Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε ότι: εάν αντικατατήουμε την τμ με την τμ Y g τέτοια ώτε P{ g( ) > } = 1 και g το τήριγμα της, θα έχουμε: = g g x f x dx g x f x dx g f x d x= g P Όπου χρηιμοποιήαμε ότι x g( x) g( ), και έτι g P{ } = P{ g g( )} g tx Για παράδειγμα εάν g( x) e, t = > τότε για x : t e P P e e e M t t e t t t { } = { } = Η ανιότητα Chebyshev =, Πρόταη: Δίνεται ότι η τμ έχει πεπεραμένη μέη τιμή µ = [ ] και Vr [ ] διαπορά = Vr [ ] Τότε για κάθε > ιχύει ότι P{ µ } [ ] = ( µ ) Vr x f x dx µ µ + µ µ µ µ µ + = x f x dx + x f x dx + x f x dx Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 1
µ ( µ ) ( µ ) x f x dx + x f x dx µ + + µ f ( x) dx f ( x) dx µ + { { µ } { µ }} { µ } = + + = P P P Εναλλακτικά, θέτοντας Y = g = ( µ ) η ανιότητα Mrkov για το ενδεχόμενο { µ } { µ } Y = = μας δίνει: P{ µ } = PY { } = = [ ] ( ) Y µ Παράδειγμα Εάν ο αριθμός των μονάδων παραγωγής ε μια εβδομάδα μοντελοποιείται με την τμ με µ = 5 1 Ποία η πιθανότητα ε μια υγκεκριμένη εβδομάδα η παραγωγή να είναι μεγαλύτερη των 75 μονάδων? Εάν η διαπορά της είναι = 5, τότε ποία η πιθανότητα ε μια υγκεκριμένη εβδομάδα η παραγωγή να είναι μεγαλύτερη των 4 και να μην υπερβαίνει τις 6 μονάδες? Από την ανιότητα Mrkov έχουμε P{ } P{ } [ ] 5 > 75 75 = 67, 75 75 P 4 < < 6 = P 1 < µ < 1 = P µ < 1 ενώ = 1 P{ µ 1} Από την ανιότητα Chebyshev έχουμε P{ µ 1} = 5 P { 4 < < 6} 75 1 Η ανιότητα Mrkov και η ανιότητα Chebyshev μας επιτρέπουν να υπολογίουμε φράγματα για πιθανότητες όταν μόνο η μέη τιμή, ή όταν μόνο η μέη τιμή και η διαπορά της κατανομής είναι γνωτά Εάν η υγκεκριμένη κατανομή ήταν γνωτή, οι υγκεκριμένες πιθανότητες θα μπορούαν να υπολογιτούν ακριβώς και δεν θα χρειαζόματε τις ανιότητες Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες
Παράδειγμα Δίνεται για την τμ ότι ~ (,1) βρείτε: 1 Άνω φράγμα της πιθανότητας του ενδεχομένου B { 5 4} ανιότητα Chebyshev Την ακριβή πιθανότητα του ενδεχομένου B [ ] = ( ) = με την ~, b Vr b /1, από όπου με τη χρήη της ανιότητας 5/ 3 P 5 4 5 4 Chebyshev παίρνουμε Οι ακριβείς υπολογιμοί δίνουν 1 1 1 1 P 5 4 = x,1 dx + x,1 dx = dx + dx = 1 9 9 : Η ανιότητα Chebyshev μας δίνει P 5 4 < 5 Το άνω φράγμα 5 όμως απέχει πολύ από την πραγματική τιμή της πιθανότητας που είναι Σχόλιο P{ 5 4} = Αυτό κατά κάποια έννοια είναι αναμενόμενο γιατί η Chebyshev είναι μια πολύ γενική ανιότητα που μπορεί να εφαρμοθεί ε οποιαδήποτε κατανομή, διακριτή ή υνεχή Παράδειγμα ~ N ( µ, ) βρείτε 1 Άνω φράγμα της πιθανότητας του ενδεχομένου B= { µ 3} Δίνεται ότι η τμ χρηιμοποιώντας την ανιότητα Chebyshev την πιθανότητα του ενδεχομένου B Από την Chebyshev παίρνουμε: P 3 = 1111 { µ } ( 3 ) Γνωρίζουμε όμως, ότι η μάζα της κανονικής είναι ουιατικά µ 3, µ + 3, δηλαδή θα πρέπει η υγκεντρωμένη το διάτημα [ ] πιθανότητα P{ µ 3} να είναι κοντά το μηδέν Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 3
