ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραμμικά συστήματα Μία εξίσωση της μορφής K () καείται γραμμική εξίσωση μεταητών i i με σταθερό όρο F και συντεεστές i F όπου το F θα είναι το σώμα των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών Τα στοιχεία του F καούνται και μονόμετρα μεγέθη Η ύση της () είναι το σύνοο εκείνων των τιμών s i των i που καθιστούν την () ταυτότητα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η γραμμική εξίσωση έχει ύση στους πραγματικούς s αριθμούς το σύνοο των τιμών { s s} όπου s s R Γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνοο m γραμμικών εξισώσεων της μορφής () Η γενική μορφή ενός γραμμικού συστήματος είναι η K m m K L K Η ύση (ή το σύνοο ύσεων) του () είναι το σύνοο εκείνων των τιμών s i των i που καθιστούν κάθε μία από τις m γραμμικές εξισώσεις που εμπεριέχονται στο () ταυτότητα Συστήματα που έχουν m > θα έμε ότι έχουν ύση (είναι συματά) αν και μόνον αν η ύση που προκύπτει από τις οποιεσδήποτε εξισώσεις πηροί και τις υπόοιπες m εξισώσεις ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το σύστημα 8-8 έχει ύση το σύνοο των τιμών { s s s} όπου s s s s s R Δύο γραμμικά συστήματα που έχουν το ίδιο σύνοο ύσεων καούνται ισοδύναμα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να ρεθεί η ύση του συστήματος Παρατηρούμε ότι κάθε μία από τις παραπάνω δύο εξισώσεις του συστήματος στο καρτεσιανό επίπεδο απεικονίζει μία ευθεία γραμμή Το σημείο τομής των ευθειών αυτών πηροί και τις δύο και συνεπώς αποτεεί ύση του ανωτέρω συστήματος Το σημείο αυτό είναι το ( s s ) - Δύο ευθείες στο επίπεδο είτε τέμνονται είτε είναι παράηες είτε συμπίπτουν m m ()
Οι τρεις αυτές περιπτώσεις οδηγούν στο συμπέρασμα ότι ένα γραμμικό σύστημα είναι δυνατόν είτε να έχει μία και μοναδική ύση είτε να μη έχει καμία ύση είτε να έχει άπειρες ύσεις Συμοισμός Το σύστημα () το γράφουμε ισοδύναμα στην μορφή ενός πίνακα ως εξής: L L () L m m L m m m Ο πίνακας () καείται επαυξημένος πίνακας (gmtd mtri) του συστήματος Ο πίνακας αυτός περιέχει όες τις πηροφορίες που το σύστημα () μας παρέχει ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ο πίνακας 9 9 8 8 9 ισοδυναμεί με το σύστημα 9 9 8 8 9 Στοιχειώδεις πράξεις επί των συστημάτων Έτσι θα καούμε εκείνες τις πράξεις που γίνονται ανάμεσα στις εξισώσεις ενός γραμμικού συστήματος και έχουν σαν αποτέεσμα να προκύψει σύστημα ισοδύναμο του αρχικού Οι πράξεις αυτές είναι οι εξής τρεις: Ααγή της σειράς καταγραφής των εξισώσεων του συστήματος () Ποαπασιασμός μιας εξισώσεως του συστήματος επί μία σταθερά F Αντικατάσταση μιας εξισώσεως του συστήματος () από το άθροισμα αυτής και κάποιας άης εξισώσεως του συστήματος ()
Το γεγονός ότι ενεργουμένων των πράξεων και επί του συστήματος () προκύπτει σύστημα ισοδύναμο του () είναι προφανές Για την πράξη Έστω ότι έχουμε αντικαταστήσει την δεύτερη εξίσωση του () από το άθροισμά της ιδίας με την πρώτη γραμμή Θα έχει προκύψει τότε ένα νέο σύστημα (') του οποίου η δεύτερη εξίσωση θα έχει την μορφή ( ) ( ) K ( ) Φανερά αν { s s K s } σύνοο ύσεων του () τότε αυτό είναι και σύνοο ύσεων του (') μια και ( )s ( )s K ( )s ( s s K s ) ( s s K s ) Στον συμοισμό πινάκων οι πράξεις αυτές υοποιούνται ως εξής: Ααγή στην θέση μιας γραμμής του πίνακα () Ποαπασιασμός μιας γραμμής του πίνακα () επί μία σταθερά F Αντικατάσταση μιας γραμμής του πίνακα () από το άθροισμα της ιδίας με κάποια άη γραμμή Η άθροιση γίνεται σε τρόπον ώστε στοιχεία που ρίσκονται στην ίδια κοώνα του πίνακα να παραμένουν στην κοώνα αυτή Ο πίνακας που θα προκύψει μετά την διενέργεια στοιχειωδών πράξεων επί ενός πίνακα Α καείται πίνακας Α' ισοδύναμος του πίνακα Α Γράφουμε και Η σχέση είναι φανερά μία σχέση ισοδυναμίας (έπε ενότητα Σύνοα ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στον πίνακα 9 9 8 8 9 καούμε l l l τις γραμμές του Αν αντικαταστήσουμε την δεύτερη γραμμή του από το άθροισμα l l ααίνουμε τον ισοδύναμο πίνακα 9 9 Ποαπασιάζοντας την πρώτη γραμμή επί και την δεύτερη γραμμή επί προ- κύπτει ο ισοδύναμος πίνακας Τέος θέτοντας l l l προκύπτει ο ισοδύναμος πίνακας Η μορφή του Α' όπου το πρώτο μη μηδενικό στοιχείο κάθε γραμμής ισούται με την μονάδα όα δε τα στοιχεία που ρίσκονται κάτω απ αυτήν είναι μηδενικά καείται
ανοιγμένη μορφή του πίνακα Α Προφανώς κάθε πίνακας Α έχει μία και μοναδική ανοιγμένη μορφή Λύση γραμμικών συστημάτων Η διαδικασία ύσης ενός γραμμικού συστήματος ουσιαστικά απαντά στα ερωτήματα: Το σύστημα έχει ύση; Αν υπάρχει ύση η ύση αυτή είναι μοναδική ή όχι; Η απάντηση στα παραπάνω ερωτήματα προκύπτει άμεσα από την μορφή του ανοιγμένου πίνακα Α' του πίνακα Α του γραμμικού συστήματος () Πράγματι ν η τεευταία γραμμή του Α' έχει όα τα στοιχεία της μηδενικά εκτός του τεευταίου τότε το σύστημα είναι αδύνατον (δεν έχει ύση) Η τεευταία μη μηδενική γραμμή του πίνακα έχει περισσότερα του ενός μη μηδενικά στοιχεία το σύστημα έχει ύση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Να υθεί το σύστημα 8 8 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 8 8 Αάζουμε την θέση των γραμμών ένα και τρία 8 8 Ποαπασιάζουμε την πρώτη γραμμή επί l και έχουμε τον ισοδύναμο πίνακα l l και στην συνέχεια θέτουμε 8/ / / / / 9 / 8 Τέος θέτουμε l l και l l l οπότε έχουμε τον ισοδύναμο πίνακα 8/ / / 9 Το σύστημά μας δεν έχει ύση μια και για κανένα s R η εξίσωση s είναι δυνατόν να αηθεύει ) Να υθεί το σύστημα Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο
Θέτουμε l l l οπότε έχουμε τον ισοδύναμο πίνακα Ποαπασιάζουμε την δεύτερη γραμμή επί και στην συνέχεια θέτουμε l l l οπότε έχουμε τον ισοδύναμο πίνακα / / / / Τέος ποαπασιάζουμε την τρίτη γραμμή επί και έχουμε / / / Ο πίνακας αυτός αντιστοιχεί στο ισοδύναμο σύστημα / που έχει την μοναδική ύση s 8 s s ) Να υθεί το σύστημα 9 9 Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο 9 9 Την τεευταία γραμμή την καθιστούμε πρώτη 9 9
Θέτουμε l l l και l l l οπότε έχουμε τον ισοδύναμο πίνακα 9 9 Θέτουμε l l και στην συνέχεια l l l και l l l 9 Η τεική μορφή του ισοδύναμου πίνακα είναι η 9 Η ύση συνεπώς του συστήματός μας είναι η { s R s s s s s } Το σύστημα έχει άπειρο πήθος ύσεων μια και αυτές εξαρτώνται από την παράμετρο s R Πράξεις επί των διανυσμάτων Ένας πίνακας που αποτεείται από μία και μόνον κοώνα καείται και διάνυσμα (ctor) Η γενική μορφή ενός διανύσματος είναι οιπόν η M όπου πάντα i F F για μας το σώμα των πραγματικών ή μιγαδικών αριθμών Τα i καούνται συντεταγμένες του διανύσματος Γράφουμε αν και μόνον αν i i i Στην περίπτωση που νοούμε τα i i ως συντεταγμένες ενός σημείου P του R το ααίνει την μορφή ενός έους με αρχή την αρχή των συντεταγμένων και πέρας το σημείο P Στο σύνοο των F ορίζουμε τις πράξεις: ) Πρόσθεση w F όπου w M
και ) μονόμετρο ποαπασιασμό w F F όπου w M Φανερά ισχύουν οι παρακάτω αγερικές ιδιότητες των ανωτέρω πράξεων: (αντιμεταθετικός νόμος) ( w) ( ) w (προσεταιριστικός νόμος) Υπάρχει το (ουδέτερο στοιχείο) (όα τα i ) για το οποίο έχουμε ότι ( ) όπου ( ) ( ) (επιμεριστικός νόμος) ( μ) μ (επιμεριστικός νόμος) ( μ ) ( μ) (προσεταιριστικός νόμος) Αν περιοριστούμε στον συνηθισμένο χώρο των τριών διαστάσεων τότε η πράξη πρόσθεση ταυτίζεται με την πρόσθεση που ορίζεται από τον κανόνα του παραηογράμμου ενώ ο μονόμετρος ποαπασιασμός ταυτίζεται με έναν εφεκυσμό του έους κατά μονάδες ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Πρόσθεση διανυσμάτων Μονόμετρος ποαπασιασμός διανυσμάτων P Ο Q R Ο P Συντεταγμένες του σημείου R Συντεταγμένες του P ) R ) Κήση φ της ευθείας ΟΡ ( ( φ t F F Γραμμικοί συνδυασμοί Δοθέντων των διανυσμάτων K το διάνυσμα που ορίζεται από την σχέση y K καείται γραμμικός συνδυασμός των K Λέμε ακόμα ότι το y εκφράζεται γραμμικά από τα K Το σύνοο όων των δυνατών συνδυασμών των K είναι ένα υποσύνοο S του F κειστό ως προς τις πράξεις πρόσθεση και μονόμετρος ποαπασιασμός (Κειστό σημαίνει ότι αν είναι y y S τότε και y y S ως επίσης και αν y S τότε και y S F ) Λέμε ότι το σύνοο S παράγεται από τα K Γράφουμε S < K > ή και
8 S Sp{ K } Το γεωμετρικό ανάογο του συνόου S το αντιαμανόμεθα από τα παρακάτω παραδείγματα R ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Εν F (το Καρτεσιανό επίπεδο) S < > Το S περιέχει όα τα διανύσματα της μορφής R Τα σημεία Ρ που αντιστοιχούν στα διανύσματα αυτά ρίσκονται όα πάνω σε μία ευθεία που περνά από την αρχή των συντεταγμένων και έχει κήση φ όπου t φ ) Εν F R S < > Το S περιέχει όα τα διανύσματα της μορφής μ μ R Τα σημεία Ρ που αντιστοιχούν στα διανύσματα αυτά ρίσκονται όα πάνω σε ένα επίπεδο που περνά από την αρχή των συντεταγμένων ΠΡΟΒΛΗΜΑ Έστω εν R τα διανύσματα και Το ανήκει ή δεν ανήκει στο S < > ; Λύση Απάντηση στο παραπάνω ερώτημα έχουμε αν ύσουμε την γραμμική εξίσωση () Η () δίδει την ή και () Η () όγω του ορισμού της ισότητας δύο διανυσμάτων είναι ισοδύναμος με το σύστημα Η ύση του συστήματος αυτού είναι η s s και συνεπώς S Συμοισμός Τον επαυξημένο πίνακα του γραμμικού συστήματος () της τον συμοίζουμε και ως εξής: [ K () Παρατήρηση Μία διανυσματική εξίσωση K () έχει το ίδιο σύνοο ύσεων με το σύστημα του οποίου ο επαυξημένος πίνακας είναι ο () Ισχύει ότι < K > αν και μόνον αν το γραμμικό σύστημα που έχει τον () ως επαυξημένο πίνακα έχει ύση ΠΡΟΒΛΗΜΑ Για ποιες τιμές του y < > όπου και y Λύση y < > αν και μόνον αν το σύστημα
9 έχει ύση Είναι 8 και συνεπώς R s 9 s s ΠΡΟΒΛΗΜΑ Για ποιες τιμές του > < y όπου και y Λύση > < y αν και μόνον αν το σύστημα έχει ύση Είναι 8 και συνεπώς για να έχουμε ύση θα πρέπει να άουμε Για την τιμή αυτή του το σύστημα έχει την ύση R s 8s s s s Η εξίσωση Αν [ K είναι ο m πίνακας του οποίου οι κοώνες αποτεούνται από τα διανύσματα m F i και αν F ορίζουμε το γινόμενο Α ως εξής: [ K M K Προσοχή! Το διάνυσμα έχει τόσες συντεταγμένες όσες είναι οι κοώνες του πίνακα Α Αν αυτό δεν συμαίνει το γινόμενο Α δεν ορίζεται Το διάνυσμα έχει τόσες συντεταγμένες όσες είναι οι γραμμές του πίνακα Α Την εξίσωση Α μπορούμε να την μεταφράσουμε ως εξής: Ο πίνακας Α δρα επί του διανύσματος και ως αποτέεσμα της δράσεως αυτής ααίνουμε το διάνυσμα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ και Επειδή ο πίνακας Α έχει κοώνες και το διάνυσμα έχει συντεταγμένες το γινόμενο Α ορίζεται και είναι ένα διάνυσμα που έχει συντεταγμένες 8 9 Σύμφωνα με ότι έχουμε πει ως εδώ μπορούμε να ισχυριζόμαστε ότι ισχύει η πρόταση Πρόταση Αν Α ένας m πίνακας με κοώνες m i F K και m F η εξίσωση είναι