ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή Η τυποποιηµένη διαδικασία µοντελοποίησης της αξιοπιστίας συστηµάτων είναι η αποσύνθεση του σε υποσυστήµατα και εκτίµηση των δεικτών του συστήµατος σε συνάρτηση µε τους δείκτες των δοµικών του µονάδων µε εφαρµογή κατάλληλων µαθηµατικών εξισώσεων. Τα διαγράµµατα αξιοπιστίας δεν αφορούν το φυσικό τρόπο σύνδεσης των δοµικών µονάδων, αλλά τη λογική τους σύνδεση απεικονίζοντας τον τρόπο που εµφανίζεται η βλάβη (reliability block diagrams) Βασικές διατάξεις υποσυστηµάτων: Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά Παράλληλα συστήµατα Συστήµατα µε συνδέσεις σε σειρά και παράλληλα Συστήµατα µε µερικώς πλεονάζοντα στοιχεία Συστήµατα µε εφεδρεία (µε τέλεια ή µη ζεύξη, ανόµοια εφεδρικά) Συστήµατα µε παρακαταθήκη ανταλλακτικών

Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά Εάν σε ένα σύστηµα υπάρχει η απαίτηση λειτουργίας όλων των δοµικών του µονάδων για την επιτυχή του λειτουργία, τότε αυτά θεωρούνται συνδεδεµένα σε σειρά στο µπλοκ διάγραµµα αξιοπιστίας. Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά Ησυνάρτηση αξιοπιστίας του συστήµατος ισούται µε το γινόµενο των αντίστοιχων συναρτήσεων αξιοπιστίας των δοµικών του µονάδων. Στην ειδική περίπτωση της εκθετικής κατανοµής, αποδεικνύεται ότι ο συνολικός ρυθµός βλάβης του συστήµατος είναι το άθροισµα των επιµέρους ρυθµών βλάβης Ο ΜΧΜΒ αποδεικνύεται ότι ισούται µε τον αντίστροφο του αθροίσµατος των ρυθµών βλάβης 2

Παράλληλα Συστήµατα Εάν η επιτυχής λειτουργία ενός συστήµατος που αποτελείται από Ν στοιχεία απαιτεί τη λειτουργία ενός στοιχείου, τότε τα στοιχεία αυτά συνδέονται παράλληλα στο µπλοκ διάγραµµα αξιοπιστίας. Η συνάρτηση αξιοπιστίας ισούται µε το συµπλήρωµα της συνάρτησης αναξιοπιστίας. Η αναξιοπιστία ισούται µε το γινόµενο των αναξιοπιστιών των στοιχείων, άρα αποδεικνύεται ότι η συνάρτηση αξιοπιστίας του συστήµατος είναι: n [ λit ] R() t = exp( ) i= Το πλήρες σύστηµα δεν µπορεί να αναπαρασταθεί µε ένα ισοδύναµο σταθερό ρυθµό βλάβης, δηλαδή ο ρυθµός βλάβης του συστήµατος είναι µεταβλητός µε το χρόνο. Συστήµατα συνδεδεµένα σε σειρά και παράλληλα Συνιστούν τη βάση για την ανάλυση συστηµάτων µε πολυπλοκότερη συνδεσµολογία Αναλύονται µε σταδιακή µείωση της πολυπλοκότητας, όταν γνωστές συνδεσµολογίες αντικαθίστανται από ισοδύναµα στοιχεία, µέχρι να αποµείνει ένα ισοδύναµο στοιχείο (τεχνική µείωσης δικτύων). Παρατήρηση: Η «ισοδυναµία» εννοείται µόνο για το δείκτη της αξιοπιστίας (αναξιοπιστίας) και όχι το ρυθµό βλάβης, αφού το ισοδύναµο στοιχείο παράλληλα συνδεδεµένων στοιχείων µε σταθερούς ρυθµούς βλάβης ΕΝ έχει σταθερό ρυθµό βλάβης. 3

