6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Σχετικά έγγραφα
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

20/10/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού. Πανεπιστημιακός Υπότροφος

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Κάµψη καθαρή κάµψη, τάσεις, βέλος κάµψης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή των Υλικών Πείραμα Κάμψης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

Τάσεις λόγω απλής κάμψης-επίπεδο φόρτισης περιέχει άξονα συμμετρίας της διατομής

Επίλυση 2ας. Προόδου & ιάλεξη 12 η. Τρίτη 5 Οκτωβρίου,,

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΤΕΡΓΑΣΙΕΣ. Υπολογισμοί συγκολλήσεων

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Μηχανικές ιδιότητες συνθέτων υλικών: κάμψη. Άλκης Παϊπέτης Τμήμα Επιστήμης & Τεχνολογίας Υλικών

Δ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΑΣΕΩΝ - ΕΛΕΓΧΟΣ ΑΝΤΟΧΗΣ

Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

Περίληψη μαθήματος Ι

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΠείραμαΚάμψης(ΕλαστικήΓραμμή) ΕργαστηριακήΆσκηση 7 η

Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΙΙ

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ΔΟΚΙΜΗ ΛΥΓΙΣΜΟΥ. Σχήμα 1 : Κοιλοδοκοί από αλουμίνιο σε δοκιμή λυγισμού

ΔΟΚΙΜΗ ΣΤΡΕΨΗΣ. Σχήμα 1 : Στρέψη ράβδου από ζεύγος δυνάμεων. Σχήμα 2 :

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ. Αντοχή Υλικού

ιαλέξεις Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy Πέτρος Κωµοδρόµος

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3.2 Οδηγίες χρήσης του προγράμματος πεπερασμένων στοιχείων RATe ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ RATe

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις προηγούμενων εξετάσεων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ Πείραμα Στρέψης. ΕργαστηριακήΆσκηση 3 η

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

Κεφάλαιο 6 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΡΕΨΗ

Μάθημα: Πειραματική αντοχή των υλικών Πείραμα Στρέψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

Στοιχεία Μηχανών. Εαρινό εξάμηνο 2017 Διδάσκουσα: Σωτηρία Δ. Χουλιαρά

ds ds ds = τ b k t (3)

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων

4/26/2016. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Διάτμηση Κοχλία. Βασική αρχή εργαστηριακής άσκησης

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΕΧΝΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Πειραματική Αντοχή Υλικών. Ενότητα: Καθαρή Κάμψη

ΛΥΣΕΙΣ άλυτων ΑΣΚΗΣΕΩΝ στην Αντοχή των Υλικών

ΘΕΜΑ 1 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

Με βάση την ανίσωση ασφαλείας που εισάγαμε στα προηγούμενα, το ζητούμενο στο σχεδιασμό είναι να ικανοποιηθεί η εν λόγω ανίσωση:

5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις

ΜΕΤΑΛΛΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ (602)

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα:

«ΦΑΕΘΩΝ: Λογισμικό για Ανάλυση Κρίσιμων Διατμητικά Υποστυλωμάτων Οπλισμένου Σκυροδέματος»

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.

Διατμητική αστοχία τοιχώματος ισογείου. Διατμητική αστοχία υποστυλώματος λόγω κλιμακοστασίου

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

Σιδηρές Κατασκευές Ι Διάλεξη 9 Στρέψη - Στρέβλωση. Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι.

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2015

ΕΛΑΣΤΙΚΟΣ ΛΥΓΙΣΜΟΣ ΥΠΟΣΤΥΛΩΜΑΤΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

ΕΠΙΛΟΓΗ ΥΛΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ. Δυσκαμψία & βάρος: πυκνότητα και μέτρα ελαστικότητας

Δομικά Υλικά. Μάθημα ΙΙ. Μηχανικές Ιδιότητες των Δομικών Υλικών (Αντοχές, Παραμορφώσεις)

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Μάθημα: Πειραματική Αντοχή Υλικών Πείραμα θλίψης με λυγισμό

5/14/2018. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Διάτμηση Κοχλία. Πολιτικός Μηχανικός (Λέκτορας Π.Δ. 407/80)

