.Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ, μετρό, αυτοκίητο, μετρό, μετρό. Να κατασκευάσετε το ραβδόγραμμα συαρτήσεω. Κάουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε το πίακα συχοτήτω: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: 7 6 5 4 3 0 Αυτοκίητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο.Τα τμήματα εός Λυκείου έχου τους εξής μαθητές: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 3, 4, 6, 3, 5,6, 4, 5, 6 Nα κατασκευάσετε διάγραμμα και πολύγωο συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω, απόλυτω και αθροιστικώ.
Κατασκευάζουμε πρώτα το πίακα συχοτήτω και σχετικώ συχοτήτω και έχουμε: x v f N F 3 3 0,0 3 0,0 4 3 0,0 6 0,40 5 5 0,33 0,73 6 4 0,7 5 Σύολο 5 3.Στις βουλευτικές εκλογές το Α κόμμα πήρε το 30% τω ψήφω, το Β κόμμα το 0% τω ψήφω, το Γ κόμμα το 5% τω ψήφω και το 5% απείχε από τη ψηφοφορία. Να κατασκευαστεί το κυκλικό διάγραμμα. Υπολογίζουμε τις γωίες τω κυκλικώ τομέω από το τύπο α = 360 f, και βρίσκουμε:
α = 360 0,30 = 08 α = 360 0,0 = 7 KOMMA α A 08 B 7 Γ 90 ΑΠΟΧΗ 90 A B Γ ΑΠΟΧΗ 4.Στη ερώτηση πόσες ώρες τηλεόραση βλέπετε κάθε μέρα οι μαθητές εός τμήματος απάτησα:,4,3,7,4,6,4,5,6,3. Να σχηματίσετε το σημειόγραμμα. 0 3 4 5 6 7 8 5.Οι παρακάτω αριθμοί δίου τη ημερομηία γέησης 30 παιδιώ το μήα Ιαουάριο σε μία πόλη:, 7,, 4, 8, 5, 3, 8, 6, 30, 3, 8, 4, 9, 6, 5, 0, 7, 6, 3, 8, 9, 9,, 7, 5, 6, 9, 3, 8.
Να ομαδοποιηθού τα παρακάτω δεδομέα σε πίακα συχοτήτω. Πρώτα βρίσκουμε το εύρος που είαι R = μεγαλύτερη παρατήρηση μικρότερη παρατήρηση = 3 = 30. Εφόσο οι παρατηρήσεις είαι 30 < 50 από το πίακα βλέπουμε ότι ο αριθμός τω κλάσεω είαι κ = 5. Έτσι το πλάτος της κάθε κλάσης είαι: c = = = 6 Οπότε έχουμε: 6.Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίακας: x v f f % N F F % 0. 0. 8 3 50 4 F = f = 0, F % = F 00 = 0, 00 = 0 F = F + f = 0, + 0, = 0, F % = F 00 = 0, 00 = 0 F = F %: 00 = 0,5 F = F + f 0,5 = 0, + f f = 0,3
F % = 00 εξ ορισμού και F = F = F + f = 0,5 + f f = 0,5 f = f = 0, = Όμως Ν = + = = = 8 Άρα = = 4 Ν = = 4 f = 0, = =, = 40 f = 0,3 = = = = 40 4 4 = 0 Ν = Ν + = 8 + = 0 Ν = = 40 f % = f 00 = 0 f % = f 00 = 0 f % = f 00 = 30 f % = f 00 = 0 Άρα x v f f % N F F % 4 0, 0 4 0, 0 4 0, 0 8 0, 0 3 0,3 30 0 0,5 50 4 0 0,5 50 40 00
7.Οι βαθμοί εός μαθητή στα παελλαδικώς εξεταζόμεα μαθήματα είαι: 5,9,4,7,8,7.Να υπολογισθεί ο μέσος όρος της βαθμολογίας του. t x = + t +... + t = = t = =6,6 8.Δίοται οι παρακάτω πίακες συχοτήτω: Να υπολογισθεί η µέση τιµή. Βαθμός x 3 4 5 6 8 Συχότητα 4 x 6 4 60 3 8 Σύολο A = 0 Σ x = 50 50 = x x A = = 5. 0 A Ύψος σε cm Κετρικές τιμές x Συχότητα x 56-6 59 38 6-68 65 8 30 68-74 7 05 74-80 77 947 80-86 83 5 95 86-9 89 378 Σύολο Σ = 40 Σx = 6903
