ο ακέραιος x 0 επαληθεύει την παραπάνω γραµµική ισοτιµία αν ax 0 b(modn). Ενα σύνολο n ακέραιων ονοµάζεται πλήρες σύστηµα υπολοίπων modn αν περιέχει ένα ακριβώς ακέραιο από κάθε κλάση ισοτιµίας modn. Ετσι αν x i [i] n (i = 0,..., n 1), τότε το σύνολο {x 0,..., x n 1 } είναι ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων modn. Ετσι, τα σύνολα {0,..., n 1}, {1,..., n} είναι πλήρη συστήµατα υπολοίπων modn, ενώ το σύνολο {1, 2 2,..., n 2 } δεν είναι πλήρες σύστηµα υπολοίπων modn. Ο λόγος είναι ότι (n 1) 2 1(modn). Είναι εύκολο να δειχθεί ότι το σύνολο {x 0,..., x n 1 } είναι ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων modn αν και µόνο αν οι ακέραιοι x 0,..., x n 1 είναι ανισότιµοι ανά δύο modn. ηλαδή, αν και µόνο αν x i x j (modn) για i j, i.j {0,..., n 1}. Αποδεικνύεται (δες Ασκήσεις) ότι : Η γραµµική ισοτιµία ax b(modn) έχει λύση αν και µόνο αν (a, n) b. Αν ο ακέραιος x 0 επαληθεύει τη γραµµική ισοτιµία, τότε υπάρχουν ακριβώς d = (a, n) λύσεις, οι x 0, x 0 + n, x d 0+2 n,..., x d 0+ (d 1) n (modn). d 1.5 Μεταθέσεις Εστω X ένα µη κενό σύνολο. Μία 1 1 και επί απεικόνιση π : X X ονο- µάζεται µετάθεση πάνω στο X. Το σύνολο των µεταθέσεων του X εϕοδιασµένο µε την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων αποτελεί οµάδα, και συµβολίζεται µε Sym(X) και ονοµάζεται η συµµετρική οµάδα πάνω στο X. Στην περίπτωση, X = {1,..., n}, γράϕουµε S n αντί Sym(X), και ονοµάζεται η συµµετρική οµάδα ϐαθµού n. Μια ειδική περίπτωση µετάθεσης είναι η µετάβαση. Μετάβαση είναι ένα στοιχείο της S n που αλλάζει το i µε το j, i j, και όλα τα άλλα στοιχεία του συνόλου {1,..., n} τα αϕήνει αµετάβλητα. Συνήθως συµβολίζεται µε (ij). Είναι εύκολο να δειχθεί ότι το πλήθος των µεταθέσεων του συνόλου

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ {1, 2,..., n} είναι n!. Το πρόσηµο της σ S n ορίζεται ε(σ) = 1 i<j n i j σ(i) σ(j) και εύκολα αποδεικνύεται ότι ε(σ) = +1 ή 1. Μία µετάθεση σ µε ε(σ) = +1 ονοµάζεται άρτια, και περιττή αν ε(σ) = 1. Από τον ορισµό προκύπτει εύκολα ότι ε((12)) = 1, ε(σ 1 σ 2 ) = ε(σ 1 )ε(σ 2 ) και ε(σ 1 ) = ε(σ). Παρατηρώντας ότι το υποσύνολο {+1, 1} των πραγµατικών αριθµών R είναι οµάδα µε πράξη τον συνηθισµένο πολλαπλασιασµό είναι εύκολο να δειχθεί ότι η απεικόνιση ε : S n {+1, 1} είναι οµοµορϕισµός οµάδων. ύο µεταθέσεις σ 1 και σ 2 της S n λέµε ότι µετατίθενται αν σ 1 σ 2 = σ 2 σ 1. Επίσης λέµε ότι αυτές είναι ξένες µεταξύ τους αν {i X : σ 1 (i) i} {j X : σ 2 (j) j} =. Μία µετάθεση σ S n ονοµάζεται κυκλική ή κ-κύκλος αν για ένα υποσύνολο {x 1, x 2,..., x κ } του X ισχύει σ(x i ) = x i+1, για i = 1,..., κ 1 και σ(x κ ) = x 1, ενώ για