ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Παναγόπουλος ηµήτρης Περσεφόνης 3, Ν. Ηράκλειο Αττικής 14121 Τηλ.: 2102756310, 6976486417 dpanagop@yahoo.com Περίληψη Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται κάποιες εφαρµογές της τοπολογικής άλγεβρας σε αντικείµενα όπως τα δίκτυα αισθητήρων, την επεξεργασία εικόνων, την ανάλυση δεδοµένων και την παράλληλη επεξεργασία. Στη δεύτερη παράγραφο παρουσιάζονται περιληπτικά κάποιες µαθηµατικές έννοιες που χρειάζονται για την παρουσίαση των εφαρµογών. Ακολουθούν, στην τρίτη και την τέταρτη παράγραφο, οι εφαρµογές των εννοιών αυτών. Το άρθρο ολοκληρώνεται µε κάποιες παρατηρήσεις του συγγραφέα. 1. Εισαγωγή Ένα ολοένα και πιο συχνό φαινόµενο στη σύγχρονη εποχή µε τη ραγδαία ανάπτυξη της επιστήµης και της τεχνολογίας είναι η χρήση αφηρηµένων µαθηµατικών εργαλείων σε διάφορες εφαρµογές. Εξίσου αξιοπρόσεκτο είναι το γεγονός ότι ένας κλάδος των µαθηµατικών µπορεί να εµφανίζεται σε εντελώς διαφορετικές εφαρµογές. Στο παρόν άρθρο θα δούµε κάποιες εφαρµογές της αλγεβρικής τοπολογίας στα δίκτυα αισθητήρων, στην επεξεργασία εικόνων, στην ανάλυση δεδοµένων και στη µελέτη της παράλληλης επεξεργασίας. Θα πρέπει να σηµειώσουµε εδώ πως, όπως ιστορικά έχει συµβεί σε κάθε ανάλογη περίπτωση, η σχέση µεταξύ των µαθηµατικών και των εφαρµογών τους δεν είναι µια µονόδροµη σχέση αξιοποίησης αλλά ένας γόνιµος διάλογος. Οι εφαρµογές θέτουν ερωτήµατα τα οποία τροφοδοτούν την µαθηµατική έρευνα. 2. Μαθηµατικό υπόβαθρο Η αλγεβρική τοπολογία είναι η µελέτη τοπολογικών χώρων µε τη χρήση αλγεβρικών τεχνικών. Οι κατασκευές που θα µας απασχολήσουν είναι, βασικά, η θεµελιώδης οµάδα ενός τοπολογικού χώρου και οι οµάδες οµολογίας συµπλεγµάτων. Σε αυτή την παράγραφο θα υπενθυµίσουµε κάποια πράγµατα για αυτές τις έννοιες. Κάποια επιπλέον στοιχεία θα παρουσιαστούν σε επόµενες παραγράφους µαζί µε τις συγκεκριµένες

εφαρµογές που τα χρησιµοποιούν. Για περισσότερες πληροφορίες ο αναγνώστης µπορεί να συµβουλευτεί το [9]. Ορισµός 1. Έστω Χ ένας τοπολογικός χώρος. Μονοπάτι στον Χ λέµε µια συνεχή απεικόνιση. Αν, τότε το µονοπάτι λέγεται κλειστό και το λέγεται σηµείο βάσης. Ορισµός 2. ύο µονοπάτια µε και καλούνται οµοτοπικά αν υπάρχει συνεχής απεικόνιση ώστε, για κάθε και για κάθε. ιαισθητικά µπορούµε να πούµε πως δύο µονοπάτια είναι οµοτοπικά αν, κινούµενοι µέσα στον τοπολογικό χώρο Χ, µπορούµε να παραµορφώσουµε το ένα στο άλλο. Η οµοτοπία δίνει µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο των κλειστών µονοπατιών µε ένα σταθερό σηµείο βάσης ενός τοπολογικού χώρου Χ. Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας συµβολίζεται ως. Ορισµός 3. Αν είναι δύο µονοπάτια µε (δηλ. το πρώτο µονοπάτι τελειώνει εκεί που αρχίζει το δεύτερο), τότε ορίζεται το γινόµενο των δύο µονοπατιών ως εξής: ιαισθητικά το γινόµενο δύο µονοπατιών είναι η συνένωση τους. Η πράξη αυτή του γινοµένου είναι συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας και επάγει ένα αντίστοιχο γινόµενο στο σύνολο. Με το γινόµενο αυτό το σύνολο είναι οµάδα και καλείται θεµελιώδης οµάδα (fundamental group) του χώρου Χ. Παράδειγµα 4.

