ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΡΙΓΩΝΑ. Στοιχεία και είδη τριγώνων. Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ;

ΚΕΦΛΙΟ 3ο ΤΡΙΩΝ Στοιχεία και είδη τριγώνων Τι καλούμαι κύρια στοιχεία ενός τριγώνου και συμβολίζεται η περίμετρος ενός τριγώνου ; Οι πλευρές και οι γωνίες ενός τριγώνου λέγονται κύρια στοιχεία του τριγώνου. Ένα τρίγωνο έχει τρεις κορυφές,,, τρεις πλευρές,, και τρεις γωνίες, και. ια ευκολία οι πλευρές,, συμβολίζονται με α, β, γ αντίστοιχα, και οι γωνίες, και με,, και. Το άθροισμα α + β + γ των πλευρών του τριγώνου, δηλαδή η περίμετρός του συμβολίζεται συνήθως με 2τ. Σημειώνουμε ότι με τ συμβολίζουμε την ημιπερίμετρο του τριγώνου δηλαδή Ποια είναι τα είδη του τριγώνου ως προς τις πλευρές του ; Συγκρίνοντας τις πλευρές ενός τριγώνου, μεταξύ τους, προκύπτουν τρία είδη τριγώνων: το σκαληνό, το ισοσκελές και το ισόπλευρο. Έτσι, ένα τρίγωνο λέγεται: σκαληνό, όταν έχει όλες τις πλευρές του άνισες (σχ.) ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές του ίσες (σχ.2). Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο με = η πλευρά λέγεται βάση του και το κορυφή του, ισόπλευρο, όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες (σχ.3). 46

Ποια είναι τα είδη του τριγώνου ως προς τις γωνίες του ; Ένα τρίγωνο, ανάλογα με το είδος των γωνιών του, λέγεται οξυγώνιο, όταν έχει όλες τις γωνίες του οξείες (σχ.5), ορθογώνιο, όταν έχει μια γωνία ορθή (σχ.6). Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία λέγεται υποτείνουσα και οι άλλες δύο λέγονται κάθετες πλευρές του τριγώνου, αμβλυγώνιο, όταν έχει μια γωνία αμβλεία (σχ.7). Ποια είναι και πως ορίζονται τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου και πως ορίζεται η προβολή ενός σημείου σε ευθεία ; Οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη ενός τριγώνου λέγονται στοιχεία του. δευτερεύοντα ιάμεσος ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με το μέσο της απέναντι πλευράς. Στο σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα Μ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά α του τριγώνου και συμβολίζεται με μ α. Οι διάμεσοι που αντιστοιχούν στις πλευρές β και γ συμβολίζονται με μ β και μ γ αντίστοιχα. ιχοτόμος μιας γωνίας ενός τριγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου της γωνίας, από την κορυφή της μέχρι την απέναντι πλευρά. Στο σχήμα το ευθύγραμμο τμήμα είναι η διχοτόμος της γωνίας A του τριγώνου και συμβολίζεται με δ α. Οι διχοτόμοι των γωνιών B και του τριγώνου συμβολίζονται με δ β και δ γ αντίστοιχα. 47

Ύψος τριγώνου λέγεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα, που φέρεται από μια κορυφή προς την ευθεία της απέναντι πλευράς. Τα ύψη που φέρονται από τις κορυφές, και συμβολίζονται αντίστοιχα με υ α, υ β και υ γ. Στο σχήμα το είναι το ύψος από την κορυφή. Το σημείο λέγεται προβολή του πάνω στην ευθεία ή και ίχνος της καθέτου, που φέρεται από το στην ευθεία. 48

Κριτήρια ισότητας τριγώνων Πως ορίζεται η ισότητα δύο ευθυγράμμων σχημάτων ; Πως ορίζεται η ισότητα τριγώνων; Τι ισχύει γι αυτά ; Ποιες πλευρές ονομάζονται ομόλογες και τι καλούμαι κριτήρια ισότητας τριγώνων ; Είδαμε ότι δύο ευθύγραμμα σχήματα, επομένως και δύο τρίγωνα, είναι ίσα αν μετά από κατάλληλη μετατόπιση ταυτίζονται. Συνεπώς: ύο ίσα τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους και τις γωνίες τους ίσες μία προς μία. Σε δύο ίσα τρίγωνα απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες γωνίες και αντίστροφα. Οι ίσες πλευρές που βρίσκονται απέναντι από ίσες γωνίες λέγονται αντίστοιχες ή ομόλογες. Οι προτάσεις, που θα μας εξασφαλίζουν την ισότητα δύο τριγώνων από την ισότητα τριών μόνο κατάλληλων στοιχείων τους αποτελούν τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ιατυπώστε και αποδείξτε το ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων. Θεώρημα (ο Κριτήριο ΠΠ ): ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι ίσα. πόδειξη ς υποθέσουμε ότι τα τρίγωνα και ''' έχουν = '', = '' και A= A. Μετατοπίζουμε το τρίγωνο ''', ώστε το σημείο ' να ταυτιστεί με το και η ημιευθεία '' να ταυτιστεί με την. Επειδή A= A και η ημιευθεία '' θα ταυτισθεί με την. Τότε, αφού = '' και = '', το σημείο ' ταυτίζεται με το και το ' με το. Επομένως τα δύο τρίγωνα συμπίπτουν, άρα είναι ίσα. ποδείξτε ότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο: Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες. Η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος. Έστω ισοσκελές τρίγωνο (με =). Φέρουμε τη διχοτόμο του. Τα τρίγωνα και έχουν =, κοινή και A = A 2 (ΠΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε B =. 49

πό την ίδια ισότητα τριγώνων προκύπτει ότι =, οπότε η είναι διάμεσος και = 2. πό την τελευταία ισότητα και επειδή + 2 = 80 προκύπτει ότι = 2 = 90, οπότε συμπεραίνουμε ότι το είναι ύψος του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι οι γωνίες ισόπλευρου τριγώνου είναι ίσες. φού το τρίγωνο είναι ισόπλευρο άρα όλες οι πλευρές του είναι ίσες άρα = άρα οι γωνίες = αφού όμως είναι ισόπλευρο άρα όμοια = άρα οι γωνίες = άρα ==. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Έστω ε η μεσοκάθετος ενός τμήματος και Μ ένα σημείο της. Τα τρίγωνα ΜΚ και ΜΚ έχουν Κ=Κ, ΜΚ κοινή και Κ = Κ 2 = 90 (ΠΠ), επομένως είναι ίσα, οπότε Μ= Μ. Να αποδείξετε ότι αν δύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, τότε και οι χορδές τους είναι ίσες. Έστω και δύο ίσα τόξα ενός κύκλου (Ο,ρ). Τότε είναι Ô = Ô. Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν Ο = Ο(= ρ), Ο = Ο(= ρ) και Ô = Ô. επομένως είναι ίσα, οπότε και τα τόξα =. ίνεται ευθύγραμμο τμήμα, η μεσοκάθετός του ε και σημείο Μ της ε. Στις προεκτάσεις των Μ και Μ προς το Μ παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία,, ώστε Μ = Μ. Να αποδείξετε ότι: (i) MB = MA και (ii) =. Επειδή το Μ είναι σημείο της μεσοκαθέτου ε του είναι Μ= Μ, επομένως το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές, οπότε MB = MA. 50

Τα τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ = Μ, Μ = Μ (υπόθεση) και Μ = Μ 2 (κατακορυφήν), άρα (ΠΠ) είναι ίσα, οπότε =. Ποια είναι η βασική μέθοδος για την απόδειξη της ισότητας τμημάτων ή γωνιών. H ισότητα τριγώνων είναι η βασική μέθοδος για την απόδειξη της ισότητας τμημάτων ή γωνιών. 5

σκήσεις Eμπέδωσης. Στις προεκτάσεις των πλευρών, ενός τριγώνου θεωρούμε τμήματα = και Ε = αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι Ε =. Ε ˆ ˆ A 2 2 τρ. Ε = τρ. Άρα Ε = 2. Σε ισόπλευρο τρίγωνο προεκτείνουμε τις πλευρές,, και στις προεκτάσεις τους θεωρούμε τμήματα Κ = Λ = Μ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΜΚ, ΚΛ Μ ˆ ˆ ˆ ˆ Μ = Κ Κ = Λ σαν αθροίσματα ίσων Κ Λ ( Π Π ) τρ. ΜΚ = τρ. ΚΛ Άρα ΜΚ = ΚΛ Ομοίως ΚΛ = ΛΜ 3. Να αποδείξετε ότι στις ίσες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα Μ, ΕΛ. Ε M Λ τρ. = τρ.εζ ˆ ˆ, μισά ίσων Ζ (Π Π) τρ. Μ = τρ ΕΛ Μ = Λ 4. Έστω τρίγωνο και η διχοτόμος της ˆ στην οποία θεωρούμε τμήμα Ε = και τμήμα Ζ =. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ 52

2 Ε Ζ Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα Ζ, Ε ˆ ˆ 2 Άρα ˆ ˆ (Π -Π) τρ.ζ = τρ.ε 53

