Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Σύνψη Στ δέκαττρίτ ετύτ κεφάλαι περιγράφνται τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα και η διάδσή τυς στ κενό. Παρυσιάζνται αναλυτικά ι τέσσερις εξισώσεις τυ Maxwell ι πίες δμύν την θεωρία τυ ηλεκτρμαγνητισμύ. Επίσης περιγράφεται η εξίσωση τυ ηλεκτρμαγνητικύ κύματς καθώς και η πόλωση και η ενέργεια κύματς. Τέλς αναφέρνται ι ιδιότητες των ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων και τ ηλεκτρμαγνητικό φάσμα. 13.1 Γενικά Τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα είναι κύματα πυ παρυσιάζυν τις ίδιες ιδιότητες με τα μηχανικά και περιγράφνται με τν ίδι τρόπ. Παρόλα αυτά τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα παρυσιάζυν μια σημαντική διαφρά από τα μηχανικά, η πία έγκειται στ ότι μπρύν να μεταδθύν στ κενό. Αντιθέτως για να υπάρξει διάδση μηχανικών κυμάτων πρέπει να υπάρχει μέσ διάδσης όπως είναι αέρας, τ νερό και γενικά πιδήπτε είδς ύλης. Τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα είναι στην υσία ταλαντώσεις ηλεκτρικύ και μαγνητικύ πεδίυ στ χώρ. Τα δυ πεδία είναι Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894) κάθετα μεταξύ τυς, και ταυτχρόνως είναι και τα δυ κάθετα την κατεύθυνση διάδσής τυς. Επειδή τ ηλεκτρικό και τ μαγνητικό πεδί είναι χρνικά μεταβαλλόμενα, τ ένα δημιυργεί τ άλλ και αντίστρφα. Έτσι ένα μεταβαλλόμεν ηλεκτρικό πεδί παράγεται από επιταχυνόμενα ηλεκτρικά φρτία και κατά συνέπεια δημιυργεί ένα μεταβαλλόμεν μαγνητικό πεδί κάθετ στ ηλεκτρικό. Λόγω τυ νόμυ τυ James Clerk Maxwell (1831-1879) Faraday και τ μεταβαλλόμεν μαγνητικό πεδί δημιυργεί ένα μεταβαλλόμεν επαγωγικό ηλεκτρικό πεδί, τ πί με την σειρά τυ δημιυργεί ένα μεταβαλλόμεν μαγνητικό πεδί και ύτω κάθε εξής. Με αυτόν τν τρόπ παράγεται ένα μεταβαλλόμεν ηλεκτρμαγνητικό πεδί στ χώρ πυ
Κεφάλαι 13 2 νμάζεται ηλεκτρμαγνητικό κύμα. Η ύπαρξη των ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων πρβλέφθηκε τ 1865 από την θεωρία τυ σπυδαίυ Σκωτσέζυ φυσικύ James Clerk Maxwell (1831-1879), η πία περιέγραφε όλα τα γνωστά ηλεκτρμαγνητικά φαινόμενα και πυ σήμερα είναι γνωστή ως ηλεκτρμαγνητική θεωρία. Η θεωρητική πρόβλεψη τυ Maxwell για τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα, επαληθεύθηκε πειραματικά τ 1887 από τν Γερμανό φυσικό και μηχανικό Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894), πίς παρήγαγε και ανίχνευσε για πρώτη φρά ηλεκτρμαγνητικά κύματα. Η ταχύτητα διάδσής τυς στ κενό είναι ίση με την ταχύτητα τυ φωτός, c=300,000 km/s, όπως ακριβώς πρέβλεψε η ηλεκτρμαγνητική θεωρία. Η θεωρία τυ Maxwell πρέβλεπε επίσης ότι τ ίδι τ φως είναι ηλεκτρμαγνητικό κύμα. Τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα εμφανίζνται με μια μεγάλη πικιλία όσν αφρά τ μήκς κύματός τυς ή την συχνότητά τυς, από τις κσμικές ακτίνες έως τα ραδικύματα. Σε κάθε περίπτωση απτελύν ταλαντωμένα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία κάθετα μεταξύ τυς και ταυτόχρνα κάθετα πρς την κατεύθυνση διάδσής τυς. Τ ηλεκτρικό πεδί Ε είναι σε άμεση σχέση με τ μαγνητικό B βάσει της σχέσεως E cb (13.1) Τα πλάτη, δηλαδή ι εντάσεις