ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 14 Κεφάλαιο ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ.1 Εισαγωγή Το κεφάλαιο αυτό πραγµατεύεται τη µελέτη δοµικών στοιχείων τύπου δοκού, δηλαδή στοιχείων τα οποία καταπονούνται κυρίως µε δυνάµεις κάθετα στον άξονά τους ή/και µε ροπές κάµψης στα άκρα τους. Στις διατοµές των στοιχείων αυτών προκύπτουν ροπές κάµψης, οι οποίες, όπως θα δούµε, έχουν ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη εφελκυστικών και θλιπτικών τάσεων. Ένα από τα κύρια ζητούµενα του κεφαλαίου είναι ο υπολογισµός των τάσεων αυτών. Αρχικά µελετώνται δοκοί συµµετρικής διατοµής µε δυνάµεις πάνω στο επίπεδο συµµετρίας της δοκού. Ακολούθως η θεωρία κάµψης γενικεύεται για να καλύψει την περίπτωση ασύµµετρης κάµψης, που αφορά σε δοµικά στοιχεία µε ασύµµετρη διατοµή ή στοιχεία συµµετρικής διατοµής µε ροπές σε δύο διευθύνσεις. Η µελέτη ολοκληρώνεται θεωρώντας τον ταυτόχρονο συνδυασµό ασύµµετρης κάµψης µε αξονική δύναµη, που αφορά κυρίως σε δοµικά στοιχεία τύπου υποστυλώµατος.. Βασική κινηµατική υπόθεση για κάµψη δοκού συµµετρικής διατοµής Η τεχνική θεωρία κάµψης δοκών βασίζεται σε τρεις θεµελιώδεις υποθέσεις. Η πρώτη αφορά στον τρόπο µε τον οποίο παραµορφώνεται µία δοκός λόγω κάµψης, δηλαδή στο σχήµα που αποκτά λόγω των εξωτερικών φορτίων. Η δεύτερη αφορά στον τρόπο µε τον οποίο σχετίζονται οι παραµορφώσεις λόγω κάµψης µε τις τάσεις, βάσει των καταστατικών νόµων των υλικών. Τέλος, η τρίτη εξασφαλίζει την ισορροπία µεταξύ εξωτερικών φορτίων και εσωτερικών δυνάµεων. Η πρώτη από τις παραπάνω υποθέσεις, γνωστή και ως κινηµατική υπόθεση, αποτελεί αντικείµενο αυτής της ενότητας. Για λόγους καλύτερης εποπτείας θεωρούµε µία οριζόντια ευθύγραµµη δοκό σταθερής διατοµής (πρισµατική δοκός) από υλικό οµοιογενές, ισότροπο και µε ελαστική συµπεριφορά. Στη δοκό ορίζεται ένα σύστηµα αξόνων έτσι ώστε x να είναι ο διαµήκης άξονας της δοκού (επί του παρόντος είναι άγνωστη η ακριβής θέση του άξονα αυτού), ο κάθετος σε αυτόν ώστε να αποτελεί άξονα συµµετρίας κάθε διατοµής και ο κάθετος άξονας στο επίπεδο x, έτσι ώστε να σχηµατίζεται τρισορθογώνιο σύστηµα

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 144 αξόνων x (Σχ..1α). Σηµειώνουµε ότι το επίπεδο x αποτελεί επίπεδο συµµετρίας της δοκού. Η αρχή των αξόνων Ο τοποθετείται στο αριστερό άκρο της δοκού. Ακολούθως θεωρούµε ένα µικρό τµήµα της δοκού µήκους dx µεταξύ δύο επιπέδων κάθετων στον άξονα x, το οποίο σε πλάγια όψη σηµειώνεται ως abcd (Σχ..1α). Αν υποθέσουµε ότι στα άκρα της δοκού δρουν ίσες ροπές M ως προς τον άξονα, Σχ..1β, η δοκός κάµπτεται πάνω στο επίπεδο συµµετρίας έτσι ώστε κάθε επίπεδο αρχικά κάθετο στον άξονα της δοκού, δηλαδή κάθε διατοµή, να στρέφεται ελαφρώς ως προς τον άξονα αυτό. Η στροφές αυτές είναι τέτοιες ώστε οι διατοµές της δοκού κάθετα στο διαµήκη άξονα να παραµένουν επίπεδες και κάθετες στον άξονα και µετά την κάµψη 1. Αποτέλεσµα της υπόθεσης αυτής είναι ότι οι γραµµές ad και bc του Σχ..1α παραµένουν µετά την παραµόρφωση ευθείες ( a ' d' και b 'c' ). Κέντρο βάρους r r - (α) Άξονας Άξονας κάµψης (β) Επίπεδο συµµετρίας Μοναδιαίο µήκος (γ) (δ) (ε) Σχ..1 Συµπεριφορά ελαστικής δοκού σε κάµψη. Ο τρόπος καταπόνησης της δοκού του Σχ..1β ονοµάζεται καθαρή κάµψη. Πρόκειται για καταπόνηση µε ροπή κάµψης καθ όλο το µήκος της δοκού απουσία τέµνουσας δύναµης. Αν δρα και τέµνουσα δύναµη, η κάµψη ονοµάζεται συνήθης. 1 Η υπόθεση αυτή διατυπώθηκε µε ένα µικρό λάθος για πρώτη φορά από τον Ελβετό µαθηµατικό Jacob Bernoulli (145-1705) και αργότερα υιοθετήθηκε από τον επίσης Ελβετό µαθηµατικό (που εργάσθηκε κυρίως στη Ρωσία και στη Γερµανία) Leonard Euler (1707-178). Στην ορθή της µορφή εµφανίζεται για πρώτη φορά σε κείµενα του Γάλλου µηχανικού καθηγητή M. Navier (1785-18).

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 145 Η παραπάνω υπόθεση, γνωστή ως υπόθεση του Bernoulli, είναι απόλυτα ορθή για ελαστικές δοκούς ορθογωνικής διατοµής σε καθαρή κάµψη και κατά πολύ καλή προσέγγιση ορθή για δοκούς µε άλλες διατοµές ή όταν δρα και τέµνουσα δύναµη ή ακόµα και όταν το υλικό της δοκού έχει ξεπεράσει την ελαστική περιοχή, αρκεί το ύψος της δοκού να είναι µικρό σε σχέση µε το µήκος (π.χ. για λόγους µήκους προς ύψος της τάξης του 8- και πάνω). Ο άξονας της δοκού µεταξύ των διατοµών ακτίνα r (Σχ..1β). Στο µικρό στοιχείο a ' d' και b 'c' αποτελεί τµήµα κύκλου µε a ' b' c' d' του Σχ..1β τα µήκη a ' b', gh, ef και d ' c' (αλλά και οποιοδήποτε άλλο µήκος παράλληλα στον άξονα) ονοµάζονται ίνες του υλικού. Εξ αυτών η ίνα ef, δηλαδή ένα πολύ µικρό τµήµα του άξονα της δοκού, έχει µήκος ds = rdθ, υποθέτοντας ότι η γωνία d θ µεταξύ των a ' d' και b 'c' είναι απειροστά µικρή. Έτσι γράφουµε: d θ = 1 = κ ds r (.1) όπου κ, το αντίστροφο της ακτίνας, ονοµάζεται καµπυλότητα. Στην περίπτωση καθαρής κάµψης δοκού (δηλαδή µε σταθερή ροπή κατά µήκος) τα µεγέθη r και κ είναι σταθερά. Με παρόµοιο τρόπο, το µήκος gh της ίνας σε απόσταση από τον άξονα της δοκού (ή r από το κέντρο του κύκλου) έχει µήκος ( r ) dθ, οπότε η διαφορά µήκους του gh από το ef είναι dû ιαιρώντας κατά µέλη µε ds γράφουµε ( r ) dθ rdθ = dθ = (.) dû / ds = / r. Ακολούθως, υποθέτοντας ότι οι µετατοπίσεις και στροφές του άξονα της δοκού είναι µικρές, τα συνηµίτονα των γωνιών µέσω των οποίων τα duˆ και ds προβάλλονται στον οριζόντιο άξονα είναι περίπου ίσα µε τη µονάδα, και άρα το duˆ µπορεί να αντικατασταθεί µε du, που είναι η αξονική µεταβολή µήκους της ίνας ef, και το ds µπορεί να αντικατασταθεί µε dx. Τέλος, από τη σχέση du / dx = ε x, όπου x ε η ορθή παραµόρφωση στη διεύθυνση x, γράφουµε: ε x = / r (.) Η εξ. (.), η οποία αποτελεί τη βασική κινηµατική υπόθεση της τεχνικής θεωρίας κάµψης, δίνει ότι οι ορθές παραµορφώσεις σε δοκό που κάµπτεται µεταβάλλονται γραµµικά µε την απόσταση πάνω στον άξονα, η αρχή του οποίου όµως παραµένει ακόµα απροσδιόριστη. Η εύρεση της θέσης του άξονα αυτού αποτελεί αντικείµενο της επόµενης ενότητας.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 14. Η εξίσωση ελαστικής κάµψης Βάσει του νόµου του Hooke, η ορθή παραµόρφωση ανάπτυξη ορθής τάσης σ x : ε x έχει ως αποτέλεσµα την σ x = Eε x = E / r (.4) Ακολούθως θα κάνουµε χρήση των συνθηκών ισορροπίας. Για να γίνει αυτό, θα πρέπει να φανταστούµε το αποτέλεσµα της δράσης των εξωτερικών φορτίων σε κάθε διατοµή της δοκού µε δύο διαφορετικούς τρόπους: σύµφωνα µε τον πρώτο τρόπο, το εσωτερικό εντατικό µέγεθος στη διατοµή είναι η ροπή κάµψης (η αξονική δύναµη είναι µηδέν αλλά και η τέµνουσα δύναµη είναι µηδέν, λόγω της υπόθεσης καθαρής κάµψης). Σύµφωνα µε το δεύτερο τρόπο, τα εσωτερικά εντατικά µεγέθη είναι οι ορθές τάσεις, οι οποίες είναι ισοδύναµες µε τα προαναφερθέντα εντατικά µεγέθη. Η ισοδυναµία αυτή σηµαίνει ότι το άθροισµα όλων των ορθών τάσεων ισούται µε την αξονική δύναµη, δηλαδή µηδέν, ενώ το άθροισµα των ροπών που δίνουν όλες οι ορθές τάσεις ισούται µε τη ροπή κάµψης. Σύµφωνα µε τη συνθήκη ισορροπίας δυνάµεων στη διεύθυνση x (το άθροισµα όλων των ορθών τάσεων σε µία διατοµή ισούται µε την αξονική δύναµη στην εν λόγω διατοµή) γράφουµε E E σ xd = 0 d = - d = 0 (.5) r r όπου το εµβαδόν της επιφάνειας της διατοµής πάνω στην οποία αθροίζονται όλες οι ορθές τάσεις. Το τελευταίο ολοκλήρωµα της εξ. (.5) ισούται, εξ ορισµού, µε, όπου η απόσταση του κέντρου βάρους της διατοµής από την αρχή του άξονα. Έτσι, για να είναι το ολοκλήρωµα ίσο µε µηδέν θα πρέπει να ισχύει = 0, εποµένως ο άξονας διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατοµής. Σηµειώνοντας ότι και ο άξονας, ως άξονας συµµετρίας της διατοµής, διέρχεται από το κέντρο βάρους, συµπεραίνουµε ότι οι άξονες είναι κεντροβαρικοί. Σύµφωνα µε την εξ. (.4), η ορθή τάση σ x και η ορθή παραµόρφωση ε πάνω στον άξονα, όπου = 0, είναι ίσες µε µηδέν. Ο x άξονας ονοµάζεται ουδέτερος άξονας. Από την εξ. (.) συνάγεται ότι οι ορθές παραµορφώσεις µεταβάλλονται γραµµικά µε την απόσταση από τον ουδέτερο άξονα, όπως φαίνεται γραφικά στο Σχ..1γ. Αντίστοιχη, δηλαδή γραµµική, είναι και η µεταβολή των ορθών τάσεων, λόγω της εξ. (.4). Η κατανοµή των ορθών τάσεων δείχνεται στο Σχ..1δ και σε διάφορες ισοδύναµες παραστάσεις στο Σχ.., για δοκό ορθογωνικής διατοµής. Σε όλα αυτά τα σχήµατα φαίνεται ένα µικρό τµήµα της δοκού που ορίζεται από δύο τοµές κατά µήκος, µία στα