ποδεικτικές σκήσεις. Έστω τρίγωνο και Κ σημείο εξωτερικό του τριγώνου. ν στις προεκτάσεις των Κ, Κ, Κ θεωρήσουμε τμήματα Κ = Κ, ΚΕ = Κ, ΚΖ = Κ, να αποδείξετε ότι ˆ ˆ. 2 ˆ ˆ 2 (Π Π) τρ.κ = τρ.κε Ζ Κ Άρα ˆ ˆ 2 Ε ˆ ˆ 2 () Ομοίως (2) 2 2 () + (2) ˆ ˆ 2. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο. Στις προεκτάσεις των ίσων πλευρών του, θεωρούμε ίσα τμήματα, Ε αντίστοιχα. ν Μ το μέσο της βάσης, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές. ρκεί να δειχθεί ότι Μ = ΜΕ ή Ε αρκεί να δειχθεί ότι τρ. Μ = τρ. ΜΕ B A Μ Έχουν Μ = Μ ˆ ˆ προσκείμενες στη βάση ισοσκελούς = Ε αθροίσματα ίσων 3. ίνεται κύκλος Ο και χορδή του. Προεκτείνουμε την και προς τα δύο της άκρα, κατά ίσα τμήματα και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ˆ. ˆ ρκεί να δειχθεί ότι τρ.ο = τρ.ο Έχουν Ο Ο =Ο ακτίνες = υπόθεση ˆ ˆ παραπληρωματικές των 2 2 2 2 54

2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων ιατυπώστε και αποδείξτε το 2ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων. Θεώρημα (2ο Κριτήριο ΠΠ ) : ν δύο τρίγωνα έχουν μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. πόδειξη Έστω ότι τα τρίγωνα και ''') έχουν = '', B= B' και = '. Θα αποδείξουμε ότι έχουν και = ''. Έστω ότι AB '', π.χ. > ''. Τότε υπάρχει σημείο στην, ώστε να είναι = ''. Τα τρίγωνα και ''' έχουν = '', = '' και B= B', επομένως (ΠΠ) είναι ίσα, οπότε = '. λλά ' =, οπότε = που είναι άτοπο, γιατί το είναι εσωτερικό σημείο της γωνίας και επομένως <. Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι '', άρα =''. Τα τρίγωνα, λοιπόν, και '' έχουν = '', = '' και B = B', άρα (ΠΠ) είναι ίσα. 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων ιατυπώστε και αποδείξτε το 3ο Κριτήριο ισότητας τριγώνων. Θεώρημα (3ο Κριτήριο ΠΠΠ ): ν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. πόδειξη Θεωρούμε τα τρίγωνα και ''' με = '', = '', = '' (σχ.7). ρκεί να αποδείξουμε ότι A= A. Υποθέτουμε ότι τα τρίγωνα είναι οξυγώνια. Θεωρούμε την ημιευθεία x, ώστε Bx = B' και σημείο της, ώστε = ''. Τα τρίγωνα και ''' είναι ίσα, γιατί έχουν = '', = '' και B= B'. πό την ισότητα αυτή προκύπτει ότι = '' και = A. Επειδή = '' και '' =, το τρίγωνο είναι ισοσκελές, οπότε A = (). Επίσης, αφού = '' και '' =, προκύπτει ότι A 2 = 2 (2). Επειδή τα τρίγωνα είναι οξυγώνια το τμήμα βρίσκεται στο εσωτερικό των 55

γωνιών A και, οπότε με πρόσθεση των () και (2) προκύπτει ότι A=. Επειδή = A, έχουμε A= A, που είναι το ζητούμενο. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχεί στη βάση του, είναι διχοτόμος και ύψος. Έστω ισοσκελές τρίγωνο με = και η διάμεσός του.τα τρίγωνα και έχουν =, κοινή και =, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα, οπότε A = A 2, και = 2. πό τις ισότητες αυτές προκύπτει αντίστοιχα ότι η είναι διχοτόμος και ύψος. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο πού ισαπέχει από τα άκρα ενός τμήματος ανήκει στη μεσοκάθετό του. Έστω ευθύγραμμο τμήμα, Μ ένα σημείο, ώστε Μ = Μ και Κ το μέσο του. Τότε το τρίγωνο Μ είναι ισοσκελές και η ΜΚ διάμεσός του, οπότε σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα, η ΜΚ θα είναι και ύψος δηλαδή η ΜΚ είναι μεσοκάθετος του. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος. Να αποδείξετε ότι αν οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου, μικρότερων του ημικυκλίου, είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα και ότι οι χορδές δύο τόξων ενός κύκλου μεγαλύτερων του ημικυκλίου είναι ίσες, τότε και τα τόξα είναι ίσα. 56

Έστω δύο τόξα και ενός κύκλου (Ο,ρ) μικρότερα του ημικυκλίου, με =. Τότε τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν: Ο= Ο (= ρ), Ο = Ο (= ρ) και =, άρα (ΠΠΠ) είναι ίσα. Επομένως, Ο = Ο, οπότε =. φού τα τόξα = τότε και τα τόξα είναι ίσα αφού βρίσκονται στον ίδιο κύκλο ως διαφορές ίσων τόξων. Να διατυπώσετε όλες τις περιπτώσεις ισότητας τριγώνων. ύο τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν: δύο πλευρές ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες (ΠΠ), μια πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία (Π), και τις τρεις πλευρές ίσες μία προς μία (ΠΠΠ). Θεωρούμε γωνία xôy και δύο κύκλους (Ο,ρ), (Ο,R) με ρ<κ ). ν ο πρώτος κύκλος τέμνει τις πλευρές Οx, Oy στα,, ο δεύτερος στα, και Μ είναι το σημείο τομής των,, να αποδειχθεί ότι: (i) τα τρίγωνα Ο και Ο είναι ίσα, (ii) τα τρίγωνα Μ και Μ είναι ίσα, (iii) τα τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ είναι ίσα, (iv) η OM είναι η διχοτόμος της xôy. πόδειξη (i) Τα τρίγωνα Ο και Ο έχουν Ο = Ο (= ρ), Ο = Ο(= R) και Ο κοινή (ΠΠ),επομένως είναι ίσα. (ii) πό την προηγούμενη ισότητα προκύπτει ότι = ή 80-2 = 80-2 ή 2 = 2 και = Επομένως, τα τρίγωνα Μ και Μ έχουν =, 2 = 2 και = (Π), άρα είναι ίσα. (iii)πό το (ii) προκύπτει ότι Μ=Μ, οπότε τα τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ έχουν Ο = Ο, Μ = Μ και ΟΜ κοινή (ΠΠΠ), άρα είναι ίσα. (iv) Επειδή τα τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ είναι ίσα, έχουμε ότι Ô = Ô 2, δηλαδή η ΟΜ είναι η διχοτόμος της xôy. ύο τρίγωνα και ''' έχουν β = β', γ = γ' και μ β = μ β '. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. πόδειξη Εξετάζουμε πρώτα τα τρίγωνα Μ και ''Μ'.υτά έχουν = '', Μ= 'Μ' (από την υπόθεση) και Μ ='Μ', ως μισά των ίσων πλευρών και ''. 57

Άρα, τα τρίγωνα Μ και ''Μ' είναι ίσα (ΠΠΠ), οπότε = '. Επομένως, τα τρίγωνα και ' '' έχουν β = β', γ = γ' και =', άρα (ΠΠ) είναι ίσα. 58

Ερωτήσεις κατανόησης. Χαρακτηρίστε ως σωστή ( Σ ) ή λάθος ( Λ ) κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις i) Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν μία γωνία του είναι οξεία Σ Λ ii) Ένα τρίγωνο είναι σκαληνό όταν δύο πλευρές του είναι άνισες Σ Λ 2. ιατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων i) ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους ίσες μία προς μία και τις περιεχόμενες από αυτές γωνίες ίσες τότε τα τρίγωνα είναι ίσα ii) ν δύο τρίγωνα έχουν μία πλευρά και τις προσκείμενες σε αυτή γωνίες ίσες μία προς μία τότε τα τρίγωνα είναι ίσα iii) ν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ίσες μία προς μία τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 3. Συμπληρώστε τα κενά i) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής του είναι διάμεσος και ύψος ii) Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διάμεσος στην βάση του είναι διχοτόμος και ύψος iii) Ένα σημείο Μ βρίσκεται στην μεσοκάθετο ενός τμήματος όταν Μ = Μ iν) ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες. 59

Ε ' σκήσεις Eμπέδωσης. ύο τρίγωνα και έχουν β = β, γ = γ και Aˆ A ˆ. ν Ι είναι το σημείο τομής των διχοτόμων και Ε του τριγώνου και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων και Έ του, να αποδείξτε ότι: i) = και Ε = Έ ii) Ι = Ί και Ι = Ί Ε Ι Ι i) ( Π Π ) τρ. = τρ. ˆ ˆ ' ( Π ) τρ. = τρ. = ( Π ) τρ. = τρ. = ii) ( Π ) τρ. Ι = τρ. Ι Ι = Ι και Ι = Ί. ' 2. ύο τρίγωνα και έχουν β = β, Aˆ A ˆ και. Να αποδείξτε ότι: i) ˆ ˆ ii) α = α και γ = γ. ' Μ ' i) ( Π Π ) τρ. = τρ. ˆ ˆ ii) ( Π ) τρ. = τρ. α = α και γ = γ. 3.Σε τρίγωνο προεκτείνουμε τη διάμεσο Μ κατά ίσο τμήμα Μ. Να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα. ' Φέρνουμε τις,. ( Π Π ) τρ Μ = τρ. Μ = ( Π Π ) τρ Μ = τρ. Μ = ( Π Π Π ) τρ = τρ. 60

ποδεικτικές σκήσεις. Να αποδείξτε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών της βάσης ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Ε Έστω το ισοσκελές τρίγωνο και, Ε οι διχοτόμοι. Επειδή ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 ( Π ) τρ. = τρ. Ε = Ε 2. ν,, είναι τρεις διάμετροι κύκλου, να αποδείξτε ότι τα τρίγωνα, είναι ίσα. Ο ( Π Π Π ) τρ. Ο = τρ. Ο = Ομοίως = και = Ά Άρα τρ. = τρ. 3. Σε ένα κυρτό τετράπλευρο είναι = και ˆ ˆ. Να αποδείξτε ότι ˆ ˆ. Φέρνουμε τις διαγώνιες, για να ι σχηματισθούν τρίγωνα. ( Π Π ) τρ. = τρ. = B ( Π Π Π ) τρ. = τρ. ˆ ˆ 6

Σύνθετα θέματα. Θεωρούμε δύο ίσα τρίγωνα και. Η διάμεσος Μ και η διχοτόμος του τέμνονται στο Θ, ενώ η αντίστοιχη διάμεσος Μ και η αντίστοιχη διχοτόμος του τέμνονται στο Θ. Να αποδείξετε ότι i) = ii) BAM ˆ BAˆ M iii) Τα τρίγωνα Θ και Θ είναι ίσα iv) Θ = Θ και Θ = Θ. A ' Θ Θ ' ' Μ Μ' τρ. = τρ. Aˆ, ˆ ˆ ˆ, = κ.λ.π. ˆ ˆ σαν μισές ίσων i) ( Π ) τρ. = τρ. = και = ii) ( Π Π ) τρ. Μ = τρ. Μ A ˆ ˆ iii) ( Π ) τρ. Θ = τρ. Θ iv) πό iii) Θ = Θ και Θ = Θ αλλά από (i) έχουμε = αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε Θ = Θ. 2. ύο τμήματα και, που δεν έχουν τον ίδιο φορέα, έχουν την ίδια μεσοκάθετο ε. ν η ε και η μεσοκάθετος του τέμνονται, να αποδείξετε ότι από το σημείο τομής τους διέρχεται και η μεσοκάθετος του Έστω Ο το σημείο τομής της μεσοκαθέτου ε των, με τη μεσοκάθετο του. Φέρνουμε τα Ο, Ο, Ο και Ο. Τότε Ο Άρα Ο = Ο ηλαδή το Ο ισαπέχει από τα, άρα ανήκει στη μεσοκάθετο του, δηλαδή η μεσοκάθετος του διέρχεται από το Ο. 62

3. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ). Η μεσοκάθετος της πλευράς τέμνει την προέκταση της στο. Προεκτείνουμε τη κατά τμήμα Ε =. Να αποδείξετε ότι: i) το τρίγωνο είναι ισοσκελές ii) το τρίγωνο Ε είναι επίσης ισοσκελές. φ E φ φ i) ανήκει στη μεσοκάθετο του = Άρα τρ. ισοσκελές ii) πό τα ισοσκελή και προκύπτουν οι γωνίες φ του σχήματος. ια να έχουμε τρ. Ε ισοσκελές, δηλαδή = Ε, αρκεί να είναι = Ε. Προς τούτο, αρκεί τρ. = τρ. Ε, το οποίο συμβαίνει διότι: =, B = AE και περιεχόμενες γωνίες ίσες, σαν παραπληρωματικές των φ. 63

Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου Να αποδείξετε ότι από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική κάθετος στην ευθεία. Έστω ευθεία x'x, σημείο εκτός αυτής και σημείο Μ της x'x. ν η Μ είναι κάθετη στην x'x, τότε το θεώρημα ισχύει ως προς την ύπαρξη της καθέτου. Έστω ότι η Μ δεν είναι κάθετη στην x'x. Στο ημιεπίπεδο που ορίζει η x'x και δεν περιέχει το θεωρούμε την ημιευθεία Μy ώστε να είναι xμy = AM x και πάνω σε αυτή σημείο, ώστε Μ = Μ. Επειδή τα σημεία, είναι εκατέρωθεν της x'x, η x'x τέμνει την σε ένα εσωτερικό σημείο, έστω Κ. φού Μ = Μ και Μ = Μ 2, η ΜΚ είναι διχοτόμος στο ισοσκελές τρίγωνο Μ, άρα είναι και ύψος και επομένως x'x. Έστω ότι υπάρχει και άλλη ευθεία Λ κάθετη στην x'x. Τότε τα τρίγωνα ΜΛ και ΜΛ είναι ίσα, γιατί έχουν ΜΛ κοινή, Μ = Μ και Μ = Μ 2, οπότε θα είναι και Λ = Λ 2. Όμως Λ = 90, άρα και Λ 2 = 90, οπότε Λ + Λ 2 = 80 το οποίο σημαίνει ότι τα σημεία,λ, είναι συνευθειακά, δηλαδή η Λ ταυτίζεται με την Κ, που είναι άτοπο. Κριτήρια ισότητας ορθογώνιων τριγώνων Ποια κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων προκύπτουν άμεσα από τα κριτήρια ισότητας τριγώνων; Επειδή δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση, την ορθή, από το ο (ΠΠ) και 2ο (Π) κριτήριο ισότητας τυχαίων τριγώνων προκύπτει άμεσα ότι: ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία, είναι ίσα. ύο ορθογώνια τρίγωνα, που έχουν μια κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία ίσες μία προς μία, είναι ίσα. 64

Να αποδείξετε ότι αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Έστω δύο τρίγωνα και ''' με A = A'=90, = '' και B = B'. Θα αποδείξουμε ότι είναι και = ''. Έστω ότι '', π.χ. > ''. Τότε στην πλευρά υπάρχει σημείο, ώστε = ''. Τα τρίγωνα και ''' έχουν = '', = '' και = ', επομένως είναι ίσα, οπότε θα είναι = ' = 90, δηλαδή. Έτσι έχουμε Λ και που είναι άτοπο (μοναδικότητα καθέτου). Οδηγηθήκαμε σε άτοπο γιατί υποθέσαμε ότι ''. Άρα = '', οπότε τα τρίγωνα και ''' είναι ίσα, γιατί έχουν = '', = '' και = ' (ΠΠ). Να αποδείξετε ότι αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν την υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά αντίστοιχα ίσες μία προς μία, τότε είναι ίσα. Έστω δύο τρίγωνα και ''' με A = A' = 90, = '' και = ''. Θα αποδείξουμε ότι και B = B'. Στις προεκτάσεις των και '' θεωρούμε αντίστοιχα τα σημεία και ', ώστε να είναι = και '' = ''. Τότε η είναι μεσοκάθετος του και η '' μεσοκάθετος του ''. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι = και '' = ''. πό τις τελευταίες ισότητες και την = '' προκύπτει ότι = ''. Έτσι τα τρίγωνα και ''' έχουν = '', = '' και = '' (ως διπλάσια των ίσων τμημάτων και ''), επομένως είναι ίσα, οπότε B = B'. Τότε και τα αρχικά τρίγωνα είναι ίσα (ΠΠ). 65

Να αποδείξετε ότι το ύψος ισοσκελούς τριγώνου που αντιστοιχεί στη βάση είναι διάμεσος και διχοτόμος της γωνίας της κορυφής. Συγκρίνω τα και τρίγωνα αυτά έχουν : = (από υπόθεση αφού τρίγωνο ισοσκελές) = (κοινή πλευρά) = 2 =90 ο (αφού ύψος από υπόθεση) Άρα από κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων ς τα τρίγωνα είναι ίσα (αφού έχουν δύο πλευρές ίσες μία προς μια ) άρα = άρα μέσο του άρα διάμεσος και αφού πάλι από την ισότητα τριγώνων = 2 άρα διχοτόμος της γωνίας. Να αποδείξετε ότι η κάθετος που φέρεται από το κέντρο ενός κύκλου προς μια χορδή του διχοτομεί τη χορδή και το αντίστοιχο τόξο της. ς θεωρήσουμε έναν κύκλο (Ο,ρ), μια χορδή του και την κάθετη ΟΚ της, που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Μ. Επειδή το τμήμα ΟΚ είναι ύψος στο ισοσκελές τρίγωνο Ο (Ο= Ο = ρ), σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα είναι διάμεσος και διχοτόμος, δηλαδή το Κ είναι μέσο του και Ô = Ô 2. φού Ô = Ô 2 προκύπτει ότι Μ = Μ. Να διατυπώσετε όλες τις περιπτώσεις ισότητας ορθογωνίων τριγώνων. Όλες οι περιπτώσεις ισότητας ορθογώνιων τριγώνων διατυπώνονται συνοπτικά ως εξής: ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα, όταν έχουν: ύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Μία πλευρά και την προσκείμενη σε αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία. Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. Ορθό. 'Εστω οι ίσες χορδές και ενός κύκλου (Ο,ρ) και ΟΚ, ΟΛ τα αποστήματά τους αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΚΟ και ΛΟ, έχουν Κ = Λ = 90, Ο = Ο (= ρ) και Κ = Λ (αφού = ). Επομένως είναι ίσα, οπότε ΟΚ = ΟΛ. 66

ντίστροφα. Έστω ότι τα αποστήματα ΟΚ και ΟΛ είναι ίσα. Τότε τα τρίγωνα ΚΟ και ΛΟ έχουν Κ = Λ = 90, Ο = Ο και ΟΚ = ΟΛ, επομένως είναι ίσα, οπότε AK = Λ ή AB2 = 2 ή =. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα κάθε εσωτερικό σημείο της γωνίας που ισαπέχει από τις πλευρές είναι σημείο της διχοτόμου. Ορθό. Έστω μια γωνία xôy και Μ ένα σημείο της διχοτόμου της Οδ. Φέρουμε MA Ox και MB Oy. Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ είναι ίσα γιατί έχουνa = B = 90, ΟΜ κοινή και ΜÔ = ΜÔ, επομένως Μ = Μ. ντίστροφα. Έστω Μ ένα εσωτερικό σημείο της γωνίας. Φέρουμε MA Ox και MB Oy και υποθέτουμε ότι Μ = Μ. Τότε τα τρίγωνα ΟΜ και ΟΜ είναι πάλι ίσα, αφούa = B = 90, ΟΜ κοινή και Μ=Μ και επομένως ΜÔ = ΜÔ, οπότε το Μ είναι σημείο της διχοτόμου Οδ. Ποιος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας; Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της μίας γωνίας είναι η διχοτόμος της γωνίας αυτής. Έστω τρίγωνο. Στην προέκταση της πλευράς (σχ.3) παίρνουμε σημείο Ε, ώστε Ε= και στην προέκταση της παίρνουμε σημείο Ζ, ώστε Ζ=. ν το ύψος του τριγώνου και ΕΗ, ΖΘ τα κάθετα τμήματα προς την ευθεία, τότε: (i) να συγκριθούν τα τρίγωνα και ΕΗ, καθώς και τα και ΖΘ, (ii) να αποδειχθεί ότι ΕΗ = ΖΘ. 67