κάθε άλλο x X µε x x i, i = 1,..., κ ισχύει σ(x) = x. Το πλήθος κ των στοιχείων του συνόλου {x 1, x 2,..., x κ } λέγεται µήκος της σ. Συνήθως ένας κ-κύκλος γράϕεται σ = (x 1 x 2 x κ ). Ετσι ένας κύκλος (x 1 x 2 x κ ) µεταθέτει κυκλικά τα στοιχεία x 1, x 2,..., x κ και αϕήνει τα υπόλοιπα στοιχεία του X αµετάβλητα. Επειδή οι κύκλοι είναι µεταθέσεις, µπορούν να πολλαπλασιασθούν όπως ακριβώς οι µεταθέσεις. Το γινόµενο δύο κύκλων δεν είναι απαραίτητα ένας κύκλος. Πράγµατι, στην S 6, το γινόµενο (1456)(215) δεν είναι κύκλος. Οι κύκλοι µήκους 1 στην S n είναι η ταυτοτική µετάθεση (1) = (2) = = (n). Κάθε µη ταυτοτική µετάθεση σ S n αναλύεται κατά µοναδικό τρόπο σε γινόµενο κύκλων ξένων µεταξύ τους ανά δύο, µήκους 2. Πράγµατι, διαλέγουµε αυθαίρετα ένα στοιχείο x από το X = {1, 2,..., n} και ϑεωρούµε τις διαδοχικές εικόνες του µέσω της σ, δηλ., x, σ(x)σ 2 (x),.... Τα παραπάνω στοιχεία δεν µπορεί να είναι όλα διαϕορετικά, αϕού διαθέτουµε n στοιχεία. Ετσι ϑα υπάρχουν ϑετικοί ακέραιοι r, s (και χωρίς ϐλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι r > s) έτσι ώστε σ r (x) = σ s (x). Συνεπώς σ r s (x) = x. Εστω κ ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος για τον οποίο ισχύει σ κ (x) = x. Τότε η σ περιέχει τον κύκλο (xσ(x)σ 2 (x) σ κ 1 (x)).

1.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21 Εστω y X \ {x, σ(x), σ 2 (x),..., σ κ 1 (x)}. Με τη ίδια διαδικασία ϐρίσκουµε ένα ακέραιο αριθµό λ έτσι ώστε ο κύκλος (yσ(y)σ 2 (y) σ λ 1 (y)) να ανήκει στην σ. Οι δυο παραπάνω κύκλοι της σ είναι ξένοι µεταξύ τους. Πράγµατι, αν είχαµε σ m (x) = σ m (y), µε m > m, τότε σ m m (x) = y. ιαιρώντας το m m µε το κ, m m = aκ + v, µε 0 v < κ. Επειδή σ m m (x) = σ v (x), ϑα είχαµε y = σ v (x) και έτσι, το y ϑα ήταν ένα στοιχείο του κύκλου του x, άτοπο. Συνεχίζοντας την παραπάνω διαδικασία έχουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. 1.6 Ασκήσεις 1. Στο R ορίζουµε την πράξη µε τύπο x y = xy α(x +y)+α(α +1) για κάθε x, y R και όπου α ένας πραγµατικός αριθµός. Να δειχθεί ότι (α) Η πράξη είναι εσωτερική πράξη στο R. (ϐ) Το E 1 = {x R : x > α} είναι κλειστό ως προς την. (γ) Το E 2 = {x R : x < α} δεν είναι κλειστό ως προς την. (δ) Το E 3 = R \ {α} είναι κλειστό ως προς την. (Υπόδειξη. (α) Αϕού όλα τα στοιχεία της έκϕρασης x y ανήκουν στο R και οι πράξεις που χρησιµοποιούνται είναι οι συνήθεις, έχουµε ότι η πράξη είναι εσωτερική στο R. (ϐ) Εστω x, y E 1. Επειδή x y a = (x a)(y a) έχουµε το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. (γ) Οπως και στο (ϐ). (δ) Οπως και στο (ϐ).) 