ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Οι διαφορικές εξισώσεις είναι ο κλάδος των μαθηματικών που περισσότερο ίσως από κάθε άλλον οφείλει την γέννηση του στην Μηχανική, στην Αστρονομία και στη Θεωρητική Φυσική. Αρχίζουν δε να κάνουν την εμφάνισή τους από την εποχή του Newton (164-177) και του Leibniz (1646-1716). Ο Newton είναι ο πρώτος που χρησιμοποίησε διαφορική εξίσωση για την κίνηση των σωμάτων περιοριζόμενος στις απλές μορφές: dy d =f(), dy d =f(y), 1 dy d =f(,y), O Leibniz προχώρησε λίγο παραπέρα αναπτύσσοντας τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών, των ομογενών πρώτης τάξης και των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης. Στον Leibniz όμως οφείλονται οι συμβολισμοί της παραγώγου dy/d και του ολοκληρώματος f()d. Μετά τους Newton και Leibniz, τον 18 ο αιώνα, σημαντικοί μαθηματικοί, όπως οι Jacob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748), Clairaut (1713-1765), Riccati (1676-1754), ασχολήθηκαν με τις εκφράσεις των λύσεων διαφορικών εξισώσεων και μερικές διαφορικές εξισώσεις έχουν πάρει το όνομά τους. Την ίδια περίοδο, ένας πολύ σπουδαίος μαθηματικός, ο Euler (1707-1783), ασχολήθηκε με τη διατύπωση προβλημάτων της Μηχανικής στη μαθηματική γλώσσα των διαφορικών εξισώσεων και την ανάπτυξη μεθόδων για τη λύση τους. Αργότερα οι μεγάλοι Γάλλοι μαθηματικοί Cauchy (1789-1857), Lagrange (1736-1813), και Laplace (1749-187), έκαναν σημαντικές εργασίες στις διαφορικές εξισώσεις και οι δυο τελευταίοι έδωσαν την πρώτη επιστημονική εργασία πάνω στις διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Ενώ, κατά τον 17 ο και 18 ο αιώνα, δόθηκε έμφαση στην επίλυση διαφόρων μορφών διαφορικών εξισώσεων, αναζητώντας εκφράσεις για τις λύσεις τους, κατά την διάρκεια του τελευταίου τέταρτου του 19 ου αιώνα, η μελέτη των διαφορικών εξισώσεων πήρε ριζικά διαφορετικό δρόμο. Ο Peano (1858-193), το 1890, χρησιμοποιώντας την πολυγωνική μέθοδο των Euler και Cauchy, έδωσε μια αυστηρή απόδειξη του θεωρήματος ύπαρξης λύσης μιας διαφορικής εξίσωσης. Την ίδια περίοδο ο Lipschitz (183-1903), το 1876, και ο Picard (1856-1941), το 1890 απέδειξαν πως η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων δίνει συγχρόνως μια απόδειξη για την ύπαρξη και τη μοναδικότητα των λύσεων του προβλήματος