1. Η θεµελιώδης οµάδα του κυκλικού δίσκου είναι η τετριµµένη εφόσον κάθε κλειστό µονοπάτι µε βάση το είναι οµοτοπικό µε το σταθερό µονοπάτι για κάθε. 2. Η θεµελιώδης οµάδα κυκλικού δίσκου από το κέντρο του οποίου έχουµε αφαιρέσει ένα σηµείο είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων. Αυτό γιατί κάθε δύο µονοπάτια που τυλίγονται τον ίδιο αριθµό φορών γύρω από το κέντρο είναι οµοτοπικά. Ορισµός 5. ([12]) Ένα απλό σύµπλεγµα (simplicial complex) ενός πεπερασµένου συνόλου κορυφών είναι µια συλλογή υποσυνόλων του V, τα οποία καλούνται πλευρές (faces) και η οποία είναι κλειστή ως προς τα υποσύνολα. Ήτοι αν και, τότε. ιάσταση µιας πλευράς λέγεται το πλήθος των στοιχείων που περιέχει µειωµένο κατά ένα. Αν είναι ένα σώµα, τότε µε συµβολίζουµε τον διανυσµατικό χώρο υπεράνω του σώµατος F µε βάση τις πλευρές διάστασης n του συµπλέγµατος 1. Για κάθε φυσικό αριθµό ορίζεται µια γραµµική απεικόνιση που καλείται συνοριακή απεικόνιση (boundary map). Η εικόνα ενός στοιχείου της βάσης του είναι: Ισχύει ότι και έτσι. Η ακολουθία διανυσµατικών χώρων και συνοριακών απεικονίσεων:. ονοµάζεται αλυσωτό σύµπλεγµα (chain complex). Στην περίπτωση που αντί για ένα απλό σύµπλεγµα έχουµε ένα τυχαίο τοπολογικό χώρο, τότε είναι και πάλι δυνατό να ορίσουµε ένα αλυσωτό σύµπλεγµα µε παρόµοιο τρόπο. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης µπορεί να συµβουλευτεί το [9]. 1 Να σηµειώσουµε εδώ ότι υπάρχει και µια γενικότερη κατασκευή όπου αντί για σώµα έχουµε τους ακέραιους ή γενικότερα ένα δακτύλιο. Σε αυτή την περίπτωση έχουµε την ελεύθερη αβελιανή οµάδα ή το πρότυπο µε βάση τις πλευρές διάστασης n του συµπλέγµατος και οι κατασκευές προσαρµόζονται αντίστοιχα. Στις εφαρµογές όµως για λόγους υπολογισµού χρησιµοποιούµε διανυσµατικούς χώρους.

Ορισµός 6. Αν σύµπλεγµα, τότε ο για κάθε ακέραιο αριθµό είναι ένα αλυσωτό ο διανυσµατικός χώρος: καλείται οστη οµολογία του τοπολογικού χώρου. Η διάσταση του διανυσµατικού χώρου λέγεται οστός αριθµός Betti του µε συντελεστές στο F και συµβολίζεται µε ή απλούστερα. Παράδειγµα 7. Έστω το ακόλουθο σύµπλεγµα το οποίο γεωµετρικά αντιστοιχεί στο διπλανό σχήµα. Έχουµε:,, για και,, για. Συνεπώς για. ιαισθητικά µπορούµε να πούµε πως ο πρώτος αριθµός Betti εκφράζει το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών του συµπλέγµατος, ο δεύτερος το πλήθος των µονοδιάστατων κύκλων κ.ε. 3. Εφαρµογές της οµολογίας Η έννοια της οµολογίας που παρουσιάστηκε στην προηγούµενη παράγραφο. Βρίσκει εφαρµογή σε δίκτυα αισθητήρων [7, 11, 13]. Το βασικό παράδειγµα αφορά ένα τέτοιο δίκτυο για τους αισθητήρες του οποίου δεν γνωρίζουµε σε ποιο ακριβώς σηµείο είναι τοποθετηµένοι. Αντιθέτως έχουν τις εξής ιδιότητες: 1. έχουν µια σφαιρική περιοχή κάλυψης ακτίνας, 2. κάθε αισθητήρας εκπέµπει ένα µοναδικό κωδικό αναγνώρισης και µπορεί να εντοπίσει οποιοδήποτε άλλο αισθητήρα σε απόσταση µικρότερη ή ίση της (ασθενής ακτίνα κάλυψης) µε. Επιπλέον ιδιότητες ανάλογα µε τις συγκεκριµένες εφαρµογές είναι να γνωρίζουµε τους αισθητήρες που βρίσκονται στο σύνορο της περιοχής κάλυψης του δικτύου, να υπάρχει και µια ισχυρή ακτίνα κάλυψης και κάθε αισθητήρας να µπορεί να ξεχωρίσει ποιοι άλλοι αισθητήρες

βρίσκονται εντός των δύο διαφορετικών ακτίνων και τέλος οι διάφορες ακτίνες να ικανοποιούν συγκεκριµένες ανισότητες. Ορισµός 8. Αν είναι µια πεπερασµένη οικογένεια συνόλων τότε το νεύρο της (nerve complex) είναι το σύµπλεγµα του οποίου οι -διάστατες πλευρές αντιστοιχούν σε µη κενές τοµές διαφορετικών συνόλων της οικογένειας. Θεώρηµα 9. Το νεύρο µιας οικογένειας συνόλων οµολογία µε την ένωση. έχει την ίδια Υπολογίζοντας εποµένως τους αριθµούς Betti του νεύρου που προκύπτει από τις περιοχές κάλυψης του δικτύου των αισθητήρων θα µπορούσαµε να διαπιστώσουµε αν υπάρχουν τρύπες ή όχι στην περιοχή κάλυψης του δικτύου µας. Κάτι τέτοιο όµως θα απαιτούσε να γνωρίζουµε την ακριβή απόσταση µεταξύ των αισθητήρων. Για αυτό έχουµε την ακόλουθη κατασκευή. Ορισµός 10. Αν έχουµε ένα πεπερασµένο σύνολο σηµείων ενός ευκλείδειου χώρου και ένα θετικό πραγµατικό αριθµό (οποίος καλείται ακτίνα) το σύµπλεγµα Vietoris Rips του συνόλου είναι το σύµπλεγµα του οποίου οι -διάστατες πλευρές αντιστοιχούν σε οµάδες διαφορετικών σηµείων τα οποία απέχουν µεταξύ τους ανά δύο απόσταση µικρότερη ή ίση του. Αν είναι το Vietoris Rips σύµπλεγµα τα σηµεία του οποίου αντιστοιχούν στους αισθητήρες του δικτύου και ακτίνα ίση µε την ισχυρή ακτίνα κάλυψης ενώ είναι το Vietoris Rips σύµπλεγµα µε ακτίνα ίση µε την ασθενή ακτίνα κάλυψης, τότε. Έχουµε έτσι µια απεικόνιση που επάγει απεικονίσεις οµολογίας για κάθε. Θεώρηµα 11. ([7, Theorem 2]) Αν, τότε το δίκτυο αισθητήρων έχει µια τρύπα στην περιοχή κάλυψης του αν η απεικόνιση είναι µη µηδενική για κάποιο.

