Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας

Γενικές ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας 9 94 Γ οµάδας. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() και g() +, (0, + ) έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο Α(, ) Να βρείτε τη σχετική θέση των C f, C g στο διάστηµα (0, + ) Είναι f () και g () f() και g(), άρα το σηµείο Α(, ) είναι κοινό σηµείο των C f, C g Επιπλέον είναι f () και g (), άρα οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτοµένη στο σηµείο Α(, ) Θεωρούµε τη διαφορά h() g() f() + + ( ) h() 0 h() > 0 > 0 > Εποµένως : Στο διάστηµα (0, ) είναι h() < 0 g() f() < 0 g() < f() η Cg χαµηλότερα από την Οµοίως Στο διάστηµα (, + ) η Cg ψηλότερα από την C f C f

. Αν f, g είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο R, µε f(0) g(0) να αποδείξετε ότι και f () > g () για κάθε R f() < g() στο (, 0) και f() > g() στο (0, + ) Θεωρούµε τη διαφορά h() f() g(), R Οπότε h(0) f(0) g(0) 0 Είναι h () f () g () > 0 για κάθε R h γνησίως αύξουσα στο R Στο (, 0) : < 0 Στο (0, +,) : > 0 h h() < h(0) f() g() < 0 f() < g() h h() > h(0) f() g() > 0 f() > g()

. Ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας. Αν θ είναι η γωνία µεταξύ των ίσων πλευρών του τριγώνου, να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του είναι Ε ηµθ( + συνθ). Να βρείτε την τιµή της γωνίας θ (0, π) για την οποία το εµβαδόν του τριγώνου µεγιστοποιείται. ΒΟΓ ˆθ ΒΟΜ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟΜ έχουµε ΒΜ ΒΟ ηµθ και ΟΜ ΒΟ συνθ ΒΜ ηµθ και ΟΜ συνθ Αλλά ΒΓ ΒΜ ηµθ και ΑΜ ΑΟ + ΟΜ + συνθ Εποµένως, Ε ΒΓ ΑΜ ηµθ ( + συνθ) ηµθ( + συνθ) Θεωρούµε τη συνάρτηση Ε(θ) ηµθ( + συνθ) και αναζητάµε τη θέση του µέγιστου. Ε (θ) συν θ ηµ θ + συνθ συνθ + συνθ Ε (θ) 0 συνθ + συνθ 0 συνθ συνθ συνθ συν(π θ) θ κπ + π θ ή θ κπ π + θ, κ Z θ κπ π + ή θ κπ π και επειδή 0 < θ < π, θα είναι θ π Πρόσηµο της Ε και µονοτονία της Ε : θ 0 π/ π Ε + 0 Ε ր ց π π Μέγιστο για θ, το Ε 4

4 4. Ένα σύρµα µήκους 0 m διατίθεται για την περίφραξη ενός ανθόκηπου σχήµατος κυκλικού τοµέα. Να βρείτε την ακτίνα r του κύκλου, αν επιθυµούµε να έχουµε τη µεγαλύτερη δυνατή επιφάνεια του κήπου To µήκος l του τόξου AB του τοµέα θ rad είναι l r θ Η περίµετρος του τοµέα είναι r + l 0 r + r θ 0 Αφού ζητάµε την τιµή του r, απαλλασσόµαστε r θ 0 r θ 0 r από το θ. r () Το εµβαδόν του τοµέα είναι Ε () θ 0 r r Ε r r 0r r Έτσι ορίζεται η συνάρτηση Ε(r) 0r r, 0 < r <0 της οποίας αναζητάµε το µέγιστο Ε (r) 0 r Ε (r) 0 0 r 0 r 5 Πρόσηµο της Ε και µονοτονία της Ε : r 0 5 0 Ε + 0 E ր ց Μέγιστο για r 5 το E(5) 5 m Άρα η µέγιστη επιφάνεια του ανθόκηπου προκύπτει όταν r 5 m

