ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ;

ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Ποιες οι σχετικές θέσεις δύο ευθειών στο επίπεδο ; Πως ορίζονται οι παράλληλες ευθείες και πως συμβολίζονται ; Οι σχετικές θέσεις δυο ευθειών ε και ε, οι οποίες βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, είναι οι παρακάτω: i) ταυτίζονται (σχ.α), ii) τέμνονται (σχ.β), iii) δεν τέμνονται (σχ.γ). Στην τρίτη περίπτωση οι ευθείες ε και ε λέγονται παράλληλες, ώστε: υο ευθείες ε και ε που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινό σημείο λέγονται παράλληλες ευθείες. ια να δηλώσουμε ότι οι ε και ε είναι παράλληλες, γράφουμε ε //ε. ς θεωρήσουμε δύο ευθείες ε και ε του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε 3 πόσων ειδών γωνίες ορίζονται ; ς θεωρήσουμε δύο ευθείες ε και ε του επιπέδου, οι οποίες τέμνονται από τρίτη ευθεία ε 3. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται οκτώ γωνίες. Οι γωνίες γ, δ, ε, ζ που βρίσκονται μεταξύ των ε, ε λέγονται "εντός", ενώ οι γωνίες α, β, η, θ λέγονται "εκτός". ύο γωνίες που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της τέμνουσας ε 3 λέγονται "επί τα αυτά μέρη", ενώ δύο γωνίες που βρίσκονται εκατέρωθεν της ε 3 λέγονται "εναλλάξ". Έτσι, με συνδυασμό και των δύο χαρακτηρισμών, οι γωνίες ε και γ λέγονται εντός εναλλάξ, οι γωνίες ε και α λέγονται εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη, ενώ οι γωνίες ε και δ λέγονται εντός και επί τα αυτά μέρη. Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

πόδειξη Έστω ότι ω = φ. ν οι ευθείες ε, ε τέμνονται σε σημείο, η εξωτερική γωνία φ του τριγώνου θα είναι ίση με την απέναντι εσωτερική γωνία ω, που είναι άτοπο. Άρα ε //ε. Να διατυπώσετε τα πορίσματα που προκύπτουν από το θεώρημα : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τότε είναι παράλληλες. ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν δυο εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες ή δυο εντός και επί τα αυτά μέρη παραπληρωματικές, τότε είναι παράλληλες. υο ευθείες κάθετες στην ίδια ευθεία, σε διαφορετικά σημεία της, είναι μεταξύ τους παράλληλες ω φ ε ε πόδειξη Πράγματι οι γωνίες ω και φ είναι ορθές, οπότε ω = φ. Άρα ε //ε. Έστω σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες ; Τι προκύπτει από το συμπέρασμά μας ; Θα εξετάσουμε τώρα αν από σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε παράλληλες ευθείες προς αυτή και πόσες. Έστω λοιπόν, ευθεία ε και σημείο εκτός αυτής Φέρουμε την ε και ονομάζουμε ε' την ευθεία που είναι κάθετη στην στο σημείο. Τότε ε'//ε (αφού και οι δύο είναι κάθετες στην ). ε ε Έτσι λοιπόν υπάρχει ευθεία ε' που διέρχεται από ένα σημείο που δεν ανήκει στην ε και είναι παράλληλη προς την ευθεία ε. εχόμαστε ως αξίωμα ότι η ευθεία αυτή είναι μοναδική, δηλαδή: ίτημα παραλληλίας πό σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή. ΣΧΟΛΙΟ Το παραπάνω αξίωμα είναι ισοδύναμο με το 5ο αίτημα των "Στοιχείων" του υκλείδη (υκλείδειο αίτημα). Το υκλείδειο αίτημα ή κάποιο ισοδύναμο του καθορίζει τη φύση ολόκληρης της εωμετρίας και αποτελεί βάση για τα περισσότερα θεωρήματα της υκλείδειας εωμετρίας. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 6

Να αποδείξετε την πρόταση : ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. πόδειξη Έστω ότι ε //ε και ε μια τέμνουσα.θα αποδείξουμε π.χ. ότι ω = φ. ν οι γωνίες ω και φ δεν είναι ίσες, φέρουμε την x ώστε οι γωνίες xab και φ να βρίσκονται εκατέρωθεν της ε και να είναι ίσες. Τότε x//ε γιατί τεμνόμενες από την σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Κατά συνέπεια υπάρχουν δύο παράλληλες από το προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ω = φ. Ποια πορίσματα προκύπτουν από την πρόταση : ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη, σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες. ν δυο παράλληλες ευθείες τέμνονται από τρίτη σχηματίζουν i) τις εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες, ii) τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες παραπληρωματικές. Να αποδείξετε ότι : ν δυο διαφορετικές ευθείες ε και ε είναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία ε, τότε είναι και μεταξύ τους παράλληλες, δηλαδή αν ε //ε και ε //ε, τότε ε //ε. πόδειξη ν οι ε και ε τέμνονταν σε σημείο, θα είχαμε από το δύο παράλληλες προς την ε, που είναι άτοπο. Άρα ε //ε. Να αποδείξετε ότι αν δυο ευθείες ε και ε είναι παράλληλες και μία τρίτη ευθεία ε τέμνει τη μία από αυτές, τότε η ε θα τέμνει και την άλλη. Ποιο πόρισμα προκύπτει από αυτό ; πόδειξη Υποθέτουμε ότι η ε τέμνει την ε στο. ν η ε δεν έτεμνε την ε, θα ήταν ε//ε και έτσι θα είχαμε από το δύο παράλληλες προς την ε, πράγμα αδύνατο. Άρα η ε τέμνει την ε. Πόρισμα : ν μια ευθεία είναι κάθετη σε μια από δυο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 7