Συστήµατα µε µερικώς πλεονάζοντα στοιχεία (m από n) Τα συστήµατα αυτά χρειάζονται ένα µέρος των στοιχείων τους για την επιτυχή τους λειτουργία. Τα συστήµατα σε συνδεσµολογία σειράς/παράλληλα είναι ειδικές περιπτώσεις αυτής της κατηγορίας. Συνήθως συνδεσµολογίες m από n εµφανίζονται σε συστήµατα µε πανοµοιότυπα στοιχεία. Κάθε κατάσταση λειτουργίας του συστήµατος εκφράζεται από τον αριθµό των στοιχείων σε λειτουργία, δηλ. 0,,2,...n ενώ η πιθανότητα να συµβεί µπορεί να υπολογιστεί από την ανάπτυξη της διωνυµικής έκφρασης [R(t)+Q(t)] n. Εκεί εντοπίζονται τα ενδεχόµενα που αντιστοιχούν σε επιτυχή λειτουργία ανάλογα µε τον απαιτούµενο αριθµό στοιχείων για επιτυχή λειτουργία. Στη γενικότερη περίπτωση κατά την οποία το σύστηµα συνίσταται από ανόµοια στοιχεία, η πιθανότητα κάθε κατάστασης του συστήµατος υπολογίζεται από την ανάπτυξη του γινοµένου [R (t)+q (t)] [R 2 (t)+q 2 (t)]... [R n (t)+q n (t)] Συστήµατα µε εφεδρεία Στα συστήµατα µε εφεδρεία τα στοιχεία δε βρίσκονται συνεχώς σε κατάσταση λειτουργίας, αλλά εισέρχονται σε κατάσταση λειτουργίας όταν τα στοιχεία που λειτουργούν κανονικά υποστούν βλάβη. Τα συστήµατα µε εφεδρεία ενδέχεται να είναι πλεονεκτικότερα όταν τα χρησιµοποιούµενα εφεδρικά στοιχεία έχουν µικρότερο ρυθµό βλάβης όταν ευρίσκονται σε κατάσταση εφεδρείας παρά σε κατάσταση λειτουργίας. Το σηµαντικότερο πρόβληµα των συστηµάτων µε εφεδρεία είναι ότι πρέπει να εγκατασταθούν επιπρόσθετες συσκευές αναγνώρισης βλαβών στα κύρια στοιχεία και ενεργοποίησης των εφεδρικών. Τα επιπρόσθετα στοιχεία ενδέχεται να υποβαθµίζουν τη στάθµη αξιοπιστίας του συνολικού συστήµατος. 4

Τέλεια ζεύξη εφεδρείας Στην περίπτωση αυτή, θεωρούνται: στοιχεία µε εκθετικό χρόνο εµφάνισης βλάβης πλήρως αξιόπιστες συσκευές αναγνώρισης και ενεργοποίησης εφεδρικών στοιχείων τα εφεδρικά στοιχεία δεν υφίστανται βλάβες όταν δεν λειτουργούν τα στοιχεία του συστήµατος είναι πανοµοιότυπα µε ρυθµό βλάβης λ Έστω ένα σύστηµα µε ένα κύριο στοιχείο και n εφεδρικά στοιχεία. Ισοδύναµα, το σύστηµα συµπεριφέρεται ως ένα στοιχείο που επιτρέπεται να εµφανίσει n βλάβες, έτσι ώστε η αξιοπιστία της διάταξης να εκφράζεται ως το άθροισµα n πρώτων όρων της κατανοµής Poisson: n x ( λt) e Rt () = x! x= 0 λt Ο µέσος χρόνος για την εµφάνιση βλάβης θ ισούται: n + θ = Rtdt () = λ 0 Μη τέλεια ζεύξη της εφεδρείας Στις πρακτικές εφαρµογές, η ζεύξη των εφεδρικών στοιχείων εκτελείται µε µία πιθανότητα επιτυχίας Ρ s ως το πηλίκο των επιτυχηµένων ζεύξεων προς τις συνολικές απαιτούµενες ζεύξεις. Η συχνότερη αιτία αποτυχίας ζεύξης είναι η βλάβη των αντίστοιχων συσκευών από την τελευταία φορά που χρησιµοποιήθηκαν ή συντηρήθηκαν (αφανείς βλάβες στοιχείων ζεύξης). Ο υπολογισµός της αξιοπιστίας γίνεται όπως και στην περίπτωση της τέλειας ζεύξης, µε τη διαφορά ότι όλοι οι όροι που αναπαριστούν την πιθανότητα µίας ή περισσότερων βλαβών πολλαπλασιάζονται µε την πιθανότητα Ρ si της επιτυχούς ζεύξης της εφεδρείας. n λt ( λt) Rt () = e [ + λtpsi +... + Psn] n! Ο µέσος χρόνος για την εµφάνιση βλάβης δίνεται από τη σχέση: n + Psi i= = Rtdt () = θ 0 λ 5