Το παραπάνω θεώρηµα µας δείχνει ότι ακόµα και µε αυτές τις περιορισµένες ικανότητες το δίκτυο µας µπορεί να γνωρίζει αν καλύπτει µια ολόκληρη περιοχή ή αν περιέχει κενά. Τα πλεονεκτήµατα της χρήσης της οµολογίας είναι όµως περισσότερα. Για παράδειγµα υπάρχουν τεχνικές που εντοπίζουν ποιοι κόµβοι βρίσκονται γύρω από κενά της περιοχής κάλυψης. Επίσης, σε άρθρο τους οι Li, Hunter, Yang [11] παρουσιάζουν έναν αλγόριθµο που, δεδοµένου ενός δικτύου αισθητήρων επιλέγει κάποιους από αυτούς και ελέγχει αν το υποσύνολο αυτό αρκεί για να καλύψει µια περιοχή χωρίς κενά. Επιπλέον αν εντοπίσει κενά αναζητά ποιοι επιπλέον αισθητήρες πρέπει να προστεθούν για να καλυφθούν αυτά τα κενά. Μια άλλη εφαρµογή της οµολογίας αφορά την επεξεργασία εικόνων. Αν έχουµε µια ασπρόµαυρη εικόνα, τότε είναι πάρα πολύ πιθανό να µας ενδιαφέρουν διάφορα τοπολογικά χαρακτηριστικά της 2. Για παράδειγµα στην περίπτωση που έχουµε τα δύο πρώτα γράµµατα του αλφάβητου η γνώση του πρώτου αριθµού Betti θα µας επέτρεπε να ξεχωρίσουµε µεταξύ τους τα δύο αυτά γράµµατα. Ένα δεύτερο παράδειγµα που αναφέρεται στο πρώτο κεφάλαιο του [10] είναι το ακόλουθο. Οι συγγραφείς έχουν µια ασπρόµαυρη φωτογραφία της σελήνης και ψάχνουν να βρουν πόσοι κρατήρες απεικονίζονται σ αυτή. Αρχικά επιλέγουν ένα διάστηµα τιµών. Κάθε pixel της εικόνας µε φωτεινότητα µέσα σε αυτό το διάστηµα το χρωµατίζουν µαύρο και όλα τα υπόλοιπα λευκά. Στη συνέχεια υπολογίζουν τον πρώτο αριθµό Betti και βρίσκουν έτσι το πλήθος των κρατήρων. Ο ενδιαφερόµενος αναγνώστης µπορεί µάλιστα να βρει και ένα πρόγραµµα στο διαδίκτυο [2] που σε µια εικόνα µπορεί να υπολογίσει τους αντίστοιχους αριθµούς Betti. Να σηµειώσουµε εδώ ότι αν στο προηγούµενο παράδειγµα το διάστηµα είναι της µορφής, τότε για τις διάφορες τιµές του θετικού αριθµού έχουµε και διαφορετικά συµπλέγµατα. Μάλιστα αν, τότε και συνεπώς επάγονται απεικονίσεις. Γενικά όταν έχουµε µια τέτοια κατάσταση, δηλ. για διάφορες τιµές µιας παραµέτρου συµπλέγµατα ώστε αν, τότε 2 Υπάρχουν αρκετοί τρόποι µε τους οποίους µε βάση µια ασπρόµαυρη εικόνα µπορούµε να κατασκευάσουµε ένα σύµπλεγµα. Ένας από αυτούς είναι να θεωρήσουµε τα µαύρα pixel ως κορυφές και όπου οι ακµές ενώνουν γειτονικά µεταξύ τους pixel.

