0. 0.3 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 7 8 Ερωτήσεις κατανόησης. Να γράψετε τους τύπους υπολογισµού του εµβαδού Τετραγώνου Ορθογωνίου i Παραλληλογράµµου iν) Τριγώνου ν) Τραπεζίου πάντηση Ε = α Ε = α β i Ε = β υ iν) Ε = β υ v) Ε = ( +β ) υ. Ένα τετράγωνο έχει περίµετρο 6, πόσο είναι το εµβαδόν του; Η πλευρά του τετραγώνου α είναι : α = 4, άρα Ε =6 3. Ένα ορθογώνιο έχει διαστάσεις α = 9, β = 4 και είναι ισοδύναµο µε τετράγωνο πλευρά x. Να βρεθεί το x x = 36 x = 6 4. Σε ένα τρίγωνο είναι α < β. Με ποια ανισοτική σχέση συνδέονται τα υ α και υ β ; Είναι α υ α = β υ β υβ α = < υ β α αφού α < β άρα υ β < υ α.
5. ν ένας ρόµβος έχει µήκη διαγωνίων 4 και 5, µε τι ισούται το γινόµενο µίας πλευράς του επί το αντίστοιχο ύψος; ν α είναι η πλευρά του ρόµβου και υ το αντίστοιχο σ αυτή ύψος τότε είναι δ δ Ε = = α υ όπου δ, δ οι διαγώνιοι του ρόµβου. Οπότε α υ = 0 6. Ένας χωρικός αντάλλαξε έναν αγρό που είχε σχήµα τετραγώνου πλευράς 60 m µε έναν άλλο σχήµατος ορθογωνίου µε πλάτος 40 και περίµετρο ίση µε την περίµετρο του τετραγώνου. Έχασε ή κέρδισε ο χωρικός από αυτή την ανταλλαγή ; ιτιολογήστε την απάντηση. Η περίµετρος του τετραγώνου είναι 40m. Το µήκος του ορθογωνίου είναι 40 80 = 80. Το εµβαδόν του τετραγώνου είναι Ε = 60 = 3600m και του ορθογωνίου είναι Ε = 40 80 = 300m Άρα ο χωρικός έχασε από την ανταλλαγή. σκήσεις Εµπέδωσης. Στο εσωτερικό τετραγώνου πλευράς α = 4 κατασκευάζουµε το ισόπλευρο τρίγωνο Ζ. Να υπολογισθεί το εµβαδόν των, Ζ, Ζ και Ζ. α Κ Μ Ζ () = α = 4 = 6 Τρ.Ζ ισόπλευρο πλευράς α α 3 4 3 (Ζ) = = = 6 3 = 4 3 4 4 4 Φέρουµε ΖΚ και ΖΜ. α Τότε ΖΚ = Μ = (Ζ) =. ΖΚ = α α 4 = 4 = 4 (Ζ) = () (Ζ) (Ζ) (Ζ) = 6. 4 4 3 = 6 8 4 3 = 8 4 3
3. ν Μ τυχαίο σηµείο της πλευράς = 0 τετραγώνου, τότε το άθροισµα (Μ) + (Μ) είναι : 5, B: 40, : 50, : 75, E: 00. Κυκλώστε το γράµµα της σωστής απάντησης και αιτιολογήστε την απάντησή σας. Μ Φέρουµε ΜΚ (Μ) =. ΜΚ = 0. 0 = 50, 0 επειδή όµως () = 0 = 00 Κ (Μ) + (Μ) = 50. 3. ίνεται τρίγωνο µε = 6, = 8 και ˆ = 60 ο. Να βρεθούν: το ύψος υ β, το εµβαδόν (), i το ύψος υ α. 6 60 0 Ε 8 ˆ = 60 ο ˆ = Πυθαγόρειο στο τρ.ε: υ β = 0 30 Ε = = 3. 6 3 = 36 9 = 7 υ β = 3 3 (AB) =. Ε = 8. 3 3 = 3 i Ε = 8 3 = 5 Πυθαγόρειο στο τρ.ε: (AB) = 3 = Ε + = 3. = 3 3. = 3 = 3 3 = Ε = 5 ( 3 3) 39 3 + = 5 + 7 = 5
4 4. Ένα ορθογώνιο έχει περίµετρο 4 και διαγώνιο 5. Να βρείτε το εµβαδόν του. Έστω x, y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε x + y = 7, οπότε y = 7 x και (Πυθαγόρειο): x + y = 5 ( ) x + 7 x = 5 x + 49 4x + x = 5 x 4x + 4 = 0 x 7x + = 0 x = 3 ή x = 4 ια x = 3 η εξίσωση y = 7 x y = 4 Άρα το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι Ε = x y = 3 4 = 5. ίνεται παραλληλόγραµµο µε = 0 και αντίστοιχο προς αυτήν ύψος υ = 5. Πάνω στις πλευρές και παίρνουµε τα σηµεία Ε και Ζ αντίστοιχα, ώστε Ε = Ζ. Να βρείτε το εµβαδόν του. φού πρώτα συγκρίνετε τα εµβαδά των τραπεζίων ΕΖ και ΕΖ να βρείτε το εµβαδόν καθενός από αυτά. Ε () = 0 5 = 50 Ζ (ΕΖ) = (ΕΖ) αφού έχουν ίσες βάσεις και ίδιο ύψος. Άρα 5 το καθένα.