5 5. ύο διάδροµοι πλάτους m τέµνονται κάθετα. Να βρείτε το µεγαλύτερο δυνατό µήκος µιας σκάλας που µπορεί, αν µεταφερθεί οριζόντια, να στρίψει στην γωνία Υπόδειξη : Να εκφράσετε τα ΟΑ, ΟΒ συναρτήσει π της γωνίας θ, 0 < θ < Να αποδείξετε ότι (ΑΒ) f(θ) ηµθ + συνθ i Να βρείτε την τιµή της γωνίας θ, για την οποία το ΑΒ γίνεται ελάχιστο Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΓ : (ΟΓ) (ΟΑ) συνθ Α Γ (ΟΑ) συνθ (ΟΑ) συνθ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒ : (Ο ) (ΟΒ) ηµθ (AB) (OA) + (OB) i π Η f είναι συνεχής στο 0, f (θ) 0 ηµ θ συν θ 0 (ΟΒ) ηµθ (ΟΒ) ηµθ m συνθ +, οπότε (ΑΒ) f(θ) ηµθ ηµθ + συνθ ηµ θ συν θ ηµθ συνθ συνθ µε f (θ) ηµθ συνθ εφθ θ π, αφού 4 θ O ηµθ + ηµ θ συν θ ηµ θ συν θ ηµ θσυν θ θ π θ 0, Β m Πρόσηµο της f και µονοτονία της f : θ 0 π/4 π/ f 0 + f ց ր π π Ελάχιστο για, το f 4 4 Εποµένως το µεγαλύτερο δυνατό µήκος της σκάλας, για να µπορέσει να στρίψει στην γωνία είναι (AB) m

6 6. Να µελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f() ln Να αποδείξετε ότι α α + > (α +) α για κάθε α > e i Να αποδείξετε ότι για > 0 ισχύει f() f() και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις, τις, 4 D f (0, + ) και f συνεχής (πηλίκο συνεχών) ln f () f () 0 ln 0 ln e f () > 0 ln > 0 ln > > e f () ( ln ) 4 + ln 4 f () 0 ln 0 ln ln e f () > 0 ln > 0 ln > > e ln lim f () lim lim(ln ) lim ln. lim ( )(+ ) 0 0 0 0 0 Άρα η ευθεία 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της C f ln + lim f () lim + + + (ln ) lim lim lim 0 + + + Άρα η ευθεία y 0 είναι οριζόντια ασύµπτωτη της Πίνακας προσήµων και µεταβολών 0 e e f + 0 f 0 + f C f στο +. + Μέγ. f(e) e, σ.κ f e e

7 y Ο e 5 e - Αρκεί να αποδείξουµε i ln ln α α + > (α +) α lnα α + > ln(α +) α (α + )lnα > αln(α + ) lnα α ln ln ln ln ln( α+ ) > α+ f(α) > f(α + ) που ισχύει, αφού α < α + και (Α) f() f() Οι, 4 είναι προφανείς ρίζες της εξίσωσης επαληθεύουν ( και 4 4 ) f γν.αύξουσα στο (0, e) η f είναι στο (0, e). Και επειδή (0, e), η (Α) f γν. φθίνουσα στο (e, + ) f γν.φθίνουσα στο (e, + ) η f είναι στο (e, + ). Και επειδή 4 (e, + ), η (Α) 4 Άρα η εξίσωση f() f() έχει ακριβώς τις ρίζες, 4. Άρα και η ισοδύναµή της Προσπαθούµε να εµφανίσουµε τιµές της f, αφού την

8 7. Αν α, β > 0 και για κάθε R ισχύει α + β, να αποδείξετε ότι αβ Αν α > 0 και για κάθε R ισχύει α +, να αποδείξετε ότι α e α + β α + β 0 () Θεωρούµε τη συνάρτηση f() α + β, R Είναι f(0) α 0 + β 0 + 0 () f() f(0), R το f(0) είναι ελάχιστο της f. Και επειδή το 0 είναι εσωτερικό σηµείο του D f R και f παραγωγίσιµη στο 0, κατά το Θ. Fermat f (0) 0 () Αλλά f () α lnα + β lnβ f (0) α 0 lnα + β 0 lnβ f (0) lnα + lnβ f (0) ln(αβ) () (), () ln(αβ) 0 αβ α + α 0 (4) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() α, R Είναι g(0) α 0 0 0 (4) g() g(0), R το g(0) είναι ελάχιστο της g. Και επειδή το 0 είναι εσωτερικό σηµείο του D g R και g παραγωγίσιµη στο 0, κατά το Θ. Fermat g (0) 0 (5) Αλλά g () α lnα g (0) α 0 lnα g (0) lnα (6) (5), (6) lnα 0 lnα α e Θυµίζουµε : Από ανισότητα, για να αποδείξουµε ισότητα, υποψιαζόµαστε Fermat.