Να αποδείξετε ότι : ν δυο ευθείες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο από ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες. Ποιο πόρισμα προκύπτει από αυτή την πρόταση ; πόδειξη Έστω ότι η ε τέμνει τις ε,ε στα και αντίστοιχα και ότι φ + ω. Τότε οι ε και ε δεν είναι παράλληλες, αφού φ + ω. Έστω ότι οι ε και ε τέμνονται σε σημείο Κ, προς το μέρος της τέμνουσας, που δεν περιέχει τις γωνίες ω και φ. Τότε, όμως, η εξωτερική γωνία ω του τριγώνου Κ είναι μεγαλύτερη από τη γωνία A δηλαδή ω > A = - φ ή ω + φ >, που είναι άτοπο. Άρα οι ε,ε τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες ω και φ. ΠΟΡΙΣΜ: Η κατασκευή τριγώνου με δοσμένη μία πλευρά και τις δυο προσκείμενες σε αυτή γωνίες έχει λύση, αν και μόνο αν το άθροισμα των δυο γωνιών είναι μικρότερο των δυο ορθών. Πως κατασκευάζουμε ευθεία ε παράλληλη προς μία ευθεία ε από ένα σημείο εκτός αυτής ; ίδαμε παραπάνω ότι υπάρχει ευθεία ε', η οποία διέρχεται από ένα σημείο και είναι παράλληλη προς γνωστή ευθεία ε. ια την κατασκευή της ε' φέρουμε από το ένα πλάγιο τμήμα προς την ε και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία που σχηματίζει το με την ε. Μεταφέρουμε τη γωνία φ ώστε να έχει κορυφή το, η μια πλευρά της να είναι η και η άλλη πλευρά της να βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει η γωνία φ. πειδή A = φ έχουμε //ε, αφού τεμνόμενες από την, σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. Έτσι η ευθεία είναι η ζητούμενη ευθεία ε'. Να αποδείξετε ότι δυο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δυο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. ς θεωρήσουμε δύο γωνίες xay και x'y' με x//x' και y//y', δηλαδή δύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους, μία προς μία παράλληλες. ν προεκτείνουμε τις x' και ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 8

By' θα τέμνουν τις x και y στα σημεία και αντίστοιχα. Έτσι όλες οι γωνίες του σχήματος λόγω των παραλλήλων θα είναι ίσες με ω ή φ. Παρατηρούμε ότι: ν και οι δυο γωνίες είναι οξείες είναι ίσες. ν και οι δυο γωνίες είναι αμβλείες είναι ίσες. ν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία,είναι παραπληρωματικές. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι: υο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες, μία προς μία, είναι ίσες αν είναι και οι δυο οξείες ή αμβλείες, ενώ είναι παραπληρωματικές αν η μία γωνία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία. Έστω ε και ε δυο παράλληλες που τέμνονται από ευθεία ε. Να αποδειχθεί ότι (i) Οι διχοτόμοι δυο εντός εναλλάξ γωνιών είναι παράλληλες. (ii) Οι διχοτόμοι δυο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνιών είναι κάθετες. πόδειξη i) Έστω x, By οι διχοτόμοι των γωνιών A και αντίστοιχα. Τότε ω = A/ και φ = /. λλά A = (ως εντός εναλλάξ). πό τα παραπάνω προκύπτει ότι ω = φ. Οι ω και φ όμως είναι εντός εναλλάξ γωνίες των ευθειών x και By με τέμνουσα την. Άρα x//by. (ii) ν z διχοτόμος της ΜA, τότε z x (ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών). φού x//by, θα είναι και Az By. Τι καλείται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και τι καλείται περίκεντρο ; ια κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος που διέρχεται από τις τρεις κορυφές του. Ο κύκλος αυτός λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και επιπλέον το κέντρο του είναι ένα σημείο στο οποίο συντρέχουν και οι τρεις μεσοκάθετοι του τριγώνου και λέγεται περίκεντρο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 9

Να αποδείξετε ότι οι τρεις μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κυκλου που διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου. πόδειξη Έστω τρίγωνο και Κ, Λ, Μ τα μέσα των πλευρών του, και αντίστοιχα. Οι μεσοκάθετοι Κx και Λy των, θα τέμνονται σε σημείο Ο, αφού τέμνονται οι κάθετες ευθείες τους και. Το Ο ισαπέχει από τις κορυφές και αφού ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς, δηλαδή Ο=Ο. πίσης Ο=Ο, αφού το Ο ανήκει στη μεσοκάθετο της πλευράς. πομένως ισχύει ότι Ο=Ο, οπότε το Ο θα ανήκει και στη μεσοκάθετο της. Άρα, ο κύκλος (O,OA) θα διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου και είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου. Τι καλείται εγγεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο και τι καλείται έγκεντρο ; Ένας άλλος σημαντικός κύκλος βρίσκεται στο εσωτερικό τριγώνου και εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του, για κάθε τρίγωνο υπάρχει κύκλος με την ιδιότητα αυτή. Ο κύκλος αυτός λέγεται εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου και το κέντρο του, το οποίο λέγεται έγκεντρο, θα είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. πόδειξη Έστω τρίγωνο και οι διχοτόμοι και Ζ των γωνιών του και αντίστοιχα. Οι και Ζ τέμνονται σε σημείο I αφού + Ζ = + < + < Το Ι ως σημείο της διχοτόμου της θα ισαπέχει από τις πλευρές της και, δηλαδή ΙΛ = ΙΘ. νάλογα το Ι θα ισαπέχει από τις πλευρές της, δηλαδή ΙΘ = ΙΝ. πομένως το Ι ισαπέχει από τις και και θα ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A. Τελικά, το Ι είναι το σημείο τομής και των τριών διχοτόμων του τριγώνου. Με κέντρο το Ι και ακτίνα την κοινή απόσταση του Ι από τις πλευρές του, γράφεται κύκλος που εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

