Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni şi legi ale mecanicii. De a semeni, se urmăreşte realizarea unei legături între mecanică şi biologie, prin exemple concrete şi prin tratarea distinctă a legăturii între mecanică şi biologie. Prin noţiunile şi principiile introduse, acest capitol reprezintă şi o bază pentru prezentarea unor alte părţi ale cursului. Cea mai simplă definiţie a mecanicii ar putea fi următoarea: mecanica este partea fizicii care se ocupă cu studiul mişcării. În realitate, mecanica se ocupă atât de studiul mişcării, prin intermediul cinematicii şi dinamicii, dar şi de studiul stării de echilibru, de repaus, în cadrul staticii. Mecanica reprezintă în acelaşi timp şi baza pentru majoritatea celorlalte capitole ale fizicii şi de aceea trebuie să reprezinte şi punctul de plecare al unui curs de biofizică, datorită faptului că mişcarea poate fi considerată esenţa vieţii. 2.1. CINEMATICA Cinematica este acea parte a mecanicii care studiază mişcarea fără a cerceta cauzele mişcării. Un sistem fizic aflat în mişcare se numeşte mobil, iar locul geometric al tuturor punctelor prin care trece mobilul în timpul deplasării se numeşte traiectorie. 23

Iuliana Lazăr Să considerăm un sistem de coordonate carteziene Oxyz (Fig.2.1.) în raport cu care poziţia unui punct P este determinată de vectorul de poziţie r, care poate fi scris astfel: r = xi +yj + zk unde x, y, z sunt coordonatele carteziene ale punctului P, iar unitari (versorii) pe cele trei direcţii x, y, z. i, j, k (2.1.) sunt vectorii Fig.2.1. Fig.2.2 Fig.2.3 Să prezentăm acum câteva elemente ale mişcării: 24 Viteza Viteza instantanee a punctului P (Fig.2.2) se defineşte prin raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi intervalul infinitezimal (care tinde la zero) de timp în care a fost parcurs acest spaţiu: dr dx dy dz v = = i + j+ k (2.2) dt dt dt dt sau: v= v i + v j+ v k (2.3) x y z In sistemul astfel ales, mărimea vectorului viteză se exprimă prin relaţia: 2 y 2 2 v= v + v + v (2.4) x Dacă notăm cu τ versorul tangentei la punctul în care se calculează viteza, atunci dr = τ dr şi relaţia (2.2) capătă forma: v dr = = v dt τ τ z (2.5)

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Rezultă astfel că viteza este o mărime vectorială, direcţia ei fiind tangentă la traiectorie în punctul considerat. În multe situaţii, prezintă interes cunoaşterea unei valori medii a vitezei. Aceasta se defineşte tot ca fiind raportul dintre spaţiul parcurs de mobil şi intervalul de timp în care a fost parcurs acest spaţiu, numai că de această dată, intervalul de timp este unul finit: Δd v med = (2.6) Δ t Acceleraţia Acceleraţia instantanee este definită ca raportul dintre variaţia vitezei şi intervalul de timp (considerat foarte mic) în care a avut loc această variaţie: dv a= (2.7) dt Ţinând seama de relaţia (2.2), se obţine: 2 dv d r a= = 2 dt dt Raportând mişcarea la un sistem cartezian de axe, putem scrie: (2.8) 2 2 2 d d x d y d z a= ( vxi+ vy j+ vzk)= i+ j+ k=ai+a 2 2 2 x y j+ak z (2.9) dt dt dt dt Analog relaţiei (2.4) putem scrie pentru modulul vectorului acceleraţie expresia: 2 2 2 a = a = a x +a y +a z (2.10) In general, vectorul acceleraţie nu este tangent la traiectorie (cu excepţia mişcărilor rectilinii), el având o componentă tangentă la traiectorie şi una normală la aceasta. In cazul unei mişcări oarecare viteza v variază atât ca direcţie ( τ ) cât şi ca mărime (v) şi ca urmare putem scrie: d v v a= = d ( v )= d + v d τ τ τ dt dt dt dt Cum τ este un vector unitar, avem: 2 τ τ = τ =1 şi derivând această relaţie în raport cu timpul, se obţine: dτ dτ τ + τ = 0 dt dt (2.11) (2.12) (2.13) 25

Iuliana Lazăr sau: dτ τ = 0 dt relaţie care arată că vectorii τ dτ şi au direcţii perpendiculare. Notând cu n dt vectorul unitate al normalei la traiectorie în punctul respectiv (Fig.2.3.), rezultă că: dτ dτ dτ = n = n (2.14) dt dt dt Ca urmare, relaţia (2.8) devine: dv dτ a= τ + v n (2.15) dt dt şi arată că vectorul a are două componente reciproc perpendiculare: o componentă tangentă la traiectorie, a t, determinată de variaţia vitezei ca mărime şi o componentă normală la traiectorie, a n, determinată de variaţia vitezei ca direcţie. Cele două componente au expresiile: dv dτ at= şi an= v dt dt Din figura 2.3 se observă că: d τ = τ d α= 1dα (2.16) (2.17) iar arcul P 1 P 2 = ds = R.dα. Acum se poate scrie: 2 dτ dα v ds v a n = v = v = = dt dt R dt R sau, conform cu relaţia (2.15), avem: v 2 a n = n R dv a t = dt τ Se pot considera câteva cazuri particulare: a) dacă R, mişcarea devine rectilinie şi a n =0, putând să existe numai a t ; (2.18) (2.19) (2.20) 26

