ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΚΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΠΑΛΜΩΝ 6. Εισαγγή Τα συστήματα, που αναλύθηκαν μέχρι τώρα (AM και FM), χρησιμοποιούνται συνήθς στις περιπτώσεις, που το κανάλι είναι ασύρματο και η μετατόπιση του αρχικού φάσματος του σήματος πληροφορίας σε υψηλές συχνότητες είναι απαραίτητη. Όταν, όμς, το κανάλι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για σήματα χαμηλών συχνοτήτν, π.χ. η ανθρώπινη φνή, τότε είναι δυνατή η χρήση δύο άλλν κατηγοριών συστημάτν τηλεπικοιννιών, από τις οποίες η πρώτη περιλαμβάνει τα συστήματα διαμόρφσης παλμών (Pulse Modulation). Για να μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα τέτοιο σύστημα, το σήμα πρέπει να είναι διακριτό ς προς το χρόνο. Αν αυτό δεν συμβαίνει, τότε το σήμα πρέπει να υποστεί δειγματοληψία. Πριν προχρήσει η περιγραφή τν συστημάτν αυτών, θα γίνει η παρουσίαση της Θερίας της Δειγματοληψίας και θα δοθούν τα σχετικά με αυτήν θερήματα. 6.2 Θερία Δειγματοληψίας Σε προηγούμενα κεφάλαια εξετάστηκαν συστήματα τηλεπικοιννιών, τα οποία χρησιμοποιούν αναλογικά σήματα. Όμς, στην πράξη πολύ συχνά συναντώνται διακριτά σήματα ή σήματα διακεκριμένου χρόνου, που στις περισσότερες περιπτώσεις προέρχονται από κάποιο αναλογικό σήμα, το οποίο έχει υποστεί δειγματοληψία. Δειγματοληψία (ampling) λέγεται η διαδικασία κατά την οποία από ένα αναλογικό σήμα λαμβάνεται ένας πεπερασμένος αριθμός τιμών του (δείγματα). Για να γίνει κατανοητή η έννοια της δειγματοληψίας, στο Σχήμα 6.α έχει σχεδιαστεί ένα αναλογικό σήμα και στο Σχήμα 6.β το σήμα διακεκριμένου χρόνου, που προέρχεται από τη δειγματοληψία του αναλογικού σήματος στα σημεία t, t, t 2 και t 3. Η διαδικασία της δειγματοληψίας μπορεί να γίνει θερητικά με πολλαπλασιασμό του f(t) μ ένα τραίνο ώσεν, που έχει τις ώσεις του στα σημεία t, που ενδιαφέρουν. Αυτή η δειγματοληψία λέγεται ιδανική. Βέβαια, στην πράξη τραίνο ώσεν δεν υπάρχει και όπς θα γίνει φανερό παρακάτ η δειγματοληψία γίνεται πολλαπλασιάζοντας με 53

σειρά παλμών. Στις περισσότερες περιπτώσεις το σήμα f (t) είναι ένα νέο σήμα και η μόνη συγγένεια, που έχει με το αρχικό f(t), είναι ότι έχουν τις ίδιες τιμές στα σημεία δειγματοληψίας. Υπάρχουν, όμς, μερικές περιπτώσεις σημάτν για τα οποία το f (t) διατηρεί στα λίγα δείγματα του όλα τα στοιχεία του f(t) και μπορεί να ξαναδώσει το f(t). Αυτό σημαίνει ότι αρκούν ορισμένα δείγματα ενός σήματος για να ληφθεί πλήρς η πληροφορία, την οποία είχε το συνολικό σήμα. Η οικονομία που γίνεται στον προσδιορισμό του σήματος είναι τεράστια. Σχήμα 6.. (α) Αναλογικό σήμα f(t) και (β) σήμα διακεκριμένου χρόνου f (t). 6.3 Θεώρημα Δειγματοληψίας (hannon) Έστ f(t) ένα σήμα, που έχει συνιστώσες συχνότητας μέχρι τη συχνότητα, ενώ για συχνότητες > ο Μ/Σ Fourier του f(t) μηδενίζεται. Τότε, οι τιμές του σήματος f(t) τις χρονικές στιγμές t = nπ/, με n =, ±, ±2,..., προσδιορίζουν πλήρς το σήμα f(t). Επιπλέον, το f(t) ξαναδημιουργείται από τις τιμές αυτές με τη σχέση: nπ sin ( t ) nπ f() t = f( ) n π ( t ) (6.) 54

Απόδειξη Ο Μ/Σ Fourier του f(t) είναι: jt F( ) = f( t) e dt (6.2) και εφόσον F() = για > έπεται ότι: jt f() t = F( ) e d 2π (6.3) Είναι γνστό ότι το σήμα f(t) προσδιορίζεται πλήρς από το Μ/Σ Fourier F(). Όμς, το F() είναι γενικά ένα μιγαδικό σήμα στο πεδίο συχνοτήτν περιορισμένο στο διάστημα (-, ) και μπορεί να επεκταθεί σε σειρά Fourier στο πεδίο. Αυτή η σειρά θα έχει τη μορφή: ( ) F ( ) = F in F inx n exp 2π n exp n = = 2 (6.4) όπου x = π/ (6.5) ενώ οι συντελεστές Fourier F n δίνονται από τη σχέση: jnx F = F e d n ( ) (6.6) 2 Είναι, επίσης, γνστό ότι οι συντελεστές F n προσδιορίζουν πλήρς το F(), και αφού το F() κάνει το ίδιο για το σήμα f(t), έπεται ότι οι συντελεστές F προσδιορίζουν n πλήρς το σήμα f(t). Τότε, η εξίσση (6.3) για t = -nπ/ γράφεται: π j n π nπ f ( ) = F( ) e d (6.7) 2 Από τις εξισώσεις (6.6) και (6.7) προκύπτει: F n = π n f π ( ) (6.8) 55