2. Στο σύνολο E = {x R : α < x < α} ϑεωρούµε την πράξη µε x y = α2 (x+y). Να δειχθεί ότι ορίζεται η για κάθε x, y E και ότι είναι xy+α 2 εσωτερική στο E. (Υπόδειξη. Προϕανώς το a > 0. Εστω x, y E. ιακρίνοντας τέσσερις περιπτώσεις για τα x και y αποδεικνύουµε ότι xy + a 2 > 0. Αν x, y E τότε κάνοντας πράξεις δείχνουµε ότι x y E.) 3. Στο σύνολο Q = Q \ {0} ορίζουµε την πράξη µε τύπο α ϐ = α ϐ. Να δειχθεί ότι η δεν είναι µεταθετική ούτε προσεταιριστική. Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ;

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ (Υπόδειξη. Να δοθούν αντιπαραδείγµατα. εν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο.) 4. Στο σύνολο Q των ϱητών ορίζουµε την πράξη µε τον τύπο α ϐ = 1 (α + ϐ) όπου n n N = N \ {0}. Να προσδιορισθεί το n N ώστε η πράξη να είναι προσεταριστική. (Υπόδειξη. n = 1.) 5. Στο σύνολο N των ϑετικών ακέραιων ορίζουµε την πράξη µε τον τύπο x y = x y. Να δειχθεί ότι η πράξη δεν είναι µεταθετική ούτε προσεταιριστική και ότι δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο για αυτή. (Υπόδειξη. Με τη ϐοήθεια των ορισµών και αντιπαραδείγµατα.) 6. Στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζουµε την πράξη µε τύπο z 1 z 2 = z 1 + z 2 z 1 z 2. (α) Να δειχθεί ότι η πράξη είναι µεταθετική και προσεταριστική. (ϐ) Να εξετασθεί αν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο στο C ως προς την. (γ) Να ϐρεθούν τα z C για τα οποία υπάρχει συµµετρικό ως προς την πράξη. (Υπόδειξη. είχνουµε ότι επαληθεύονται η µεταθετική και η προσεταιριστική ιδιότητα. Το ουδέτερο στοιχείο είναι το 0. Αποδεικνύουµε ότι κάθε z 1 έχει συµµετρικό.) 7. Στο σύνολο R + των ϑετικών πραγµατικών ορίζουµε την πράξη µε τον τύπο x y = 2xy. Να δειχθεί ότι το R + µε πράξη την είναι αβελιανή οµάδα. (Υπόδειξη. Το ουδέτερο στοιχείο είναι το 1 2.) 8. Στο σύνολο R ορίζουµε την πράξη µε τον τύπο x y = xy 3(x +y)+12. Αν G = {x R : x > 3} να δειχθεί ότι το G µε την πράξη είναι οµάδα. (Υπόδειξη. είξτε πρώτα από όλα ότι η πράξη είναι εσωτερική.) 9. Εστω f : G H, g : H N είναι οµοµορϕισµοί οµάδων. είξτε ότι η σύνθεση g f : G N είναι οµοµορϕισµός οµάδων. 10. Για κάθε µη κενό σύνολο X, συµβολίζουµε µε X τον πληθικό αριθµό του. Αν X = Y τότε Sym(X) Sym(Y ) ως οµάδες.

1.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 23 (Υπόδειξη. Εστω f µία ένα προς ένα και επί απεικόνιση από το X στο Y. είξτε ότι η απεικόνιση από το Sym(X) στο Sym(Y ) που στέλνει π στο fπf 1 είναι ισοµορϕισµός.) G 11. είξτε ότι σε κάθε οµάδα G, (x 1 x n ) 1 = x 1 n x 1 1, όπου x 1,..., x n (Υπόδειξη. Χρησιµοποιείστε την ιδιότητα του αντιστρόϕου.) 12. Εστω G µια οµάδα. Αν x 2 = 1 G για κάθε x G τότε G είναι αβελιανή. (Υπόδειξη. x 2 = 1 G αν και µόνο αν x = x 1.) 