Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια:
Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα; 3. Τι λέγεται μέτρο ή μήκος ενός διανύσματος 4.Τι λέγεται μοναδιαίο διάνυσμα; 5. Τι λέγεται φορέας ενός διανύσματος; 6. Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα και λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά; 7. Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα και λέγονται ομόρροπα και πότε αντίρροπα 8. Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα και λέμε ότι έχουν α. ίδια διεύθυνση β. ίδια κατεύθυνση γ. αντίθετη κατεύθυνση - 1 -
9. Πότε δυο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται ίσα και πότε αντίθετα; 10. Έστω τα διανύσματα OA α και OB β. Τι ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α, β και τι τιμές παίρνει; 11 Αν θ η γωνία των α, β τότε: α) θ = 0 αν.. β) θ π αν. γ) τότε 1. Τι λέγεται άθροισμα των διανυσμάτων α και β 13. Να γράψετε τις ιδιότητες τις πρόσθεσης διανυσμάτων 14. Πως ορίζεται η διαφορά α - β του διανύσματος β από το διάνυσμα α ; 15. Αν Ο σημείο αναφοράς και Α, Β δύο σημεία του επιπέδου τότε : AB. - -
16. Ισχύει πάντα η σχέση :... α... 17. Τι ονομάζεται γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ με το διάνυσμα α ; 18.Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός δυο διανυσμάτων α και β ; 19. Αν Ο σημείο αναφοράς, AB ένα διάνυσμα του επιπέδου και Μ το μέσο του OA OB τμήματος ΑΒ να αποδείξετε ότι OM 0. Αν i, j τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα να αποδείξετε ότι κάθε διάνυσμα α γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως εξής α x i y j - 3 -
...... 1. Αν α x i y j τα διανύσματα x i και y j λέγονται του διανύσματος α και οι αριθμοί x, y λέγονται.. του διανύσματος α α 1 1. Αν (x, y ) και x, y ) ( να αποδείξετε ότι: i. α + β =(x 1 +x, y 1 +y ) ii. λ α =(λx 1,λx ) 3. Αν A(x1, y1) και B(x, y) σημεία του επιπέδου τότε το μέσο Μ του ΑΒ x1 x y1 y Να αποδείξετε ότι M(, ) - 4 -
4. Αν A(x1, y1) και B(x, y) σημεία του επιπέδου να αποδείξετε ότι το διάνυσμα AB έχει συντεταγμένες : AB (x - x1, y - y1) 5. Αν α x, y τυχαίο διάνυσμα του επιπέδου να αποδείξετε ότι = x y 6. Αν A(x1, y1) και B(x, y) σημεία του επιπέδου να αποδείξετε ότι (ΑΒ)= x1) (y y1) ( x 7. Τι ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το μη μηδενικό διάνυσμα α με τον άξονα xx και τι τιμές παίρνει; - 5 -
8.Τι λέμε συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος α x, y με x 0;... α 1 1 9. Αν (x, y ) και x, y ) ( δυο διανύσματα με συντελεστές διεύθυνσης λ 1 και λ αντίστοιχα να αποδείξετε ότι: // 1 30.Δύο διανύσματα α, β είναι παράλληλα όταν : α) β).. γ).. 31.Τι ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο δυο μη μηδενικών διανυσμάτων α και β ; 3. Έστω α, β τυχαία διανύσματα. Τότε: α) αν α 0 τότε :.. β) αν α τότε : γ) αν α τότε :.. - 6 -
33. Να αποδείξετε ότι: 34. Για τα μοναδιαία διανύσματα i, j ισχύουν οι σχέσεις: i j = j i =.. i j. 35. Αν α (x1, y1) και ( x, y) να αποδείξετε ότι α x 1 x +y 1 y. α 1 1 36.Αν θ η γωνία που σχηματίζουν τα μη μηδενικά διανύσματα (x, y ) και ( x, y) να αποδείξετε ότι: x 1 x 1 x y 1 y y 1 x y - 7 -
37. Αν α (x1, y1) και ( x, y) να αποδείξετε ότι: ( ) ( ) ( )...... α 1 1 ( 38. Αν (x, y ), x, y ) και x, y ) να αποδείξετε ότι: ( 3 3 ( ) α 1 1 39. Αν (x, y ), x, y ), με (, μη παράλληλα στον yy να αποδείξετε ότι 1 1. - 8 -
40. Τι λέγεται προβολή του διανύσματος v στο διάνυσμα α ( α 0 ); 41. Να αποδείξετε ότι: v = 4. Αν α και β δυο διανύσματα του επιπέδου να αποδείξετε ότι: i. ii. v... - 9 -