Από την τελευταία έπεται ότι οι τιμές του σήματος f(t) στα σημεία t = nπ/ (n =, ±, ±2,...) προσδιορίζουν πλήρς το σήμα f(t). Έτσι, χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (6.4) και (6.8), η εξίσση (6.3) γράφεται: jt jnx jt f() t = F( ) e d = F e e d 2π 2π n π nπ j ( t+ nx ) nπ = f ( ) e d = f ( ) 2π 2 = n nπ j ( t ) nπ sin ( t ) nπ f ( ) n = π ( t ) Έχοντας αποδείξει το Θεώρημα Δειγματοληψίας, στη συνέχεια θα παρουσιαστεί ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η δειγματοληψία στην πράξη. e d Σχήμα 6.2. (α) Θερητική Δειγματοληψία και (β) Μετασχηματισμός Fourier F(). Όπς έχει ήδη αναφερθεί, η δειγματοληψία θερητικά μπορεί να γίνει με πολλαπλασιασμό του σήματος f(t) με ένα περιοδικό σήμα συναρτήσεν δέλτα, όπς 56

φαίνεται στο Σχήμα 6.2. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι μια συνάρτηση f (t), που έχει τις τιμές του f(t) στα σημεία t = nπ/. Έστ, ότι ο Μ/Σ Fourier του f(t) έχει τη μορφή του Σχήματος 6.2β. Τότε, ο Μ/Σ Fourier της f (t) = f(t) p(t) δίνεται με τη βοήθεια τν ιδιοτήτν του Μ/Σ Fourier. Συγκεκριμένα: nπ f () t = f() t p() t = f() t ( t ) δ (6.9) και ο Μ/Σ Fourier της f (t) δίνεται από τη γνστή ιδιότητα του Μ/Σ Fourier, σύμφνα με την οποία ο Μ/Σ Fourier ενός γινομένου σημάτν ισούται με τη συνέλιξη τν Μ/Σ Fourier τν σημάτν. Άρα: F ( ) = I[ f ( t)] = F( ) P( ) = 2π 2π F( ) 2π n= δ ( 2n ) = F( 2n ) = f F( 2n ) (6.) n = του οποίου η γραφική παράσταση στο πεδίο δίνεται στο Σχήμα 6.3. Σχήμα 6.3. Ο Μετασχηματισμός Fourier της f (t). Το Σχήμα 6.3 περιέχει την ουσία του Θερήματος του hannon. Όπς είναι γνστό το f(t) προσδιορίζεται εντελώς από το F(). Αλλά, το F () έχει το F() χρίς καμία αλλαγή της μορφής του, και όχι μόνο το έχει ακριβώς όπς και το Σχήμα 6.2β, δηλαδή γύρ από το =, αλλά το έχει και μετατοπισμένο στα σημεία = ±2, ±4,... Πραγματικά λοιπόν, η δειγματοληψία του hannon δεν έχασε καμία πληροφορία, που είχε το f(t), γιατί υπάρχουν φίλτρα που μπορούν να αφαιρέσουν όλα, εκτός από το F(), και να μας ξαναδώσουν το αρχικό μας σήμα f(t). Όταν τα δείγματα της f(t) ληφθούν πιο 57

συχνά από π/, τότε η απόσταση μεταξύ τν μετατοπισμένν F() θα είναι μεγαλύτερη και, επομένς, η επανάκτησή του f(t) πιο εύκολη. Αντίθετα, αν τα δείγματα ληφθούν πιο αργά από π/, τότε τα μετατοπισμένα F() θα επικαλύπτονται, με συνέπεια η επανάκτηση του f(t) να είναι δύσκολη. Το φαινόμενο αυτό λέγεται αλλοίση. Το συμπέρασμα, λοιπόν, είναι ότι οι αποστάσεις τν δειγμάτν πρέπει να είναι το πολύ π/. Η απόσταση π/ λέγεται περίοδος δειγματοληψίας, ενώ η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας λέγεται ρυθμός δειγματοληψίας ή ρυθμός του Nyquist (f min = 2f ). Τα αποτελέσματα του θερήματος είναι φυσικά θερητικά. Στην πράξη υπάρχουν δύο προβλήματα: α) Δεν υπάρχει σήμα, που να είναι σήμα περιορισμένης ζώνης (δηλαδή F() = για > ). Όμς, υπάρχουν σήματα, για τα οποία μπορεί να βρεθεί συχνότητα, έτσι ώστε η ισχύς ή η ενέργεια του ς το σημείο να είναι τουλάχιστον το 95% της συνολικής της τιμής. β) Δεν υπάρχει συνάρτηση δέλτα ούτε τραίνο ώσεν (χτένα). 6.4 Φυσική Δειγματοληψία Στην πράξη η δειγματοληψία μπορεί να γίνει με χρήση ενός περιοδικού παλμού p(t), του οποίου η ιδανική μορφή φαίνεται στο Σχήμα 6.4. Έστ, επίσης, ότι ένα σήμα πληροφορίας s(t) περιορισμένου εύρου ζώνης ( ), όπς αυτό του Σχήματος 6.5α, που πολλαπλασιάζεται με τον περιοδικό παλμό του Σχήματος 6.4, οπότε προκύπτει το δειγματοληπτημένο σήμα του Σχήματος 6.5β. Σχήμα 6.4. Περιοδικός παλμός p(t), διάρκειας τ, πλάτους Α και περιόδου Τ. 58

