III. ΙΑΧΥΣΗ ΙΑΣΠΟΡΑ ΣΕ Ι ΙΑΣΤΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Συντλστής ιάχυσης Νόµος 4/3 Ως διδιάστατα υδάτινα σώµατα θωρούνται συνήθως τα παράκτια ύδατα, οι πριοχές κβολών ποταµών, οι ταµιυτήρς / λίµνς, µ την προϋπόθση ότι το βάθος ίναι πολύ µικρότρο από τις οριζόντις διαστάσις, << L (ρηχά ύδατα). Μ αυτή την προϋπόθση, ύλογα µπορούν να αµληθούν οι διαφορές των (οριζοντίων) ταχυτήτων καθ ύψος της υγρής στήλης, καθώς και οι διαφορές συγκέντρωσης. δοµένου ότι, σύµφωνα µ τα προηγούµνα, η «διασπορά» προκύπτι από την ανοµοιοµορφία του κατακόρυφου προφίλ ταχυτήτων και συγκντρώσων, συνάγται ότι ν προκιµένω αυτή η διασπορά ίναι συνήθως ασήµαντη και έτσι το φαινόµνο κυριαρχίται από την (οριζόντια) διάχυση (και µταγωγή). Ο (οριζόντιος) συντλστής διάχυσης, όπως προηγουµένως, ξαρτάται από τη χαρακτηριστική ταχύτητα της τύρβης και την κλίµακα µήκους, ~ U ~ L L (1) Εάν το διαχόµνο νέφος ίναι µακριά από στρά όρια, καθώς αυξάνται σ µέγθος δρούν στο σωτρικό του ολοένα και µγαλύτροι στρόβιλοι της τύρβης. Στη λγόµνη «αδρανιακή υποπριοχή» της τύρβης ίναι 1/ 3 U ~ ~ U ~ (el) () όπου e ο ρυθµός απόσβσης της κινητικής νέργιας της τύρβης, ο οποίος, στην πριοχή αυτή, ίναι ίσος µ τον ρυθµό πρόσληψης νέργιας από την υρύτρη κυκλοφορία (νργιακή ισορροπία). Συνάγται ότι στην πριοχή αυτή, ~ e 1/ 3 L 4 / 3 ή 4 / 3 = αl (3) Η ξ (3) αποτλί τον λγόµνο «Νόµο των 4/3» που διατυπώθηκ αρχικά από τον Ricardsn, σύµφωνα µ τον οποίο ο συντλστής διάχυσης αυξάνται µ το µέγθος του «νέφους» που διαχέται. Μτρήσις πδίου, σ θάλασσς, ωκανούς και παράκτις ζώνς έχουν πιββαιώσι την ισχύ του νόµου, µ τιµές της σταθράς α = 0,00 έως 0,01 όταν τα L και κφράζονται σ µονάδς (cm, sec). O Okub διατύπωσ νιαίο µπιρικό νόµο της µορφής 1,15 0,01L (4) (σ µονάδς cm, sec) βλ. σχήµα όπου υποκρύπτται η διαφοροποίηση της τιµής του α στις διάφορς πριοχές µτρήσων. 1
Ο συντλστής κατακόρυφης διάχυσης,, υπολογίζται όπως και στη µονοδιάστατη πρίπτωση. Για λογαριθµικό προφίλ ταχυτήτων, η κατανοµή του ίναι παραβολική, µ µέση τιµή = 0,067u * (5) και για τυπική τιµή u * 0,06 U (όπου U η µέση ταχύτητα) 3 4.10 U (6) Αν υπάρχουν πιφανιακά κύµατα, η τιµή του κοντά στην πιφάνια δίνται από τη σχέση w H,s 0,0 (7) T w όπου H w, T w το ύψος και η πρίοδος των κυµάτων, αντίστοιχα. Η ύπαρξη στρωµάτωσης της υγρής στήλης, φαινόµνο σύνηθς κατά τους καλοκαιρινούς µήνς, µποδίζι την κατακόρυφη µταφορά λόγω µίωσης των διακυµάνσων της τύρβης και ποµένως οδηγί σ µίωση του συντλστή κατακόρυφης διάχυσης. Στην πρίπτωση αυτή µπορί να χρησιµοποιηθί η σχέση των Munk & Andersn: 3 / = (1 + 3,33Ri) (8) όπου η τιµή µ απουσία στρωµάτωσης κατά τα ανωτέρω, και Ri ο αριθµός Ricardsn που αποτλί µέτρο της στρωµάτωσης (βλ. Κφάλαιο Στρωµατωµένων Ροών).. ιασπορά Αν υπάρχι σηµαντική ανοµοιοµορφία των ταχυτήτων καθ ύψος της υγρής στήλης, όπως π.