Η Ευθεία Στο Επίπεδο Ερωτήσεις θεωρίας 1.Πότε μια εξίσωση με δυο αγνώστους x,y λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C; Απάντηση:...... Ποια είναι η συμμετρική μιας γραμμής C: f(x,y)=0 ως προς: α) τον άξονα x x β).τον άξονα y y γ). την αρχή των αξόνων δ). τη διχοτόμο της γωνίας xoy Απάντηση:...... 3. Τι λέμε γωνία ω που σχηματίζει η ευθεία ε με τον άξονα x x ; Τι ισχύει για τη γωνία ω; Αν η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα x x με τι ισούται η γωνία ω; Απάντηση:........ 4. Πως ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης ή κλίση μιας ευθείας ε που δεν είναι παράλληλη στον άξονα y y ; Πότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι θετικός; Πότε είναι αρνητικός; Πότε ο συντελεστής διεύθυνσης είναι ίσος με μηδέν; Πότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης; - 10 -
Απάντηση:.......... 5. Να αποδείξετε ότι μια ευθεία και ένα διάνυσμα που είναι παράλληλα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης......... 6. Να αποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα y y1 σημεία Α(x 1,y 1 ) και Β (x,y ), με x1 x είναι λ=. x x1....... 7. Αν λ 1, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ε 1,ε αντιστοίχως να αποδείξετε ότι: α). 1 // 1 β). 1 1 1-11 -
........ 8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α (x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: y-y 0 =λ(x-x 0 )............ 9. Να αποδείξετε ότι μια ευθεία ε που διέρχεται από τα σημεία Α (x 1,y 1 ) και Β (x,y ) y y1 έχει εξίσωση y y1 (x x1) x x1......... - 1 -
10. Η εξίσωση y-y 0 =λ(x-x 0 ) εκφράζει όλες τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α (x 0,y 0 ) ; Απάντηση:..... 11. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας στις παρακάτω περιπτώσεις: α) Η ευθεία τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Α(0,β) και έχει συντελεστή λ β) Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή λ γ) Η ευθεία είναι φορέας της διχοτόμου της γωνίας i). xoy ii). x Oy δ) Η ευθεία διέρχεται από τι σημείο Α (x 0,y 0 ) και είναι παράλληλη στον άξονα x x Απάντηση:...... 1.Να αποδείξετε ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax+Βy+Γ=0 με Α 0ήB 0 (1) και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει ευθεία γραμμή........... - 13 -
13. Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση Ax+Βy+Γ=0 είναι: α). παράλληλη στο διάνυσμα ( B, A) β). κάθετη στο διάνυσμα (, )........... 14.Ποια είναι η συμμετρική της ευθείας ε Ax+Βy+Γ=0 ως προς α). τον άξονα x x β). τον άξονα y y γ). την αρχή των αξόνων δ). την ευθεία y=x Απάντηση:...... 15. Έστω μια ευθεία ε Ax+Βy+Γ=0 και ένα σημείο Μ (x 0,y 0 ) εκτός αυτής. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απόσταση του σημείου Μ από την ευθεία ε Απάντηση:....... 16.Έστω οι ευθείες ε 1 : y=λx+β 1 και ε : y=λx+β. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε 1 και ε - 14 -
Απάντηση:..... 17. Να γράψετε τη σχέση που δίνει το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ με Α (x 1,y 1 ), Β (x,y ), Γ (x 3,y 3 ). Απάντηση:..... - 15 -
Κύκλος Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Τι ονομάζεται κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα ρ;.......να γράψετε την εξίσωση του κύκλου: i. Με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ... ii. Με κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ... iii. Του μοναδιαίου κύκλου... 3. Ποια σχέση εξασφαλίζει ότι η ευθεία αx+βy+γ=0 εφάπτεται στον κύκλο (Κ,ρ);... 4. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου x +y =ρ στο σημείο του Α(x 1,y 1 ) έχει εξίσωση xx 1 +yy 1 =ρ - 16 -