9 8. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() e είναι κυρτή, ενώ η g() ln είναι κοίλη Να βρείτε την εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Α(0, ) και της C g στο Β(, 0). i Να αποδείξετε ότι α) e +, R β) ln, (0, + ) και να εξετάσετε πότε ισχύουν οι ισότητες. iν) Να αποδείξετε ότι η C f βρίσκεται πάνω από τη C g D f R, D g (0, + ) f () e στο R f () e > 0 στο R f κυρτή στο R. g () στο (0, + ) g () < 0 στο (0, + ) g κοίλη στο (0, + ) f(0) e 0 και f (0) e 0 Εφαπτοµένη της C f στο Α(0, ) : y f(0) f (0)( 0) y ( 0 ) y g() ln 0 και g () Εφαπτοµένη της C g στο B(, 0) : y g() g ()( ) y 0 ( ) y i α) Επειδή η f είναι κυρτή στο R, η C f θα είναι ψηλότερα από την εφαπτοµένη στο Α, δηλαδή f() + e + µε το ίσον να ισχύει όταν 0 β) Επειδή η g είναι κοίλη στο (0, + ), η Cg θα είναι χαµηλότερα από την εφαπτοµένη στο Β, δηλαδή g() ln µε το ίσον να ισχύει όταν iν) Αποδείχθηκε ότι e + > ln για κάθε (0, + ) e > ln f() > g() άρα η C f βρίσκεται πάνω από την C g για κάθε > 0

0 9. Να βρείτε την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f() e λ, λ > 0 Να βρείτε την µεγαλύτερη τιµή του λ > 0 για την οποία ισχύει e λ, για κάθε R i Για την τιµή του λ που θα βρείτε παραπάνω, να δείξετε ότι η ευθεία y λ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() e. D f R στο οποίο η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη. f () e λ f () 0 e λ lnλ Πρόσηµο της f και µονοτονία της f lnλ + f 0 + f ց ր Θέλουµε να ισχύει e λ για κάθε R e λ 0 για κάθε R f() 0 ελ. το f(lnλ) e lnλ λ lnλ λ λlnλ για κάθε R Αρκεί λοιπόν η ελάχιστη τιµή της f να είναι 0 ηλαδή, αρκεί λ λlnλ 0 λ( lnλ) 0 lnλ 0 lnλ λ e Εποµένως, η µεγαλύτερη τιµή του λ είναι η λ e i Για να εφάπτεται η ευθεία y e στη C g, αρκεί να υπάρχει ο έτσι ώστε g( o ) y( o ) και g ( ο ) e e ο e o και e ο e e e o και e ο e o Άρα η ευθεία y e εφάπτεται της C g στο σηµείο (, e)

0. ηµ, 0 ίνεται η συνάρτηση f () 0, 0 Να αποδείξετε ότι Η f είναι παραγωγίσιµη στο o 0 και στη συνέχεια ότι η ευθεία y 0 είναι η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο Ο(0, 0) Ο άξονας έχει µε την C f άπειρα κοινά σηµεία, παρόλο που εφάπτεται της C f i Η ευθεία y είναι ασύµπτωτη της C f στο + και στο. ηµ f () f (0) lim lim lim ηµ 0 0 0 0 Όµως ηµ ηµ Και επειδή lim( ) 0 lim 0 0 () ηµ, κατά το κριτήριο της παρεµβολής, θα είναι f () f (0) () lim 0 f (0) 0 0 0 Η εξίσωση της εφαπτοµένης στο Ο(0, 0) είναι lim ηµ 0 0 y f(0) f (0)( 0) y 0 0 (0 0) y 0 Τα κοινά σηµεία της C f µε τον είναι οι ρίζες της εξίσωσης f() 0 i ηµ 0 ηµ 0 ηµ ηµ0 κπ, κ Z κπ, κ Z άπειρες τιµές Αρκεί να αποδείξουµε ότι lim ( f () ) 0 και ( ) + ( ) lim f () Θέτουµε + lim ηµ + u. Οπότε u 0 () lim ( f () ) + () lim ηµ u u 0 u u lim f () 0