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie b) dacă R = const. şi v = const., mişcarea este uniform circulară şi a=0 t, respectiv v 2 a n = n, ultima numindu-se acceleraţie centripetă. R 2.2. DINAMICA Dinamica este acea parte a mecanicii care studiază mişcarea pornind de la cauzele acesteia. Studiul sistemelor din punct de vedere dinamic are la bază un număr de principii fundamentale, cunoscute sub numele de principiile dinamicii. Cel mai important dintre acestea, cunoscut şi sub numele de principiul fundamental al dinamicii, poate fi enunţat astfel: "forţa rezultantă care acţionează asupra unui punct material este proporţională cu viteza de variaţie a impulsului": dp F ~ (2.21) dt unde mărimea notată cu litera p este egală cu produsul dintre masă şi viteză şi poartă numele de impuls. În Sistemul Internaţional de Unităţi, constanta de proporţionalitate este egală cu unitatea, astfel încât: dp d( mv) F = = (2.22) dt dt Cum în mecanica clasică, masa este o mărime constantă, ecuaţia de mai sus se mai poate scrie: dv F = m = ma (2.23) dt Conform acestei relaţii, masa este "o constantă de proporţionalitate" între forţă şi acceleraţie, sau altfel spus, este o mărime care determină valoarea acceleraţiei unui corp atunci când este supus unei forţe date. Cu cât masa este mai mare, cu atât acceleraţia determinată de forţă este mai mică, adică masa este o măsură a inerţiei corpurilor şi masa astfel definită mai poartă numele de masă inerţială. O altă posibilă definiţie a masei este legată de forţa de atracţie gravitaţională: G = mg (2.24) 27

Iuliana Lazăr Masa astfel definită este denumită masă grea şi are altă semnificaţie decât masa inertă: dacă valoarea unei forţe oarecare nu este determinată de valoarea masei inerte, valoarea greutăţii este determinată direct şi univoc de valoarea masei grele. În primul caz, masa este o măsură a inerţiei, în timp ce în al doilea caz, masa determină valoarea forţei. Diferenţa dintre cele două feluri de masă a constituit o problemă pentru fizicieni timp de secole, echivalenţa celor două fiind postulată de Einstein în teoria relativităţii generale. Cel de-al doilea principiu important al mecanicii este principiul acţiunii şi reacţiunii: "dacă un corp acţionează asupra altui corp cu o forţă numită acţiune, cel de-al doilea acţionează asupra celui dintâi cu o forţă egală şi de sens contrar numită reacţiune". Pentru caracterizarea din punct de vedere dinamic a unui sistem, sunt folosite şi mărimile energetice: lucrul mecanic, energia cinetică şi energia potenţială. Să considerăm un punct material asupra căruia acţionează forţa F, variabilă atât ca mărime cât şi ca direcţie şi sens. Fie r şi r +dr vectorii de poziţie a punctului material P la momentul iniţial şi după un interval de timp dt, unde dr = dr reprezintă deplasarea elementară (Fig.2.4.). Fig.2.4. Fig.2.5 Prin definiţie, lucrul mecanic elementar făcut de forţa F pentru deplasarea punctului material din punctul P 0 în punctul P este: dw = Fdr = Fdr cos α (2.25) iar lucrul mecanic total, pe întreaga curbă AB, va fi: 28

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Dacă F x,f y, F z B W = Fdr (2.26) A sunt proiecţiile forţei F pe cele trei axe, iar componentele vectorului dr pe aceleaşi axe de coordonate, se poate scrie: B d x,d y, d z sunt W = ( F x dx + F y dy + F z dz) (2.28) A care reprezintă expresia analitică a lucrului mecanic. Intr-un sistem de axe de coordonate (F,r), lucrul mecanic este egal cu suprafaţa haşurată din figura 2.5. Prin definiţie, energia cinetică a unui punct material este egală cu: 2 mv T = (2.29) 2 unde m este masa iar v este viteza punctului material. Trebuie subliniat faptul că energia cinetică este conform relaţiei de definiţie o mărime întotdeauna pozitivă. Presupunem că forţa care se exercită asupra punctului material nu depinde decât de poziţia punctului. O regiune în care asupra fiecărui punct acţionează o forţă formează un câmp de forţe. O forţă care are proprietatea că lucrul mecanic efectuat de ea este independent de drumul parcurs şi nu depinde decât de poziţia iniţială şi de poziţia finală a punctului se numeşte forţă conservativă. Un alt mod de a defini forţa conservativă este următorul: o forţă este conservativă dacă ea poate fi scrisă ca fiind egală cu gradientul (derivata spaţială) unei mărimi spaţial numite potenţial sau energie potenţială. Matematic aceasta se scrie astfel: F = U (2.30) unde U este energia potenţială. Relaţia se poate scrie şi pe componente astfel: U U U Fx = ; Fy = ; Fz = (2.31) x y z Energia potenţială este o energie de poziţie, spre deosebire de energia cinetică, definită ca o energie de mişcare, însă ambele reprezintă forme ale energiei mecanice. Trebuie subliniat faptul că prin modul în care a fost definită energia potenţială în relaţia (2.31), prin adăugarea unei constante lui U, valoarea forţei nu 29