της αρχικής τιμής ή, όπως αλλιώς λέγεται, του προβλήματος του Cauchy. Το ίδιο χρονικό διάστημα, με τις έρευνες του Poincare (1854-191), το 1881, και του Liapunov (1857-1918) το 189, άνοιγε ένας καινούργιος δρόμος στις διαφορικές εξισώσεις, η μελέτη της ποιοτικής συμπεριφοράς των λύσεων. Εδώ υποτίθεται η ύπαρξη των λύσεων και η προσπάθεια γίνεται στον προσδιορισμό των τοπολογικών ιδιοτήτων του χώρου των φάσεων και της συμπεριφοράς των λύσεων όταν ο χρόνος τείνει στο άπειρο. Στη συνέχεια, στο πρώτο μισό του0 ου αιώνα, έγιναν μεγάλες πρόοδοι στην ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων από σπουδαίους μαθηματικούς, όπως ο Birkhoff (1884-1944) και ο Lefschetz (1884-197). Τα τελευταία χρόνια πολλοί αξιόλογοι, σύγχρονοι, μαθηματικοί, όπως οι Cesari, Hale, Lasalle (1916-1983), Arnold, Yoshizawa, Sell, με τις εργασίες τους συνέβαλαν σημαντικά στην ποιοτική ανάπτυξη της θεωρίας των διαφορικών εξισώσεων. Σήμερα οι διαφορικές εξισώσεις αποτελούν ένα σημαντικό και ευρύ κλάδο της Μαθηματικής Ανάλυσης.. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισμοί: Διαφορική εξίσωση (Δ.Ε) λέγεται κάθε εξίσωση που περιέχει τη μεταβλητή, μια άγνωστη συνάρτηση y=f() και κάποιες από τις παραγώγους της y,y, Παραδείγματα: (1) dy =y d () y +4y+y=cos (3) dy d +y = (4) d 3 d y 3 dy +3 +y =0 d (5) y siny+(y ) V 1 V =1 (6) c t όπου η συνάρτηση V είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών και t και η c είναι μια σταθερά. Π.χ. V(,t)= +ct Οι Δ.Ε διακρίνονται σε: α) Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση y είναι συνάρτηση μιας μόνο ανεξάρτητης μεταβλητής (περιπτώσεις (1)-(5)). β) Διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους στις οποίες η άγνωστη συνάρτηση είναι συνάρτηση δύο ή περισσοτέρων ανεξαρτήτων μεταβλητών (περίπτωση (6)).

Τάξη μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται η μεγαλύτερη τάξη παραγώγου που εμφανίζεται στην εξίσωση. Για παράδειγμα οι παραπάνω Δ.Ε είναι 1 ης, ας, 1 ης, 3 ης, ας και ας τάξεως. Η μεγάλη σημασία των Δ.Ε για την Φυσική οφείλεται στο γεγονός ότι σε πολλά επιστημονικά προβλήματα ζητείται να προσδιοριστεί ένα μέγεθος από κάποιες πληροφορίες που δίνονται για το ρυθμό μεταβολής του μεγέθους αυτού συναρτήσει κάποιου άλλου μεγέθους. Π.χ. μπορεί να ζητείται η εκάστοτε θέση ενός κινητού αν είναι γνωστή η ταχύτητα ή η επιτάχυνση του. Οι πληροφορίες που δίνονται για το ρυθμό μεταβολής του ζητουμένου μεγέθους συνήθως μπορούν να εκφραστούν με μια εξίσωση που περιέχει παραγώγους αυτού του μεγέθους. Από μαθηματική άποψη το πρόβλημα ανάγεται στη λύση μιας Δ.Ε. Άσκηση Α: Σε κάθε μια από τις παρακάτω Δ.Ε. να εξετάσετε αν είναι συνήθης ή με μερικές παραγώγους και να βρείτε την τάξη της: Σε κάθε Δ.Ε εξίσωση διακρίνουμε την γενική λύση (το σύνολο όλων των λύσεων) και τις μερικές λύσεις. Παράδειγμα: Η Δ.Ε y +y- e =0 (Ι) έχει γενική λύση την y=(+c) είναι μια μερική λύση της (Ι). Η γενική λύση μιας Δ.Ε. πρώτης τάξεως έχει την μορφή: y=f(,c) (1) e (άπειρες λύσεις, cr), ενώ για παράδειγμα η y= ή F(,y,c)=0 () σε πεπλεγμένη μορφή. Αν η τελευταία μορφή μπορεί να λυθεί ως προς y, τότε παίρνουμε την (1). Γενικά αποδεικνύεται ότι: α) Η γενική λύση μιας Δ.Ε. ν τάξεως περιέχει ν σταθερές. e 3