η µελέτη των απεικονίσεων και των συνθέσεων τους µας δίνει αρκετές χρήσιµες πληροφορίες. Μάλιστα τα τελευταία χρόνια αναπτύσσεται µια πλούσια σχετική µαθηµατική θεωρία µε το όνοµα persistent homology [3, 4, 6, 16]. Ως τελευταία εφαρµογή της οµολογίας να αναφέρουµε τη χρήση της στην ανάλυση δεδοµένων. Αν έχουµε ένα σύνολο δεδοµένων, τότε αυτό µπορούµε να το δούµε ως ένα σύνολο σηµείων ενός ευκλείδειου χώρου. Χρησιµοποιώντας µια ακτίνα µπορούµε να κατασκευάσουµε το σύµπλεγµα Vietoris Rips του συνόλου. Με τη χρήση της οµολογίας του συµπλέγµατος αυτού µπορούµε να εξαγάγουµε αρκετά ποιοτικά χαρακτηριστικά του συνόλου δεδοµένων. Επίσης θα µπορούσαµε να αναζητήσουµε απλά συµπλέγµατα µε την ίδια οµολογία και να τα χρησιµοποιήσουµε για να οπτικοποιήσουµε τα δεδοµένα µας. Το απλούστερο ίσως παράδειγµα είναι αυτό που αναφέρεται στο [3, σελ. 287-288] όπου ο συγγραφέας έχει πάρει ένα σύνολο δεδοµένων που ανήκει στον και που αφορά µια µελέτη για διαβήτη που έγινε σε 145 ασθενείς. Από το σύνολο αυτό µέσα από µια συγκεκριµένη διαδικασία κατασκευάζεται το διπλανό σύµπλεγµα. Αυτό που φαίνεται ξεκάθαρα από το σχήµα αυτό είναι ότι έχουµε τρεις διαφορετικές καταστάσεις αυτής της ασθένειας (όχι διαβήτης, διαβήτης τύπου Ι και διαβήτης τύπου ΙΙ). 4. Μια εφαρµογή της οµοτοπίας Έστω ότι έχουµε προγράµµατα τα οποία χρειάζονται πρόσβαση σε κάποιους κοινούς πόρους (π.χ. θέσεις στη µνήµη ή αρχεία σε κάποιο αποθηκευτικό µέσο). Ένα ενδιαφέρον πρόβληµα είναι αν θα µπορούσαµε να κατανείµουµε τους πόρους αυτούς µε κάποιο τρόπο στα προγράµµατα αυτά ώστε να µην δηµιουργηθούν προβλήµατα. Για να δώσουµε κάποιο συγκεκριµένο παράδειγµα [5, 8] έστω ότι έχουµε δύο προγράµµατα και δύο πόρους. Το πρώτο πρόγραµµα χρειάζεται τον πόρο µετά τον πόρο, κατόπιν µπορεί να αποδεσµεύσει τον και στο τέλος να αποδεσµεύσει τον. Συµβολικά µπορούµε να γράψουµε, όπου µε συµβολίζουµε την δέσµευση του πόρου και µε την αποδέσµευσή του. Αντίστοιχα το δεύτερο πρόγραµµα χρειάζεται τον πόρο µετά τον πόρο, κατόπιν µπορεί να αποδεσµεύσει τον και στο τέλος να αποδεσµεύσει τον. Έχουµε.