των Ε και Β, μεταβάλλνται αντιστρόφως ανάλγα με την απόσταση από την πηγή τυς. Τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα μεταφέρυν ενέργεια, ρμή και στρφρμή και μπρύν να ανιχνευθύν σε μεγάλες απστάσεις από την πηγή τυς. Όταν τα πεδία Ε και Β είναι αμετάβλητα ως πρς τν χρόν, μπρύν να μελετηθύν ανεξάρτητα τ ένα από τ άλλ. Όταν όμως μεταβάλλνται με τν χρόν τότε τα πεδία δεν είναι ανεξάρτητα μεταξύ τυς αλλά αλληλεπηρεάζνται. Σύμφωνα με τν νόμ τυ Faraday ένα μεταβαλλόμεν μαγνητικό πεδί παράγει ηλεκτρικό πεδί. Επίσης από τ νόμ τυ Ampere ένα μεταβαλλόμεν ηλεκτρικό πεδί δρα ως πηγή μαγνητικύ πεδίυ (ρεύμα μετατόπισης). Επμένως η μεταβλή τυ ενός πεδίυ επιφέρει μια μεταβλή στ άλλ και αντίθετα. Γι αυτό και τα κύματα νμάζνται ηλεκτρμαγνητικά, δηλαδή μεταβλές (ταλαντώσεις) τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πρκαλύν μεταβλές (ταλαντώσεις) τυ μαγνητικύ και αντίστρφα. 13.2 Ηλεκτρμαγνητική θεωρία και εξισώσεις τυ Maxwell Όπως αναφέραμε Maxwell με την ενπιημένη ηλεκτρμαγνητική θεωρία έδειξε ότι τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα είναι απτέλεσμα των νόμων πυ την εκφράζυν και συνψίζνται στις ακόλυθες τέσσερις εξισώσεις.
Κεφάλαι 13 3 q E. ds (νόμς τυ Gauss στν ηλεκτρισμό) (13.2) ε B. ds 0 (νόμς τυ Gauss στν μαγνητισμό) (13.3) dφ de.dl B (νόμς τυ Faraday) (13.4) dt dφ E db.dl μ I ε (νόμς τυ Ampere) (13.5) dt Οι παραπάνω εξισώσεις ισχύυν για ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία στ κενό. Εάν στ χώρ υπάρχει κάπι υλικό, τότε θα πρέπει η ηλεκτρική επιτρεπτότητα ε και η μαγνητική διαπερατότητα μ τυ κενύ, να αντικατασταθύν με τις αντίστιχες τυ υλικύ, ε και μ αντίστιχα. Οι εξισώσεις 13.2 έως και 5 νμάζνται εξισώσεις τυ Mawxell και μαζί με την εξίσωση τυ Lorentz F qe qυ B (13.6) μπρύν να εξηγήσυν κάθε ηλεκτρμαγνητικό φαινόμεν της κλασσικής Φυσικής. Αν και ι νόμι των εξισώσεων αυτών ήταν απόρρια εργασιών άλλων επιστημόνων 1 πριν από τν Maxwell 2, τελευταίς ενπίησε και συμπλήρωσε τις εξισώσεις (πρόσθεσε τν όρ τυ ρεύματς μετατόπισης στην εξ. 13.5) σε μια συμμετρική ενπιημένη φυσική θεωρία όπυ ήταν δυνατή μια πλήρη περιγραφή των ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων. Παρόλα αυτά αξίζει να σημειώσυμε ότι στην πραγματεία τυ Maxwell για τν ηλεκτρμαγνητισμό πυ δημσιεύτηκε τ 1873, ι τέσσερις εξισώσεις δεν παρυσιάζνταν με την σημερινή τυς μαθηματική μρφή. Αυτό έγινε αργότερα από τν Άγγλ αυτδίδακτ μαθηματικό, φυσικό και τηλεγραφητή Oliver Heaviside (1850-1925) τ 1884. Εντύτις η συμβλή τυ Maxwell στην ηλεκτρμαγνητική θεωρία είναι ανάλγη της συμβλής τυ Νεύτωνα στην Μηχανική, τυ Carnot (Καρνότ) για την Θερμδυναμική και τυ Αϊνστάιν στην θεωρία της σχετικότητας και της κβαντμηχανικής. Στην πραγματικότητα Maxwell ήταν μια ιδιφυΐα, και πρώτς άνθρωπς πυ κατάλαβε την πραγματική φύση τυ φωτός ως z B E y B c E B E B E Μέτωπ κύματς Σχήμα 13.1 Επίπεδ ηλεκτρμαγνητικό κύμα πυ διαδίδεται πρς την x κατεύθυνση. x 1 Οι Gauss, Faraday και Ampere δεν θα αναγνώριζαν τυς νόμυς τυς αν έβλεπαν τις εξισώσεις 23.2 έως 5. 2 Ο Maxwell γεννήθηκε τ 1831, χρνιά πυ Faraday διατύπωσε τν νόμ της επαγωγής.
