Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης σε µια περιοχή V του και επιπλέον x ώστε y = f ( x ) F x, f x = για κάθε x V Το ενδιαφέρον µας αυτό δικαιολογείται και από το γεγονός ότι οι επίπεδες καµπύλες ορίζονται συνήθως από εξισώσεις της F x, y = Έτσι θα θέλαµε να γνωρίζουµε, αφενός αν οι καµπύλες αυτές µορφής είναι τοπικά γραφήµατα διαφορίσιµων συναρτήσεων, δηλαδή αν µπορούµε να γράψουµε y f ( x), x F x, f x =, x Ι, όπου Ι διάστηµα του = Ι και συνεπώς R, και αφετέρου να υπολογίσουµε την παράγωγο df dx της f Για παράδειγµα, αν F( x, = x + y, τότε για κάθε ( x R x y x ±, µπορούµε να ορίσουµε ως f συνάρτησης, : + = µε x την κατάλληλη τετραγωνική ρίζα της x Το σηµείο y καθορίζει ποια ρίζα πρέπει να πάρουµε: Έτσι αν y > τότε η f ( x) x, x (,) = ικανοποιεί την απαίτησή µας ενώ αν y < τότε η f ( x) = x, x (,) είναι η ζητούµενη συνάρτηση Τα σηµεία (, ) και (,) αποκλείονται καθώς οι συναρτήσεις x [,] x x [,] x σηµεία ( x,) πολύ κοντά στο (, ) ή στο (,) δεν παραγωγίζονται στα σηµεία ± ( εξάλλου υπάρχουν y - O x - των εξισώσεων x δεν ορίζεται ) και όπου η τετραγωνική ρίζα της Παρατηρούµε ότι αν ( x, y ) = (,) ή (,) τότε ( x, y ) = Εποµένως, φαίνεται ότι µια συνθήκη του τύπου ( x, y ) είναι αναγκαία ώστε τοπικά να υπάρχει µοναδική διαφορίσιµη συνάρτηση f µε = και f x y F x, f x = Στην γενική περίπτωση, θεωρούµε µια «οµαλή» συνάρτηση F : D R R R και µελετούµε την εξίσωση F( x, y ) = ή ισοδύναµα το σύστηµα ( ) F x,, x, y,, y = F x,, x, y,, y = F ( x,, x, y,, =

58 Όπου βέβαια, F ( F F ) =,, Ο σκοπός µας είναι να επιλύσουµε το ανωτέρω y y y και να εκφράσοµε σύστηµα των εξισώσεων ως προς τους αγνώστους,,, τις λύσεις ως συναρτήσεις των x,, x δηλαδή =,, y y ( x x ) y y x,, x =,, 4 Θεώρηµα ( Πεπλεγµένης συνάρτησης) Έστω D R R ανοικτό, και p F : D R συνάρτηση της κλάσης C ( p ), F = ( F,, F) και ( a, b) D µε a R και b R ) Θεωρούµε τον πίνακα F( a, b ) = ( ( a, b) ( a, b) = ( a, b) ( a, b) y y ( F( x, = ( F ( x,,, F ( x, ), όπου x= ( x,, x), y= ( y,,, ( x, D ), και υποθέτουµε για την ορίζουσά του ότι det Τότε υπάρχει ανοικτό σύνολο p U R µε a U και µια µοναδική συνάρτηση f : U R της κλάσης C ώστε, f ( a) = b και F x, f ( x ) = για κάθε x U ( Εννοείται ότι U f ( U) D ) Σηµείωση Το θεώρηµα πεπλεγµένης συναρτήσεως µπορεί να αποδειχθεί µε εφαρµογή του θεωρήµατος αντιστρόφου συναρτήσεως στην συνάρτηση: x, y D R R x, F x, y R R Παρατήρηση Από την εξίσωση F x, f x =, x U µπορούµε να υπολογίσουµε τις µερικές παραγώγους της f, δηλαδή τις f f f =,,, =,,,, όπου f = ( f,, f), µε χρήση