13. είξτε ότι για µια οµάδα G η απεικόνιση x x 1 είναι αυτοµορϕισµός αν και µόνο αν η G είναι αβελιανή. (Υπόδειξη. Απλή χρήση των ορισµών.) 14. είξτε ότι Sym(X) είναι αβελιανή αν και µόνο αν X 2. (Υπόδειξη. είξτε ότι η S 3 δεν είναι αβελιανή.) 15. Μία αλγεβρική δοµή (M, ) λέγεται µονοειδές αν η πράξη είναι προσεταιριστική και υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Εστω X ένα µη κενό σύνολο, και Hom(X, X) το σύνολο των απεικονίσεων από το X στον εαυτό του. είξτε ότι Hom(X, X) εϕοδιασµένο µε πράξη την σύνθεση απεικονίσεων αποτελεί µονοειδές. Επιπλέον, δείξτε ότι τα αντιστρέψιµα στοιχεία του Hom(X, X) είναι η Sym(X). 16. Εστω v, k και i ϑετικοί ακέραιοι, µε v k i. Εστω Ω ένα σταθερό σύνολο µε πληθικό αριθµό v και ορίζουµε το (απλό) γράϕηµα J(v, k, i) ως εξής : Οι κορυϕές του J(v, k, i) είναι τα υποσύνολο του Ω µε πληθικό αριθµό k. ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν η τοµή τους έχει πληθικό αριθµό i. Να δειχθεί ότι Aut(J(v, k, i)) v!. (Υπόδειξη. είξτε ότι η S v είναι υποοµάδα της Aut(J(v, k, i)).) 17. Να δείξετε ότι αν οι µεταθέσεις σ 1, σ 2 S n είναι ξένες µεταξύ τους τότε µετατίθενται. (Λύση. Εστω x X µε σ 1 (x) = x. Ισχυριζόµαστε ότι (σ 1 σ 2 )(x) = (σ 2 σ 1 )(x). Πράγµατι, αν σ 2 (x) = x τότε προϕανώς (σ 1 σ 2 )(x) = (σ 2 σ 1 )(x) = x. Αν σ 2 (x) x, τότε (σ 2 σ 2 )(x) σ 2 (x), οπότε επειδή οι σ 1 και σ 2 είναι ξένες µεταξύ τους

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ έχουµε (σ 1 σ 2 )(x) = (σ 2 σ 1 )(x) = σ 2 (x). Εστω x X µε σ 1 (x) x. Τότε σ 2 (x) = x, οπότε εναλλάσοντας τους ϱόλους των σ 1 και σ 2 έχουµε την προηγούµενη περίπτωση.) 18. Να δείξετε ότι κάθε µετάβαση σ S n είναι περιττή. (Υπόδειξη. Εστω π = (ij) η µετάβαση που ανταλλάσει το i µε το j. Ισχυρι- Ϲόµαστε ότι ε(π) = 1. Θεωρούµε τις µεταθέσεις ρ, που ανταλλάσει το n 1 µε το n, και την σ, που ανταλλάσει το i µε το n 1 και το j µε το n. Τότε π = σ 1 ρσ.) 19. Να δείξετε ότι κάθε κ-κύκλος (x 1 x 2 x κ ) (κ 2) στην S n, µε n 3, γράϕεται ως (x 1 x κ )(x 1 x κ 1 ) (x 1 x 2 ). Επιπλέον, να δειχθεί ότι (ij) = (1j)(1i)(1j). Επιπλέον, να δειχθεί ότι για i 3 (1i) = (12) (i 2 i 1)(i 1 i)(i 2 i 1) (12). 20. Εστω G οµάδα και g G. Να δείξετε ότι οι απεικονίσεις R g : G G και L g : G G µε R g (x) = xg και L g (x) = g 1 x είναι µεταθέσεις του G. 21. Εστω σ = (x 1 x 2 x κ ) ένας κ-κύκλος και ρ S n. Να δείξετε ότι ρσρ 1 = (ρ(x 1 )ρ(x 2 ) ρ(x n )). (Λύση. Για κάθε i = 1,..., κ 1 ισχύει ρσρ 1 (ρ(a i )) = ρσ(a i ) = ρ(a i+1 ), ενώ ρσρ 1 (ρ(a κ )) = ρ(a 1 ). Επίσης, για κάθε x {1,..., n} \ {a 1,..., a κ } έχουµε σ(x) = x και άρα ρσρ 1 (ρ(x)) = ρ(x).) 