(i) Τα τρίγωνα και ΕΗ είναι ορθογώνια ( = Η = 90 ) και έχουν = Ε (από υπόθεση) και = 2 (κατακορυφήν). Άρα, είναι ίσα. Όμοια και τα τρίγωνα και ΖΘ είναι ίσα γιατί έχουν = Θ = 90, = Ζ και = 2. (ii) πό την ισότητα των τριγώνων και ΕΗ προκύπτει ότι ΕΗ=. Όμοια από την άλλη ισότητα των τριγώνων προκύπτει ΖΘ =. Επομένως ΕΗ = ΖΘ. Θεωρούμε δύο ίσους κύκλους με κέντρα Κ, Λ και από το μέσο Μ του ΚΛ ευθεία ε που τέμνει τους κύκλους στα σημεία, και, αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι =. Επειδή τα τμήματα και είναι χορδές ίσων κύκλων, για να είναι = αρκεί τα αποστήματά τους ΚΕ και ΛΖ, αντίστοιχα, να είναι ίσα. Τα τρίγωνα ΕΜΚ και ΖΜΛ είναι ορθογώνια (Ε = Ζ = 90 ) και έχουν ΚΜ = ΜΛ, γιατί το Μ είναι μέσο του ΚΛ και Μ = Μ 2 ως κατακορυφήν. Άρα είναι ίσα, οπότε ΚΕ = ΛΖ. 68

Ερωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σημείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σημεία της ε) τότε i) B Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα σημείο εκτός ευθείας μία κάθετος άγεται προς την ευθεία ii) Προφανώς αφού είναι σωστό το (i) iii) ιότι τα ευθύγραμμα τμήματα και ταυτίζονται 2.Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ), σημείο της βάσης του και οι προτάσεις π : Το είναι ύψος του τριγώνου π 2 :Το είναι διάμεσος του τριγώνου π 3 : Το είναι διχοτόμος του τριγώνου ν για το ισχύει μία από τις προτάσεις π, π 2, π 3 ισχύουν οι άλλες δύο; Ναι 3. ιατυπώστε τις ανακεφαλαιωτικές περιπτώσεις ισότητας ορθογωνίων τριγώνων i) ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν δύο ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία ii) ύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα όταν έχουν μία πλευρά και την προσκείμενη σ αυτή οξεία γωνία αντίστοιχα ίσες μία προς μία 4. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε σχεδιάσει οκτώ ορθογώνια τρίγωνα. Καθένα από αυτά είναι ίσο με ένα από τα υπόλοιπα. Να βρείτε τα ζεύγη των ίσων τριγώνων και να αναφέρετε τον λόγο για τον οποίο είναι ίσα A B 4 3 59 o 3 4 3 30 o 5 5 5 3 3 Ε Ζ 30 o 5 59 o 3 Θ Η 69

i) Το είναι ίσο με το διότι έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία ii) Το είναι ίσο με το Ζ διότι έχουν μία κάθετη πλευρά και την προσκείμενη σ αυτή οξεία γωνία ίσες iii) Το είναι ίσο με το Θ διότι έχουν την υποτείνουσα και μία προσκείμενη σ αυτή οξεία γωνία ίσες. iν) Το Ε είναι ίσο με το Η διότι έχουν τις υποτείνουσες και μία κάθετη πλευρά μία προς μία ίσες 5. Συμπληρώστε τα κενά στην επόμενη πρόταση: Ο φορέας του αποστήματος μίας χορδής είναι μεσοκάθετος της χορδής διχοτομεί το αντίστοιχο στην χορδή τόξο. και 6. ν, είναι χορδές ενός κύκλου ( Κ ) και ΚΕ, ΚΖ είναι τα αντίστοιχα αποστήματα τους τότε α. = ΚΕ = 2 ΚΖ β. = ΚΕ > ΚΖ γ = ΚΕ = ΚΖ δ. = 2 ΚΕ = 3 ΚΖ ε. = ΚΕ < ΚΖ κυκλώστε την σωστή απάντηση και δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ) διότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματα τους είναι ίσα 7. Ποια είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα των σημείων της διχοτόμου μίας γωνίας ; Ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας 8. ύο ορθογώνια τρίγωνα που έχουν δύο πλευρές τους ίσες είναι πάντοτε ίσα ; αιτιολογήστε την απάντηση σας. Όχι, θα πρέπει οι πλευρές να είναι ομόλογες 70

σκήσεις Εμπέδωσης. Να αποδείξετε ότι τα ύψη ισοσκελούς τριγώνου, που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του, είναι ίσα. Ε A Έστω = και, Ε τα ύψη. τρ. = τρ.ε διότι είναι ορθογώνια, έχουν = και ˆ κοινή. Άρα = Ε B 2. Να αποδείξετε ότι τα μέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν: i) από τη βάση ii) από τις ίσες πλευρές i) A Έστω =, και Ε τα μέσα και Κ, ΕΛ οι αποστάσεις B K Ε Λ τρ. Κ = τρ. ΕΛ διότι ˆ ˆ, ορθογώνια και = Ε σαν μισά ίσων ii) Θ A Ι Ε Έστω Ι, ΕΘ οι αποστάσεις των μέσων τρ. Ι = τρ. ΘΕ διότι ˆ κοινή, ορθογώνια και = Ε σαν μισά ίσων B 3. Να αποδείξετε ότι τα άκρα ενός τμήματος ισαπέχουν από κάθε ευθεία που διέρχεται από το μέσο του. Έστω το τμήμα με μέσο Μ, ε η ευθεία και Κ, Λ οι αποστάσεις των, από ε Μ Λ την ε. Κ τρ. ΜΚ = τρ. ΜΛ Κ = Λ 4. ν δύο τρίγωνα είναι ίσα, να αποδείξετε ότι και τα ύψη τους, που αντιστοιχούν στα ίσες πλευρές, είναι ίσα. 7

A A' Έστω και αντίστοιχα ύψη. B ' ' τρ. = τρ. διότι είναι ορθογώνια με ˆ ˆ και =. Άρα = 72

2 Μ Ε ποδεικτικές ασκήσεις. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Μ το μέσο της βάσης του. Να αποδείξετε ότι: i) το Μ ισαπέχει από τις ίσες πλευρές του τριγώνου ii) η Μ είναι διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι αποστάσεις του Μ από τις ίσες πλευρές μεταξύ τους. ' Μ, ΜΕ οι αποστάσεις i) τρ. Μ = τρ. ΕΜ διότι είναι ορθογώνια, Μ κοινή και ˆ ˆ 2 αφού η διάμεσος Μ είναι και διχοτόμος. Άρα Μ = ΜΕ ii) τρ. Μ = τρ. ΕΜ ˆ ˆ Άρα Μ διχοτόμος της ˆ. 2. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο τρίγωνα και είναι, υ α και τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Ε 2 2 Μ ' ' Μ' τρ. Μ = τρ. Μ αφού είναι ορθογώνια με ίση υποτείνουσα και ίση μία κάθετη πλευρά ˆ ˆ άρα και ˆ ˆ σαν παραπληρώματά τους 2 2 ( Π Π ) τρ. Μ = τρ. Μ ˆ ˆ και = ( Π Π ) τρ. = 3. Να αποδείξετε ότι αν σε δύο οξυγώνια τρίγωνα και είναι, υ και τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. β Ε ' ' ' ' τρ. Ε = τρ. Ε διότι είναι ορθογώνια με = και Ε = Έ Άρα ˆ ˆ τρ. = τρ. ομοίως. Άρα ˆ ˆ ( Π ) τρ. = τρ. 73

4.ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ ) και η διχοτόμος του. πό το φέρουμε Ε, που τέμνει την στο Ζ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Ζ είναι ισοσκελές. τρ. = τρ. Ε διότι ορθογώνια, κοινή και ˆ ˆ. 2 Άρα = Ε και = Ε () Ζ 2 Ε 2 τρ. Ζ = τρ. Ε διότι ορθογώνια, = Ε και ˆ ˆ 2 Άρα Ζ = Ε (2) () + (2) Ζ = τρ. Ζ ισοσκελές. 5. ίνεται κύκλος (Ο, R), οι ίσες χορδές του, και τα αποστήματά τους ΟΚ και ΟΛ αντίστοιχα. ν οι προεκτάσεις των και τέμνονται στο Μ, να αποδείξετε ότι: i) τα τρίγωνα ΜΟΚ και ΜΟΛ είναι ίσα ii) MA = M και Μ = Μ i) Ίσες χορδές ίσα αποστήματα ΟΚ = ΟΛ Άρα τρ. ΚΟΜ = τρ. ΛΟΜ Ο Κ Μ ii) πό i) MK = MΛ () αλλά Κ = Κ = Λ = Λ μισά ίσων (2) () + (2) Μ = Μ Λ () (2) Μ = Μ 74