Σχήμα 6.5. (α) Το πληροφοριακό σήμα s(t) και (β) το αποτέλεσμα της φυσικής δειγματοληψίας αυτού. Φυσικά, η περίοδος του παλμού υπακούει στο θεώρημα του hannon, δηλαδή: = π = 2 f (6.) Επειδή το p(t) είναι ένα περιοδικό σήμα, αυτό μπορεί να επεκταθεί σε σειρά Fourier, επομένς, γράφεται: pt ()= jn t Pe n (6.2) όπου οι συντελεστές P n δίνονται από τη σχέση: P n in t Aτ pte dt a n τ Aτ = () = ( ) = 2 a ( n τ ) (6.3) / 2 / 2 και φυσικά = 2π = 2π π = 2 Τ (6.4) Τότε, το s (t) γράφεται: s () t= st () pt () = st () Pe j2n t n (6.5) και ο Μ/Σ Fourier αυτού είναι: 59

j n t jt 2 j2n t jt ( ) = s() t Pe e dt P s() t e e dt n = n (6.6) Αφού ληφθεί υπόψη ότι το ολοκλήρμα της τελευταίας ισότητας αποτελεί το Μ/Σ Fourier του σήματος ste j 2 () n ιδιοτήτν του Μ/Σ Fourier : t, η εξίσση (6.6) γράφεται με τη βοήθεια τν P n ( ) = n ( 2 ) (6.7) Η εξίσση (6.7) δίνει το αποτέλεσμα της φυσικής δειγματοληψίας στο πεδίο της συχνότητας, κατά την οποία γίνεται η ίδια μετατόπιση του () με την ιδανική δειγματοληψία, με τη διαφορά ότι κάθε μετατοπισμένο () πολλαπλασιάζεται με τον αντίστοιχο συντελεστή Fourier P n του περιοδικού παλμού. Στο Σχήμα 6.6 δίνεται η φυσική δειγματοληψία στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο της συχνότητας. Σχήμα 6.6. Φυσική Δειγματοληψία (α) στο πεδίο του χρόνου και (β) στο πεδίο της συχνότητας. 6

Γενικά, η διάρκεια τ τν παλμών, οι οποίοι χρησιμοποιούνται στα σήματα δειγματοληψίας, λέγεται χρόνος ανοίγματος και όπς φαίνεται στο Σχήμα 6.7, περιλαμβάνει το χρόνο απόκρισης της τιμής τ απ και το χρόνο παρακολούθησης τ παρ ( = τ απ + τ παρ ). Αν ς κύκλος δραστηριότητας d του κάθε παλμού οριστεί το πηλίκο d = τ/τ, τότε, οι συντελεστές P n της εξίσσης (6.3) ικανοποιούν τη σχέση: P = d Α και P > P > P 2 >... (6.8) δηλαδή το πλάτος της κάθε αρμονικής συνιστώσας του φάσματος του σήματος δειγματοληψίας p(t) μειώνεται με την αύξηση της τάξης της αρμονικής n. Τα πλάτη αυτά είναι μικρότερα από εκείνα του σήματος κατά την ιδανική δειγματοληψία, οπότε η χρήση περιοδικών παλμών για τη δειγματοληψία ενός σήματος στην πράξη πλεονεκτεί ς προς την αποτελεσματικότητα της δράσης του χαμηλοπερατού φίλτρου κατά την ανασύσταση του αρχικού σήματος, αφού αυτό θα πρέπει να μηδενίσει τα ήδη μειμένα πλάτη τν αρμονικών του φάσματος τν δειγμάτν. Τέλος, το αρχικό σήμα μετά την ανασύσταση του θα είναι πολλαπλασιασμένο επί ένα συντελεστή ίσο προς τον κύκλο δραστηριότητας d τν παλμών, οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν για τη δειγματοληψία του. Σχήμα 6.7. Χρόνοι ανοίγματος και παρακολούθησης στη Φυσική Δειγματοληψία. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Το σήμα f(t) = cos(3πt) +.25cos(8πt) δειγματοληπτείται περιοδικά κάθε δευτερόλεπτα. α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της περιόδου δειγματοληψίας καθώς και η ελάχιστη τιμή του ρυθμού δειγματοληψίας. 6