Οµοίως έχουµε και ( ) ηµ u u 0 lim u 0 u 0 συν u lim 0 0 (γνωστό όριο ) u 0 u lim f () 0. Α. Έστω συνάρτηση φ τέτοια, ώστε φ(0) 0, φ (0) 0 και φ () + φ() 0, για κάθε R () Να αποδείξετε ότι : Η συνάρτηση ψ() [φ ()] + [φ()] είναι σταθερή στο R και να βρείτε τον τύπο της. φ() 0 για κάθε R Β. Έστω δύο συναρτήσεις f και g τέτοιες ώστε : f(0) 0, f (0) και f () + f() 0 για κάθε R g(0), g (0) 0 και g () + g() 0 για κάθε R Να αποδείξετε ότι : Οι συναρτήσεις φ() f() ηµ και ψ() g() συν ικανοποιούν τις υποθέσεις () του ερωτήµατος του (Α) f() ηµ A. i ) ψ () φ ()φ () + φ()φ () φ ()[φ () + φ()] φ () 0 0 και g() συν για κάθε R Εποµένως η ψ είναι σταθερή στοr, δηλαδή ψ() c για κάθε R () (φ ()) + (φ()) c και για 0, (φ (0)) + (φ(0)) c 0 + 0 c c 0 () ψ() 0 για κάθε R ψ() 0 για κάθε R (φ ()) + (φ()) 0 για κάθε R φ () 0 και φ() 0 για κάθε R

B. Από την f () + f() 0 f (0) + f(0) 0 f (0) + 0 0 f (0) 0 Από την φ() f() ηµ φ(0) f(0) ηµ0 φ(0) 0 0 φ(0) 0 φ() f() ηµ φ () f () συν Άρα φ (0) f (0) συν0 φ (0) φ (0) 0 φ() f() ηµ φ () f () συν και φ () f () + ηµ Άρα φ () + φ() f () + ηµ + f() ηµ f () + f() 0 από υπόθεση Από την g () + g() 0 g (0) + g(0) 0 g (0) + 0 g (0) Από την ψ() g() συν ψ(0) g(0) συν0 ψ(0) ψ(0) 0 ψ() g() συν ψ () g () + ηµ Άρα ψ (0) g (0) + ηµ0 ψ (0) 0 + 0 ψ (0) 0 ψ() g() συν ψ () g () + ηµ και ψ () g () + συν Άρα ψ () + ψ () g () + συν + g() συν g () + g( 0 από υπόθεση Με βάση το Α ερώτηµα θα είναι φ() 0 και ψ() 0 f() ηµ 0 και g() συν 0 f() ηµ και g() συν για κάθε R

4. Στο διπλανό σχήµα ο κύκλος έχει ακτίνα cm και η ευθεία (ε) εφάπτεται σε αυτόν στο σηµείο Α. Το τόξο ΑΜ είναι θ rad και το ευθύγραµµο τµήµα ΑΝ είναι θ cm. Η ευθεία ΜΝ τέµνει τον άξονα στο σηµείο Ρ(, 0). Να δείξετε ότι : θσυνθ ηµθ (θ) θ ηµθ lim ( θ ) Οι συντεταγµένες του σηµείου Μ είναι Μ(συνθ, ηµθ). Είναι ΡΜ Μ Ρ συνθ και y ΡΜ y Μ y Ρ ηµθ Ρ N N Ρ και N y Ρ y N y Ρ θ PM, ΡΝ συγγραµµικά det( PM, ΡΝ ) 0 συνθ ηµθ θ 0 lim ( θ ) θσυνθ ηµθ lim θ ηµθ θσυνθ θ ηµθ + ηµθ 0 θσυνθ ηµθ (θ ηµθ) θσυνθ ηµθ θ ηµθ 0 0 συνθ θηµθ συνθ lim συνθ ( θηµθ) lim ( συνθ ) ( ηµθ θσυνθ) lim ( ηµθ) (θ) ( θσυνθ ηµθ) lim ( θ ηµθ ) lim θηµθ συνθ 0 0 ηµθ θσυνθ lim ηµθ 0 0 συνθ συνθ+θηµθ lim συνθ