του κανόνα αλυσίδας Έστω για απλότητα =, δηλαδή f : U R V R και F : D R R R Ορίζουµε, g : U R R µε g = ( π,, π, f ), όπου = και παρατηρούµε ότι, Fog = F( π,, π, f ), άρα αν x= ( x,, x) U τότε, ( Fog)( x,, x ) = F x,, x, f ( x,, x ) = F x,, x, y όπου y f ( x x ) π η προβολή,,,, =,, g F Έπεται από τον κανόνα αλυσίδας ότι ( U R D R R R ) αν τότε: og π f f = + = + () αφού, = Fog π, =, =

59 Επειδή όµως, F x, f x = για κάθε x U og x, έπεται ότι = για κάθε f f x U Συνεπώς η () δίνει + = =, όπου ο υπολογισµός F γίνεται στα σηµεία x U µε ( x ) Σηµειώνουµε ότι στην περίπτωση που = ο πίνακας του θεωρήµατος πεπλεγµένης συνάρτησης ( είναι και ) είναι ο αριθµός ( a, b ) f j Στην γενική περίπτωση οι,, j της συνάρτησης f = ( f,, f) υπολογίζονται ως εξής Από τον κανόνα της αλυσίδας για την συνάρτηση Fog : U R R g = π,, π, f,, f έχουµε για το διαφορικό της Fog όπου ( ), x= ( x,, x), D( Fog)( x) DF( odg( x),,, (,, ),, (,, ) στο x U ( ) y= g x = x x f x x f x x = = όπου Άρα για τους αντίστοιχους πίνακες Jacob έχουµε: = D( Fog)( x) = DF( Dg( x) ή (, ) I = A B (), όπου, C f f A=, B=, C = f f και I ο ταυτοτικός πίνακας Έπεται από την () ότι, = A+ BCή C = B A Από την τελευταία εξίσωση υπολογίζουµε τις ζητούµενες µερικές παραγώγους f j,, j της συνάρτησης f Παράδειγµα Έστω ότι δίδεται το σύστηµα των εξισώσεων: xu+ yv = ( Σ) 6 xv + y u = (α) Μπορεί το (Σ) να επιλυθεί ως προς u και v συναρτήσει των x και y κοντά στα σηµεία: (ι) x=, y=, u= και v= και (ιι) x=, y=, u=, v= ; (β) Υπολογίστε την στο x= και y= και x=, y=, αν υπάρχει F : R R R, F = F, F όπου, Λύση Θεωρούµε την συνάρτηση ( ) 6 = + και F ( x y u v) xv y u F x, y, u, v xu yv,,, = + Η F είναι της κλάσης C στο

6 4 R R R 6 F,,, = +, + =,, και επίσης F (,,,) = (,) Θέλουµε να διαπιστώσουµε αν µπορούµε να λύσουµε το σύστηµα ως προς u( x, y ) και v( x, y ) x yv 5 Έτσι θεωρούµε την ορίζουσα, det = = = x v y u v 5 6 y u xv Στο σηµείο ( x, y, u, v ) = (,,, ) έχουµε ότι det = = 9 Έπεται από το 6 θεώρηµα πεπλεγµένης συνάρτησης ότι υπάρχει µοναδική λύση του (Σ) ως προς,,, x, y, u, v =,,, u( x v( x y ) κοντά στο σηµείο ιαφορίζοντας ως προς x τις εξισώσεις του συστήµατος (Σ) βρίσκουµε: ( x) ( ( xu+ yv ) = u+ x + v + y = u u+ x + yv = και 6 6 ( x) 6 ( xv + y u ) = v + x + u + y = v + xv + 6y u 5 x = u+ x + yv = u+ x + yv = ηλαδή (Σ ) 5 5 v + xv + 6y u = v + 6y u + xv = Θέτοντας x=, y=, u= και v= στις παραπάνω εξισώσεις καταλήγουµε στο + + = u 5 σύστηµα: Απαλείφοντας την βρίσκουµε: = και 9 + 6 + = v 7 = ( εννοείται στο σηµείο, ( x, y ) = (, ) ) 9 Καθόσον