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 147 αριστερά, όπου δρα θετική ροπή κάµψης τάσεις σ x. M, και µία στα δεξιά, όπου δρουν οι ορθές Σηµειώνουµε ότι το πρόβληµα στην πραγµατικότητα είναι τρισδιάστατο, δηλαδή µπορούµε να φανταστούµε τις ορθές τάσεις ως διανύσµατα κάθετα σε κάθε σηµείο της διατοµής, µε κατανοµή όπως φαίνεται στα Σχ..γ (ή δ). Επειδή όµως η κατανοµή των τάσεων είναι ίδια σε κάθε επίπεδο κάθετο στον άξονα, δηλαδή ανεξάρτητη του, συνήθως προτιµούµε την παράσταση των τάσεων στο επίπεδο (Σχ..α ή β), ως γραφικά ευκολότερη. Το επίπεδο που ορίζουν οι ουδέτεροι άξονες όλων των διατοµών της δοκού, δηλαδή το επίπεδο x ονοµάζεται ουδέτερο επίπεδο. Η επιφάνεια τοµής του ουδέτερου επιπέδου µε τη δοκό ονοµάζεται ουδέτερη επιφάνεια (Σχ..). Ουδέτερος άξονας (α) (β) (γ) (δ) Σχ.. Ισοδύναµες παραστάσεις των ορθών τάσεων σε ορθογωνική διατοµή δοκού. Ουδέτερη επιφάνεια Ουδέτερος άξονας Σχ.. Τρισδιάστατη παράσταση ορθών τάσεων, ουδέτερος άξονας και ουδέτερη επιφάνεια. Το επόµενο βήµα στην ανάλυσή µας είναι η µαθηµατική διατύπωση της συνθήκης ισορροπίας ροπών. Για το τµήµα της δοκού στο Σχ..4α η ισορροπία ροπών γράφεται ως εξής: M E = ( σ xd) M = d (.) r

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 148 Σηµειώνουµε ότι το αρνητικό πρόσηµο στην εξ. (.) προκύπτει λόγω του ότι θετικό σ x d (εφελκυστική δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας) και θετικό αντιστοιχούν σε δεξιόστροφη, δηλαδή αρνητική ροπή. Έτσι µε την αλλαγή προσήµου η ροπή γίνεται αριστερόστροφη, δηλαδή θετική. σ max σ x = -Ε/r Ακραία θλιβόµενη ίνα σ max σ max Ακραία εφελκυόµενη ίνα (α) (β) (γ) Σχ..4 Τµήµα δοκού σε καθαρή κάµψη. Στη µηχανική, το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέρος της εξ. (.) ονοµάζεται δευτεροβάθµια ροπή επιφάνειας ή ροπή αδράνειας και συµβολίζεται µε I. Επειδή η ροπή αδράνειας αναφέρεται σε συγκεκριµένο άξονα, τον ουδέτερο άξονα στη συγκεκριµένη περίπτωση, το I συνοδεύεται από ένα δείκτη που καθορίζει τον άξονα ως προς τον οποίο γίνεται ο υπολογισµός του: I = d (.7) Με βάση τον ορισµό της ροπής αδράνειας I, η εξ. (.) δίνει: 1 r = M EI (.8) Η τελευταία σχέση είναι ιδιαίτερα χρήσιµη: συνδέει την ακτίνα καµπυλότητας µε τη ροπή κάµψης (ως αποτέλεσµα των εξωτερικών φορτίων), το µέτρο ελαστικότητας του υλικού και τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της διατοµής της δοκού, όπως αυτά περιγράφονται από τη ροπή αδράνειας. Τέλος, συνδυάζοντας τις εξ. (.8) και (.4) καταλήγουµε στην εξαιρετικά σηµαντική σχέση ελαστικής κάµψης δοκών: M σ x = (.9) I

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 149 Μέσω της εξ. (.9) υπολογίζεται η ορθή τάση σε οποιοδήποτε σηµείο µίας διατοµής µε γνωστές ποσότητες τη ροπή κάµψης, τη ροπή αδράνειας ως προς τον ουδέτερο άξονα και την απόσταση του σηµείου αυτού από τον ουδέτερο άξονα. Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι θετική M δίνει θετικές (εφελκυστικές) τάσεις κάτω από τον ουδέτερο άξονα (αρνητικό ) και αρνητικές (θλιπτικές) πάνω από τον ουδέτερο άξονα. Η εξ. (.9) απεδείχθη για κάµψη της δοκού κατά την οποία τα εξωτερικά φορτία προκαλούν ροπές κάµψης ως προς τον άξονα (βλ. Σχ..5α, στο οποίο φαίνεται και το διάνυσµα θετικής ροπής M ). Αν η διατοµή έχει ως άξονα συµµετρίας εκτός από τον άξονα και τον άξονα (π.χ. ορθογωνική διατοµή) και τα εξωτερικά φορτία είναι τέτοια ώστε να προκαλούν ροπή κάµψης ως προς τον άξονα (βλ. Σχ..5β, στο οποίο φαίνεται το διάνυσµα θετικής ροπής M ), η αντίστοιχη σχέση για τις ορθές τάσεις είναι: M σ x = + (.) I Η αλλαγή προσήµου στην εξ. (.) είναι απαραίτητη ώστε για θετική ροπή M να προκύπτουν θετικές (εφελκυστικές) τάσεις στα σηµεία µε θετικό και αρνητικές (θλιπτικές) στα σηµεία µε αρνητικό. Ένας δεύτερος τρόπος να καταλάβουµε το αντίθετο πρόσηµο της εξ. (.) είναι να φανταστούµε ότι το τµήµα της δοκού στο Σχ..5β περιστρέφεται κατά 90 ο αριστερόστροφα ως προς άξονα x. Αν γίνει αυτό, η εικόνα καταπόνησης της δοκού είναι ακριβώς ίδια µε αυτήν του Σχ..5α, ο άξονας συµπίπτει µε τον του Σχ..5α και ο µε τον του Σχ..5α. Συνεπώς για την καταπόνηση του Σχ..5β µπορεί να εφαρµοστεί η εξ. (.9) µε Περισσότερα για την κάµψη δοκών λόγω ροπής M αντί M, I αντί I και αντί. M δίνονται σε παρακάτω ενότητα. (α) (β) Σχ..5 Ορισµός θετικών ροπών για κάµψη ως προς άξονα (α) και (β). Εξετάζοντας και πάλι την εξ. (.9) παρατηρούµε ότι η µέγιστη θλιπτική τάση σ c, max στη διατοµή δρα εκεί όπου το είναι θετικό και µέγιστο (έστω ίσο µε c c ), δηλαδή σε όλα