β) Αν το σήμα δειγματοληψίας δίνεται από τη σχέση st () = 4 δ ( t 25. n), τότε το δειγματοληπτημένο σήμα δίνεται από τη σχέση: f () t = I δ ( t 25. n ). Να βρεθούν οι συντελεστές Ι, Ι, Ι 2 και δείξτε ότι Ι n+6 = I n. γ) Καθορίστε το εύρος ζώνης ενός χαμηλοπερατού φίλτρου, έτσι ώστε να είναι δυνατή η επανάκτηση του σήματος f(t) χρίς παραμόρφση. Απάντηση α) Από το θεώρημα Δειγματοληψίας είναι γνστό ότι: = f = π 2 = π 8 = 25. sec και f π = / = 8 Ηz. (max) (max) n β) f () t = f()() t s t = [cos( 3π t) + 25. cos( 8π t)] 4 δ ( t 25. n) = 4[cos( 3πt) + 25. cos( 8πt)] δ( t 25. n) = 4[cos( 3π25. n) + 25. cos( 8π25. n)] δ( t 25. n) = I δ( t 25. n ) n όπου Ι n = 4[cos(.375nπ) +.25cos(nπ)]. Τότε: Ι = 4(+.25) = 4.5, Ι = 4(.383-.25) =.32, Ι 2 = 4(-.77+.25) = -.328 και Ι n+6 = 4[cos(.375nπ+6π) +.25cos(nπ+6π)] = I n γ) Επειδή f (max) = 4 Hz B LPF = 4 Hz. 62

2. Έστ ότι το τραίνο ώσεν st () = δ ( t n ) χρησιμοποιείται για τη δειγματοληψία του σήματος f(t) = cos( t) + cos(2 t) + cos(3 t) και γίνεται μέσ ενός πολλαπλασιαστή, όπς φαίνεται στο σχήμα: α) Υπολογίστε την ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας. β) Προσδιορίστε την έκφραση του f (t). γ) Προσδιορίστε την έκφραση του σήματος εξόδου f O (t), αν το εύρος ζώνης του βαθυπερατού φίλτρου είναι BW = 2f ή BW = 4f. Απάντηση Για την επίλυση του προβλήματος πρέπει αρχικά να δοθεί το γενικευμένο θεώρημα δειγματοληψίας. Μέχρι τώρα το αναλογικό σήμα είχε συχνότητες από f = μέχρι μία μέγιστη f max. Στη γενικότερη περίπτση, όπου το φάσμα του σήματος είναι περιορισμένο σε μία ζώνη εύρους ζώνης Β γύρ από μια κεντρική συχνότητα f, τότε όπς θα δείξουμε παρακάτ η συχνότητα δειγματοληψίας δεν είναι απαραίτητο να είναι ίση με την διπλάσια της μέγιστης συχνότητας του σήματος. Έστ λοιπόν ότι το φάσμα του σήματος x(t) είναι μη μηδενικό στην περιοχή συχνοτήτν f ( B/ 2) f f + ( B/ 2) και μηδέν εκτός του διαστήματος αυτού, με f B/2 (Σχήμα Α). Σχήμα Α: Φάσμα ζνοπερατού σήματος με κεντρική συχνότητα f και εύρος ζώνης Β. 63

Είναι γνστό από το Θεώρημα δειγματοληψίας για ένα σήμα χαμηλού αρμονικού περιεχομένου ότι για να είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήματος από το δειγματοληπτημένο, θα πρέπει οι διάφορες αρμονικές να μην επικαλύπτονται μεταξύ τους. Ας δηλώσουμε με τους δείκτες m και m + τις αρμονικές τις πιο κοντινές στη βασική αρμονική n =. Οι δύο αυτές αρμονικές προέρχονται μετά από μετατόπιση προς τα δεξιά της βασικής κατά mf s και (m + )f s, αντίστοιχα (Σχήμα Β). Σχήμα Β: Φάσμα του δειγματοληπτημένου σήματος. Επομένς, για να μην έχουμε επικάλυψη θα πρέπει να μην επικαλύπτονται οι ζώνες. Για να συμβαίνει αυτό θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: B B mf f f 2 2 B B ( + ) +, f 2 2 +, m f f f B Οι δύο πρώτες γράφονται στη μορφή: mf f B 2, ( ) 2 m+ f f + B ή ισοδύναμα 2f + B 2f B f m+ m δηλαδή, οι συχνότητες δειγματοληψίας θα πρέπει να ικανοποιούν την τελευταία εξίσση για να μην υπάρχει επικάλυψη αρμονικών. Οι κατάλληλες συχνότητες δειγματοληψίας f s θα πρέπει να πληρούν την παραπάν ανισότητα για μια ακέραια τιμή του m. Για τις διάφορες τιμές του m προκύπτει: 64

m= 2 f + B f m= 2 f + B f 2 f B 2 m=2 2f + B 2f B f 3 2 m=3 2f + B 2f B f 4 3 Το βολικότερο διάστημα τιμών της f s είναι αυτό για το οποίο ισχύει η σχέση: 2f + B 2f B f M + M για τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του ακεραίου Μ, ή ισοδύναμα ο μεγαλύτερος ακέραιος Μ, για τον οποίο ισχύει η παραπάν ανισότητα, δίνεται από τη σχέση: M f f, δηλαδή M = B 2 B 2 όπου ο τελεστής [] δηλώνει το ακέραιο μέρος του περιεχομένου του. Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι το ευνοϊκότερο διάστημα δίνεται από τη σχέση: 2f + B 2f B f f f + B 2 B 2 και επομένς η βολικότερη τιμή για τη συχνότητα δειγματοληψίας είναι: f + 2f + B 2f + B B 2 = = = = + + + B 2 B 2 B 2 f,min 2B 2Ba f f f όπου η τιμή της παραμέτρου α δίνεται από τη σχέση: f + B 2 a = f + B 2 65

