ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου Β. Το σύνολο Α λέγεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης και περιέχει τις δυνατές τιμές που μπορούμε να δώσουμε στη μεταβλητή. (το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης το συμβολίζουμε συνήθως όλες τις τιμές της ( ). Το σύνολο Β λέγεται σύνολο τιμών της και περιέχει ή για τα αντίστοιχα ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P( Q ( ( Q( ( v P( P ( ) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : i. ( ii. ( iii. ( iv. ( v. 5 ( vi. ( vii. ( i. Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα ii. Πρέπει :. Άρα &. Άρα, iii. Πρέπει : iv. Πρέπει :. Άρα (,] v. Πρέπει : και. Άρα [,) (, ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ vi. Πρέπει : [, ]. Άρα [, ] vii. Πρέπει : () και () Έχω - + - + - Άρα επειδή θέλω [, ] () Από () & () [,) (, ]. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,, με, ισχύει : ( ) ( (Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία ) ( ) ) ( Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,, με, ισχύει : ( ) ( (Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία ( ) ( ). Να βρείτε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων : i. ( 4 7 ii. ( 4 7 i. ( 4 7, Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα Έστω, τότε έχουμε : 4 4 4 7 4 7 ( ) ( άρα η ( είναι γνησίως αύξουσα στο ii. ( 4 7, Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα Έστω, με, τότε έχουμε : 4 4 4 7 4 7 ( ) ( άρα η ( είναι γνησίως φθίνουσα στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) μέγιστο όταν : ( ) για κάθε ( Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο (ολικό) ελάχιστο όταν : ( ) για κάθε (. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να δείξετε ότι : i. Η συνάρτηση ( παρουσιάζει ελάχιστο για ii. Η συνάρτηση ( παρουσιάζει μέγιστο για i. ( Δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα ii. Για να παρουσιάζει η ( ελάχιστο για, αρκεί να αποδείξουμε ότι ( () για κάθε. Έχω : ( () 9 8 9 ( ) που ισχύει. (, πρέπει που ισχύει για κάθε. Άρα δεν υπάρχει κάποιος περιορισμός για το άρα Για να παρουσιάζει η ( μέγιστο για, αρκεί να αποδείξουμε ότι ( () για κάθε. Έχω : ( () ( ) που ισχύει. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια, όταν για κάθε ισχύει : και ( (. Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y. Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται περιττή, όταν για κάθε ισχύει : και ( (. Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.. (Άσκηση 4 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες είναι περιττές. 4 i. ( ii. ( iii. ( 5 5 iv. 4( v. 5 ( vi. ( i., για κάθε είναι και 4 4 ( ( 5( 5 ( για κάθε. Άρα η είναι άρτια. ii. iii. iv., για κάθε είναι και ( ( για κάθε. Άρα η είναι άρτια., για κάθε είναι και ( ( ) δεν βγαίνει ούτε ( ούτε (. Άρα η δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. 4, για κάθε είναι και 4 4 5 5 5 4( ( ( ( ) 4( για κάθε. Άρα η 4 είναι περιττή. v. Πρέπει, για κάθε 5 είναι και 5. 5 ( Επίσης : 5 ( δεν βγαίνει ότι ούτε ( ούτε (. Άρα η δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. άρα vi. Πρέπει που ισχύει για κάθε, άρα, για κάθε είναι ( και ( ) ( ). Άρα η είναι ( περιττή. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, με ( ( c, όπου c, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, με ( ( c, όπου c, προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω.. (Άσκηση σελ. 45 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : (, (, g ( Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, κατά μονάδες προς τα πάνω. Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης g( προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, κατά μονάδες προς τα κάτω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 5
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, με ( ( c), όπου c, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης, με ( ( c), όπου c, προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά.. (Άσκηση σελ. 45 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : (, h (, q ( Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης h ( προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, κατά μονάδες προς τα αριστερά. Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης q ( προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, κατά μονάδες προς τα δεξιά. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ Αν έχω ( ( c) μονάδες προς τα δεξιά και κ μονάδες πάνω Αν έχω ( ( c) μονάδες προς τα δεξιά και κ μονάδες κάτω Αν έχω ( ( c) μονάδες προς τα αριστερά και κ μονάδες πάνω Αν έχω ( ( c) μονάδες προς τα αριστερά και κ μονάδες κάτω. (Άσκηση σελ. 45 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : (, F (, G ( Οι γραφικές παραστάσεις των τριών συναρτήσεων φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Τονίζουμε ότι : η γραφική παράσταση της συνάρτησης F ( προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, κατά μονάδες προς τα αριστερά και μονάδα προς τα πάνω. Ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης G ( προκύπτει αν μετατοπίσουμε, όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης (, κατά μονάδες προς τα δεξιά και μονάδα προς τα κάτω. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7