5 6. Ένα οικόπεδο έχει σχήµα τραπεζίου () µε Aˆ = Bˆ =, = 5m, = 0m και = m. Ένας καινούργιος δρόµος περνάει παράλληλα προς τη και αποκόπτει µία λωρίδα πλάτους 3m. Πόσα τετραγωνικά µέτρα είναι το οικόπεδο που αποµένει; 5 0 K 3 Λ Πυθαγόρειο στο τρ.η: Άρα (ΚΛ) = 3 = 3 3 = 39 Η = Η +Η = + 5 Έστω ΚΛ παραλληλόγραµµο ο καινούργιος δρόµος. ια να υπολογίσουµε την πλευρά του, φέρουµε Η A. Τότε Η = = και Η = Η = = 0 5 = 5. = 44 + 5 = 69 = + 0+ 5 Όµως () = = = 35 6 = 0 Άρα (ΛΚ) = 0 39 = 7 m. 3 = 3. ποδεικτικές σκήσεις. ν Σ είναι σηµείο µιας πλευράς παραλληλογράµµου, να αποδείξετε ότι (Σ) + (Σ) = (). Σ ρκεί να αποδείξουµε ότι (Σ) = (Σ). Τούτο συµβαίνει διότι έχουν ίδια βάση Σ και αντίστοιχα ύψη ίσα, αφού Σ.
6. ν οι διάµεσοι και Ε τριγώνου τέµνονται στο Θ, να αποδείξετε ότι: (Ε) = (Ε), (Θ) = (ΕΘ) i (Θ) = (ΘΕ). Θ Ε Έχουν ίσες βάσεις Ε = Ε και ίδιο ύψος από το Θυµόµαστε ότι κάθε διάµεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεµβαδικά τρίγωνα Έτσι (Ε) = () και () = (), οπότε (Ε) = (). φαιρούµε, από τα δύο µέλη, το (Θ). Τότε (ΕΘ) = (Θ) i Οµοίως είναι () = (Ε) = (). φαιρούµε, από τα δύο πρώτα µέλη, το (Θ).
7 3. ίνεται τρίγωνο και το βαρύκεντρό του Θ. πό σηµείο Σ της διαµέσου φέρουµε τις κάθετες ΣΕ, ΣΖ στις, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι: (Σ) = (Σ). ΣΖ =. ΣΕ και i (Θ) = (Θ) = 3 () διάµεσος του τρ. () = () Σ διάµεσος του τρ.σ (Σ) = (Σ) Ζ Σ Ε Σ φαιρούµε κατά µέλη ( (Σ) = (Σ). ΣΖ =. ΣΕ. ΣΖ =. ΣΕ Θ i Κατά το έχουµε (Θ) = (Θ) και οµοίως = (Θ). Άρα το καθένα = 3 () 4. ίνεται τραπέζιο (). ν Μ το µέσο της πλευράς του, να αποδείξετε ότι () = (Μ). Λ Μ Κ Έστω ΚΜΛ το ύψος του τραπεζίου. () = ( + ).ΚΛ = K Λ KΛ + =. ΜΚ +. ΜΛ = (. ΜΚ +. ΜΛ ) = ( Μ ) + ( Μ). Άρα και () = (Μ).
8 5. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν ενός τραπεζίου είναι ίσο µε το γινόµενο της µίας από τις µη παράλληλες πλευρές του επί την απόσταση του µέσου της άλλης από αυτή. Η Μ Θ Κ Έστω το τραπέζιο, Μ το µέσο της και ΜΚ η απόσταση του Μ από τη. Θα αποδείξουµε ότι () =. ΜΚ πό το Μ φέρουµε, που τέµνει τις, στα Η, Θ αντίστοιχα. Τότε τρ.μθ = τρ.μη άρα και ισεµβαδικά και ΗΘ παραλληλόγραµµο. Έχουµε () = (ΘΜ) + (ΜΘ) = (ΘΜ) + (ΜΗ) = (ΗΘ) = β.υ =. ΜΚ
9 6. ίνεται τρίγωνο µε =, = και ˆ = 0 ο. Με πλευρές τις και κατασκευάζουµε εξωτερικά του τριγώνου τα τετράγωνα Ε και ΖΘ αντίστοιχα. Τότε: να υπολογίσετε το τµήµα ΕΘ να αποδείξετε ότι τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά και i να αποδείξετε ότι το εµβαδόν της πολυγωνικής επιφάνειας ΖΘΕ είναι 5 + 3 Ε Θ Κ Ζ ˆ = 0 ο ˆ = 60 ο Νόµος συνηµιτόνων στο τρ.εθ 0 ΕΘ = + συν 60 = + 4 4 = 5 = 3 Άρα ΕΘ = 3 Εύκολα διαπιστώνουµε ότι, στο τρίγωνο ΕΘ ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρηµα, άρα είναι ορθογώνιο στο Ε. Άρα τα, Ε, Θ είναι συνευθειακά i ια το εµβαδόν του τριγώνου, φέρουµε το ύψος του Κ. ˆ = 0 ο ˆ = 30 ο Κ = = Πυθαγόρειο στο τρίγωνο Κ Κ = Κ = = 4 = 3 Άρα Κ = 3 () =. Κ = 3 = 3 (ΕΘ) = ΕΘ. Ε = 3 3 = (Ε) = (ΖΘ) = () () = (3) = 4 (4) () + () + (3) + (4) (ΖΘΕ) = 3 + 3 + + 4 = 5 + 3
0 7. ν ω είναι η γωνία των διαγωνίων και κυρτού τετραπλεύρου, να αποδείξετε ότι () =. ηµω. () = () + () =. +. B Ε =. ( + ) =. (Ε. ηµω + Ε. ηµω) =. (Ε + Ε)ηµω =. ηµω 8. Ο ιδιοκτήτης ενός οικοπέδου σχήµατος ορθογωνίου, του οποίου το µήκος είναι κατά 8m µεγαλύτερο του πλάτους, θέλει να σχηµατίσει, γύρω από το οικόπεδο και εξωτερικά αυτού, µια δενδροστοιχία πλάτους,5m. Έτσι αναγκάζεται να αγοράσει από τους γείτονές του 695 m. Να βρεθούν οι διαστάσεις του οικοπέδου. Ν K x x + 3 x + 8 Λ x + 5 Μ Έστω το αρχικό οικόπεδο µε πλάτος = x και µήκος = x + 8, και ΚΛΜΝ το οικόπεδο µετά την επέκταση µε ΛΜ = x + 5 και ΚΛ = x + 3. Είναι (ΚΛΜΝ) () = 695 (x + 3) (x +5) (x + 8) x = 695 x + 5x + 3x + 5 x 8x = 695 0 x = 580 x = 58 το πλάτος και 58 + 8 = 76 το µήκος.
Σύνθετα Θέµατα. Θεωρούµε κυρτό τετράπλευρο. Στις προεκτάσεις των ηµιευθειών,, και παίρνουµε αντίστοιχα τα σηµεία Ζ, Η, Θ και Ι, ώστε Ζ =, Η =, Θ = και Ι =. Να αποδείξετε ότι: (ΙΘ) = (Θ) = () (ΙΘ) + (ΖΗ) = () και i (ΙΖΗΘ) = 5() Θυµίζουµε ότι: Κάθε διάµεσος τριγώνου χωρίζει το τρίγωνο σε δύο ισεµβαδικά τρίγωνα. Θ διάµεσος του τριγώνου ΘΙ (ΙΘ) = (Θ) διάµεσος του τριγώνου Θ (Θ) = () Θ Ι Ζ Η (ΙΘ) = () και οµοίως (ΖΗ) = () Προσθέτουµε κατά µέλη (ΙΘ) + (ΖΗ) = ( ) + ( ) (ΙΘ) + (ΖΗ) = () i Σύµφωνα µε το θα έχουµε (ΘΗ) + (ΙΖ) = () Άρα (ΙΖΗΘ) = (ΙΘ) + (ΖΗ) + (ΙΘ) + (ΖΗ) + () = () + () + () = 5().
. Σε τρίγωνο παίρνουµε το µέσο Μ της διαµέσου, το µέσο Ν του Μ και το µέσο Ρ του Ν. Να αποδείξετε ότι (ΜΝΡ) = 8 (). Φέρουµε το τµήµα Μ. ΜΡ διάµεσος του τριγώνου ΜΝ Μ Ρ Ν (ΜΝΡ) = (ΜΝ) () Ν διάµεσος του τριγώνου Μ (ΜΝ) = (Μ) () () (ΜΝΡ) = (Μ) = 4 (Μ) = ( ) ( ) 4 MB + Μ (3) Μ διάµεσος του τριγώνου Μ διάµεσος του τριγώνου (Μ) = () και (Μ) = () (3) (ΜΝΡ) = 4 ( ) + ( ) = 4 ( ) + ( ) = 8 ().
3 3. Στις πλευρές και τετραγώνου πλευράς α παίρνουµε τα σηµεία Ζ και Η αντίστοιχα, ώστε Ζ = Η = 4 α. Να αποδείξετε ότι τα τµήµατα Ζ και Η τέµνονται κάθετα σε σηµείο Κ. Να υπολογισθούν τα µήκη των τµηµάτων Κ, Η και ΚΗ. i Να υπολογισθεί το εµβαδόν του τετραπλεύρου ΚΗ. τρ.ζ = τρ.η αφού είναι ορθογώνια µε = και Ζ = Η = 3 4 α Η Κ Ζ ˆ = ˆ λλά από το ορθ. τρίγωνο Ζ είναι ˆ + ˆΖ = 90 ο, άρα ˆ + ˆΖ = 90 ο Έτσι, στο τρίγωνο ΚΖ είναι ˆΚ = 90 ο. Πυθαγόρειο στο τρ.ζ: Άρα Ζ = + Ζ = 5 4 α Ζ = α + 3 α 4 = α + 9 5 6 α = 6 α Στο τρ.ζ µε ύψος Κ: = Ζ. Κ α = 5 4 α. Κ Κ= 4 5 α Πυθαγόρειο στο τρ.η: Πυθαγόρειο στο τρ.κη: i Η = Άρα Η = ΚΗ = + α 7 4 Η Η = Κ = α + α 4 = α + 6 α = 7 6 α 7 6 α 4 α 5 7 = 6 α 6 5 α 45 56 = α = 6.5 Άρα ΚΗ = 3 0 α (ΚΗ) = (ΚΗ) + (Η) = Κ. ΚΗ +. Η = 5 5 5 77 α + α = α + α = 00 8 00 00 00 α 69 6.5 α 4 5 α 3 0 α + α α = 4
4 4. Θεωρούµε παραλληλόγραµµο και σηµείο Ο στο εσωτερικό του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι (Ο) + (Ο) = () και (Ο) + (Ο) = (Ο) K Ο Φέρουµε το ύψος ΚΟΛ. (Ο) + (Ο) = ΟΚ + ΟΛ = = (ΟΚ + ΟΛ) = Λ = ΚΛ = () () λλά, κάθε διαγώνιος παραλληλογράµµου χωρίζει το παραλληλόγραµµο σε δύο ίσα και, κατά συνέπεια ισεµβαδικά τρίγωνα. ηλαδή () = () () (), () (Ο) + (Ο) = () Στα δύο µέλη της αποδεικτέας ισότητας προσθέτουµε το (Ο), οπότε αρκεί να αποδείξουµε ότι (Ο) + (Ο) + (Ο) = (Ο) + (Ο), ή αρκεί () = (Ο) + (Ο), που ισχύει από το.
5 5. ν και ΚΛΜΝ είναι ρόµβος πλευράς α και τετράγωνο πλευράς α αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι () (ΚΛΜΝ) Ο Έστω δ, δ οι διαγώνιοι του ρόµβου και Ο το κέντρο του. ρκεί να αποδείξουµε ότι δ δ α, ή αρκεί δ δ α Πυθαγόρειο στο τρ.ο: 4 δ δ + 4 = α πό την (), αρκεί να αποδείξουµε ότι δ δ ή αρκεί δ δ ή αρκεί 0 δ + δ δ + δ δ + δ +δ δ +δ δ δ δ = = α. ή αρκεί 0 ( δ δ ), που ισχύει. α ()