Πως ορίζεται ο παρεγγεγραμμένος στο τρίγωνο κύκλοςκαι τι καλείται παράκεντρο ; Η ιδιότητα των εσωτερικών διχοτόμων ενός τριγώνου να διέρχονται από το ίδιο σημείο ισχύει και όταν θεωρήσουμε δύο εξωτερικές και μία εσωτερική διχοτόμο του τριγώνου. Οι τρεις αυτές διχοτόμοι τέμνονται σε σημείο το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δύο άλλων. Ο κύκλος αυτός λέγεται πaρεγγεγραμμένος και το κέντρο του παράκεντρο του τριγώνου. Σε κάθε τρίγωνο υπάρχουν τρία παράκεντρα, τα οποία συμβολίζουμε Ι α, Ι β, Ι γ, και κατά συνέπεια τρεις παρεγγεγραμμένοι κύκλοι Να αποδείξετε ότι : Οι διχοτόμοι δυο εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου και η ημιευθεία που διχοτομεί την τρίτη γωνία του τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται στη μία πλευρά του τριγώνου και στις προεκτάσεις των δυο άλλων. ς θεωρήσουμε τις διχοτόμους x και y των δύο εξωτερικών γωνιών εξ και εξ αντίστοιχα, του τριγώνου. Οι x και y τέμνονται σε σημείο Iα, αφού ισχύει ότι: x + y = εξ / + εξ/ = - ( + )/ <. Το Ι α ισαπέχει από τη και την προέκταση της, καθώς και από την προέκταση της. πομένως ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας A, αφού ισαπέχει από τις πλευρές της. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

ρωτήσεις Κατανόησης. i) Πώς ονομάζονται οι γωνίες α και β του παρακάτω σχήματος και τι σχέση έχουν μεταξύ τους; ii) Tι ισχύει για τις γωνίες γ και δ ; α ε δ ε ε ε γ β ε πάντηση i) κτός εναλλάξ και είναι ίσες, αφού α = γ και γ = β ii) ίναι παραπληρωματικές, αφού α + δ = 8 ο και α = γ. Να εξηγήσετε γιατί η είναι παράλληλη στην 65 ο ω 45 ο πάντηση Προφανώς η γωνία ω είναι ίση με ˆ= 36 ο 45 ο =5 ο φού ˆ = ˆ 5 ο + 65 ο =8 ο θα είναι 3. ν ω = ο θ και φ = 6 ο + θ να εξηγήσετε γιατί x x ψ ψ x ω σ x φ ψ ψ πάντηση σ + φ = ω + φ = ο θ + 6 ο + θ = 8 ο x x ψ ψ 4. Να αναφέρετε 5 τρόπους για να αποδείξουμε ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες πάντηση i) ίναι κάθετες στην ίδια ευθεία ii) Τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν δύο εντός εναλλάξ γωνίες ίσες iii) Τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν δύο εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ίσες iν) Τέμνονται από τρίτη και σχηματίζουν δύο εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 3

παραπληρωματικές ν) ίναι παράλληλες προς μία τρίτη ευθεία 5. ύο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες είναι i) Συμπληρωματικές; ii) Ίσες; iii) Παραπληρωματικές; iν) Κανένα από τα παραπάνω; ικαιολογήστε την απάντηση σας πάντηση ίναι ίσες διότι έχουν τις πλευρές παράλληλες και είναι οξείες ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 33

σκήσεις εμπέδωσης.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο και ευθεία ε παράλληλη προς τη βάση του, που τέμνει τις και στα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. ε ε ˆ ˆ και ˆ ˆ () τρ. ισοσκελές ˆ ˆ () (), () ˆ ˆ άρα τρ, ισοσκελές.ίνεται γωνία x ˆ y και σημείο της διχοτόμου της. ν η παράλληλη από το προς την Οx τέμνει την Οy στο, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ο είναι ισοσκελές. x O A δ y Οx ˆ ˆ λλά ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ τρ. Ο ισοσκελές. 3.ίνεται γωνία x ˆ y και η διχοτόμος της Ο. πό σημείο της Οy φέρουμε παράλληλη προς την Ο, που τέμνει την προέκταση της Οx στο. Να αποδείξετε ότι Ο = Ο. παράλληλη Ο ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) και ˆ ˆ (εντός εκτός επί τα αυτά) O αλλά ˆ ˆ άρα ˆ ˆ τρ. Ο ισοσκελές με Ο = Ο x y 4.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και σημείο της πλευράς. ν ο κύκλος (, ) τέμνει τη στο, να αποδείξετε ότι παράλληλη. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 34

= (ακτίνες) ˆ ˆ = ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ 5.Στις προεκτάσεις των πλευρών, τριγώνου παίρνουμε αντίστοιχα τα τμήματα = και =. Να αποδείξετε ότι παράλληλη. (Π--Π) τρ. = τρ. ˆ ˆ παράλληλη 6.ίνεται κύκλος (Ο, ρ) και Μ το μέσο χορδής του. Φέρουμε Οx ΟΜ. Να αποδείξετε ότι Οx παράλληλη. Μ μέσο της χορδής ΟΜ Ο x αλλά και ΟΜ Οx άρα Οx παράλληλη Μ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 35