β) Μια συνάρτηση που περιέχει ν σταθερές και επαληθεύει μια Δ.Ε. ν τάξεως είναι η γενική της λύση. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, η γενική λύση μιας Δ.Ε. τάξεως ν έχει την μορφή: y=f(,c1,c,,cν) ή την πεπλεγμένη μορφή: F(,y,c1,c,,cν)=0 Δίνοντας διάφορες τιμές στα c1,c,,cν παίρνουμε από τις δύο τελευταίες σχέσεις διάφορες μερικές λύσεις της Δ.Ε. Άσκηση Β: Να επαληθεύσετε ότι, για τις παρακάτω Δ.Ε., οι συναρτήσεις που δίνονται είναι οι γενικές λύσεις. 1. y =y y=ce. y =e -y -1 e y -e -ce - =0 3. y +y=0 y=c1sin+ccos 4. y -y=0 y=c1sinh+ccosh Ύπαρξη και μοναδικότητα Σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών θα συναντήσει κανείς θεωρήματα "ύπαρξης και μοναδικότητας". Τα θεωρήματα αυτά μας λένε κάτω από ποιές προϋποθέσεις ένα πρόβλημα, (όπως η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης), έχει λύση και αυτή η λύση είναι μοναδική. Δυστυχώς πολλές φορές τα θεωρήματα αυτά δεν μας δίνουν και την λύση. Παρ' όλα αυτά η αξία τους είναι μεγάλη. Ένα θεώρημα ύπαρξης μας διαβεβαιώνει ότι υπάρχει λύση, που πρέπει να ψάξουμε να τη βρούμε. Θα ήταν άσκοπο να σπαταλήσουμε χρόνο και προσπάθεια για να βρούμε μια λύση, όταν στην πραγματικότητα δεν υπάρχει. Επίσης το σκέλος του θεωρήματος που αφορά την μοναδικότητα, μας διαβεβαιώνει ότι η λύση που υπάρχει είναι μοναδική και μας προφυλάσσει από τον κίνδυνο να ασχοληθούμε με μια λύση, που αργότερα θα διαπιστώσουμε ότι δεν είναι αυτή που θέλαμε. 3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγμα: Να βρεθεί η γενική λύση της Δ.Ε. y =-y. 4

"Χωρίζουμε" την Δ.Ε. έτσι ώστε στο πρώτο μέλος να υπάρχει μόνο η μια μεταβλητή π.χ. η y και στο δεύτερο η και ολοκληρώνουμε και τα δυο μέλη: dy =-y d dy - y =d (y 0) άρα - dy y = d επομένως 1 1 =+c y=, cr (1). y +c Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση y=0 ικανοποιεί τη Δ.Ε. χωρίς να προέρχεται από την γενική της λύση (1) για κάποια πεπερασμένη τιμή της c. Μια τέτοια λύση ονομάζονται ιδιάζουσα λύση της Δ.Ε. 4 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΕΩΣ Η γενική μορφή των γραμμικών Δ.Ε. 1 ης τάξεως είναι y +α()y=β() Η y=f() είναι η άγνωστη συνάρτηση ενώ οι συναρτήσεις α(), β() είναι γνωστές συναρτήσεις του. Αν β()=0 η (Ι) έχει την μορφή Δ.Ε. χωριζομένων μεταβλητών. Η Δ.Ε. (I) ονομάζεται γραμμική διότι η πρώτη παράγωγος y και η ίδια η συνάρτηση y εμφανίζονται μόνο στην πρώτη δύναμη. Λύση της (Ι): Έστω γ ()=α(), τότε (Ι) y +γ ()y=β() y e γ() +γ ()ye γ() =β()e γ() ye γ() Παράδειγμα: γ() κλπ. β()e Να λυθεί η Δ.