Εφεδρεία µε ανόµοια στοιχεία Σε πρακτικές εφαρµογές ενδέχεται ο ρυθµός βλάβης των λειτουργούντων και εφεδρικών στοιχείων να είναι διαφορετικός λόγω διαφορετικού τρόπου κατασκευής. Τότε χρησιµοποιείται η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, συνήθως επιλέγοντας την εκθετική κατανοµή για τον χρόνο εµφάνισης βλάβης. Εάν το κύριο στοιχείο Α έχει ρυθµό βλάβης λ α και το εφεδρικό στοιχείο Β έχει ρυθµό βλάβης λ β αποδεικνύεται ότι η αξιοπιστία και ο µέσος χρόνος εµφάνισης βλάβης δίνονται από τις σχέσεις: Rt () = λ λ α β exp( λβt) exp( λαt) λ λ λ λ α β α β θ = + λ λ Στην περίπτωση που η ζεύξη της εφεδρείας δεν είναι 00% αξιόπιστη, όπως και προηγούµενα η αξιοπιστία και ο µέσος χρόνος εµφάνισης βλάβης υπολογίζονται ως: λ P ( ) () s λβ P α Rt exp( t) s λα Ps = λβ exp( λαt) θ = + λα λβ λα λβ λα λβ α β Συστήµατα µε παρακαταθήκη ανταλλακτικών Τα συστήµατα αυτά µοιάζουν µε συστήµατα που διαθέτουν εφεδρικά στοιχεία µε τέλεια ζεύξη, και η αξιοπιστία τους υπολογίζεται µε παρόµοιο τρόπο θεωρώντας ότι κατά τη διάρκεια του χρόνου αντικατάστασης των στοιχείων το σύστηµα δεν υφίσταται βλάβες. Έστω ένα σύστηµα µε Ν στοιχεία εν σειρά και n εφεδρικά στοιχεία ως ανταλλακτικά. Το σύστηµα παύει να λειτουργεί στις n+ βλάβες και όταν ισχύει η εκθετική κατανοµή ο ολικός ρυθµός βλάβης µη λαµβάνοντας υπόψη τα ανταλλακτικά είναι λ ολ =Νλ. Με την ύπαρξη των εφεδρικών στοιχείων η αξιοπιστία του και ο µέσος χρόνος εµφάνισης βλάβης δίνονται από τις σχέσεις: 2 n Nλt ( Nλt) ( Nλt) Rt ( ) = e [ + Nλt+ +... + ] 2! n! n + θ = Ν λ 6

Αλυσίδες Markov 2 3 Εισαγωγή Οι τεχνικές που µελετήθηκαν αφορούσαν συστήµατα που δεν µπορούν να επισκευασθούν, επισκευάζονται ακαριαία, ή γενικά σε πολύ µικρό χρόνο συγκρινόµενο µε το χρόνο λειτουργίας τους. Στη γενική περίπτωση όπου λαµβάνεται υπόψη ο χρόνος επισκευής των στοιχείων, εφαρµόζεται η µεθοδολογία Markov. Η µεθοδολογία Markov εφαρµόζεται σε συστήµατα που η λειτουργική τους συµπεριφορά χαρακτηρίζεται από «έλλειψη µνήµης», δηλαδή οι µελλοντικές καταστάσεις του συστήµατος είναι ανεξάρτητες από όλες τις καταστάσεις του παρελθόντος εκτός από την ακριβώς προηγούµενη. Επίσης, η πιθανότητα µετάβασης από την µία κατάσταση στην άλλη είναι ανεξάρτητη του χρόνου (στάσιµη διαδικασία) Συνεπώς, η µεθοδολογία Markov εφαρµόζεται σε συστήµατα όπου η εµφάνιση βλαβών- επισκευών ακολουθούν τη διαδικασία Poisson και οι χρόνοι µεταξύ βλαβών-επισκευών ακολουθούν την εκθετική κατανοµή. Στις µελέτες αξιοπιστίας, οι καταστάσεις ενός συστήµατος είναι διακριτές και ο χρόνος είναι διακριτός ή συνεχής. 7