22. Να δείξετε ότι κάθε µετάθεση σ S n, µε n 2, γράϕεται ως γινόµενο µεταβάσεων. Αν µία µετάθεση σ S n γράϕεται σαν γινόµενο άρτιου (αντ. περιττού) πλήθους µεταβάσεων, τότε, να δείξετε ότι κάθε άλλη ανάλυσή της σε γινόµενο µεταβάσεων περιέχει άρτιο (αντ. περιττό) πλήθος παραγόντων. Να δείξετε ότι ένας κ-κύκλος (κ 2) είναι άρτιος (αντ. περιττός) αν και µόνο αν ο αριθµός κ 1 είναι άρτιος (αντ. περιττός). Επιπλέον, δείξτε ότι µε i j. (ij) = (i i + 1) (j 2 j 1)(j 1 j)(j 2 j 1) (i i + 1) (Υπόδειξη. Η ταυτοτική µετάθεση (1) = (12)(12). Εστω σ S n \ {(1)}. Τότε η σ αναλύεται σε γινόµενο κύκλων, ξένων µεταξύ τους ανά δύο, µήκους

1.6. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 25 2. Αρκεί να δείξουµε ότι κάθε κύκλος µπορεί να γραϕεί σαν γινόµενο µεταβάσεων. Πράγµατι, ένας κ-κύκλος (κ 2) γράϕεται (σ 1 σ 2 σ κ ) = (σ 1 σ κ )(σ 1 σ κ 1 ) (σ 1 σ 2 ). Εστω σ = τ 1 τ κ = π 1... π λ δύο αναλύσεις της σ σε γινόµενο µεταβάσεων. Τότε ε(σ) = ( 1) κ = ( 1) λ. Για να συµβαίνει ( 1) κ = ( 1) λ πρέπει οι κ και λ να είναι ταυτόχρονα άρτιοι ή περιττοί. Εστω (σ 1 σ 2 σ κ ) ένας κ-κύκλος (κ 2). Από την παραπάνω ανάλυση, έχουµε ότι ε((σ 1 σ 2 σ κ )) = ( 1) κ 1. ) 23. Να περιγράψετε τις κλάσεις ισοδυναµίας και το αντίστοιχο σύνολο πηλίκο των σχέσεων ισοδυναµίας των παραδειγµάτων 4. 24. (i) Εστω a 1,..., a n µη µηδενικοί ακέραιοι µε n > 2. Να δείξετε ότι για κάθε κ, 1 κ n 2, (a 1,..., a n ) = (a 1,..., a κ, (a κ+1,..., a n )). (ii) Η εξίσωση ax + by = n έχει ακέραιες λύσεις x και y αν και µόνο αν (a, b) n. (iii) Να δειχθεί ότι αν a bc και (a, b) = 1 τότε a c. 25. Εστω a, b, κ Z µε κ 0 και d = (κ, n). Να δείξετε ότι κa κb(modn) αν και µόνο αν a b(modn/d). (Λύση. Υπάρχουν κ, n Z έτσι, ώστε κ = dκ, n = dn και (κ, n ) = 1. Υποθέτουµε ότι a b(modn/d). Τότε n (a b)d. Συνεπώς n (a b)dκ και έτσι κa κb(modn). Αντίστροϕα, υποθέτουµε ότι κa κb(modn). Τότε n (a b)κ από όπου προκύπτει n (a b)κ. Επειδή (κ, n ) = 1, έχουµε n (a b).) 26. Να δείξετε ότι 13 23 27 41 7(mod8). (Λύση. Είναι 13 2 = 169 9 = 1(mod8). Άρα 13 23 = 13 2 11+1 = (13 2 ) 11 13 13 5(mod8). Επίσης 27 3(mod8). Άρα 27 2 9 1(mod8). Εποµένως 27 41 = 27 2 20+1 = (27 2 ) 20 27 27 3(mod8). Συνεπώς 13 23 27 41 15 7(mod8) και έτσι υπάρχει a Z έτσι, ώστε 13 23 27 41 = 8a + 7, δηλ., το 7 είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης.) 27. (i) Εστω (a, n) = 1. Τότε η γραµµική ισοτιµία ax b(modn) έχει ακριβώς µία λύση. (ii) Η γραµµική ισοτιµία ax b(modn) έχει λύση αν και µόνο αν (a, n) b. Αν ο ακέραιος x 0 επαληθεύει τη γραµµική ισοτιµία, τότε υπάρχουν ακριβώς d = (a, n) λύσεις, οι x 0, x 0 + n d, x 0 + 2 n d,..., x 0 + (d 1) n d (modn).