αφορά το σηµείο x=, y=, u = και v =, παρατηρούµε ότι det =, έτσι το θεώρηµα πεπλεγµένης συνάρτησης δεν µπορεί να αποφανθεί αν οι εξισώσεις του (Σ) επιλύονται µοναδικά σε αυτό το σηµείο Παρατηρούµε ακόµη ότι η ορίζουσα του συστήµατος (Σ ) συµπίπτει µε την x yv det = η οποία για x=, y=, u =, v= µηδενίζεται Έτσι η στο 5 6 y u xv x=, y= δεν υπάρχει Σηµείωση ιαφορίζοντας ως προς y τις εξισώσεις του (Σ) και θέτοντας στις προκύπτουσες εξισώσεις x=, y=, u= και v= µπορούµε να υπολογίσουµε τις παραγώγους, και στο ( x, y ) = (, )

6 Επανερχόµαστε τώρα στο ερώτηµα που θέσαµε στην αρχή αυτής της παραγράφου και το επιλύουµε, µε την βοήθεια του θεωρήµατος πεπλεγµένης συνάρτησης, για συναρτήσεις τριών µεταβλητών Η γενίκευση στις διαστάσεις αφήνεται ως άσκηση Εφαρµογή F x, y, z c Η επιφάνεια στάθµης έστω S που ορίζεται από την εξίσωση F x, y, z είναι µια C συνάρτηση, είναι τοπικά το γράφηµα =, όπου µιας C συνάρτησης δύο µεταβλητών στο σηµείο (,, ) προϋπόθεση ότι F( x, y, z ) x y z S, υπό την Πράγµατι, έστω ότι η F ορίζεται και είναι C στο ανοικτό υποσύνολο D του R και x, y, z S F x, y, z Άρα µία τουλάχιστον από τις έστω ακόµη ( ) µε ( ) µερικές παραγώγους της F στο (,, ) x y z δεν µηδενίζεται Ας υποθέσουµε ότι ( x, y, z ) Εφαρµόζουµε το θεώρηµα πεπλεγµένης συνάρτησης στην g = F c, συνεπώς g( x, y, z ) = και ( x, y, z) = ( x, y, z) Έπεται ότι υπάρχουν U R και V R ανοικτά σύνολα µε ( x, U, z V και µια µοναδική C συνάρτηση f : U V µε f ( x, y ) = z ώστε g( x, y, f ( x, y )) = για κάθε ( x, Ισοδύναµα: F x, y, f ( x, = c για κάθε ( x, U U F x, y, z Έτσι η επιφάνεια στάθµης S που ορίζεται από την εξίσωση ταυτίζεται πλησίον του ( x, y, z ) µε το γράφηµα µιας f : U R R Έπεται ιδιαίτερα ότι αν F( x, y, z) για κάθε ( x, y, z) S Για κάθε ( x, y, z) S η S πλησίον του (,, ) = c C συνάρτησης τότε: x y z ταυτίζεται µε το γράφηµα µιας C συνάρτησης δύο µεταβλητών ( x, y, z) ( x, y, z f ) Σηµειώνουµε ακόµη ότι: ( x, = = και ( x, y, z) ( x, y, z) ( x, y, z) ( x, y, z) f ( x, = = ( x, y, z) ( x, y, z) Από τις εξισώσεις αυτές παίρνουµε και την εξίσωση του εφαπτόµενου επιπέδου Ε της x, y, z : S στο ( x x y y z z ) g( x y z ),,,, =, ( πρβλ και τον σχετικό ορισµό στην παράγραφο για τις επιφάνειες στάθµης )

