ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ατμική και ηλεκτρνιακή δμή τν στερεών Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών Διδάσκν : Επίκυρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα
Άδειες Χρήσης Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Coos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπς εικόνες, πυ υπόκειται σε άλλυ τύπυ άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών Ατμική και ηλεκτρνιακή δμή τν στερεών Χ.Ε. Λέκκα Επίκυρς Καθηγήτρια csl.aterials.oi.gr/lea Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών
Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών Οι ασκήσεις πυ θα ακλυθήσυν απτελύν μια εξαίρετη ευκαιρία εξικείσης με τ θεώρημα τυ Bloch και τις συνέπειες τυ για τις ιδιτιμές. Τ παρόν μντέλ τν συζευγμένν εκκρεμών ανάγεται αμέσς στ πρόβλημα της ταλαντώσες τν ιόντν ενός στερεύ (αρκεί να θέσυμε τ συντελεστή βαρύτητας g=0). Είναι επίσης μαθηματικά ισδύναμ με την εξίσση τυ Schroediger για τη κίνηση τυ ηλεκτρνίυ, εάν κανείς γράψει τη ζητύμενη κυματσυνάρτηση ψ ς γραμμικό συνδυασμό ατμικών τρχιακών. Έτσι μελετώντας κανείς ένα ικεί μντέλ εκκρεμών, διαμρφώνει τ εννιλγικό πλαίσι για τη κατανόηση της κίνησης και τν ηλεκτρνίν και τν ιόντν σε ένα στερεό. Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών
Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) Άσκηση (σελ.8): Επιλύστε τ πρόβλημα μνδιάστατν μικρών ταλαντώσεν ενός περιδικύ συστήματς Ν συζευγμένν εκκρεμών (Ν τείνει στ άπειρ) διατεταγμένν κυκλικά (ώστε N+ (t)= (t)) τπικά όμς γραμμικά. (Η περιδικότητα έγκειται στην περιδική συνριακή συνθήκη N+ =, καθώς και στ ότι ι απστάσεις α, τα μήκη l, ι μάζες και ι σταθερές ελατηρίυ κ είναι είναι όλες ίσες μεταξύ τυς) κ κ Απμακρύν τ από τη ΘΙ θ κκρεμή: - α + - - + + Η απμάκρυνση (t) από τη θέση ισρρπίας τυ στύ εκκρεμύς (κατά τη διεύθυνση της αλυσίδας - πλύ μικρή) υπακύει την εξίσση τυ Νεύτνα : F B F F () Δύναμη βαρύτητας F B g, Δύναμη δεξιύ ελατηρίυ Δύναμη αριστερύ ελατηρίυ () F, (3) F, () 3 Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών
Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - Η κάθε ιδιταλάντση τυ συστήματς χαρακτηρίζεται εξ ρισμύ από τ γεγνός ότι όλα τα εκκρεμή έχυν κινή χρνική εξάρτηση t της μρφής: Η συχνότητα ταλάντσης κάθε εκκρεμύς αν δεν ήταν συζευγμέν με τα διπλανά τυ είναι: g, (6) Αντικαθιστύμε τις ()-(5) στην () έχυμε ένα σύστημα Ν εξισώσεν με Ν αγνώστυς (,,, N ) : (5) g FB F F ( ) ( παράγγς it 0 e, όπυ (t) η απμάκρυνση τυ ελατηρίυ από τη θέση ισρρπίας d (5) dt ) 0,,..., N - (7) Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών
Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - 3 Κατ αναλγία με τ Θεώρημα Bloch: e iα ή e -iα Πρσχή : άλλ τ κ (σταθερά ελατηρίυ) και άλλ τ (κυματαριθμός) (7) -iα iα e e 0 -iα iα e e 0 H παραπάν σχέση ισχύει για πιαδήπτε αυθαίρετη τιμή τυ αρκεί η ιδισυχνότητα να ικανπιεί τη σχέση : e -iα e iα 0 e cosθ ia e -ia cosa Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 5
Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - si θ -cosθ si a Ιδισυχνότητα ταλάντσης (8) Τις επιτρεπτές τιμές τυ καθρίζει η συνριακή συνθήκη N+ =, η πία σε συνδυασμό με τ θεώρημα Bloch ( N+ = e ina ) δηγεί στη σχέση: N N e inα e inα e inα Nα π p π α p N π L p, L Na p ακέραις π α Δύ ακέραιι p και p πυ διαφέρυν κατά ακέραι πλλαπλάσι τυ Ν αντιστιχύν στην ίδια λύση. Επμένς τ μπρεί να περιριστεί στη περιχή: π α Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών, η ζώνη Brilloi 6
Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) Άσκηση (σελ.0): Σχλιάστε τα απτελέσματα της άσκησης. si a Η εξάρτηση της ιδισυχνότητας από τ κρυσταλλικό κυματαριθμό λέγεται σχέση διασπράς. (αντίστιχη της ενέργειας ε() για τα ηλεκτρόνια) ax χάσμα Η γραφική παράσταση εκτός της περιχής [-π/α, π/α] δεν πρσφέρει πρόσθετες πληρφρίες εφόσν όλες ι διαφρετικές λύσεις περιέχνται στη η ζώνη Brilloi. -π/α i 0 π/α ζώνη χάσμα Υπάρχει μια επιτρεπτή περιχή συχντήτν πυ λέγεται ζώνη : i = i < < ax ax και περιχές απαγρευμένν συχντήτν : χάσματα Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 7
Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 8 Συζευγμένα εκκρεμή (άσκηση ) - 6 Για ~ 0 και κντά στ i η σχέση (8) γράφεται: Οριακές περιπτώσεις : 0 π/α -π/α ax i ζώνη χάσμα χάσμα α α si α si, α * * o α 0 : για Ενεργός μάζα Για ~ + π/α και κντά στ ax αντίστιχα : 0 α, α π ax * * ax a a (σαν πές) Για ~ 0 και = 0 έχυμε τη σχέση διασπράς με σταθερή φασική ταχύτητα c: c Η ταχύτητα c θα είναι η ίδια πυ θα είχαμε για διάδση τυ ήχυ σε αντίστιχ μιγενές συνεχές μέσ. α α α si α si 0 α c Τα χύτητα ήχυ
Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) Άσκηση 3 (σελ.) : Επιλύστε τ πρόβλημα μικρών ταλαντώσεν ενός περιδικύ συστήματς Ν εκκρεμών (με περιδικές συνριακές συνθήκες) και περίδ α. ( < ) κ κ α Εκκρεμή: - + Η εξίσση κίνησης τυ στυ εκκρεμύς (υπθέτντας χρνική εξάρτηση της μρφής = (o) e -it ) είναι: και τυ - είναι : - - () () Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 9
Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - Όπς και στην άσκηση : Η συχνότητα ταλάντσης κάθε εκκρεμύς αν δεν ήταν συζευγμέν με τα g διπλανά τυ είναι g/l άρα : o i a Κατ αναλγία με τ θεώρημα Bloch έχυμε : e και e (πρσχή η περίδς εδώ είναι α) i a Αντικαθιστώντας τις παραπάν σχέσεις στην () και () έχυμε ένα γραμμικό σύστημα x : ia e 0 o - e ia 0 o - (3) () Για να υπάρχει λύση, θα πρέπει η ρίζυσα να είναι μηδέν : Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 0
Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών α si κ κ κ Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - 3 Για να υπάρχει λύση, θα πρέπει η ρίζυσα να είναι μηδέν : 0 o o ia ia e e Άρα ι ιδισυχνότητες ταλάντσης είναι : (5)
Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - Στ παρακάτ σχήμα δίδεται η γραφική παράσταση τν - και + ς συναρτήσεν τυ, τ πί περιρίζεται στην πρώτη ζώνη Brilloi (δηλαδή μεταξύ -π/α και π/α (εφόσν η περίδς είναι α)). + _ 3 πτική ζώνη ακυστική ζώνη Χαρακτηριστικές περιπτώσεις : ) Για =0 και = η (3) γίνεται : κ κ 0 3 (μεταφρική κίνηση) χάσμα -π/α 0 π/α 5 π/α κ κ κ κ κ { κ Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών
Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - 5 ) Για =π/α και + 3 πτική ζώνη _ ακυστική ζώνη 3) Για =π/α και χάσμα -π/α 0 π/α ) Για =0 και Παρατηρήστε ότι στις και 3 περιπτώσεις τ ένα ελατήρι δε παραμρφώνεται ενώ στην παραμρφώννται και τα δύ ελατήρια. Για αυτό η περίπτση έχει και τη μεγαλύτερη συχνότητα. Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 3
Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών Για =0 και =0 έχ : α si κ α si κ κ Εκκρεμή με διαφρετικές μάζες (άσκηση 3) - 6 Για =0 τ σύστημα περιγράφει γραμμική αλυσίδα ατόμν, π.χ. νανκαλώδι Ο ήχς είναι ένα διαμήκες κύμα χαμηλής συχνότητας με c κ α κ α c c Taylor : six x x x Ταχύτητα τυ ήχυ Ταχύτητα τυ ήχυ
Εργαστήρι Υπλγιστικής Επιστήμης Υλικών 5
Τέλς Ενότητας
Χρηματδότηση Τ παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια τυ εκπαιδευτικύ έργυ τυ διδάσκντα. Τ έργ «Ανικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στ Πανεπιστήμι Ιαννίνν» έχει χρηματδτήσει μόν τη αναδιαμόρφση τυ εκπαιδευτικύ υλικύ. Τ έργ υλπιείται στ πλαίσι τυ Επιχειρησιακύ Πργράμματς «Εκπαίδευση και Δια Βίυ Μάθηση» και συγχρηματδτείται από την Ευρπαϊκή Ένση (Ευρπαϊκό Κιννικό Ταμεί) και από εθνικύς πόρυς.
Σημειώματα
Σημείμα Ιστρικύ Εκδόσεν Έργυ Τ παρόν έργ απτελεί την έκδση.0. Έχυν πρηγηθεί ι κάτθι εκδόσεις: Έκδση.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecorse.oi.gr/corse/view.php?id=0.
Σημείμα Αναφράς Copyright Πανεπιστήμι Ιαννίνν, Διδάσκν : Επίκυρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα. «Ατμική και ηλεκτρνιακή δμή τν στερεών. Μντέλ συζευγμένν εκκρεμών». Έκδση:.0. Ιάννινα 0. Διαθέσιμ από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecorse.oi.gr/corse/view.php?id=0.
Σημείμα Αδειδότησης Τ παρόν υλικό διατίθεται με τυς όρυς της άδειας χρήσης Creative Coos Αναφρά Δημιυργύ - Παρόμια Διανμή, Διεθνής Έκδση.0 [] ή μεταγενέστερη. [] https://creativecoos.org/liceses/by-sa/.0/.