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 1

4/11/2017. Δρ. Σωτήρης Δέμης. Σημειώσεις Εργαστηριακής Άσκησης Διάτμηση Κοχλία. Βασική αρχή εργαστηριακής άσκησης

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΪΟΥ/ ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής

Transcript:

6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1

Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2

Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε ήδη στην Στατική την ισορροπία φορέων (δοκών) υποθέτοντας ότι τα σώματα παραμένουν απαραμόρφωτα κατά την επιβολή εξωτερικών φορτίων. Σε αυτό το κεφάλαιο της κάμψης θα εφαρμόσουμε τις αρχές της Αντοχής των Υλικών για να μελετήσουμε πως τα σώματα παραμορφώνονται με επιβαλλόμενα φορτία σε εγκάρσια φόρτιση. Σε προηγούμενα κεφάλαια αναφερθήκαμε στα εντατικά μεγέθη. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο των τομών γνωρίσαμε ότι στην δοκό αναπτύσσονται εσωτερικές αντιδράσεις (N,Q,M) οι οποίες συνδέονται με τα εξωτερικά φορτία. 3

Εισαγωγή (2/2) Στην Στατική είδαμε ότι τα μεγέθη NQM είναι ανεξάρτητα από το μέγεθος και την γεωμετρία μιας διατομής. Ωστόσο τόσο τα σώματα με διαφορετική διατομή αντιδρούν διαφορετικά σε μια συγκεκριμένη εξωτερική δύναμη όσο και τα σώματα με την ίδια διατομή πάλι αντιδρούν διαφορετικά σε ίσα φορτία διαφορετικής κατανομής όμως. Με άλλα λόγια οι εσωτερικές αντιδράσεις μπορεί να είναι γνωστές όμως η κατανομή τους στην διατομή αποτελεί ένα στατικά αόριστο πρόβλημα το οποίο δεν μπορεί να προσεγγιστεί με τα έως τώρα δεδομένα της Στατικής. Έτσι λοιπόν πρέπει να ορίσουμε κάποια νέα μεγέθη τα οποία να μπορούν να περιγράψουν τις εσωτερικές δυνάμεις σε μία μικρή περιοχή γύρω από ένα σημείο. Όπως πάντα έτσι και τώρα θα ξεκινήσουμε την μελέτη μας μικροσκοπικά και θα την γενικεύσουμε με τις τελικές σχέσεις που θα προκύψουν σε μακροσκοπικό επίπεδο για ολόκληρα τα σώματα. Για ένα μηχανικό αυτό είναι σημαντικό ώστε ανάλογα με τα φορτία να δουλέψει αντίστροφα και να σχεδιάσει φορείς με τέτοιες διαστάσεις (διατομές κλπ) ώστε ο φορέας να μπορεί να παραλάβει με ασφάλεια τα επιβαλλόμενα φορτία ή/ και να μην αλλάζει το σχήμα του πέραν κάποιων ορίων. Συμπερασματικά το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το πάντρεμα της Στατικής με την Αντοχή των Υλικών με εφαρμογή στην κάμψη των δοκών. 4

Διαγράμματα NQM και Κάμψη Μέχρι τώρα γνωρίσαμε 2 είδη διαγραμμάτων: 1. Τα διαγράμματα αξονικής φόρτισης [Ν], 2. Τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [Μ]. Αξονική καταπόνηση έχουμε όταν από τις έξι συνιστώσες που είδαμε πριν μόνο η Ν 0 είναι διάφορη του μηδενός. Καταπόνηση σε διάτμηση έχουμε όταν διάφορες του μηδενός είναι μόνο οι Q y 0 και Q z 0. Καταπόνηση σε καθαρή κάμψη έχουμε μόνο όταν οι M y 0 και M z 0 Τέλος με το τι συμβαίνει όταν η M x 0 θα ασχοληθούμε στο επόμενο κεφάλαιο καθώς αφορά την καταπόνηση σε στρέψη. 5

Υπενθύμιση εννοιών της Αντοχής Υλικών Γνωρίζουμε ότι η τάση είναι το πηλίκο της δύναμης προς την επιφάνεια. Συνεπώς αφού η δύναμη είναι διανυσματικό μέγεθος έτσι και η τάση είναι ένα διάνυσμα. Έστω λοιπόν σε μία τυχαία τομή στο Σχήμα α θεωρούμε Τ(n) το διάνυσμα της τάσης. Αν το αναλύσουμε στους άξονες τότε προκύπτουν άλλα δύο διανύσματα, το διάνυσμα της ορθής τάσης σ(n) και το διάνυσμα της διατμητικής τάσης τ(n) το οποίο είναι παράλληλο στο επίπεδο της τομής. Αν θεωρήσουμε ένα στοιχειώδες κυβικό στοιχείο τότε η ανάλυση των διανυσμάτων σε κάθε του έδρα είναι αυτές που εμφανίζονται στο Σχήμα β. Σχήμα α Σχήμα β 6

Παραδοχές καθαρής κάμψης Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της δοκού σε εφελκυσμό είναι ίσο με μέτρο ελαστικότητας σε θλίψη και το υλικό συμπεριφέρεται γραμμικά ελαστικά. Οι αναπτυσσόμενες τάσεις περιορίζονται στην ελαστική περιοχή όπου ισχύει ο νόμος του Hooke. Το επίπεδο φόρτισης είναι τέτοιο ώστε η δοκός να μην καταπονείται σε στρέψη ενώ τα φορτία επιβάλλονται ομαλά ώστε να μην αναπτύσσονται δυναμικά φαινόμενα. Κάθε διατομή επίπεδη και κάθετη στον άξονα της δοκού πριν την παραμόρφωση παραμένει επίπεδη και κάθετη και μετά από αυτήν (υπόθεση Bernoulli-Navier). Η μεγαλύτερη διάσταση h της εγκάρσιας διατομής είναι πολύ μικρότερη σε σχέση με το μήκος της δοκού. 7

Καθαρή και γενική κάμψη Ας πάρουμε το διπλανό παράδειγμα με μία δοκό που καταπονείται από δύο δυνάμεις. Από το Α μέχρι το Γ και από το Δ μέχρι το Β η δοκός καταπονείται και από διάτμηση και από κάμψη. Στο διάστημα ΓΔ όμως η ροπή κάμψης είναι σταθερή ενώ η τέμνουσα (διατμητική) δύναμη είναι μηδέν. Στην περιοχή αυτή λοιπόν αναπτύσσονται μόνο καμπτικές ροπές οι οποίες οδηγούν σε κάμψη της δοκού. Τότε έχουμε καθαρή κάμψη. Αντιθέτως στη γενική κάμψη εμφανίζεται εκτός της καμπτικής ροπής και τέμνουσα δύναμη. 8

Ανάλυση κάμψης (1/2) Σε αυτό το παράδειγμα θεωρούμε τη δοκό ότι αποτελείται από παράλληλες ίνες που κάπτονται. Παρατηρούμε ότι επιβραχύνονται οι άνω ίνες και επιμηκύνονται οι κάτω ίνες. Για να γίνει αυτή η μετάβαση υπάρχει ένας άξονας (ουδέτερος άξονας) όπου δεν υφίσταται καμία μεταβολή μήκους. Επειδή κάθε ίνα κινείται αναφορικά με τις γειτονικές της, αναπτύσσεται και διάτμηση. Είναι προφανές ότι στη κάμψη δοκού έχουμε μέγιστες ορθές τάσεις στο άνω και κάτω επίπεδο και μέγιστες διατμητικές στο μέσο. 9

Ανάλυση κάμψης (2/2) Παρατηρούμε ότι η καμπτική ροπή είναι διάνυσμα που ορίζεται από το εξωτερικό γινόμενο της θέσης επί τη δύναμη. Την καμπτική ροπή τη συμβολίζουμε σαν διάνυσμα με 2 βέλη κάθετο στο επίπεδο ή σαν καμπύλο διάνυσμα που περιέχεται στο επίπεδο φόρτισης της δοκού. 10

Κατανομή ορθών τάσεων (1/2) Θεωρούμε στοιχειώδες μήκος dx. Από τα όμοια τρίγωνα ΟΓΔ και ΔΜΝ R dx y l l y dx R (1) Από το νόμο του Hooke και (1): E y R (2) y R Η ορθή τάση που αναπτύσσεται σε τυχαίο σημείο της διατομής είναι ανάλογη της απόστασης του σημείου αυτού από την ουδέτερη γραμμή. 11