με τιμές στο διάστημα α 2 (Σχήμα Γ). Δηλαδή στη γενική περίπτση η ελάχιστη συχνότητα δειγματοληψίας θα είναι ίση με f 2Β, μόνο αν η ποσότητα + είναι ακέραιος αριθμός. Διαφορετικά, η ελάχιστη B 2 συχνότητα δειγματοληψίας θα κυμαίνεται μεταξύ 2Β και 4Β.. Σχήμα Γ: Τρόπος μεταβολής της τιμής της παραμέτρου α ς συνάρτηση του f /B. α) Όταν ο Μ/Σ Fourier ενός σήματος είναι μη μηδενικός σε μια περιοχή συχνοτήτν (f L, f H ), τότε η δειγματοληψία του σήματος αυτού μπορεί να γίνει με συχνότητα δειγματοληψίας f = 2Ba, όπου Β = 2f, f = 2f και α = 6.5/[6.5].83. Επομένς, f = 4.333f. β) Το σήμα δειγματοληψίας s(t) μπορεί ν' αναλυθεί σε σειρά Fourier: st ()= jn t jn t e n, όπου = ste dt= n () 2 2. Τότε: jn t 2 s( t) = e = [cos( n t) + jsin( n t)] = + cos( n t) n= όπου = 2π/Τ = 2πf και το δειγματοληπτημένο σήμα f (t) γράφεται: f () t f()() t s t [cos( t) cos(2 t) cos(3 t)] [ 2 cos( n t)] = = + + + n= 66

= [cos( ) cos(2 ) cos(3 )] t + t + t Τ 2 + [cos( t) + cos(2 t) + cos(3 t)]cos( nt) n= = [cos( ) cos(2 ) cos(3 )] t + t + t Τ + cos[( + n ) t] + cos[( n) t] { n= + cos[(2 + n ) t] + cos[(2 n ) t] + cos[(3 + n ) t] + cos[(3 n ) t] Θέτοντας = 4.333 η παραπάν σχέση γράφεται: f ( t) = [cos( t) + cos(2 t) + cos(3 t)] Τ } + cos[( + 4.333 n ) t] + cos[( 4.333 n ) t] { n= + cos[(2 + 4.333 n ) t] + cos[(2 4.333 n ) t] + cos[(3 + 4.333 n ) t] + cos[(3 4.333 n ) t] γ) Από την έκφραση της f (t) προκύπτει ότι οι συχνότητες τν πέντε πρώτν αρμονικών αυτής είναι: n=, 2, 3 n=3 23.999, -.999, 24.999,-.999, } 25.999,. n= 5.333, 6.667, 6.333, 7.667, n=4 28.332, -6.332, 29.332, -5.332, 7.333, 8.667 3.332, -4.332 67

n=2 9.666, 2.334, 2.666, 3.334, n=5 32.665, -.665, 33.665, -9.665, 2.666, 4.334 34.665, -8.665 Από τα παραπάν είναι φανερό ότι η συνάρτηση f O (t) είναι: i) BW = 2f A fo ( t) = cos[. t] + cos[.999 t] + cos[.999 t] { } όπου Α είναι η ενίσχυση ή η εξασθένηση του χαμηλοπερατού φίλτρου. ii) BW = 4f A fo ( t) = cos[. t] + cos[.999 t] + cos[.999 t] + cos[2.334 t] + cos[3.334 t] { } 3. Για τα παρακάτ σήματα να βρείτε το ρυθμό Nyquist και την περίοδο δειγματοληψίας α) a(2t) και β) [a(2t)] 2. Απάντηση α) (max) = 2 rad/sec f (max) = /π Hz = π/2 sec και f = 2/π Ηz. β) a 2 (x) = (sinx/x) 2 2 = (-cos(2x))/2x (max) = 2 2 = 4 rad/sec f (max) = 2/π Hz = π/4 sec και f = 4/π Hz. 4. Έστ η συνάρτηση f(t) = a(2πt). Να σχεδιαστεί η f(t) και η F(f). Στη συνέχεια, ένα τραίνο ώσεν δ Τ (t) χρησιμοποιείται για τη δειγματοληψία της f(t). Να σχεδιαστεί το φάσμα της δ Τ (t) και της f(t)δ Τ (t) για = /4, /2, και /. 68

Απάντηση 69

6.5 Δειγματοληψία & Κατακράτηση (ampling and Holding) Σε πολλές εφαρμογές η πράξη της δειγματοληψίας αποτελεί την πρώτη από μια σειρά διαδικασιών επεξεργασίας τν δειγμάτν του σήματος σε διακριτή ή ψηφιακή μορφή. Σε τέτοιες περιπτώσεις απαιτείται η τιμή του πλάτους του κάθε δείγματος να παραμένει σταθερή καθόλη τη διάρκεια της επεξεργασίας του. Δηλαδή, αν η διάρκεια τν παλμών του σήματος δειγματοληψίας είναι τ, τότε η τιμή του δείγματος στο τέλος του χρόνου παρακολούθησης διατηρείται σταθερή μέχρι τον επόμενο παλμό δειγματοληψίας, όπς φαίνεται στο Σχήμα 6.8. Το χρονικό διάστημα Τ -τ ονομάζεται χρόνος κατακράτησης. Σχήμα 6.8. Δειγματοληψία και κατακράτηση. Η διαδικασία αυτή είναι γνστή ς Δειγματοληψία και Κατακράτηση και πραγματοποιείται με μια απλή διάταξη δειγματοληψίας, στην έξοδο της οποίας υπάρχει ς στοιχείο "αποθήκευσης" (κατακράτησης) του πλάτους κάθε δείγματος ένας πυκντής κατάλληλης χρητικότητας C, όπς φαίνεται στο Σχήμα 6.9. Σχήμα 6.9. Κύκλμα δειγματοληψίας και κατακράτησης. 7