Γενικές αρχές διακριτού χρόνου Χαρακτηρίζονται από διακριτότητα χώρου και χρόνου Οι πιθανότητες µετάβασης ή παραµονής στις καταστάσεις είναι σταθερές σε σχέση µε το χρόνο. Το άθροισµα των πιθανοτήτων παραµονής ή αναχώρησης από µία κατάσταση πρέπει να ισούται µε ένα. /2 /2 3/4 2 /4 Απεικόνιση µεταβάσεων Ηπιθανότητα να ακολουθηθεί οποιοσδήποτε κλάδος του δένδρου είναι το γινόµενο των αντίστοιχων πιθανοτήτων κάθε βήµατος του κλάδου γιατί τα αντίστοιχα ενδεχόµενα είναι πλήρως ανεξάρτητα. Το άθροισµα των πιθανοτήτων όλων των κλάδων του διαγράµµατος πρέπει να ισούται µε µονάδα. Η πιθανότητα παραµονής µετά από ορισµένο χρόνο ισούται µε το άθροισµα πιθανοτήτων όλων των κλάδων που οδηγούν σε αυτήν την κατάσταση 8

Μεταβατική συµπεριφορά του συστήµατος Όταν ο αριθµός των χρονικών διαστηµάτων αυξάνει οι τιµές των πιθανοτήτων τείνουν σε κάποιες σταθερές ή οριακές τιµές. Εάν υποτεθεί ότι η λειτουργία του συστήµατος αρχίζει από την κατάσταση 2, η µεταβατική συµπεριφορά των καταστάσεων αλλάζει αλλά οι οριακές τιµές παραµένουν αµετάβλητες (εργοδικά συστήµατα). Εργοδικό χαρακτηρίζεται το σύστηµα όταν κάθε κατάσταση του συστήµατος έχει πρόσβαση από άλλες καταστάσεις. Ο ρυθµός σύγκλισης στις οριακές τιµές εξαρτάται σηµαντικά από τις αρχικές συνθήκες και τις πιθανότητες µεταβάσεων µεταξύ των καταστάσεων του συστήµατος. Υπολογισµός πιθανοτήτων µεταβατικής συµπεριφοράς Ορίζεται ο στοχαστικός πίνακας πιθανοτικών µεταβάσεων P µε διαστάσεις Μ Μ όπου Μ ο αριθµός καταστάσεων και Ρ ij η πιθανότητα µετάβασης στην κατάσταση jµετά την πάροδο µίας χρονικής περιόδου µε δεδοµένο ότι στις αρχές της περιόδου ήταν στην κατάσταση i. /2 /2 P = /4 3/4 Η Ν-οστη δύναµη του πίνακα Ρ επιτρέπει τον υπολογισµό των πιθανοτήτων των καταστάσεων µετά από Ν περιόδους µε γνωστές τις αρχικές συνθήκες:ρ(ν)=ρ(0)ρ Ν 3/8 5/8 2 P = 5/6 /6 9