Σύνθετα Θέματα. Θεωρούμε τρίγωνο. Η διχοτόμος της γωνίας Â τέμνει τη μεσοκάθετο της στο σημείο. Έστω Ε και Ζ οι προβολές του στις πλευρές και αντίστοιχα. i) Να συγκρίνεται τα τρίγωνα Ε και Ζ ii) Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα θεωρώντας την εξωτερική διχοτόμο της Â, η οποία τέμνει τη μεσοκάθετο της στο σημείο, με προβολές τα σημεία Ε, Ζ στις πλευρές και αντίστοιχα. iii) Nα αποδείξετε ότι EE = και ΖΖ = i) ανήκει στη μεσοκάθετο της = () ανήκει στη διχοτόμο της Â Ε = Ζ (2) x Ε Ε y Ζ y M Ζ x Eˆ Zˆ (3) (), (2), (3) τρ. Ε = τρ. Ζ ii) ανήκει στη μεσοκάθετο της = ( ) ανήκει στη διχοτόμο της Â Ε = Ζ (2 ) EˆZ ˆ (3 ) ( ), (2 ), (3 ) τρ. Ε = τρ. Ζ iii) πό i) Ε = Ζ = x τρ. Ε = τρ. Ζ διότι ορθογώνια, κοινή και διχοτόμος. Άρα Ε = Ζ + x = A x 2 x = A (4) τρ. ΈΆ = τρ. ΖΆ διότι ορθογώνια, Ά κοινή και Ά εξ. ιχοτόμος. Άρα Ε = Ζ = y πό ii) Ε = Ζ + Ε = ΖΆ + y = y 2 y = (5) (4), (5) x = y = 2 λλά ΕΕ = Ε + +Ε και = x + + y = 2 x + BA = A + = ΖΖ = Ζ Ζ = y x = 2 x = A ( ) =. 2. ν δύο ορθογώνια τρίγωνα, έχουν μία κάθετη πλευρά ίση και η περίμετρος του ενός είναι ίση με την περίμετρο του άλλου, τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. 75

' Έστω = + + = + + Ά + = + Ά () ' ' ' Προεκτείνουμε την κατά τμήμα = και την κατά τμήμα = () = και επειδή = και Aˆ A ˆ θα είναι τρ. = τρ. οπότε ˆ ˆ (2) Τρ. ισοσκελές ˆ ˆ (3) (3) λλά ˆ ˆ ˆ σαν εξωτερική του τριγώνου Ομοίως Η (2) ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ Τελικά τρ. = τρ. αφού είναι ορθογώνια με = και ˆ ˆ. 76

ασικοί γεωμετρικοί τόποι Τι καλείται γεωμετρικός τόπος και ποιους γεωμετρικούς τόπους γνωρίζετε; εωμετρικός τόπος λέγεται το σύνολο όλων των σημείων, που έχουν μια (κοινή) χαρακτηριστική ιδιότητα. Οι μέχρι τώρα γνωστοί γ.τ. είναι : ο κύκλος είναι ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία του και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να απέχουν μια ορισμένη απόσταση από ένα σταθερό σημείο. η μεσοκάθετος ενός τμήματος είναι επίσης ένας γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά έχουν την ιδιότητα να ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος. η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ένας άλλος γεωμετρικός τόπος, αφού όλα τα σημεία της και μόνον αυτά (από τα σημεία της γωνίας) ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας. Να δοθεί ένα παράδειγμα στο οποίο να παρουσιάζεται η ιδιαίτερη διαδικασία η οποία απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος γεωμετρικού τόπου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, που διέρχονται από δύο σταθερά σημεία και. Έστω Μ ένα σημείο του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου, δηλαδή το κέντρο ενός κύκλου που διέρχεται από τα, (σχ.36). Τότε Μ=Μ, ως ακτίνες του ίδιου κύκλου και επομένως το Μ ανήκει στη μεσοκάθετο ε του τμήματος. 77

ντίστροφα. Έστω Ν ένα σημείο της μεσοκαθέτου ε του. Τότε θα είναι Ν=Ν, οπότε ο κύκλος (Ν,Ν) διέρχεται και από το. Επομένως κάθε σημείο της ε είναι κέντρο κύκλου που διέρχεται από τα,. Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος ε του τμήματος. 78

Ερώτηση Κατανόησης Συμπληρώστε τα κενά στις επόμενες προτάσεις. i) Ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των ισοσκελών τριγώνων με γνωστή βάση είναι η μεσοκάθετος της βάσης ii) Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες είναι οι διχοτόμοι των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες. σκήσεις Εμπέδωσης. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών των τριγώνων, που έχουν σταθερή την πλευρά και τη διάμεσο Μ με γνωστό μήκος. μ M Έστω τυχαίο σημείο του γ.τόπου Μ = μ (δηλαδή το σημείο απέχει από το σταθερό σημείο Μ απόσταση μ) το ανήκει στον κύκλο ( Μ, μ). Άρα ο γ. τόπος της κορυφής είναι ο κύκλος (Μ, μ), εκτός από τα σημεία A, A στα οποία η 2 ευθεία τέμνει τον κύκλο, αφού τότε δεν ορίζεται τρίγωνο. 2. ίνεται κύκλος (Ο,R). ν Ν τυχαίο σημείο του κύκλου και Μ σημείο στην προέκταση της ΟΝ, ώστε ΟΝ = ΝΜ, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του Μ, όταν το Ν διαγράφει τον κύκλο. Έστω Μ τυχαίο σημείο του γ. τόπου ΝΜ = ΟΝ ΟΜ = 2 R (δηλαδή το M απέχει από το σταθερό N M σημείο O απόσταση 2 R) O το M ανήκει στον κύκλο ( O, 2R). Άρα ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι ο κύκλος (Ο, 2R). 79

Συμμετρικά σχήματα Κεντρική συμμετρία Πότε δύο σχήματα λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο ; Τι καλείται κέντρο συμμετρίας ; Τι καλείται κεντρική συμμετρία και τι θα συμβεί αν στρέψουμε ένα σχήμα Σ με κέντρο συμμετρίας Ο κατά 80 ο γύρω από το Ο ; ύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς ένα σημείο Ο,αν και μόνο αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς το Ο και αντίστροφα. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας του σχήματος, που αποτελείται από τα συμμετρικά ως προς το Ο σχήματα Σ και Σ'. ηλαδή ένα σημείο Ο λέγεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο του σχήματος το συμμετρικό του ', ως προς το Ο, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με κέντρο συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει κεντρική συμμετρία. Aν στρέψουμε ένα σχήμα Σ, με κέντρο συμμετρίας το Ο,κατά 80 ο γύρω από το Ο, θα πάρουμε ένα σχήμα που θα συμπίπτει με το αρχικό. Ποια από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα έχουν κέντρο συμμετρίας; πό τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα: Το ευθύγραμμο τμήμα έχει κέντρο συμμετρίας το μέσο του (σχ.α). Η ευθεία έχει κέντρο συμμετρίας οποιοδήποτε σημείο της (σχ.β). Ο κύκλος έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του (σχ.γ). Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ευθύγραμμου τμήματος ως προς σημείο που δεν ανήκει στο φορέα του, είναι τμήμα ίσο με αυτό. 80

πόδειξη Έστω ένα τμήμα (σχ.4), σημείο Ο που δεν ανήκει στην ευθεία και ', ' τα συμμετρικά των, ως προς το Ο αντίστοιχα. Επειδή Ο' = Ο, OB' = OB και 'Ô' =Ô, τα τρίγωνα Ο και 'Ο' είναι ίσα, οπότε '' =. ρκεί να αποδείξουμε ότι τα τμήματα και '' είναι συμμετρικά ως προς το Ο. Έστω σημείο Μ του και Μ' η τομή της ΜΟ με το ''. πό την προηγούμενη ισότητα τριγώνων έχουμε ότι = ', οπότε τα τρίγωνα ΟΜ και 'ΟΜ' είναι ίσα γιατί έχουν Ο' = Ο, = ' και Ô = Ô2. Επομένως ΟΜ' = ΟΜ, που σημαίνει ότι το Μ' είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια το συμμετρικό κάθε σημείου Μ' του '' είναι σημείο του. Άρα τα, '' είναι συμμετρικά ως προς το Ο. ξονική συμμετρία Πότε δύο σχήματα λέγονται συμμετρικά ως προς ευθεία ε ; Τι καλείται άξονας συμμετρίας ; Τι καλείται αξονική συμμετρία και τι θα συμβεί αν διπλώσουμε ένα σχήμα Σ με άξονα συμμετρίας ε κατά μήκος του άξονα ; ενικότερα δύο σχήματα Σ, Σ' λέγονται συμμετρικά ως προς την ευθεία ε, αν και μόνον αν κάθε σημείο του Σ' είναι συμμετρικό ενός σημείου του Σ ως προς την ε και αντίστροφα. Η ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας του σχήματος που αποτελείται από τα σχήματα Σ και Σ'. ηλαδή μια ευθεία ε λέγεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, όταν για κάθε σημείο του σχήματος το συμμετρικό του ', ως προς την ε, είναι επίσης σημείο του σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας λέμε ότι παρουσιάζει αξονική συμμετρία. ν ένα σχήμα έχει ως άξονα συμμετρίας μια ευθεία ε, τότε η ε χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη με τέτοιο τρόπο, ώστε, αν διπλώσουμε το φύλλο σχεδίασης κατά μήκος της ε, τα μέρη αυτά θα ταυτιστούν. 8