M x ποδεικτικές σκήσεις.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και η διάμεσός του Μ. Φέρουμε x προς το ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το και παίρνουμε σε αυτή τμήμα =. Να αποδείξετε ότι η είναι διχοτόμος της γωνίας ˆ. Μ διάμεσος του ισοσκελούς Μ αλλά και x άρα x Μ ˆ ˆ () = = τρ. ισοσκελές ˆ ˆ () () και () ˆ ˆ άρα διχοτόμος.ίνεται τρίγωνο και η διχοτόμος του. πό την κορυφή φέρουμε // που τέμνει την προέκταση της στο. Να αποδείξετε ότι = + ρκεί να αποδείξουμε ότι = ˆ ˆ και ˆ ˆ λλά ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ δηλαδή τρ. ισοσκελές με = 3.ίνεται τρίγωνο με < και η εξωτερική διχοτόμος του x. πό την κορυφή φέρουμε x που τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι =. ρκεί να αποδείξουμε ότι = x ή αρκεί ˆ ˆ x ˆ ˆ και ˆ ˆ λλά ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 36

4.πό το έκκεντρο Ι τριγώνου φέρουμε ευθεία παράλληλη της, που τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι = + Ι ˆ I Bˆ B ˆ Bˆ I () + () Ι + Ι = + = + Ι έκκεντρο Άρα ˆ I Bˆ τρ. Ι ισοσκελές με Ι = () Ομοίως Ι = () 5.πό το έκκεντρο Ι τριγώνου φέρουμε Ι// και Ι//. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου Ι ισούται με τη. I Ι ˆ I Bˆ Ι έκκεντρο B ˆ Bˆ Άρα I Bˆ τρ. Ι ισοσκελές με Ι = () Ομοίως Ι = () () + () Ι + Ι = + Ι + Ι + = + + Άρα περίμετρος του τρ. Ι = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 37

Σύνθετα Θέματα.ίνεται τρίγωνο, η διχοτόμος του και η εξωτερική διχοτόμος του Bx. Θεωρούμε δύο σημεία και Κ της πλευράς. ν ο κύκλος (Κ, Κ) τέμνει τη στο Ζ, ενώ ο κύκλος (Κ, Κ) τέμνει τη x στο Μ, να αποδείξετε ότι Ζ//ΜΚ. Παρατηρούμε ότι οι Ζ και ΜΚ είναι //. Προσπαθούμε να το αποδείξουμε x M K 4 3 Ζ = Ζ (ακτίνες) Z ˆ Bˆ διχοτόμος B ˆ Bˆ Άρα Z ˆ Bˆ και επειδή είναι εντός εναλλάξ, θα έχουμε Ζ// Ομοίως ΜΚ//.πό τα άκρα ευθυγράμμου τμήματος φέρουμε προς το ίδιο ημιεπίπεδο δύο παράλληλες ημιευθείες x και y. Παίρνουμε τυχαίο σημείο του, και στις x, y τα σημεία και αντίστοιχα, ώστε = και =. Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι ορθή. x θ y Φέρουμε θ//x και y Τότε ˆ ˆ (εντός εναλλάξ) = ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ 3 4 διχοτόμος της ˆ Ομοίως διχοτόμος της ˆ Άρα είναι σαν διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών. 3.πό το παράκεντρο τριγώνου με < φέρουμε παράλληλη στην, που τέμνει τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι =. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 38

Ια// ˆ ˆ διχοτόμος ˆ ˆ Άρα ˆ τρ. ισοσκ. ˆ με () Ι α Ομοίως Ια//.. () () () = 4.ίνεται τρίγωνο με < και Μ σημείο της πλευράς. πό το Μ φέρουμε παράλληλη προς τη διχοτόμο της γωνίας ˆ, που τέμνει τις και στα σημεία και Ζ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) Το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. ii) + Ζ = σταθερό iii) Aν Μ το μέσο της τότε α) = Ζ = β) = Ζ = Ζ i) ΖΜ// ˆ ˆ και ˆ ˆ διχοτόμος ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ οπότε τρ. Ζ ισοσκελές με = Ζ Μ Ζ Μ ii) BE + Ζ = + + Ζ = = + = σταθερό iii) πό το φέρουμε παράλληλη στην, που τέμνει την ΖΜ σε σημείο Κ. (-Π-) τρ. ΜΚ = τρ.μ Κ = () πό i) έχουμε ˆ ˆ ˆ Κ ˆ ˆ Άρα ˆ ˆ τρ. ΖΚ ισοσκελές με Κ = Ζ () πό () και () = Ζ (ii) BE = AB + A ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ Κ 39

= = - = = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

ΚΦΛΙΟ 4ο ΠΡΛΛΗΛΣ ΥΘΙΣ Άθροισμα γωνιών τριγώνου ωνίες με πλευρές κάθετες Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. πόδειξη πό μια κορυφή, π.χ. την, φέρουμε ευθεία xy//b. Τότε ω = () και φ = (), ως εντός και εναλλάξ των παραλλήλων xy και με τέμνουσες και αντίστοιχα. λλά ω + A + φ = (3). πό τις (), () και (3) προκύπτει ότι : A + + = Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τα πορίσματα που προκύπτουν από το θεώρημα : Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές i) Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι ίση με το άθροισμα των δυο απέναντι εσωτερικών γωνιών του τριγώνου. ii) ν δυο τρίγωνα έχουν δυο γωνίες ίσες, μία προς μία, έχουν και τις τρίτες γωνίες τους ίσες. iii) Οι οξείες γωνίες ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι συμπληρωματικές. iv) Κάθε γωνία ισόπλευρου τριγώνου είναι 6. πόδειξη i) Έχουμε A + B + = και εξ + =, οπότε A + B + = εξ + ή εξ = A + B. ii) - iv) Προφανή. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

