Μεταβατική Αγωγή Θερμότητας: Ανάλυση Ολοκληρωτικού Συστήματος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής 1 Μεταβατική Αγωγή (ranen conducon Πολλά προβλήματα μεταφοράς θερμότητας εξαρτώνται από τον χρόνο. Αλλαγές στις συνθήκες λειτουργίας ενός συστήματος μπορούν να προκαλέσουν αλλαγές της θερμοκρασίας ως συνάρτηση ρη ητου χρόνου και θέσης στο στερεό μέχρι μχρνα φτάσουμε σε μία νέα μόνιμη μη κατάσταση (μέχρι να έχουμε δηλαδή μία νέα θερμική ισορροπία. Αν κατά την διάρκεια διαδικασίας μεταφοράς θερμότητας η θερμοκρασία μεταβάλλεται με τον χρόνο καθώς και με την θέση εντός του στερεού τότε έχουμε μεταβατική αγωγή. Αυτή η μεταβατική κατάσταση μπορεί να προκληθεί από: Επιφανειακές συναγωγικές συνθήκες (h, T Επιφανειακές συνθήκες ακτινοβολίας (h r, T ur Θερμοκρασία επιφανείας ή ροή θερμότητας Εσωτερική παραγωγή ενέργειας Είναι σημαντικό να αναπτύξουμε μεθόδους οι οποίες θα μας βοηθήσουν να υπολογίσουμε την κατανομή θερμοκρασίας με το χρόνο και την θέση. Αυτές οι μέθοδοι περιλαμβάνουν την (α μέθοδο ολοκληρωτικών συστημάτων (ή συστημάτων εντοπισμένης χωρητικότητας, (β αναλυτικές και (γ αριθμητικές μεθόδους. 2 Χειμερινό εξάμηνο 2007 1
Η Μέθοδος Ολοκληρωτικού Συστήματος (he lumped capacance mehod Βασίζεται στην παραδοχή της ομοιόμορφης κατανομής θερμοκρασίας στον χώρο κατά την διάρκεια της μεταβατικής διαδικασίας. Θεωρείστε ότι έχουμε ένα ζεστό μεταλλικό σώμα το οποίο είναι αρχικά σε μία θερμοκρασία, Τ, και σε χρόνο 0, τοποθετείτε σε ένα ψυχρό υγρό χαμηλότερης θερμοκρασίας ρ Τ. Αυτό το σώμα έχει επίσης μάζα m, όγκο V, εμβαδό Α, πυκνότητα ρ και ειδική θερμοκρασία c. Η θερμοκρασία του στερεού θα μειωθεί για χρόνο >0, λόγω συναγωγικής μεταφοράς θερμότητας στην διεπιφάνεια στερεού-υγρού, μέχρι να φτάσει την θερμοκρασία Τ. Αν η θερμική αγωγιμότητα, k, το στερεού είναι πολύ ψηλή, η αντίσταση στην αγωγή μέσα στο στερεό θα είναι μικρή σε σύγκριση με την αντίσταση στην μεταφορά θερμότητας μεταξύ του στερεού και του περιβάλλοντος χώρου. Οι βαθμίδες θερμοκρασίας εντός του στερεού θα είναι αμελητέες. Με άλλα λόγια η θερμοκρασία του στερεού είναι ομοιόμορφή σε κάθε στιγμή. 3 Η Μέθοδος Ολοκληρωτικού Συστήματος (he lumped capacance mehod Ξεκινώντας από ένα ισοζύγιο ενέργειας στο στερεό έχουμε ότι [μεταφορά ενέργειας στο εσωτερικό του σώματος σε ] [αλλαγή (μείωση της ενέργειας του σώματος σε ]. Η πιο γενική περίπτωση περιλαμβάνει συναγωγή, ακτινοβολία και/ή επιφανειακή ροή θερμότητας (A,c, A,r, A,h καθώς και εσωτερική παραγωγή ενέργειας. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε: de En Eou + Eg Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε εκροή ενέργειας, λόγω συναγωγής και ακτινοβολίας, και εισροή " λόγων ροής θερμότητας q : ( h A (, " q A, h ha, c r r ur + Eg 4 Χειμερινό εξάμηνο 2007 2
Η Μέθοδος Ολοκληρωτικού Συστήματος (he lumped capacance mehod Αμελητέα ακτινοβολία και παραγωγή θερμότητας " h >> hr, E g 0, q 0 E E ou de q E ρ Vc( ha ( q ha ( Θα ολοκληρώσουμε την εξίσωση από 0 όπου Τ Τ προς κάθε χρόνο όπου Τ Τ(. ha ( T T ρ Vc T d( ( T ha 0 ( ( ln ( ha ha 5 Η Μέθοδος Ολοκληρωτικού Συστήματος (he lumped capacance mehod Λύνουμε για την αδιάστατη θερμοκρασία: T T ha exp Χρησιμοποιώντας την θερμική σταθερά χρόνου (hermal me conan, τ, όπου το R [Κ/W] είναι η συναγωγική θερμική αντίσταση ενώ το C [kj/kgk] η ειδική θερμότητα σταθερής (lumped hermal capacance πίεσης του στερεού. Αύξηση στην τιμή του R ή C οδηγεί το στερεό στο να χρειάζεται πιο πολύ χρόνο για να φτάσει σε θερμικό ισοζύγιο Έχουμε: θ θ 1 τ Vc RC ha ρ θ θ T T exp [ τ ] 6 Χειμερινό εξάμηνο 2007 3
