9 II Γ Ρ Α Μ Μ Ι Κ Ε Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Γενικά (Βλέπε κι σελ 3) Υπενθυµίζουµε µερικές έννοιες, που φορούν τις συνρτήσεις, ) Iecve κλείτι µί έν-ένπεικόνιση f:u V Αν δηλδή, x, x U, f ( x) f ( x ) x x β) Surecve κλείτι κάθε επί πεικόνιση γ) Becve κλείτι η f, νν είνι έν-έν κι επί δ) Μορφισµοί ή οµοµορφισµοί κλούντι γενικώς, οι συνρτήσεις, που διτηρούν την δοµή του πεδίου ορισµού τους Επιµορφισµοί, λέγοντιι οι µορφισµοί f, που είνι επί, δηλδή, f(u) V Ενδοµορφισµοί, εκείνοι οι µορφισµοί f, που είνι εντός, δηλδή, f(u) V Μονοµορφισµοί, κλούντι οι µορφισµοί, που είνι έν-ένπεικονίσεις Ισοµορφισµοί, κλούντι οι επιµορφισµοί που, είνι επιπλέον κι µονοµορφισµοί (είνι δηλδή, becve) δ) Αυτοµορφισµοί κλούντι οι πεικονίσεις ενός συνόλου επί τον ευτό του Αν οι πεικονίσεις υτές είνι κι έν-έν, τότε ονοµάζοντι µετθέσεις Θεωρούµε τις πεικονίσεις f: U V κι g: f(u) W Μπορούµε ν ορίσουµε την πεικόνιση fg: U W πό την σχέση, x U, x(fg) (xf)g g(f(x)) Η h fg κλείτι γινόµενο ή σύνθεση των f κι g Γι ν δηλώσουµε την σύνθεση των συνρτήσεων, χρησιµοποιούµε τντιµετθετικά διγράµµτ: f Το γινόµενο δύο συνρτήσεων, δεν ορίζετι βέβι πάντοτε, πολύ U V g δε περισσότερο, δεν ισχύει πάντ ότι gf fg Οποτε σηµειώνουµε h W πάντως στ πρκάτω την σύνθεση δύο συνρτήσεων, θ υποθέτουµε, χωρίς ν το λέµε, ότι υτή ορίζετι Η ντίστροφη πεικόνιση f της f, ορίζετι πό την σχέση, f (y) x, όπου y f(u), κι x U µε f(x) y Φνερά, η f είνι συνάρτηση, νν η f είνι έν-έν Θεωρούµε y f(u) το σύνολο f (y) Φνερά, f ( y) U κι γι y y f ( y ) f ( ) U y f ( U), y Το σύνολο U, µερίζετι συνεπώς πό τ υποσύνολ ισοδυνµίς R: x x R f ( x ) f ( ), x V Το σύνολο f ( ), όπου V f(u) ορίζετι ως το σύνολο V f ( ) {x U f(x) V } f ( V f (y), κι η f εισάγει στο U την σχέση Φνερά, το σύνολο ) υπάρχει, νεξάρτητπό το ν η f είνι έν-έν ή όχι U fg f V g W h gh Z Γι τρεις πεικονίσεις που συντίθεντι, ισχύει ο προσετιριστικός νόµος Είνι δηλδή, (fg)h f(gh), ως προκύπτει πό το διάγρµµ που εµφνίζετι πρπλεύρως ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Θεωρούµε το σύνολο των υτοµορφισµών ενός συνόλου U Φνερά, η σύνθεση δύο υτοµορφισµών του U είνι πάντοτε δυντή Ορίζετι λοιπόν µέσ στο σύνολο υτό, µί εσωτερική πράξη, ο πολλπλσισµός δύο στοιχείων του Μέσ στο σύνολο των υτοµορφισµών του U, συγκτλέγετι κι η τυτοτική πεικόνιση U : U U, που ορίζετι πό την σχέση, x U, U ( x) x Στην περίπτωση, που ο υτοµορφισµός είνι µετάθεση f, υπάρχει κι η ντίστροφή της την σύνθεση, ποτελεί οµάδ f Το σύνολο συνεπώς των µετθέσεων του U, µε πράξη Θεωρούµε, τώρ, έν σύνολο Ε, κι µί σχέση ισοδυνµίς R πάνω σ υτό Στη συνέχει, θεωρούµε κι το σύνολο πηλίκο Ε/R Ορίζετι τότε, η συνάρτηση p του Ε επί το