6 Παράδειγµα Θεωρούµε την επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση x y 8xz z y x, y, z της επιφάνειας S πλησίον + + = Να βρεθούν σηµεία C συνάρτησης z f ( x, των οποίων η S ταυτίζεται µε το γράφηµα µιας = Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε την εφαρµογή του θεωρήµατος πεπλεγµένης συνάρτησης που συζητήσαµε προηγουµένως Έστω F( x, y, z) = x + y + 8xz z y Η F είναι βέβαια C συνάρτηση (ως πολυωνυµική) και η επιφάνεια S ορίζεται από την εξίσωση F( x, y, z ) = Ουσιαστικά ο στόχος µας είναι να επιλύσουµε την εξίσωση F( x, y, z ) = ως προς z ώστε το z να εκφράζεται ως συνάρτηση µόνο των µεταβλητών x και y Από την προηγούµενη εφαρµογή αυτό µπορεί να γίνει κοντά σε εκείνα τα σηµεία ( x, y, z) S ώστε, ( x, y, z ) () Επειδή, = 6xz 9z y, έπεται από x, y, z S είναι εκείνα για τα οποία ισχύει, ότι, την () ότι τα ζητούµενα σηµεία 6xz 9z y z( 6x 9z z και 6x 9zy Για παράδειγµα τα σηµεία του,, R, και,, ικανοποιούν αυτές τις προϋποθέσεις Ασκήσεις 5 )Αποδείξτε ότι η εξίσωση xy+ z+ xz = 4 λύνεται ως προς z σαν συνάρτηση του ( x, y ) κοντά στο (,, ) Υπολογίστε τις και στο (, ) )Ελέγξτε απ ευθείας ( χωρίς την χρήση του θεωρήµατος πεπλεγµένης συνάρτησης) σε ποια σηµεία µπορούµε να λύσουµε την εξίσωση, F( x, = y + y+ x+ = ως προς y συναρτήσει του x Στην συνέχεια επαληθεύστε την απάντηση σας µε την απάντηση που δίνει το θεώρηµα πεπλεγµένης συνάρτησης Υπολογίστε την dy dx ) είξτε ότι το σύστηµα των εξισώσεων x+ y z+ u = x y + z + u = µπορεί να επιλυθεί x + y z + u = ως προς x, y, u συναρτήσει του z, ως προς x, z, u συναρτήσει του y, ως προς y, z, u συναρτήσει του x, αλλά όχι ως προς x, y, z συναρτήσει του u f x, y = x x + y + y 4)Θεωρούµε την πολυωνυµική συνάρτηση (α) Βρείτε τα (τέσσερα) σηµεία ( x, y ) του R στα οποία ισχύει f ( x, = Αποδείξτε ότι η f έχει ακριβώς ένα τοπικό µέγιστο και ένα τοπικό ελάχιστο στο (β) Έστω S η καµπύλη του βρεθούν εκείνα τα σηµεία (, ) R που ορίζεται από την εξίσωση f R x, y = Να x y της S που δεν έχουν καµία περιοχή U στην

6 οποία η εξίσωση f ( x, y ) = να µπορεί να επιλυθεί ως προς y συναρτήσει του x (ή ως προς x συναρτήσει του y ) x y xy x + y x + y { } 5)Έστω f ( x, =,,( x, R (,) f κοντά στο σηµείο (, ) ; Αντιστρέφεται τοπικά η 6) είξτε ότι η επιφάνεια της µοναδιαίας σφαίρας του R,,, : S = x y z R x + y + z = έχει την ιδιότητα ότι για κάθε ( a, β, γ) S η { } S κοντά στο (,, ) a β γ είναι το γράφηµα µιας συνάρτησης δύο µεταβλητών Τέτοιες επιφάνειες ονοµάζονται συνήθως οµαλές επιφάνειες και ο ορισµός αυτός επεκτείνεται εύκολα στον R ( ) Γενικεύστε το παραπάνω αποτέλεσµα για την Ευκλείδεια µοναδιαία σφαίρα του R ( ) 7) είξτε ότι οι επιφάνειες, του R που ορίζονται από τις εξισώσεις: 4 4 5 x y + z =, x + y+ z = και x + y + z = είναι οµαλές 8) είξτε ότι η επιφάνεια που ορίζεται από την εξίσωση οµαλή κοντά στο (,, ) x + y z = δεν είναι