ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΧΩΡΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ RRR ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΒΡΙΔΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΧΩΡΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ RRR ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΒΡΙΔΙΚΟΥ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Δ. Σαγρής, Σ. Μήτση, Κ.-Δ. Μπουζάκης, Γκ. Μανσούρ Εργαστήριο Εργαλειομηχανών και Διαμορφωτικής Μηχανολογίας, Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Ελλάδα ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία παρουσιάζει μια μεθοδολογία γεωμετρικού σχεδιασμού χωρικού βραχίονα τριών βαθμών ελευθερίας για προδιαγραμμένες θέσεις του άκρου και αποφυγή θέσεων ιδιομορφίας. Ο προτεινόμενος υβριδικός αλγόριθμος επίλυσης αυτού του προβλήματος συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο, μια μέθοδο αναρρίχησης με κλίση (gradient) και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών. Η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόζεται σε χωρικό βραχίονα RRR τριών βαθμών ελευθερίας με τρεις αρθρώσεις περιστροφής, με τρία προκαθορισμένα σημεία κατεργασίας. Λέξεις κλειδιά: Ρομπότ, γεωμετρικός σχεδιασμός, γενετικός αλγόριθμος, βελτιστοποίηση. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε πολλές βιομηχανικές εφαρμογές η απόδοση ενός ρομποτικού βραχίονα μπορεί να βελτιωθεί αισθητά με τον κατάλληλο προσδιορισμό των παραμέτρων σχεδίασής του, λαμβάνοντας υπόψη διάφορα κριτήρια. Οι μεθοδολογίες γεωμετρικού σχεδιασμού μπορούν να είναι αναλυτικές ή/και προσεγγιστικές-υπολογιστικές. Οι αναλυτικές μέθοδοι (Mavroidis, 2001), (Pamanes et al, 2000) έχουν το πλεονέκτημα να εντοπίζουν όλες τις δυνατές λύσεις, αλλά το πρόβλημα του γεωμετρικού σχεδιασμού μπορεί να επιλυθεί μόνο για λίγους χωρικούς μηχανισμούς. Οι προσεγγιστικές-υπολογιστικές μέθοδοι, οι οποίες περιλαμβάνουν μια μέθοδο βελτιστοποίησης, χρησιμοποιούνται σε προβλήματα γεωμετρικού σχεδιασμού ρομπότ οποιασδήποτε γεωμετρίας όπου απαιτούνται διάφορες προδιαγραφές, προσδιορίζουν όμως μόνο μια δυνατή λύση. Μία υβριδική μέθοδος για τον βέλτιστο σχεδιασμό ενός χωρικού βραχίονα δύο βαθμών ελευθερίας με καθορισμένες θέσεις του άκρου παρουσιάζεται στην εργασία (Sagris, 200). Ένας συνδυασμός αναλυτικής μεθόδου και μεθόδου βελτιστοποίησης χρησιμοποιείται στην εργασία (Perez et al, 2000) για τον σχεδιασμό ενός χωρικού βραχίονα RR με ορισμένη τροχιά του άκρου. Στην παρούσα εργασία, η οποία είναι συνέχεια της εργασίας (Sagris, 200), χρησιμοποιείται μία υβριδική μέθοδος για την βέλτιστο σχεδιασμό χωρικών ρομπότ λαμβάνοντας υπόψη τις προδιαγραμμένες θέσεις του άκρου και την αποφυγή των θέσεων ιδιομορφίας. 