0 Ε/R πό την σχέση, x a C x όπου x E κι Cx E/R η κλάση ισοδυνµίς στην οποί το x νήκει Η p είνι κλά ορισµένη, µιά κι όπως δείξµε (βλ σελ ) δεν υπάρχουν κλάσεις ισοδυνµίς µε κοινά στοιχεί Υποθέτουµε κόµ, ότι έχουµε κι κάποιο άλλο σύνολο S, κι την πεικόνιση f: E S, τέτοι ώστε, η σχέση (x,y) R f(x) f(y) p ΘΕΩΡΗΜΑ Υπάρχει η g: E/R S κι είνι µονδική, έτσι ώστε, E E/R το δίπλ διάγρµµ, ν κθίσττι ντιµετθετικό Επιπλέον, ν f g sureco, η g είνι beco f Απόδειξη Θ πρέπει ν δείξουµε ότι, f pg Πράγµτι, πό S υπόθεση, η f πεικονίζει όλ τ ισοδύνµ στοιχεί του Ε, σε έν στοιχείο s S Αν λοιπόν ορίσουµε την g έτσι ώστε C a s f(x), το πιό πάνω διάγρµµ κθίσττι ντιµετθετικό Η g είνι έν-έν, γιτί ν είχµε ότι x C x a s κι C y a s µε Cx C y, οπότε κι το x δεν θ είνι ισοδύνµο του y, τότε θ έπρεπε λόγω του τρόπου µε τον οποίον ορίστηκε η f, ν έχουµε κι f(x) f(y), πράγµδύντον, µί κι f pg ηλδή, g(p(x)) g(p(y)) s νν x y Γρµµικές πεικονίσεις Ορισµός Θεωρούµε τους δινυσµτικούς χώρους U(F) κι V(F) Η f:u V θ κλείτι γρµµική, νν x x U, f ( λ x + λ x ) λ f ( x ) + λ f ( ) (), x ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Στην περίπτωση, που το σύνολο τιµών f(u) της f δεν είνι δινυσµτικός χώρος, τότε, η () µπορεί ν θεωρηθεί ότι ορίζει µέσ σ υτό µί πρόσθεση κι ένν µονόµετρο πολλπλσισµό Με τις πράξεις υτές, το f(u) γίνετι δινυσµτικός χώρος Η f είνι δηλδή, ένς µορφισµός ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε δινυσµτικός χώρος V(F) µε πεπερσµένη διάστση, dv, είνι ισόµορφος του χώρου των συντετγµένων F Απόδειξη Θεωρούµε την πεικόνιση φ: V F, που ορίζετι ως εξής: Θεωρούµε εν V µί βάση, έστω την { e, e, K, e } Το τυχόν x V έχει τότε την έκφρση, x λ e+ λ e + K + λ e Θέτουµε φ(x) ( λ, λ, K, λ ) Η φ είνι κλά ορισµένη κι έν-έν, µιά κι η έκφρση του x στην επιλεγείσ βάση, είνι µονδική (βλ πρότση, σελ ) Εχουµε, τώρ, ότι, λ x λλe+ λλ e + K + λλ e, άρ κι, φ(λx) λ ( λ, λ, K, λ ) λφ(x) Ακόµ, έχουµε κι την φ ( x+ x ) φ( x) + φ( x ), όπως εύκολποδεικνύετι ΠΟΡΙΣΜΑ ύο δινυσµτικοί χώροι U(F) κι V(F) µε την ίδι διάστση, είνι ισόµορφοι ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Οπως είδµε, ο ισοµορφισµός φ που ορίσµε, εξρτάτι πό την επιλεγείσ βάση του χώρου V(F) Προτάσεις λοιπόν που ποδεικνύοντι εν F, ν θέλουµε ν έχουν γενική ισχύ εν V(F), θ πρέπει ν δείχνουµε ότι υτές, δεν εξρτώντι πό την επιλεγµένη βάση ΠΡΟΤΑΣΗ Η εικόν f(u) V είνι υπόχωρος του V(F) Απόδειξη Θ πρέπει ν δείξουµε ότι, το λf ( x) + λ f ( x ) f (U) Πράγµτι, ν y, y f (U), υπάρχουν δύο τουλάχιστον στοιχεί x, x U, µε y f ( x ) κι y f ) Είνι τώρ, y + λ y λ f ( x ) + λ f ( x ) f ( λ x + λ x ) f (U) ( x λ ΠΡΟΤΑΣΗ Το σύνολο Ν U του οποίου εικόν είνι το 0 V, είνι υπόχωρος του U
Απόδειξη Θ πρέπει ν δείξουµε ότι, x, x N λ x+ λ x N ηλδή, θ πρέπει ν είνι, ( λ x + λ x ) 0 Οµως, ( λ x + λ x ) λ f ( x ) + λ f ( x ) 0 f f Ορολογί κι Συµβολισµοί (Βλέπε κι σελ 4) Τις γρµµικές πεικονίσεις τις κλούν κι γρµµικούς τελεστές Τους γρµµικούς τελεστές, τους συµβολίζουν συνήθως µε κεφλί γράµµτ, πχ T: U V (Τούτο γίνετι, ότν θέλουµε ν δηλώσουµε την σχέση του γρµµικού µετσχηµτισµού, µε τους Πίνκες) T(x) είνι η εικόν του x V Την εικόν υτή, την γράφουν όπως είδµε, κι xt Με την χρήση του συµβολισµού υτού, η () γράφετι ( λ x+ λ x ) T λxt+ λ x T Το πεδίο τιµών f(u) συµβολίζετι κι µε If Το If