Η διάρκεια τ τν παλμών δειγματοληψίας, δηλαδή ο χρόνος ανοίγματος, επιλέγεται να είναι αρκετά μικρός, έτσι ώστε ο χρόνος παρακολούθησης να είναι μηδενικός. Τέλος, ο πυκντής C καθορίζεται σε συνδυασμό με την τιμή της μικής αντίστασης, που εμφανίζει ο αναλογικός διακόπτης, όταν είναι κλειστός (κατάσταση σύνδεσης) και την τιμή της αντίστασης εισόδου της επόμενης διάταξης επεξεργασίας (αν υπάρχει), όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός, έτσι ώστε να είναι "γρήγορη" η φόρτιση δηλαδή μέσα στο χρόνο απόκτησης, και "αργή" η εκφόρτιση του πυκντή, δηλαδή μηδενική μεταβολή κατά το χρόνο κατακράτησης αντίστοιχα. 6.6 Δειγματοληψία Διαπλατυσμένης Κορυφής (Flat-top ampling) Η δειγματοληψία αυτή είναι η πιο δημοφιλής στην πράξη και σαν αποτέλεσμα δίνει παλμούς, οι οποίοι είναι οριζόντιοι και η τιμή τους εξαρτάται από την τιμή του σήματος κατά τη στιγμή της δειγματοληψίας. Η εξήγηση της γίνεται με τη βοήθεια του Σχήματος 6., όπου οι παλμοί παίρνουν την τιμή του s(t) στην αρχή της διάρκειάς τους. Σχήμα 6.. Δειγματοληψία διαπλατυσμένης κορυφής. Έστ το σήμα s(t) του Σχήματος 6., το οποίο πολλαπλασιάζεται με μια χτένα (τραίνο ώσεν) και η πράξη αυτή δίνει τα δείγματά του στα σημεία του Nyquist. Αν τώρα το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού περάσει από ένα γραμμικό σύστημα με κρουστική συνάρτηση h(t), όμοια μ αυτή του Σχήματος 6., η έξοδος θα είναι δειγματοληψία διαπλατυσμένης κορυφής, γιατί κάθε συνάρτηση δέλτα θα "κρατηθεί" για λίγο 7

διάστημα. Στο πεδίο της συχνότητας, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι να αλλάξει το (), αφού πολλαπλασιάζεται με το Η(), που έχει μορφή Η() = k sin/. Η αναδημιουργία του s(t) μπορεί να γίνει στο δέκτη ς εξής: Πρώτα το σήμα s (t) περνάει από ένα γραμμικό σύστημα, το οποίο κάνει την αντίστροφη πράξη από το h(t), έχει δηλαδή συνάρτηση μεταφοράς H () = /Η(). Το εξαγόμενο σήμα έχει την αρχική μορφή του s (t) και συνεπώς ένα χαμηλοπερατό φίλτρο εύκολα ξαναδημιουργεί το s(t). Σχήμα 6.. Κρουστική συνάρτηση μεταφοράς και "block" διάγραμμα δειγματοληψίας διαπλατυσμένης κορυφής. 6.7 Διαμόρφση Πλάτους Παλμών (Pulse Amplitude Modulation, PAM) και Πολυπλεξία στο Πεδίο του Χρόνου (ime Division Multiplexing, DM) Έχοντας αναφερθεί στη δειγματοληψία αναλογικών σημάτν περιορισμένου εύρους ζώνης, η διαμόρφση πλάτους τν παλμών (ΡΑΜ) έχει περιγραφεί πλήρς. Στον πομπό γίνεται η φυσική δειγματοληψία, με αποτέλεσμα το νέο σήμα να αποτελείται από σειρά παλμών με πλάτος ανάλογο με τις τιμές του σήματος πληροφορίας. Το κανάλι είναι συνήθς ένα χαμηλοπερατό φίλτρο (σύρματα π.χ. όπς στο τηλέφνο ή στην τηλεόραση κλειστού κυκλώματος) και περνάει το βασικό φάσμα τν παλμών. Στον δέκτη, μετά από ενίσχυση (κουτί Α), το σήμα μετατρέπεται στην αρχική του μορφή μ' ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, όπς φαίνεται στο Σχήμα 6.2. 72