Κεφάλαι 13 4 ηλεκτρμαγνητικό κύμα πυ διαδίδεται στ χώρ με ταχύτητα c. Δικαίως σήμερα Maxwell θεωρείται «πατέρας» τυ ηλεκτρμαγνητισμύ. Πότε παράγνται τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα; Από τ νόμ τυ Faraday συμπεραίνυμε ότι ηλεκτρικό πεδί παράγεται όταν μεταβάλλεται ένα μαγνητικό πεδί. Επίσης μαγνητικό πεδί παράγεται όταν μεταβάλλεται ένα ηλεκτρικό πεδί όπως περιγράφει νόμς τυ Ampere. Επμένως τα στατικά ηλεκτρικά φρτία και τα σταθερά ρεύματα δεν μπρύν να παράγυν ηλεκτρμαγνητικά κύματα. Αντιθέτως όταν τ ρεύμα πυ διαρρέει έναν αγωγό μεταβάλλεται με τ χρόν, τότε αγωγός εκπέμπει ηλεκτρμαγνητικά κύματα δηλαδή ηλεκτρμαγνητική ακτινβλία. Επμένως ηλεκτρμαγνητική ακτινβλία παράγεται μόν όταν ηλεκτρικά φρτία επιταχύννται ή επιβραδύννται. Για παράδειγμα αν σε έναν ευθύγραμμ αγωγό, δηλαδή μια κεραία, εφαρμόσυμε εναλλασσόμενη τάση, τα φρτία της κεραίας θα ταλαντωθύν και θα εκπέμψυν ηλεκτρμαγνητικά κύματα. Έτσι εκπέμπυν σήματα ι ραδιφωνικί και τηλεπτικί σταθμί, ι ασύρματι, τα κινητά τηλέφωνα κ.α. 13.3 Επίπεδα ηλεκτρμαγνητικά κύματα Ας υπθέσυμε ότι ένα ηλεκτρμαγνητικό κύμα είναι επίπεδ κύμα πυ διαδίδεται πρς την κατεύθυνση x όπως δείχνει τ σχ. 13.1. Τ διάνυσμα τυ ηλεκτρικύ πεδίυ Ε κείται πρς την κατεύθυνση y και τ αντίστιχ διάνυσμα τυ μαγνητικύ πεδίυ Β κείται πρς την κατεύθυνση z. Ένα τέτι κύμα πυ τα πεδία Ε και Β είναι παράλληλα πρς δυ σταθερές κατευθύνσεις y και z αντιστίχως, νμάζεται γραμμικώς πλωμέν κύμα. Τα διανύσματα Ε και Β είναι σε φάση και δημιυργύν ένα επίπεδ πυ νμάζεται μέτωπ ή επίπεδ κύματς και διαδίδεται πρς την διεύθυνση x με ταχύτητα c. Έτσι τ επίπεδ τυ κύματς διανύει απόσταση x σε χρόν dt ίση με x τυ ηλεκτρικύ πεδίυ και τυ μαγνητικύ πεδίυ δίννται ως cdt. Μπρεί να απδειχθεί ότι η εξίσωση και E με x E t 2 2 2 2 (13.7α) B με x B t 2 2 2 2 (13.7β) Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτή είναι η εξίσωση κύματς 3 με ταχύτητα 3 Η εξίσωση κύματς είναι διαταραχής. 2 2 y 1 y, όπυ υ είναι η ταχύτητα τυ κύματς και y τ πλάτς της κυματικής 2 2 2 x t
Κεφάλαι 13 5 1 c (13.8) με Η απόδειξη της εξ. 13.8 μπρεί να γίνει με θεώρηση επιπέδων κυμάτων να ικανπιύν τις τέσσερις εξισώσεις τυ Maxwell, όμως δεν θα αναφερθύμε στην επακριβή της απόδειξη. Αντικαθιστώντας τις τιμές όπυ μ = 4π 10-7 W/A.m και ε =8.85418 10-12 C 2 /N.m 2 βρίσκυμε την ταχύτητα τυ φωτός c=2.99792 10 8 m/s. Άρα είναι φυσικό να πύμε ότι τ φως είναι ηλεκτρμαγνητικό κύμα. Οι λύσεις των εξισώσεων 13.7α και β είναι της μρφής E Eo cos( kx t) (13.9α) B Bo cos( kx t) (13.9β) όπυ τα Ε και Β συμβλίζυν τα πλάτη δηλαδή τις μέγιστες τιμές των πεδίων. Τ ίδι απτέλεσμα