είνι, όπως είδµε, υπόχωρος του V Η διάστση dif κλείτι τάξη (rak) ρ της f Ο υπόχωρος Ν του U συµβολίζετι κι µε Kerf (Kerel πυρήνς) κι κλείτι πυρήνς της f Κι ο Kerf είνι υπόχωρος, κι την διάστσή του dkerf την κλούµε µηδενικότητ (uly) ν της f Με Ho(U,V) συµβολίζουν το σύνολο των οµοµορφισµών που ορίζοντι στο U κι έχουν τιµές εν V Αν πρόκειτι γι γρµµικές πεικονίσεις, γράφουµε ντί του Ho(U,V), L(U,V) Αν είνι V U, γράφουµε L(U) Το σύνολο υτό, είνι δυντόν ν οργνωθεί σε δινυσµτικό χώρο, όπως στο πρ4, σελ 7 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ) Ο Τυτοτικός µετσχηµτισµός (βλέπε πρ σελ9), είνι µί γρµ- µική πεικόνιση Αυτήν, την συµβολίζουν πλά, µε το β) Η µηδενική πεικόνιση f 0, που ορίζετι πό την σχέση x U, f 0 ( x) 0, είνι κι υτή, ένς γρµµικός µετσχηµτισµός γ) Θεωρούµε τον χώρο των συντετγµένων (βλέπε πρ, σελ6) R, κι την p : R R, που ορίζετι πό την σχέση, p ( X) x, όπου X ( x, x, K, x ) Η p είνι γρµµική, κι κλείτι -προβολή ΠΡΟΤΑΣΗ 3 Η εικόν του µηδενικού στοιχείου είνι το 0, f L(U,V) Απόδειξη Είνι, f(x) f(x+0) f(x)+f(0) Οµως, κι f(x)+0 f(x) Αρ f(0) 0, µί κι το 0 είνι µονδικό εν f(u) ΠΡΟΤΑΣΗ 4 Ενς γρµµικός µετσχηµτισµός Τ διτηρεί την έννοι της γρµµικής εξρτήσεως Απόδειξη Φνερά, ν λ b 0, είνι κι, k εικόν του στοιχείου 0 είνι το 0 k λ b T λ b T ΠΟΡΙΣΜΑ Αν U υπόχωρος του U, τότε κι f (U ) υπόχωρος του f(u) ΠΡΟΤΑΣΗ 5 Αν V υπόχωρος του V, τότε κι f (V ) υπόχωρος του U Απόδειξη Εστω x, x f (V ) Τότε είνι, λf ( x) + λ f ( x ) V Αρ κι f ( λx+ λ x ) V Είνι συνεπώς, λx+ λ x f (V ) k 0 µιά κι πάντ η ΘΕΩΡΗΜΑ Ενς γρµµικός µετσχηµτισµός Τ: U V, χρκτηρίζετι πολύτως πό τις εικόνες των στοιχείων µιάς βάσεως του U Αν δηλδή δοθεί µιά βάση e, e, K, του U κι δινύσµτ b, b e b, K, του V, υπάρχει ένς κι µόνο γρµµικός µετσχηµτισµός Τ, τέτοιος ώστε, e T b,,,, e, e Απόδειξη Εστω e, K, µί βάση του U Θεωρούµε, τώρ, στοιχεί b του V, χωρίς νποκλείουµε τις περιπτώσεις, µερικά π υτά, ή κι όλ, ν είνι µετξύ τους ίσ,
ή κόµ κι το µηδενικό στοιχείο (Συνεπώς, το πλήθος των διφορετικών στοιχείων b που θεωρούµε, είνι k ) Εστω υτά τ b, b, K, b Από την στιγµή που τ έχουµε έτσι κτγράψει, λβίνουµε υπ όψη κι την διάτξη που τους κθορίζει η ρίθµησή τους ) Υπρξη του Τ Εστω x τυχόν στοιχείο του U Είνι τότε, x λe+ λ e K + λ e Ορίζουµε το xt ως το στοιχείο λ b+ λ b K + λ b του V Αρ κι e T b Θεωρούµε, τώρ, κι το στοιχείο y µ e + µ e K + µ του U Είνι e (x+y)t ( ( λ e+ λ e K + λ e + µ e+ µ e K + µ e ) Τ {( λ + µ ) e+ ( λ + µ ) e K + ( λ + µ ) e } T ( λ + µ ) et+ ( λ + µ ) et K + ( λ + µ ) et ( λ + µ ) b+ ( λ + µ ) b K + ( λ + µ ) b λ b+ λ b K + λ b + λb+ µ b K + µ b xt+yt Επίσης, (λx)t λ( λ e+ λ e K + λ e ) T λλ b+ λλ b K + λλ b λ ( λb+ λ b K + λ b ) λ(xt) Ο Τ είνι λοιπόν γρµµικός µετσχηµτισµός β) Ο Τ είνι µονδικός Εστω ότι κι ο Τ οριζότν όπως ο Τ Τότε, x U, ισχύει ότι, xt ( λ b+ λ b K + λ b ) Τ λ b+ λ b K + λ b xt Αρ κι b e T e T, γιά όλ τ,, Αρ Τ Τ Συµβολισµός Το γεγονός ότι η f: U V ορίζετι πό τις εικόνες διτετγµένης βάσεως, u,, } u K του U, το