μία άη γραφή της K η οποία είναι ισοδύναμη με το σύστημα m m m m K L K K Η εξίσωση έχει συνεπώς ύση αν και μόνον αν το είναι δυνατόν να εκφραστεί γραμμικά από τα K δηαδή αν και μόνον αν > < K Το γινόμενο Α όταν ορίζεται έχει τις αγερικές ιδιότητες: ) ) ( ) F γ γ γ ) ( ) ( ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Έστω και 8 Ισχύει ότι > < όπου οι κοώνες του πίνακα Α ; Λύση Θα πρέπει να θέσουμε το στην μορφή Η εξίσωση αυτή γράφεται και 8 ή και 8 ή ακόμα και 8 Οδηγούμεθα συνεπώς σε ένα σύστημα που έχει m > Το σύστημα αυτό για να έχει ύση θα πρέπει η ύση } { s s που προσδιορίζεται από δύο οποιεσδήποτε εξισώσεις του να επαηθεύουν και την τρίτη Το σύστημα που αποτεείται από την πρώτη και την τρίτη εξίσωση έχει επαυξημένο πίνακα τον 8 Ο πίνακας αυτός είναι ισοδύναμος με τον
/ / και συνεπώς έχουμε την ύση s και s Οι τιμές αυτές πηρούν την δεύτερη εξίσωση του συστήματος Άρα το σύστημα είναι συματό και τεικά το διάνυσμα < > ) Να υθεί η εξίσωση με και Λύση Έχουμε Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο ο οποίος είναι ισοδύναμος / / με τον Το σύστημα έχει ύση τότε και μόνον τότε όταν / Στην περίπτωση αυτή R Παρατηρούμε ότι όες οι ύσεις της αποτεούν στο καρτεσιανό επίπεδο μία ευθεία διερχομένη από o την αρχή των συντεταγμένων και με κίση φ ) Να υθεί η εξίσωση με και 8 Λύση Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος που αντιστοιχεί στην είναι ο / / / που είναι ισοδύναμος του Η ύση 8 του συστήματος είναι η { s s / s R} Το διάνυσμα που s - / / αποτεεί ύση της είναι το Θέτουμε / p και οπότε το p Το γεωμετρικό ανάογο της p είναι μία ευθεία παράηος της ευθείας l που διέρχεται από το σημείο p (μεταφορά της l κατά p) Το διάνυσμα p καείται και ειδική ή μερική ύση της εξισώσεως p είναι η γενική ύση της εξισώσεως Ομογενή γραμμικά συστήματα Έτσι καούνται τα συστήματα που αντιστοιχούν στην εξίσωση Η εξίσωση αυτή έχει πάντα ύση την Το ερώτημα που τίθεται είναι αν έχει και κάτω από ποιες συνθήκες και ύσεις Η απάντηση
στο ερώτημα αυτό δίδεται από την μορφή που ααίνει ο ισοδύναμος πίνακας του ομογενούς συστήματος Αν αυτός τεικά περιέχει μία γραμμή που όα της τα στοιχεία είναι μηδενικά τότε το σύνοο ύσεων του συστήματος περιέχει μία τουάχιστον παράμετρο και συνεπώς έχει άπειρο πήθος μη μηδενικών ύσεων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να υθεί το σύστημα που αντιστοιχεί στην εξίσωση όπου Λύση Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος είναι ο Ο πίνακας αυτός είναι ισοδύναμος του Η ύση του συστήματος είναι συνεπώς η { s s s s s R} Άρα και όπου Παρατήρηση ) Το σύνοο ύσεων της περιαμάνει πάντα και το διάνυσμα ) Η γενική ύση της αποτεείται από μία μερική ύση p συν την γενική ύση της ομογενούς 8 Γραμμική εξάρτηση Το σύνοο S των διανυσμάτων K F καείται σύνοο γραμμικά εξαρτημένο αν και μόνον αν υπάρχουν i F i όχι όα μηδενικά έτσι ώστε K () Το σύνοο S καείται σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο αν και μόνον αν δεν είναι σύνοο γραμμικά εξαρτημένο Το S είναι οιπόν γραμμικά ανεξάρτητο αν και μόνον αν η K συνεπάγεται την i Η () γράφεται ισοδύναμα και στην μορφή i όπου [ K και Το σύνοο S είναι γραμμικά εξαρτημένο (αντ M ανεξάρτητο) αν και μόνον αν η ομογενής εξίσωση έχει (αντ δεν έχει) και ύσεις διαφορετικές της μηδενικής ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Το σύνοο S { } είναι ναι ή όχι γραμμικά εξαρτημένο; όπου
Λύση Εέγχουμε αν η σχέση ισχύει για τιμές των i i και εξετάζουμε τον επαυξημένο πίνακα του αντίστοιχου συστήματος (Προσοχή! το σύστημα έχει τρεις αγνώστους και τέσσερις εξισώσεις) Είναι / / Το ισοδύναμο σύστημα είναι το Το οποίο έχει φανερά μόνο την μηδενική ύση Η έχει οιπόν μόνο την μηδενική ύση Άρα το σύνοο S είναι γραμμικά ανεξάρτητο ) Το σύνοο } { S είναι ναι ή όχι γραμμικά εξαρτημένο; όπου Λύση Σχηματίζουμε την εξισώσει και εξετάζουμε τον επαυξημένο πίνακα του αντίστοιχου συστήματος Είναι Η έχει και μη μηδενικές ύσεις Άρα το σύνοο S είναι γραμμικά εξαρτημένο Η σχέση εξαρτήσεως είναι η όπου Ένα σύνοο } { S που αποτεείται από ένα και μόνον στοιχείο είναι σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο αν και μόνον αν Ένα σύνοο } { S είναι γραμμικά εξαρτημένο αν και μόνον αν το ένα είναι ποαπάσιο του άου Πράγματι έστω το S γραμμικά εξαρτημένο Ισχύει
τότε ότι με τουάχιστον ένα απ τα Έστω το Μα τότε είναι και Επειδή ο ορισμός της γραμμικής εξαρτήσεως αφορά σύνοο S μπορούμε πάντα να αριθμήσουμε κατά τέτοιο τρόπο τα στοιχεία του συνόου ώστε αυτά με τον μικρότερο δείκτη να έχουν μη μηδενικό συντεεστή και να προηγούνται των στοιχείων με μεγαύτερο δείκτη τα οποία ενδεχομένως να έχουν μηδενικό συντεεστή στην σχέση της γραμμικής εξαρτήσεώς τους Συμπεραίνουμε οιπόν ότι ένα γραμμικά εξαρτημένο σύνοο έχει πάντα συντεεστή Ένα γραμμικά εξαρτημένο S σύνοο παραμένει γραμμικά εξαρτημένο οσαδήποτε διανύσματα και αν προσθέσουμε σ αυτό Πράγματι η σχέση της γραμμικής εξαρτήσεως δεν αάζει αν σ αυτήν τα νέα στοιχεία που προσθέσαμε στο S έχουν όα συντεεστή μηδέν Ένα σύνοο S το οποίο περιέχει ως στοιχείο το μηδενικό διάνυσμα ( S ) είναι πάντα γραμμικά εξαρτημένο μια και το {} είναι σύνοο γραμμικά εξαρτημένο Όταν δίδεται ένα σύνοο S