χ. σ ανµογνή κυκλοφορία, µπορί να ισαχθούν συντλστές διασποράς, κατ αναλογία προς το µονοδιάστατο πρόβληµα. Η τριδιάστατη ξίσωση µταγωγής διάχυσης σ πδίο µ οριζόντις ταχύτητς (u,ν) κατά (, ) αντίστοιχα και κατακόρυφη διύθυνση ίναι: + u + v = ( ) + ( ) + ( ) ) ) Εισάγοντας τις µέσς τιµές u, v, c καθ ύψος της υγρής στήλης και τις τοπικές αποκλίσις u, v, c και προχωρώντας όπως στη µονοδιάστατη πρίπτωση, παράγται η διδιάστατη ξίσωση: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) + u + v = ( ) + ( ) ( u' ' c'') ( v' ' c'') (10) Κατ αναλογία προς την µονοδιάστατη πρίπτωση τίθται: (9) 3
) ) ) u' ' c'' = (11.α) ) ) ) v' ' c'' = (11.β) όπου = [ ] (1) ίναι ο διδιάστατος συντλστής διασποράς που αποτλί τανυστή β τάξης. Οι τιµές των πιµέρους όρων υπολογίζονται κατά τρόπο ανάλογο όπως στη µονοδιάστατη πρίπτωση από τις κατανοµές των u, v : 1 u'' = ( ( u'' d)d) d (13.α) 1 u'' = ( ( v' 'd)d) d (13.β) 1 v'' = ( ( u' 'd)d) d (13.γ) 1 v'' = ( ( v'' d)d)d (13.δ) Στην απλούστρη πρίπτωση ισότροπης διασποράς ( = =, = = 0) η ξ (10) γράφται + u + v = ( ) + ( ) (14) όπου νοούνται οι µέσς κατά το βάθος τιµές, αµλουµένου του συµβόλου ^. 4
3. Αναλυτικές Λύσις Η διδιάστατη ξίσωση διασποράς (χωρίς απώλις), µπορί να γραφί + u = + (15) υποθέτοντας σταθρά στο χώρο τα u,,, και έχοντας πιλέξι κατάλληλα τους άξονς ώστ η ταχύτητα να ίναι κατά τον άξονα. (α) Στιγµιαία σηµιακή πηγή Θωρώντας ποσότητα φορτίου Μ που ισάγται στη θέση ( = 0, = 0) τη χρονική στιγµή t = 0, η λύση της ξίσωσης (15) ίναι c(,, t) β) Συνχής πηγή M ( ut) = ep[ ] (16) 4πt 4 t 4 t Στην πρίπτωση αυτή νδιαφέρι η µόνιµη κατανοµή συγκντρώσων (για t ), οπότ στην ξ (15) 0. Επίσης ίναι και ο όρος της κατά µήκος διασποράς κατά κανόνα µπορί να αµληθί. Εποµένως, το πρόβληµα ανάγται στη λύση της ξίσωσης: u = (17) που ίναι (για φορτίο m ανά µονάδα χρόνου) m u c(, ) = ep( ) (18) 4πu 4 5