συµβολίζουν µε ( ) { u {, u,, u τ διτετγµέν σύνολ u K } κι b, b, K, } { bk b των στοιχείων e της fu :, b όπου u κι b 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 ) Ο µετσχηµτισµός Τ: R R, που ορίζετι x R πό την σχέση ( x, x, x3) T ( x, x ) είνι µί γρµµική πεικόνιση Η πεικόνιση υτή, προβάλει το σηµείο P ( x, x, x3) του χώρου Ε, στο σηµείο ( x, x ) του Ox x ( R ) επιπέδου, πρλλήλως προς τον άξον Ox 3 Τον T θ µπορούσµε ν τον προσδιορίσουµε κι µέσω των ντιστοιχιών (,0,0) e a b (,0), (0,,0) e a b (0,), (0,0,) e 3 a b 3 (0,0,0) 3 3 Πρτηρούµε ότι, κι η συνάρτηση Τ : R R, που δίδετι πό την σχέση ( x, x, x3) T ( x, x, 0) λειτουργεί όπως κριβώς κι η Τ Πρόκειτι όµως γι διφορετική πεικόνιση β) Μί γρµµική πεικόνιση, διτηρεί τις ευθείες Πράγµτι, ν r ( ) x+ r y r µί ευθεί του χώρου R, τότε, φνερά, κι η εικόν της µέσω µίς γρµµικής πεικόνισης Τ, θ είνι µί ευθεί του R 3 4 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ίδετι ο γρµµικός µετσχηµτισµός Τ : R R πό τις εικόνες 3 των στοιχείων της κνονικής βάσεως του R : e T (0,,0,), e T (0,,,0) κι e 3 (0,,,4) Ζητάµε ν βρούµε τους χώρους KerT κι IT Ο χώρος IT είνι ο L{(0,,0,), (0,,,0), (0,,,4)} Πρτηρούµε ότι, το {(0,,0,), (0,,,0)} είνι σύνολο γρµµικώς νεξάρτητο, κι ότι (0,,,4) (0,,0,) (0,,,0) Είνι λοιπόν, dit Ο χώρος KerT είνι το {x R 4 xt 0} Είνι λοιπόν, x xe+ xe+ x3e3 οπότε κι xt x et+ xet+ x3e3t x (0,,0,)+ x (0,,,0)+ x 3(0,,,4)
3 (0, x + x + x3, x x3, x+ 4x3 ) Θέλουµε ν έχουµε xt 0 Οδηγούµεθ λοιπόν στο σύστηµ + x + x 0 x 3 x x3 x 4x3 0 + 0 Το σύστηµυτό, έχει λύση την ( x3, x3, x3) x3(,, ) Είνι λοιπόν, KerT L{(,,)} κι dkert Πρτηρούµε ότι ισχύει η σχέση dkert+dit dr 3 3 Εφρµογές ) Στροφή στο Επίπεδο Θεωρούµε το πργµτικό επίπεδο R, κι έστω Oxy έν (ορθογώνιο) σύστηµνφοράς σ υτό Θεωρούµε το OP, το οποίο κι στρέφουµε κτά γωνί θ, στη θέση OS Ζητάµε ν S y βρούµε την πεικόνιση, που δίδει το OS ως εικόν P του OP Αν δηλδή, S (x,y ) κι P (x,y), ζητάµε ν βρούµε µίπεικόνιση T θ : R R, y τέτοι ώστε, (x,y) a (x,y ) θ Θέτουµε r (ΟP) (OS), το µήκος ντιστοίχως, φ του ευθύγρµµου τµήµτος OP κι ΟS O x x Πρτηρούµε ότι, x (OS)cos(θ+φ) rcosθcosφ rsθsφ xcosθ ysθ, µιά κι x rcosφ, κι y rsφ Επίσης, y (OS)s(θ+φ) rsθcosφ+rcosθsφ xsθ+ycosθ Ο ζητούµενος µετσχηµτισµός, δίδετι λοιπόν πό την έκφρση, T : (x,y) a (xcosθ ysθ, xsθ+ycosθ) θ Ο T θ γι 0 θ < π ορίζετι κλά Θ δείξουµε ότι είνι κι γρµµική πεικόνιση r r r r r r Εστω τ ( x, y) κι ( x, y ) Θ δείξουµε ότι, ( λ + λ ) Tθ λ Tθ + λ Tθ Είνι, λ x, y ) + λ ( x, y ) ( λ x + λ x, λ y + λ ) κι ( y ( λ x+ λ x, λy+ λ y) Tθ (( λ x+ λ x )cosθ ( λx+ λ x )sθ, ( λx+ λ x )sθ+ ( λy+ λ y)cosθ) () κι λ ( x, y) Tθ + λ ( x, y ) Tθ ( λ xcosθ λysθ, λxsθ+ λycosθ) + ( λ x cosθ λ ysθ, λ x sθ+ λ ycosθ) ( λ xcosθ λysθ+ λ x cosθ λ ysθ, λxsθ+ λycosθ+ λ x sθ+ λ ycosθ) (( λ x+ λ x )cosθ ( λy+ λ y)sθ, ( λx+ λ x )sθ+ ( λy+ λ y )cosθ) () Από τις () κι () προκύπτει το ζητούµενο Η γρµµική πεικόνιση T θ κλείτι στροφή του επιπέδου κτά γωνί θ β) Θεωρούµε τώρ, το σύνολο των