γραμμικά εξαρτημένο τότε πάντα κάποιο στοιχείο του συνόου εκφράζεται γραμμικά συναρτήσει των υποοίπων στοιχείων του Συνήθως η αρίθμηση των στοιχείων του S καθιστά αυτό πρώτο στην καταγραφή της γραμμικής έκφρασης Ένα σύνοο γραμμικά εξαρτημένο που δεν είναι το {} περιέχει το ιγότερο δύο μη μηδενικά διανύσματα μια και το {} είναι σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω το S { K p} όπου i p i F Το S είναι γραμμικά εξαρτημένο αν p > Απόδειξη Έστω [ K p Ο Α είναι τότε ένας p πίνακας και η εξίσωση αντιστοιχεί σε σύστημα που έχει περισσότερους αγνώστους από εξισώσεις Αναγκαστικά έχει συνεπώς και μη μηδενικές ύσεις Το S είναι συνεπώς γραμμικά εξαρτημένο 9 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί (Γενικά για τις συναρτήσεις έπε ενότητα m Σύνοα ) Μία απεικόνιση : F F θα καείται γραμμική απεικόνιση ή γραμμικός μετασχηματισμός αν και μόνον αν έχει τις ιδιότητες: ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) F m ΠΡΟΤΑΣΗ Η εικόνα του F είναι το F m Απόδειξη Είναι F Άρα και ( ) ( ) ( ) ( ) F ΠΡΟΤΑΣΗ Ένας γραμμικός μετασχηματισμός είναι ένα προς ένα αν το στοιχείο που απεικονίζεται στο είναι μοναδικό Απόδειξη Έστω ότι ο Τ δεν είναι ένα προς ένα Τότε το y (F ) είναι εικόνα δύο τουάχιστον στοιχείων του F Έστω αυτά δηαδή ( ) ( ) y Ισχύει ότι ( ) ( ) ( ) άρα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η δράση του πίνακα Α επί του διανύσματος (έπε ) είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός
ΠΡΟΒΛΗΜΑ Έστω ο πίνακας Ο πίνακας αυτός είναι δυνατόν να δρα πάνω σε διανύσματα R μια και τότε ορίζεται η πράξη Α Αποτέεσμα αυτής της δράσης είναι το διάνυσμα y R Ο πίνακας Α είναι ένας μετασχηματισμός : F F Το ότι το y είναι μονοσήμαντα ορισμένο προκύπτει από το μονοσήμαντο των πράξεων άσει των οποίων τούτο ορίζεται Ερωτήματα ) Η απεικόνιση Α είναι εντός ή επί; ) Η Α είναι ένα προς ένα; ) Η απεικόνιση Α έχει αντίστροφη απεικόνιση; Απαντήσεις ) Φανερά y < > όπου και Το διάνυσμα < > μια και η ή το σύστημα απ όπου s s s s δεν έχει ύση Συνεπώς < > R δηαδή η απεικόνιση είναι εντός ) Για να δείξουμε ότι η απεικόνιση Α είναι ένα προς ένα αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ύση την μηδενική Η είναι ισοδύναμη με το σύστημα το οποίο προφανώς έχει την μηδενική ύση και μόνον ) Το γεγονός ότι η Α είναι ένα προς ένα εξασφαίζει την ύπαρξη της αντιστρόφου απεικονίσεως Ερωτήματα του είδους υπάρχει αρχέτυπο του οποίου η εικόνα είναι τι ; είναι ισοδύναμα με την αναζήτηση ύσης της εξισώσεως m ΠΡΟΤΑΣΗ Η εικόνα ( S) F ενός γραμμικά εξαρτημένου συνόου S F είναι σύνοο γραμμικά εξαρτημένο Η εικόνα ενός γραμμικά ανεξάρτητου συνόου S F είναι σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο αν ο μετασχηματισμός Τ είναι ένα προς m ένα Στην περίπτωση αυτή αν ( S) F σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο και το S F θα είναι σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο m Απόδειξη Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός : F F και S F σύνοο γραμμικά εξαρτημένο Υπάρχει τότε η γραμμική έκφραση ανάμεσα σε δύο τουάχιστον μη μηδενικά στοιχεία του S με Άρα και ( ) ( ) () Στην περίπτωση που ( ) ( ) η εικόνα
( S) {} και συνεπώς είναι σύνοο γραμμικά εξαρτημένο Στην περίπτωση που έστω το ( ) με ( ) η σχέση γραμμικής εξαρτήσεως απεικονίζεται στην σχέση ( ) Υποθέσαμε όμως ότι Υποχρεωτικά οιπόν αν ισχύει η () θα είναι και ( ) Έστω τώρα το S { K } F σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο Η σχέση K συνεπάγεται ότι i i Άρα και ( K ) ( ) ( ) K ( ) i ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ) Έστω R R R R Ο μετασχηματισμός αυτός είναι γραμμικός και καείται προοή του : ο οποίος ορίζεται από την σχέση i R στο R ) Ο : R R ο οποίος ορίζεται από την σχέση p δεν είναι γραμμικός μετασχηματισμός ) Ο : R R ο οποίος ορίζεται από την σχέση F είναι γραμμικός μετασχηματισμός ) Ο : R R ο οποίος ορίζεται από την σχέση (cos φ) (si φ) φ F είναι γραμμικός μετασχηματισμός Πράγματι αν R ισχύει ότι y R R (si φ) (cos φ) (cos φ) (si φ) y y(cos φ) y(si φ) μ (si φ) (cos φ) μ y y(si φ) y(cos φ) συνεπώς y (cos φ) (si φ) μy(cos φ) μy (si φ) μ y (si φ) (cos φ) μy(si φ) μy (cos φ) ( μy) (cos φ) ( μy )(si φ) ( μy)(si φ) ( μy )(cos φ) εξ άου μy ( μy) (cos φ) ( μy μy ( μy)(si φ) ( μy Άρα ( ) μ( y) ( μ y) )(si φ) )(cos φ) Ο πίνακας ενός γραμμικού μετασχηματισμού Σε κάθε γραμμικό μετασχηματισμό : F F μπορούμε να αντιστοιχίσουμε έναν πίνακα Α σε τρόπο ώστε m ( ) Πράγματι έστω το διάνυσμα F
K K M M M M Άρα και ( ) ( ) ( ) K ( ) Αρκεί συνεπώς να άουμε ως πίνακα Α τον [( ) ( ) K ( ) Ο Α καείται καθιερωμένος πίνακας (stdrd mtri) του γραμμικού μετασχηματισμού Τ και είναι μοναδικός ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να ρεθεί ο καθιερωμένος πίνακας του μετασχηματισμού R R Είναι οπότε και ( ) ( ) ( ) ( ) Όμως Άρα Άγερα πινάκων (Βέπε και ενότητα ΠΙΝΑΚΕΣ) Συμοισμός Όταν γράφουμε [ K νοούμε ότι ο m πίνακας Α αποτεείται από τα διανύσματα F m j j που είναι και οι κοώνες του πίνακα Γράφουμε ακόμα και ( ij) i m j ij F Ορίζουμε την πρόσθεση δύο m πινάκων ως εξής: [ K [ K [ K Ισοδύναμα ( ij ij) Ορίζουμε τον μονόμετρο ποαπασιασμό Α του πίνακα Α επί το μονόμετρο F ως εξής: [ K Ισοδύναμα ( ij ) Ισχύουν οι σχέσεις: ) ( ) ( ) (προσεταιριστικός νόμος) ) (αντιμεταθετικός νόμος) ) Υπάρχει ο μηδενικός πίνακας O (ij) i m j F με O ) ( ) F (επιμεριστικός νόμος) ) ( μ) μ μ F (επιμεριστικός νόμος) ) ( μ) ( μ) μ F (προσεταιριστικός νόμος) Θα ορίσουμε τώρα και το γινόμενο ΑΒ δύο πινάκων Α και Β έτσι ώστε να είναι εκείνος ο πίνακας η δράση του οποίου πάνω στο διάνυσμα F συμπίπτει με την σύνθεση των δράσεων των Α και Β Για την σύνθεση των απεικονίσεων έπε ενότητα Σύνοα Όπως σημειώνουμε εκεί το γινόμενο δύο απεικονίσεων δεν ορίζεται πάντα Έτσι και εδώ αν ο Β είναι ένας m πίνακας που δρα επί του F (που ουσιαστικά συμπεριφέρεται σαν ένας πίνακας) θα άουμε ένα m διάνυσμα y F (ή έναν m πίνακα) Για να μπορεί να δράση ο πίνακας Α επί του
8 y θα πρέπει να είναι m Αν οιπόν [ K [ Km τότε προκύπτει ότι έχουμε [ K και όγω γραμμικότητας ( ) [ K Το γινόμενο συνεπώς ΑΒ ορίζεται ως ο m πίνακας [ K ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ και Δράση του Β επί του : Δράση του Α επί του y: ( ) ή ( ) ή ( ) Παρατηρούμε ότι τον πίνακα ΑΒ τον γράφουμε και ως j j j j j j j j j [cij j j j j j j j j j όπου c i j ij i j i j r ir rj Το παράδειγμα αυτό δείχνει ότι αν ο Α είναι ένας m πίνακας και ο Β ένας πίνακας τότε το γινόμενό τους ορίζεται και είναι ο m πίνακας [c όπου το c ij r ir rj Ισχύουν οι σχέσεις: ) ( ) ( ) (προσεταιριστικός νόμος) ) ( ) και ( ) (επιμεριστικός νόμος) ) ( ) ( ) ( ) (προσεταιριστικός νόμος) i j
9 ) Υπάρχει μοναδιαίο στοιχείο για τον ποαπασιασμό των πινάκων Αυτό είναι ο αν i j ταυτοτικός μετασχηματισμός που έχει πίνακα I [δ ij όπου δ ij (δ του αν i j Κrocr) Το γεγονός ότι δεν ισχύει ο αντιμεταθετικός νόμος στην περίπτωση των πινάκων πιστοποιείται από το παράδειγμα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω και Τότε ενώ Είναι δυνατόν να έχουμε δύο μη μηδενικούς πίνακες που το γινόμενό τους να είναι ο μηδενικός πίνακας ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν και τότε και Οροογία των πινάκων Τους πίνακες τους καούμε και τετραγωνικούς πίνακες Διαγώνια στοιχεία είναι τα όπου i j Οι δυνάμεις των τετραγωνικών πινάκων ορίζονται επαγωγικά ως ij I K μ ν μ ν Ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων Ως εκ τούτου οι πίνακες μ ν και αντιμετατίθενται Αν [ m πίνακας θέτουμε [ ένας m (ανάστροφος πίνακας) Ισχύουν οι σχέσεις: ) ( ) ij ) ( ) ) ( ) ) ( ) Έστω τα διανύσματα (εσωτερικό γινόμενο) και (εξωτερικό γινόμενο) Είναι M M πίνακες Συνεπώς ο ji R Ενδιαφέρον παρουσιάζουν τα γινόμενα (μονόμετρο μέγεθος) που ισούται με i i ενώ ο που ισούται προς i K M [ K O K είναι ένας πίνακας είναι ένας πίνακας
Διαγώνιος πίνακας καείται ένας τετραγωνικός πίνακας του οποίου τα μόνα μη μηδενικά στοιχεία ρίσκονται επί της κυρίας διαγωνίου του Ένα διαγώνιο πίνακα θα τον συμοίζουμε με D( α α K α ) Είναι D( α α K α ) D( α α K α ) όπου ( K ) R Το άθροισμα και το γινόμενο δύο διαγωνίων πινάκων είναι πάι διαγώνιος πίνακας Ισχύει μάιστα ότι D ( α α K α ) D( α α K α ) Κάτω τριγωνικός έγεται ένας τετραγωνικός πίνακας Α όταν τα α ij στοιχεία του που ρίσκονται άνω της κυρίας διαγωνίου είναι όα ίσα με μηδέν Το άθροισμα και το γινόμενο δύο κάτω τριγωνικών πινάκων είναι πάι κάτω τριγωνικός πίνακας Αντίστοιχα ορίζονται οι άνω τριγωνικοί πίνακες t Όπως είδαμε ανάστροφος [trsposd του Α ( α ) είναι ο α ) t t t Ισχύει ότι ( ) t Συμμετρικός έγεται ο τετραγωνικός πίνακας Α ανν έχουμε ότι t Αντισυμμετρικός έγεται ο τετραγωνικός πίνακας Α ανν Τα στοιχεία που ρίσκονται επι της κυρίας διαγωνίου ενός αντισυμμετρικού πίνακα Α είναι υποχρεωτικά ίσα με μηδέν Ο αντίστροφος πίνακας Αναφερόμεθα έαια σε τετραγωνικούς πίνακες Η δράση ενός αντιστρόφου του πίνακα Α θα πρέπει να είναι ίδια με την δράση της αντιστρόφου απεικονίσεως του γραμμικού μετασχηματισμού που έχει πίνακα Α Η ύπαρξη του προϋποθέτει ότι ο μετασχηματισμός Τ είναι ένα προς ένα απεικόνιση Άρα όπως παρατηρήσαμε στην 9 η εξίσωση έχει μοναδική ύση την μηδενική ύση Εξ άου επειδή η σύνθεση μιας απεικονίσεως και της αντιστρόφου της δίδει την ταυτοτική απεικόνιση θα πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις I και I ΠΡΟΤΑΣΗ Αν Α αντιστρέψιμος πίνακας τότε η εξίσωση έχει την μοναδική ύση Απόδειξη Είναι ( ) και συνεπώς η αποτεεί ύση της Έστω τώρα ότι η είχε τα ως ύσεις Τότε και ή και ( ) και επειδή η εξίσωση αυτή έχει μοναδική την μηδενική ύση είναι ij R Ισχύουν οι προτάσεις: ) Αν Α αντιστρέψιμος πίνακας τότε και αντιστρέψιμος και ( ) ) Αν Α Β αντιστρέψιμοι τότε και ο ΑΒ αντιστρέψιμος και ( ) ) Αν Α αντιστρέψιμος τότε και ( ji αντιστρέψιμος και ( ) ( ) Στοιχειώδεις πίνακες Στην μεταφέραμε τις στοιχειώδεις πράξεις επί των γραμμών ενός συστήματος σε αντίστοιχες πράξεις επί των γραμμών ενός πίνακα Κάθε μία από τις πράξεις αυτές είναι δυνατόν να προκύψει ως δράση ενός στοιχειώδους πίνακα επί του πίνακα Α Έχουμε οιπόν τρεις στοιχειώδεις πίνακες ) Η δράση του πρώτου εναάσσει της γραμμές του πίνακα Α Ένας τέτοιος πίνακας συμοίζεται με P ij (prmttio mtri) όπου i j οι γραμμές που εναάσσει Ο P ij προκύπτει από τον Ι με την ενααγή των γραμμών i j
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίδεται ο και θέουμε να άουμε τον Σχηματίζουμε τον P από τον I P Η δράση του P επί του Α μας δίδει τον Α Πράγματι P ) Η δράση του δεύτερου ποαπασιάζει μία γραμμή επί ένα μονόμετρο μέγεθος Ένας τέτοιος πίνακας συμοίζεται με D i όπου i η γραμμή που θέουμε να ποαπασιασθεί επί Ο D i προκύπτει από τον Ι αν το της i i θέσης το αντικαταστήσουμε με ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίδεται ο και θέουμε να άουμε τον Σχηματίζουμε τον D από τον I D Η δράση του P επί του Α μας δίδει τον Α Πράγματι D ) Η δράση του τρίτου αντικαθιστά μια γραμμή από το άθροισμα αυτής με κάποια άη Ένας τέτοιος πίνακας συμοίζεται με S ij όπου i η γραμμή που θέουμε να αντικατασταθεί από το άθροισμα αυτής συν της γραμμής j Ο S ij προκύπτει από τον Ι αν την i γραμμή του αντικαταστήσουμε με το άθροισμα αυτής συν την j γραμμή του
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δίδεται ο και θέουμε να άουμε τον Σχηματίζουμε τον S από τον I S Η δράση του S επί του Α μας δίδει τον Α Πράγματι S Παρατηρούμε ότι όοι οι στοιχειώδεις πίνακες είναι αντιστρέψιμοι ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να ρεθεί ο αντίστροφος του Α πίνακας Λύση Ενεργούμε επί του Α με κατάηους στοιχειώδεις πίνακες i E μέχρις ότου μετατρέψουμε αυτόν στον Ι Έχουμε δηαδή I E E E E E L K Είναι τότε και I E E ) ( L απ όπου και E E L Η ύση του προηγουμένου προήματος οδηγεί στον εξής αγόριθμο για την εύρεση του αντιστρόφου αν υπάρχει του πίνακα Α Μετατρέπουμε με διαδοχικές στοιχειώδεις πράξεις επί των γραμμών τον επαυξημένο πίνακα [ I στον ισοδύναμο [ I Είναι τότε ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να ρεθεί ο αντίστροφος πίνακας του Σχηματίζουμε τον επαυξημένο πίνακα και στην συνέχεια εκτεούμε διαδοχικές πράξεις επί των γραμμών του πίνακα έτσι ώστε να έρθει στην μορφή [I Είναι / / / / / / / / / / /
Είναι οιπόν Πράγματι Ισχύουν οι παρακάτω ισοδύναμες προτάσεις: ) Ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος ) Ο Α είναι γραμμοισοδύναμος προς τον ταυτοτικό πίνακα Ι ) Ο Α είναι το γινόμενο στοιχειωδών πινάκων ) Η εξίσωση έχει μοναδική ύση την μηδενική ) Η εξίσωση έχει μοναδική ύση για κάθε R ) Υπάρχει πίνακας τέτοιος ώστε I ) Υπάρχει πίνακας D τέτοιος ώστε D I 8 ) Ο είναι αντιστρέψιμος Αποδείξεις ) ) Αν η ) ισχύει τότε αρκεί να θέσουμε D ) ) Αν η ) ισχύει και το πηροί την τότε και D D και συνεπώς I Άρα και ) ) Αν η εξίσωση έχει μοναδική την μηδενική ύση το αντίστοιχο σύστημα δεν εμφανίζει κάποια μεταητή σαν παράμετρο στο σύνοο των ύσεών του Άρα έχουμε μεταητές και συνεπώς ο ανοιγμένος γραμμοισοδύναμος πίνακας είναι ο Ι ) ) ) Αν ο Α είναι γραμμοισοδύναμος του Ι υπάρχουν στοιχειώδεις πίνακες E i τέτοιοι ώστε (E L E) I Άρα και (E L - E ) I δηαδή ο E L E Οι στοιχειώδεις πίνακες όμως είναι όοι αντιστρέψιμοι άρα και το γινόμενό τους αντιστρέψιμος πίνακας (Η σύνθεση ένα προς ένα συναρτήσεων είναι συνάρτησης ένα προς ένα Βέπε ενότητα Σύνοα ) ) ) Είναι η πρόταση της ) 8) ) ) Αν I τότε και ( ) I I Μηδενικός χώρος πυρήνας μετασχηματισμού Στην παρατηρήσαμε ότι το διάνυσμα της εξισώσεως στην περίπτωση που αυτή έχει ύση ανήκει στο σύνοο που παράγουν τα διανύσματα κοώνες του πίνακα Α Θεωρούμε τώρα την ομογενή εξίσωση () Ισχυριζόμαστε ότι το σύνοο ύσεων αυτής αποτεεί έναν διανυσματικό χώρο Νl() τον καούμενο μηδενικό χώρο του πίνακα Α (ο αναγνώστης θα πρέπει να κοιτάξει την ενότητα Γραμμικοί χώροι όπου ορίζονται οι έννοιες του γραμμικού ή διανυσματικού χώρου της άσεως και της διαστάσεως του χώρου έννοιες που θα χρησιμοποιήσουμε στα παρακάτω) Πράγματι φανερά N επίσης ( μ) μ για ύσεις της ()
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Το διάνυσμα ανήκει ή όχι στον μηδενικό χώρο του πίνακα 8 Λύση Εέγχουμε αν το είναι ύση της 8 8 Το είναι ύση της και άρα N ) Ποιος είναι ο μηδενικός χώρος του πίνακα ; Λύση Βρίσκουμε την γενική ύση της Είναι απ όπου οδηγούμεθα στο σύστημα Θέτουμε s s οπότε και s s s s s s Είναι s s s s s s s s δηαδή > < N όπου Φανερά είναι N dim Στην περίπτωση που έχουμε ένα γραμμικό μετασχηματισμό m F F : ο F N του πίνακα Α του Τ είναι το σύνοο των στοιχείων F που έχουν εικόνα το m F και καείται πυρήνας Kr του γραμμικού μετασχηματισμού Τ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Να ρεθεί ο γραμμικός μετασχηματισμός : R R που έχει εικόνα τον υπόχωρο > < - U και πυρήνα τον > < Λύση Ένας τέτοιος γραμμικός μετασχηματισμός υπάρχει μια και ισχύει η σχέση dimdom dimim dimkr όπου Dom το πεδίον ορισμού του Τ Im το πεδίον τιμών του Τ και Kr ο πυρήνας του Τ (Βέπε επόμενη παράγραφο)
Επεκτείνουμε τον Kr σε όο το Dom Θεωρούμε δηαδή ότι - είναι R < > Θέτουμε ( ) ( ) και ( ) ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) δηαδή ( ) Έχουμε οιπόν ( ) ( ) ( ) Άρα ο καθιερωμένος πίνακας του μετασχηματισμού Τ είναι ο Πράγματι ο μηδενικός χώρος του Α (πυρήνας του Τ) δίδεται από την σχέση Οδηγούμεθα στο σύστημα Ο μηδενικός χώρος οιπόν του πίνακα Α είναι ο < > Το πεδίον ορισμού του Τ συμπίπτει με τον χώρο που παράγουν οι κοώνες του πίνακα Α και είναι έαια ο R Ο χώρος που παράγουν οι κοώνες ενός πίνακα Έστω [ K ένας m πίνακας Ένα < K > αν και μόνον αν το εξαρτάται γραμμικά από τα έχει δηαδή την έκφραση K ή ισοδύναμα αν R υπάρχει F τέτοιο ώστε δηαδή αν η εξίσωση αυτή έχει ύση Το σύνοο όων αυτών των διανυσμάτων αποτεεί γραμμικό χώρο ol() Πράγματι μια και μπορούμε να άουμε Εξ άου όγω γραμμικότητας του πίνακα Α ισχύει ότι μ Παρατηρούμε ότι ενώ ο χώρος Νl() είναι υπόχωρος του πεδίου ορισμού του γραμμικού μετασχηματισμού Τ που έχει πίνακα Α ο χώρος ol(α) είναι υπόχωρος του πεδίου τιμών του γραμμικού μετασχηματισμού Τ που έχει πίνακα Α s t ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Το σύνοο t S s t R αποτεεί ή όχι υπόχωρο του R ; s t t s t Λύση Ισχύει ότι t s t Φανερά S Άρα το S δεν είναι s t t υπόχωρος