= x x 6903 = = 7,6 cm. 40 9.Έας μαθητής στο πρώτο μάθημα βαρύτητας με συτελεστή,3 πήρε βαθμό 5.Στο δεύτερο μάθημα με βαρύτητα 0.7 πήρε 8,και στο τρίτο μάθημα με συτελεστή βαρύτητας πήρε 7. Να βρεθεί ο σταθμικός μέσος του.,3 5"0,7 8" 7,3"0,7" 6,36 0.Μια ποσοτική μεταβλητή ότα παίρει τιμές α,α,,α 8 έχει μέση τιμή x = 8. Η ίδια μεταβλητή ότα παίρει τιμές β,β,,β έχει μέση τιμή x = 3. Ποια είαι η μέση τιμή της μεταβλητής ότα πάρει τιμές α,α,,α 8,β,β, β ; Στις ασκήσεις με τη μέση τιμή χρησιμοποιούμε το τύπο της μέσης τιμής για α προσδιορίσουμε το ( x και εκεί προσθέτουμε ή αφαιρούμε αάλογα με τη άσκηση. x) = 8 + *,- α *. x) = 3 / *,- β *. = 8 ( α = 64 = 3 ( β = 36 x) = + α * / *,- 0 *,-β *.0 = 0 = = 5
.Δίεται η παρακάτω καταομή: Κλάσεις [ - ) Κετρικές τιμές x Συχ. Σχετική Συχότητα f % Αθρ. Σχετ. Συχ. F % 56-6 59 5,0 5,0 6-68 65 8 0,0 5,0 68-74 7 30,0 55,0 74-80 77 7,5 8,5 80-86 83 5,5 95,0 86-9 89 5,0 00,0 Σύολο 40 00 00 90 80 F % 70 60 50 40 30 0 0 0 A Ε Ζ B Η Γ 56 6 68 74 80 86 9 x δ Η διάμεσος, όπως ορίστηκε, ατιστοιχεί στη τιμή x= δ της μεταβλητής Χ (στο οριζότιο άξοα), έτσι ώστε το 50% τω παρατηρήσεω α είαι μικρότερες ή ίσες του δ. Δηλαδή, η διάμεσος θα έχει αθροιστική σχετική συχότητα F = 50%. Εφόσο στο κάθετο άξοα έχουμε τις αθροιστικές σχετικές
συχότητες, από το σημείο Α (50% τω παρατηρήσεω) φέρουμε τη AB // 0x και στη συέχεια τη BΓ 0x. Τότε, στο σημείο Γ ατιστοιχεί η διάμεσος δ τω παρατηρήσεω. Για α υπολογίσουμε τη διάμεσο δ με ακρίβεια μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε τη ομοιότητα τω τριγώω ΗΕΖ και ΔΗΒ οπου ισχύει ότι: ΗΔ ΗΕ ΔΒ ΕΖ 50-5 55-5 ΔΒ 74-68 9: 5030 ΔΒ ΔΒ5 Αρα δ=68+5=73.η βαθμολογία στα 0 μαθήματα εός μαθητή είαι: 3, 9, 6, 0, 5,,, 0, 0, 4. Να υπολογίσετε: α) Τη μέση τιμή. β) Τη διακύμαση. γ) Τη τυπική απόκλιση. δ) Τη διάμεσο. ε) Το εύρος (R). στ) Το συτελεστή μεταβολής (CV). α) x) = 0;00000000 = β) s = = * / x) = ;0.00000000; = > = 47, = 6, γ) s = s = 6,
δ) Βάζουμε τις παρατηρήσεις σε αύξουσα σειρά και έχουμε: Οπότε δ = @0@ 0, 6, 9, 0,,, 3, 4, 5, 0 παρατήρηση = 0 =,5 ε) R = 0 0 = 0 στ) cv =, 3. Να συμπληρώσετε το πίακα. Κλάσεις Κέτρο κλάσης (x ) x x [4, 6) 7 [6, 8) 3 [8, 0) 7 [0, ) 8 [, 4) 9 [4, 6) [6, 8) 5 ΣΥΝΟΛΑ 00 α)να συμπληρώσετε το πίακα. β)να υπολογίσετε: ) Τη μέση τιμή.