Μπορούµε να παραστήσουµε το πρόβληµα αυτό χρησιµοποιώντας δύο κατακόρυφους άξονες έναν οριζόντιο για το πρόγραµµα και έναν κατακόρυφο για το. Στον οριζόντιο άξονα τοποθετούµε κατά σειρά τέσσερα σηµεία µεταξύ του και του τα οποία ονοµάζουµε. Το ίδιο κάνουµε και στον κατακόρυφο ονοµάζοντας τα σηµεία. Ένα σηµείο του επιπέδου µε αντιστοιχεί σε µια συγκεκριµένη κατάσταση ως εξής: αν η τετµηµένη του είναι µεγαλύτερη ή ίση µε κάποιο από τα τέσσερα σηµεία του οριζόντιου άξονα τότε το πρώτο πρόγραµµα έχει φτάσει µέχρι το αντίστοιχο σηµείο της εκτέλεσης του. Αντίστοιχα για την τεταγµένη του και το δεύτερο πρόγραµµα. Για παράδειγµα το σηµείο Α στο διπλανό σχήµα αντιστοιχεί στην κατάσταση όπου του πρώτο πρόγραµµα έχει δεσµεύσει τον πόρο ενώ το δεύτερο το πόρο αφού πρώτα έχει δεσµεύσει τον πόρο. Προφανώς κάτι τέτοιο δεν είναι επιτρεπτό. Έτσι τα σηµεία του µοναδιαίου τετραγώνου χωρίζονται σε δύο κατηγορίες αυτά όπου έχουµε επιτρεπτές καταστάσεις και σε αυτά όπου έχουµε µη επιτρεπτές. Τα σηµεία των µη επιτρεπτών είναι ο γραµµοσκιασµένος σταυρός. Μπορούµε να φανταστούµε ότι η εκτέλεση των δύο προγραµµάτων αντιστοιχεί σε µια ακολουθία διαδοχικών καταστάσεων και συνεπώς σε ένα µονοπάτι από το στο όπου η κίνηση είναι µόνο προς τα πάνω ή τα δεξιά, δηλ. σε µια συνεχή απεικόνιση µε την ιδιότητα αν, τότε και όπου. Τέτοια µονοπάτια θα τα ονοµάζουµε κατευθυνόµενα. Μια πιο προσεκτική µατιά µας αποκαλύπτει ότι υπάρχουν δύο ακόµα ενδιαφέροντες περιοχές. Το τετράγωνο µε τον αριθµό 1, τα σηµεία του αντιστοιχούν σε καταστάσεις οι οποίες θα οδηγήσουν σε µη επιτρεπτές καταστάσεις. Το τετράγωνο µε αριθµό 2 αντιστοιχεί σε καταστάσεις που µπορούν να προκύψουν µόνο από µη επιτρεπτές καταστάσεις.

Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι, ουσιαστικά, υπάρχουν δύο διαφορετικά είδη µονοπατιών. Αυτά που περνάνε πάνω από τη γραµµοσκιασµένη περιοχή και αυτά που περνάνε από κάτω. Εδώ είναι που υπεισέρχεται η έννοια της οµοτοπίας. Ακριβέστερα ενδιαφερόµαστε για την οµοτοπία κατευθυνόµενων µονοπατιών. Ο συγκεκριµένος µαθηµατικός κλάδος είναι αντικείµενο έντονης ερευνητικής δραστηριότητας και έχει ακόµα ανοικτά αρκετά βασικά προβλήµατα [1]. Για παράδειγµα λόγω της µη ύπαρξης, εν γένει, αντίστροφων µονοπατιών οι κλάσεις οµοτοπίας δεν συνιστούν οµάδα. Ήτοι δεν ορίζεται η θεµελιώδης οµάδα. 5. Επίλογος Στις προηγούµενες παραγράφους παρουσιάσαµε εν συντοµία κάποιες εφαρµογές της θεωρίας οµοτοπίας και της οµολογίας. Αξίζει να τονισθεί ότι οι δύο αυτές θεωρίες αναπτύχθηκαν αρχικά ως θεωρητικά τεχνικά εργαλεία. Αποτελούν δύο ακόµα περιπτώσεις στη µακρά λίστα παραδειγµάτων καθαρά θεωρητικών εργαλείων που βρίσκουν, απρόσµενες θα λέγαµε, εφαρµογές σε πολύ πρακτικά προβλήµατα. Οι εφαρµογές τους δεν σταµατούν σε αυτές τις λίγες που αναφέραµε ήδη. Υπάρχουν εφαρµογές στην µοριακή βιολογία, την αστρονοµία, την αναγνώριση προτύπων [15, σελ. 31-32], στη µελέτη χαοτικών συστηµάτων [10], στη µελέτη του οπτικού φλοιού στον εγκέφαλο [3], στην ταυτόχρονη χρήση βάσεων δεδοµένων από πολλούς χρήστες και τα συστήµατα παράλληλων συναλλαγών [8]. Όλες αυτές οι εφαρµογές ενισχύουν τη συνεργασία µεταξύ επιστηµόνων από διαφορετικά πεδία. Αρκετοί από τους µαθηµατικούς που αναφέρονται στη βιβλιογραφία έχουν συνεργασίες µε επιστήµονες της πληροφορικής, µηχανικούς, νευροβιολογούς κ.