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ (Λύση. (i) Επειδή (a, n) = 1, η κλάση ισοδυναµίας [a] n είναι αντιστρέψιµη. Άρα υπάρχει ακέραιος c έτσι ώστε ac 1(modn). Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της γραµµικής ισοτιµίας µε c παίρνουµε x bc(modn). (ii) Θέτουµε d = (a, n). Εστω x 0 ακέραιος τέτοιος, ώστε ax 0 b(modn). Υπάρχει c Z έτσι, ωστε ax 0 b = cn. Καθώς d a και d n παίρνουµε d b. Αντίστροϕα, υποθέτουµε ότι d b. Τότε b Z. Παρατηρούµε ότι ένας d ακέραιος x επαληθεύει την ax b(modn) αν και µόνο αν επαληθεύει την a x b (modn). Επειδή ( a, n ) = 1, από το (i), η παραπάνω γραµµική ισοτιµία d d d d έχει µοναδική λύση την x x 0 (mod n ). Άρα το σύνολο των ακέραιων που d επαληθεύουν την ax b(modn) αποτελείται από όλους τους ακέραιους της µορϕής x 0 + κ( n ) µε κ Z. Εχουµε d x 0 +κ 1 n d x 0+κ 2 n d (modn) n (κ 1 κ 2 ) n d d (κ 1 κ 2 ) κ 1 κ 2 (modd). Ετσι όλες οι λύσεις της ax b(modn) είναι x 0, x 0 + n d, x 0 + 2 n d,..., x 0 + (d 1) n d (modn).) 28. Να ϐρεθούν οι λύσεις της γραµµικής ισοτιµίας 35x 4(mod102). (Λύση. Επειδή (35, 102) = 1, από την Άσκηση 27 (i), έχουµε ότι υπάρχει µοναδική λύση. Από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη έχουµε ότι 1 = ( 12) 102+ 35 35 και έτσι 35 35 1(mod102). Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της παραπάνω ισοτιµίας µε 4 παίρνουµε 35 (35 4) 4(mod102). Εποµένως η µοναδική λύση της γραµµικής ισοτιµίας είναι x 35 4 38(mod102).) 29. Να ϐρεθούν οι λύσεις της γραµµικής ισοτιµίας 357x 105(mod1729). (Λύση. Από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη, έχουµε ότι (357, 1729) = 7. Επειδή 7 105, έχουµε ότι η γραµµική ισοτιµία έχει 7 λύσεις. Επίσης, από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη, 7 = 19 1729 + ( 92) 357. Άρα ( 92) 357 7(mod1729). Πολλαπλασιάζοντας τα δύο µέλη της ισοτι- µίας µε 15 παίρνουµε (( 92) 15) 357 105(mod1729). Άρα οι λύσεις της γραµµικής ισοτιµίας είναι 349, 596, 843, 1090, 1337, 1584, 102(mod1729).)

Κεϕάλαιο 2 Υποοµάδες. Κυκλικές οµάδες 2.1 Υποοµάδες Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Συµβολίζουµε µε SL(n, R) το σύνολο των n n πινάκων µε στοιχεία από το R που έχουν ορίζουσα 1. Θυµί- Ϲουµε ότι η GL(n, R) είναι οµάδα µε πράξη τον συνηθισµένο πολλαπλασιασµό πινάκων. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι το SL(n, R) είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασµό και µάλιστα αποτελεί οµάδα. Αυτή η παρατήρηση είναι ένα τυπικό παράδειγµα υποοµάδας. Εστω G µια οµάδα και H ένα µη κενό υποσύνολο του G. Λέµε ότι H είναι υποοµάδα της G, συµβολίζεται µε H G, αν x, y H τότε xy H και για κάθε x H, x 1 H. Από τον ορισµό της υποοµάδας έπεται ότι 1 G H. ύο προϕανή παραδείγµατα υποοµάδων είναι {1 G } και η ίδια η οµάδα G. Αυτές οι υποοµάδες ονοµάζονται τετριµµένες. Οποιαδήποτε άλλη υποοµάδα ονοµάζεται γνήσια. Πρόταση 4 Εστω H ένα υποσύνολο της οµάδας G. Τότε H είναι υποοµάδα της G αν και µόνο αν H είναι µη κενό σύνολο και xy 1 H για κάθε x, y H. Απόδειξη. Αν H είναι υποοµάδα τότε δεν έχουµε να αποδείξουµε τίποτα. Ετσι υποθέτουµε ότι το H είναι µη κενό και xy 1 H για κάθε x, y H. Αϕού H, υπάρχει h H έτσι ώστε 1 G = hh 1 H. Αν x, y H, τότε 1 G y 1 = y 1 H και έτσι x(y 1 ) 1 = xy H. Συνεπώς, H είναι υποοµάδα. Η απόδειξη της επόµενης πρότασης είναι στοιχειώδης. 27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΠΟΟΜΑ Ε. ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ Πρόταση 5 Αν {H λ : λ Λ} είναι ένα σύνολο υποοµάδων µιας οµάδας G, τότε λ Λ H λ είναι υποοµάδα της G. Η παραπάνω πρόταση δεν ισχύει γενικά για την ένωση υποοµάδων. Εστω R 2 = {(x, y) : x, y R} εϕοδιασµένο µε πράξη (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) για κάθε x 1, x 2, y 1, y 2 R. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι (R 2, +) είναι α- ϐελιανή οµάδα. Θεωρούµε τα υποσύνολα H 1 = {(x, 0) : x R} και H 2 = {(0, x) : x R}. Οι αλγεβρικές δοµές (H 1, +) και (H 2, +) είναι υποοµάδες της (R 2, +). Υποθέτουµε ότι (H = H 1 H 2, +) είναι υποοµάδα της (R 2, +). Επειδή (1, 0) H 1 και (0, 1) H 2, τότε (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) H που είναι άτοπο. (Για περισσότερες πληροϕορίες για τη ένωση δύο ή περισοτέρων υποοµάδων παραπέµπουµε τον αναγνώστη στη παράγραϕο 2.3 και στις ασκήσεις 9 12.) Εστω X ένα υποσύνολο της οµάδας G και έστω F X = {H G : X H}. Επειδή G F X, έχουµε ότι F X. Σύµϕωνα µε την Πρόταση 5, H FX H είναι υποοµάδα της G, και µάλιστα, X H FX H. Συµβολίζουµε X = H FX H. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι X είναι η µικρότερη υποοµάδα της G που περιέχει το X. ( ηλαδή, αν N G και X N, τότε X N.) Στη περίπτωση που G = X, λέµε ότι η G παράγεται από το X. Αν επιπλέον, X <, λέµε ότι η G είναι πεπερασµένα παραγόµενη. Αν X = 1 τότε G = x, δηλαδή, κυκλική οµάδα. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι G = {x n : n Z}. Τα κλασικά παραδείγµατα κυκλικών οµάδων είναι : η άπειρη κυκλική των ακέραιων αριθµών (Z, +) και η (Z n, +), πεπερασµένη κυκλική, όπου Z n είναι ακέραιοι modulo n. Πρόταση 6 Αν X είναι ένα µη κενό υποσύνολο της οµάδας G, τότε X = {1 G } {x ε 1 1 x ε κ κ : ε i = ±1, x i X, κ 1}. Απόδειξη. Εστω S = X = {1 G } {x ε 1 1 x ε κ κ : ε i = ±1, x i X, κ 1}. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι S είναι υποοµάδα και X S, έτσι S X. Προϕανώς, S X. Άρα S = X.

2.2. ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ 29 Παράδειγµα 2 Θα δείξουµε ότι το σύνολο των µεταβάσεων {(12), (23),..., (n 1n)} παράγει την S n, µε n 2. Με επαγωγή στο n αποδεικνύεται ότι κάθε µετάθεση γράϕεται ως γινόµενο µεταβάσεων. Από την Άσκηση 22 (ή από την Άσκηση 19) του Κεϕαλαίου 1 προκύπτει το Ϲητούµενο αποτέλεσµα. 2.2 Κυκλικές οµάδες Εστω G µία (πολλαπλασιαστική) οµάδα. Ενα στοιχείο x G έχει πεπερασµένη τάξη (finite order) n αν η κυκλική υποοµάδα x είναι πεπερασµένη µε πληθικό αριθµό n. ηλαδή, x = n. Αν x είναι άπειρη, τότε το x έχει άπειρη τάξη. Συµβολίζουµε x (ή ord(x)) την τάξη του x. Μια οµάδα λέγεται περιοδική αν όλα τα στοιχεία της έχουν πεπερασµένη τάξη. Αν οι τάξεις των στοιχείων της οµάδας είναι πεπερασµένες και φραγµένες, τότε λέµε ότι η οµάδα έχει πεπερασµένο εκθέτη (exponent). Τότε ο εκθέτης της οµάδας είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των τάξεων. Προϕανώς κάθε πεπερασµένη οµάδα έχει πεπερασµένο εκθέτη, και µία οµάδα που έχει πεπερασµένο εκθέτη είναι περιοδική. Από την άλλη πλευρά, µια οµάδα που κάθε στοιχείο της, εκτός του ουδετέρου, έχει άπειρη τάξη καλείται ελεύθερη στρέψης οµάδα. Πρόταση 7 Εστω G οµάδα και x G. (i) x έχει άπειρη τάξη αν και µόνο αν όλες οι δυνάµεις του x είναι διαϕορετικές µεταξύ τους. (ii) Αν x έχει πεπερασµένη τάξη n τότε x m = 1 αν και µόνο αν n m. Επιπλέον, x = {1, x,..., x n 1 }. (iii) Αν x έχει πεπερασµένη τάξη n, η τάξη του x κ είναι ίση µε n/(n, κ), όπου (n, κ) είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των n και κ. Απόδειξη. Αν όλες οι δυνάµεις του x είναι διαϕορετικές, τότε προϕανώς x είναι άπειρη. Αντίστροϕα, υποθέτουµε ότι δύο δυνάµεις του x είναι ίσες, x l = x κ, όπου l < κ, τότε x κ l = 1. Ετσι µπορούµε να διαλέξουµε τον µικρότερο ϑετικό ακέραιο n τέτοιο, ώστε x n = 1. Χρησιµοποιώντας τον αλγόριθµο διαίρεσης (Θεώρηµα 1), m = qn + r, όπου q, r είναι ακέραιοι και 0 r < n. Τότε x m = (x n ) q x r = x r, από όπου προκύπτει ότι x = {1, x,..., x n 1 }. Ετσι το x έχει πεπερασµένη τάξη. Επίσης, x m = 1 αν και µόνο αν r = 0, δηλαδή, αν n m: αυτό προκύπτει από την επιλογή του n. Εστω m = ord(x κ ).