υο οξείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες πόδειξη Έστω οι γωνίες xôy = ω και x'ô'y'= φ με Οx O'x' και Oy O'y'. Τα τρίγωνα Ο και Ο' έχουν A = B = και = (κατακορυφήν). Άρα θα έχουν και τις άλλες γωνίες ίσες, οπότε ω = φ. i) υο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι ίσες. ii) υο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες αλλά η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία είναι παραπληρωματικές. πόδειξη i) Πράγματι, (παραπάνω σχήμα) είναι θ + ω =, θ' + φ =, οπότε θ =θ', αφού ω = φ. ii) Πράγματι, (παραπάνω σχήμα) είναι θ+ ω =, οπότε θ + φ =, αφού ω = φ. Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν-γώνου να είναι ν-4 ορθές. πόδειξη Όμοια, αν το κυρτό πολύγωνο έχει ν πλευρές και ενώσουμε το Ο με τις κορυφές του σχηματίζονται ν τρίγωνα. Το άθροισμα των γωνιών των ν τριγώνων είναι ν ορθές. ν αφαιρέσουμε το άθροισμα των γωνιών Ô +Ô +Ô 3 +... +Ô ν = 4 ορθές έχουμε: + + 3 +... + ν = (ν - 4) ορθές. Άλλη απόδειξη. ς θεωρήσουμε κυρτό πολύγωνο... ν με ν πλευρές και ας φέρουμε από μια κορυφή του, π.χ. την όλες τις διαγωνίους που διέρχονται από αυτή. Έτσι το πολύγωνο διαιρείται σε ν- τρίγωνα, γιατί σε καθεμιά από τις πλευρές του, εκτός των ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 4

και ν που διέρχονται από την κορυφή, αντιστοιχεί ένα τρίγωνο. πειδή το άθροισμα των γωνιών των ν- τριγώνων είναι (ν-)=(ν-4) ορθές και ισούται με το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου, προκύπτει ότι: + + 3 +... + ν = (ν - 4) ορθές. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτου ν γώνου είναι 4 ορθές. πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο και τη διχοτόμο χ της εξωτερικής γωνίας A του τριγώνου. Να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές, αν και μόνο αν x//. πόδειξη (i) ν β = γ τότε = = ω. Όμως A εξ = + = ω, οπότε Aεξ/ = ω ή A = = ω. Άρα x//, αφού σχηματίζουν δύο εντός και εναλλάξ γωνίες ίσες. (ii) ν x// τότε A = (ως εντός εναλλάξ) και A = (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη). Άρα = (αφού A = A ), οπότε β = γ. Σε τρίγωνο φέρουμε τις εσωτερικές και εξωτερικές διχοτόμους των γωνιών του και. Να αποδειχθεί ότι (i) Η γωνία των δυο εσωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 9 + A/. (ii) Η γωνία μίας εσωτερικής και μίας εξωτερικής διχοτόμου είναι ίση με A/. (iii) Η γωνία των δυο εξωτερικών διχοτόμων είναι ίση με 9 - A/. πόδειξη ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 43

Οι εσωτερικές διχοτόμοι τέμνονται στο έγκεντρο I. Οι εξωτερικές διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών και τέμνονται στο παράκεντρο Ι α και η εσωτερική διχοτόμος της με την εξωτερική διχοτόμο της τέμνονται στο παράκεντρο Ι β. (i) πό το τρίγωνο Ι παίρνουμε: Ι + + = 8 ή Ι = 8 - - ή Ι = 8 - - ή Ι = 9 + 9 - - ή Ι = 9 + A/(επειδή A + + = 9 ). () (ii) Η εσωτερική και εξωτερική διχοφτόμος μιας γωνίας τέμνονται κάθετα. Έτσι στο τρίγωνο ΙΙ β είναι: = 9 και Ι = 9 + Ι β () (ως εξωτερική γωνία). πό τις () και () προκύπτει ότι Ι β = A/. (3) (iii) Όμοια στο τρίγωνο I α Ι β είναι = 9, οπότε Ι α + Ι β = 9 ή Ι α = 9 - Ι β. (4) πό τις (3) και (4) προκύπτει ότι Ι α = 9 - A/. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 44

ρωτήσεις Κατανόησης.Να υπολογίσετε την γωνία ω στο παρακάτω σχήμα πάντηση ίναι φ =8 ο ο = 6 ο άρα ω ω = 5 ο + 6 ο = ο 5 ο φ ο.ν = και x διχοτόμος της γωνίας πάντηση ω φ ω 55 ο x ίναι ˆ, να υπολογίσετε την γωνία φ ˆ = ο άρα ω =7 ο, οπότε φ = 8 ο ω = 8 ο 4 ο = 4 ο 3.Υπάρχει κυρτό ν γωνο ώστε το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του να ισούται με το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών του ; πάντηση Ναι το τετράπλευρο 4.Να εξηγήσετε γιατί αν ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει μία γωνία του 6 ο θα είναι ισόπλευρο Έστω ω = 6 ο τότε φ =8 ο ω =8 ο ο = 6 ο φ φού το τρίγωνο έχει τις γωνίες του ίσες θα είναι ισόπλευρο Έστω φ = 6 ο τότε ω = 8 φ = ο ω ω Άρα ˆ= 6 ο, οπότε πάλι το τρίγωνο θα έχει τις γωνίες ίσες, οπότε θα είναι ισόπλευρο. 5.Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι.8 ο. 7 ο. 36 ο. 54 ο. τίποτα από αυτά πιλέξτε την σωστή απάντηση και αιτιολογήστε την απάντηση σας. πάντηση Σωστή απάντηση είναι η, διότι το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών οποιουδήποτε ν γώνου ισούται με 36 ο. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 45

σκήσεις μπέδωσης.σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία του είναι ίση με τα μιας άλλης γωνίας 3 του. Να υπολογισθούν όλες οι γωνίες του (δύο περιπτώσεις). Έστω το τρίγωνο με ˆ = 9 ο Όταν ˆB = ˆ, τότε ˆB = 3 3 9ο = 6 ο και ˆ = 9 ο - ˆB = 9 ο 6 ο = 3 ο Ομοίως όταν ˆ = 3 Όταν ˆB = 3 ˆ ˆ, τότε ˆB = 3 ( 9ο ˆB ) 3 ˆB = ( 9 ο ˆB ) 3 ˆB = 8 ο ˆB 5 ˆB = 8 ο ˆB = 36 ο και ˆ = 9 ο ˆB = 9 ο 36 ο = 54 ο ˆ.Σε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) είναι ˆ =. ν Ι το έκκεντρο του τριγώνου, να υπολογισθεί η γωνία ˆ. πό εφαρμογή του σχ. ιβλίου έχουμε ˆ = 9 ο + ˆ () ˆ = ˆ ˆB = ˆ () τρ. ισοσκελές ˆB = ˆ (3) ˆ + ˆB + ˆ = 8 ο (),(3) ˆ + ˆ + ˆ = 8 ο 5 ˆ = 8 ο ˆ = 36 ο () ˆ = 9 ο + 8 ο = 8 ο 3.Σε τρίγωνο η γωνία ˆ είναι τριπλάσια της γωνίας ˆB. ν ˆ = 44 ο να βρεθεί το είδος του τριγώνου ως προς τις πλευρές του. = ˆ + ˆB 44 ο = 3 ˆB + ˆB 44 ο = 4 ˆB ˆB = 36 ο ˆ ˆ = 8 ο - ˆ = 8 ο 44 ο = 36 ο Άρα ˆB = ˆ τρ. ισοσκελές με = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 46

4.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 9 ο ) και το ύψος του. Να αποδείξετε ότι ˆB = ˆ και ˆ = ˆ. Οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές. 5.Στο παρακάτω σχήμα είναι = = και x ˆ = 8 ο. Να υπολογισθεί η γωνία ˆ. = Â 8 ˆ εξωτερική του τριγώνου φ Στο τρίγωνο έχουμε λλά Â + ˆ + 8 ο = 8 ο φ + 8 ο 4φ + 8 ο = 8 ο 3φ = 8 ο φ = 36 ο ˆ = + Â = + = = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 ˆ 8 ˆ 8 4 6.Στο παρακάτω σχήμα είναι ˆ 9, διχοτόμος, //. ν η γωνία ˆ είναι ο μεγαλύτερη από τη ˆ, να υπολογίσετε τις γωνίες ω και φ. Υπόθεση: ˆ = ˆ + ο λλά ˆ + ˆ = 9 ο ω ˆ + ο + ˆ = 9 ο φ ˆ = 7 ο ˆ =35 ο και ˆ = 55 ο // φ = ˆ = 55 ο και ω = ˆ = ˆ = 45 ο 7.Το άθροισμα των γωνιών κυρτού πολυγώνου είναι 9 ο. Να βρεθεί το πλήθος των πλευρών του. Έστω ν το πλήθος των πλευρών. ( ν 4) 9 = 9 ν 4 = ν = 4 ν = 7 ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 47

ποδεικτικές σκήσεις. Σε τρίγωνο είναι ˆ 9. Να αποδείξετε ότι = ˆ ˆ 9 ˆ ˆ ˆ 9 ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 ˆ ˆ ˆ 8 8 ˆ ˆ ˆ = ˆ.ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ και η διχοτόμος του. Να αποδείξετε ότι i) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ii) ˆ 9, ˆ ˆ ˆ 9 i) διχοτόμος Â = Â = ˆ εξωτερική του τριγώνου Â ˆ = ˆ + ˆ εξωτερική του τριγώνου ˆ = ˆ + Â () () ˆ ˆ = ˆ ˆ () () Â ii) H () ˆ = ˆ + Ομοίως για τη ˆ 9 ˆ ˆ = 9 ˆ ˆ + = 9 ˆ ˆ 3.Σε τρίγωνο με ˆ ˆ φέρουμε το ύψος και τη διχοτόμο. Να αποδείξετε ότι ˆ = ˆ ˆ. ˆ = ˆ - ˆ E αλλά ˆ = Â λόγω της διχοτόμου και ˆ = 9 ο ˆ από το ορθ. τρίγωνο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 48

Άρα ˆ Â = ( 9ο ˆ ) Â = 9ο + ˆ = = Â ˆ ˆ ˆ + ˆ = ˆ ˆ 4.ν οι διχοτόμοι των γωνιών ˆ, ˆ κυρτού τετραπλεύρου τέμνονται σε ˆ ˆ σημείο, να αποδείξετε ότι ˆ πό το τρίγωνο έχουμε ˆ = 8 ο ˆ ˆ = 8 ο Â ˆ 36 ˆ ˆ = πειδή το άθροισμα των γωνιών τετραπλεύρου είναι 36 ο, θα έχουμε ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ 5.πό τυχαίο σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου φέρουμε τη. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 () τρ. : ˆ 9 ˆ () ˆ + ( 9 ˆ ) = 8 ο ˆ + 8 ο ˆ = 8 ο ˆ = ˆ 6.Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 9ο ) το ύψος του και η διχοτόμος του Ζ τέμνονται σε σημείο. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ Ζ Τρ. ορθογώνιο: Ê = Ê = 9 ο - ˆB = 9 ο ˆB Τρ. Ζ ορθογώνιο: 49 ()

