ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ FOURIER έκδοση DΥΝI-FAN_2016b
Copyright Ε.Μ.Π. - 2016 Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, atogia@cetral.tua.gr, 210-7721524 Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@cetral.tua.gr, 210-7722332
Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Ανάλυση με Fourier απόκρισης συστήματος 3. Μιγαδική ανάλυση Fourier
Εισαγωγή 1
1. Εισαγωγή: Ανάλυση χρονοσειρών γενική περιγραφή σήματος: ορίζονται: και άθροισμα συναρτήσεων ηνιτόνου & συνιμητόνου ίδιας συχνότητας και διαφορετικού πλάτους όπου οι παράμετροι Α & φ υπολογίζονται από: και
1. Εισαγωγή: Ανάλυση χρονοσειρών ΣΤΟΧΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ FOURIER Οι συχνοτικές συνιστώσες ενός σήματος y(t) μπορούν να εντοπισθούν από εκείνο το συνδυασμό ημιτόνων & συνιμητόνων μεταβλητής συχνότητας & πλάτους που αθροίζονται για να συνθέσουν το σήμα y(t).
1. Εισαγωγή : Ανάλυση χρονοσειρών
1. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: Εισαγωγή ΔΙΕΓΕΡΣΗ Περιοδική Μεταβατική Τυχαία/στοχαστική επαναλαμβάνεται επιβάλλεται σταδιακά επιβάλλεται με χρονικά ή απότομα τυχαίο τρόπο στρεφόμενες μηχανές απότομη διακοπή λειτουργίας μηχανής σεισμός κυματισμός θάλασσας ΑΝΑΛΥΣΗ συνόλου αρμονικών συνιστωσών/διεγέρσεων οι παράμετροι ορίζονται στο
1. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: Εισαγωγή μια συνάρτηση f(t) είναι περιοδική με περίοδο Τ όταν ισχύει: f ( t + T ) = f ( t) t T > 0 εάν T = 2 π έτσι για: ισχύει: με περίοδο: Τ=2π
1. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: Εισαγωγή Συνεχής/αναλογικός χρόνος Διακτιτός χρόνος Μη περιοδικό σήμα Περιοδικό σήμα
1. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: Ιδιότητες ημιτόνων & συνιμητόνων ως άρτια συνάρτηση ισχύει: ως περιττή συνάρτηση ισχύει:
1. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: Ιδιότητες ημιτόνων & συνιμητόνων R + R +
Ανάλυση με Fourier απόκρισης συστήματος 2
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΙΝΑΙ ΔΥΝΑΤΟΝ ΝΑ ΕΚΦΡΑΣΘΕΙ ΩΣ ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ η εφαρμογή μιας περιοδικής διέγερσης σε μία κατασκευή ισοδυναμεί με την άσκηση μίας επαλληλίας αρμονικών διεγέρσεων, οι συχνότητες των οποίων είναι πολλαπλάσιες της βασικής συχνότητας ω μια περιοδική συνάρτηση f(t) = f(t+t), όπου T=2π/ω (ω: βασική συχνότητα), βάσει της ανάλυσης Fourier μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά: 1 η αρμονική 2 2 2 η αρμονική ❶ μέση τιμή χρονοσειράς (DC)
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση ορισμός συντελεστών a o, a & b : σύμφωνα με την ορθογωνική ιδιότητα της σειράς ισχύουν για μια περίοδο Τ: & για για
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση επομένως, ολοκληρώνοντας την ❶ για μια περίοδο Τ: 2 2 2 κατόπιν, πολλαπλασιάζονταςτας την ❶ με & ολοκληρώνοντας για μια περίοδο Τ: 2 και... & για για
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση... για κατόπιν, πολλαπλασιάζονταςτας την ❶ με & ολοκληρώνοντας για μια περίοδο Τ: και... 2 & για για
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση... για
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση επομένως, η εξίσωση κίνησης ενός συτήματος 1 Β.Ε. είναι: x(t) m f(t) m x + c x + k x 2 k c η απόκριση (μερική λύση) του συτήματος στην μόνιμη κατάσταση είναι: x p ( t) = x o ( t) + + = 1 [ x ( t) + x ( t) ] s c απόκριση σε διέγερση α ο /2 απόκριση σε αρμονική διέγερση α si(ωt) απόκριση σε αρμονική διέγερση b cos(ωt)
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση. επομένως, η μερική λύση (μόνιμη κατάσταση) της Δ.Ε. είναι το άθροισμα (υπέρθεση) των λύσεων των ακόλουθων: 2 α ο = + + x k x c x m cos( t) x k x c x m = + + ω α si( t) b x k x c x m = + + ω ❷ ❸ ❹