5. Πότε η εξίσωση x +y +Ax+By+Γ=0 παριστάνει κύκλο;... Ποιο είναι το κέντρο και ποια η ακτίνα του κύκλου;... 6. Να αποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής x +y +Ax+By+Γ=0 (1) με Α +Β -4Γ>0 και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλο.... - 17 -
Παραβολή Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται παραβολή με εστία Ε και διευθετούσα δ;. Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής p p i. Με εστία Ε(,0) και διευθετούσα δ: x=-... p p ii. Με εστία Ε( 0, ) και διευθετούσα δ: y=-... 3. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής: i. C 1 : y =px στο σημείο της Α(x 1,y 1 )... ii. C : x =py στο σημείο της Α(x 1,y 1 )... 4. Να γράψετε τις ιδιότητες της παραβολής: 5. Να διατυπώσετε την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής - 18 -
Έλλειψη Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται έλλειψη με εστίες E και Ε ;.Να γράψετε την εξίσωση της έλλειψης (δυο περιπτώσεις) 3.Τι ονομάζεται εκκεντρότητα μιας έλλειψης; 4. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο της Α(x 1,y 1 ) ( Δύο περιπτώσεις) 5. Πότε δυο ελλείψεις λέγονται όμοιες; 6. Να διατυπώσετε την ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης. - 19 -
Υπερβολή Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται υπερβολή με εστίες E και Ε ;.Να γράψετε την εξίσωση της υπερβολής (δυο περιπτώσεις) 3.Τι ονομάζεται εκκεντρότητα μιας υπερβολής; 4. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της υπερβολής στο σημείο της Α(x 1,y 1 ) ( Δύο περιπτώσεις) 5. Να γράψετε τις εξισώσεις των ασυμπτώτων της υπερβολής (Δυο περιπτώσεις) 6. Να διατυπώσετε την ανακλαστική ιδιότητα της υπερβολής. - 0 -
7. Ποια υπερβολή λέγεται ισοσκελής και τι εξίσωση έχει; Με τι ισούται η εκκεντρότητα της ισοσκελούς υπερβολής;........ 8. Ποιες υπερβολές λέγονται συζυγείς;........ x y 9.Να σχεδιάσετε το ορθογώνιο βάσης της υπερβολής 1.......... - 1 -
Επαναληπτικά θέματα 1. Δίνονται τα διανύσματα α =(,3), =(-3,-). Α. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας των,. Β. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος =3 +3. Γ. Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το - με τον άξονα x x. Δίνεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και το μέσο του Κ. Οι συντεταγμένες των Κ και Α είναι Κ(-3, 3) Α(, 4) αντίστοιχα. Να βρείτε: Α. Τις συντεταγμένες του Β. Β. Το μήκος του ΑΒ. Γ. Το διάνυσμα KM όπου Μ(1, x). Δ. Το x ώστε KM AB. 3. Α. Να δείξετε ότι η εξίσωση x + y - x - 4y 0 = 0 παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο K και την ακτίνα. Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το κέντρο του κύκλου Κ. Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Κ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΚ όπου Ο η αρχή των αξόνων. Δ. Να βρείτε το εμβαδόν που σχηματίζεται από την ευθεία του ερωτήματος (γ) και τους άξονες. 4. Δίνεται ο κύκλος C 1 : (x α) + y = 4α και η παραβολή C : y = 4αx, α > 0. Α. Να δειχθεί ότι ο κύκλος C 1 έχει κέντρο την εστία της παραβολής C και εφάπτεται στη διευθετούσα της. Β. Να δειχθεί ότι ο κύκλος και η παραβολή τέμνονται στα σημεία Α(α, α) και Β(α, -α). Γ. Να δειχθεί ότι οι εφαπτόμενες της C στο Α και Β είναι κάθετες και τέμνονται πάνω στη διευθετούσα της. 5. Δίνονται τα σημεία Α(1, 3) και Β(5, 1). Ένας κύκλος (C) διέρχεται από τα σημεία Α, Β και έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεία(δ): y = x. Να βρείτε: Α. το μήκος της χορδής ΑΒ. Β. τις συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ. Γ. την εξίσωση της μεσοκάθετης του ΑΒ Δ. την εξίσωση του κύκλου. 6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Α(, 1), Β(4, 8) και Γ(, 4). Να βρεθεί η προβολή της πλευράς ΑΓ πάνω στη ΒΓ. - -