Ποια από τα γνωστά μας, μέχρι τώρα σχήματα έχουν άξονα συμμετρίας; πό τα γνωστά μας σχήματα Το ευθύγραμμο τμήμα έχει άξονες συμμετρίας τη μεσοκάθετό του μ και τον φορέα του ε (σχ.α). Η ευθεία x'x έχει άξονα συμμετρίας κάθε ευθεία ε x'x και την ίδια τη x'x (σχ.β). Ο κύκλος έχει άξονα συμμετρίας το φορέα δ κάθε διαμέτρου του (σχ.γ). Το ισοσκελές τρίγωνο (=) έχει άξονα συμμετρίας το φορέα μ του ύψους (σχ.δ). Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει άξονα συμμετρίας τους φορείς των τριών υψών του (σχ.ε). Έστω μια ευθεία ε και ένα τμήμα του οποίου το ένα άκρο είναι σημείο της ε. Να αποδειχθεί ότι το συμμετρικό του ως προς την ε είναι το τμήμα ' ίσο με το, όπου ' το συμμετρικό του ως προς την ε. πόδειξη Το συμμετρικό του ως προς την ε είναι το ίδιο το, αφού το είναι σημείο της ε. Επειδή η ε είναι μεσοκάθετος του ', είναι ' =. Στο ισοσκελές τρίγωνο ' η είναι ύψος και διάμεσος, άρα είναι και διχοτόμος, δηλαδή = 2. 'Εστω σημείο Μ του. Φέρουμε ΜΚ ε η οποία όταν προεκταθεί τέμνει το ' στο Μ'. Στο τρίγωνο ΜΜ' η Κ είναι ύψος και διχοτόμος (αφού = 2 ), άρα είναι και διάμεσος, δηλαδή ΚΜ' = ΚΜ, οπότε το Μ' είναι συμμετρικό του Μ. Όμοια αποδεικνύεται ότι το συμμετρικό κάθε σημείου του ' είναι σημείο του. Άρα τα, ' είναι συμμετρικά ως προς την ε. 82

σκήσεις Εμπέδωσης. Να σχεδιάσετε τους άξονες συμμετρίας των γραμμάτων:,,, Η, Τ, Χ, Ψ 2. ίνεται τρίγωνο και σημείο Ο. ν,, είναι τα συμμετρικά των,, ως προς το κέντρο Ο αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι συμμετρικά ως προς το Ο και ίσα. Ο 3. ν ˆ x A y είναι η συμμετρική της γωνίας ένα σημείο Ο, εξωτερικό της Κάθε πλευρά του τριγώνου είναι συμμετρική αντίστοιχης πλευράς του τριγώνου ως προς κέντρο συμμετρίας το Ο. Άρα τα δύο τρίγωνα είναι συμμετρικά. Είναι = σαν συμμετρικά ευθ. τμήματα. Ομοίως = και = Ά Άρα τρ. = τρ. xay ˆ, ως προς κέντρο συμμετρίας xay ˆ, τότε να αποδειχθεί ότι xaˆ y= xay ˆ. x' y' O y A x Θεωρούμε σημείο της πλευράς x και σημείο της πλευράς y. Τα συμμετρικά τους,, ως προς κέντρο συμμετρίας Ο, θα ανήκουν στις x, y αντίστοιχα. Είναι = σαν συμμετρικά ευθ. τμήματα Ομοίως = και = Ά Άρα τρ. = τρ. Οπότε ˆ ˆ 4. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό ενός τριγώνου, ως προς την ευθεία,είναι τρίγωνο ίσο με το. A = σαν συμμετρικά = ομοίως κοινή Άρα τρ. = τρ. 83

5. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος μιας γωνίας είναι άξονας συμμετρίας της. Έστω xoy ˆ η γωνία και Οδ η διχοτόμος. x A Ο Κ δ y Θεωρούμε τυχαίο σημείο της πλευράς Οx. Φέρνουμε Κ Οδ και την προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει την Οy σε σημείο. Έτσι, το ΟΚ είναι διχοτόμος και ύψος του τριγώνου Ο άρα και διάμεσος. Άρα το είναι το συμμετρικό του ως προς άξονα συμμετρίας τη διχοτόμο. 6. Έστω ε, ε δύο κάθετοι που τέμνονται στο Ο και ένα τυχαίο σημείο Μ. ν Μ είναι το συμμετρικό του Μ ως προς ε και Μ το συμμετρικό του Μ ως προς ε, τότε να αποδείξετε ότι: i) ΟΜ = ΟΜ ii) τα σημεία Μ, Ο, Μ είναι συνευθειακά. ε Μ'' Ο ε 4 3 2 Μ Μ' Oˆ i) ΟΜ = ΟΜ σαν συμμετρικά ΟΜ = ΟΜ σαν συμμετρικά Άρα ΟΜ = ΟΜ ii) O ˆ Oˆ και O ˆ Oˆ από τις 2 3 4 συμμετρίες, οπότε Oˆ + O ˆ Oˆ = O ˆ Oˆ + O ˆ Oˆ 3 4 2 2 3 3 2 = 2 Ô + 2 Ô 2 3 = 2 ( Ô + Ô 2 3 ) = 2. 90 ο = 80 ο. Άρα ΜΟΜ ευθεία 84

νισοτικές σχέσεις Σχέση εξωτερικής και απέναντι γωνίας. Να αποδείξετε ότι κάθε εξωτερική γωνία ενός τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι γωνίες του τριγώνου. Έστω τρίγωνο. Φέρουμε τη διάμεσο (σχ.47) και στην προέκτασή της, προς το, θεωρούμε σημείο Ε, ώστε Ε =. Επειδή το Ε βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας Ax έχουμε AΕ Ax = A εξ. Όμως τα τρίγωνα και Ε είναι ίσα γιατί έχουν: = Ε, = και = 2, οπότε = Ε. πό την τελευταία ισότητα και την AΕ A εξ προκύπτει ότι αποδεικνύεται ότι και A εξ > B. A εξ >. Όμοια 2. Ποια πορίσματα προκύπτουν από το παραπάνω θεώρημα ; ) Κάθε τρίγωνο έχει το πολύ μια γωνία ορθή ή αμβλεία. ) Το άθροισμα δύο γωνιών κάθε τριγώνου είναι μικρότερο των 80. νισοτικές σχέσεις πλευρών και γωνιών 3. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται όμοια άνισες γωνίες και αντίστροφα. πόδειξη Έστω τρίγωνο με β > γ (σχ.48). Τότε υπάρχει μοναδικό εσωτερικό σημείο της, ώστε =. Το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση και επομένωςb = = ω. Επειδή η είναι εσωτερική ημιευθεία της γωνίας B, είναι B > B ενώ η ως εξωτερική γωνία του τριγώνου είναι μεγαλύτερη από τη, δηλαδή >. Έτσι έχουμε B > ω και ω >, επομένως B >. ντίστροφα. Έστω τρίγωνο με B >. Τότε θα είναι και β>γ, γιατί αν ήταν β = γ ή βb = ή B αντίστοιχα, που είναι άτοπο. 85

4. Ποια πορίσματα προκύπτουν από το παραπάνω θεώρημα ; (i) ν μια γωνία ενός τριγώνου είναι ορθή ή αμβλεία, τότε η απέναντι πλευρά της είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου. (ii) ν ένα τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, τότε είναι ισοσκελές. (iii) ν ένα τρίγωνο έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, τότε είναι ισόπλευρο. Τριγωνική ανισότητα 5. Ποιος είναι ότι ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων ; Ο συντομότερος δρόμος μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία που τα συνδέει. υτό εκφράζεται από το θεώρημα της τριγωνικής ανισότητας. 6. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα της τριγωνικής ανισότητας ; Θεώρημα τριγωνικής ανισότητας : Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων και μεγαλύτερη από τη διαφορά τους. πόδειξη Έστω τρίγωνο. Θα αποδείξουμε αρχικά ότι α < β + γ (σχ.49). ι' αυτό προεκτείνουμε την πλευρά, προς το, κατά τμήμα =. Τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η εσωτερική ημιευθεία της, οπότε έχουμε αντίστοιχα = και <. πό τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι <, από την οποία σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα συμπεραίνουμε ότι < ή α < β + γ. Όμοια προκύπτει ότι β < γ + α και γ < α + β. πό τις ανισότητες αυτές, αντίστοιχα προκύπτει ότι α > β - γ, αν β γ ή α > γ - β, αν γ β, δηλαδή και στις δύο περιπτώσεις ισχύει το ζητούμενο. Επομένως: 7. Ποιο πόρισμα συνδέει την τριγωνική ανισότητα με τη διάμετρο του κύκλου Το πόρισμα που συνδέει την τριγωνική ανισότητα με τη διάμετρο του κύκλου είναι : Κάθε χορδή κύκλου είναι μικρότερη ή ίση της διαμέτρου. 86

