ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια ιδιότητα αποτεεί γενικότερο πρόβημα στη Γραμμική Άγεβρα και δίνει ύση σε ποές εφαρμογές. Έστω Α ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης. Η τιμή R θα έγεται ιδιοτιμή του Α αν υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα-στήη u R τέτοιο ώστε u u Κάθε διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση αυτή ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή. Σημειώνουμε ότι ένας πίνακας μπορεί να έχει ποές ιδιοτιμές και σε κάθε ιδιοτιμή ξεχωριστά αντιστοιχούν ποά ιδιοδιανύσματα. Θα δείξουμε ότι ΘΕΩΡΗΜΑ: Το σύνοο V( όων των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν σε μια ιδιοτιμή ενός πίνακα Α αποτεεί υποχώρο του διανυσματικού υποχώρου. R Απόδειξη: Θα δείξουμε και πάι τις τρεις ιδιότητες του υποχώρου. (i Ισχύει V ( καθώς Α. (ii Έστω u v V (. Άρα u u και v v. Έχουμε οιπόν ( u v u v u v ( u v Θυμίζουμε ότι με R συμβοίσαμε το διανυσματικό χώρο των διανυσμάτων-γραμμή ενώ με R θα συμβοίζουμε τον διανυσματικό χώρο των διανυσμάτων-στήη με στοιχεία. Οι όροι ιδιοτιμή και ιδιοδιάνυσμα συναντούνται στη βιβιογραφία και ως χαρακτηριστική τιμή και χαρακτηριστικό διάνυσμα αντίστοιχα. Στην ξένη βιβιογραφία ως eigevlue και eigevector. 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Άρα u v V (. (iii Έστω R και u V (. Άρα u u. Έχουμε οιπόν ( u ( u ( u ( u Άρα u V (. Συνεπώς το σύνοο V ( αποτεεί υποχώρο του διανυσματικού χώρου. Ο διανυσματικός χώρος V ( όων των ιδιοδιανυσμάτων που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή θα ονομάζεται ιδιοχώρος του. R. ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟΝ ΙΔΙΟΧΩΡΟ Παρατηρούμε ότι για έναν πίνακα Α ισχύει είναι ιδιοτιμή του Α u u για κάποιο διάνυσμα u u u για κάποιο διάνυσμα u ( I u για κάποιο διάνυσμα u το σύστημα ( I X έχει μη μηδενική ύση Ο πίνακας I είναι μη-αντιστρέψιμος det( I Άρα η πρώτη μας δουειά για να βρούμε τις ιδιοτιμές του Α είναι να ύσουμε την εξίσωση det( I δηαδή στην ορίζουσα του Α αφαιρούμε το από την κύρια διαγώνιο και ύνουμε την Το πουώνυμο βαθμού ως προς που προκύπτει από την ορίζουσα det( I ονομάζεται χαρακτηριστικό πουώνυμο του πίνακα Α. Στη συνέχεια για κάθε ιδιοτιμή ξεχωριστά ύνουμε το ομογενές σύστημα ( I X για να βρούμε τον αντίστοιχο ιδιοχώρο V(. Ουσιαστικά βρίσκουμε μια βάση u u u k 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ από ιδιοδιανύσματα και τεικά έχουμε V( u u u k. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Έστω. Ας βρούμε πρώτα τις ιδιοτιμές του Α. det( I ή Για την ιδιοτιμή σχηματίζουμε το σύστημα Το σύστημα έχει μια μόνο ανεξάρτητη ύση. Μια τέτοια ύση είναι η ( ( που αποτεεί ιδιοδιάνυσμα του Α ενώ ο αντίστοιχος ιδιοχώρος δηαδή το σύνοο ύσεων του συστήματος είναι V ( { R} Για την ιδιοτιμή σχηματίζουμε το σύστημα Το σύστημα έχει μια μόνο ανεξάρτητη ύση. Μια τέτοια ύση είναι η ( ( που αποτεεί ιδιοδιάνυσμα του Α ενώ ο αντίστοιχος ιδιοχώρος δηαδή το σύνοο ύσεων του συστήματος είναι V ( { R} Έστω. Ας βρούμε πρώτα τις ιδιοτιμές του Α. det( I 8 6 (διπή Υπάρχει οιπόν μία μόνο ιδιοτιμή. Για τον