7. Δίνεται κύκλος C: x + y 4x y = 0. Α. Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου C. Β. Αν Α(1,3) και Β(3,4) σημεία του επιπέδου να δείξετε ότι το ένα είναι εσωτερικό και το άλλο εξωτερικό σημείο του κύκλου C Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από το σημείο Α(1,3) και ορίζει χορδή ΓΔ του κύκλου C τέτοια ώστε το Α να είναι μέσον της χορδής ΓΔ. 8. Δίνονται τα διανύσματα =(1,), =(λ, 6) =( 4,κ) A. Να βρείτε το λ αν 10 B. Να βρείτε το λ αν // Γ. Να βρείτε το κ αν Δ. Να εξετάσετε αν υπάρχει λ ώστε η γωνία που σχηματίζει το με τον χ χ να είναι 45 ο Ε. Να βρείτε τα κ, λ αν 3 9. Δίνεται η εξίσωση χ + ψ λχ 1=0 (1), λr. Α. Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο. Β. Για λ= 3 να βρείτε: α. Tα σημεία του κύκλου C, τα οποία απέχουν τη μέγιστη και ελάχιστη απόσταση από την αρχή Ο των αξόνων. β. Την εξίσωση της εφαπτομένης ε, του κύκλου C στο σημείο του Α(0,1). γ. Να βρείτε και την άλλη εφαπτομένη του κύκλου C, η οποία διέρχεται από το Β, όπου Β το σημείο τομής της ε με τον χ χ 10. Δίνεται η εξίσωση: x 3 3y 1 0 (1). α. Να δειχθεί ότι για κάθε λir η (1) παριστάνει ευθεία που περνάει από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρεθεί. β. Να δειχθεί ότι για κάθε λir η (ε 1 ): τέμνει την (ε ): x y 5 0 11. Δίνονται οι ευθείες : : x y 0 και 1 : x y 1 0 μη μηδενικά και ανά δύο μη συγγραμμικά. α. Να αποδείξετε ότι 1 // β. Να υπολογίσετε την απόσταση των 1,. όπου,, είναι διανύσματα γ. Αν τα διανύσματα,, είναι μοναδιαία να εξετάσετε αν μπορεί η απόσταση των δύο ευθειών να είναι ίση με - 3 -
1. Έστω τα σημεία Α( 1, ), Β(, 5 ) και Μ( x, y ) ώστε AM AM AB 15 0 Α. Να αποδείξετε ότι το Μ κινείται σε κύκλο και να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του ρ. Β. Ποια η εξίσωση της ευθείας ΑΒ ; Γ. Ποια η σχετική θέση της ευθείας ε με εξίσωση 4x 3y +1 = 0 με τον κύκλο αυτό. 13. Δίνεται ο κύκλος με εξίσωση x y x y 4 4 0 και η υπερβολή με εξίσωση 16x 9y 144 Α. Να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ του κύκλου. Β. Να βρείτε τις εστίες, τη σταθερή διαφορά α, την εκκεντρότητα και τις ασύμπτωτες της υπερβολής. Γ. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού, ώστε η ευθεία 3x 4y 0 να είναι εφαπτομένη του κύκλου. 14. Α. Αν 1,, να βρείτε την προβολή του διανύσματος v πάνω στο διάνυσμα u. Β. Αν α = (, 3) και β = (-1, 4), να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β. Γ. Έστω ότι 3, 1 και 3,. Να βρεθεί η ( ). Δ. Αν α β, (α + β ) (α - 3β ) και α β - =, δείξτε ότι α = 3 και β = 1 Ε. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της πλευράς ΒΓ. Είναι 3, και,. Να υπολογίσετε το συνημίτονο της 6 γωνίας,. 15. Έστω u, v διανύσματα με u =, v = 1. Α. Αν τα διανύσματα α = u + v, β = 3u - 5 v είναι κάθετα, να βρείτε την γωνία των u, v. Β. Αν επιπλέον v = (1, 0), να βρεθούν οι συντεταγμένες του u. - 4 -