8. ν Μ είναι ένα εσωτερικό σημείο ενός τριγώνου, να αποδειχθεί ότι: (i) Μ > ii) Μ + Μ πόδειξη (i) Έστω (σχ.50) το σημείο τομής της προέκτασης του Μ με την. Η γωνία Μ είναι εξωτερική στο τρίγωνο Μ και επομένως Μ >. λλά η είναι εξωτερική στο τρίγωνο, οπότε θα είναι >. Άρα θα είναι και Μ >. (ii) Με εφαρμογή της τριγωνικής ανισότητας στα τρίγωνα και Μ προκύπτουν αντίστοιχα οι ανισότητες Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε: Μ + Μ + Μ 9. Έστω τρίγωνο και σημείο της πλευράς. ν ισχύουν δύο από τις επόμενες προτάσεις: (i) το τμήμα είναι διάμεσος, (ii) το τμήμα είναι διχοτόμος, (iii) το τμήμα είναι ύψος, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση. πόδειξη Έστω διχοτόμος και διάμεσος του τριγώνου. Προεκτείνουμε το κατά ίσο τμήμα Ε. Τότε τα τρίγωνα και Ε είναι ίσα ( =, = Ε, = 2 ως κατακορυφήν). Άρα = Ε () και = Ε. πό την = Ε προκύπτει = Ε (2), αφού διχοτόμος, οπότε = 2 = Ε. πό τις σχέσεις () και (2) προκύπτει ότι =. ν είναι ύψος και διάμεσος ή ύψος και διχοτόμος τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι τα τρίγωνα και είναι ίσα, οπότε =. 0. ν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και τις περιεχόμενες γωνίες άνισες, τότε και οι τρίτες πλευρές θα είναι όμοια άνισες και αντίστροφα. πόδειξη ς θεωρήσουμε τα τρίγωνα και ''' με = '', = '' και > '.Θα αποδείξουμε ότι B > ''. φού > ', υπάρχει εσωτερική ημιευθεία Ax της τέτοια, ώστε x = '. Πάνω στην x θεωρούμε σημείο, ώστε = ''. Τότε τα τρίγωνα και ''' είναι ίσα (ΠΠ). Άρα, = ''. Φέρουμε κατόπιν τη διχοτόμο Ε της γωνίας, οπότε σχηματίζονται δύο ίσα τρίγωνα τα Ε και 87

Ε, άρα Ε = Ε. Στο τρίγωνο Ε, έχουμε από την τριγωνική ανισότητα ότι <Ε+Ε=Ε+Ε= άρα < άρα =< άρα < ντίστροφα. ς θεωρήσουμε ότι στα τρίγωνα και ''' είναι = '', = '' και > ''. ν ήταν =', τότε θα είχαμε ότι = '', ενώ αν ήταν ', θα είχαμε ότι '' > '.. ίνεται μια ευθεία ε, δύο σημεία, προς το ίδιο μέρος της και το συμμετρικό ' του ως προς την ε. (i) ια οποιοδήποτε σημείο Μ της ε, να αποδειχθεί ότι Μ + Μ = Μ' + Μ '. Πότε το άθροισμα Μ+Μ παίρνει τη μικρότερή του τιμή; ii) Στα σημεία,, βρίσκονται τρεις κωμοπόλεις. Κοντά σε αυτές διέρχεται σιδηροδρομική γραμμή, πάνω στην οποία πρόκειται να κατασκευασθεί σταθμός Σ. Σε ποιο σημείο πρέπει να κατασκευασθεί ο σταθμός, ώστε ο δρόμος Σ να είναι ο ελάχιστος δυνατός; πόδειξη (i) Επειδή το ' είναι συμμετρικό του ως προς την ε, η ε είναι μεσοκάθετος του ', οπότε Μ = Μ' και επομένως Σχήμα 53 Μ + Μ = Μ' + Μ (). ν το Μ δεν είναι σημείο του τμήματος ' από το τρίγωνο Μ', έχουμε Μ' + Μ > ' (2), ενώ αν το Μ είναι σημείο του '' έχουμε Μ' + Μ = ' (3). πό (), (2) και (3) προκύπτει ότι Μ + Μ = Μ' + Μ ' και ότι το Μ + Μ παίρνει τη μικρότερή του τιμή ', όταν Μ = Μ 0, όπου Μ 0 το σημείο τομής της ε με το '. (ii) Όμοια με το (i). 88

Ερωτήσεις Κατανόησης. Χαρακτηρίστε ( Σ ) σωστή ή λάθος (Λ ) κάθε μία από τις επόμενες προτάσεις i) Η εξωτερική γωνία ˆ τριγώνου είναι Σ Λ μεγαλύτερη από την ˆ ii) Η εξωτερική γωνία ˆ τριγώνου είναι Σ μικρότερη από την ˆ iii) Το άθροισμα δύο γωνιών ενός τριγώνου είναι 80 ο Σ Λ Λ iν) ν β > γ σε τρίγωνο τότε ˆ ˆ και αντίστροφα Σ Λ ν) ν β = γ σε τρίγωνο τότε ˆ ˆ και αντίστροφα Σ Λ 2.ια το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος ισχύει α. α = 7, β. α =, γ < α < 7, δ. α >7, ε. 0<α< κυκλώστε το γράμμα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντηση σας. 3 α 4 Με βάση την τριγωνική ανισότητα για την πλευρά α έχουμε 4 3< α < 4 + 3 < α < 7 3 3. Υπάρχει τρίγωνο με α = και β = ; ικαιολογήστε την απάντηση 3 5 σας. 3 4 α + β = < γ 3 5 5 άρα δεν υπάρχει τρίγωνο με τα παραπάνω στοιχεία 89

A 2 2 σκήσεις Εμπέδωσης. Στο παρακάτω σχήμα είναι ˆ ˆ 0 B. Να αποδείξετε ότι ˆB 90. Bˆ ˆ από υπόθεση () Bˆ ˆ εξωτερική του τρ. (2) 2 () + (2) 2ˆ ˆ ˆ 2 0 2ˆ 80 2 2 0 ˆ 90 2. ν σε κυρτό τετράπλευρο ισχύουν = και ˆ ˆ, να αποδείξετε ότι =. Τι συμπεραίνετε για τη ; = ˆ ˆ () υπόθεση ˆ ˆ (2) (2) () ˆ ˆ 2 2 τρ. ισοσκελές δηλαδή = Επειδή το ισαπέχει από τα, θα ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος. Ομοίως για το. Άρα η είναι μεσοκάθετος του. 3. ίνεται τρίγωνο με ˆ ˆ. i) Τι είδους γωνία είναι η ˆ ; ii) Να αποδείξετε ότι το ύψος από την κορυφή τέμνει την ευθεία σε εσωτερικό σημείο της πλευράς. i) ˆ ˆ < 80 ο 2 ˆ < 80 ο ˆ < 90 ο οξεία. ii) ˆ ˆ = Έστω το μέσο της. Τότε διάμεσος άρα και ύψος, με το να είναι εσωτερικό σημείο της, αφού είναι μέσο της. 4. ίνεται τρίγωνο και σημείο της ημιευθείας x που περιέχει το. Να αποδείξετε ότι η γωνία ˆ είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη της γωνίας ˆ, αν το σημείο βρίσκεται μεταξύ των και, ταυτίζεται με το ή 90

βρίσκεται μετά το. Όταν το βρίσκεται μεταξύ των και ˆ ˆ σαν εξωτερική και απέναντι εσωτερική του τριγώνου Όταν το ταυτίζεται με το. Είναι προφανές ότι οι γωνίες ˆ και ταυτίζονται, άρα είναι ίσες. Όταν το βρίσκεται μετά το. ˆ > ˆ σαν εξωτερική και απέναντι εσωτερική του τριγώνου ˆ 5. ν Μ σημείο της βάσης ισοσκελούς τριγώνου, να αποδείξετε ότι Μ <. M Τρ. Μ ˆ ˆ ˆ ˆ Στο τρίγωνο Μ, απέναντι μεγαλύτερης γωνίας βρίσκεται μεγαλύτερη πλευρά Άρα > Μ 6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ( ˆ = 90 ο ), η διχοτόμος της γωνίας ˆ τέμνει την πλευρά στο. Να αποδείξετε ότι <. Ε Φέρνουμε Κ Είναι = Κ () σαν αποστάσεις του σημείου της διχοτόμου από τις πλευρές της γωνίας. Τρ. Κ ορθογώνιο Κ < (2) πό τις (), (2) < 7. Έστω τρίγωνο και Ο σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου. Οι Ο και Ο τέμνουν τις και στα σημεία Λ και Μ αντίστοιχα. ν ισχύει Ο = Ο και ΟΛ = ΟΜ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές. 9

Μ 2 2 Ι O Λ 2 2 2 K 2 ( Π Π ) τρ. ΟΜ = τρ. ΟΛ Bˆ ˆ () τρ. Ο ισοσκελές Bˆ ˆ 2 2 (2) () + (2) Bˆ, ˆ άρα τρ. ισοσκελές. 8. Έστω ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Κ, Λ τα μέσα των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι, αν οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών του ˆ και ˆ τέμνονται στο σημείο, τότε το τρίγωνο ΚΛ είναι ισοσκελές. Συμπεράσματα: Κ Λ Bˆ, ˆ Bˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 Bˆ ˆ τρ. ισοσκελές με = 2 2 ( Π Π ) τρ. Κ = τρ. ΚΛ Άρα Κ = Λ 9. Θεωρούμε ισοσκελές τρίγωνο ( = ) και Ι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών ˆ, ˆ. Να αποδείξετε ότι: i) Το τρίγωνο Ι είναι ισοσκελές ii) Η Ι είναι διχοτόμος της ˆ. i) ii) ˆ ˆ τρ. I ισοσκελές με Ι = Ι 2 2 ( Π Π Π ) τρ.ι = τρ. Ι ˆ ˆ 2 Ι διχοτόμος 0. Οι κωμοπόλεις,, απέχουν από την πόλη Π αποστάσεις 7, 6 2 3 και 0 km αντίστοιχα. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την κωμόπολη και ακολουθώντας τη διαδρομή επιστρέφει στην. Ο 2 3 χιλιομετρητής του γράφει ότι για αυτή τη διαδρομή διήνυσε απόσταση 48 km. Είναι αυτό δυνατόν; 6 7 K Π 0 K 3 πό εφαρμογή έχουμε KK 2 2 K K 7 6 K K 3 2 2 Ομοίως K K 6 2 3 K K 7 3 + < 46 2 2 3 3 48 < 46 που είναι άτοπο. 92