5. Π Ένας πεζοπόρος Π ξεκινάει από ένα σηµείο Α και βαδίζει γύρω από µια κυκλική λίµνη ακτίνας S ρ km µε ταχύτητα υ 4km/h. Αν S είναι το θ µήκος του τόξου ΑΠ και l το µήκος της απόστασης Ο Α ΑΠ του πεζοπόρου από το σηµείο εκκίνησης km τη χρονική στιγµή t : A. Να αποδείξετε ότι θ S θ και l 4ηµ S 4t, θ t και l 4ηµt Β. Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της απόστασης l ως προς τον χρόνο t. Ποιος είναι ο ρυθµός µεταβολής της απόστασης l ως προς τον χρόνο t, όταν α) θ π β) θ π και γ) θ 4 π A. Έστω ΑΠ θ rad. Τότε S ρ θ θ θ S Φέρνουµε Ο ΑΠ. Στο τρίγωνο ΟΑ : l θ ηµ Α ΟΑ θ ηµ θ l 4ηµ () Επειδή ο πεζοπόρος βαδίζει µε ταχύτητα υ 4km/h, τη χρονική στιγµή t θα έχει διανύσει διάστηµα S 4t, οπότε η () γίνεται θ 4t θ t () t () l 4ηµ 4ηµt B. l 4ηµt l (t) 4συνt (4) () α) Όταν θ π ( ) t π t π (4) l β) Όταν θ π π 4συν π 4. km/h ( ) π t π t π (4) l 4συν π 4. 0 km/h γ) Όταν θ 4 ( ) π t 4 π t π π (4) l 4συν π km/h

6 4. Ένας αγρότης θέλει να προσλάβει εργάτες για να µαζέψουν 500 κιλά ντοµάτες. Κάθε εργάτης µαζεύει 5 κιλά την ώρα και πληρώνεται 6 ευρώ την ώρα. Για τον συντονισµό και επιστασία των εργατών ο αγρότης θα προσλάβει και ένα επιστάτη τον οποίο θα πληρώνει 0 ευρώ την ώρα. Ο αγρότης, επιπλέον, θα πληρώσει και στο σωµατείο των εργατών εισφορά 0 ευρώ για τον επιστάτη και κάθε εργάτη. Να βρείτε πόσους εργάτες πρέπει να προσλάβει ο αγρότης για να του κοστίσει το ελάχιστο δυνατόν και πόσο θα είναι το ελάχιστο κόστος. Έστω ότι ο αγρότης θα προσλάβει εργάτες και έναν επιστάτη και ότι χρειάζονται t ώρες να µαζευτούν οι ντοµάτες. Αφού ο κάθε εργάτης µαζεύει 5 κιλά ντοµάτες την ώρα, στις t ώρες θα µαζέψει 5 t κιλά ντοµάτες. Οπότε όλοι οι εργάτες στις t ώρες θα µαζέψουν 5 t κιλά ντοµάτες, ποσότητα που είναι όλη η παραγωγή. Άρα 5t 500 t 500 5 00 To συνολικό κόστος είναι Κ 6t + 0t + 0( +) Κ() 600 + 000 + 0 +0 µε > 0 000 0 000 Κ () + 0 Κ () 0 0 000 0 0 εφόσον >0 () ( ) Κ () > 0 0 000 > 0 > 0 εφόσον >0 Πρόσηµο της Κ και η µονοτονία της Κ 0 0 + Κ 0 + Κ ց ր Ελάχιστο. για 0 το Κ(0) 80 Άρα ο αγρότης πρέπει να προσλάβει 0 εργάτες, οι οποίοι θα δουλέψουν t 00 0 ώρες και το ελάχιστο κόστος θα είναι 80 ευρώ. 0