Επανερχόμεθα στην εξίσωση () Στην περίπτωση που η εξίσωση αυτή έχει μοναδική την μηδενική ύση τότε και μόνον οι κοώνες του πίνακα Α αποτεούν σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο Στην περίπτωση που οι κοώνες K αποτεούν σύνοο γραμμικά εξαρτημένο τότε και μόνον η () έχει και ύσεις εκτός της μηδενικής Παρατηρούμε ακόμα ότι η δράση των στοιχειωδών πινάκων επί του πίνακα Α δεν μεταάει την σχέση γραμμικής εξαρτήσεως των στηών του πίνακα Α μια και η εξίσωση E έχει το ίδιο σύνοο ύσεων με αυτό της () Άρα ο έεγχος της γραμμικής ή όχι εξαρτήσεως των στηών K του πίνακα Α είναι δυνατόν να γίνει από την εξέταση του ισοδύναμου ανοιγμένου του Α πίνακα ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Να ρεθεί μία άση για τον χώρο ol() όπου 8 Λύση Είναι / / Ο ol() είναι δυνατόν να θεωρηθεί ότι παράγεται από τα διανύσματα Φανερά ή Στην σχέση αυτή αντικαθιστούμε τις κοώνες του Β από τις αντίστοιχες κοώνες του πίνακα Α οπότε και έχουμε την 8 σχέση ισχύουσα Είναι οιπόν > >< < Περνάμε στον Β και εέγχουμε τις κοώνες και : Είναι ή Το { } είναι σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο Επιστρέφουμε στον πίνακα Α και θέτουμε > < ol ) ( ) Να ρεθεί μία άση του χώρου Nl() Λύση Σχηματίζουμε την ισοδύναμο εξίσωση : η οποία οδηγεί στο σύστημα
Η ύση του συστήματος είναι η { s s s s s s s s } ή s s ( s s ) / / / s s s t s s Ο Nl() έχει οιπόν διάσταση και παράγεται από τα διανύσματα και ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η διάσταση του χώρου Nl() συμπίπτει με το πήθος των παραμέτρων του συστήματος που είναι ισοδύναμο της εξισώσεως Η διάσταση του χώρου ol() συμπίπτει με το πήθος των στύων που έχουν πρώτο στοιχείο την μονάδα στην ισοδύναμο ανοιγμένοι μορφή του πίνακα Α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να ρεθούν οι διαστάσεις των χώρων Nl() και ol() του 9 πίνακα 9 Λύση Ο Α είναι ισοδύναμος του Άρα dim ol( ) / Τα διανύσματα αποτεούν μία άση του χώρου ol() Η εξίσωση είναι ισοδύναμος με το σύστημα 9 - Η ύση του συστήματος αυτού έχει δύο παραμέτρους s s Άρα dim Nl( ) Ισχύει ότι dim ol() dim Nl() όπου οι κοώνες του m πίνακα Α Ο χώρος που παράγουν οι γραμμές ενός πίνακα Ο χώρος αυτός συμοικά ο Row() ταυτίζεται με τον ol ( ) Οι γραμμοπράξεις πάνω στον ισοδυναμούν με γραμμοπράξεις πάνω στον Α Έχουμε οιπόν ισοδύναμα και γραμμοπράξεις επί των στηών του πίνακα Α Οι γραμμοπράξεις πάνω στις κοώνες του πίνακα είναι ισοδύναμες με την δράση των αντιστοίχων στοιχειωδών πινάκων από τα αριστερά του πίνακα Α
8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω Για να μετακινήσουμε την δεύτερη κοώνα στην πρώτη θέση ποαπασιάζουμε από τα αριστερά με τον στοιχειώδη πίνακα E Είναι E Ότι έχουμε αναφέρει για τον χώρο των στηών του πίνακα Α ισχύει και για τον χώρο των γραμμών του πίνακα Α Άρα τα διανύσματα ( ) [ και ( -/ / - /) [ -/ / - / αποτεούν άση για τον χώρο Row() Ο χώρος ol() έχει άση τα και ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Επειδή το πήθος των μονάδων ως πρώτο στοιχείο γραμμής πίνακος Α είναι το ίδιο με αυτό του πίνακα έπεται ότι dim ol( ) dim Row( ) Η κοινή αυτή διάσταση των χώρων αυτών καείται τάξη (r) του πίνακα Α Συστήματα συντεταγμένων Έστω { K } μία άση ενός διανυσματικού χώρου V (F) (έπε ενότητα Γραμμικοί Χώροι ) Κάθε V έχει την μοναδική έκφραση K i F i Πράγματι αν και γ γ K γ τότε και ( γ) ( γ) K ( γ ) και επειδή το σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο i γi i Τα μονόμετρα μεγέθη F i καούνται συντεταγμένες του διανύσματος ως προς την i άση του χώρου V (F) Γράφουμε και [ M Στην πραγματικότητα ταυτίζουμε τα στοιχεία V με τις κοώνες του πίνακα [ K Η ταύτιση αυτή είναι δυνατόν να γίνει γιατί η απεικόνιση ϕ : V(F) F που ορίζεται από την σχάση V (F) M ( K ) F είναι ισομορφισμός και ως προς την πρόσθεση και ως προς τον μονόμετρο ποαπασιασμό Οι κοώνες του
9 μοναδιαίου πίνακα [ I K αποτεούν την κανονική άση του χώρου (F) V Ως προς αυτήν το τυχόν V έχει την μοναδική έκφραση M M K M M K Συμοισμός Γράφουμε [ αν η άση του χώρου είναι διαφορετική από την κανονική Σε κάθε άη περίπτωση γράφουμε απά ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Έστω - - - μία άση του R και έστω ότι το R ως προς αυτή την άση είναι το [ Να ρεθεί η έκφραση του στην άση [ I Λύση Είναι 9 9 9 [ ) Έστω - 9 - - - μία άση του R και έστω ότι το R ως προς την κανονική άση είναι το -9 8 Να ρεθεί η έκφραση του στην άση Λύση Θέουμε να ρούμε την έκφραση [ Έχουμε ότι 9 8 9 9 - - - 9 [ Οδηγούμεθα στο σύστημα 9 - -9-8 -