Iuliana Lazăr se modifică. Aceasta înseamnă că poziţia corespunzătoare unei energii potenţiale nule este arbitrară, trebuind însă ca pentru o problemă dată, să avem grijă ca nivelul de referinţă al energiei potenţiale să fie ales în mod unic. Termenul de forţă conservativă cu care este asociată energia potenţială indică faptul că ea este utilă numai în cazul problemelor în care nu există pierderi de energie mecanică. Cea mai des întâlnită ocazie în care apar pierderi de energie mecanică este aceea în care deplasările se fac cu frecare. 2.3. CINEMATICA ŞI DINAMICA MIŞCĂRII DE ROTAŢIE În situaţia în care traiectoria pe care se efectuează mişcarea este un cerc de rază r, spaţiul parcurs pe circumferinţă este: s = rθ (2.32) unde θ este unghiul la centru descris de raza vectoare (Fig.2.6). O θ r s Calculul vitezei dă, ţinând cont că raza traiectoriei este constantă: v Fig.2.6 dθ = r (2.33) dt Poziţia mobilului pe traiectorie poate fi exprimată prin valoarea unghiului la centru θ, iar variaţia în timp a unghiului poartă numele de viteză unghiulară: dθ ω = (2.34) dt Similar acceleraţiei liniare se poate defini şi o acceleraţie unghiulară: 2 dω d θ ε = = (2.35) 2 dt dt 30

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Corpurile supuse unor mişcări circulare sunt caracterizate de o mărime numită moment de inerţie. Pentru un punct material de masă m care se mişcă pe o traiectorie circulară de rază r, valoarea acestuia este: 2 I = mr (2.36) Dacă este vorba despre un corp oarecare, rotindu-se în jurul unei axe fixe, expresia momentului de inerţie se scrie astfel: 2 I = r dm (2.37) unde r este distanţa de la elementul de masă dm la axa de rotaţie. Folosindu-se în locul masei momentul de inerţie, iar în locul vitezei liniare, viteza unghiulară, expresia energiei cinetice devine: 2 T = Iω (2.38) 2 Fig.2.7 Fig.2.8 relaţie echivalentă cu (2.29). In mişcarea de translaţie, acceleraţia liniară a unui punct material este asociată cu forţa. In mişcarea de rotaţie, acceleraţia unghiulară a punctului material este asociată cu momentul forţei. Dacă o forţă F acţionează asupra unui punct material P a cărui poziţie este dată de vectorul de poziţie r (Fig.2.7), momentul M al forţei în raport cu originea O, este definit prin relaţia: M = r F (2.39) Momentul M al forţei F este un vector perpendicular pe planul determinat de F şi r şi al cărui sens este dat de regula produsului vectorial. Modulul momentului forţei are valoarea: M = rf sin( r, F) = bf = rf n (2.40) 31

Iuliana Lazăr unde b, care poartă numele de braţul forţei, reprezintă distanţa de la centrul de rotaţie la dreapta suport a forţei, iar F n este componenta forţei normală pe raza vectoare. Aşa cum forţa este necesară pentru modificarea vitezei liniare, momentul forţei este necesar pentru modificarea vitezei unghiulare. Conform relaţiei (2.40), pentru ca o forţă să nu determine o mişcare de rotaţie, este necesar ca forţa să fie aplicată în punctul în jurul căruia se poate produce rotaţia (b = 0) sau să fie paralelă cu corpul (F n = 0). Anterior am văzut că impulsul este util în studiul mişcării de translaţie a punctelor materiale individuale sau a sistemelor mecanice. Se pune întrebarea: care este omologul impulsului în mişcarea de rotaţie? Acesta este momentul cinetic, dat de vectorul L (Fig.2.8) definit prin relaţia: L = r p (2.41) unde p este vectorul impuls al punctului de masă m, iar r este vectorul de poziţie al acestuia în raport cu originea O. Direcţia lui L este perpendiculară pe planul determinat de vectorii r şi p, iar sensul este dat de sensul produsului lor vectorial. Cele două mărimi pot fi exprimate şi în funcţie de mărimile cinematice caracteristice mişcării de rotaţie astfel: M = Iθ ; L = Iω (2.42) 2.4. TEOREME DE CONSERVARE Probabil cea mai importantă idee din fizică este aceea a conservării. Ea este importantă deoarece permite obţinerea unor ecuaţii utile în rezolvarea problemelor practice. În fizică sunt multe mărimi care se conservă, însă unele se conservă în orice situaţie (sarcina electrică, energia totală), iar altele, în anumite condiţii (impulsul, momentul cinetic). O menţiune specială trebuie acordată masei, a cărei conservare nu a fost pusă la îndoială până la apariţia teoriei relativităţii şi la punerea în evidenţă a variaţiei masei în procesele nucleare. Vom trece în revistă în continuare trei teoreme de conservare folosite frecvent în mecanică. 32