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 150 τα σηµεία της πάνω πλευράς της διατοµής. Η πλευρά αυτή αποτελεί τη λεγόµενη ακραία θλιβόµενη ίνα (Σχ..4β). Αντίστοιχα, η µέγιστη εφελκυστική τάση σ t, max στη διατοµή δρα εκεί όπου το είναι αρνητικό και κατ απόλυτη τιµή µέγιστο (έστω ίσο µε c t ), δηλαδή σε όλα τα σηµεία της κάτω πλευράς της διατοµής. Η πλευρά αυτή αποτελεί τη λεγόµενη ακραία εφελκυόµενη ίνα (Σχ..4β). Η κατ απόλυτη τιµή µέγιστη ορθή τάση δρα εκεί όπου το είναι κατ απόλυτη τιµή µέγιστο. Συµβολίζοντας τη µέγιστη αυτή τιµή ίση µε c και παραλείποντας (για απλότητα) τους δείκτες, έχουµε: max M M M σ max = c = = (.11) I (Ι/ c) Z el Ο λόγος της ροπής αδράνειας προς τη µέγιστη απόσταση από τον ουδέτερο άξονα ονοµάζεται ελαστική ροπή αντίστασης ή ελαστικό µέτρο διατοµής και συµβολίζεται µε το Z el. Αν η απόσταση c t είναι διαφορετική από την c c, τότε ορίζονται δύο ελαστικές ροπές αντίστασης, Z el, t και Z el, c, για τη µέγιστη εφελκυστική τάση και τη µέγιστη θλιπτική τάση, Z I / c Z, = I / c. αντίστοιχα: el, t = t, el c c Μία από τις βασικές υποθέσεις της τεχνικής θεωρίας για την καθαρή κάµψη δοκών είναι ότι οι µόνες τάσεις που αναπτύσσονται είναι οι σ x, ενώ όλες οι άλλες είναι µηδέν ( σ = σ = τ x = τ x = τ = 0). Οι τάσεις σ x συνοδεύονται από παραµορφώσεις ε x και, µε βάση το λόγο Poisson, από εγκάρσιες παραµορφώσεις ε = ε = νε x. Αυτό σηµαίνει ότι η διατοµή πάνω από τον ουδέτερο άξονα (στη θλιβόµενη περιοχή) διογκώνεται στην εγκάρσια διεύθυνση, αλλά κάτω από τον ουδέτερο άξονα συστέλλεται, όπως δείχνει το Σχ... Επειδή δε οι εγκάρσιες παραµορφώσεις αυξάνονται γραµµικά µε την απόσταση από τον ουδέτερο άξονα (όπως και οι ε x ), στη δοκό αναπτύσσεται και µία δευτερεύουσα καµπυλότητα, πάνω στο επίπεδο (Σχ..), που όµως δεν έχει πρακτική σηµασία και γενικά αµελείται. Ουδέτερη επιφάνεια Εν περιλήψει, στην πορεία εξαγωγής της βασικής εξ. (.9) για την κάµψη δοκών υιοθετήθηκαν τρεις βασικές συνθήκες, όπως ακριβώς έγινε και στην ανάλυση ράβδων r > r ν Σχ.. r Άξονας δοκού

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 151 υπό µονοαξονική φόρτιση και όπως θα γίνει και σε επόµενα κεφάλαια για άλλου είδους καταπονήσεις (π.χ. στρέψη): 1. Συνθήκες στατικής ισορροπίας, για τον προσδιορισµό της ροπής κάµψης σε µία διατοµή.. Γεωµετρικές (κινηµατικές) συνθήκες, µέσω της υπόθεσης ότι επίπεδες διατοµές πριν την κάµψη παραµένουν επίπεδες και µετά την παραµόρφωση της δοκού. Αυτό οδήγησε στο συµπέρασµα ότι οι ορθές παραµορφώσεις µεταβάλλονται γραµµικά µε την απόσταση από τον ουδέτερο άξονα.. Καταστατικοί νόµοι των υλικών (νόµος του Hooke), µέσω των οποίων έγινε συσχέτιση των ορθών παραµορφώσεων µε τις ορθές τάσεις. Σηµειώνουµε και πάλι ότι η παραπάνω ανάλυση ισχύει επακριβώς για ελαστικές δοκούς σε καθαρή κάµψη, αλλά µε καλή προσέγγιση και για δοκούς σε συνήθη κάµψη. Τέλος επισηµαίνουµε ότι σε περιοχές εφαρµογής συγκεντρωµένων ροπών ή δυνάµεων ενδέχεται να εµφανίζονται ανωµαλίες στην κατανοµή των τάσεων, όπως και στη µονοαξονική φόρτιση. Οι ανωµαλίες αυτές επηρεάζουν γενικά µικρές περιοχές της δοκού, οι οποίες, βάσει της αρχής του Saint Venant, εντοπίζονται σε µήκος της δοκού περίπου ίσο µε το ύψος..4 Κέντρο βάρους διατοµής, πρωτοβάθµιες ροπές και ροπές αδράνειας Στα προηγούµενα αναφέρθηκε ότι ο ουδέτερος άξονας διέρχεται από το κέντρο βάρους. Επίσης ορίσθηκε η ροπή αδράνειας ως προς άξονα (τον ουδέτερο άξονα της διατοµής) και έγινε χρήση της για τον υπολογισµό των ορθών τάσεων. Η λεπτοµερής διαδικασία εύρεσης κέντρου βάρους διατοµής και ροπών αδράνειας δεν αποτελεί αντικείµενο αυτού του συγγράµµατος, αλλά για λόγους πληρότητας περιλαµβάνεται στην ενότητα αυτή µε τρόπο συνοπτικό..4.1 Πρωτοβάθµιες ροπές επιφάνειας και κέντρο βάρους αξόνων Θεωρούµε µία τυχαία διατοµή µε εµβαδόν πάνω στο επίπεδο µε σύστηµα (Σχ..7). H πρωτοβάθµια ή στατική ροπή της συνολικής επιφάνειας ως προς τον άξονα υπολογίζεται αθροίζοντας τις πρωτοβάθµιες ροπές όλων των στοιχείων της διατοµής µε εµβαδόν d, κάθε µία από τις οποίες ισούται µε τον εµβαδόν d επί την απόσταση. S = ds = d (.1α)

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 15 Οµοίως για τον άξονα : S = ds = d (.1β) d O Σχ..7 Επιφάνεια διατοµής σε σύστηµα αξόνων -. Το κέντρο βάρους C της επιφάνειας είναι χαρακτηριστικό σηµείο της, µε συντεταγµένες ( c, c ) που δίνονται από τις σχέσεις: d c = = S d c = = S (.1) Από τις εξ. (.1) βλέπουµε ότι η πρωτοβάθµια ροπή µίας επιφάνειας ως προς έναν άξονα ισούται µε το γινόµενο του εµβαδού της επιφάνειας και της απόστασης του κέντρου βάρους της από τον άξονα αυτόν. Επίσης συµπεραίνουµε ότι αν ο άξονας ως προς τον οποίο υπολογίζεται η πρωτοβάθµια ροπή διέρχεται από το κέντρο βάρους, η πρωτοβάθµια ροπή ως προς τον άξονα αυτόν ισούται µε µηδέν. Συνεπώς αν µία επιφάνεια έχει έναν άξονα συµµετρίας, αυτός ο άξονας διέρχεται από το κέντρο βάρους της επιφάνειας και άρα η πρωτοβάθµια ροπή ως προς έναν άξονα συµµετρίας είναι πάντοτε ίση µε µηδέν. Αν µία επιφάνεια µπορεί να υποδιαιρεθεί σε τµήµατα απλού σχήµατος (π.χ. ορθογώνια παραλληλόγραµµα, τρίγωνα κλπ) των οποίων τα εµβαδά και τα κέντρα βάρους µπορούν εύκολα να καθορισθούν, η πρωτοβάθµια ροπή της συνολικής επιφάνειας µπορεί να υπολογισθεί αθροίζοντας τις πρωτοβάθµιες ροπές των επιµέρους τµηµάτων ως προς τoν ίδιο άξονα: S S = n i= 1, i = n i= 1 S S, i (.14)