Σχήμα 6.2. Αποδιαμόρφση ΡΑΜ. Το σύστημα ΡΑΜ δεν είναι πολύ ενδιαφέρον, όταν χρησιμοποιείται για τη μετάδοση ενός μόνο σήματος πληροφορίας. Εκείνο, που το κάνει ενδιαφέρον και χρήσιμο, είναι η δυνατότητα που παρέχει για τη μετάδοση πολλών σημάτν "ταυτόχρονα". Στο Κεφάλαιο 3 δόθηκε ο ορισμός της Πολυπλεξίας και εξηγήθηκε η τεχνική πολυπλεξίας με διαίρεση συχνότητας (FDM). Στη συνέχεια δίνεται η εξήγηση της Πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου (ime Division Multiplexing, DM). Έστ ένα πληροφοριακό σήμα f(t) περιορισμένου εύρους ζώνης με μέγιστη συχνότητα f (max) = 5 khz. Το θεώρημα του hannon λέει ότι πρέπει τα δείγματα να λαμβάνονται τουλάχιστον κάθε π/ (max) ή /2f (max), δηλαδή κάθε -4 δευτερόλεπτα ( μsecs). Έστ, επίσης, ότι η δειγματοληψία είναι "φυσική" και γίνεται με περιοδικούς παλμούς p(t) με διάρκεια παλμού 5 μsecs. Συνεπώς, τα υπόλοιπα 95 μsecs μένουν άχρηστα και ο χρόνος αυτός μπορεί να χρησιμοποιηθεί για άλλα σήματα. Δηλαδή, μπορεί να τοποθετηθεί ένα άλλο σήμα, του οποίου το πρώτο δείγμα αρχίζει στο 7ο μsec και τελειώνει στο 2ο μsec, ένα τρίτο από 4-9 μsecs κ.λ.π. Όταν όλα αυτά συνδυαστούν υπό τη μορφή συστήματος, το αποτέλεσμα ονομάζεται Σύστημα Πολυπλεξίας με Διαίρεση Χρόνου. Ένα τέτοιο σύστημα φαίνεται στο Σχήμα 6.3. Σχήμα 6.3. Σύστημα πολυπλεξίας με διαίρεση χρόνου. 73

Στον πομπό το χαμηλοπερατό φίλτρο περιορίζει όλα τα σήματα πληροφορίας μέχρι τη συχνότητα f (max). Ο ηλεκτρονικός διακόπτης γυρίζει γύρ-γύρ με τέτοια ταχύτητα, ώστε να κάνει /2f (max) sec να επιστρέψει στο ίδιο σημείο. Με τον τρόπο αυτό λαμβάνει δείγματα από κάθε σήμα ικανοποιώντας την απαίτηση του θερήματος του hannon. Στο κάθε σημείο παραμένει ένα χρονικό διάστημα, που καθορίζει τη χρονική διάρκεια του κάθε δείγματος - "χρονοθυρίδα" (time-slot). o χρονικό διάστημα μεταξύ τν δειγμάτν ονομάζεται "ζώνη ασφαλείας" (guard time) και ο ρόλος του στην πράξη είναι να μηδενίσει ή τουλάχιστον να περιορίσει την εμφάνιση αλληλοεπικαλύψεν τν δειγμάτν διαδοχικών σημάτν, η οποία λέγεται διομιλία (cross-talk). Έτσι, αν η περίοδος της δειγματοληψίας είναι και πολυπλέκονται Ν το πλήθος σήματα, τότε ισχύει η σχέση Ν(τ p +τ g ) =, όπου τ p είναι η διάρκεια κάθε χρονοθυρίδας και τ g η ζώνη ασφάλειας. Ένα, επίσης, σημαντικό κομμάτι είναι ο συγχρονισμός τν δύο διακοπτών - ρολογιών και. Τέλος, είναι σημαντικό να αναφερθεί ότι, στο σύστημα DM τα σήματα είναι εντελώς ανακατεμένα στο πεδίο της συχνότητας, ενώ στο πεδίο του χρόνου το καθένα έχει τη δική του θέση, σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στην Πολυπλεξία με Διαίρεση Συχνότητας (FDM) (Σχήμα 6.4). Σχήμα 6.4. Κατανομή σημάτν FDM και DM στα πεδία χρόνου και συχνότητας. 74

6.8 Διαμόρφση Διάρκειας Παλμών (Pulse Duration Modulation, PDM) Η διαμόρφση αυτή είναι ανάλογη με τη διαμόρφση FM. Σ αυτήν η χρονική διάρκεια κάθε παλμού μιας παλμοσειράς μεταβάλλεται ανάλογα με την τιμή του σήματος πληροφορίας κατά τη στιγμή της δειγματοληψίας. Έτσι, αν τ είναι η διάρκεια τν παλμών με μηδενική πληροφορία (f(t) = όπς στο σημείο t = 2/f m ), τότε η διάρκεια του παλμού θα είναι τ = τ [ + kf(t)], όπου k μια σταθερά και f(t) το πληροφοριακό σήμα. Σχήμα 6.5. Διαμόρφση PDM. Στο Σχήμα 6.5 εξηγείται η παραγγή της διαμόρφσης PDM. Αρχικά, το σήμα f(t) υφίσταται δειγματοληψία διαπλατυσμένης κορυφής από μια παλμοσειρά p(t). Στη συνέχεια, μια συνάρτηση αναρρίχησης (ramp), η οποία είναι συγχρονισμένη με τους 75