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Teorema de conservare a impulsului. Dacă forţa rezultantă care acţionează asupra unui sistem este nulă, impulsul său se conservă. Într-adevăr, dacă scriem ecuaţia principiului fundamental al dinamicii (2.22): dp F = = 0 dp = 0 p = const. (2.43) dt Această teoremă este deosebit de utilă în special în procesele de interacţiune dintre particule, unde nu sunt implicate forţe externe (de exemplu în cazul ciocnirilor). Teorema de conservare a energiei mecanice Într-un sistem mecanic în care acţionează numai forţe conservative, energia mecanică se conservă. În demonstrarea acestei teoreme se pleacă de la expresia lucrului mecanic, transformată după cum urmează: 2 dv dr mv dl = Fdr = ma. dr = m dr = m dv= mvdv= d = dt (2.44) dt dt 2 Scriind acum din nou lucrul mecanic: U U U dl = Fdr = Udr = dx + dy + dz = du (2.45) x y z Combinând cele două relaţii, rezultă că: dt + du = 0 d( T + U ) = 0 E = T + U = const. (2.46) deci energia mecanică totală a unui sistem conservativ este constantă. Teorema de conservare a momentului cinetic. Dacă momentul forţei care acţionează asupra unui sistem este nul faţă de un punct, momentul cinetic faţă de acelaşi punct este constant. Pentru demonstrarea teoremei vom calcula viteza de variaţie a momentului cinetic: dl d( r mv) dr dv = = mv + r m = r F = M (2.47) dt dt dt dt şi dacă momentul forţei este nul, atunci variaţia momentului cinetic este zero şi deci valoarea acestuia este constantă. În stabilirea relaţiei (2.47) am folosit faptul că: 33

Iuliana Lazăr dr mv v mv 0 dt = = deoarece produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul. (2.48) 2.5. STATICA Statica este acea parte a mecanicii care se ocupă cu studiul echilibrului corpurilor, atunci când acestea sunt supuse acţiunii unor forţe şi unor cupluri de forţe. Condiţia ca un sistem mecanic să se găsească într-o stare de echilibru este ca suma vectorială a forţelor care acţionează asupra sistemului şi suma vectorială a momentelor forţelor faţă de orice punct să fie nule: F i = ; M 0 0 i = (2.49) Pentru a înţelege mai bine condiţia de echilibru, vom folosi un exemplu practic: să calculăm forţa necesară menţinerii antebraţului în poziţie orizontală, atunci când în mână este ţinut un corp de masă m = 10 kg. Pentru rezolvarea acestei probleme, vom folosi un model simplificat al braţului, în care am reprezentat toate forţele implicate, ca în Fig.2.9. În figură sunt reprezentate braţul, antebraţul şi bicepsul. Forţa cu care acţionează bicepsul, şi pe care trebuie să o calculăm este F b, greutatea proprie a antebraţului este G a = m a g = 40 N (am considerat masa antebraţului 4 kg şi acceleraţia gravitaţională 10 m/s 2 ), greutatea corpului G = 100 N, iar F r este forţa de reacţiune care acţionează asupra antebraţului, din partea braţului, în cot. Lungimea antebraţului o vom considera egală cu 0.4 m, iar punctul în care bicepsul acţionează asupra antebraţului îl vom considera la 4 cm de cot. Vom mai considera unghiul făcut de biceps cu orizontala β = 70. În această problemă, numărul de necunoscute este egal cu trei: forţa din biceps, forţa de reacţiune şi unghiul sub care aceasta acţionează. Pentru rezolvarea problemei este deci necesar să scriem trei ecuaţii: două ecuaţii de echilibru pentru forţe, corespunzătoare la două direcţii perpendiculare (x şi y) şi una pentru momentele forţelor. 34

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Pentru aceasta, trebuie să descompunem forţele după o direcţie orizontală şi una verticală şi să alegem un punct faţă de care să calculăm momentele. Acesta trebuie să fie punctul în care sistemul poate să se rotească, în cazul nostru cotul. Cu notaţiile din Fig.2.9.b, se pot scrie ecuaţiile de echilibru: a. ecuaţia de echilibru a forţelor pe direcţia x: F F = F cos α F cosβ = 0 (2.50) rx bx r b. ecuaţia de echilibru a forţelor pe direcţia y: Fby Fry Ga G = Fb sin β Fr sin α Ga G = 0 (2.51) c. ecuaţia de echilibru a momentelor (considerăm prin convenţie pozitive momentele forţelor care tind să rotească antebraţul în sens orar şi negative pe cele care tind să imprime o rotaţie în sens trigonometric): l M F M G M G = Fbd sin β Ga Gl = 0 (2.52) b a 2 unde am folosit faptul că punctul de aplicaţie al lui G a este la jumătatea antebraţului (în centrul de greutate), braţul forţei F b este d.sinβ, iar momentul lui F r este nul deoarece are punctul de aplicaţie chiar în cot. b Fig.2.9 a) Modelul simplificat al braţului; b) Schema forţelor implicate Din relaţia (2.52) rezultă imediat: l Ga + Gl F 2 b = = 1277 N (2.53) d sinβ Această valoare a forţei exercitate de biceps, mult mai mare decât a greutăţii corpului ţinut în mână, se datorează faptului că punctul de aplicaţie al 35

Iuliana Lazăr forţei este mult mai aproape de cot decât cel al greutăţii, şi de aceea şi momentul forţei corespunzătoare este mai mic. Continuând calculele se obţin şi valorile celorlalte necunoscute: α = 67.6 ; F r = 1146 N 2.6. FRECAREA ŞI REZISTENŢA Faptul că frecarea este incompatibilă cu energia potenţială, nu este de natură să ne permită să considerăm frecarea neglijabilă sau neimportantă. De fapt, în natură toate sistemele sunt supuse sub o formă sau alta frecării, iar în unele cazuri, frecarea este indispensabilă realizării deplasării. Dacă de exemplu între cauciucul unui automobil şi asfalt nu ar exista frecare, deplasarea automobilului nu ar fi posibilă, cauciucul rotindu-se în loc. Forţele care duc la pierderea de energie mecanică (disipative) pot fi împărţite în două categorii: - forţele de frecare: sunt forţele care iau naştere la suprafaţa de contact dintre corpuri solide - forţele de rezistenţă: sunt forţele care iau naştere la deplasarea unui corp solid într-un fluid. Forţele de frecare sunt caracterizate de un coeficient de frecare şi sunt proporţionale cu forţa cu care corpul în mişcare apasă asupra suprafeţei pe care se deplasează: F f = μn (2.54) unde μ este coeficientul de frecare, care depinde de natura suprafeţelor în contact, iar N este forţa de apăsare normală pe suprafaţă. Forţa de frecare este orientată întotdeauna în sens opus deplasării. Experimental s-a pus în evidenţă faptul că un corp care se mişcă într-un fluid vâscos este supus unei forţe care se opune mişcării. Sub o formă generală, forţa de rezistenţă cu care acţionează fluidul asupra corpului poate fi scrisă astfel: F r =-ksf( v ) (2.55) 36

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie unde k este o constantă ce depinde de densitatea fluidului, s este aria maximă a secţiunii transversale a corpului, iar f( v ) este o funcţie de viteza relativă a corpului faţă de fluid. Fig.2.10 Valorile constantei k din expresia forţei de rezistenţă în funcţie de forma geometrică a corpului Constanta k poate fi considerată ca fiind constantă pentru o formă geometrică dată. Ca exemplu în acest sens, în figura 2.10 se indică valorile lui k (în funcţie de densitatea fluidului) pentru diferite obstacole cu simetrie de revoluţie, toate de acelaşi diametru. In cazul vitezelor mici, f(v)=v. Un caz particular, deosebit de interesant din punct de vedere practic, este cel studiat de către Stokes şi anume mişcarea unei sfere omogene printr-un fluid vâscos. In această situaţie, forţa de frecare este: F = - 6 r v r π η (2.56) unde r este raza sferei, v - viteza ei relativă, iar η este un coeficient care depinde ne natura fluidului şi care poartă numele de vâscozitate dinamică. In cazul corpurilor care se deplasează cu viteze medii prin fluid, funcţia din formula (2.55) are forma f(v)=v 2, iar la viteze supersonice f(v)=v 3. Pentru a exemplifica în continuare modul în care forţa de rezistenţă influenţează mişcarea, vom considera căderea unei macromolecule, pe care pentru simplitate, o vom considera de formă sferică, într-un lichid biologic. Fig.2.11 37

Iuliana Lazăr După cum se poate observa din figura 2.11, asupra moleculei acţionează trei forţe: forţa de greutate, forţa arhimedică şi forţa de rezistenţă. Forţa arhimedică este prin definiţie egală cu greutatea volumului de fluid dislocuit de corp şi este orientată în sens opus greutăţii. Presupunând că molecula cade în fluid, forţa de rezistenţă este orientată de asemeni în sens opus greutăţii. Principiul fundamental al dinamicii dă pentru acest caz ecuaţia: dv ma = m = G Fa Fr = mg ρ fvg 6πηrv = ( ρm ρ f ) Vg 6πη rv (2.57) dt unde m este masa moleculei, ρ f este densitatea fluidului, ρ m este densitatea moleculei, iar V este volumul moleculei. Forţa de rezistenţă a fost înlocuită cu relaţia din (2.56). Ecuaţia (2.57) reprezintă o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi, care prin integrare dă expresia vitezei în funcţie de timp. Presupunând că la momentul iniţial (t = 0), viteza moleculei era nulă, atunci, după un timp suficient de lung, se ajunge la o viteză care nu mai depinde de timp, numită viteză limită de cădere: v max ( ρm ρ f ) Vg = (2.58) 6πηr O mărime mai generală decât această viteză limită care să caracterizeze mişcarea este constanta de sedimentare, definită ca raportul dintre viteza limită şi acceleraţia gravitaţională: v max ( ρm ρ f ) V s = = (2.59) g 6πηr Utilizarea acestei mărimi este legitimată de faptul că de multe ori mişcarea descrisă mai sus nu se face numai sub acţiunea greutăţii. Cel mai bun exemplu este acela al proceselor care au loc într-o centrifugă. Într-un astfel de dispozitiv, particulele aflate într-un fluid sunt supuse unor forţe centrifuge foarte mari, ale căror acceleraţii sunt cu mult mai mari decât acceleraţia gravitaţională, astfel încât greutatea devine neglijabilă. 38

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie 2.7. DEFORMAREA CORPURILOR SOLIDE In paragrafele precedente, corpurile au fost presupuse având o formă bine precizată, care nu se modifică în timpul considerat. In realitate, sub acţiunea unor forţe suficient de intense, corpurile solide suferă modificări de formă şi dimensiune, care pot fi temporare (dispar o dată cu acţiunea forţei), numite deformări elastice sau permanente (se menţin şi după încetarea acţiunii forţei), numite deformări plastice. Limita de separare dintre cele două domenii de deformare este dată de proprietăţile substanţei din care este făcut corpul şi de intensitatea forţei care acţionează asupra lui. Cantitativ, limita de separare dintre cele două domenii este dată de o lege stabilită pe cale experimentală şi numită legea lui Hooke. Conform acesteia, în domeniul de elasticitate, deformarea este proporţională cu forţa care acţionează asupra obiectului, normalizată de obicei la unitatea de suprafaţă. In afara domeniului de elasticitatea, legătura dintre cele două mărimi nu mai este liniară (Fig. 2.12). Deformarea M' domeniu plastic M Q P domeniu elastic Efortul unitar Fig.2.12 Natura şi orientarea forţelor care acţionează asupra unui solid este foarte diversă. Pentru a caracteriza deformarea produsă, vom considera în continuare un corp solid de formă paralelipipedică, având una dintre feţe fixe, asupra feţei opuse acţionând o forţă arbitrară (Fig.2.13). Indiferent de orientarea forţei, ea poate fi descompusă în două componente, una aflată în acelaşi plan cu faţa corpului, iar cealaltă perpendiculară pe prima. Cele două componente ale forţei 39

Iuliana Lazăr sunt corespunzătoare celor două tipuri principale de acţiuni la cere este supus un solid: tracţiunea sau compresiunea, pentru componenta forţei orientată perpendicular pe faţa solidului, respectiv forfecarea pentru componenta aflată în planul forţei. F t F F n Fig. 2.13 Modul de descompunere al forţei care acţionează asupra feţei unui corp solid Corespunzător acţiunii acestor forţe, deformările corespunzătoare ale corpului sunt alungirea sau comprimarea, respectiv alunecarea. Vom studia în continuare separat fiecare caz. 2.7.1. Acţiunile simple la care este supus un corp solid Prima categorie a acţiunilor elementare la care este supus un corp solid este aceea a tracţiunii şi comprimării şi se întâlneşte în situaţia în care forţa se exercită pe direcţie perpendiculară pe faţa corpului care este opusă unei feţe fixe, ca în Fig. 2.14: Cazul ilustrat în Fig.2.14 este cel al tracţiunii, în cel al comprimării forţa F fiind orientată în sens invers. După cum se poate observa, sub acţiunea forţei de tracţiune, corpul suferă o alungire Δl. Se constantă experimental, conform legii lui Hooke, că alungirea relativă este proporţională cu forţa exercitată pe unitatea de suprafaţă: Δ l 1 F = (2.60) l E S 40

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie unde mărimea E este o constantă specifică materialului din care este confecţionat corpul, numită modul de elasticitate sau modul Young. Făcând o analiză dimensională a relaţiei (2.60) rezultă că unitatea de măsură a modulului de elasticitate este N.m -2. l F Δl m In cel de-al doilea caz, când forţa deformatoare se află în acelaşi plan cu faţa asupra căreia se exercită, avem de-a face cu o forfecare, al cărei efect este alunecarea. Fig. 2.14. Sub acţiunea forţei F care acţionează perpendicular pe faţa corpului, acesta suferă o alungire F α Fig. 2.15. Forţa F este o forţă de forfecare şi are drept efect o alunecare a corpului Aşa cum se arată în Fig. 2.15, măsura alunecării este unghiul cu care se abate corpul de la direcţia iniţială şi conform legii lui Hooke, acesta trebuie să fie proporţional cu forţa exercitată pe unitatea de suprafaţă: 1 F α = (2.61) GS 41

Iuliana Lazăr unde G este modulul de rigiditate sau modulul de forfecare având valoarea dependentă de natura corpului. In tabelul alăturat sunt date câteva valori ale constantelor elastice ale unor materiale uzuale. Tabelul 2.1. Constantele elastice ale diferitelor materiale Material E(N.m -2 ) G(N.m -2 ) Aluminiu Fier Oţel normal Cupru Bronz Os compact de femur umed Os spongios 7x10 10 2x10 11 (1,8 la 2,5)x10 11 1,2x10 11 1,1x10 11 1,7x10 10 1,7x10 8 2,5x10 10 8x10 10 (7,5 la 10)x10 10 4x10 10 4,5x10 10 0,8x10 10 10 8 în punctul P 5x10 7 2x10 8 10 9 10 7 10 7 5x10 7 F/S (N.m -2 ) în punctul Q 15x10 7 4x10 8 2x10 9 3x10 7 3x10 7 15x10 7 Se poate observa că valorile constantelor elastice ale osului compact sunt apropiate de cele ale metalelor. Este interesant de calculat comprimarea la care este supus unul dintre cele mai solicitate din punct de vedere mecanic oasele scheletului uman, tibia. Să considerăm un om cu masa de 70 de kg care stă în picioare. Presupunând că greutatea se distribuie în mod egal pe cele două picioare şi neglijând influenţa altor oase, pentru o rază medie a tibiei de 1 cm, efortul unitar suportat este: F G 70 9.81 6 2 = = 2 4 1.1 10 N / m S 2π R 2π 10 şi folosind legea lui Hooke (2.60), obţinem o comprimare relativă de: Δ l 1 F = = = l E S 5 6.5 10 0.0065% Considerând o lungime medie a tibiei de 30 cm, rezultă ca sub acţiunea greutăţii corpului osul suferă o comprimare de aproximativ 0,02 mm. Această valoare poate fi considerată pe bună dreptate neglijabilă, însă proprietăţile elastice ale scheletului îşi dovedesc importanţa în solicitările complexe la care este supus. 42