Που έχει ύση την - - Άρα - - [ Η παραπάνω διαδικασία περιγράφεται από την εξίσωση [ P ) Το τυχόν R έχει καθιερωμένες συντεταγμένες Θεωρούμε τα διανύσματα τα οποία αποτεούν σύνοο γραμμικά ανεξάρτητο και συνεπώς μπορεί να θεωρηθούν άση του R Ως προς την άση το έχει την έκφραση Η σχέση αυτή ισοδύναμα γράφεται Άρα και [ 8 Ααγή άσης Μέσα σε έναν διανυσματικό χώρο V(F) το διάνυσμα είναι δυνατόν να έχει περισσότερες της μιάς εκφράσεις σε συντεταγμένες όγω των διαφορετικών άσεων που ενδεχομένως έχει ο V ΠΡΟΒΛΗΜΑ Έστω { } και { } c c δύο διαφορετικές άσεις του V και ότι c c και 9 c c Αν [ να ρεθεί το [ Λύση Έχουμε την [ Άρα [ [ [ [ Επανααμάνουμε την προηγούμενη διαδικασία όπου στην θέση της είχαμε την κανονική άση και καταήγουμε στην [ 9 [ [ [ Την παραπάνω διαδικασία που ακοουθήσαμε για να ύσουμε το πρόημα μπορούμε να την περιγράψουμε ως εξής: Έστω } { K και } { c c c K δύο άσεις του διανυσματικού χώρου V Υπάρχει τότε ένας αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε να ισχύει
η εξίσωση [ P [ () Οι κοώνες του πίνακα P αποτεούνται από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων της άσης ως προς την άση Είναι δηαδή [ [ [[ P K ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ) Έστω { } και { } c c δύο διαφορετικές άσεις του R και c c Να ρεθεί ο πίνακας P Λύση Πρέπει να ρούμε τις εκφράσεις [ [ Είναι γ γ απ όπου οδηγούμεθα στο σύστημα γ γ γ γ Άρα [ Ομοίως γ γ απ όπου οδηγούμεθα στο σύστημα γ γ γ γ Άρα [ Ο ζητούμενος πίνακας είναι οιπόν ο P Σημείωση Προσοχή! Είναι [ [ μια και Παρατηρούμε ότι όπως περιμένουμε [ [ P [ [ P ) Τα διανύσματα και αποτεούν δύο διαφορετικές άσεις του R Τις καούμε και Παρατηρούμε ότι () και () Από () προκύπτει ότι
- - - P [ [ [ [ Από την () προκύπτει ότι [ [ [ [ P - - - - P είναι αντιστρέψιμος έχουμε και τον ( P ) Επειδή ο πίνακας Q είναι ο πίνακας που από την άση μας οδηγεί στην άση - P [ [ [ Q [ Από την () προκύπτει και η ( ) ή που 9 Εφαρμογή Η κανονική άση του R απεικονίζεται πάνω στο σύστημα των Οy αξόνων όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα Αυτή αποτεείται από τα διανύσματα και Το διάνυσμα O έχει ως προς αυτή την άση συντεταγμένες (OX) και y (OY) Είναι δηαδή Περιστρέφουμε το y Οy σύστημα κατά γωνία θ έτσι ώστε να άει την θέση O y Είναι τότε με (OX ) (Y ) και y (OY ) (X ) Ζητάμε να ρούμε τον y πίνακα Q ή τον P όπου Β η αρχική κανονική άση { } και η τεική (μετά την περιστροφή) άση Παρατηρούμε ότι οι γωνίες O XX έχουν τις πευρές κάθετες άρα είναι ίσες Το ίδιο ισχύει και για τις γωνίες yoy και YOY Επίσης είναι (OX) (O) (X) cos θ - y si θ y (X ) (Γ ) si θ y cos θ Άρα και cos θ si θ y y si θ cos θ y Αυτή είναι η εξίσωση Y [ Q [ Μία αντιστροφή του πίνακα Y Γ X Q δίδει τον πίνακα P και θ την αντίστοιχο εξίσωση Ο X
[ που δεν είναι άη από την P [ cos θ y si θ si θ θ cos y Όμοιοι πίνακες Στην είδαμε ότι σε κάθε γραμμικό μετασχηματισμό : V(F) V(F) αντιστοιχεί ένας πίνακας Α τα στοιχεία του οποίου εξαρτώνται από την εκογή της άσεως του γραμμικού χώρου V(F) Υποθέτουμε ότι ο V έχει τις άσεις { K } και { K} Με Α συμοίζουμε τον πίνακα του μετασχηματισμού Τ ως προς την άση και με Β τον πίνακα του Τ ως προς την άση Με το τυχόν V θεωρούμε και y ( ) Είναι τότε [ y [ ως επίσης και [ y [ Θέουμε να ρούμε πως συνδέονται οι πίνακες Α και Β Σχηματικά έχουμε [( ) [ P P [( ) [ όπου P [[ [ K[ Στο διάγραμμα αυτό το της πρώτης γραμμής αντικαθιστά την εικόνα του [ με την δράση του πίνακα του μετασχηματισμού Τ επί το [ Αντίστοιχα για το [ Θεωρώντας συνεπώς τους πίνακες Α και Β ως απεικονίσεις το παραπάνω διάγραμμα είναι δυνατόν να παρασταθεί από το διάγραμμα των απεικονίσεων [( ) [ P P [( ) [ το οποίο πρέπει να είναι αντιμεταθετικό για να ισχύουν οι παραπάνω ισότητες Άρα PP Ορισμός Δύο τετραγωνικοί πίνακες Α και Β έγονται όμοιοι αν και μόνον αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε PP Η σχέση Α όμοιος Β είναι σχέση ισοδυναμίας επί του συνόου των πινάκων Αναοίωτοι υπόχωροι Έστω η γραμμική απεικόνιση : V V Ο υπόχωρος U του V καείται αναοίωτος υπόχωρος του Τ ανν ( U) U Συμοισμός Με U συμοίζουμε τον περιορισμό του Τ επί το U ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δίδεται ο γραμμικός μετασχηματισμός : R R με καθιερωμένο πίνακα Τα διανύσματα R αποτεούν άση του υπόχωρου U R Ζητάμε: Να δείξουμε ότι ο U είναι αναοίωτος υπόχωρος του Τ
Να ρούμε τον πίνακα του U ως προς την άση { } Λύση Είναι U και U Το τυχόν διάνυσμα U έχει την έκφραση κ Η δράση του περιορισμού U επί του είναι ίδια με την δράση του Α επί το Άρα αυτή δίδει το ) ( ) ( U U U κ κ κ οπότε για ( ) κ U ενώ για ( ) κ U Ο ζητούμενος πίνακας είναι οιπόν ο U Υποθέτουμε τώρα ότι U U V όπου οι υπόχωροι U είναι και οι δύο αναοίωτοι ως προς V V : Αν διαέξουμε την άση του V έτσι ώστε αυτή να αποτεείται από δύο μέρη το πρώτο να είναι άση του U το δεύτερο άση του U και εκφράσουμε τον καθιερωμένο πίνακα Α της Τ σ αυτές τις άσεις τότε ο Α θα σπάσει σε δύο υποπίνακες με κοινή διαγώνιο μορφή απούστερη της αρχικής ΠΡΟΒΛΗΜΑ Δίδεται ο γραμμικός μετασχηματισμός : R R με καθιερωμένο πίνακα 8 και τα διανύσματα q q q q όπου q q q q Να δείξετε ότι οι υπόχωροι > < q q U > < q q U είναι αναοίωτοι υπόχωροι του μετασχηματισμού Τ Ότι U U V Να ρεθεί ο πίνακας του Τ εκπεφρασμένος στις άσεις των U και U