Ẑ = 9 ο - ˆB = 9 ο ˆB πό τις () και () έχουμε Ê = Ẑ τρ. Ζ ισοσκελές. () 8.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( Â = 9ο ). Η διχοτόμος της γωνίας ˆB τέμνει την στο Ζ και την κάθετη στη στο σημείο, στο Η. Να αποδείξετε ότι Ζ = Η Ζ Η Τρ. ορθογώνιο: Ĥ = 9 ο - ˆB = 9 ο - ˆB Τρ. Ζ ορθογώνιο: Ẑ = Ẑ = 9 ο ˆB = 9 ο ˆB πό τις () και () έχουμε Ĥ = Ẑ τρ. ΗΖ ισοσκελές. () () ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

Σύνθετα Θέματα.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και τυχαίο σημείο της πλευράς. Στην προέκταση της, προς το, παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ ˆ 9 Ζ = ˆ ˆ λλά ˆ = ˆ ˆ σαν εξωτερική του τρ. ˆ Άρα ˆ = ˆ ˆ ˆ ˆ () = ˆ ˆ. λλά ˆ + ˆ ˆ = 8 ο Άρα ˆ + ˆ = 8 ο ˆ 8 ˆ ˆ 9 ˆ () () + () ˆ ˆ 9.ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ και η διχοτόμος του. πό την κορυφή φέρουμε ευθεία κάθετη στην, που τέμνει την στο. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ Ζ Τρ. Ζ ορθογώνιο ˆB = 9 ο ˆ λλά ˆ = ˆ ˆ + ˆ = ˆ + σαν εξωτερική του τριγώνου Άρα ˆB = 9 ο ˆ ( ˆ + ) = = ˆ ˆ ˆ ˆ + + ˆ = = ˆ ˆ ˆ ˆ = 3.Σε ορθογώνιο τρίγωνο προεκτείνουμε την υποτείνουσα κατά τμήμα =. Φέρουμε κάθετη στη στο σημείο και παίρνουμε σε αυτή, προς το μέρος του, τμήμα =. Να αποδείξετε ότι τα σημεία,, είναι συνευθειακά. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

Φέρουμε τα τμήματα,. ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ + ˆ + ˆ = 8 ο ή αρκεί ˆ + ˆ = 9 ο αφού ˆ = 9 ο ˆB εξωτερική του ισοσκελούς τριγώνου ˆB = ˆ ˆ = ˆ () Στο ισοσκελές τρίγωνο έχουμε ˆ = ˆ και ˆ + ˆ + ˆ = 8 ο ˆ = 8 ο ˆ ˆ = 9 ο ˆ () ίναι ˆ = ˆB σαν οξείες με πλευρές κάθετες () ˆ = 9 ο ˆ (3) () + (3) ˆ + ˆ = 9 ο 4.ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και το ύψος του. Φέρουμε Η, που τέμνει την προέκταση της στο. Να αποδείξετε ότι i) B = ii) > Η i) ρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ = ˆ Ορθ. τρίγωνο : ˆ = 9 ο - ˆ Ορθ. τρίγωνο Η : ˆ = 9 ο - ˆ Ισοσκελές : ˆ = ˆ Άρα ˆ = ˆ ii) Τα τρίγωνα και έχουν δύο πλευρές ίσες. ια να είναι >, αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ > ˆ. πειδή, όμως, ˆ = 9 ο, αρκεί να αποδείξουμε ότι η ˆ είναι οξεία. Ισοσκελές τρίγωνο ˆ οξεία, άρα ˆ αμβλεία. Έτσι, στο τρίγωνο η ˆ είναι οξεία. 5.Σε τρίγωνο, προεκτείνουμε τα ύψη του και προς το μέρος των κορυφών και επί των προεκτάσεων παίρνουμε τμήματα Ζ = και Η = αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι i) AZ = AH ii) AZ AH ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 5

Η i) Συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ζ, Η. Έχουν = Η και Ζ = ια να είναι ίσα, αρκεί να αποδείξουμε ότι ˆ ˆ, Ζ ή αρκεί ˆ ˆ αφού είναι παραπληρωματικές τους. υτό ισχύει διότι, από τα ορθ. τρίγωνα και, οι γωνίες ˆ και ˆ είναι συμπληρωματικές της γωνίας ˆ του τριγώνου. ii) τρ.ζ = τρ.η ˆ = ˆ Στο ορθ. τρίγωνο Η, η ˆ είναι συμπληρωματική της ˆ, άρα και η ˆ. 6.Θεωρούμε τετράπλευρο με ˆ ˆ και ονομάζουμε φ την οξεία γωνία ˆ ˆ των διχοτόμων των γωνιών ˆ και ˆ. Να αποδείξετε ότι φ = Στο τρίγωνο Ζ είναι φ = 8 ο - ˆ - ˆ ˆ = ˆ + ˆ σαν εξωτ. του τριγώνου Ζ φ Άρα φ = 8 ο ( ˆ + ˆ ˆ ) Ζ φ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ φ = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = 7.ύο επίπεδα κάτοπτρα, είναι κάθετα. Φωτεινή ακτίνα α προσπίπτει αρχικά στο και μετά την ανάκλαση στο, εξέρχεται κατά την ακτίνα β. Τι πορεία θα ακολουθήσει, σε σχέση με την αρχική ακτίνα α; Κ ω x ω α y φ φ β Κ Θα αποδείξουμε ότι α β. Προς τούτο, αρκεί να αποδείξουμε ότι x + y = 8 ο. ίναι ω + x + ω = 8 ο () και φ + y + φ = 8 ο () () + () ω + φ + x + y =36 ο ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 53

x + y =36 ο (ω + φ) λλά ω + φ = 9 ο αφού Άρα x + y =36 ο. 9 ο x + y = 8 ο ενικές ασκήσεις 4 ου Κεφαλαίου.ίνεται τρίγωνο με Â = 6 ο και οι διχοτόμοι του και. Να αποδείξετε ότι B ˆ = ˆ. Στο τρ. έχουμε ˆ = Â + ˆ B ˆ = 6 ο + ˆ Στο τρ. έχουμε ˆ = ˆ + ˆ ˆ = ˆ + ˆ. ρκεί να αποδείξουμε ότι 6 ο + ˆ = ˆ + ˆ 6 ο ˆ ˆ = + ο = ˆ ˆ, το οποίο ισχύει αφού Â = 6 ο..θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α και τα σημεία, των πλευρών του και αντίστοιχα, ώστε = = α. Να αποδείξετε ότι 3. Φέρουμε Μ Τότε ˆ = ˆ = 6 ο και αφού ˆ = 6 ο, το τρίγωνο Μ είναι ισόπλευρο Μ = = 3 α M Και επειδή = α, το είναι μέσο του Μ. 3 Έτσι, το είναι διάμεσος του τρ.μ, άρα και ύψος. ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 54

3.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 9 ο ) και η διχοτόμος του. Φέρουμε x, που τέμνει την στο και την προέκταση της στο Ζ. Να αποδείξετε ότι = Ζ. ρκεί να δειχθεί ότι τρ. = τρ.ζ. υτά είναι ορθογώνια και έχουν ˆ = ˆ (οξείες με πλευρές κάθετες), οπότε αρκεί να δειχθεί ότι = Ζ. x Ζ K Λ Πάμε να εκμεταλλευθούμε την ιδιότητα της διχοτόμου. Φέρουμε Κ και Λ Κ = Λ οπότε τρ.κ = τρ.λζ (αφού είναι ορθογώνια με ˆ = ˆ ) Άρα = Ζ. 4.Θεωρούμε τετράπλευρο με Â = ˆ = 9 ο και =. Στην προέκταση της παίρνουμε τμήμα =. Να αποδείξετε ότι. 3 3 ρκεί να δειχθεί ότι ˆ = ˆ, ή ότι 3 τρ. = τρ. και επειδή έχουν δύο πλευρές ίσες, αρκεί να δειχθεί ότι ˆ = ˆ. ˆ = ˆ + ˆ = 9 ο ˆ 3 + 9 ο ˆ 3 = 8 ο ˆ 3 ˆ = ˆ 3 5.ίνεται τρίγωνο με <. Να αποδείξετε ότι : i) To ύψος = σχηματίζει με τη μικρότερη πλευρά μικρότερη γωνία. ii) Η διάμεσος Μ = iii) Το ύψος και η διάμεσος =. σχηματίζει με τη μικρότερη πλευρά μεγαλύτερη γωνία. βρίσκονται εκατέρωθεν της διχοτόμου i) ˆ ˆ 9 ο ˆ < 9 ο ˆ (από τα ορθ. τρίγωνα M, ). ˆ < ˆ το οποίο ισχύει αφού < Η ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 55

ii) Θα αποδείξουμε ότι ˆ > ˆ. Προεκτείνουμε την Μ κατά τμήμα ΜΗ = Μ (Π Π) τρ.μη = τρ.μ ˆ = ˆ και = Η Στο τρ.η είναι Η = < ˆ < ˆ = ˆ iii) πό το i) ˆ < ˆ = ˆ () πό το ii) > ˆ ˆ = ˆ () πό () και () το ύψος και η διάμεσος διχοτόμου =. βρίσκονται εκατέρωθεν της 6.Τρεις κύκλοι με κέντρα,, εφάπτονται εξωτερικά στα,,. 3 Να αποδείξετε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο. 3 K Έστω Ι το έκκεντρο του τριγώνου 3 Τότε διχοτόμος της γωνίας ˆ και ομοίως για τις, 3 K 3 Ι 3 A K 3 Φέρουμε τις Ι, Ι, Ι. (Π Π) τρ.ι = τρ.ι () Άρα Ομοίως Ι = Ι Ι = Ι και Ι = Ι. Άρα το Ι είναι περίκεντρο του τρ.. Φανταζόμαστε τον περιγεγραμμένο κύκλο (Ι, Ι) του τριγώνου. ια να είναι αυτός ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου, αρκεί να 3 αποδείξουμε ότι Ι και ομοίως Ι 3 3, Ι () ˆ = ˆ και ομοίως ˆ = ˆ, ˆ = ˆ () 3 3 αλλά ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 3 ˆ ˆ 8 3 () ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 3 ˆ ˆ 8 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 8 3 ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 56

ˆ ˆ 3 ˆ ˆ 8 3 ˆ = ˆ = 9 ο. 3 7.Θεωρούμε τρίγωνο, τον εγγεγραμμένο κύκλο του (Ι, ρ) και τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του (, ). Ονομάζουμε,, Ζ και,, Ζ τα σημεία επαφής των (Ι, ρ) και (, ) με τις ευθείες,, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : i) AZ = AE = τ α, = Ζ = τ β, = = τ γ ii) Ζ = = τα iii) ΖΖ = = α, = β γ Ζ Ζ Ι Ι α i) Ζ =, Ζ =, = σαν εφαπτομενικά τμήματα. + + = τ Ζ + Ζ + + + + = τ Ζ + + + + + Ζ = τ Ζ + + τ Ζ + + = τ Ζ + α = τ Ζ = τ α = Ομοίως ii) Ζ =, = Ζ, = σαν εφαπτομενικά τμήματα. + + = τ Ζ Ζ + + = τ Ζ + + Ζ = τ Ζ + = τ Ζ = τ = iii) ΖΖ = Ζ Ζ = τ (τ α ) =τ τ + α = α = = = Ζ (τ β) = Ζ τ + β = τ γ τ + β = β γ. και = τ β = Ζ = τ γ = ΠΙΜΛΙ: ΥΡΙΝΟΣ ΣΙΛΗΣ 57