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΥΠΟΟΜΑ Ε. ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ Επειδή (x κ ) (n,κ) n = (x n ) (n,κ) κ n = 1, έχουµε ότι m (n,κ). Λόγω του ότι (x κ ) m = 1, n n κm. Ετσι ( κ )m. (Κάνοντας χρήση της ταυτότητας Bezout), έχουµε (n,κ) (n,κ) ότι (n, κ) = xκ + yn, για κάποιους x, y Z και έτσι 1 = x n + (n,κ) y κ.) Επειδή (n,κ) ( n (n,κ), κ n ) = 1, έχουµε ότι m. Συνεπώς, m = n (n,κ) (n,κ) (n,κ). Παράδειγµα 3 Εστω G = (Z 12, +) και έστω H = [8] 12. Επειδή (8, 12) = 4, η τάξη του [8] 12 είναι 12/4 = 3 και άρα H = 3. Οι τάξεις των [2] 12 και [10] 12 είναι ίσες µε 6, αϕού (2, 12) = (10, 12) = 2 και εποµένως [2] 12 = [10] 12. Εστω G µια οµάδα. Για κάθε υποοµάδα H της G, ορίζουµε µια σχέση R α,h πάνω στο G ως εξής : (x, y) R α,h αν και µόνο αν υπάρχει h H έτσι ώστε x = yh. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η σχέση είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική, δηλαδή, η R α,h είναι σχέση ισοδυναµίας πάνω στο G. Η κλάση ισοδυναµίας του x είναι xh = {xh : h H}, και ονοµάζεται αριστερό σύµπλοκο (ή αριστερή πλευρική κλάση) του H που περιέχει το x. Παρατηρούµε ότι διαϕορετικά αριστερά σύµπλοκα είναι ξένα µεταξύ τους και xh = yh αν και µόνο αν x 1 y H. Επειδή η απεικόνιση h xh είναι 1 1 και επί, έχουµε ότι H = xh, δηλαδή, όλα τα αριστερά σύµπλοκα του H έχουν τον ίδιο πληθικό αριθµό H. Συµβολίζουµε µε A H το σύνολο των αριστερών συµπλόκων του H. (Μερικές φορές συµβολίζεται G/R α,h και αναϕέρεται ως σύνολο πηλίκο.) Με ακριβώς ανάλογο τρόπο µπορούµε να ορίσουµε την R δ,h. Ετσι ορίζεται το δεξιό σύµπλοκο (ή δεξιά πλευρική κλάση) του H που περιέχει το x, δηλ., Hx = {hx : h H}. Το σύνολο των δεξιών συµπλόκων του H παριστάνεται µε D H ή G/R δ,h (το σύνολο πηλίκο των δεξιών συµπλόκων). Ισχυριζόµαστε ότι A H = D H. Πράγµατι, έστω ϕ ο µηχανισµός από το σύνολο A H στο σύνολο D H µε τύπο ϕ(xh) = Hx 1 για κάθε x G. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ϕ είναι απεικόνιση, 1 1 και επί. Εστω H υποοµάδα της οµάδας G. Ο κοινός πληθικός αριθµός των A H και D H ονοµάζεται δείκτης της H στην G, και συµβολίζεται µε G : H. Θεώρηµα 4 ( Lagrange) Εστω G πεπερασµένη οµάδα. Τότε για κάθε υποο- µάδα H της G ισχύει G = G : H H. Συγκεκριµένα, ο H διαιρεί τον G. Απόδειξη. Η οµάδα G γράϕεται σαν ξένη ένωση των αριστερών συµπλόκων της H, δηλ., G = 1 i m x i H και x i H x j H = αν i j. Τότε G = m i=1 x i H. Αϕού x i H = H για i = 1,..., m, έχουµε ότι G = m H. Παρατηρώντας ότι m = G : H, παίρνουµε το Ϲητούµε αποτέλεσµα.