Πράγματι µ P P P Z = P Z 3 + P Z 3 = P Z 3 { µ 3} = 3 = { 3} ( ) = 1 Φ 3 = 1 9987 = 6 Άκηη Να αποδειχθεί η ανιότητα Bieyme:, όπου Z ~ N (,1) ϑµ + P{ ϑµ }, ϑ,, Επίης δείξτε ότι οι ανιότητες Mrkov και η Chebyshev είναι ειδικές περιπτώεις της ανιότητας Bieyme ϑµ = x ϑµ f x dx = + + x ϑµ f ( x) dx (, + ϑµ ) [ + ϑµ, + ϑµ ] ( + ϑµ, ) + x ϑµ f ( x) dx (, + ϑµ ) ( + ϑµ, ) + ϑµ x ϑµ f ( x) dx x ϑµ f ( x) dx + ϑµ = + Επειδή { x: x ϑµ } { x: x ϑµ } { x: x ϑµ } > = < > έχουμε ότι: Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 4
+ ϑµ x ϑµ f ( x) dx + x ϑµ f ( x) dx + + ϑµ { ϑµ } { ϑµ } { ϑµ } = + + + = P P P Όταν = 1 και 1 ϑ = έχουμε είναι και θετική τμ, δηλαδή Mrkov Για = και 1 + ϑµ f x dx f x dx + ϑµ P Ειδικότερα, εάν η P > = 1, παίρνουμε την ανιότητα ϑ = η Bieyme δίνει είναι η ανιότητα Chebyshev Μονόπλευρες ανιότητες Chebyshev P µ µ που Σε πολλές περιπτώεις ενδιαφερόματε για άνω φράγματα πιθανοτήτων της μορφής P{ µ }, με > ενώ γνωρίζουμε μόνο τη μέη τιμή και την διαπορά της Επειδή µ µ { µ } { µ } >, μπορούμε να P P, > χρηιμοποιήουμε την Chebyshev { µ } { µ } Μπορούν να επιτευχθούν όμως καλύτερα άνω φράγματα για την µ πιθανότητα του ενδεχομένου Πρόταη: Εάν είναι μια τμ με P{ > } = 1, μέο µ = και διαπορά τότε για κάθε > έχουμε την ανιότητα P{ } + Εάν b > τότε P{ } P ( b) ( b) για την Y = ( + b) έχουμε = + + και από την ανιότητα Mrkov [ Y ] ( + b ) P{ } = PY { ( + b) } = + b + b Επειδή µ = θα έχουμε: Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 5
+ b ( + b) = + b P{ } g( b) = + ( b) Έτι P{ } g( b), b> P{ } mi g( b) = g = b> + b( + b) ( + b )( + b) εφόον g ( b) = = 4 + b ( ) + b b b b + + = b = Παράδειγμα και g > Είναι γνωτό ότι ο αριθμός των μονάδων παραγωγής ε μια εβδομάδα είναι τμ με μέο µ = 1 και διαπορά = 4 Να βρεθεί άνω φράγμα της πιθανότητας του ενδεχομένου, η παραγωγή να είναι τουλάχιτον 1 μονάδες Η τμ Y µ = έχει μέο έτι P{ } PY Η Mrkov δίνει το αθενέτερο φράγμα { 1} 4 1 = = 5 4 + ( ) [ ] 5 P = 1 6 Λήμμα Εάν είναι τμ με μέο το µ και διαπορά τότε για κάθε > έχουμε τις μονόπλευρες ανιότητες Chebyshev: P{ µ + } P{ µ } + Οι δύο παραπάνω ανιότητες γίνονται προφανείς από την προηγούμενη πρόταη και το γεγονός ότι οι τμ µ µ έχουν μέο το και διαπορά και Εάν προθέουμε τις παραπάνω δύο ανιότητες θα έχουμε, P{ µ } + Η παραπάνω ανιότητα όμως δεν είναι πάντα ιχυρότερη της Chebyshev, εφόον ιχύει ότι < μόνον εάν < < + Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 6
Εφαρμογή Ένα ύνολο από =1 άντρες και = 1 γυναίκες, χωρίζεται με τυχαίο τρόπο ε 1 ζεύγη Να βρεθεί άνω φράγμα την πιθανότητα το πολύ m = 3 ζευγάρια να αποτελούνται από άνδρα και γυναίκα Αριθμούμε τους άντρες αυθαίρετα από το 1 το 1 και ορίζουμε τις δίτιμες τμ Z = 1 = { Ο i άντρας βρίκεται ε ζεύγος με γυναίκα}, 1 i = 1 ενώ Z = i ημαίνει ότι το ζεύγος δεν είναι τύπου άντρας γυναίκα i S = Z = ο αριθμός των ζευγαριών τύπου άντρα γυναίκα i= 1 i Ζητάμε να υπολογίουμε άνω φράγμα για την πιθανότητα { 3} P S και για αυτό το λόγο θα πρέπει να υπολογίουμε μέο και διαπορά της S { 1} P Z i {( αi γ j) } {( αi γ j) } ( αi α j) #, :1 j 1 = = = = #, :1 j, :1 j, j i 1 199 [ Z ] P{ Z } 1 P{ Z 1} 1 = = + = = = 1 199 i i i Z Z = z z P Z = z, Z = z = P Z = 1, Z = 1 i j i j i i j j i j zi {,1} zj {,1} 1 1 99 = P{ Zi = 1} P{ Z j = 1 Zi = 1} = = 1 3 199 197 1 [ S] = [ Zi] = = ( 1) 55 i= 1 1 199 [ ] = [ i] + ( i, j) Vr S Vr Z Cov Z Z i= 1 1 < i j 1 i { i } 1 { i 1} Z = P = + P = = = 1 199 ( 1) 1 99 Vr [ Zi] = Z i Z i = = = 1 1 1 199 199 ( 1) Cov( Zi, Z j) = ZiZ j [ Zi] Z j = 1 3 1 1 99 1 = = 199 197 199 ( 1) ( 3) Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 7
έτι παίρνουμε για την διαπορά της 1 1 1 Vr [ S ] = + = 1 ( 1) ( 3) 1 3 1 99 1 1 99 1 = 1 + 516 199 199 199 197 199 Χρηιμοποιώντας την Chebyshev και επειδή { S µ } = { S µ } { S µ + } θέτοντας µ = 3 = 55 3 έχουμε { S 55 5} { S 85} { S 3} = και έτι { } P{ S } P S Vr [ S ] ( 5) 3 55 5 61 Χρηιμοποιώντας μονόπλευρη Chebyshev, παίρνουμε το ιχυρότερο άνω φράγμα P S [ ] 516 [ ] + 516 + ( 5) Vr S 3 = P S 55 5 = 58 µ Vr S Ανιότητες Cheroff: Εάν υπάρχει η ροπογεννήτρια M κάθε ιχύουν οι παρακάτω ανιότητες: t { } mi όταν η P e M t t> t { } mi όταν η P e M t t< Για την δεξιά ανιότητα, για t > P P t t P e e e e t t t t = = Για την αριτερή ανιότητα και t < t t t t P = P t t = P e e e e M t υπάρχει για t > (δεξιά) t της τότε για M t υπάρχει για t < (αριτερή) Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 8
Παίρνοντας το mi ως προς t > και t < αντιτοίχως τις δύο προηγούμενες ανιότητες έχουμε τις ανιότητες Cheroff Παράδειγμα (Φράγματα Cheroff για την Norml) Εάν ~ N µ, δείξτε ότι: 1 P exp µ, µ, 1 P exp µ, µ Δεξιά: Αριτερή: 1 M t = exp µ t+ t Επειδή για τη δεξιά ανιότητα Cheroff έχουμε { } mi t = mi exp ( ) = exp mi P e M t g t g t t> t> t>, t g t = µ t+ με Τότε * µ 1 mi g( t) = g t = ( µ ) t> = και επειδή το miimum είναι για όλα τα µ t > ζητάμε t * = > ή ότι > µ, έτι 1 exp P µ, µ Για την αριτερή ανιότητα { } mi t = mi exp ( ) = exp mi P e M t g t g t t< t< t< * µ 1 mi µ g t = g t = = µ t< και επειδή t < ζητάμε t * = < ή 1 ότι < µ, έτι παίρνουμε exp P µ, µ Παράδειγμα (Τυπική κανονική κατανομή) Εάν ~ N(,1) να βρεθούν άνω φράγματα για την πιθανότητα P{ } με Chebyshev, Μονόπλευρη Chebyshev και Cheroff, και να υγκριθούν με την προεγγιτική τιμή από τους πίνακες, P = 1 Φ = 8 που είναι Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 9
Chebyshev: P{ } P{ } [ ] Vr = 5 Vr [ ] P = Vr + Μονόπλευρη Chebyshev: Cheroff: P{ } / e = 1353 [ ] Δηλαδή το ιχυρότερο άνω φράγμα για την πιθανότητα P{ } έρχεται από την ανιότητα Cheroff Για να χρηιμοποιήουμε Mrkov P{ } P{ } υπολογίουμε και την, θα έπρεπε να για ~ N (,1) Παράδειγμα Εάν ~ Poisso( λ ) πιθανότητα P{ } να βρεθεί το φράγμα Cheroff για την mi t t = mi exp + λ ( 1) t t exp ( mi t λ ( e 1) ) Έτι εάν g ( t) t λ ( e 1) P e M t t e t< t< = + t< * δίνεται για t ( λ ) * = l / < ή ότι < λ Έτι λ λe P exp g t = e, < λ = +, το ελάχιτο της g Σπυρίδων Ι Χατζηπύρος Πιθανότητες ΙΙ Ανιότητες 1