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 15 Αν τα εµβαδά των επιµέρους τµηµάτων µιας επιφάνειας είναι 1,,..., n και οι αποστάσεις των κέντρων βάρους τους από τον άξονα είναι c1, c,..., cn και από τον άξονα είναι c1 ως εξής:, c,..., cn, τότε οι εκφράσεις (.14) µπορούν να γραφούν S S = = c c = 1 c1 + c + K + n cn = i ci (.15α) n i= 1 = 1 c1 + c + K + ncn = i ci (.15β) n i= 1 Συνεπώς, οι συντεταγµένες του κέντρου βάρους C της επιφάνειας ως προς το σύστηµα αξόνων δίνονται από τις σχέσεις: c c + c + + = 1 c1 K n cn = i= 1 + c + + n = 1 c1 K n cn = i= 1 n i i ci ci (.1α) (.1β).4. ευτεροβάθµιες ροπές επιφάνειας αξόνων Θεωρούµε και πάλι τυχαία διατοµή µε εµβαδόν πάνω στο επίπεδο µε σύστηµα (Σχ..7). H δευτεροβάθµια ροπή ή ροπή αδράνειας της επιφάνειας ως προς τον άξονα υπολογίζεται αθροίζοντας τις δευτεροβάθµιες ροπές όλων των στοιχείων της διατοµής µε εµβαδόν d, κάθε µία από τις οποίες ισούται µε τον εµβαδόν d επί. I = di = d (.17α) Οµοίως για τον άξονα : I = di = d (.17β) Αντιστοίχως ορίζεται και η φυγόκεντρος ροπή ή ροπή εκτροπής της επιφάνειας ως προς τους άξονες και. Αυτή υπολογίζεται αθροίζοντας τις ροπές εκτροπής όλων των στοιχείων της διατοµής µε εµβαδόν d, κάθε µία από τις οποίες ισούται µε το εµβαδόν d επί.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 154 I = di = d (.17γ) Η εξ. (.17γ) οδηγεί στο συµπέρασµα ότι αν ένας τουλάχιστον από τους άξονες και είναι άξονας συµµετρίας η ροπή εκτροπής είναι µηδέν. Αυτό φαίνεται εύκολα στη διατοµή του Σχ..8β µε άξονα συµµετρίας έστω τον άξονα, όπου λόγω συµµετρίας για κάθε (+ ) d υπάρχει και ένα ( ) d, και το άθροισµά τους δίνει µηδέν. (α) (β) Σχ..8 ιατοµή µε (α) διπλή και (β) απλή συµµετρία. Τέλος ορίζεται η δευτεροβάθµια ροπή επιφάνειας ως προς άξονα x ή πολική ροπή J µε τρόπο αντίστοιχο, µόνο που το γινόµενο που ολοκληρώνεται είναι r d, όπου r η απόσταση του d από τον άξονα x (κάθετος στο επίπεδο και προς τα έξω): J = r d (.18) Από τις εξ. (.17α-β) και (.18) διαπιστώνουµε ότι η πολική ροπή αδράνειας J ισούται µε το άθροισµα των ροπών αδράνειας I και I : ( + ) d = I I J = r d = + (.19) Αν οι άξονες και διέρχονται από το κέντρο βάρους της επιφάνειας, δηλαδή είναι κεντροβαρικοί άξονες, οι αντίστοιχες δευτεροβάθµιες ροπές καλούνται κεντροβαρικές δευτεροβάθµιες ροπές. Σε πολλές περιπτώσεις οι κεντροβαρικές ροπές είναι γνωστές (ή εύκολα υπολογίσιµες) και ζητείται ο υπολογισµός των δευτεροβάθµιων ροπών ως προς ένα άλλο σύστηµα αξόνων, µη κεντροβαρικό. Η µέθοδος υπολογισµού δίνεται παρακάτω.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 155 Θεωρούµε διατοµή µε εµβαδόν πάνω στο επίπεδο µε τυχαίο σύστηµα αξόνων και κεντροβαρικό σύστηµα αξόνων απόσταση d και c c. Οι άξονες c και c απέχουν d από τους άξονες και, αντίστοιχα (Σχ..9). Έστω ότι οι κεντροβαρικές δευτεροβάθµιες ροπές είναι I c, I c και I c c I και I ως προς το σύστηµα αξόνων. Εξ ορισµού γράφουµε:. Το ζητούµενο είναι οι I, d c c c c d d C O Κέντρο βάρους Σχ..9 Επιφάνεια διατοµής σε σύστηµα αξόνων -. I ( c + d) d = c d + d cd d = d = + d (.0) Το πρώτο από τα ολοκληρώµατα στο δεξιό µέρος της παραπάνω εξίσωσης είναι η κεντροβαρική δευτεροβάθµια ροπή I c, το δεύτερο ισούται µε µηδέν (διότι αντιπροσωπεύει την πρωτοβάθµια ροπή ως προς κεντροβαρικό άξονα) και το τρίτο ισούται µε το εµβαδόν. Έτσι είναι I = I + d (.1α) c Με τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι I = I + d (.1β) c I = I + dd (.1γ) c c Οι παραπάνω εξ. (.1) αποτελούν τη µαθηµατική διατύπωση του θεωρήµατος που είναι γνωστό ως θεώρηµα παραλλήλων αξόνων ή θεώρηµα του Steiner και διευκολύνουν στον υπολογισµό δευτεροβάθµιων ροπών ως προς µη κεντροβαρικό σύστηµα αξόνων. Από τις εξ. (.1α-β) συµπεραίνουµε ότι οι ροπές αδράνειας I c και I c είναι πάντα µικρότερες από οποιεσδήποτε άλλες ως προς άξονες παράλληλους µε τους και, αντίστοιχα.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 15 Παράδειγµα.1 Να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας της ορθογωνικής διατοµής του Σχ.. ως προς οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους. Σχ.. Το κέντρο βάρους της διατοµής βρίσκεται στην τοµή των δύο αξόνων συµµετρίας. Η ροπή αδράνειας I είναι I + h / + h / = = h / h / bh d = bd = b 1, δηλαδή bh I = και 1 b h I = 1 εδοµένου ότι οι διατοµές δοµικών στοιχείων είναι συχνά ορθογωνικές, οι παραπάνω σχέσεις τυγχάνουν ευρείας χρήσης. Παράδειγµα. Να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας κυκλικής διατοµής ακτίνας c (Σχ..11). Σχ..11 πό τον ορισµό της πολικής ροπής αδράνειας J γράφουµε: J = I + I = I I = J J = c c c 4 d = ρ ( πρdρ) = πρ dρ = π = = ρ πc πd ρ όπου d η διάµετρος. 4 0 0 0 4 4 Συνεπώς 4 J πc πd I = = = 4 4 4 Ας σηµειωθεί ότι η ροπή αδράνειας κυκλικής διατοµής είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης του άξονα.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 157 Παράδειγµα. Να υπολογισθεί η ροπή αδράνειας της διατοµής του Σχ..1 (όλες οι διαστάσεις σε mm) ως προς οριζόντιο άξονα, ώστε να χρησιµοποιηθεί στην εξίσωση για τον υπολογισµό ορθών τάσεων. Σχ..1 Η ροπή αδράνειας θα πρέπει να υπολογισθεί ως προς οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους, το οποίο θα πρέπει να προσδιορισθεί. Αυτό µπορεί να γίνει µε ευκολία θεωρώντας πρώτα τη συνολική εξωτερική διατοµή και αφαιρώντας το εσωτερικό ορθογώνιο. Οι σχετικοί υπολογισµοί δίνονται για ευκολία σε µορφή πίνακα. Επιφάνεια i (mm ) ci (mm) i ci (από κάτω) (mm ) Εξωτερικό ορθογώνιο 40x0 = 400 0 7000 Εσωτερικό ορθογώνιο -0x0 = -00 5-00 = 1800 mm i ci = 500 mm c i ci 500 = = = 8. 1800 mm από κάτω Για το εξωτερικό ορθογώνιο: 40 0 4 = bh = = 7 mm 4 1 1 I c 4 d = 400 (0 8.) = 0.9 mm 4 4 I = 7.9 mm 4 Για το εσωτερικό ορθογώνιο: 0 0 4 = bh = = 4.5 mm 4 1 1 I c 4 d = 00 (5 8.) =.9 mm 4 4 I = 7.19 mm 4 Για την πραγµατική διατοµή: 4 4 4 I = 7.9 7.19 = 5.50 mm 4

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 158 Παράδειγµα.4 Η ξύλινη δοκός του Σχ..1α είναι πακτωµένη στο δεξιό άκρο και φορτίζεται µε µία συγκεντρωµένη δύναµη 0 kn προς τα πάνω στο αριστερό άκρο. Το ίδιο βάρος της δοκού είναι 0.75 kn/m. Να προσδιορισθεί η µέγιστη εφελκυστική και θλιπτική τάση στη διατοµή που απέχει m από το ελεύθερο άκρο. Η διατοµή της δοκού θεωρείται ορθογωνική πλάτους 00 mm και ύψους 400 mm (Σχ..1β). (α) (β) (γ) (δ) Σχ..1 Παράδειγµα.4. Από το διάγραµµα ελευθέρου σώµατος του Σχ..1γ η ροπή κάµψης στη διατοµή που µας ενδιαφέρει είναι M = 0x - 0.75xx1 = 8.5 kn. Στην ίδια διατοµή η τέµνουσα δύναµη είναι V = 0 0.75x = 18.5 kn. H απόσταση του ουδέτερου άξονα από τις ακραίες ίνες της διατοµής είναι c = 00 mm. Η ροπή αδράνειας της διατοµής ως προς τον κεντροβαρικό άξονα είναι: 00 400 8 I = bh = = 1 mm 4 1 1 Η µέγιστη εφελκυστική τάση σ t, max αναπτύσσεται στην κάτω ακραία ίνα, όπου = -00 mm, και η µέγιστη θλιπτική τάση σ c, max αναπτύσσεται στην πάνω ακραία ίνα, όπου = 00 mm. Εφαρµογή της εξ. (.9) δίνει 8.5 ( 00) σ t, max = = + 4.81 ΜPa 8 1 Mc 8.5 00 σ, max = c c = = 4.81 ΜPa I 8 1 Οι µέγιστες αυτές τάσεις δίνονται παραστατικά στο Σχ..1δ.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 159.5 Ελαστική ενέργεια παραµόρφωσης για καθαρή κάµψη Στην Ενότητα.9 µελετήσαµε την ελαστική ενέργεια παραµόρφωσης σε ένα απειροστό στοιχείο λόγω των ορθών τάσεων που προκαλεί η αξονική καταπόνηση. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο µπορούµε υπολογίσουµε την ελαστική ενέργεια παραµόρφωσης δοκού σε καθαρή κάµψη. Στο Σχ..14 θεωρούµε ένα απειροστό στοιχείο πλευράς dx κατά µήκος µιας δοκού και εµβαδού διατοµής d πάνω στην επιφάνεια της διατοµής της δοκού. Αντικαθιστώντας την ορθή τάση σ x = M / I στην εξ. (.1), η ενέργεια παραµόρφωσης για µια δοκό µήκους L γράφεται: σ M M M U x 1 dv = dxd dx d = E E = = I EI EI V V L 1 44 L I dx (.) σ x = M I Σχ..14 Τµήµα δοκού και κατανοµή ορθών τάσεων σε τυχαία διατοµή. Παράδειγµα.5 Να βρεθεί η ελαστική ενέργεια παραµόρφωσης προβόλου µήκους L µε ορθογωνική διατοµή πλάτους b και ύψους h, όταν στο ελεύθερο άκρο ασκείται ροπή.15). M (Σχ. Σχ..15 ιατοµή Η ροπή κάµψης σε κάθε διατοµή του προβόλου είναι σταθερό, οπότε από την εξ. (.) έχουµε: M και το γινόµενο EI είναι