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie F F F Fig.2.16. a) Flexiunea plană b) Torsiunea In realitate, solicitările mecanice la care este supus un sistem sunt complexe, fiind date nu numai de forţele care tind să deformeze corpul, dar şi de momentele acestora, cum este în cazul flexiunii plane sau al torsiunii (Fig. 2.16). 2.7.2. Limita de elasticitate şi rupere După cum se poate vedea din figura 2.12, în care este reprezentată dependenţa experimentală a deformării de efortul unitar, diagrama poate fi împărţită în funcţia de mărimea deformării în două zone distincte. La valori mici ale deformării (din origine până în punctul P), la încetarea acţiunii forţei deformatoare, corpul revine la forma şi dimensiunile iniţiale şi spunem că ne găsim în domeniul deformărilor elastice. Dacă se depăşeşte limita de elasticitate, deformările devin permanente (domeniul P-Q) şi legea lui Hooke nu mai este valabilă, deformarea nemaifiind proporţională cu efortul unitar. La încetarea forţei deformatoare, corpul nu mai revine la starea iniţială, el urmează o diagramă nouă, M-M, corespunzătoare noilor stări ale sistemului. In acest domeniu, forma corpului nu se modifică foarte mult, el păstrându-şi parţial elasticitatea. Dacă forţa aplicată corpului este suficient de mare pentru ca diagrama deformării să atingă punctul Q, spunem că este atinsă limita de rupere şi corpul suferă o transformare plastică importantă, ruperea. In tabelul 2.1 pot fi văzute valorile eforturile unitare corespunzătoare punctelor P şi Q ale unor materiale. 43

Iuliana Lazăr După cum se poate vedea valorile respective sunt mult inferioare valorilor modulului de elasticitate, adică valorile posibile ale alungirilor relative din domeniul de elasticitate sunt mici, în general sub 1 %. 2.8. MIŞCAREA ÎN BIOLOGIE. INFLUENŢA GRAVITAŢIEI ASUPRA VIEŢII Se poate spune că mişcarea este însăşi esenţa vieţii. În biologie, mişcarea este prezentă sub toate formele, de la mişcarea mecanică simplă, până la mişcarea biologică, realizată cu organe specializate. Deşi ar părea că plantele nu au legătură cu mişcarea, trebuie să nu confundăm mişcarea cu modificarea poziţiei în spaţiu a întregului sistem. Plantele au o capacitate ridicată de mişcare, cel mai bun exemplu în acest sens fiind floarea soarelui. Însuşi procesul de creştere poate fi perceput ca o mişcare mecanică. La nivel celular, mişcarea este realizată de obicei prin mecanisme chimice: difuzie, mişcări ionice, sau prin gradienţi ai unor mărimi fizice. Curenţii care iau naştere în interiorul citoplasmei celulare au un rol foarte important, acela de a transporta diferitele substanţe în celulă, asigurând astfel buna funcţionare a diferitelor componente ale acesteia. Mai mult, la unele organisme monocelulare (ameoba), aceşti curenţi citoplasmatici au chiar rol de locomoţie. Un nivel superior de dezvoltare este reprezentat de apariţia la unele organisme unicelulare a unor cili (flageli) care permit deplasarea în medii fluide. Poate cel mai important factor mecanic ce influenţează lumea vie este gravitaţia. Prin faptul că toate organismele sunt supuse permanent unei forţe de atracţie din parte Pământului, întreaga dezvoltare a biosferei a fost influenţată. Mărimea forţei gravitaţionale influenţează poate cel mai mult dezvoltarea viului. Dacă Pământul ar fi fost mai mare, suferind acţiunea unor forţe mai mari, organismele ar fi avut cu siguranţă o talie mai mică, deplasarea ar fi fost mai greoaie, şi este posibil chiar ca zborul să nu mai fi fost posibil. Experimentele realizate în spaţiu cosmic, în condiţii de imponderabilitate au demonstrat faptul că funcţiile organismului se modifică în absenţa gravitaţiei, aceasta fiind poate cea mai importantă piedică în calea colonizării cosmosului. 44

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Forţa de atracţie gravitaţională este proporţională cu masa corpului ceresc care o exercită; este necesară o anumită mărime a planetei pentru ca această forţă să fie favorabilă evoluţiei chimice a materiei spre viaţă. O planetă prea mare are o forţă de atracţie gravitaţională suficient de mare pentru a reţine în atmosferă gaze ca hidrogenul, amoniacul sau metanul, atmosfera este foarte densă şi razele soarelui nu reuşesc să ajungă până la suprafaţa nucleului solid pentru a putea realiza reacţiile chimice necesare existenţei vieţii. In sistemul solar acesta este cazul planetelor Jupiter sau Saturn. Pe de altă parte, o planetă prea mică, cu gravitaţie redusă, nu poate reţine la suprafaţă o atmosferă gazoasa, ceea ce împiedică de asemenea apariţia vieţii. Efectul direct al gravitaţiei asupra fiinţelor vii se manifestă prin influenţa mărimii, formei şi structurii. Forţa de atracţie gravitaţională este proporţională cu masa, deci cu volumul corpului, ceea ce este echivalent cu o relaţie de proporţionalitate între forţă şi cubul dimensiunii liniare a corpului F L 3. Pe de altă parte, alte forţe din natură sunt proporţionale cu suprafaţa corpului sau cu secţiunea sa transversală, deci relaţia de proporţionalitate este de tipul F L 2. Unul dintre cele mai importante efecte este cel al forţelor de tip elastic. Forţa deformatoare este greutatea, proporţională cu cubul dimensiunii liniare, în timp ce efectul acesteia este proporţional cu secţiunea, deci cu pătratul dimensiunii liniare. Aceasta face ca pentru aceeaşi masă, corpuri cu secţiuni (forme) diferite să suporte solicitări diferite. Cum forma este legată şi de utilitate şi funcţionalitate, înseamnă ca gravitaţia aduce o limitare pentru dimensiunile plantelor şi animalelor, dar şi pentru construcţiile umane. Cel dintâi care a sesizat această limitare a fost Galilei, care a presupus că natura nu poate construi arbori şi animale oricât de mari cu materialele pe care le are la dispoziţie, după cum omul este limitat în ambiţiile sale de a construi edificii cât mai înalte de rezistenţa materialelor folosite. In 1778 Euler a demonstrat matematic faptul că o coloană prea înaltă se poate strivi sub acţiunea propriei greutăţi. Propria greutate şi limitarea rezistenţei la vânt limitează şi talia arborilor. Un studiu statistic realizat în 1983 asupra a 576 de specii de arbori din Statele Unite a demonstrat relaţia teoretică dintre înălţimea maximă a arborilor şi raza acestora l 3 r 2. 45