γρµµικών µετσχηµτισµών T θ, θ R, 0 θ < π Το σύνολο υτό, είνι έν σύνολο υτοµορφισµών του R Είνι γνωστό, ότι υτό το σύνολο οργνώνετι σε δινυσµτικό χώρο (βλέπε σελ 7, πράδειγµ 4) Οµως, εδώ έχουµε κάτι πρπάνω Ορίζετι πάντ η σύνθεση δύο στροφών, κι είνι κι υτή στροφή Εύκολ εξ άλλου ποδεικνύετι ότι, Tθ T φ T θ + φ Η σχέση υτή, µς οδηγεί στο συµπέρσµ, ότι το σύνολο των στροφών του επιπέδου, µε πράξη των πολλπλσισµό (σύνθεση), ποτελεί ντιµετθετική οµάδ Μονδιίο στοιχείο της οµάδς υτής, είνι η στροφή κτά µηδενική γωνί
4 4 Οπως είδµε πρπάνω, οι σχέσεις γρµµικής εξάρτησης, διτηρούντι πό ένν γρµµικό µετσχηµτισµό Οµως, οι εικόνες µερικών πό τ στοιχεί, που εµπλέκοντι σε κάποι σχέση γρµµικής εξάρτησης εν U, είνι δυντόν ν είνι το ίδιο στοιχείο, (πχ το 0 V) Συµπέρσµ Ενς γρµµικός µετσχηµτισµός, Τ: U V δεν υξάνει ποτέ την διάστση του χώρου στον οποίον ορίζετι Είνι λοιπόν, ΠΡΟΤΑΣΗ 6 ρ(τ) (du,dv) ΠΡΟΤΑΣΗ 7 du ρ(f)+ν(f), όπου f: U V, όπου η f είνι γρµµική πεικόνιση p Απόδειξη Θεωρούµε το πρπλεύρως ντιµετθετικό διάγρµµ U U/Kerf (βλέπε Θεώρηµ, σελ 0) Η p ορίζετι πό την σχέση, g f x U, p(x) C x, όπου C x η τάξη ισοδυνµίς του x U VIf Γράφουµε κι p(x) x+kerf Συµβολισµός x+kerf {x+z z Kerf} Η p είνι η µονδική γρµµική πεικόνιση, που ορίζετι κτ υτόν τον τρόπο ) Είνι γρµµική Πράγµτι, p(λx+µy) λx+µy+kerf (λx+kerf)+(µx+kerf), [µιά κι Kerf+Kerf {w z + z z, z Kerf } Kerf] p(λx)+p(µy) [µιά κι v λv] β) Είνι µονδική Πράγµτι, ν είχµε κι την q ν ορίζετι κτά τον ίδιο τρόπο, τότε κι (p q)(x) p(x) q(x) (x+kerf) (x+kerf) 0, x U Η f είνι γρµµική Αρ, η x y δίδει την f(x) f(y), όπως πιτεί το πρπάνω Θεώρηµ, µιά κι η x y z Kerf, δίδει την f(x) f(y) f(z) 0 Επειδή η g ισοµορφισµός, dif d(u/kerf) du dkerf όπως δείξµε στο πρ 8, στη σελ 9 Η σχέση υτή γράφετι κι ρ(f)+ν(f), όπου du, ρ(f) η τάξη της f, που είνι η dif df(u) κι ν(f) η µηδενικότης της f, που είνι η dkerf ΠΟΡΙΣΜΑ Η γρµµική πεικόνιση f: U U είνι έν-έν, νν, ) Kerf {0} είτε ) Η f είνι επί, δηλδή, f(u) U Απόδειξη ) Αν η f είνι έν-έν, κι υπήρχε κι z Kerf µε z 0, τότε θ είχµε κι ότι f(z) 0 Οµως είνι κι f(0) 0 Η f λοιπόν, δεν είνι έν-έν Ατοπον Εστω τώρ ότι Kerf {0} Θ δείξουµε ότι η f είνι έν-έν Πράγµτι, η σχέση f(x) f(y) είνι η f(x) f(y) 0, ή λόγω γρµµικότητς της f, f(x y) 0, άρ x y Kerf, άρ, πό υπόθεση, x y 0, δηλδή x y Η f είνι λοιπόν έν-έν ) Αν η f είνι επί, οπότε du dif, η σχέση ρ(f)+ν(f) δίδει ότι ν(f) dkerf 0, δηλδή, Kerf {0} Αν τέλος, Kerf {0}, ν(f) 0, κι ρ(f) Η f είνι λοιπόν, επί ΠΡΟΤΑΣΗ 8 Η σύνθεση δύο γρµµικών πεικονίσεων είνι γρµµική πεικόνιση 5 Οπως είδµε, το σύνολο L(U) οργνώνετι σε γρµµικό χώρο πάνω στο σώµ F Επίσης, η σύνθεση δύο πεικονίσεων, εισάγει ένν πολλπλσισµό µέσ στο L(U) Εύκολ ποδεικνύετι ότι έχουµε κι τις επιµεριστικές ιδιότητες: ) f ( g+ g) fg+ fg κι ) ( g + g ) f gf + gf Ακόµ, έχουµε κι την λ(fg) (λf)g f(λg) Μέσ στο σύνολο L(U), µπορούµε λοιπόν, (λόγω προσετιρισµού), ν θεωρούµε τις δυνάµεις f 0 U, f, f ff,, f fl f πράγοντες Εύκολ βλέπουµε ότι, ισχύουν οι ιδιότητες των δυνάµεων + + f f f f f + f κι ( ) ( f ) κι θροίσµτ (πολυώνυµ) της µορφής λ f, λ F f f Μπορούµε εξ άλλου ν θεωρούµε 0