Ε. y -y=. Μια παράγουσα της συνάρτησης - είναι η. H αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με την y e (I) -y e = e e ye = - - e ye = επομένως y=c e - 1. 5. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ας ΤΑΞΕΩΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ Η γενική της μορφή είναι: y +p1y +p0y=f() όπου p0, p1 είναι σταθεροί συντελεστές. Αν f()=0, η εξίσωση ονομάζεται ομογενής. 5

Θα ασχοληθούμε εδώ με την λύση της ομογενούς δηλαδή με την y +p1y +p0y=0. Βασικό ρόλο για την λύση παίζει η χαρακτηριστική εξίσωση λ +p1λ+p0=0 (1) α) Αν η (1) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες λ1,λ τότε η λύση της Δ.Ε είναι η λ1 λ y= 1 c e +c e όπου c1,cr. β) Αν η (1) έχει μία διπλή ρίζα λ τότε η λύση της Δ.Ε είναι η y= c e +c e 1 όπου c1,cr. γ) Αν η (1) έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες κλi τότε η λύση της Δ.Ε είναι η y= c e cos(λ)+c e sin( ) όπου c1,cr. 1 Παράδειγμα: Να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών τιμών: y -4y +9y=0, με y(0)=0 και y (0)=-8. Λύση: Η χαρακτηριστική εξίσωση της Δ.Ε. είναι η λ -4λ+9=0 με ρίζες τους μιγαδικούς 5i επομένως η γενική λύση της Δ.Ε. είναι η y()=c1e cos( 5 )+ce sin( 5 ). Θέτοντας στην τελευταία όπου =0 παίρνουμε c1=0, δηλαδή y()=ce sin( Τότε y ()=ce sin( 5 )+ 5 ce cos( 5 ). Για =0 η τελευταία δίνει y (0)=c 5 c= - 8 5. Επομένως η ζητούμενη λύση είναι η y()= - 8 5 e sin( 5 ). 5 ). Ασκήσεις A) Χωριζόμενες Μεταβλητές 1) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) y =y β) y+(+1)y =0, -1 γ) y =- δ) y =-1 ε) y = y ς) y =- y ) α) Να προσδιορισθούν τα Α, Β, Γ έτσι ώστε το B - + Γ -3. 3 +1 3-5 +6 να γραφεί στην μορφή A + 6

β) Να λυθεί η εξίσωση: y ( 3 +1)+( 3-5 +6)y =0, με y( 3-5 +6) 0 3) Να λυθεί η εξίσωση (y-1)y =3 +4+ με y(0)=-1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της λύσης. 4) Να λυθεί η εξίσωση e =yy με y(0)=1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της λύσης. 5) Να λυθεί η Δ.Ε y =6y με την αρχική συνθήκη y(1)= 1 5. 6) Έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι ο ρυθμός μεταβολής, ως προς το χρόνο του πληθυσμού των αμοιβάδων είναι ανάλογος του πληθυσμού (όταν δεν επηρεάζεται από εξωτερικούς παράγοντες). Οι αμοιβάδες πολλαπλασιάζονται με "διχοτόμηση": κάθε αμοιβάδα, μετά παρέλευση, (κατά μέσο όρο), χρόνου τ από τη "γέννηση" της, διχοτομείται και δίνει δυο αμοιβάδες. Έστω ότι θέλουμε να μετρήσουμε τη μέση ζωή τ των αμοιβάδων. Για το σκοπό αυτό μετρούμε τον αριθμό Ν των αμοιβάδων σε μια καλλιέργεια τη στιγμή t=0 και τη στιγμή t=t1 και βρίσκουμε Ν0 και Ν1 αντίστοιχα. Να υπολογιστεί το τ συναρτήσει των t1, N0, και N1. (Υπόδειξη: Σε χρονικό διάστημα τ ο αριθμός των αμοιβάδων διπλασιάζεται). 