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ L L 0 M M M L U = dx = dx = EI EI EI 0 Η διατύπωση της παραπάνω σχέσης µε άλλη µορφή έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Από τις σχέσεις σ max = M c / I, c = h / και I = bh / 1 γράφουµε: U = ( σ I / h) max L σ max bhl σ = = max EI E E 1 όγκου Βάσει της παραπάνω εξίσωσης παρατηρούµε ότι για δεδοµένη σ max ο όγκος του υλικού της δοκού είναι αποτελεσµατικός ως προς την απορρόφηση ενέργειας µόνο κατά το ένα τρίτο σε σύγκριση µε το ίδιο µέλος υπό αξονική καταπόνηση, όπου U ( / E) = xόγκο. σ max Αυτό οφείλεται στην ανοµοιόµορφη κατανοµή των ορθών τάσεων. Τέλος παρατηρούµε ότι αν στο ίδιο µέλος ήταν µεταβλητή και η ροπή κάµψης, η µείωση της αποτελεσµατικότητας του όγκου του υλικού θα ήταν ακόµα µεγαλύτερη.. οκοί σύνθετης διατοµής Μία δοκός κατασκευασµένη από περισσότερα του ενός υλικά καλείται σύνθετη δοκός. Παραδείγµατα σύνθετων δοκών είναι µία δοκός οπλισµένου σκυροδέµατος (Σχ..1α), µία σύµµικτη δοκός χάλυβα-σκυροδέµατος (Σχ..1β) και µία ξύλινη δοκός ενισχυµένη µε µεταλλικά ελάσµατα πάνω και κάτω (Σχ..1γ). Βασικό πλεονέκτηµα δοκών σύνθετης διατοµής είναι ότι µε την κατάλληλη διάταξη διαφορετικών υλικών σε διαφορετικές θέσεις επιτυγχάνεται βελτίωση των χαρακτηριστικών των διατοµών και άρα αποτελεσµατικότερη συµπεριφορά των δοµικών στοιχείων. (α) (β) (γ) Σχ..1 Σύνθετες διατοµές: (α) δοκός οπλισµένου σκυροδέµατος, (β) σύµµικτη δοκός αποτελούµενη από χαλύβδινη κοιλοδοκό γεµισµένη µε σκυρόδεµα, (γ) δοκός τύπου σάντουιτς από ξύλο µε εξωτερικές ενισχύσεις.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 11 Με στόχο την επέκταση της τεχνικής θεωρίας κάµψης σε δοκούς σύνθετης διατοµής, θεωρούµε ελαστική δοκό αποτελούµενη από i διαφορετικά υλικά καθ ύψος της διατοµής, όπως δίνεται π.χ. στο Σχ..17α. Για το κάθε υλικό υποθέτουµε µέτρο ελαστικότητας E i. Επίσης θεωρούµε ότι κατά την κάµψη της δοκού δεν υπάρχει σχετική ολίσθηση στη διεπιφάνεια µεταξύ των υλικών. Έτσι, όπως και στην περίπτωση του ενός υλικού, η µεταβολή των ορθών παραµορφώσεων καθ ύψος της διατοµής θεωρείται γραµµική (Σχ..17β) µε τιµή µηδέν στον ουδέτερο άξονα, η θέση του οποίου προσδιορίζεται από τη συνθήκη ισορροπίας δυνάµεων στη διεύθυνση x : 1 σ xd = 0 Ei d = 0 (.) r Υποθέτοντας ότι ο ουδέτερος άξονας απέχει απόσταση b (θετική τιµή) από την κάτω ίνα της διατοµής (Σχ..17α) γράφουµε = b, οπότε η εξ. (.) γίνεται: b 1 1 Εi bd + b Εid = 0 r Α r Α (.4) και εποµένως (.5) b = Α Ε Α i i b d Ε d Η τελευταία σχέση ορίζει τη θέση του ουδέτερου άξονα. b ιατοµή Μοναδιαία απόσταση (α) Παραµορφώσεις (β) Τάσεις (γ) Σχ..17 Κάµψη ελαστικής δοκού σύνθετης διατοµής. Από ισορροπία ροπών, κατ αντιστοιχία µε την εξ. (.), γράφουµε:

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 1 M 1 1 = Ei d = ( EI) r r e (.) όπου ( EI ) e συµβολίζει το ολοκλήρωµα στο µεσαίο όρο της εξ. (.). Επιλύοντας για την καµπυλότητα 1 / r έχουµε: 1 r = M ( EI) e (.7) Τέλος από την εξ. (.4) και τον καταστατικό νόµο των υλικών έχουµε δηλαδή E σ E i x = iε x = (.8) r M σ = E (.9) x i ( EI ) Η εξ. (.9) δίνει την ορθή τάση σε οποιοδήποτε σηµείο του υλικού µε µέτρο ελαστικότητας E i. Προσεκτική µελέτη της παραπάνω εξίσωσης δείχνει ότι η ορθή τάση στην περιοχή επαφής δύο υλικών της διατοµής (δηλαδή στη διεπιφάνεια µεταξύ δύο υλικών) εµφανίζει ένα άλµα: ο λόγος των τάσεων ελάχιστα πάνω και ελάχιστα κάτω από µια τέτοια διεπιφάνεια ισούται µε το λόγο των µέτρων ελαστικότητας των αντίστοιχων υλικών (Σχ..17γ). Σε ορισµένες περιπτώσεις οι υπολογισµοί για την ανάλυση δοκών σύνθετης διατοµής διευκολύνονται σηµαντικά µε την εισαγωγή της έννοιας της ισοδύναµης ή µετασχηµατισµένης διατοµής. υλικό, γνωστό ως υλικό αναφοράς, µε µέτρο ελαστικότητας e Στη µετασχηµατισµένη διατοµή υπάρχει µόνο ένα E ref να επιλεγεί αυθαίρετα. Έτσι, το ολοκλήρωµα της εξ. (.) γράφεται: όπου n i Ei / Eref. Το υλικό αυτό µπορεί Ε Ε = i i d Eref d = Eref ( nid) = 0 (.0) E Α Α ref =. Συνεπώς, µία δοκός σύνθετης διατοµής µπορεί να θεωρηθεί ισοδύναµη µίας άλλης δοκού από το υλικό αναφοράς, αρκεί κάθε στοιχειώδης επιφάνεια d της διατοµής να πολλαπλασιασθεί επί το λόγο Α =. Οι τάσεις στη n i Ei / Eref µετασχηµατισµένη διατοµή µεταβάλλονται γραµµικά µε την απόσταση από τον ουδέτερο άξονα και υπολογίζονται ορθά µόνο για σηµεία στο υλικό αναφοράς, ενώ σε σηµεία άλλων υλικών θα πρέπει να πολλαπλασιάζονται επί n i. Σηµειώνεται ότι βάσει της εξ. (.15α) ο

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 1 ουδέτερος άξονας διέρχεται από το κέντρο βάρους της µετασχηµατισµένης διατοµής. Η παραπάνω µέθοδος θα γίνει κατανοητή µέσω των επόµενων δύο παραδειγµάτων. Παράδειγµα. Θεωρούµε µία αµφιέρειστη δοκό µήκους m (Σχ..18α) µε τη σύνθετη διατοµή του Σχ..18β. Το πάνω τµήµα της δοκού, µε διατοµή 150x50 mm είναι ξύλο, µε µέτρο ελαστικότητας E w = GPa, ενώ το κάτω τµήµα, µε διατοµή 150x mm, είναι χάλυβας, µε µέτρο ελαστικότητας E s = 00 GPa. Θεωρώντας ότι η δοκός φορτίζεται µε ένα συγκεντρωµένο φορτίο 40 knm στο µέσον του ανοίγµατος, ζητείται ο υπολογισµός των µέγιστων ορθών τάσεων στο ξύλο και στο χάλυβα. 40 kn (α) m Ουδέτερος άξονας (β) (γ) (δ) Σχ..18 Κάµψη αµφιέρειστης δοκού σύνθετης διατοµής µε φορτίο στο µέσον του ανοίγµατος. Πρώτο βήµα για τον υπολογισµό των µέγιστων τάσεων είναι η εύρεση της µέγιστης ροπής κάµψης (δεδοµένου ότι οι ορθές τάσεις είναι ανάλογες της ροπής). Εποµένως απαιτείται πρώτα ο υπολογισµός των αντιδράσεων (Σχ..19α) και ακολούθως η εξαγωγή του διαγράµµατος ροπών (Σχ..19β), το οποίο δίνεται παρακάτω. Ροπές κάµψης: M = 0 x knm για x 1. 5 m ( 1.5) M = 0 x 40 x knm για 1.5 m x m M max = +0 knm (στη διατοµή x = 1.5 m)

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 14 P = 40 kn 0 kn 0 kn x Αντιδράσεις (α) M max = +0 knm ιάγραµµα ροπών κάµψης (Μ ) (β) Σχ..19 Αντιδράσεις και διάγραµµα ροπών κάµψης. Το πρόβληµα θα επιλυθεί µε βάση τη µέθοδο της µετασχηµατισµένης διατοµής, θεωρώντας αρχικά ως υλικό αναφοράς το ξύλο. E E = GPa, n E / E = ref = w s = s w 00/ = 0. Η ισοδύναµη διατοµή χάλυβα έχει πλάτος 0x150 = 000 mm (Σχ..18γ). Το κέντρο βάρους και η ροπή αδράνειας της διατοµής είναι: 150 50 15 + 000 55 c = = 18 mm (από την πάνω ίνα της διατοµής) 150 50 + 000 150 50 000 I = + 150 50 58 + + 000 7 = 478 mm 4 1 1 Μέγιστη τάση στο ξύλο: M 0 18 σ, max = w (18) = = 11.5 ΜPa (στην πάνω ίνα, θλιπτική) I 478 Μέγιστη τάση στo χάλυβα: M 0 77 σ, max = s ns ( 77) = 0 = 9.7 ΜPa (στην κάτω ίνα, εφελκυστική) I 478 Η λύση του προβλήµατος επαναλαµβάνεται µε βάση τη µέθοδο της µετασχηµατισµένης διατοµής, θεωρώντας τώρα ως υλικό αναφοράς το χάλυβα. E ref = E s = 00 GPa, n w = Ew / Es = /00 = 1/0. Η ισοδύναµη διατοµή ξύλου έχει πλάτος (1/0)x150 = 7.5 mm (Σχ..18δ). Το κέντρο βάρους και η ροπή αδράνειας της διατοµής είναι: 7.5 50 15 + 150 55 c = = 18 mm (από την πάνω ίνα της διατοµής) 7.5 50 + 150