5 Θεωρούµε το σύνολο L(U) Αν η f είνι έν-έν τότε ορίζετι κι η f Η υτή γρµµική, µιά κι ν y, y U, µε y f ( x ) κι y f ( x ), τότε κι f ( λ x + λ x ) λ y + λ Αρ κι, f y ( λy λ y ) λx+ λ x λf ( y) + λ f ( y + ) Φνερά, ισχύει ότι, ff f είνι κι U f f Η ντίστροφη λοιπόν της f, είνι κι ριστερά κι δεξιά ντίστροφη Η ιδιότητυτή, είνι κι κθοριστική γι την f, µε την πρκάτω έννοι: ΠΡΟΤΑΣΗ 9 Αν η g L(U) έχει την ιδιότητ ν είνι τυτόχρονριστερά κι δεξιά ντί- στροφος της f, τότε η g είνι έν-έν κι επί, κι g f Απόδειξη Θ δείξουµε, πρώτ, ότι ο πυρήνς της g είνι το {0}, οπότε η g, σύµφων µε το προηγούµενο πόρισµ, θ είνι έν-έν Πράγµτι, έστω x U, µε g(x) 0 Είνι τότε κι ) f(g(x)) f(0) 0 κι επίσης, πό το γεγονός ότι η g είνι πό υπόθεση δεξιά ντίστροφος, (gf)(x) f(g(x)) U x Αρ x 0, δηλδή, Kerg {0} Εστω τώρ, y U Είνι τότε κι y y U y(fg) g(f(y)) κι συνεπώς το y είνι η g εικόν κάποιου στοιχείου f(y) U Η g είνι λοιπόν κι επί Τυτίζετι λοιπόν, µε την f ΠΡΟΤΑΣΗ 0 Μί γρµµική πεικόνιση Τ: V V επί του V είνι ντιστρέψιµη νν µί βάση του V µετσχηµτίζετι σε βάση του V Απόδειξη Πράγµτι, ν { e, e, K, e} βάση του V, κι { et, et, K, et} πάλη βάση του V, τότε ρ(τ) dit οπότε, πό την πρότση 7, σελ 4, ν(τ) 0, δηλδή, KerT {0} κι συνεπώς η Τ είνι έν-έν κι επί Ορισµός Μίντιστρέψιµη γρµµική πεικόνιση Τ κλείτι κι µη ιδιάζουσ (ή οµλή) πεικόνιση (osgular appg) 5 Μετσχηµτισµός των συντετγµένων Έστω ότι το x V έχει τις εκφράσεις (ρχική) x a+ K + a κι (τελική) x β b+ K + βb στις δύο διφορετικές βάσεις { a, K, a } κι { b, K, b } του V Υποθέτουµε, ότι η (τελική) βάση { b, K, b } έχει προκύψει πό την (ρχική) βάση { a, K, a } µετά πό την ενέργει του µετσχηµτισµού Τ, που δίδετι πό τις σχέσεις b ρ a + K + ρa,, de( ρ ) 0 Ζητάµε ν βρούµε τις σχέσεις που συνδέουν τις ρχικές συντετγµένες του x, µε τις τελικές του συντετγµένες β Είνι, x β ( ρa+ K + ρa ) + K+ β ( ρa+ K+ ρa ) x ( ρ β+ K + ρ β )a+ K+ ( ρβ+ K+ ρ β ) a Συγκρίνοντς την έκφρση υτή του x µε την ρχική του, λβίνουµε τις ζητούµενες σχέσεις ρ β + K + ρ β ρβ () Το () µς δίδει τις ρχικές συντετγµένες συνρτήσει των τελικών Αν, ντίστροφ, θέλουµε ν εκφράσουµε τις τελικές συνρτήσει των ρχικών συντετγµένων, θ πρέπει ν λύσουµε το γρµµικό σύστηµ (), ως προς β Η ύπρξη της λύσεως εξσφλίζετι πό το γεγονός ότι de( ρ ) 0 Λύοντς, λοιπόν το () έχουµε, β σ + K + σ σ () Οι τετργωνικοί πίνκες ρ ) κι σ ) είνι βέβι, ντίστροφοι ( (
6 6 Μιά γρµµική πεικόνιση, γι την οποί έχουµε ότι f f0, γι κάποιον >, κλείτι µηδενοδύνµη πεικόνιση επί του U Πράδειγµ τέτοις πεικόνισης ποτελεί ο διφορικός τελεστής D επί του γρµµικού χώρου των πολυωνύµων P (βλέπε πράδειγµ 5 στην σελ 7) Ο D ορίζετι κτά τ γνωστά, πό την σχέση, 0 D( λ x + λ x + K + λ x ) λ x + ( ) λ x + K + 0 0 λ Ο D είνι γρµµική πεικόνιση, µιά κι ισχύει ότι, D(f+βg) Df+βDg Ο D είνι κι µηδενοδύνµος, µιά κι D + 0 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Θεωρούµε το