7) Όταν μια ακτινοβολία, (π.χ. ακτίνες Χ ή νετρόνια), διαπερνάει κάποιο υλικό ο ρυθμός μεταβολής της έντασής της Ι είναι ανάλογος της Ι, δηλαδή Ι ()=-μι(), όπου μ θετική σταθερά που εξαρτάται από τη φύση του υλικού. Αν η ακτινοβολία προσπίπτει με αρχική ένταση Ι0 σε μια επίπεδη πλάκα από κάποιο υλικό και βγαίνει από την πίσω επιφάνεια της πλάκας με ένταση Ι0/10 να υπολογιστεί, (συναρτήσει του μ), το πάχος της πλάκας. 8) Μια τορπίλη μάζας m εκτοξεύεται οριζοντίως με αρχική ταχύτητα v0 και επιβραδύνεται από μια δύναμη F=m dv dt, ανάλογη προς την ταχύτητα της (F=-kv(t)). Υποθέτοντας ότι καμία άλλη δύναμη δεν ασκείται στη τορπίλη, βρείτε τη ταχύτητα της και το διάστημα που έχει διανύσει μετά παρέλευση χρόνου t από την εκτόξευση της. (Υπόδειξη: ds(t) v(t) ) dt Αριθμητική εφαρμογή: v0=60km/h, m=100kg. k=4 10-3 kg/s. 9) Ο ρυθμός με τον οποίο ψύχεται ένα θερμό σώμα είναι ανάλογος της διαφοράς μεταξύ της θερμοκρασίας του σώματος και της θερμοκρασίας του μέσου που περιβάλλει το σώμα. Αν η θερμοκρασία κάποιου σώματος σε μια ώρα έπεσε από10 0 C σε70 0 C και η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι σταθερή και ίση με 0 0 C, σε πόσο χρόνο θα πέσει η θερμοκρασία του σώματος στους 30 0 C; 10) Ένας αλεξιπτωτιστής αρχίζει να πέφτει από ύψος h0=1000m και ανοίγει αμέσως το αλεξίπτωτο του. Το σύστημα αλεξιπτωτιστή-αλεξιπτώτου έχει μάζα m=85kg. Η αντίσταση FR του αέρα δίνεται από το νόμο FR=k1v, όπου k1=10-3 kg/s σταθερός συντελεστής και v η 7

(εκάστοτε) ταχύτητα του αλεξιπτώτου. Να υπολογιστεί η ταχύτηταv και το ύψος Η του αλεξιπτωτιστή σε μια τυχαία χρονική στιγμή t. (Υπόδειξη: Να χρησιμοποιηθεί ο νόμος του Νεύτωνα: Β-FR=m dv dt ). B) ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΕΩΣ 1) Να λυθούν οι εξισώσεις: α) y + 4 y=4 β) y =-1+ y ς) y +y=3e ζ) y +y=sin γ) y+ y= δ) y - 1 y= ε) cos y -y =sin sin ) Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις φ() οι οποίες έχουν την ιδιότητα: 3) Να λυθεί η Δ.Ε. v (t)+0,196v(t)=9,8 με v(0)=48. 4) Να λυθεί η Δ.Ε. y cos+ysin=cos 3 sin-1 με y 4 =3, 0< 5) Να λυθεί η Δ.Ε. ty +y=t -t+1 με y(1)=0,5. 6) Να λυθεί η Δ.Ε. ty -y=t 5 sin(t)-t 3 +4t 4 με y(π)=1,5π. t (t)dt = +φ(). 7) Να λυθεί η Δ.Ε. y -y=4sin(3t) με y(0)=y0. Για τις διάφορες τιμές του y0, να βρεθεί η συμπεριφορά της λύσης καθώς το t. Γ) ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑΣ ΤΑΞΕΩΣ 1) Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε.: α) y -3y +4y=0 β) y +4y +4y=0 γ) y =0 δ) y -4y =0 ) Να βρεθούν οι γενικές λύσεις των παρακάτω Δ.Ε.: α) y -y -y=0 β) y -9y=0 8