) Τη διακύμαση. ) Τη τυπική απόκλιση της καταομής. v) Το συτελεστή μεταβολής.. v) Το εύρος α) Κλάσεις Κέτρο κλάσης (x ) x x [4, 6) 5 7 35 75 [6, 8) 7 3 9 637 [8, 0) 9 7 53 377 [0, ) 8 98 78 [, 4) 3 9 377 490 [4, 6) 5 65 475 [6, 8) 7 5 85 445 ΣΥΝΟΛΑ 00 04 388 β) ) x) = = * * ) s = = * / * ) s = 0 v) cv =, v) R = 8 4 = 4 = =,04 x) =..,04 = 3,88,88 = 0 4.Ά σέ έα δείγμα μεγέθους =50,ισχύου:
50 = t =500, και ( t x ) =8450, ά εξετάσετε ά τό δείγμα είαι ομοιογεές 50 = s = E- *, AB *C=)D / Άρα s = 69 = 3 x) = E- *, B * =. = 69 = = 50 cv = = = 0,6 > 0,0 Άρα το δείγμα είαι αομοιογεές. 5.Ο μέσος όρος τώ απουσιώ τώ μαθητώ μιάς τάξης είαι: x = 8 εώ η διακύμαση είαι s =,5 καί t 7830.Νά υπολογίσετε = το s και το αριθμό τώ μαθητώ τής τάξης. s = = * / G x),5 = >. G = >., = 4 = 8,5 + 34 = >. G ( Παρατηρούμε ότι το είαι φυσικός αριθμός και όχι στρογγυλοποίηση κάποιου δεκαδικού.) 6.Επτά αδέρφια γεήθηκα έα κάθε έτος σε συεχόμεα έτη. Να υπολογισθεί η τυπική απόκλιση τω ηλικιώ τους.
Συμβολίζοτας τις ηλικίες τω αδελφώ με το κατάλληλο τρόπο, δηλαδή: x3, x, x, x, x+, x+, x+3 Έχουμε: x) = =C0=C0=C0=0=00=00=0 > = >= > = x O τύπος που εξυπηρετεί στις πράξεις του s είαι ο s = H *, A= *C=)D / = A=CC=D/ 0A=CC=D / 0A=CC=D / 0A=C=D / 0A=0C=D / 0A=0C=D / 0A=0C=D / > ;000000; > Άρα s =. =. > = 4 = = 7.Η μέση τιμή 8 παρατηρήσεω είαι 0, εώ η μέση τιμή άλλω παρατηρήσεω της ίδιας μεταβλητής είαι 3. Οι ατίστοιχες τυπικές αποκλίσεις είαι 8 και 4.Να βρεθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση και τω 0 παρατηρήσεω μαζί. Έστω x, x,, x. με x) = 0 και y, y,, y με y) = 3. Άρα 0 = + *, = *. /. ( x = 80 και 3 = *, J * ( y = 36 Άρα x) =.0.0 = = 5,8 Έστω s = = 8 s = = 64 = + *, = * /. = 64 8 = 3 0 64 + 00 = + *, = * /.. ( x
Έστω s J = 4 s J = 6 = / *, J * / = 300 3 6 + 9 = / *, J * / ( y = 5 Έστω η διακύμαση όλω s = = * / 0 J * / 33,64 = 46,36 s = 46,36.0 x) = 0 5,8 = 80,6 8.Σέ έρευα πού έγιε σχετικά μέ τό ύψος τώ μισθώ τώ υπαλλήλω μιάς επιχείρησης διαπιστώθηκε ότι τό ύψος τώ μισθώ τώ υπαλλήλω ακολουθεί τή καοική καταομή.συγκεκριμέα τό 50% τώ μισθώ υπερβαίει τα 900 ευρώ,εώ τό 6% είαι χαμηλότερο από τα 750 ευρώ. α)νά βρείτε τό μέσο μισθό τώ υπαλλήλω καί τή τυπική απόκλισή τους β)ά οι υπάλληλοι είαι 3000 πόσοι από αυτούς παίρου μισθό από 450 έως 750 ευρώ; α) Εφόσο το 50% υπερβαίει τα 900 ευρώ άρα η μέση τιμή της καταομής είαι 900. Αφού το 6% είαι χαμηλότερο από τα 750 ευρώ και επειδή το 50% 34% = 6% είαι χαμηλότερο του x) s = 750 και επειδή x) = 90 έχουμε ότι s = 50. Οπότε η καταομή είαι της μορφής:
β) Από 450 έως 750 ευρώ παίρει το ;;,>C. % = 5,85%. Εφόσο οι υπάλληλοι είαι 3000 το 5,85% αυτώ είαι,. 3000 = 5,85 30 K 476 υπάλληλοι. 9. Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής x μεγέθους 800 ακολουθού τη καοική καταομή. Είκοσι παρατηρήσεις είαι μικρότερες του 8 και 8 μεγαλύτερες του 36 ) Να βρείτε κατά προσέγγιση το εύρος του δείγματος. ι) Να εξετάσετε α το δείγμα τω παρατηρήσεω είαι ομοιογεές. Οι είκοσι παρατηρήσεις στις 800 είαι: Στις 800 0 Στις 00 x; Άρα x 800 = 0 00 x =. =,5
Άρα το,5% είαι μικρότερες του 8. Όμως,5% = 50 47,5%.Άρα το 8 είαι το x) s. Ομοίως οι 8 παρατηρήσεις στις 800 είαι: Στις 800 8 Στις 00 x; Άρα x 800 = 8 00 x =.. = 6% Όμως 50 34 = 6%.Άρα το 36 είαι το x) + s. Έχουμε λοιπό Lx) s x) " s M N x) 8"s 8"s"s 36 L Άρα 3s = 8 s = 6 και x) = 8 + 6 = 40 α) R = 6s = 6 6 = 36 β) cv = O = = 0,5 > 0,0 άρα το δείγμα είαι αομοιογεές =) 0.Μια εταιρία κιητής τηλεφωίας καθορίζει πρόγραμμα τηλεφωικώ συδιαλέξεω διάρκειας 3 έως 6 λεπτώ με τη χαμηλότερη χρέωση. Κατά τη διάρκεια μιας ημέρας με πολλές συδιαλέξεις βρέθηκε ότι το,5% τω τηλεφωημάτω ήτα μικρότερης διάρκειας από 3 λεπτά εώ το 6% τω τηλεφωημάτω ήτα μεγαλύτερης διάρκειας τω 6 λεπτώ. Υποθέτουμε ότι η καταομή τω χρόω συδιαλέξεω είαι περίπου καοική. α) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση τω χρόω συδιαλέξεω.
β) Α κατά τη διάρκεια αυτής της ημέρας έγια 000 τηλεφωήματα α βρείτε: ) Πόσα τηλεφωήματα είχα διάρκεια από 3 έως 5 λεπτά. )Πόσα τηλεφωήματα είχα διάρκεια μεγαλύτερη από 7 λεπτά. α) 0,5%,35% 3,5% 34% 34% 3,5%,35% 0,5% x -35 x-5 x-5 x x+5 x+5 x+35 x-5=3 x=5 και S= x+5=6 β) ο )3,5%+34%=47,5%, το πλήθος τω τηλεφωημάτω που είχα 47, 5 διάρκεια από 3 εώς 5 λεπτά είαι : 000=950 00 ο, 5 ),35%+0,5%=,5% οπότε 00 000=50 τηλεφωήματα.
6..Σε έα διαγώισμα μαθηματικώ μιας τάξεως ο μέσος όρος βαθμολογίας ήτα 8,5, με μεγαλύτερο βαθμό το. Ο καθηγητής για α βοηθήσει τη τάξη σκέπτεται ή α προσθέσει 5 μοάδες σε κάθε γραπτό ή α αυξήσει το βαθμό κάθε γραπτού κατά 0%. Πώς επηρεάζει το μέσο όρο της βαθμολογίας κάθε έα από τα δύο αυτά μέτρα; Έστω x οι βαθμοί τω μαθητώ με μέσο όρο 8,5. Α προσθέσει σε κάθε γραπτό 5 μοάδες οι βαθμοί θα γίου y = αx + β οπότε y) = x) + 5 = 8,5 + 5 = 3,5. Α αυξήσει το βαθμό κάθε γραπτού κατά 0% οι βαθμοί θα γίου y =, x άρα y) =, x) =, 8,5 = 9,35.Σέ έα δείγμα =0,με μέση τιμή 5,ισχύει 0 = x =80.Να βρεθεί πόσο τουλάχιστο πρέπει α αυξηθεί κάθε παρατήρηση ώστε το δείγμα α γίει ομοιογεές. Έστω x) = 5, = 0. s = = * / x) =. Άρα s = s = 4 και CV = O 5 = 64 65 = 6 =) = = 0,6 > 0,0 άρα αομοιογεές. Έστω ότι αυξάουμε τις παρατηρήσεις κατά α, α > 0. Οπότε έχουμε y = x + α y) = x) + α, 5y = 5x.
Για α είαι ομοιογεές το δείγμα πρέπει το καιούργιο CV α είαι μικρότερο ή ίσο του 0,0 δηλαδή CV = O Q = O S T 0,0 T 0,0 JR =)0α 0α 4 T,5 + 0,α,5 α U,5 Άρα κάθε παρατήρηση πρέπει α αυξηθεί τουλάχιστο κατά 5 για α προκύψει ομοιογεές δείγμα.