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση. επομένως, η μερική λύση (μόνιμη κατάσταση) των, και είναι: ❷ ❸ ❹ k x o o = 2 α ) cos( ) (2 ) (1 2 2 2 2 s t q q k x ϕ ω ζ α + = ) si( ) (2 ) (1 2 2 2 2 c t q q k b x ϕ ω ζ + = όπου: = 2 2 1 1 2 ta q q ω ζ ϕ και q ω ω =
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση. επομένως, η συνολική μερική λύση (μόνιμη κατάσταση) είναι: [ ] + + = + =1 ) ( ) ( ) ( ) ( c s o p t x t x t x t x + + + = + =1 2 2 2 2 0 ) cos( ) (2 ) (1 2 p t q q k k x ϕ ω ζ α α + = + + 1 2 2 2 2 ) si( ) (2 ) (1 t q q k b ϕ ω ζ Παρατηρήσεις... το πλάτος και η φάση για τη συνιστώσα εξαρτώνται από από την παράμετρο το πλάτος λαμβάνει μέγιστη τιμή όταν ω=ω και πρακτικά για μικρές τιμές του και του λόγου ζ το πλάτος μειώνεται πρακτικά για μεγάλες τιμές του και τίνει στο μηδέν επομένως, οι πρώτοι όροι είναι οι σημαντικοί και αποδίδουν με μεγάλη ακρίβεια την απόκριση
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση οι περιοδικές συναρτήσεις παρουσιάζουν τις ακόλουθες μορφές συμμετρίας: άρτια (eve) περιλαμβάνει μόνο cos όρους όπου 2
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση οι περιοδικές συναρτήσεις παρουσιάζουν τις ακόλουθες μορφές συμμετρίας: περιττή (odd) περιλαμβάνει μόνο si όρους 2 όπου
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση οι περιοδικές συναρτήσεις παρουσιάζουν τις ακόλουθες μορφές συμμετρίας: κατά το ήμισυ (half-wave) δεν υπάρχουν άρτιες συνιστώσες για περιττό
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: υπό αρμονική διέγερση DC
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: το φαινόμενο Gibbs 9% A σφάλμα A Το ποσοστό του σφάλματος είναι περίπου σταθερό 9% και ανεξάρτητο του πλήθους των αρμονικών που αναπτύσσονται
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 1 με χρονική περίοδο 2π υπολογισμός a o, a & b
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 1 1 ο ΒΗΜΑ
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 1 2 ο ΒΗΜΑ
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 1 3 ο ΒΗΜΑ εφαρμογή τριγωνομετρικών ιδιοτήτων άρτιο περιττό άρτιο περιττό
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 1 υπολογίσθηκαν: άρτιο περιττό επομένως, για τους 5 πρώτους όρους η διέγερση f(x) αναπτύσσεται ως:
. 2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 χρονική περίοδο 2π υπολογισμός a o, a & b
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 1 ο ΒΗΜΑ
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 2 ο ΒΗΜΑ βλέπε ολοκληρώματα πίνακα Ι εφαρμογή τριγωνομετρικών ιδιοτήτων...
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 2 ο ΒΗΜΑ βλέπε ολοκληρώματα πίνακα Ι
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 2 ο ΒΗΜΑ άρτιο περιττό
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 3 ο ΒΗΜΑ βλέπε ολοκληρώματα πίνακα Ι...
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 3 ο ΒΗΜΑ βλέπε ολοκληρώματα πίνακα Ι
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 2 υπολογίσθηκαν: άρτιο περιττό επομένως, για τους 4 πρώτους όρους η διέγερση f(x) αναπτύσσεται ως:
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: παράρτημα Α πίνακας Ι ολοκληρώματα τύπου:
2. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: παράρτημα Α πίνακας Ι ολοκληρώματα τύπου:
Μιγαδική ανάλυση Fourier 3
1. Εισαγωγή: φυσικός λογάριθμος e k t... k πραγματικός αριθμός k > 0 k < 0 περιγράφει ρυθμό απόσβεσης e i t... k (=i) φανταστικόςαριθμός περιγράφει κυκλική (περιοδική) συμπεριφορά
1. Εισαγωγή: φυσικός λογάριθμος συνδυασμός: e kt e it αποσβενόμενη απόκριση
1. Εισαγωγή: φυσικός λογάριθμος Euler μοναδιαίος κύκλος (r=1) για μεγαλύτερα πλάτη (ακτίνες)
1. Εισαγωγή: φυσικός λογάριθμος συχνότητα ω = 1 e i ω t ω = 2 ω = 3