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 15 7.5 50 150 I = + 7.5 50 58 + + 150 7 =.9 mm 4 1 1 Μέγιστη τάση στο ξύλο: M 1 0 18 σ, max = w nw (18) = = 11.5 ΜPa (στην πάνω ίνα, θλιπτική) 0 I.9 Μέγιστη τάση στo χάλυβα: M 0 77 σ, max = s ( 77) = = 9.7 ΜPa (στην κάτω ίνα, εφελκυστική) I.9 Επιβεβαιώνεται δηλαδή ότι οποιαδήποτε επιλογή για το υλικό αναφοράς οδηγεί στα ίδια αποτελέσµατα για τις τάσεις. Παράδειγµα.7 Μία δοκός από σκυρόδεµα ορθογωνικής διατοµής 50x550 mm έχει στο κάτω τµήµα της δύο χαλύβδινες ράβδους διαµέτρου 5 mm σε απόσταση d = 500 mm από την πάνω ίνα της διατοµής (Σχ..0α). Θεωρώντας το λόγο του µέτρου ελαστικότητας του χάλυβα προς αυτό του σκυροδέµατος n s = 15, να υπολογισθεί η µέγιστη τάση στα δύο υλικά, αν η ροπή κάµψης στη διατοµή είναι 90 knm. Τα υλικά θεωρούνται γραµµικά ελαστικά αλλά το σκυρόδεµα σε εφελκυσµό θεωρείται ότι έχει µηδενική αντοχή. 5 cm σ c,max d=50 cm h=55 cm c d- c b=5 cm Φ5 (διάµετρος ράβδου = 5 mm) Μοναδιαία απόσταση n s s=147.19 cm (α) (β) (γ) (δ) Σχ..0 Ανάλυση διατοµής οπλισµένου σκυροδέµατος. Η υπόθεση για µηδενική εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος σηµαίνει ότι κάτω από τον ουδέτερο άξονα οι τάσεις στο σκυρόδεµα είναι µηδέν, δηλαδή το σκυρόδεµα εκεί

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 1 είναι σαν να µην υπάρχει. Το πρόβληµα θα επιλυθεί µε βάση τη µέθοδο της µετασχηµατισµένης διατοµής, θεωρώντας ως υλικό αναφοράς το σκυρόδεµα. Στο Σχ..0γ η διατοµή σκυροδέµατος πάνω από τον ουδέτερο άξονα είναι ορθογωνική αλλά κάτω από τον ουδέτερο άξονα δεν δείχνεται. Επίσης, λόγω της µικρής διαµέτρου των ράβδων σε σχέση µε το συνολικό ύψος της διατοµής θεωρείται ότι η διατοµή του χάλυβα (τόσο η πραγµατική s όσο και η µετασχηµατισµένη n s s ) βρίσκεται συγκεντρωµένη στο κέντρο βάρους της (κέντρο βάρους των ράβδων). Για λόγους εποπτείας, η µετασχηµατισµένη διατοµή δείχνεται όπως στο Σχ..0γ. κατανοµή των τάσεων στο σκυρόδεµα πάνω από τον ουδέτερο άξονα είναι γραµµική (βλ. τριγωνικό πρίσµα του Σχ..0δ), ενώ για το χάλυβα θεωρείται ότι οι τάσεις στις ράβδους είναι πρακτικά ίσες σε κάθε σηµείο της διατοµής τους. Έτσι σε κάθε ράβδο ασκείται µία εφελκυστική δύναµη ίση µε το εµβαδόν της ράβδου επί την τάση. Στο Σχ..0δ δίνεται η συνολική θλιπτική δύναµη C στο σκυρόδεµα, ίση µε το άθροισµα (ολοκλήρωµα) όλων των τάσεων πάνω από τον ουδέτερο άξονα, καθώς επίσης και η συνολική εφελκυστική δύναµη στις χαλύβδινες ράβδους ( T / σε κάθε ράβδο). Ο ουδέτερος άξονας διέρχεται από το κέντρο βάρους της µετασχηµατισµένης διατοµής. Αν αυτό απέχει απόσταση ( / ) = 14719( ) 50 c c 500 c c από την πάνω ίνα σκυροδέµατος, γράφουµε: 15 c + 14719c 759500 = 0 c + 117.7c 5887 = 0 c = 190.8 mm 50 190.8 190.8 I = + 50 190.8 + 0 + 14719 ( 500 190.8) = 198 mm 4 1 Μέγιστη θλιπτική τάση στο σκυρόδεµα: M 90 190.8 σ, max = c (190.8) = = 8.5 ΜPa (στην πάνω ίνα) I 198 Η Εφελκυστική τάση στο χάλυβα: M 90 09. σ = s ns (500 190.8) = 15 =.18 ΜPa I 198 Εναλλακτικός τρόπος επίλυσης: Έστω ότι το c υπολογίσθηκε όπως παραπάνω. πό το Σχ..0δ, η συνολική θλιπτική δύναµη C στο σκυρόδεµα είναι C = σ c b / και η συνολική θλιπτική δύναµη στο χάλυβα είναι T = σ s s., max c

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 17 Ισορροπία δυνάµεων: C 1 σ bc = σ s = T c, max s Ισορροπία ροπών: H ροπή του ζεύγους των δυνάµεων στη διατοµή είναι M = 90 knm. c 1 c C d = M σ c,maxbc d = M M 90 σ, max = c = = 8.5 MPa (θλιπτική) 190.8 b c c d 50 190.8 500 c c T d = M σ ss d = M M 90 σ = s = =.18 MPa (εφελκυστική) 190.8 c s d 981.7 500 Όπως αναµενόταν, οι δύο παραπάνω λύσεις οδηγούν στα ίδια αποτελέσµατα..7 Ανελαστική κάµψη δοκών Στην ενότητα αυτή θα αναφερθούµε σε προβλήµατα καθαρής κάµψης πρισµατικής δοκού θεωρώντας ότι το υλικό της δοκού συµπεριφέρεται ανελαστικά, µε µη γραµµικό καταστατικό νόµο σ ε σε εφελκυσµό ή θλίψη. Όλες οι άλλες υποθέσεις που έγιναν για περιπτώσεις ελαστικής κάµψης, δηλαδή οι κινηµατικές υποθέσεις και οι συνθήκες ισορροπίας, εξακολουθούν να ισχύουν και εδώ. Για να δείξουµε την πορεία ανάλυσης προβληµάτων ανελαστικής κάµψης θεωρούµε δοκό µε τη διατοµή του Σχ..1α, κατανοµή παραµορφώσεων λόγω κάµψης αυτήν του Σχ..1β και καταστατικό νόµο του υλικού αυτόν του Σχ..1γ. Η κατανοµή των τάσεων καθ ύψος της διατοµής (Σχ..1δ ή Σχ..1ε στις τρεις διαστάσεις) προκύπτει µε βάση την κατανοµή των παραµορφώσεων (Σχ..1β) και τη σχέση τάσεων παραµορφώσεων (Σχ..1γ). Συνεπώς για κάθε παραµόρφωση ε i ευρίσκεται η αντίστοιχη τάση σ i από την καµπύλη σ ε και η τάση αυτή σηµειώνεται στη θέση όπου αναπτύσσεται η συγκεκριµένη παραµόρφωση. ηλαδή ουσιαστικά η καθ ύψος της διατοµής κατανοµή των παραµορφώσεων ταυτίζεται µε την καµπύλη διαφορά στην κλίµακα του κατακόρυφου άξονα. σ ε, µε µόνη Η θέση του ουδέτερου άξονα προσδιορίζεται από την εξίσωση ισορροπίας δυνάµεων στη διατοµή της δοκού που µελετάµε. Θεωρώντας τη συνισταµένη των θλιπτικών

