ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΥΟ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Στην προηγούµενη ενότητ συζητήσµε µετσχηµτισµούς της µορφής Y g( µίς τυχίς µετβλητής Όµως σε έν πολυµετβλητό φινόµενο ενδέχετι ν θέλουµε ν µετσχηµτίσουµε τις ρχικές µς µετβλητές n σε νέες µετβλητές Y i g i ( n in Γι πράδειγµ ν n πριστάνουν τ βάρη ενός οργνισµού στις χρονικές στιγµές t t t n ενδέχετι ν ενδιφερόµστε ν µελετήσουµε την συµµετβλητότητ του ρχικού βάρους Y κι των υξήσεων σε βάρος Y j j - j- j 3 n κτά τη διάρκει κάθε µις πό τις χρονικές περιόδους που κολούθησν Στη συνέχει θ εξετάσουµε µεθόδους προσδιορισµού της πό κοινού κτνοµής των τυχίων µετβλητών Y i g i ( n in µε βάση την µορφή της πό κοινού κτνοµής των τυχίων µετβλητών n Γι πλότητ εξετάζετι στην προύσ ενότητ πρώτ η περίπτωση n Στις ενότητες που κολουθούν εξετάζετι η επέκτση της περίπτωσης υτής ότν n > κθώς επίσης κι η περίπτωση όπου ενδιφερόµστε ν ελττώσουµε τον ριθµό των µετβλητών n που έχουµε σε µί µονδική τυχί µετβλητή Y g ( n Ας υποθέσουµε ότι οι τυχίες µετβλητές έχουν µί διµετβλητή κτνοµή Ενδιφερόµστε ν προσδιορίσουµε την πό κοινού κτνοµή των τυχίων µετβλητών Y Y όπου υτές οι νέες µετβλητές είνι το ποτέλεσµ ενός ένπρος-έν µετσχηµτισµού Y g ( Y g ( των Θεωρούµε δηλδή την περίπτωση µετσχηµτισµών όπου υπάρχουν δύο συνρτήσεις h ( h ( τέτοιες ώστε i g i x i τότε κι µόνο τότε εάν x i h i ( i (Είνι φνερό ότι οι συνρτήσεις h i ( i είνι οι ντίστροφες των συνρτήσεων g i x i δηλδή h i ( g i ( i Έστω ότι µετβλητές είνι δικριτές τυχίες µετβλητές µε πό κοινού συνάρτηση πιθνότητς P ( x x Τότε η πό κοινού συνάρτηση πιθνότητς PY Y ( των Y Y δίνετι πό τον τύπο P Y ( P (h ( h ( Y 7
Ας θεωρήσουµε τώρ την περίπτωση όπου οι τυχίες µετβλητές είνι συνεχείς µε πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς πιθνότητς ( x x Αν οι συνρτήσεις h ( κι h ( είνι πργωγίσιµες ως προς κι τότε ( J( ( h ( h ( Y Y όπου h ( h ( J( h ( h ( είνι η Ικωβινή του µετσχηµτισµού x h ( x h ( