Δίνεται η υνάρτηη μεταφοράς ενός αυτόματου υτήματος πλοήγηης υπερηχητικού αεροπλάνου, το οποίο επικουρεί την αεροδυναμική ευτάθεια του, κάνοντας την πτήη ποιο ταθερή και ποιο άνετη. Ζητείται να μελετηθεί με την βοήθεια του Comprhnsiv Control. Συγκεκριμένα ζητείται : s G s s s α. Να δηλωθεί η υνάρτηη με την gntr. β. Να εφαρμοτεί τον αντίτροφο μεταχηματιμό Laplac και να αποδειχθεί Θεωρητικά. γ. Να χεδιατεί η βηματική και η κρουτική απόκριη του υτήματος ανοιχτού και κλειτού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηη. Θεωρητική απόδειξη. δ. Να ελεγχθεί ως προς την ευτάθεια το ύτημα κλειτού βρόχου με μοναδιαία ανατροφοδότηη routh staility. Και θεωρητική απόδειξη. ε. Να χαραχθεί το διάγραμμα Bod του κλειτού υτήματος μοναδιαίας ανατροφοδότηης και έπειτα να χεδιατούν οι αύμπτωτες πάνω το διάγραμμα Bod. Να αποδειχθεί και θεωρητικά. τ. Να χαραχθεί το διάγραμμα τόπου ριζών του κλειτού υτήματος μοναδιαίας ανατροφοδότηης και να αποδειχθεί υνοπτικά θεωρητικά. ζ. Να μεταχηματιτεί η Gs ε G με όλους τους δυνατούς τρόπους και να αποδειχθούν θεωρητικά. η. Να χεδιατεί η βηματική και η κρουτική απόκριη του υτήματος ανοιχτού και κλειτού βρόχου G με μοναδιαία ανατροφοδότηη. μέθοδος Sampld invrs Laplac transform Θεωρητική απόδειξη. θ. Να χαραχθεί το διάγραμμα Bod της Σ.Μ. ανοιχτού βρόχου. ι. Να χεδιατεί ο Γ.Τ.Ρ. του κλειτού υτήματος. Να μελετηθεί ως προς την ευτάθεια. Θεωρητική απόδειξη. ια. Να μελετηθεί η G το χώρο κατάταης. Κανονική μορφή. Να εξαχθούν οι πίνακες ελεγξιμότητας παρατηρηιμότητας και να εξαχθούν υμπεράματα για την ευτάθεια μέω της εντολής pols. Να εφαρμοτεί η εντολή Fadva Θεωρητική απόδειξη. Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ : Α Β. Ερώτημα : Προομοίωη : Θεωρητική απόδειξη : Η Gs αναλύεται ε κλάματα. s G s s s k k s s k s Όπου : k lim s [ G s s ] s lim k s s k k d lim s lim s [ G s s ] ds s s lim k s s s s [ G s s ] lim k s Οπότε : G s s s s L [ G s] g t t t t t g t t t t Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
Γ. Ερώτημα : Προομοίωη : Θεωρητική απόδειξη : Βηματική απόκριη ανοιχτού βρόχου. Y s G s U s G s s s s Ο αντίτροφος μεταχηματιμός Laplac : k Y s s k k s s Οπότε έχουμε : Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
k lim s [ Y s s ] lim k s s k k Άρα έχουμε : d lim s lim s [ Y s s ] ds lim s s s [ Y s s ] lim k s k Y s s s s Εφαρμόζουμε αντίτροφο μεταχηματιμό Laplac : L [ Y s ] y t t t t t y t t y t t t t t t < Δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα και παρατηρούμε ότι οι τιμές επαληθεύουν την γραφική παράταη t Yt.5..7.5...5.6.,5.5..5.8 5.5 Κρουτική απόκριη ανοιχτού βρόχου : Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
Y s G s y t g t t y t t t t t < Δημιουργούμε τον παρακάτω πίνακα και παρατηρούμε ότι οι τιμές επαληθεύουν την γραφική παράταη t Yt.5.5..5. -.7.5. -.,5 -.9 -.7.5 -.6 5 -. Δ. Ερώτημα : Προομοίωη : Θεωρητική απόδειξη : Τ.Ε.Ι. Πειραιά 5 Αθήνα 999
Η χαρακτηριτική εξίωη του υτήματος κλειτού βρόχου για Κ staility δίνεται από την χέη ps την οποία θα εφαρμόω το κριτήριο Routh X. E. p s s s 7s Πίνακας Routh s 7 s s 6.5 s Το ύτημα είναι ευταθές Προφανώς το ύτημά για Κ είναι ευταθές αφού άλλωτε οι ρίζες του χαρακτηριτικού πολυωνύμου βρίκονται το αριτερό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Η χαρακτηριτική εξίωη του υτήματος κλειτού βρόχου για άπειρες τιμές του Κ Routh δίνεται από την χέη ps την οποία θα εφαρμόω το κριτήριο Routh X. E. p s s s 5 K s Πίνακας Routh s 5Κ s s Κ.5 s Το ύτημα είναι ευταθές Από τον πίνακα Routh Θα βρούμε το κρίιμο Kcr. Έτι θα είναι Κ,5 οπότε Kcr-.5 Το ύτημα κλειτού βρόχου θα είναι ΕΥΣΤΑΘΕΣ μεγαλύτερες του.5. Δηλαδή Κ : -.5, για τιμές του Κ Ε. Ερώτημα. Τ.Ε.Ι. Πειραιά 6 Αθήνα 999
Προομοίωη : Θεωρητική απόδειξη : Αν θέω sj*ω την υνάρτηη μεταφοράς ανοιχτού βρόχου GsHs G ω j jω jω H jω jω jω ω j j ω Οπότε έχουμε : Τρεις πόλους ω ω rad/sc ω rad/sc Τ.Ε.Ι. Πειραιά 7 Αθήνα 999
Για ω < ω η GsHs jωj ευθεία με κκλί d διερχόμενη από ττ rad, d sc Για ω ω < ω < ω η GsHs ευθεία με κκλί - d Για ω < ω η GsHs jω ευθεία με κκλί - d Η φάη δίνεται από τον παρακάτω τύπο. Φ 9 ο tan ω tan ω Έτι για διάφορες τιμές του ω προκύπτει ο ποιο κάτω πίνακας. Οι τιμές αυτές επαληθεύουν το διάγραμμα φάης. Ω rad/sc Φω μοίρες. 75.7.5.8. -6.6 5. -5.6. -57. 5, -75.. -77.8 5. -79.5 Τ.Ε.Ι. Πειραιά 8 Αθήνα 999
ΣΤ. Ερώτημα : Προομοίωη : Θεωρητική απόδειξη : s Η G s έχει τρεις πόλους ένα διπλό και ένα απλό και ένα s s μηδενικό p p, p Άρα ο τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους. Στον πραγματικό άξονα θα έχουμε τόπο μεταξύ του και του p και μεταξύ του p και του p Αύμπτωτες : Φ α μ 8 n p n μ 9 μ φ μ φ α α 9 7 Άρα υπάρχουν δύο αύμπτωτες τις αύμπτωτων με τον πραγματικό άξονα. 9, 7. Σημείο τομής των Τ.Ε.Ι. Πειραιά 9 Αθήνα 999
Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999 α α Σ Σ n p n p Σημείο αποχωριμού από τον πραγματικό άξονα. rak way point απορρίπτεται.68.6 Άρα τελικά 6..
Ζ. Ερώτημα : Προομοίωη : Forward rctangl : Backward rctangl : Bilinar : Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
Pol Zro mapping : Sampld invrs Laplac transform Zro ordr hold : Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
Θεωρητική απόδειξη : Forward rctangl : Θέτω την Gs την χέη s, οπότε και παίρνω την παρακάτω διακεκριμένη υνάρτηη. F Backward rctangl : Θέτω την Gs την χέη s, οπότε και παίρνω την παρακάτω διακεκριμένη υνάρτηη..66 F F.5. Bilinar : Θέτω την Gs την χέη s, οπότε και παίρνω την παρακάτω διακεκριμένη υνάρτηη. F. F. Pol Zro mapping : Εφαρμόζοντας την μεθοδολογία που αναπτύξαμε ε χετική ενότητα εντολή CONVER F K dc Θέτουμε και υπολογίζουμε την K dc βάη της χέης F Οπότε K. 86. Η τελική μορφή της υνάρτηης θα είναι. dc G s s Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999.5.68.86 F Sampld invrs Laplac transform : t t t s s s L s G L ] [ Θέτω tk οπότε και έχουμε : k k k k k k k g k k g Σύμφωνα με το τυπολόγιο..5.68..9 5 5 F F Zro ordr hold :.5.68.7.7.7 6 6 6 F F s s s Z s s G Z F Παρατήρηη : Όπου βλέπουμε Εn εννοείται η δn κρουτική υνάρτηη.
Η. Ερώτημα : Προομοίωη : Παρατήρηη : Με την βοήθεια της εντολής WINDOWS μπορέαμε και χωρίαμε το παράθυρο γραφικών ε τέερα ίδια κομμάτια έτι ώτε να μπορούμε να έχουμε τέερις γραφικές παρατάεις ταυτόχρονα το ίδιο παράθυρο. Θεωρητική απόδειξη : Βηματική διέγερη ανοιχτού υτήματος..9. Y F5 U.68.5.59 Y.68.6.6. Z [ ],.68.5 y n n.5n.9.6 n. Το ίδιο αποτέλεμα θα παίρναμε εάν εκτελούαμε την εντολή IZ για την Y. Τ.Ε.Ι. Πειραιά 5 Αθήνα 999
Από την yn εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος υμπίπτει με τις τιμές της γραφικής του παράθυρου. n Yn -..8..9 -.6 5 -. 6 -. 7 -. 8 -.7 9 -.8 -.9 Κρουτική διέγερη ανοιχτού υτήματος. Ομοίως : Y F 5 Z [ ], y n n.99 n.98.97 n Από την yn εξάγουμε έναν πίνακα τιμών ο οποίος υμπίπτει με τις τιμές της γραφικής του παράθυρου. n Yn. -.9 -.7 -. -.7 5 -. 6 -. 7 -. 8 -. 9 -. -.7 Τ.Ε.Ι. Πειραιά 6 Αθήνα 999
Θ. Ερώτημα : Προομοίωη : Τ.Ε.Ι. Πειραιά 7 Αθήνα 999
Ι. Ερώτημα : Προομοίωη : Παρατήρηη : Το διάγραμμα τόπου ριζών με την μαύρη γραμμή είναι ο Γ.Τ.Ρ. του F5 για Κ>. Ενώ αυτό με την κόκκινη γραμμή είναι της F5 για K< Τ.Ε.Ι. Πειραιά 8 Αθήνα 999
Θεωρητική απόδειξη : Διάγραμμα τόπου ριζών : Η υνάρτηη μεταφοράς ανοιχτού βρόχου δίνεται από την χέη : F K.9. H.68.5 5 έχει τρεις πόλους ένα διπλό και ένα απλό και δύο μηδενικά p p..68, p 5 Άρα ο τόπος των ριζών θα έχει τρεις κλάδους. Στον πραγματικό άξονα θα έχουμε τόπο μεταξύ του και του p και μεταξύ του p και του p και Αύμπτωτες : Φ α μ 8 n p n μ 8 μ Φα 8 Άρα υπάρχει μία αύμπτωτες τις 8 μοίρες. Σημείο τομής των αύμπτωτων με τον πραγματικό άξονα. α Σp Σ n p n.87.8 α.77 Σημείο αποχωριμού από τον πραγματικό άξονα. rak way point.5.68.5.8. 98 Άρα τελικά έχω δύο ημεία αποχωριμού από τον πραγματικό άξονα. Ευτάθεια : Η χαρακτηριτική εξίωη του υτήματος F5 με μοναδιαία ανατροφοδότηη H κλειτό ύτημα δίνεται από την χέη θεωρούμε ότι Κ staility. p F H.677.8.8 5 Εφαρμόζουμε Jury tst για την παραπάνω εξίωη. -.8 -.8 -.677 -.677 -.8 -.8 -.999.677. Τ.Ε.Ι. Πειραιά 9 Αθήνα 999
k a a n a nk a k, n.999,.677,. Προφανώς : a -.8, a -.8, a.677, a Παίρνω τις εξής ανιώεις : p.9 > a n < p.68 > a > Όλες οι παραπάνω εξιώεις ιχύουν άρα μπορούμε να πούμε ότι για Κ το ύτημα κλειτού βρόχου μοναδιαίας ανατροφοδότηης είναι ευταθές. Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
ΙΑ. Ερώτημα : *. Σ αυτήν την ενότητα πρώτα θα ακολουθήει η θεωρητική απόδειξη και έπειτα η προομοίωη το CC. Θεωρητική απόδειξη : Περιγραφή του υτήματος : Η υνάρτηη του ψηφιακού υτήματος δίχως ανατροφοδότηη ανοιχτό ύτημα δίνεται από την F5. Η F5 μπορεί να αναλυθεί και ε κλάματα F.9.8.7.68.5.68 5.7.57.68.5 Από την παραπάνω χέη προκύπτει το lock διάγραμμα. xk xk xk xk ^- - -.7 R rk.68.68.7 xk xk Y yk -.57 ^-.5 Δομικό διάγραμμα κανονικής μορφής Από το παραπάνω lock διάγραμμα προκύπτει ότι. x k x k.68 x k x k r k.68 x x k r k.5 x k k y k.7 x k.7 x k.57 x Οπότε οι εξιώεις κατάταης υπό κανονική μορφή δίνονται από τις παρακάτω εξιώεις. k Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
x k.68 x k x k.68 x k x k r k.5 x k y k x k x k [.7.7.57] x k r k Παρατήρηη : Η πίνακες κατάταης του υτήματος F5 προέκυψαν βάη της ανάλυη κλαμάτων - κανονική μορφή. Δεν κάναμε χρήη των τύπων κανονικής μορφής φάης ή ελέγξιμης κανονικής μορφής ή της παρατηρήιμης κανονικής μορφής ή της διαγώνιας κανονικής μορφής. Παρόλα αυτά όποια και μέθοδο και αν επιλέξουμε για να περιγράψουμε το ύτημα θα μας επιτέψουν τα ίδια αποτελέματα ως προς την ευτάθεια ελεγξιμότητα και παρατηρηιμότητα του υτήματος. Οι τέερις πίνακες με την ειρά όπως τους βλέπουμε παραπάνω δηλώνονται ως A, B, C, D με τους οποίους θα περιγράφουμε το ύτημα από εδώ και το εξής. Δηλαδή P [ A,B ; C, D ]. Μελέτη ευτάθειας υτήματος με την χρήη του πίνακα Α : Παίρνω την χαρακτηριτική εξίωη και αν οι ρίζες της είναι εντός μοναδιαίου μιγαδικού κύκλου τότε το ύτημά μας είναι ευταθές. X. E. : p λ Ι - Α λ -.68 - λ -.68 λ -.5 λ -.68 λ λ -.5 λ,.5 λ, < ΕΥΣΤΑΘΕΣ.68 λ < ΣΥΣΤΗΜΑ Μελέτη Ελεγξιμότητας του υτήματος : Ύτερα από υπολογιτικές πράξεις προκύπτει ότι : A B.68.5, A.76 B.5.8 Οπότε ύμφωνα με την γνωτή χέη για τον πίνακα ελεγξιμότητας του διανύματος κατάταης ενός υτήματος θα έχουμε. Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
S [ B A B A B] S.68.5.76.5.8 Η ορίζουα του πίνακα S ιούται με.5 δηλαδή διάφορη του μηδενός άρα το ranks οπότε το ύτημα είναι ελέγξιμο. Ομοίως ο πίνακας παρατηρηιμότητας διανύματος κατάταης δίνεται. R.7.7.57.99.8.7.7.99. R. Η ορίζουα του πίνακα R^ είναι δηλαδή διάφορη του μηδενός άρα το rankτ οπότε το ύτημα είναι παρατηρήιμο. Μετάβαη από τους πίνακες κατάταης την υνάρτηη μεταφοράς του υτήματος : Παίρνουμε την γνωτή χέη C [ I A] B D από πράξεις καταλήγουμε την..978.97..68.5. Μετά 5 5 F Οι αποκλίεις που υπάρχουν μεταξύ της, F5 οφείλονται ε διάφορες τρογγυλοποιήεις πράξεων. Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
Προομοίωη : Τ.Ε.Ι. Πειραιά Αθήνα 999
Γενικές Παρατηρήεις : Διαπιτώνουμε ότι τα αποτελέματα της προομοίωης επαληθεύουν τα αποτελέματα των θεωρητικών αποδείξεων. Αυτό λοιπόν επιβεβαιώνει ότι το Comprhnsiv Control αποτελεί ένα αξιόπιτο πρόγραμμα ώτε να βγάζουμε τα αποτελέματα και τα υμπεράματά μας γρήγορα και με απόλυτη ακρίβεια. Τ.Ε.Ι. Πειραιά 5 Αθήνα 999