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Στην παρούσα εργασία ο βραχίονας θεωρείται ως μια ανοικτή χωρική κινηματική αλυσίδα με τρεις αρθρώσεις περιστροφής (Σχήμα 1). Ορίζεται ένα σύστημα αναφοράς Pi σε κάθε μέλος (i=0,1 3) καθώς και ένα σύστημα στο άκρο του εργαλείου P. Επίσης ορίζεται ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων PS ως προς το οποίο καθορίζονται τα προδιαγεγραμμένα σημεία εργασίας. Η σχετική θέση μεταξύ δύο

διαδοχικών συστημάτων περιγράφεται με την χρήση των x ομογενών μητρώων μετασχηματισμού και των παραμέτρων Denavit-Hartenberg (Denavit and Hartenberg, 1955). Στον πίνακα του σχήματος 1 παρατίθενται οι παράμετροι Denavit-Hartenberg του συγκεκριμένου βραχίονα. Σχήμα 1: 3-DOF βραχίονας και οι παράμετροι Denavit-Hartenberg Χρησιμοποιώντας τα ομογενή μητρώα μετασχηματισμού, η τοποθέτηση του συστήματος του εργαλείου P σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων P S δίνεται από την σχέση: A = A A A A A (1) 0 1 2 3 S S 0 1 2 3 όπου το μητρώο σύστημα i-1. Στην μητρωική εξίσωση (1), τα στοιχεία του μητρώου i Ai 1 περιγράφει την τοποθέτηση του συστήματος i ως προς το A S είναι γνωστά, λόγω του ότι ορίζουν την θέση και τον προσανατολισμό του συστήματος του εργαλείου P σε σχέση με το απόλυτο σύστημα συντεταγμένων P S για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του άκρου. Το δεξί μέρος της εξίσωσης (1) περιλαμβάνει όλες τις άγνωστες παραμέτρους οι οποίες είναι οι παράμετροι Denavit-Hartenberg θ i, α i, a i και d i (i=0,1,2,3). Συγκεκριμένα το μητρώο A περιλαμβάνει μόνο τις παραμέτρους θ και d. 3 Για κάθε προκαθορισμένη τοποθέτηση του εργαλείου χρησιμοποιούνται διαφορετικές τιμές των γωνιών θ 1, θ 2 και θ 3. Έτσι για μια προκαθορισμένη θέση του άκρου κατεργασίας απαιτούνται 18 άγνωστες παράμετροι, ενώ για δυο και τρεις θέσεις 21 και 2 παράμετροι αντίστοιχα. Για τον προσδιορισμό αυτών των παραμέτρων ορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση (F) που λαμβάνει υπόψη την απόκλιση τοποθέτησης του άκρου με χρήση του διανύσματος θέσης του (F 1 ) και την αποφυγή θέσεων ιδιομορφίας με χρήση του μέτρου ευχρηστίας (F 2 ): ( ) F= F +α F = p p +α n 2 n 1 1 2 Sr Spr 2 k w (2) k= 1 k= 1 k

όπου n είναι το πλήθος των προκαθορισμένων σημείων, (x,y,z) του υπολογισμένου σημείου P ως προς το σύστημα αναφοράς S, p Sr είναι το διάνυσμα θέσης p Spr είναι το διάνυσμα θέσης (x,y,z) του προκαθορισμένου σημείου P ως προς το σύστημα αναφοράς S, w k είναι το μέτρο ευχρηστίας (Yoshikawa, 1985) του σχηματισμού k του μηχανισμού και «α» είναι ο συντελεστής βαρύτητας του δεύτερου μέρους της αντικειμενικής συνάρτησης. Από την ελαχιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης προκύπτουν οι βέλτιστες τιμές των αρχικά αγνώστων παραμέτρων. Κατά την διάρκεια της διαδικασίας βελτιστοποίησης τα αρχικά καθορισμένα όρια των αγνώστων αυτών μεταβλητών περιγράφονται από τη σχέση: x i min< x i< x i max, i=1,2, m (3) όπου m είναι το πλήθος των μεταβλητών και όριο αντίστοιχα της μεταβλητής x imin και x imax είναι το κάτω και άνω x. i Οι περιορισμοί αυτοί λαμβάνουν υπόψη τα όρια των μεταβλητών των γεωμετρικών χαρακτηριστικών σχεδιασμού του βραχίονα καθώς και τη γεωμετρία του χώρου εργασίας του. 3. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Το μαθηματικό μοντέλο επιλύεται με μια υβριδική μέθοδο που συνδυάζει έναν γενετικό αλγόριθμο (GA) (Coley 1999), έναν αλγόριθμο βελτιστοποίησης quasi- Newton (QNA) (IMSL, 1997) και μια μέθοδο ελέγχου των ορίων των μεταβλητών (CHM) (Σχήμα 2). Δεδομένα εισόδου του αλγορίθμου αποτελούν το πλήθος και το είδος των αρθρώσεων, το πλήθος και τα αρχικά όρια των ανεξάρτητων μεταβλητών και οι παράμετροι του αλγορίθμου. Με βάση την εξίσωση (2) ορίζεται η αντικειμενική συνάρτηση, η οποία χρησιμοποιείται στα ακόλουθα βήματα του αλγορίθμου, τα οποία αποτελούν έναν τριπλό βρόγχο. Στο 1 ο βήμα του προτεινόμενου αλγορίθμου, δημιουργούνται τυχαία αρχικοί πληθυσμοί ατόμων για να ορίσουν τις τιμές των μεταβλητών, οι οποίες χρησιμοποιούνται για να υπολογιστεί η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Μετά από κάποιο πλήθος γενεών εξέλιξης, με χρήση μεθόδων διασταύρωσης, μετάλλαξης και ελιτισμού, η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης επιλέγεται ως τελική τιμή του γενετικού αλγορίθμου. Αυτές οι βέλτιστες τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών εισάγονται στο 2 ο βήμα στον QNA αλγόριθμο ως διάνυσμα αρχικής εκτίμησης μεταβλητών. Ο αλγόριθμος QNA τροποποιεί τις τιμές των μεταβλητών σε αυτό το διάνυσμα χρησιμοποιώντας μια μέθοδο κλίσης πεπερασμένων διαφορών με τρόπο που η αντικειμενική συνάρτηση να ελαχιστοποιείται. Με κάποιες επαναλήψεις αυτού του βήματος που οδηγούν σε τοπικά ελάχιστα, και συνδυάζοντας τις επαναλήψεις του 1ου βήματος, η αντικειμενική συνάρτηση οδηγείται στην προσέγγιση του γενικού ελαχίστου. Οι επιτευχθείσες βέλτιστες τιμές των μεταβλητών που προέκυψαν από τον συνδυασμό των δύο πρώτων βημάτων χρησιμοποιούνται στο 3 ο βήμα για τον περιορισμό των ορίων των μεταβλητών. Η βέλτιστη τιμή κάθε μεταβλητής στο i-1 βήμα ορίζεται ως το κέντρο του εύρους στο επόμενο βήμα i. Αυτό το εύρος μειώνεται κατά ένα ποσοστό που ορίζεται από τον χρήστη. Με τα νέα αυτά εύρη των μεταβλητών επαναλαμβάνεται η διαδικασία των δύο πρώτων βημάτων, με σκοπό τον προσδιορισμό του γενικού ελάχιστου της αντικειμενικής συνάρτησης.