παίρνυμε αν αντί για συνημίτν χρησιμπιήσυμε ημίτν στις εξισώσεις 13.9. Τ k νμάζεται κυματαριθμός τυ κύματς και ισύται με 2 k (13.10) όπυ λ τ μήκς κύματς. Επίσης ισχύει ω 2πf λf c (13.11) k 2π/λ Μπρεί να απδειχθεί ότι E c (13.12) B Η απόδειξη της εξ. 13.12 στηρίζεται στην ισχύ τυ νόμυ τυ Faraday για τ επίπεδ κύμα τυ σχήματς 13.1 και δεν θα παρυσιαστεί εδώ. Στ σχ. 13.2 φαίνεται ένα γραμμικά πλωμέν ηλεκτρμαγνητικό κύμα τ πί περιγράφεται από τις αρμνικές εξισώσεις 13.9.
z Παράδειγμα 13.1 Ένα αρμνικό επίπεδ ηλεκτρμαγνητικό κύμα συχνότητας 40 MHz διαδίδεται πρς την θετική κατεύθυνση x όπως στ σχ. 13.2. Σε κάπι σημεί μια δεδμένη στιγμή, τ ηλεκτρικό πεδί Ε έχει την μέγιστη τιμή των 750 Ν/C και είναι παράλληλ πρς τν άξνα y. α) Υπλγίστε τ μήκς και την περίδ τυ κύματς. β) Υπλγίστε τ μέτρ και την κατεύθυνση τυ μαγνητικύ πεδίυ. γ) Γράψτε τις εξισώσεις πυ περιγράφυν την μεταβλή τυ ηλεκτρικύ και μαγνητικύ πεδίυ τυ κύματς ως πρς τν χώρ και τν χρόν. Λύση α) Για την ταχύτητα τυ ηλεκτρμαγνητικύ κύματς ισχύει 8 c 3 10 m/s c f 7.5m 6-1 f 40 10 s Η περίδς τυ κύματς είναι 1 1 T T T 6-1 f 40 10 s 8 2.5 10 s β) Για τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα ισχύει E E 750N/C c B B B 8 B c 3 10 m/s 6 2.5 10 T Επειδή τ Β είναι κάθετ στ Ε και τ Ε έχει την κατεύθυνση τυ άξνα y, τ διάνυσμα Β έχει την κατεύθυνση τυ άξνα z. γ) Οι εξισώσεις κύματς είναι E Eo sin( kx ωt) και B= B sin(kx - ωt), όπυ Ε o =750 Ν/C και Β =2.50 10-6 Τ. Για τν κυματάριθμ έχυμε k B o y E o c E o Σχήμα 13.2 Γραφική αναπαράσταση ενός αρμνικύ (ημιτνειδύς) ηλεκτρμαγνητικύ κύματς πυ διαδίδεται πρς την x κατεύθυνση με ταχύτητα c. 2 2 7.5m B o B o E o E o Bo B o 1 k 0.838m, E o x
Κεφάλαι 3 7 ενώ για την κυκλική συχνότητα ισχύει 2 2 ω ω 6 1 f 40 10 s Τελικά παίρνυμε τις εξισώσεις κύματς και 7 0.5 10 rad/s E x t 1 7-1 750N/Csin(0.838m 0.5 10 rad.s ), B x t -6 1 7-1 2.50 10 sin(0.838m 0.5 10 rad.s ) Παράδειγμα 13.2 Ένα ηλεκτρμαγνητικό κύμα διαδίδεται στ χώρ και έχει ηλεκτρικό πεδί E (3.10 10 V/m)sin[ ky (12.65 10 rad.s ) t] k. α) Πρς πια διεύθυνση διαδίδεται τ 5 12-1 ˆ κύμα; β) Πι είναι τ μήκς κύματς; γ) Διατυπώστε την κυματική εξίσωση για τ πεδί Β(y,t). Λύση α) Όπως βλέπυμε τ πεδί Ε είναι παράλληλ πρς τν άξνα -z μιας και τ πλάτς τυ είναι E (3.10 10 V/m) k, δηλαδή εκφράζεται με τ μναδιαί διάνυσμα k ˆ o 5 ˆ τυ z άξνα. Επίσης από την κυματική εξίσωση τυ Ε βλέπυμε υπάρχει στ ημίτν χωρική εξάρτηση από την μετατόπιση y, επμένως συμπεραίνυμε ότι η διάδση τυ κύματς γίνεται κατά μήκς τυ y άξνα. β) Τ μήκς κύματς δίνεται από την σχέση c c f (1) f όπυ f είναι η συχνότητα τυ κύματς. Από την εξίσωση τυ Ε έχυμε ότι η γωνιακή συχνότητα τυ κύματς είναι ω ω 2 f f (2) 2 Η εξ. 2 στην 1 δίνει 12-1 ω 12.65 10 rad.s. Έτσι μπρύμε να γράψυμε