Υπολογισµός οριακών πιθανοτήτων Στη µόνιµη κατάσταση, αν Χ το διάνυσµα των οριακών πιθανοτήτων, αυτό δεν θα πρέπει να µεταβάλλεται µε την πάροδο του χρόνου:χρ=χ Το µαθηµατικό πρόβληµα έχει Μ αγνώστους και Μ- ανεξάρτητες εξισώσεις, οπότε για την επίλυση του προστίθεται η εξίσωση: M i= P = i Το πρόβληµα µετασχηµατίζεται σε µία ισοδύναµη εξίσωση της µορφής ΑΧ=Β και επιλύεται µε τη µέθοδο Cramer ή µε τη χρήση αριθµητικών τεχνικών. Αλυσίδες Markov συνεχούς χρόνου Οι σηµαντικότερες εφαρµογές µελετών αξιοπιστίας αφορούν συστήµατα που έχουν διακριτές καταστάσεις που µεταβαίνουν από µία κατάσταση στην άλλη όταν συµβεί κάποια λειτουργική διαδικασία και παραµένουν εκεί µέχρι να γίνει νέα µετάβαση. Έστω το απλό σύστηµα ενός στοιχείου που εµφανίζει βλάβες και δέχεται επισκευή µε σταθερούς ρυθµούς λ και µ (εκθετική κατανοµή). Οι ρυθµοί µετάβασης ορίζονται ως το πηλίκο του αριθµού των µεταβάσεων που συνέβησαν από µία δεδοµένη κατάσταση προς το χρόνο κατά τον οποίο το σύστηµα παρέµεινε στην κατάσταση. ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ λ µ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΒΛΑΒΗΣ 2 0

Μόνιµη κατάσταση Στη µόνιµη κατάσταση λειτουργίας αποδεικνύεται ότι οι πιθανότητες των δύο καταστάσεων είναι: P µ θ = = λ + µ θ + r λ r P2 = = λ + µ θ + r Ηκατάσταση ονοµάζεται διαθεσιµότητα Α του συστήµατος, δηλαδή πιθανότητα ανεύρεσης του συστήµατος στην κατάσταση καλής λειτουργίας ύστερα από συνεχείς µεταβάσεις. Η κατάσταση 2 ονοµάζεται µη διαθεσιµότητα U του συστήµατος, δηλαδή πιθανότητα ανεύρεσης του συστήµατος στην κατάσταση µη καλής λειτουργίας ύστερα από συνεχείς µεταβάσεις. ιάγραµµα καταστάσεων ενός στοιχείου µε επισκευή

ιάγραµµα καταστάσεων µε δύο στοιχεία µε επισκευή Ηδιαθεσιµότητα του συστήµατος διαφοροποιείται ανάλογα µε τον τρόπο που συνδέονται τα στοιχεία στο µπλοκ διάγραµµα αξιοπιστίας Παράλληλη συνδεσµολογία: ιαθεσιµότητα=ρ +Ρ 2 +Ρ 3 Μη διαθεσιµότητα=ρ 4 Συνδεσµολογία σειράς: Μη διαθεσιµότητα=ρ 4 +Ρ 2 +Ρ 3 ιαθεσιµότητα=ρ Ανάλογα µε τη λειτουργία προσθαφαιρούνται καταστάσεις και παράµετροι, πχ µερική απόδοση, βλάβες κοινής αιτίας ιάγραµµα καταστάσεων µε τρία στοιχεία µε επισκευή Συνδεσµολογία σειράς: Α=Ρ U=Ρ 2 + Ρ 3 + Ρ 4 + Ρ 5 + Ρ 6 + Ρ 7 + Ρ 8 Παράλληλη συνδεσµολογία: Α=Ρ +Ρ 2 +Ρ 3 + Ρ 4 + Ρ 5 + Ρ 6 + Ρ 7 U=Ρ 8 Σύστηµα µε λειτουργία 2 από 3: Α=Ρ +Ρ 2 +Ρ 3 + Ρ 4 U=Ρ 8 + Ρ 5 + Ρ 6 + Ρ 7 Σε µεγάλα συστήµατα ο αριθµός των καταστάσεων αυξάνει σηµαντικά (2 Μ όπου Μ στοιχεία στο σύστηµα). 2