Σχήμα 2: Διάγραμμα ροής αλγορίθμου Η ελάχιστη υπολογισμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης καθορίζει και τις τιμές των ανεξαρτήτων μεταβλητών που επιλέγονται στο τρίτο βήμα, οι οποίες αντιστοιχούν ταυτόχρονα και στις βέλτιστες τιμές των μεταβλητών του προτεινόμενου αλγόριθμου. Αυτές οι μεταβλητές προσδιορίζουν την βέλτιστη τοποθέτηση της βάσης του βραχίονα, τα γεωμετρικά του χαρακτηριστικά και για τα τέσσερα μέλη, καθώς και τις δομές του ρομπότ μέσω των μεταβλητών των γωνιών των αρθρώσεων για όλες τις προκαθορισμένες θέσεις του άκρου.. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόζεται σε χωρικό βραχίονα RRR με τρεις βαθμούς ελευθερίας και τρεις αρθρώσεις περιστροφής όταν προδιαγράφονται τρεις θέσεις του άκρου. Τα δεδομένα εισόδου που χρησιμοποιούνται στον αλγόριθμο για την εφαρμογή που παρουσιάζεται ακολούθως είναι τα όρια των μεταβλητών, οι παράμετροι του αλγορίθμου (βήματα GA=26, βήματα QNA=300, βήματα CHM=2) και οι προκαθορισμένες θέσεις του άκρου κατεργασίας. Οι παράμετροι, ιδιαίτερα αυτές του γενετικού αλγορίθμου, έχουν επιλεγεί σαν βέλτιστες μετά από πολλούς ελέγχους: πληθυσμός γονέων=50, πιθανότητα διασταύρωσης=70% και πιθανότητα μετάλλαξης=8%. Τα αρχικά εφαρμοζόμενα όρια των μεταβλητών είναι: 0<θ i <360 o (i=0,1,2,3,), 0<α i <360 o (i=0,1,2,3), 0<a i <1m (i=0,1,2,3), 0<d i <1m (i=0,1,2,3,), ενώ ο

συντελεστής βαρύτητας «α» είναι 0.003. Οι τρεις προκαθορισμένες θέσεις του συστήματος του άκρου του εργαλείου (T 1, T 2, T 3 ) σε σχέση με το απόλυτο Καρτεσιανό σύστημα αναφοράς P S είναι σε m: p = 0.1620 0.0821 0.087, p = [ 0.0729 0.027 0.1133] T, S T 1 S T 3 [ ] T [ ] T p = 0.032 0.0161 0.0886 S T 2 Εφαρμόζοντας την προτεινόμενη μεθοδολογία με τις προαναφερθείσες συνθήκες επιτυγχάνεται ο υπολογισμός της ελαχιστοποιημένης τιμής της αντικειμενικής συνάρτησης και συνεπώς της τοποθέτησης της βάσης, της γεωμετρίας και των σχηματισμών του βραχίονα που τοποθετούν το άκρο κατεργασίας στις προκαθορισμένες θέσεις, εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα καλή ευχρηστία. Οι υπολογισμένες βέλτιστες τιμές των μεταβλητών, όπως και οι τιμές του μέτρου ευχρηστίας παρατίθενται στον πίνακα 1. Τοποθέτηση βάσης 1 ου μέλους 2 ου μέλους 3 ου μέλους ου μέλους Εισάγοντας αυτές τις τιμές στην εξίσωση (1), υπολογίζονται τα διανύσματα p Sri που περιγράφουν την υπολογισμένη θέση του άκρου. Η σύγκριση των στοιχείων των διανυσμάτων p και των αντίστοιχων των προκαθορισμένων θέσεων p, δείχνει ότι Sri η μέγιστη απόκλιση τοποθέτησης είναι μικρότερη από 0. mm και για τις τρεις θέσεις του άκρου, η οποία θεωρείται αποδεκτή λαμβάνοντας υπόψη ότι πρόκειται για διαδικασία σχεδιασμού βραχίονα. Επιπλέον, και για τους τρεις σχηματισμούς του βραχίονα οι τιμές του μέτρου ευχρηστίας w (βλ. πίνακα 1), είναι μακριά από το μηδέν, επιτυγχάνοντας την αποφυγή θέσεων ιδιομορφίας. Στο σχήμα 3 παρουσιάζονται γραφικά η βέλτιστη τοποθέτηση της βάσης και οι σχηματισμοί του βραχίονα για τις τρεις προκαθορισμένες θέσεις του άκρου κατεργασίας. 