1. Εισαγωγή: ανάλυση αρμονικής κίνησης διανυσματική παρουσίαση αρμονικής κίνησης... OP το διάνυσμα πλάτους Α περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω περίοδος κατακόρυφος άξονας προβολή οριζόντιος άξονας εναλλακτική μορφή παρουσίασης περίοδος
1. Εισαγωγή: ανάλυση αρμονικής κίνησης εναλλακτική μορφή παρουσίασης αρμονικής κίνησης... κάθε διάνυσμα X στο επίπεδο xy μπορεί να παρουσιασθεί ως μιγαδικός αριθμός
3. Ανάλυση απόκρισης με Fourier: μιγαδικός μετασχηματισμός μια χρονο-σειρά Fourier μπορεί να αναπτυχθεί σε μιγαδικούς όρους... ισχύουν: οπότε η ❶ :
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: μιγαδικός μετασχηματισμός...... ❺ όπου: μιγαδικοί συντελεστές Fourier (ορίζονται)
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: μιγαδικός μετασχηματισμός άρα: ❺ όπου: = = 1 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 b i b i c o α α α μιγαδικοί συντελεστές Fourier (complex Fourier coefficiets) και: = = 0 0 0 1 e t i ω για κάθε αρμονική συνιστώσα στο + αντιστοιχεί μια συνιστώσα στο -
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: μιγαδικός μετασχηματισμός oι συντελεστές c είναι μιγαδικοί εκτός από την περίπτωση που =0 oι συντελεστές c ικανοποιούν: = c c οι συνιστώσες με πλάτη c έχουν αντίθετες συχνότητες Re c = c f o c c - φ -φ - f o γωνία Im A/2 A
1. Εισαγωγή: Συσχέτιση ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ (CORRELATION) δείκτης ομοιότητας χρονοσειρών σημαντικότερος όρος, οι υπόλοιποι όροι συμβάλουν ώστε r ϵ [ 1 +1] άθροισμα χρονοσειρών
1. Εισαγωγή: Συσχέτιση r(x 1,x 3 ) = -1 r(x 1,x 5 ) = 1 r(x 1,x 4 ) = 0.71 r(x 1,x 2 ) = 0
1. Εισαγωγή: Διακριτός μετασχηματισμός Fourier άθροισμα χρονοσειρών Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourier είναι ένας δείκτης συσχέτισης μεταξύ μιας δεδομένης χρονοσειράς x και της κυκλικής συνάρτησης e -i2πk/n Εργαλείο ομοιότητας συνιστωσών που συνθέτουν δεδομένη χρονοσειρά με κυκλικές συναρτήσεις διαφορετικών κυκλικών συχνοτήτων
Συσχέτιση 1. Εισαγωγή: Διακριτός μετασχηματισμός Fourier x t 1( ) = (2,5,6Hz) T = 1 f
1. Εισαγωγή: Διακριτός μετασχηματισμός Fourier συζυγείς μιγαγικοί Re f o φ -φ - f o γωνία Im A/2 A
1. Εισαγωγή: Διακριτός μετασχηματισμός Fourier Real Real (cos) Imagiary (si) https://uderstadigecstasy.wordpress.com/2010/12/26/hearig-with-the-fourier-trasform/
1. Εισαγωγή: Διακριτός μετασχηματισμός Fourier απεικόνιση της προσέγγισης του ενός τετραγωνικού παλμού με τη λήψη των πρώτων 4 όρων της σειράς Fourier https://www.youtube.com/watch?v=r18gi8lskfm
1. Εισαγωγή: Διακριτός μετασχηματισμός Fourier
1. Εισαγωγή: Φάσμα εφαρμογή μαθηματικής σχέσης Fourier ΦΑΣΜΑ δείγματα (samples) m-1 m m+1 Ν-1 Ν
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 3 περιοδικό σήμα a(t) από το σήμα a(t) προκύπτουν: περίοδος: Τ ω ο Τ=2π μέση τιμή = 0 α ο /2 = 0 η α(t) παρουσιάζει κατά το ήμιση συμμετρία απουσία άρτιων αρμονικών οπότε: a(t) υπολογισμός a & b
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 3 α για και... οπότε α για περιττές τιμές
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 3 οπότε για περιττές τιμές του... 1 3 5 7 α 1,0419E -0,1672E 0,1435E -0,08267E
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 3 b για &... οπότε b για περιττές τιμές
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 3 οπότε για περιττές τιμές του... 1 3 5 7 b 0,4053E -0,04503E 0,0162E -0,00827E σύνθεση χρονικής διέγερσης a(t) για διάφορα
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 3 επομένως, τα πλάτη για κάθε συχνοτική συνιστώσα λαμβάνονται από τα α και b 0 1 3 5 7 Α 0 1,1180 0,1731 0,1444 0.08309 ΦΑΣΜΑ