παλμούς του p(t) προστίθεται στην f (t). Το αποτέλεσμα του αθροίσματος περνάει από ένα συγκριτή, ο οποίος είναι μια ηλεκτρονική συσκευή, που συγκρίνει το εισαγόμενο σήμα με μια τιμή (στάθμη). Για όσο χρονικό διάστημα το σήμα (R(t) + f (t)) είναι μεγαλύτερο από τη στάθμη η έξοδος του συγκριτή είναι Α. Το block διάγραμμα ενός πομπού PDM δίνεται στο Σχήμα 6.6. 6.6. Πομπός PDM. Στο δέκτη ενός συστήματος PDM, όπς φτάνουν οι παλμοί του σήματος PDM, η αρχή τους χρησιμοποιείται σαν "σκανδάλη" (trigger) σε ένα κύκλμα, που δίνει στην έξοδό του μια συνάρτηση αναρρίχησης. Το τέλος του παλμού PDM σταματά τη συνάρτηση αναρρίχησης, αυτή δε η τελική της τιμή διατηρείται για ένα μικρό ακόμα χρονικό διάστημα. Φυσικά, όσο πιο μεγάλη διάρκεια έχει ο παλμός, τόσο μεγαλύτερη είναι και η τελική τιμή της συνάρτησης αναρρίχησης. Με τον τρόπο αυτό η διάρκεια τν παλμών μετατρέπεται ξανά σε πλάτος. Στο σήμα αυτό προστίθεται ένα περιοδικό σήμα σταθερού πλάτους και η πρόσθεση γίνεται στο μέρος του προηγούμενου σήματος, που διατηρούσε την τελική τιμή της συνάρτησης αναρρίχησης. Σημειώνεται ότι το χρονικό σημείο, στο οποίο προστίθεται ο περιοδικός παλμός σε κάθε δείγμα είναι διαφορετικό. Τέλος, ένα κύκλμα ψαλιδισμού χρησιμοποιείται για να δώσει το αρχικό σήμα ΡΑΜ διαπλατυσμένης κορυφής, από το οποίο είναι γνστό πς μπορεί να παραχθεί το αρχικό σήμα f(t). Τα διαδοχικά βήματα της αποδιαμόρφσης αυτής δίνονται στο Σχήμα 6.7. 76

Σχήμα 6.7. Αποδιαμόρφση PDM. 6.9 Διαμόρφση Θέσης Παλμών (Pulse Position Modulation PPM) Η διαμόρφση αυτή είναι ανάλογη με τη διαμόρφση φάσης. Το πληροφοριακό σήμα αναγκάζει τη χρονική θέση του κάθε παλμού να μεταβάλλεται σχετικά με τη θέση του χρίς σήμα διαμόρφσης. Συχνά, ένας παλμός αναφοράς εκπέμπεται πριν από κάθε διαμορφμένο παλμό, για να συγχρονίζει τον πομπό και το δέκτη. Στο Σχήμα 6.8 δίνεται το πληροφοριακό σήμα f(t), το σήμα PDM καθώς και το σήμα ΡΡΜ. Σχήμα 6.8. Διαμόρφση PPM. 77

Όταν το σήμα f(t) είναι ίσο με μηδέν (δεύτερο δείγμα), τότε ο παλμός p(t) απέχει Δ μονάδες χρόνου από το σημείο του δείγματος. Όταν η τιμή του δείγματος είναι θετική, τότε η απόσταση αυξάνεται, ενώ στην αντίθετη περίπτση μειώνεται. Η διαμόρφση αυτή από τιμή πλάτους σε "θέση" γίνεται γραμμικά. Στην πράξη η παραγγή του σήματος ΡΡΜ μπορεί να γίνει από το σήμα PDM. Αφού το σήμα PDM έχει την τιμή τν δειγμάτν του f(t) στη "διάρκεια" τν παλμών του p(t), τότε το τέλος τν παλμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν αρχή νέν παλμών ίσης διάρκειας. Αυτό ακριβώς δείχνει το Σχήμα 6.9. Σχήμα 6.9. Δημιουργία σήματος PPM. Το σήμα PDM περνάει από ένα διαφοριστή και στη συνέχεια ανορθώνεται ημικυματικά. Κατόπιν, η συνάρτηση g 2 (t) χρησιμοποιείται σαν "σκανδάλη" σ ένα "Μονοκρουστικό Πολυδονητή", του οποίου η έξοδος είναι το σήμα ΡΡΜ, όπς φαίνεται και στο Σχήμα 6.2. Το σύστημα ΡΡΜ είναι πολύ πιο δημοφιλές από το PDM, γιατί ο παλμός μπορεί να γίνει μικρής διάρκειας και αυτό συνεπάγεται οικονομία στην ενέργεια. 78

Σχήμα 6.2. Διαμορφτής PPM. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ένα σήμα περιορισμένου εύρους ζώνης με μέγιστη συχνότητα khz και πλάτος V πρόκειται να διαμορφθεί κατά ΡΡΜ με διακριτικότητα ±.5 mv. Η ελάχιστη διάρκεια τν παλμών και η ζώνη "ασφαλείας" τg είναι μsec. Υπολογίστε το απαιτούμενο εύρος ζώνης για λόγο σήματος-προς-θόρυβο εισόδου 2 db. Δίνεται ότι για ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο B ( Δτ / N), όπου Δτ είναι η ελάχιστη δυνατή χρονική ακρίβεια του συστήματος παρουσίας θορύβου. Απάντηση Από την εκφώνηση δίνονται: f = 2f m(max) = 2 khz =.5 msec = 5 μsec, τ g = τ p = μsec. Άρα, ο διαθέσιμος χρόνος για διαμόρφση: - τ p - τ g = 498 μsec και επομένς η σταθερά διαμόρφσης είναι: k = ( - τ p - τ g )/ΔV = 498/2 μsec/v = 249 μsec/v. Η απαιτούμενη χρονική ακρίβεια είναι: Δτ = k (διακριτικότητα σήματος) = k Δα = 249 2.5-3 μsec =.249 μsec. Άρα το απαιτούμενο εύρος ζώνης είναι: B = = 3 = Δτ / N. 249 42 khz 79