πολυώνυµο p(x) x + x x+ Εχουµε τότε ότι, Dp(x) 3x 3 4 + 4x, D p(x) 6x+4, D p(x) 6 κι, τέλος, D p(x) 0 Ασκήσεις ) Εστω f κι g µηδενοδύνµοι γρµµικοί µετσχηµτισµοί Αν ισχύει ότι fg gf, τότε κι ο fg είνι µηδενοδύνµος ) Εστω ότι δίδετι ο g L (U) Ν δείξετε ότι το σύνολο όλων των f L (U), γι τους οποίους fg f0 είνι υπόχωρος του L (U) Ποίος είνι ο υπόχωρος υτός, ότν g f0 ; ότν g U ; 3) Εστω η πεικόνιση f : R R, που ορίζετι πό την σχέση f ( x, x ) ( x+ x, βx+ βx ),,β,β R Ν δείξετε ότι η f είνι γρµµική, κι ν βρείτε µιά νγκί κι ικνή συνθήκη, έτσι ώστε υτή νντιστρέφετι 4) Εστω f L (U), κι υποθέτουµε ότι, γι υτήν ισχύει ότι, f + U f Ν δείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιµος 5) Ν δείξετε ότι, ν f, g L(U) ντιστρέψιµες συνρτήσεις, τότε κι οι 3 fg κι gf είνι ντιστρέψιµες, κι ( fg) g f 6) Εστω, e, e, K, } κι b, b, K, } βάσεις ντ των χώρων U, κι V { e { b Γι κάθε ζεύγος δεικτών, µε,, έστω ότι οι 0 ν k f : U V ορίζοντι πό τις σχέσεις f ( ek ) γιά k b ν k Ν δείξετε ότι τ f ποτελούν βάση του χώρου L (U, V) 7) Ν δείξετε: ) Οτι το σύνολο {sx, cosx, sxcosx, s x, cos x } είνι σύνολο γρµµικώς νεξάρτητο εν C (, + ) ( C (, + ) είνι ο γρµµικός χώρος των συνεχών συνρτήσεων f : R R ) 8) Εστω f L (V) τέτοι ώστε, f f Εχουµε τότε ότι : ) Αν Μ {x V f(x) x}, τότε κι Μ If β) Μ Kerf {0} γ) V M Kerf 9) Ν δείξετε ότι η πεικόνιση f : R R που ορίζετι πό την σχέση ( ξ, ξ, K, ξ ) f ξ, ξ, K, ξ, ( ξ, ξ, K, ξ ) R, είνι γρµµική Αντίστροφ, κάθε γρµµική πεικόνιση f : R R πίρνει την µορφή υτή, γιά κτάλληλ,,, κι,, R
7 3 0) Εξετάστε ν υπάρχει γρµµική πεικόνιση f : R R τέτοι ώστε, (,,0)f (,0) κι (,0, )f (0,) ) Εστω οι δινυσµτικοί χώροι V, W κι f: V W γρµµική είξτε ότι η f: V/ M W (Μ υπόχωρος του V) που ορίζετι πό την σχέση (v+m)fvf είνι ) κλά ορισµένη, β) γρµ- µική, κι γ) υπολογίστε τον Kerf ) Αν U, U υπόχωροι του V τέτοιοι ώστε U U V, κι f L(V,W), ισχύει ή όχι ότι f (U U ) f (U) f (U ) ; 7 Ορθογώνιοι µετσχηµτισµοί Στην 3 σχοληθήκµε µε την οµάδ των γρµµικών µετσχηµτισµών T στροφή στο επίπεδο Οι µετσχηµτισµοί υτοί διτηρούν την θ έκφρση του µήκους ( OS) x + y των γρµµικών µετσχηµτισµών T : V V, όπου d V, που διτηρούν την έκφρση ( x ) + (x ) + K + (x ) () νλλοίωτο (βλέπε κι ενότητ Γεωµετρικές Εφρµογές, 3) νλλοίωτο Ζητάµε ν προσδιορίσουµε το σύνολο Ορισµός Το εσωτερικό γινόµενο των δινυσµάτων x, y V(F), ορίζετι πό την σχέση x y ( x, y) x y ν F R, ή x y ( x, y) x y ν F C Η (), τώρ, γράφετι κι ως ( x, x) ή x x Το εσωτερικό γινόµενο έχει τις ιδιότητες: Γρµµική ( x+ βy, z) (x, z) + β(x, z) Συµµετρική ( x, y) (y, x) 3 Θετική ( x, x) > 0 νν x 0 ( x + K + ) (x ) + (x ) Το µήκος του δινύσµτος x, ορίζετι πό την σχέση d (x, x) x + (x, x) Τ x κι y κλούντι ορθογώνινν ( x, y) 0 ύο υπόχωροι U κι W του V κλούντι ορθογώνιοι, ν κάθε διάνυσµ του U είνι ορθογώνιο προς κάθε διάνυσµ του W ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Ζητάµε ν βρούµε όλ τ δινύσµτ x, τ οποί είνι ορθογώνι στο 3 a (, -, ) R Θ πρέπει ν ισχύει a, x) x - x + x 0 Η εξίσωση