Συστήµατα µε εφεδρικά στοιχεία Το διάγραµµα καταστάσεων συστήµατος µε στοιχείο Α σε λειτουργία και στοιχείο Β εφεδρικό, που τίθεται σε λειτουργία όταν το Α είναι εκτός φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Η διαθεσιµότητα αντιστοιχεί στις καταστάσεις,2,4. Σε περίπτωση πανοµοιότυπων στοιχείων ενδέχεται το εφεδρικό στοιχείο Β να συνεχίζει να λειτουργεί ακόµη και µετά την επισκευή του στοιχείου Α. Το διάγραµµα αυτό φαίνεται δίπλα και η διαθεσιµότητα αντιστοιχεί στις καταστάσεις,2,4,5. Στοχαστικός πίνακας µεταβάσεων () Παρόµοιος στοχαστικός πίνακας όπως στις αλυσίδες Markov διακριτού χρόνου µπορεί να σχηµατιστεί για τη µόνιµη κατάσταση λειτουργίας. Στο σύστηµα ενός στοιχείου δεχόµενου επισκευή οι πιθανότητες των καταστάσεων και 2 δίνονται στη µορφή ΧΡ=Χ µε πίνακες: λ t λ t [ P P2] = [ P P2] µ t µ t Για τον υπολογισµό των οριακών πιθανοτήτων µετάβασης µπορεί να χρησιµοποιηθεί η απλοποιηµένη µορφή του στοχαστικού πίνακα µεταβάσεων για τη διευκόλυνση των υπολογισµών: λ λ µ µ 3

Στοχαστικός πίνακας µεταβάσεων (2) Ηεπίλυση του συστήµατος των δύο καταστάσεων µε χρήση του απλοποιηµένου στοχαστικού πίνακα δίνει ότι: µ θ λ r P = = P2 = = λ + µ θ + r λ + µ θ + r ηλαδή η πιθανότητα παραµονής σε οποιαδήποτε κατάσταση του συστήµατος ισούται µε µε το µέσο χρόνο παραµονής στην κατάσταση διαιρεµένο µε το µέσο χρόνο µεταξύ δύο διαφορετικών γεγονότων εισόδου στην κατάσταση. Η αρχή αυτή εφαρµόζεται σε όλα τα συστήµατα µε στοιχεία επιδεχόµενα επισκευή ανεξάρτητα από τον αριθµό των καταστάσεων που µπορούν να υπάρξουν. Γενικά µπορούν να διατυπωθούν τα ακόλουθα: Στοχαστικός πίνακας µεταβάσεων (2) P(s):πιθανότητα παραµονής στην κατάσταση s m(s):µέσος χρόνος παραµονής στην κατάσταση s r(s):µέσος χρόνος εξόδου από την κατάσταση s T(s):µέσος χρόνος µεταξύ δύο διαφορετικών γεγονότων εισόδου στην κατάσταση s θ(s):µέσος χρόνος για την εµφάνιση του γεγονότος εισόδου στην κατάσταση s λ ε(s) :ο ισοδύναµος ρυθµός εισόδου στην κατάσταση s λ α(s) :ο ισοδύναµος ρυθµός αναχώρησης από την κατάσταση s ms () Ps () = T() s θ () s = λ () s ε rs () = λ () a s T() s = θ () s + r() s Αν f(s) είναι η συχνότητα εισόδου της κατάστασης s αυτή ισούται µε το γινόµενο της πιθανότητας παραµονής Ρ(s) και του ρυθµού αναχώρησης λ α (s) ή µε το γινόµενο της πιθανότητας µη παραµονής - Ρ(s) και του ρυθµού εισόδου λ ε (s) δηλ: f(s)=p(s) λ α (s)=[-p(s)]λ ε (s) Εύκολα παρατηρούµε ότι αυτό ισχύει για το σύστηµα µε δύο καταστάσεις. 4

Στοχαστικός πίνακας µεταβάσεων (3) Ηαρχή αυτή ισχύει για τη µόνιµη κατάσταση λειτουργίας και για µη εξαρτώµενες από το χρόνο παραµέτρους. Εύκολα αποδεικνύεται ότι αφού ισχύει η εξίσωση: T() s = f () s Ps () ms () = = f () s () s ηλαδή η µέση διάρκεια παραµονής σε µία κατάσταση ισούται µε τον αντίστροφο του ρυθµού αναχώρησης από την κατάσταση ή µε το λόγο της πιθανότητας παραµονής στην κατάσταση και της συχνότητας εισόδου στην κατάσταση. λ α 5