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 4 περιοδικό σήμα a(t) από το σήμα a(t) προκύπτουν: περίοδος: 2T μέση τιμή = 0 α ο /2 = 0 η α(t) παρουσιάζει άρτια συμμετρία b =0 για άρτια & περιττά η α(t) παρουσιάζει κατά το ήμιση συμμετρία απουσία άρτιων αρμονικών a =0 & b =0 για άρτια οπότε: a(t) υπολογισμός a
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 4... οπότε α για περιττές τιμές οπότε για περιττές τιμές του... 1 3 5 7 α 4E/π -4E/3π 4E/5π -4E/7π
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 4 επομένως... α(t) σύνθεση χρονικής διέγερσης a(t) για διάφορα
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 4 επομένως, τα πλάτη για κάθε συχνοτική συνιστώσα λαμβάνονται ΜΟΝΟ από τα α b = 0 0 1 3 5 7 Α 0 4E/π 4Ε/3π 4Ε/5π 4Ε/7π ΦΑΣΜΑ
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 5 περιοδικό σήμα b(t) από το σήμα b(t) προκύπτουν: περίοδος: 2T μέση τιμή: E/2 η b(t) δεν παρουσιάζει καμμία συμμετρία ενέργειες αφαίρεση μέσης τιμής από το σήμα b(t) ολίσθηση του σήματος b(t) προς τα δεξιά κατά Τ/6 άρτια συμμετρία
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 5 τροποποιημένο σήμα b 1 (t) το τροποποιημένο σήμα b 1 (t) μπορεί να αναλυθεί σύμφωνα με αυτό της εφαρμογής 4, από το οποίο έχει 1,5 φορές μεγαλύτερο πλάτος όπου
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 5 για ολίσθηση του σήματος b(t) προς τα δεξιά κατά Τ/6: b(t) ΦΑΣΜΑ
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 6 (?) μιγαδική ανάλυση Fourier για =[-7 7] ισχύει: f (t) όπου:
οπότε: Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 6
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 6 επομένως: άρτιο περιττό c 1 3 5 7 = c 2A/π -2A/3π 2A/5π -2A/7π
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 6 οπότε για [-7 7] : f (t) περιττό
Ανάλυση απόκρισης με Fourier: εφαρμογή 6 οπότε για [-7 7] :
ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ THE FOURIER SERIES http://lpsa.swarthmore.edu/fourier/series/whyfs.html FOURIER TRANSFORM: A R TUTORIAL http://www.di.fc.ul.pt/~jp/r/fourier/fourier.html THE FOURIER TRANSFORM AND ITS APPLICATIONS https://see.staford.edu/materials/lsoftaee261/book-fall-07.pdf NOTES ON HARMONIC ANALYSIS http://gbethie.et/harmoic.pdf FOURIER ANALYSIS AN INTRODUCTION http://prof.usb.ve/bueo/libros/069111384x%20-%20priceto%20uiversity%20- %20Fourier%20Aalysis~%20A%20Itroductio%20-%20(2003).pdf AN INTRODUCTION TO FOURIER AND COMPLEX ANALYSIS WITH APPLICATIONS TO THE SPECTRAL ANALYSIS OF SIGNALS http://people.ucw.edu/hermar/mat367/fcabook/fca_mai.pdf FOURIER ANALYSIS https://www.mathworks.com/moler/fourier.pdf CHAPTER 2 SIGNALS AND SPECTRA http://www.slideshare.et/shima91aa/chapter-2-sigals-ad-spectra
ΑΝΑΦΟΡΕΣ - ΒΙΒΛΙΑ FOURIER SERIES http://www.stewartcalculus.com/data/calculus%20early%20trascedetals/upfiles/fourierserie s5et.pdf FUNDAMENTALS AND LITERATURE REVIEW OF FOURIER TRANSFORM IN POWER QUALITY ISSUES http://www.academicjourals.org/joural/jeeer/article-full-text-pdf/861fbdf8513 FREE DOWNLOAD FOURIER BOOKS http://www.freebookcetre.et/mathematics/fourier-aalysis-books.html STUDENTS SOLUTIONS MANUAL PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FOURIER SERIES AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS https://www.math.utah.edu/~alali/solutiosmaual.pdf FOURIER TRANSFORM, FOURIER SERIES, AND FREQUENCY SPECTRUM https://www.youtube.com/watch?v=r18gi8lskfm [GSP] FOURIER SERIES ANIMATION USING CIRCLES https://www.youtube.com/watch?v=r5slhtsz1uc FOURIER SERIES ANIMATION (SQUARE WAVE) https://www.youtube.com/watch?v=k8fxf1kjzy0 FOURIER SERIES ANIMATION (SAWTOOTH) V3 https://www.youtube.com/watch?v=glscx2pwf0a
Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... atogia@cetral.tua.gr Δρ. Γιακόπουλος Χ.... chryiako@cetral.tua.gr