α. Ένα δεύτερο σηµείο που πρέπει να τονισθεί είναι ότι η χρήση αυτών των µαθηµατικών εργαλείων σε διάφορες εφαρµογές δίνει ώθηση και στην περαιτέρω ανάπτυξη τους. Οι εφαρµογές δηµιουργούν νέα ερωτήµατα προς κατευθύνσεις που δεν είχαν µελετηθεί εκτενώς από τη µαθηµατική κοινότητα. Χαρακτηριστικά είναι τα παραδείγµατα της persistent homology και της οµοτοπίας κατευθυνόµενων µονοπατιών. Σε αυτό το σηµείο θα πρέπει επίσης να αναφέρουµε ότι χάρη σε αυτές τις εφαρµογές αρκετοί µαθηµατικοί έχουν επιδοτηθεί από διάφορες υπηρεσίες και επιτροπές όπως είναι οι DARPA, NSF, NSERC. Γι αυτούς τους λόγους αξίζει µια µικρή αναφορά στις εφαρµογές αυτών των µαθηµατικών εργαλείων. Γιατί δείχνει ότι η µαθηµατική επιστήµη είναι ένα ζωντανό κοµµάτι του σύγχρονου κόσµου. Ή όπως έχει

πει και ο Ian Stewart Ζούµε σε ένα περίπλοκο κόσµο Τα µαθηµατικά κρατούν ενωµένο αυτόν τον κόσµο [14, σελ. 283]! Βιβλιογραφία [1]. P. Bubenic, Models and van Kampen theorems for directed homotopy theory, Homotopy Homology and Applications 11, no. 1, 2009, 185 202. [2]. Computational Homology Project, http://chomp.rutgers.edu/ [3]. G. Carlsson, Topology and Data, Bull. AMS 46, no. 2, April 2009, 255 308. [4]. H. Edelsbrunner, J. Harer, Persistent homology---a survey, Surveys on discrete and computational geometry, Cont. Math. 453, 2008, 257 282. [5]. L. Fajstrup, M. Raußen, E. Goubault, Algebraic topology and concurrency, Theoretical Computer Science 357, 2006, 241 278. [6]. R. Ghrist, Barcodes: the persistent topology of data, Bull. AMS 45, 2008, 61 75. [7]. R. Ghrist, A. Muhammad, Coverage and hole-detection in sensor networks via homology, IPSN '05: Proceedings of the 4th international symposium on Information processing in sensor networks, IEEE Press, 2005. [8]. E. Goubault, Some geometric perspectives in concurrency theory, Homology Homotopy and Applications 5, no. 2, 2003,.95 136. [9]. A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge Un. Pr, Cambridge, 2002. [10]. T. Kaczynski, K. Mischaikow, M. Mrozek, Computational homology, Springer-Verlag, New York, 2004. [11]. X. Li, D. Hunter, K. Yang, Distributed coordinate-free hole detection and recovery, IEEE GLOBECOM, San Francisco, 2006. [12]. E. Miller, B. Sturmfels, Combinatorial Commutative Algebra, Springer-Verlag, New York, 2005. [13]. V. Silva, R. Ghrist, Homological sensor networks, Notices of the AMS 54, no. 1, 10 17. [14]. I. Stewart, From here to infinity, Oxford Un. Pr, Oxford, ed. 1996. [15]. D. Strömbom, Persistent Homology in the cubical setting, master s thesis. [16]. A. Zomorodian, G. Carlsson, Computing persistent homology, Discrete Computational Geometry 33, no. 2, 2005, 249 274.

Abstract In this article we present some applications of topological algebra in areas such as sensor networks, image analysis, data analysis and concurrency. In the second section we present some mathematical notions needed for the understanding of the applications. Following, in the next two sections, we describe the applications of these notions. The article ends with some remarks of the writer.