Κατανομή ορθών τάσεων (2/2) E Αν θέσουμε C Cy (3) R Για θετική ροπή κάμψης τότε οι μέγιστες θλιπτικές και εφελκυστικές τάσεις δίνονται από: E E E y, y και C R R y R y y u u max max max max max max u max u max 12

Θεμελιώδης νόμος κάμψης- κάμψη στη διεύθυνση z Η δύναμη dn επενεργεί σε στοιχειώδη επιφάνεια df. Από τα προηγούμενα προκύπτει: E E dn df dn ydf N ydf R R F Άρα και αλγεβρικά αποδεικνύεται ότι N=0 μόνο στη ουδέτερη γραμμή ( y=0) που είναι και κεντροβαρική (συμπίπτει με τον άξονα z). (3) 13

Θεμελιώδης νόμος κάμψης Θεωρούμε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων (x,y,z). Η αρχή του συστήματος συμπίπτει με το κέντρο βάρους της διατομής. Ο άξονας x συμπίπτει με τον άξονα της δοκού ενώ οι άξονες z,y συμπίπτουν με τους κύριους άξονες της επιφάνειας της διατομής της δοκού. Το διάνυσμα της καμπτικής ροπής αναλύεται σε συνιστώσες M y, M z στις διευθύνσεις y,z. Η κατανομή των τάσεων σε μία διατομή της δοκού στην περιοχή της καθαρής κάμψης θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε: N = σ x (x, y) df = 0 I y M y = zσ x x, y df = E R F z2 df = E R I y, I z [4] Τα Ι z και Ι y είναι οι ροπές αδρανείας ως προς στους άξονες z και y αντιστοίχως. M z = yσ x x, y df = E R F y2 df = E R I z 14

Aνάλυση καμπτικών τάσεων Όταν μιλάμε για κατανομή καμπτικών τάσεων αναφερόμαστε στο προφίλ των τάσεων σε μία τυχαία διατομή της δοκού. Χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν αυτά στο σχήμα. Η πιο απλή κατανομή τάσεων είναι η γραμμική. Επιλύοντας ως προς σ x (x,y) στις εξισώσεις (4) προκύπτει ότι: M z = E R I z = σ x y I z σ x = M z I z y [5a] M y = E R I y = σ x z I y σ x = M y I y z [5c] 15

Aνάλυση καμπτικών τάσεων (γενικά) Όταν έχουμε κάμψη ως προς τον z άξονα τότε σ x = M z I z y [5a] Όταν έχουμε κάμψη ως προς τον y άξονα τότε σ x = M y I y z [5b] Όταν όμως το ζεύγος Μ δεν διευθύνεται κατά μήκος κάποιου κεντρικού άξονα τότε το διάνυσμα της Μ αναλύεται κι στις δύο συνιστώσες του M y, M z οπότε από την επαλληλία των κατανομών των τάσεων σ x = M z I z y + M y I y z [5c] 16

Εξίσωση ουδέτερου άξονα Ουδέτερος άξονας Δεδομένου ότι η εξίσωση σ x y, z για την περίπτωση της γραμμικής κατανομής καμπτικών τάσεων είναι η κόκκινη ευθεία στο σχήμα ο ουδέτερος άξονας είναι η γραμμή που ενώνει όλα τα σημεία της δοκού με σ x y, z =0 ή πιο απλά με σ x =0. σ x =0 Αν λοιπόν λύσουμε την σ x y, z ως προς z για σ x =0 τότε προκύπτει ότι η εξίσωση του ουδέτερου άξονα η οποία είναι: z= M zi y M y I z y [6] και διέρχεται από το κέντρο βάρους της διατομής. 17

Ακτίνα καμπυλότητας- γωνία στροφής E Mz E 1 Mz Επίσης από την M z I z k (7) R I R R EI Από την (7) υπολογίζουμε την ακτίνα καμπυλότητας της ελαστικής γραμμής της δοκού. z z Η αντίστοιχη γωνία στροφής d μεταξύ δύο διατομών απόστασης ds υπολογίζεται ως εξής: 1 d Mz Mz Στοιχειώδες τόξο ds Rd d ds (8) R ds EI EI M z Με ολοκλήρωση προκύπτει: l (9) EI z z z 18