Κεφάλαι 3 8 8 2 c 2 3 10 m/s 12-1 ω 12.65 10 rad.s 4 1.5 10 m γ) Η κυματική εξίσωση τυ μαγνητικύ πεδίυ Β(y,t) είναι ανάλγη αυτής τυ Ε(y,t). Καταρχήν ξέρυμε ότι τ μαγνητικό πεδί είναι κάθετ πάντα στ ηλεκτρικό και διαδίδεται στην ίδια κατεύθυνση και με τα ίδια ω και k με αυτό. Επμένως συμπεραίνυμε ότι τ Β είναι παράλληλ στν άξνα x και διαδίδεται στην κατεύθυνση y. Από τα παραπάνω μπρύμε να γράψυμε ότι B B ky t i (3) 12-1 o sin[ (12.65 10 rad.s ) ]ˆ Τ πλάτς τυ μαγνητικύ πεδίυ Β τ ευρίσκυμε από την σχέση 5 Eo 3.10 10 V/m E cb Eo cbo Bo Bo B 8 o c 3 10 m/s 3 1.03 10 T Επειδή τ Β Ε και τ Ε κείται στν z ημιάξνα τ Β θα κείται στν x ημιάξνα. Επίσης κυματάριθμς μπρεί να υπλγιστεί ως 2 2 k k 4.2 10 m 4 1.5 10 m 4 1 Τελικά καταλήγυμε για την εξίσωση Β(y,t) B (1.03 10 Τ)sin[(4.2 10 m ) y (12.65 10 rad.s ) t] i 3 4 1 12-1 ˆ 13.4 Ενέργεια ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων Όπως κάθε κύμα στην Φύση, έτσι και τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα μεταφέρυν ενέργεια και ρμή. Ο ρυθμός της ενέργειας πυ μεταφέρεται από τ ηλεκτρμαγνητικό κύμα ανά μνάδα επιφανείας κάθετη στην διεύθυνση κίνησης δίδεται από τ διάνυσμα Poynting S, τ πί ρίζεται ως 1 S E B (13.13) μ Η κατεύθυνση τυ διανύσματς S είναι ίδια με την κατεύθυνση διάδσης τυ κύματς. Οι μνάδες τυ S στ SI είναι J/s.m 2 ή αλλιώς W/m 2. Εφόσν τ E είναι κάθετ στ Β η εξ. 13.13 δίνει για τ μέτρ τυ S, EB S (13.14) μ
Κεφάλαι 3 9 Από την εξ. 13.12 παίρνυμε για την 13.14 S E μ c 2 2 B (13.15) c μ Επειδή τα πεδία Ε και Β ενός αρμνικύ κύματς αλλάζυν συνεχώς με τν χρόν, η εξ. 13.15 ισχύει για κάθε χρνική στιγμή. Παρόλα αυτά τ διάνυσμα S εξαρτάται από τν χρόν μιας και τα Ε και Β μεταβάλλνται με τν χρόν. Έτσι λιπόν παρατηρώντας τ κύμα στ σχ. 13.2, συμπεραίνυμε ότι όταν τα πεδία Ε και Β παίρνυν τις μέγιστες τιμές τυς, δηλαδή Ε και Β αντιστίχως (βλέπε εξισώσεις 13.9), τ διάνυσμα S γίνεται μέγιστ. Έτσι γράφυμε S max 2 o E c 2 Bo μ c μ (13.16) Αντιθέτως όταν τα πεδία παίρνυν την μικρότερη τιμή τυς, δηλαδή μηδέν, τότε τ διάνυσμα S ελαχιστπιείται, ίσ με S min =0. Συμπερασματικά λιπόν, επειδή τα πεδία Ε και Β ταλαντώννται ή αλλιώς πάλλνται με τν χρόν, τ ίδι κάνει και τ διάνυσμα Poynting S. Αυτή η ταλάντωση βέβαια δεν είναι αντιληπτή γιατί γίνεται με πλύ μεγάλη συχνότητα. Έτσι είναι πι ρθό να μιλάμε για μέση μεταφρά ενέργειας τυ κύματς, η πία αν μετρηθεί σε μια περίδ ρίζει την ένταση Ι τυ κύματς. Δηλαδή ισχύει P I S (13.17) A όπυ P η μέση ισχύς, δηλαδή