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 18 τάσεων (πάνω από τον ουδέτερο άξονα) ίση µε C και τη συνισταµένη των εφελκυστικών τάσεων (κάτω από τον ουδέτερο άξονα) ίση µε T ισχύει T = C, ή, ισοδύναµα, σ x d = 0 (.1) όπου σ x η εφελκυστική τάση σε κάθε σηµείο της διατοµής. Ακολούθως, η ροπή κάµψης a b T a + b, ή, ισοδύναµα: στη διατοµή υπολογίζεται ως C ( + ) ή ( ) M = σ xd (.) ιατοµή (α) Μοναδ. µήκος Παραµορφώσεις (β) ιάγραµµα τάσεων - παραµορφώσεων (γ) Τάσεις (δ) Τάσεις (ε) Σχ..1 Ανελαστική κάµψη δοκού. H παραπάνω διαδικασία απλοποιείται σηµαντικά για διατοµές δοκών που έχουν, εκτός από τον άξονα, και τον άξονα ως άξονα συµµετρίας, και για υλικά µε τον ίδιο καταστατικό νόµο σε εφελκυσµό και θλίψη. Σε τέτοιες περιπτώσεις η κατανοµή των τάσεων είναι συµµετρική ως προς τον ουδέτερο άξονα, ο οποίος µάλιστα διέρχεται από το κέντρο βάρους. Αξίζει όµως να επισηµάνουµε ότι στη γενική περίπτωση ανελαστικής κάµψης ο ουδέτερος άξονας δεν είναι κεντροβαρικός άξονας.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 19 Η κατανοµή παραµορφώσεων και τάσεων σε διατοµή δοκού µε άξονα συµµετρίας τον άξονα και υλικό µε την ίδια καµπύλη τάσεων παραµορφώσεων σε εφελκυσµό και θλίψη δίνεται ποιοτικά στο παράδειγµα του Σχ.. για τρία διαφορετικά µεγέθη της ροπής κάµψης. Κάθε τιµή ροπής αντιστοιχεί σε µέγιστη παραµόρφωση ε i ( ε 1, ε, ε ), Σχ..β, οπότε βάσει του καταστατικού νόµου (Σχ..α) προκύπτει η κατανοµή των τάσεων µε µέγιστη τάση σ i ( σ 1, σ, σ ), Σχ..γ. Η ροπή στη διατοµή µπορεί να αυξάνεται (λόγω αύξησης των εξωτερικών φορτίων) έως ότου η παραµόρφωση γίνει ίση µε τη µέγιστη, δηλαδή ε στο παράδειγµα του Σχ... Η αντίστοιχη µέγιστη τάση είναι σ (σηµεία Α και Β στο Σχ..γ), η οποία είναι φυσικά µικρότερη από αυτήν που προκύπτει εφαρµόζοντας το νόµο του Hooke για τη µέγιστη παραµόρφωση ε (σηµεία D και C στο Σχ..γ). Η υποθετική αυτή τιµή τάσης (δηλαδή η υπολογιζόµενη βάσει ελαστικής συµπεριφοράς του υλικού µέχρι την αστοχία) στη µηχανική των υλικών ονοµάζεται µέτρο θραύσης του υλικού. Θραύση Όριο αναλογίας (β) (α) (γ) Σχ.. Παραµορφώσεις και τάσεις καθ ύψος διατοµής µε δύο άξονες συµµετρίας και υλικό ανελαστικό µε ίδια συµπεριφορά σε εφελκυσµό και θλίψη. ν το υλικό της δοκού είναι ελαστοπλαστικό (όπως είναι π.χ. ο χάλυβας κατά πολύ καλή προσέγγιση) µε καµπύλη τάσης παραµόρφωσης αυτήν του Σχ..11β και η µέγιστη παραµόρφωση (στην ακραία εφελκυόµενη ή θλιβόµενη ίνα) είναι µεγαλύτερη από την παραµόρφωση διαρροής ε = f / E, τότε µπορούµε να φανταστούµε τη διατοµή της δοκού χωρισµένη σε δύο περιοχές. Στη µεσαία περιοχή (Σχ..), όπου οι

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 170 παραµορφώσεις είναι παντού µικρότερες από την ε, οι τάσεις είναι ελαστικές (αυξάνονται γραµµικά µε την απόσταση από τον ουδέτερο άξονα) και δίνονται από το νόµο του Hooke. Στις δύο ακραίες όµως περιοχές της διατοµής, όπου οι παραµορφώσεις είναι παντού µεγαλύτερες από την ε, οι τάσεις είναι παντού ίσες µε την τάση διαρροής f, η οποία άλλωστε δεν είναι δυνατό να ξεπεραστεί. Η κατανοµή τάσεων σε διατοµή δοκού από ελαστοπλαστικό υλικό για δύο διαφορετικές τιµές της ροπής κάµψης, M 1 και M (> M 1 ), δίνεται στα Σχ..α και Σχ..β (ή Σχ..γ, στις τρεις διαστάσεις), αντίστοιχα. Πλαστική περιοχή Μ > Μ 1 Ελαστική περιοχή -f f f f Ουδέτερος άξονας (α) (β) (γ) Σχ.. Τάσεις σε διατοµή δοκού από ελαστοπλαστικό υλικό. Αν η µέγιστη ορθή παραµόρφωση (δηλαδή αυτή στις ακραίες ίνες της διατοµής) για την περίπτωση ελαστοπλαστικού υλικού είναι πολλές φορές (π.χ. 15-0) µεγαλύτερη από την παραµόρφωση διαρροής ε, τότε η ελαστική περιοχή της διατοµής είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την πλαστική και µπορεί να αµεληθεί. Προσεγγιστικά δηλαδή µπορούµε να θεωρήσουµε ότι στο σύνολο της διατοµής οι τάσεις έχουν φθάσει την τάση διαρροής, δηλαδή η διατοµή έχει υποστεί πλαστικοποίηση. Η ροπή που αντιστοιχεί σε µία τέτοια κατάσταση ονοµάζεται πλαστική ροπή, M pl, και ο αντίστοιχος ουδέτερος άξονας πλαστικός ουδέτερος άξονας. Εδώ ας σηµειώσουµε ότι η πλαστική ροπή είναι η µέγιστη που µπορεί να αναπτυχθεί σε µία διατοµή, δεδοµένου ότι οι τάσεις σε όλα τα σηµεία του υλικού έχουν φθάσει τη µέγιστη τιµή τους. Τέλος, η τιµή της ροπής κάµψης σε µια διατοµή δοκού όταν η µέγιστη παραµόρφωση γίνει ίση µε την παραµόρφωση διαρροής ε (δηλαδή κατά την εκκίνηση της διαρροής του υλικού) ονοµάζεται ροπή διαρροής M. Όπως θα δούµε και παρακάτω, η πλαστική ροπή και η ροπή διαρροής αποτελούν χαρακτηριστικές ιδιότητες για κάθε διατοµή. Ο λόγος τους, M pl / M, αποτελεί και αυτός χαρακτηριστική ιδιότητα για κάθε διατοµή και καλείται συντελεστής σχήµατος. Τέλος, κατ αντιστοιχία µε την ελαστική κάµψη, ο λόγος M pl / f ονοµάζεται πλαστική ροπή αντίστασης ή πλαστικό µέτρο διατοµής και συµβολίζεται µε το Z pl.

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 171 Παράδειγµα.8 Θεωρούµε πρισµατική δοκό ορθογωνικής διατοµής b h από υλικό ελαστοπλαστικό µε ίση τάση διαρροής σε εφελκυσµό και θλίψη (Σχ..4α). Να προσδιορισθεί η ροπή διαρροής και η πλαστική ροπή. -f -f f -f f (α) (β) (γ) (δ) Σχ..4 Τάσεις σε ορθογωνική διατοµή δοκού από ελαστοπλαστικό υλικό. Η ροπή διαρροής της διατοµής υπολογίζεται από την εξ. (.9) θέτοντας την τάση ίση µε f για = h / (ή f για = h / ): f = M bh 1 h M bh = f Η προσεγγιστική κατανοµή των τάσεων για πολύ µεγάλη τιµή της µέγιστης ορθής παραµόρφωσης (συγκριτικά µε την παραµόρφωση διαρροής) δίνεται στο Σχ..4γ. Με βάση τις τάσεις αυτές, οι οποίες είναι παντού ίσες µε την τάση διαρροής f, η συνισταµένη εφελκυστική και θλιπτική δύναµη κάτω και πάνω από τον ουδέτερο άξονα υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας την f επί την επιφάνεια που δρα, bh / : C = T = f ( bh / ) Κάθε µία απο τις δυνάµεις αυτές ασκείται στο κέντρο βάρους της εφελκυόµενης και θλιβόµενης περιοχής της δοκού, δηλαδή σε απόσταση h / 4 κάτω και πάνω από τον ουδέτερο άξονα, αντίστοιχα. πλαστική ροπή, ισούται µε Συνεπώς η ροπή των δυνάµεων αυτών, που είναι η h h bh Mpl = C + = f 4 4 4

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 17 Στο ίδιο αποτέλεσµα θα µπορούσαµε να φθάσουµε εφαρµόζοντας τις εξ. (.1)-(.). Η εξ. (.1) ικανοποιείται αυτοµάτως θεωρώντας τον ουδέτερο άξονα στο µέσον της διατοµής. Από την εξ. (.), γράφοντας d = bd βρίσκουµε και πάλι: M pl 0 h / h / h / bh ( f ) bd + f bd = f bd = f = 0 0 4 Παρατηρούµε ότι τόσο η M όσο και η M pl είναι ανάλογες της τάσης διαρροής και εξαρτώνται από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της διατοµής. Ο λόγος M / M, δηλαδή ο συντελεστής σχήµατος για την ορθογωνική διατοµή, είναι ίσος µε 1.5. Με άλλα λόγια, σε µια ορθογωνική διατοµή η πλαστική ροπή κάµψης είναι 50% µεγαλύτερη από τη ροπή διαρροής. Τέλος υπολογίζεται η πλαστική ροπή αντίστασης, Z = M / f bh / 4. pl pl pl =.8 Πλαστική ανάλυση δοκού ή ανάλυση για την οριακή κατάσταση αντοχής Με τον όρο πλαστική ανάλυση ή πλαστική µελέτη ή ανάλυση για την οριακή κατάσταση αντοχής εννούµε συνήθως τις µεθόδους που χρησιµοποιούµε για τον καθορισµό των µέγιστων φορτίων που µπορεί να παραλάβει µία κατασκευή, θεωρώντας ότι οι παραµορφώσεις στα υλικά φθάνουν στις µέγιστες δυνατές τιµές τους. Είναι γεγονός ότι η σχετική περιπλοκότητα του αντικειµένου δεν επιτρέπει εκτενή κάλυψη στα πλαίσια αυτού του συγγράµµατος, γιαυτό και εδώ, µέσω ενός απλού παραδείγµατος, θα περιορισθούµε µόνο στην ανάδειξη ορισµένων από τις βασικές αρχές της πλαστικής ανάλυσης. Θεωρούµε ότι ο πρόβολος του Σχ..5α έχει µήκος L και καταπονείται σε κατακόρυφη συγκεντρωµένη δύναµη P στο ελεύθερο άκρο. Το υλικό του προβόλου θεωρείται ελαστοπλαστικό µε ίση τάση διαρροής σε θλίψη και εφελκυσµό ( f ). Το ζητούµενο είναι ο υπολογισµός της µέγιστης δύναµης που µπορεί να ασκηθεί στον πρόβολο και ο προσδιορισµός της περιοχής του προβόλου όπου κατά την αστοχία θα έχουν αναπτυχθεί πλαστικές παραµορφώσεις, δηλαδή οι τάσεις στο υλικό θα είναι ίσες µε την τάση διαρροής. Από το διάγραµµα ροπών κάµψης κατά µήκος του στοιχείου (δίνεται στο Σχ..5β) βλέπουµε ότι η µέγιστη ροπή κάµψης αναπτύσσεται στη διατοµή της πάκτωσης και έχει τιµή M max = PL. Η διατοµή αυτή καταπονείται εντονότερα από οποιαδήποτε άλλη, γιαυτό και εκεί µας ενδιαφέρει ο υπολογισµός των τάσεων. Αν φανταστούµε την P να αυξάνεται σταδιακά από την τιµή µηδέν, για κάποια συγκεκριµένη τιµή της P η ροπή M max γίνεται ίση µε M, δηλαδή η µέγιστη τάση στην ακραία ίνα της διατοµής πάκτωσης