Iuliana Lazăr Influenţa gravitaţiei asupra animalelor se manifestă mai ales la nivelul scheletului. Animalele de talie mare (elefantul, rinocerul, hipopotamul) au oasele membrelor relativ mai groase. In acelaşi timp, proporţional cu cele ale altor animale ele sunt mai scurte, pentru a evita flambajul (flexiunea plană). Ca exemplificare, la şoarece scheletul reprezintă 8 % din masa totală, în timp ce la om procentul ajunge la 18 %. Pe parcursul evoluţiei, formele de dimensiuni foarte mari nu s-au dovedit viabile şi nu au supravieţuit până în prezent. Animalele voluminoase nu sunt numai grele, ele sunt şi greoaie. Dacă masa deplasată este proporţională cu L 3, eficienţa muşchilor este proporţională cu L 2, în timp ce energia necesară deplasării este proporţională cu L 4. Probabil cel mai mare animal din epoca dinozaurilor era brahiozaurul, care putea să ajungă la 78 de tone. Pentru comparaţie, cel mai mare animal terestru de astăzi, elefantul, are o masă de aproximativ 4 tone. In schimb, datorită forţei arhimedice, în apă greutatea reală a animalelor este mult mai mică, ceea ce permite atingerea unor dimensiuni cu mult superioare celor ale animalelor terestre. Astfel, balena poate să cântărească până la 100 tone. Diferenţele se observă şi la nivelul unor animale mai mici, talia crabilor de apă fiind mai mare decât a celor de uscat. Pentru a le putea permite zborul, păsările au o structură particulară care le permite să îşi micşoreze greutatea specifică. Ele au oasele tubulare având în interior saci cu aer cald în conexiune cu plămânii. De asemenea, penajul conţine o anumite cantitate de aer care contribuie şi ea la scăderea greutăţii specifice a întregului corp. O altă limitare dinamică a taliei animalelor este dată de efectul energiei cinetice când se atinge pământul în mers şi în salt. Oasele unui iepure de 3 kg suferă după un salt de 0.4 m o tensiune echivalentă cu o masă de 6.7 kg, în timp ce pentru un cal cu masa de 320 kg, după un salt efortul este echivalent unei mase de aproximativ 2 tone. Rezumând, acţiunea gravitaţiei se manifestă atât asupra factorilor de mediu, cât şi asupra formei şi dimensiunii lumii vii. Putem să ne imaginăm viaţa pe o planetă cu o gravitaţie mai mare decât a Terrei. Datorită gravitaţiei mai mari atmosfera este mai densă, absorbţia radiaţiei solare la nivelul solului este mai scăzută şi deci temperatura mai mică. Animalele ar fi mai mici, cu organe 46

Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie de locomoţie mai dezvoltate, iar zburătoarele ar lipsi, fauna fiind în general mai săracă, cu o mai mică diversitate. Condiţiile climatice ar duce şi la modificări de metabolism, acesta fiind probabil mai ridicat. Existenţa câmpului gravitaţional se constituie în acelaşi timp şi ca factor de excitare a unor organe specializate. Astfel, plantele cresc în direcţie verticală (pe direcţia liniilor de câmp), indiferent de forma solului. Animalele superioare au în urechea internă un întreg sistem mecanic ce permite menţinerea echilibrului, acesta lucrând pe baze gravitaţionale. Demonstrarea acestui fapt este foarte simplă şi se realizează prin "păcălirea" sistemelor specializate cu ajutorul altor tipuri de forţe, cea mai uşor de folosit fiind forţa centrifugă. Cu toţii ne amintim de jocurile copilăriei, când după ce ne roteam suficient de rapid, ne pierdeam imediat echilibrul, senzaţia de ameţeală dispărând doar după un timp, necesar organismului pentru a reveni la normalitate. Un experiment interesant a fost făcut şi asupra plantelor. Au fost plantate seminţe pe circumferinţa unei roţi aflată în mişcare. Toate plantele au crescut către interiorul roţii, luând forţa centrifugă drept forţă gravitaţională. Acesta este unul dintre motivele pentru care cucerirea spaţiului cosmic este deocamdată un vis departe de a fi realizat, absenţa gravitaţiei pentru perioade lungi ducând la modificări importante şi negative în structura scheletului, a sistemului muscular, fiind influenţat chiar şi metabolismul. În concluzie, pentru aprofundarea anumitor laturi ale ştiinţelor biologice este utilă şi necesară cunoaşterea unor capitole ale mecanicii. Să nu uităm că dezvoltarea fizicii ca ştiinţă a naturii a început cu mecanica. 47

Iuliana Lazăr 48