η ενέργεια ανά δευτερόλεπτ τυ κύματς πυ διαρρέει επιφάνεια εμβαδύ Α. Η ένταση δηλαδή τυ ηλεκτρμαγνητικύ κύματς, είναι ίση με την μέση τιμή τυ διανύσματς Poynting, S. Για αρμνικό ηλεκτρμαγνητικό κύμα μπρεί να δειχθεί ότι 1 2 cε 2 I S Eo Bo (13.18) 2cμ 2 Τ επίπεδ κύμα είναι μια ιδανική περίπτωση κύματς. Στην πραγματικότητα πλλές πηγές κυμάτων εκπέμπυν κύματα πρς όλες τις κατευθύνσεις τυ χώρυ. Έτσι για μια πηγή κύματς σταθερής ισχύς όσ απμακρυνόμαστε από την πηγή η ένταση τυ κύματς αναμένεται να μειώνεται με την απόσταση. Για παράδειγμα αν έχυμε σφαιρική κατανμή
Κεφάλαι 3 10 της ενέργειας στ χώρ, θεωρώντας σφαιρικά κύματα, η ένταση τυ κύματς σε κάθε σφαιρική επιφάνεια θα είναι P I (13.19) 2 4 r Κάπιες πηγές κυμάτων όπως για παράδειγμα ι κεραίες, εκπέμπυν κύματα πρς ρισμένες κατευθύνσεις. Παρόλ πυ η εξ. 13.19 δεν ισχύει για αυτές τις περιπτώσεις, η ένταση τυ κύματς ελαττώνεται με τ τετράγων της απόστασης κατά μήκς αυτών των κατευθύνσεων διάδσης. Παράδειγμα 13.3 Τ 10% της ισχύς ενός λαμπτήρα 100 W ακτινβλείται μιόμρφα πρς όλες τις κατευθύνσεις ως φως. Υπλγίστε τα μεγέθη των μεγίστων ηλεκτρικύ και μαγνητικύ πεδίυ Ε και Β αυτής της ρατής ακτινβλίας σε απόσταση 3.00 m από την φωτεινή πηγή. Δίδεται μ = 4π 10-7 W/A.m. Λύση Η ένταση τυ φωτεινύ κύματς σε απόσταση r από την πηγή είναι P I (1) 2 4 r όπυ P=0.1 100 W, και r=3.00 m. Όμως η ένταση είναι η μέση τιμή τυ διανύσματς Poynting, S και άρα 1 2 2 I S Eo Eo 2cμI Eo 2cμI (2) 2cμ Η εξ. 1 στην 2 δίνει P P 8 m 7 W 0.1 100W Eo 2cμ E 2 o cμ 3 10 4 10 E 2 2 o 8.16V/m 4 r 2 r s Am 2 (3m) Για να υπλγίσυμε τ Β, γνωρίζυμε ότι ισχύει Eo 8.16V/m Eo cbo Bo Bo B 8 o c 3 10 m/s -8 2.72 10 T
Κεφάλαι 3 11 13.5 Τ ηλεκτρμαγνητικό φάσμα Τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα παρυσιάζυν ένα μεγάλ εύρς ενέργειας και επμένως μηκών κύματς και συχνότητας. Ξεκινύν από τα μακρά κύματα με μήκς κύματς δεκάδες χιλιόμετρα και φτάνυν στις ακτίνες γ με μήκς κύματς μικρότερα τυ Άνγκστρμ (1Å=10-10 m). Στ σχήμα 23.3 φαίννται ι περιχές τυ μήκυς κύματς και της συχνότητας για τα ηλεκτρμαγνητικά κύματα. Τα ραδικύματα χρησιμπιύνται στις ραδιφωνικές εκπμπές στις ζώνες των ΑΜ και FM. Επίσης ι τηλεπτικές εκπμπές χρησιμπιύν ραδικύματα υψηλότερης συχνότητας από εκείνα τυ ραδιφώνυ. Τα ραδικύματα λόγω τυ μεγάλυ μήκυς κύματς μπρύν και ταξιδεύυν στ διάστημα διανύντας τεράστιες απστάσεις, με απτέλεσμα να μπρύμε να παρατηρύμε και να μελετύμε άστρα και άλλα υράνια σώματα σε πλύ μακρινές απστάσεις από την Γη. Έτσι ένας ειδικός κλάδς της αστρνμίας έχει αναπτυχθεί, η ραδιαστρνμία με χρήση ειδικών τηλεσκπίων των ραδιτηλεσκπίων.
Κεφάλαι 3 12 Συχνότητα (Ηz) 10 8 10 9 10 10 10 11 10 12 10 13 10 14 10 15 10 16 10 17 10 18 10 19 10 20 10 21 10 22 Ραδικύματα Υπέρυθρ Υπεριώδες Ακτίνες - γ Μακρά κύματα Μικρκύματα Ακτίνες - Χ 10 10 0 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 10-12 10-13 Ορατό φως Μήκς κύματς (m) λ (nm) 700 Ερυθρό 650 600 550 500 450 400 0 Πράσιν Κυανό Ιώδες Πρτκαλί Κίτριν Σχήμα 13.3 Τ ηλεκτρμαγνητικό φάσμα βάση τυ μήκυς κύματς και της συχνότητας. Οι διάφρες περιχές τυ φάσματς αλληλκαλύπτνται χωρίς να υπάρχυν σαφή όρια. Η περιχή τυ ρατύ φωτός απαρτίζεται από περιχές διαφόρων μηκών κύματς με διαφρετικά χρώματα. Τα μικρκύματα δημιυργύνται κυρίως από ηλεκτρμαγνητικές ταλαντώσεις ηλεκτρικών κυκλωμάτων όπως στην περίπτωση των φύρνων μικρκυμάτων. Χρησιμπιύνται επίσης στις τηλεπικινωνίες με την χρήση κινητών τηλεφώνων. Τα κύματα στ υπέρυθρ δημιυργύνται από εκπμπή ακτινβλίας ατόμων ή μρίων πυ αλλάζυν την περιστρφική τυς ή την ταλαντωτική τυς κατάσταση. Απτέλεσμα αυτής της αλλαγής είναι τα συστήματα των ατόμων ή μρίων να εκπέμπυν ενέργεια υπό μρφή θερμότητας πυ νμάζεται θερμική ακτινβλία. Κάθε σώμα λόγω της θερμκρασίας τυ εκπέμπει θερμική ακτινβλία κατά τ πλείστ στην υπέρυθρη περιχή. Η θερμότητα πυ αισθάνεται τ χέρι μας όταν βρίσκεται κντά σε λαμπτήρα πυρακτώσεως φείλεται σε υπέρυθρη ακτινβλία. Η Γη εκπέμπει θερμότητα στ διάστημα στ υπέρυθρ, όπως και τα υράνια σώματα εκπέμπυν υπέρυθρη ακτινβλία πρς τη Γη.