ποδεικτικές ασκήσεις.ν σε τρίγωνο ισχύει όταν ή ; 2 2 2 Μ, να αποδείξετε ότι ˆ ˆ ˆ. Τι ισχύει 2 Έστω η διάμεσος < 2 και <. ˆ ˆ. ˆ ˆ 2 + ˆ ˆ ˆ Ομοίως, όταν όταν τότε 2 ˆ ˆ ˆ και τότε 2 ˆ ˆ ˆ 2. Έστω τρίγωνο με < και Μ το μέσο της. Να αποδείξετε ότι ˆ ˆ Τα τρίγωνα Μ, Μ έχουν δύο πλευρές ίσες ( Μ κοινή και Μ = Μ ) και τις τρίτες άνισες. Άρα ˆ ˆ 2 2 Μ 3. Έστω τρίγωνο με < και Μ το μέσο της. Να αποδείξετε ότι i) ˆ ˆ ii) 2 2 iii) 2 2 Μ i) Προεκτείνουμε τη διάμεσο Μ = κατά τμήμα Μ = Μ. (Π Π) τρ. Μ = τρ. Μ = < και ˆ ˆ () φού <, στο τρ. ˆ ˆ (2) 2 (), (2) ˆ ˆ 2 93

ii) Τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο : iii) πό ii) έχουμε Σ ομοίως και Κ Μ O 2. () 2. (2) 2. (3) () + (2) + (3) 2. 2 2 2 2. 2. 2. 2. 4. Έστω κύκλος (Ο,R) διαμέτρου και σημείο Σ της ημιευθείας Ο. ια κάθε σημείο Μ του κύκλου να αποδειχθεί ότι Σ ΣΜ Σ i) Όταν Μ και Φέρνουμε την ακτίνα ΟΜ. Μ Τριγωνική ανισότητα στο τρ. ΣΟΜ ΣΟ ΟΜ < ΣΜ < ΣΟ + ΟΜ ΣΟ Ο < ΣΜ < ΣΟ + Ο Σ < ΣΜ < Σ ii) Όταν Μ τότε Σ = ΣΜ <Σ iii) Όταν Μ τότε Σ < ΣΜ = Σ 5. Έστω τρίγωνο. ν η διχοτόμος τέμνει κάθετα τη διάμεσο αποδείξετε ότι : i) A = 2. ii) < Έστω η και Μ η τέμνονται στο Κ., που, να i) Το Κ είναι ύψος και διχοτόμος του τριγώνου Μ, άρα ισοσκελές με Μ = = 2.Μ = 2. ii) Φέρουμε τη Μ Η Κ είναι μεσοκάθετος του Μ Μ = () πό το τρ. Μ έχουμε Μ < Μ + < + < 94

6. Έστω κύκλος (Ο,R) και δύο τόξα,. ν = 2 να αποδείξετε ότι < 2 Μ Ο Έστω Μ το μέσο του τόξου. Τότε άρα και Μ = Μ = πό το τρίγωνο Μ έχουμε < Μ + Μ < 2 7. Να αποδείξετε ότι σε δύο άνισα τόξα ενός κύκλου αντιστοιχούν χορδές όμοια άνισες και αντίστροφα. (Περιορισμός: Τόξα μικρότερα των 80 ο ) Ευθύ. Ο ντίστροφο Υπόθεση > Υπόθεση > Φέρνουμε τις ακτίνες στα άκρα των τόξων. Τότε O ˆ Oˆ. 2 Τα τρίγωνα Ο, Ο έχουν δύο πλευρές ίσες και περιεχόμενη γωνία άνιση, άρα > Με τη σε άτοπο απαγωγή : Έστω ότι είναι. πό το ευθύ, θα είναι που είναι άτοπο 95

Σύνθετα Θέματα. Έστω κυρτό τετράπλευρο και Ο εσωτερικό σημείο του. i) Να αποδείξετε ότι Ο + Ο + Ο + Ο > 2 ii) ια ποια θέση του Ο το άθροισμα Ο + Ο + Ο + Ο γίνεται ελάχιστο; Κ Ο i) Τρ. Ο : Ο + Ο > Τρ. Ο : OB + O > ΤΡ. Ο : Ο + Ο > ΤΡ. Ο : Ο + Ο > Προσθέτουμε κατά μέλη 2 (Ο + Ο + Ο + Ο ) > + + + Ο + Ο + Ο + Ο > 2 ii) Όταν το Ο δεν είναι σημείο της διαγωνίου, από το τρίγωνο Ο έχουμε Ο + Ο > Όταν το Ο είναι σημείο της διαγωνίου, τότε Ο + Ο = Σε κάθε περίπτωση είναι Ο + Ο () Ομοίως Ο + Ο (2) () + (2) Ο + Ο + Ο + Ο + Η ελάχιστη, λοιπόν, τιμή του αθροίσματος Ο + Ο + Ο + Ο είναι + και αυτό συμβαίνει όταν το Ο συμπίπτει με το σημείο τομής των διαγωνίων. 2. Σε τρίγωνο ( < ) προεκτείνουμε τις πλευρές και προς το μέρος του κατά τμήματα = και Ε = αντίστοιχα. Η ευθεία Ε τέμνει την ευθεία στο σημείο Μ. Να αποδείξετε ότι : i) Το τρίγωνο ΜΕ είναι ισοσκελές ii) Η διχοτόμος της ˆ διέρχεται από το σημείο. Ε 3 2 i) ( Π Π ) τρ. Ε = τρ. Άρα E ˆ Bˆ Τρ. Ε ισοσκελές E ˆ Bˆ 2 2 Επομένως E ˆ Bˆ 3 3 Άρα τρ. ΜΕ ισοσκελές Μ 2 3 96

ii) Τα σημεία, M ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος Ε, άρα ανήκουν στη μεσοκάθετό του, δηλαδή η Μ είναι μεσοκάθετος του Ε. Λόγω, δε, του ισοσκελούς ΜΕ, θα είναι και διχοτόμος. 3. Έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων ενός κυρτού τετραπλεύρου. Να αποδείξετε ότι : i) Κάθε διαγώνιος είναι μικρότερη της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου ii) + > + και + > + iii) Το άθροισμα των διαγωνίων είναι μεγαλύτερο της ημιπεριμέτρου του τετραπλεύρου και μικρότερο της περιμέτρου του τετραπλεύρου 4 Ο Ο 3 2 x i) Tρ. : < + () Τρ. : < + (2) () + (2) 2 < 2τ < τ (3) Ομοίως < τ (4) ii) Τρ. Ο : Ο + Ο > (5) Τρ. Ο : Ο + Ο > (6) (5) + (6) + > + (7) Ομοίως + > + (8) iii) (3) + (4) + < 2 τ και (7) + (8) 2 ( + ) > 2 τ + > τ 4. Στο εσωτερικό ορθής γωνίας xoy ˆ θεωρούμε σημείο και στις πλευρές της Οx, Oy τα σημεία, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τριγώνου είναι μεγαλύτερη από 2.Ο. y το συμμετρικό του ως προς την Οx το συμμετρικό του ως προς την Οy Τότε Ο = Ο = Ο = και = Oˆ Oˆ και O ˆ Oˆ 2 3 4 αλλά O ˆ Oˆ + O ˆ Oˆ = 2 3 4 Oˆ Oˆ + O ˆ Oˆ = 2 2 3 3 2 Ô + 2 Ô = 2 3 2 ( O ˆ Oˆ ) = 2. 90 ο = 80 ο 2 3 άρα, Ο, συνευθειακά Είναι < + + Ο + Ο < + + Ο + Ο < 2 τ 2 Ο < 2 τ 97

Κάθετες και πλάγιες. Τι καλείται προβολή του σημείου ενός πάνω σε ευθεία ε (όταν δεν είναι σημείο της ε) και τι ίχνος της πλαγίου από το στην ε ; Έστω μια ευθεία ε και ένα σημείο εκτός αυτής. πό το φέρουμε προς την ε την κάθετο δ και μια πλάγια ζ. Οι ευθείες δ και ζ τέμνουν την ε στα Κ και αντίστοιχα. Το Κ, όπως είναι γνωστό, λέγεται προβολή του πάνω στην ε ή ίχνος της καθέτου δ πάνω στην ε. Το λέγεται ίχνος της ευθείας ζ ή του τμήματος πάνω στην ε. 2. Να αποδείξετε ότι : ν δύο πλάγια τμήματα είναι ίσα, τότε τα ίχνη τους ισαπέχουν από το ίχνος της καθέτου, και αντίστροφα πόδειξη Έστω και δύο ίσα πλάγια τμήματα και Κ το κάθετο τμήμα. To τρίγωνο είναι ισοσκελές και το Κ ύψος του, επομένως θα είναι και διάμεσος, δηλαδή Κ = Κ. ντίστροφα. Έστω ότι Κ = Κ. Στο τρίγωνο το Κ είναι ύψος και διάμεσος, άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές δηλαδή =. 3. Να αποδείξετε ότι : ν από ένα σημείο εκτός ευθείας φέρουμε το κάθετο και δύο πλάγια ευθύγραμμα τμήματα τότε: (i) Το κάθετο τμήμα είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο. (ii) ν δύο πλάγια τμήματα είναι άνισα, τότε και οι αποστάσεις των ιχνών τους από το ίχνος της καθέτου είναι ομοιοτρόπως άνισες και αντίστροφα. πόδειξη (i) Στο ορθογώνιο τρίγωνο Κ, η γωνία Κ είναι η μεγαλύτερη ως ορθή. Επομένως η πλευρά είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου και, άρα, > Κ. (ii) Έστω ευθεία ε και σημείο εκτός αυτής. Θεωρούμε την κάθετο Κ στην ε και δύο πλάγια τμήματα,, όπου, σημεία της ε. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι και τα δύο ίχνη, των πλάγιων τμημάτων ανήκουν στην ίδια ημιευθεία που ορίζει το σημείο Κ. 98