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μεταβλητή Τιμή 1 θ 0 ( o ) 55.6223 2 α 0 ( o ) 23.3230 3 a 0 (m) 0.8869 d 0 (m) 0.969 5 α 1 ( o ) 28.115 6 a 1 (m) 0.0000 7 d 1 (m) 0.6283 8 α 2 ( o ) 236.362 9 a 2 (m) 0.5688 10 d 2 (m) 0.531 11 α 3 ( o ) 0.1100 12 a 3 (m) 0.9653 13 d 3 (m) 0.737 1 θ ( o ) 193.0100 15 d (m) 0.6237 1 η δομή βραχίονα 2 η δομή βραχίονα 3 η δομή βραχίονα Πίνακας 1: Βέλτιστες τιμές μεταβλητών Μεταβλητή Τιμή 16 θ 1 ( o ) 263.917 17 θ 2 ( o ) 3.1538 18 θ 3 ( o ) 1.3185 w 1 =1.0 19 θ 1 ( o ) 265.1009 20 θ 2 ( o ) 2.3299 21 θ 3 ( o ) 139.0839 w 2 =0.995 22 θ 1 ( o ) 289.107 23 θ 2 ( o ) 51.0055 2 θ 3 ( o ) 161.7976 w 3 =1.25 Στην παρούσα εργασία παρουσιάσθηκε ένας υβριδικός αλγόριθμος για τον προσδιορισμό της βέλτιστης θέσης της βάσης, των γεωμετρικών χαρακτηριστικών καθώς και των γωνιών των αρθρώσεων ενός βραχίονα 3 βαθμών ελευθερίας με αρθρώσεις περιστροφής (RRR) και τρεις προκαθορισμένες θέσεις του άκρου. Η Spri

Σχήμα 3: Επιτευχθείσα τοποθέτηση και σχηματισμοί του ρομπότ για τρεις προκαθορισμένες θέσεις αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει υπόψη τις αποκλίσεις τοποθετήσεων του άκρου του εργαλείου και την αποφυγή θέσεων ιδιομορφίας. Η προτεινόμενη μεθοδολογία έχει το πλεονέκτημα της δυνατότητας χρήσης της στο γεωμετρικό σχεδιασμό ρομπότ οποιασδήποτε γεωμετρίας (τύπου και πλήθους αρθρώσεων), όπου απαιτούνται διάφορες προδιαγραφές. 6. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Coley, D. (1999), An Introduction to Genetic Algorithms for Scientists and Engineers, World Scientific Press, New York. Denavit, J., Hartenberg, R.S. (1955), A Kinematic Notation for Lower Pair Mechanisms Based on Matrices, Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, E22, pp.215-222. IMSL (1997), Fortran Subroutines for Mathematical Applications, Visual Numerics. Mavroidis, C., Lee, E., Alam, M. (2001), A New Polynomial Solution to the Geometric Design Problem of the Spatial R-R Robot Manipulators Using the Denavit- Hartenberg Parameters, Transactions of the ASME, Journal of Mechanical Design, Vol. 123, pp.58-67. Pamanes, J.A., Montes, J.P, Cuan, E., Rodriguez, F.C. (2000), Optimal Placement and Synthesis of a 3R Manipulator, International Symposium on Robotics and Automation (ISRA 2000), Monterrey, Mexico. Perez, A., McCarthy, M. J. (2000), Dimensional Synthesis of Spatial RR Robots, Advances in Robot Kinematics (J. Lenarcic, M.M. Stanisic, eds.), Kluwer Academic Publ., Netherlands, pp.93-102. Sagris, D., Mitsi, S., Bouzakis, K.-D., Mansour, G. (200), Geometric Design Optimization of Spatial RR Robot Manipulator Using a Hybrid Algorithm, Acta Technica Napocensis, Series: Applied Mathematics and Mechanics, No 7, pp.717-722. Yoshikawa, T. (1985), Μanipulability of robotic mechanisms, International Journal of Robotics Research, Vol., No.2, pp.3-9.