Διαγώνισμα 1 Θέμα A Α1. Να αποδείξετε ότι Μονάδες 10 Α. Να δώσετε τον ορισμό της υπερβολής με εστίες τα σημεία E 1. Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση: α. Ισχύει β. Έστω διανύσματα, v με 0, Τότε ισχύει v v γ. Η εξίσωση x y x y 0 παριστάνει κύκλο αν ισχύει δ. Το διάνυσμα 4 0, είναι παράλληλο στην ευθεία : x y 0, 0 ή 0 ε. Αν μια ευθεία και ένα διάνυσμα έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης, τότε σχηματίζουν ίσες γωνίες με τον άξονα xx. Μονάδες 10 Θέμα Β Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 1,5, 6,3,,1 Β1. Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου ΑΜ Β. Να δείξετε ότι το διάνυσμα u,, R διάνυσμα για κάθε R. Β3. Να βρεθεί το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. Μονάδες 7 είναι παράλληλο με το Μονάδες 9 Μονάδες 9-5 -
Θέμα Γ Δίνονται τα σημεία Α(,), Β(3,4) και Γ(t,t), tr. Γ1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΒ, καθώς και το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Μονάδες 8 Γ. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ και να δείξετε ότι το Γ κινείται σε ευθεία παράλληλη στην ΑΒ. Γ3. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Ο(0,0) ως προς την ευθεία ΑΒ. Θέμα Δ Έστω τα σημεία Μ(1+ημφ, -συνφ), φ[0,π] Δ1. Να δείξετε ότι τα σημεία Μ κινούνται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Δ. Δίνεται ο κύκλος x 1 y 1 Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που άγονται από το σημείο Ο(0,0). Μονάδες 8 Μονάδες 9 Μονάδες 8 Μονάδες 8 Δ3. Αν Α,Β είναι τα σημεία επαφής του (β) ερωτήματος, να υπολογίσετε το,, όπου Κ το κέντρο του κύκλου. Μονάδες 9-6 -
Διαγώνισμα Θέμα Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου (x1, y ) έχει εξίσωση xx A 1 1 yy 1 Α. Να δώσετε τον ορισμό της παραβολής x y στο σημείο του Μονάδες 10 Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε με την ένδειξη «Σωστό» ή«λάθος» τις παρακάτω προτάσεις α. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι πάντα θετικός αριθμός. β. Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα α, β, γ ισχύει α β α γ, τότε είναι: β γ. γ. Η εξίσωση x By Γ 0 παριστάνει ευθεία αν και μόνο αν 0 ή 0. δ. Στην παραβολή με εξίσωση y px η απόσταση της εστίας από την διευθετούσα είναι ίση με p. ε. Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι πραγματικός αριθμός του διαστήματος Θέμα Β (0, 1). Δίνονται τα σημεία M( 3λ -1, 4λ ), IR. Μονάδες 10 Β1. Να αποδείξετε ότι όλα αυτά τα σημεία Μ βρίσκονται στην ευθεία: ( ε) :4x - 3y 10 0. Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε την απόσταση της αρχής των αξόνων Ο(0, 0) από την ευθεία(ε). Μονάδες 8 Β3. Να βρείτε ποιο σημείο της (ε) απέχει από την αρχή των αξόνων Ο την ελάχιστη απόσταση. Μονάδες 9-7 -
Θέμα Γ Δίνεται η έλλειψη c: 9x +4y =36. Γ1. Να βρείτε τις εστίες, την εκκεντρότητα της έλλειψης Μονάδες 5 Γ. Να βρεθούν η εξίσωση της εφαπτόμενης της έλλειψης c στο σημείο της Μ(1, 3 3 ). Μονάδες 10 Γ3. Να βρεθεί η εξίσωση ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες με την παραπάνω έλλειψη Μονάδες 10 Θέμα Δ Δ1. Δίνεται η εξίσωση y y x α. Να δειχθεί ότι η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ε 1 και ε που τέμνονται στην αρχή των αξόνων. Μονάδες 7 β. Το σημείο Μ, ισαπέχει από τις ε 1 και ε. Μονάδες 6 γ. Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε 1 και ε. Μονάδες 7 Δ. Δίνεται το σημείο Α(4,0) και η ευθεία (ε) με εξίσωση x = 1. Ένα σημείο Ρ κινείται στο επίπεδο έτσι ώστε ΡΑ = ΡΑ. συνθ, όπου Α η προβολή του Ρ στην ευθεία (ε) και θ IR. Να βρείτε τη γραμμή και την εξίσωσή της πάνω στην οποία κινείται το Ρ όταν θ = 0 Μονάδες 5-8 -