υτή έχει δύο πρµέτρους, ( 3 έστω τις x κι x Γι τιµές x, x, θ πρέπει x 3 0, κι γι τιµές x 0 κι x, θ πρέπει x 3 Όλ τ δινύσµτ, συνεπώς, που πληρούν την πρπάνω εξίσωση, είνι της µορφής s (,, 0) + (0,, ) Γι το πως µεττρέπουµε µί τυχούσ βάση σε ορθοκνονική (ορθογώνι κι µονδιί), πρπέµπουµε τον νγνώστη στο Γεωµετρικές Εφρµογές, 3 Επνερχόµεθ στο πρόβληµ που θέσµε στην ρχή της πργράφου, την νζήτηση δηλδή, όλων των γρµµικών µετσχηµτισµών, που έχουν την έκφρση του µήκους ως νλλοίωτο Οι µετσχηµτισµοί υτοί, κλούντι ορθογώνιοι µετσχηµτισµοί κι χρκτηρίζοντι πό το γεγονός ότι ( xt, xt) (x, x) Η σύνθεση δύο ορθογώνιων µετ-
8 σχηµτισµών είνι ορθογώνιος µετσχηµτισµός Πράγµτι, ν S κι T ορθογώνιοι µετσχηµτισµοί, τότε, είνι κι ( x(st), x(st)) ((xs)t, (xs)t) (x, x) Εξ άλλου, ένς ορθογώνιος µετσχηµτισµός Τ, είνι πεικόνιση έν προς έν, µιά κι KerT {0} ιότι, ν x KerT, x 0, τότε κι ( xt, xt) (x, x), µε xt 0, πράγµ δύντον Υπάρχει, λοιπόν, ο ντίστροφος µετσχηµτισµός T γι κάθε Τ Το σύνολον, συνεπώς, όλων υτών των µετσχηµτισµών, ποτελεί Οµάδ, που την συµβολίζουν µε το SO (,F) Η οµάδυτή, είνι υποοµάδ της οµάδς GL (,F) του συνόλου των γρµµικών συνρτήσεων f: U(F) V (F), η διάστση του χώρου V Περιοριζόµστε στο σώµ F των πργµτικών ριθµών, κτά την πόδειξη των θεωρηµάτων, γι την πλούστευση των συµβολισµών µς Τις σχέσεις που ποδεικνύοντι, θ τις εκφράζουµε, τελικά, στο σώµ των µιγδικών ριθµών Θεώρηµ Έστω { e, e, K, e} µί ορθοκνονική βάση του V κι T : V( R) V( R) ορθογώνιος µετσχηµτισµός µε πίνκ Α ως προς υτήν την βάση Συµβολισµός Με a θ συµβολίζουµε το διάνυσµ, που έχει συντετγµένες τ στοιχεί της -γρµµής του πίνκ Α Είνι, δηλδή, a (,, K, ) Με b θ συµβολίζουµε το διάνυσµ, που έχει συντετγµένες τ στοιχεί της -κολών (στήλη) του πίνκ Α Είνι, ν δηλδή, b (,, K, ) Με δ δ(, ),, 0ν Ισχύουν οι σχέσεις: ( a, a δ ) ( b, b ) δ 3 A A 4 de A ± Απόδειξη της Η εικόν του δινύσµτος e είνι η et e + e + K + e Άρ κι (e T, e T) ( e + e + K+ e, e + e + K+ e ) Επίσης, (e T, e T) ( + (e, e ) + (e, e ) + (e, e ) + e είξµε, συνεπώς, την Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι κι η Στην περίπτωση, που F, έχουµε: C + e (e, e ) + (e, e ) + L + K+ (e, e ) + + + K+ e, e + (e, e ) e L + K+ (e, e ) 0 (e, e ) + (e, e ) + (e, e ) + K+ (e, e ) (e, e ) + e ) (e, e ) +
9 Απόδειξη της 3 Έστω του C b είνι τ στοιχεί της κολώνς του ( γ ) AA Είνι, τότε, ( a, b ) γ Όµως, οι συντετγµένες A, άρ, τ στοιχεί της γρµµής του Α Άρ, λόγω της, γ ( a, a δ, κι, συνεπώς AA I, ο µονδιίος πίνκς, δηλδή, η 3 ) Απόδειξη της 4 de I de(aa ) de A de A (de A) Πρότση Αν Α είνι ένς πίνκς, τέτοιος ώστε A A κι { e, e, K, e} µί ορθοκνονική βάση του V (R), τότε ο Α είνι δυντόν ν θεωρηθεί ότι είνι ο πίνκς ενός ορθογώνιου µετσχηµτισµού T : V V Απόδειξις Ορίζουµε τον γρµµικό µετσχηµτισµό Τ ως εξής: x V, x χ e+ K+ χ e, xt χ e+ K + χ e, όπου τ χ προκύπτουν πό τον πολλπλσισµό του πίνκ ( χ ) επί τον πίνκ Α Ο Τ είνι ορθογώνιος, δηλδή, ( xt, xt) (x, x) Πράγµτι, είνι, ( xt, xt) ( χ )( χ ( χ )AA (x ) (x, x) )