Κεφάλαι 3 13 Τ ρατό φως είναι η πι ικεία σε μας ακτινβλία, μιας και την ανιχνεύυμε με τυ φθαλμύς μας και γενικότερα με την αίσθηση της ράσεως. Έχει μήκς κύματς της τάξης μεγέθυς μερικών εκατντάδων νανμέτρων, πυ κυμαίνεται από ~700 nm για τ βαθύ ερυθρό, έως ~400 nm για τ βαθύ ιώδες. Τ φως εκπέμπεται κατά την αλλαγή της ενεργειακής κατάστασης των ηλεκτρνίων σθένυς ατόμων, και ανάλγα την ενέργεια εκπμπής της ηλεκτρμαγνητικής ακτινβλίας αντιλαμβανόμαστε διαφρετικό χρώμα. Η υπεριώδης ακτινβλία πρέρχεται από απδιεγέρσεις ηλεκτρνίων τα πία βρίσκνται στις εξωτερικές στιβάδες των ατόμων και είναι πι χαλαρά δεσμευμένα στν πυρήνα. Η ακτινβλία αυτή είναι επικίνδυνη για τα έμβια όντα, μιας και έχει μικρότερ μήκς από τ ρατό φως και είναι πι διεισδυτική. Ο Ήλις επίσης εκπέμπει στ υπεριώδες, αλλά τ στρώμα όζντς στα ανώτερα στρώματα της γήινης ατμόσφαιρας φιλτράρει τις υπεριώδεις ακτίνες πυ μπρύν να πρκαλέσυν εγκαύματα ή και καρκίν τυ δέρματς. Οι ακτίνες Χ είναι ηλεκτρμαγνητική ακτινβλία πυ εκπέμπεται από απδιεγέργεις ηλεκτρνίων εσωτερικών ατμικών στιβάδων, τα πία είναι πι ισχυρά δεσμευμένα με τν πυρήνα. Οι ακτίνες Χ είναι πλύ διεισδυτικές και επικίνδυνες για τυς έμβιυς ργανισμύς, αν και σε περιρισμένη έκθεση μπρύν να διαγνώσυν διάφρες παθήσεις στην ιατρική. Επίσης χρησιμπιύνται για την χημική ανάλυση υλικών αλλά και για την δμική τυς μελέτη μέσω σκέδασης, επειδή τα μήκη κύματός τυς είναι συγκρίσιμα με τις ενδατμικές απστάσεις των στερεών. Οι ακτίνες γ είναι ηλεκτρμαγνητική ακτινβλία με πλύ μικρό μήκς κύματς και εκπέμπεται από πυρήνες ατόμων κατά τις μεταβάσεις από μια κατάσταση σε μια άλλη. Επίσης ακτίνες γ εκπέμπυν και στιχειώδη σωμάτια κατά τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τυς. Είναι πλύ διεισδυτικές και επικίνδυνες ακτίνες και μπρύν να πρκαλέσυν σημαντικές ργανικές βλάβες, όπως επίσης και καταστρφή καρκινικών κυττάρων. Παράδειγμα 13.4 Πι είναι τ μήκς κύματς σε μέτρα και νανόμετρα α) ακτίνων γ συχνότητας 6.50 10 21 Ηz, και β) ρατύ φωτός συχνότητας 5.75 10 14 Ηz; Θεωρείστε τα κύματα διαδιδόμενα στν αέρα. (Young, Κεφ 32, Άσκηση 31).
Κεφάλαι 3 14 Λύση α) Για την διάδση ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων στν αέρα ισχύει 8 c 3 10 m/s c f 21-1 f 6.50 10 s 14 4.61 10 m Η ίδια πσότητα εκφράζεται σε νανόμετρα ως β) Ομίως για f=5.75 10 14 Ηz ευρίσκυμε 5 4.61 10 nm 8 3 10 m/s 14-1 5.75 10 s 7 5.21 10 m ή λ=521 nm. 13.6 Ιδιότητες των ηλεκτρμαγνητικών κυμάτων Κλείνντας τ παρών κεφάλαι αναφέρυμε τις τρεις βασικές ιδιότητες πυ χαρακτηρίζυν ένα ηλεκτρμαγνητικό κύμα: 1) Τα πεδία Ε και Β είναι κάθετα μεταξύ τυς και είναι επίσης είναι κάθετα στην ταχύτητα διάδσης τυ κύματς, έτσι ώστε τ διάνυσμα Ε Β να έχει την ίδια κατεύθυνση με την υ. 2) Τ κύμα διαδίδεται στ κενό με ταχύτητα c = 1/ εμ. 3) Σε κάθε σημεί τυ κύματς ισχύει Ε cb.
Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμι Ιωαννίνων Τέλς Ενότητας
Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι Ιωαννίνων» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφωση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ Επιχειρησιακύ Πργράμματς «Εκπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κινωνικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς. Σημειώματα Σημείωμα Αναφράς Copyright Πανεπιστήμι Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής. «Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός). ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ». Έκδση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1211. Σημείωμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/.