Η Μέθοδος Ολοκληρωτικού Συστήματος (he lumped capacance mehod Η εξίσωση που μόλις υπολογίσαμε μας δίνει την δυνατότητας να υπολογίσουμε την θερμοκρασία Τ ενός σώματος σε χρόνο, ή τον χρόνο,, που απαιτείται για να φτάσει η θερμοκρασία σε συγκεκριμένη τιμή. Σημειώνεται ότι συχνά το τ [ -1 ] ορίζεται ως: Q q ha θ Q ( θ [ 1 exp( τ ] 0 0 ha τ τ e Για να υπολογίσουμε την ολική μεταφορά ενέργειας, Q, λόγω της μεταβατικής διαδικασίας απαιτείται να ολοκληρώσουμε την πιο κάτω σχέση: Στην περίπτωση ψύξης το στερεό έχει απώλεια ενέργειας και το Q είναι θετικό ενώ για θέρμανση έχουμε αρνητικό Q και αύξηση της εσωτερικής ενέργειας του στερεού. Αν ξέρουμε την θερμοκρασία Τ( τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον νόμο ψύξης του Νεύτωνα για να προσδιορίσουμε τον ρυθμό μεταφοράς θερμότητας.. q 7 ( ha ( T ( T Η Μέθοδος Ολοκληρωτικού Συστήματος (he lumped capacance mehod Φτάνουμε στο ανώτατο όριο της ποσότητας μεταφοράς θερμότητας όταν το σώμα φτάσει στην θερμοκρασία περιβάλλοντος. Οπότε η μέγιστη μεταφορά θερμότητας είναι: mc ( q max T 8 Χειμερινό εξάμηνο 2007 4
Ο Αριθμός Bo (he Bo number Αν και η μέθοδος ολοκληρωτικού συστήματος διευκολύνει την ανάλυση μεταφοράς θερμότητας πρέπει να καθορίσουμε κάποιο κριτήριο εφαρμοσιμότητας της μεθόδου. Για να το πετύχουμε πρέπει να συσχετίσουμε τα σχετικά μεγέθη της πτώσης θερμοκρασίας στο στερεό με την διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ της επιφάνειας του στερεού και του ρευστού. ΔT ΔT old, cond old, conv R R cond conv ( Lc ka ( 1 ha hlc k B Το B είναι ο αριθμός Bo, μία αδιάστατη παράμετρος. Ένας μικρός αριθμός Bo παριστάνει μικρή αντίσταση στην αγωγή θερμότητας και ως αποτέλεσμα μικρές θερμοκρασιακές βαθμίδες στο εσωτερικός του σώματος. Το L c ονομάζεται χαρακτηριστικό μήκος (συμβολίζεται και ως L ή και ορίζεται ως (Lc V/A ή ως το μήκος που σχετίζεται με την μέγιστη θερμοκρασιακή διαφορά. Το h είναι ο συντελεστής συναγωγής ή ακτινοβολίας. Το k είναι η θερμική αγωγιμότητα του στερεού. 9 Ο Αριθμός Bo (he Bo number Όπως αναφέρθηκε ήδη η ανάλυση ενός ολοκληρωτικού συστήματος έχει ως προϋπόθεση την ομοιόμορφή κατανομή της θερμοκρασίας στο στερεό. Αυτό συμβαίνει όταν η αντίσταση αγωγής είναι ίση με το μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι όταν το B 0 η ανάλυση ενός συστήματος εντοπισμένης χωρητικότητας είναι ακριβής ενώ όταν το B > 0 είναι προσεγγιστική. Όσο πιο μικρός ο B τόσο πιο ακριβής η ανάλυση μας. Γενικά είναι αποδεκτό ότι μπορούμε να αναλύσουμε ένα ολοκληρωτικό σύστημα όταν: hl B k c < 0.1 10 Χειμερινό εξάμηνο 2007 5
Ο Αριθμός Fourer (he Fourer number Ένας άλλος ορισμός που συναντάμε στην ανάλυση ολοκληρωτικών συστημάτων είναι ο αριθμός Fourer (αδιάστατος χρόνος: T T T T α Fo Ο αριθμός Fourer μας δίνει την θερμότητα που άγεται διαμέσου ενός σώματος σε σχέση με την θερμότητα που αποθηκεύεται. Οπότε μεγάλη τιμή του Fo υποδηλώνει ότι έχουμε γρηγορότερη διάδοση της θερμότητας. exp 2 L c [ B Fo] 11 Χειμερινό εξάμηνο 2007 6