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 17 (πάνω και κάτω) µόλις που φθάνει την τάση διαρροής. Η τιµή αυτή ονοµάζεται φορτίο διαρροής και συµβολίζεται µε P. Όταν συµβεί αυτό ισχύει M = P L. Για P > P στη διατοµή της πάκτωσης αρχίζει να εµφανίζεται πλαστική περιοχή, όπου οι τάσεις είναι ίσες µε την τάση διαρροής. Η µέγιστη τιµή της δύναµης P αναπτύσσεται όταν η πλαστική περιοχή στη διατοµή της πάκτωσης καλύψει ολόκληρη τη διατοµή, οπότε οι τάσεις θα είναι παντού (στη συγκεκριµένη διατοµή µόνο) ίσες µε την τάση διαρροής. Η τιµή αυτή, που ονοµάζεται φορτίο αστοχίας ή φορτίο κατάρρευσης, και συµβολίζεται µε δίνεται από τη σχέση Mpl = Pu L. P u, Όριο ελαστικής µε πλαστική περιοχή f -f L pl (α) (γ) (δ) M max = PL ιάγραµµα ροπών κάµψης (Μ ) (β) M M pl ιάγραµµα ροπών κατά την αστοχία (ε) L L pl Σχ..5 Μήκος πλαστικοποίησης σε πρόβολο από ελαστοπλαστικό υλικό. Παρατηρώντας το διάγραµµα ροπής κάµψης για P = P και Pu P = (Σχ..5ε) συµπεραίνουµε ότι κατά την αστοχία η διαρροή του υλικού έχει επεκταθεί όχι µόνο σε όλο το ύψος της διατοµής πάκτωσης αλλά και σε όλες τις γειτονικές διατοµές όπου M > M (Σχ..5α). Ο βαθµός πλαστικοποίησης στις διατοµές αυτές (δηλαδή το εύρος των πλαστικών περιοχών, εκεί όπου η τάση έχει φθάσει την τάση διαρροής) εξαρτάται από την τιµή της ροπής. Στη διατοµή πάκτωσης όπου M = Mpl η πλαστικοποίηση είναι πλήρης, ενώ στη διατοµή όπου M = M δεν υφίσταται πλαστική περιοχή. Σε

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 174 οποιαδήποτε ενδιάµεση διατοµή, έστω την a a του Σχ..5α, η πλαστική περιοχή (πάνω και κάτω τµήµατα στο Σχ..5γ) και η ελαστική περιοχή µπορούν να βρεθούν µε βάση τη ροπή M και την κατανοµή ορθών τάσεων στη συγκεκριµένη διατοµή (Σχ..5δ). Από τα Σχ..5β-γ γράφουµε: M o h = f 0 o bh b ( ) ( ) o bo bd + f bd = f f = Mpl f (.) 4 o Από την εξ. (.) για δεδοµένη ροπή M ( M M Mpl ) µπορεί να υπολογισθεί το o και άρα το ύψος της ελαστικής περιοχής ( ) και κάθε τµήµα της πλαστικής περιοχής ( h / o ). o Τέλος θα υπολογίσουµε το µήκος της δοκού στο οποίο κατά την αστοχία, δηλαδή όταν η ροπή κάµψης είναι M pl της δοκού όπου η ροπή κάµψης είναι µεγαλύτερη από τη ροπή διαρροής M. Το µήκος L pl του τµήµατος αυτού, γνωστό ως µήκος πλαστικοποίησης, υπολογίζεται από τα όµοια τρίγωνα του Σχ..5ε:, υπάρχει πλαστική περιοχή. Ουσιαστικά ζητάµε το τµήµα L Lpl M L = Mpl Lpl M = L 1 (.4) Mpl.9 Καθαρή κάµψη δοκών µε ασύµµετρη (τυχαία) διατοµή Όταν µία δοκός έχει ασύµµετρη διατοµή, ή ακόµα και όταν έχει διατοµή απλής ή διπλής συµµετρίας και τα επίπεδα φόρτισης (αυτά πάνω στο οποία δρουν δυνάµεις) δεν συµπίπτουν µε τα επίπεδα συµµετρίας, η ανάλυση για τον υπολογισµό των ορθών τάσεων µπορεί να βασισθεί και πάλι στις τρεις βασικές υποθέσεις: επιπεδότητα διατοµών, ικανοποίηση των συνθηκών ισορροπίας, νόµος του Hooke. Θεωρούµε µία δοκό µε τυχαία διατοµή (Σχ..α), η οποία καταπονείται µε ροπή κάµψης M. Στη διατοµή ορίζουµε ένα αυθαίρετο κεντροβαρικό σύστηµα συντεταγµένων, πάνω στο οποίο η ροπή αναλύεται σε M και M. Βάσει της υπόθεσης Bernoulli (επιπεδότητα διατοµών), το επίπεδο της διατοµής στρέφεται ως προς κάποιον άξονα. Ο άξονας αυτός, ο οποίος ορίζεται από την τοµή του αρχικού επιπέδου της διατοµής (πριν την κάµψη) µε το επίπεδο αυτό µετά τη στροφή λόγω κάµψης, υποθέτουµε ότι σχηµατίζει γωνία β ως προς τον άξονα (Σχ..β). Ακολούθως θεωρούµε ένα απειροστό στοιχείο εµβαδού d (µε συντεταγµένες και ) σε απόσταση d από τον άξονα ως προς τον οποίο στρέφεται η διατοµή. Κατ αντιστοιχία µε την εξ. (.) η ορθή παραµόρφωση είναι

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 175 d ε x = (.5) r όπου r η ακτίνα καµπυλότητας και d = cosβ sinβ (.) Η ορθή τάση σε οποιοδήποτε σηµείο της διατοµής είναι: σ x d cosβ sinβ = Eε x = E = E + E (.7) r r r Στην εξ. (.7) x και cos β / r και sin β / r είναι οι προβολές της καµπυλότητας κ στα επίπεδα x, αντίστοιχα. Οι προβολές αυτές ορίζονται ως κ 1/ r = και κ = 1/ κ, όπου r και r οι αντίστοιχες ακτίνες καµπυλότητας, οπότε η εξ. (.7) γράφεται σ x = E + E (.8) r r d (α) (β) Σχ.. Κάµψη δοκού µε ασύµµετρη διατοµή. Η διαφορά στα πρόσηµα της εξ. (.8) προέκυψε λόγω της παραδοχής θετικών αξόνων και γίνεται καλύτερα κατανοητή µέσω του Σχ..7, στο οποίο γίνεται υπενθύµιση της θετικής φοράς ροπών και καµπυλοτήτων. Στο επίπεδο x θετική ροπή κάµψης ( M ) προκαλεί θετική καµπυλότητα, διότι το κέντρο του κύκλου τµήµα του οποίου αποτελεί η παραµορφωµένη δοκός βρίσκεται προς το θετικό. Αντίθετα, στο επίπεδο x θετική ροπή κάµψης ( M ) προκαλεί αρνητική καµπυλότητα, διότι το κέντρο του

ΚΕΦ. ΚΑΜΨΗ ΔΟΚΩΝ ΚΑΙ ΚΑΜΨΗ ΜΕ ΑΞΟΝΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ 17 κύκλου τµήµα του οποίου αποτελεί η παραµορφωµένη δοκός βρίσκεται προς το αρνητικό. Θετική ακτίνα καµπυλότητας r Θετική ακτίνα καµπυλότητας r (α) (β) Σχ..7 Θετικές ροπές και καµπυλότητες στα επίπεδα x- και x-. Στη συνέχεια διατυπώνουµε τη συνθήκη ισορροπίας δυνάµεων στη διεύθυνση του άξονα x : = E E σ xd E + E d = + = 0 d d (.9) r r r r Η παραπάνω εξίσωση ικανοποιείται, δεδοµένου ότι οι άξονες (οπότε τα ολοκληρώµατα µηδενίζονται, το καθένα ξεχωριστά). και : x είναι κεντροβαρικοί Ακολούθως διατυπώνουµε τις συνθήκες ισορροπίας ροπών ως προς τους άξονες M = E E E E ( xd) E E σ = + d = d d = I r r r r I (.40) r r E E E E M = ( xd) = E + E d = d + d = I + r r r r σ I (.41) r r όπου I, I οι ροπές αδράνειας και I η ροπή εκτροπής της διατοµής (βλ. Ενότητα.4.). Επιλύοντας το παραπάνω σύστηµα των δύο εξισώσεων ως προς τις άγνωστες µέχρι στιγµής καµπυλότητες 1/ r και 1/ r έχουµε: 1 r MI + MI = (.4) E I ( I I )