αντίστοιχο ιδιοχώρο ύνουμε το σύστημα 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το σύστημα έχει μια μόνο ανεξάρτητη ύση. Μια τέτοια ύση είναι η ( ( που αποτεεί ιδιοδιάνυσμα του Α ενώ ο αντίστοιχος ιδιοχώρος δηαδή το σύνοο ύσεων του συστήματος είναι } { ( R V Έστω. Ας βρούμε πρώτα τις ιδιοτιμές του Α. det( I Το σύστημα δεν έχει πραγματική ύση άρα στο R δεν υπάρχουν ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Σημείωση: Αν δούμε τον πίνακα Α ως πίνακα με στοιχεία από το σώμα των μιγαδικών αριθμών C τότε υπάρχουν μιγαδικές ιδιοτιμές και βρίσκουμε δύο αντίστοιχους ιδιοχώρους. Έστω. Ας βρούμε πρώτα τις ιδιοτιμές του Α. 6 det( I 6 (διπή ή. Για την ιδιοτιμή σχηματίζουμε το σύστημα 6 Το σύστημα έχει μια μόνο ανεξάρτητη ύση. Μια τέτοια ύση είναι η που αποτεεί ιδιοδιάνυσμα του Α ενώ ο αντίστοιχος ιδιοχώρος δηαδή το σύνοο ύσεων του συστήματος είναι ( ( } { ( R V 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Για την ιδιοτιμή σχηματίζουμε το σύστημα 6 ή ισοδύναμα Το σύστημα έχει μια μόνο ανεξάρτητη ύση. Μια τέτοια ύση είναι η που αποτεεί ιδιοδιάνυσμα του Α ενώ ο αντίστοιχος ιδιοχώρος δηαδή το σύνοο ύσεων του συστήματος είναι ( ( } { ( R V Έστω. Ας βρούμε πρώτα τις ιδιοτιμές του Α. det( I 9 Η εξίσωση αυτή έχει δύο ύσεις (διπή και. Για την ιδιοτιμή σχηματίζουμε το σύστημα ή ισοδύναμα Εδώ βρίσκουμε δύο ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Για έχουμε τη ύση (- ενώ για έχουμε τη ύση (-. Ο αντίστοιχος ιδιοχώρος δηαδή το σύνοο ύσεων του συστήματος είναι } { ( R V } { R Για την ιδιοτιμή σχηματίζουμε το σύστημα ή ισοδύναμα 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το σύστημα έχει μια μόνο ανεξάρτητη ύση. Μια τέτοια ύση βρίσκεται αν θέσουμε οπότε παίρνουμε το ιδιοδιάνυσμα ( (. Ο αντίστοιχος ιδιοχώρος δηαδή το σύνοο ύσεων του συστήματος είναι V ( { R}.. ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΑ Καταρχάς δύο τετραγωνικοί πίνακες Α και Β θα έγονται όμοιοι εάν συνδέονται με μια σχέση B όπου είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας. Θα συμβοίζουμε το γεγονός αυτό B ~. Ο ορισμός αυτός έχει νόημα καθώς η παραπάνω σχέση είναι σχέση ισοδυναμίας δηαδή ανακαστική συμμετρική και μεταβατική. Πράγματι ~ για κάθε πίνακα Α καθώς I I αν B ~ και ισχύει B τότε ( B( και συνεπώς ~ B αν C ~ B και και τεικά C ~ B που γράφεται και B ~ με αντίστοιχες σχέσεις C Q BQ και B τότε C Q ( Q ( Q ( Q Θα έμε ότι ένας πίνακας Α διαγωνιοποιείται εάν είναι όμοιος με κάποιον διαγώνιο πίνακα D. Ισχύει η επόμενη σημαντική πρόταση ΘΕΩΡΗΜΑ: Ένας τετραγωνικός πίνακας Α τάξης διαγωνιοποιείται αν και μόνο αν έχει γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Τότε ο όμοιος διαγώνιος πίνακας D έχει στην κύρια διαγώνιό του τις ιδιοτιμές του Α και ισχύει D όπου είναι ο πίνακας που έχει σαν στήες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Έστω. Είδαμε προηγουμένως ότι ο πίνακας αυτός έχει δύο ιδιοτιμές και με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα (μπορούμε να πάρουμε όποια θέουμε 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ και τα οποία προφανώς είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Θέτουμε οπότε Ο πίνακας Α είναι όμοιος με τον διαγώνιο πίνακα D 6 8 ο οποίος πράγματι έχει στην κύρια διαγώνιό του τις ιδιοτιμές του Α. Οι πίνακες των παραδειγμάτων και της προηγούμενης παραγράφου δεν διαγωνιοποιούνται διότι κανένας από αυτούς δεν έχει τόσα ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα όση είναι η τάξη του πίνακα. Ο πίνακας είδαμε ότι έχει ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα άρα διαγωνιοποιείται. Είναι όμοιος με τον διαγώνιο πίνακα D που έχει στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές του Α. Ισχύει μάιστα D όπου ο έχει σαν στήες αντίστοιχα ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα των ιδιοτιμών. Σημείωση: Αξίζει να σημειωθεί ότι αν πάρουμε τις ιδιοτιμές του Α με διαφορετική σειρά προκύπτουν και άοι όμοιοι πίνακες αρκεί βέβαια να αάξουμε ανάόγα και την σειρά των στηών του πίνακα. Επίσης αν πάρουμε διαφορετικούς αντιπροσώπους των ιδιοχώρων κατά το σχηματισμό του πίνακα η σχέση D εξακοουθεί να ισχύει. 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η πρώτη εφαρμογή που βρίσκει η διαγωνιοποίηση ενός πίνακα Α είναι ο εύκοος υποογισμός οποιασδήποτε δύναμης του Α. Πράγματι αν D τότε οπότε D ( D ( D ( D D αά ο υποογισμός του D είναι απός καθώς προκύπτει από τον D υψώνοντας στην -στη δύναμη όα τα διαγώνια στοιχεία του. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για τον πίνακα όπου βρήκαμε προηγουμένως ότι D οπότε D D ( ( ( ( ( Για παράδειγμα και 9 8 866 66 6 6 8 8. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΕ ΠΙΝΑΚΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON k Έστω p( k ένα πουώνυμο με συντεεστές στο R. Για έναν τετραγωνικό πίνακα Α μπορούμε να σχηματίσουμε τον πίνακα k k I 66
ΚΕΦΑΛΑΙΟ τον οποίο ονομάζουμε τιμή του p στον Α και τον συμβοίζουμε p(. Θα έμε ότι ο πίνακας Α είναι ρίζα του πουωνύμου p αν ισχύει p(ο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για το πουώνυμο p( και τους πίνακες έχουμε και και B p( I 9 9 p( B B B I 6 άρα ο πίνακας B είναι ρίζα ρου πουωνύμου p. Να σημειώσουμε ότι τον πίνακα B του τεευταίου παραδείγματος τον έχουμε συναντήσει και στα παραδείγματα της παραγράφου.. Εκεί βρήκαμε ότι το χαρακτηριστικό πουώνυμο του πίνακα Β είναι det( B I. Εδώ μόις είδαμε ότι ο πίνακας B είναι ρίζα του πουωνύμου αυτού. Αυτό δεν είναι τυχαίο. Αναφέρουμε χωρίς απόδειξη το επόμενη σημαντική πρόταση. ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Κάθε πίνακας είναι ρίζα του χαρακτηριστικού του πουωνύμου. Μια πρώτη συνέπεια του θεωρήματος Cle-Hmilto φαίνεται στο επόμενο παράδειγμα. Πρόκειται για έναν ακόμη εναακτικό τρόπο υποογισμού του αντιστρόφου ενός πίνακα. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Στο παράδειγμα της παραγράφου. βρήκαμε ότι το χαρακτηριστικό πουώνυμο του πίνακα είναι 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ det( I 9 Σύμφωνα με το θεώρημα Cle-Hmilto ισχύει οπότε και τεικά 9 I 9 I ( 9I I που σημαίνει ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος και ο αντίστροφός του είναι ο ( 9I 68