Παρατηρίται ότι σ κάθ θέση, η γκάρσια κατανοµή ίναι γκαουσιανή. Σηµιωτέον ότι οι παραπάνω λύσις (ξ. 16 και 18) δίνουν τη διδιάστατη συγκέντρωση, δηλ. για µονάδα µήκους κατά. Εποµένως η συνήθης συγκέντρωση προκύπτι µ διαίρση µ το βάθος. Μ ανάλογο τρόπο προκύπτουν οι βασικές λύσις της τριδιάστατης ξίσωσης µτάθσης διάχυσης (ο άξονας λαµβάνται κατά τη διύθυνση της ταχύτητας) + u = + + (19) (β) Στιγµιαία σηµιακή πηγή Για φορτίο Μ στη θέση ( = 0, = 0, = 0) τη χρονική στιγµή t = 0, η λύση της ξ (19) ίναι c(,,, t) (δ) Συνχής πηγή M ( ut) = ep[ ] / (4πt) 3 4 t 4 t 4 (0) t Αµλώντας το / και το / στην ξ. (19) η µόνιµη κατανοµή συγκντρώσων για φορτίο m ανά µονάδα χρόνου ίναι: c(,,) m u u = ep[ ] (1) 4π 4 4 Παρατήρηση 1: Ολς παραπάνω λύσις αναφέρονται σ «άπιρς» διαστάσις πδίου (όρια µακριά από το διαχόµνο νέφος). Αν οι διαστάσις ίναι ππρασµένς, τα όρια µπορούν να ληφθούν υπόψη µ τη µέθοδο των ικόνων (αντίστοιχα προς το µονοδιάστατο πρόβληµα). Παρατήρηση : Σ όλς τις παραπάνω πριπτώσις η νδχόµνη απώλια της ουσίας µπορί ύκολα να ληφθί υπόψη, πολ/ ζοντας τη λύση πί τον παράγοντα: ep( αt) στις λύσις όπου c συνάρτηση του χρόνου ep( α ) στις λύσις όπου c δν ίναι συνάρτηση του χρόνου u Παρατήρηση 3: Σύνθτς πριπτώσις, π.χ. φορτία ππρασµένου χρόνου ή µήκους, ή µταβλητά στο χώρο και χρόνο, µπορούν να αντιµτωπισθούν µ παλληλία λύσων. 6
4. Έννοια Χρόνου παραµονής ή ανανέωσης Ο συµβατικός χρόνος ανανέωσης υδάτινου σώµατος όγκου U που διαρέται από παροχή Q ορίζται ως Τ = U/Q. ιακρίνονται δύο ακραίς πριπτώσις : (α) Εµβολοιδής ροή (plug flw) (β) Πλήρης µίξη (α) Εµβολοιδής ροή Η ουσία (δίκτης) µτατίθται µ σταθρή ταχύτητα µταξύ ισόδου ξόδου, χωρίς ανάµιξη µ το πριβάλλον υγρό. Αν η διαδροµή ίναι s, η ταχύτητα u και ο όγκος της δξαµνής U, Τότ ο χρόνος διαδροµής στοιχίου ρυστού ίναι s U T = ή T = () u Q και άρα η συµβατική τιµή παριστά πράγµατι τον χρόνο παραµονής στο υδάτινο σώµα (β) Πλήρης µίξη Στην πρίπτωση αυτή υποτίθται ότι η ουσία ανά πάσα στιγµή ίναι πλήρως αναµµιγµένη και η η συγκέντρωση ίναι ίδια σ όλο το υδάτινο σώµα. Έστω ότι για t = 0, η συγκέντρωση στο υδάτινο σώµα ίναι c = c. Σ διάστηµα dt βγαίνι µάζα ρύπου Qcdt και µπαίνι καθαρό νρό Qdt. 7
cu cqdt Q Η νέα συγκέντρωση (µτά από dt) ίναι c' = = c c dt U U dc Q dc dt dt U δηλ. = c = =, όπου T = dt U c U / Q T Q Λύση: ln c t T t / T = c = c e (3) Η ξ. (3) κφράζι κθτική µίωση. Για t = T προκύπτι c c = = 0,367c e δηλ. για χρόνο T = U/Q (ονοµαστικός χρόνος παραµονής/ανανέωσης) παραµένι συγκέντρωση ~ 1/3 της αρχικής. Στην πράξη, νδιάµση συµπριφορά. Σηµαντικό ρόλο παίζουν η θέση ισαγωγής και οι διαφορές των ταχυτήτων ροής κατά υποπριοχές. Βιβλιογραφία 1. H. Fiscer et al Miing in Inland and Castal Waters, Academic Press, 1979, Capters,3,4,5.. Ι. ηµητρίου «Πριβαλλοντική Υδραυλική», Α, ΕΜΠ, 1994, Κφ. 3,4,5 3. P.J.W. Rberts and D.R. Webster, Turbulent Diffusin 8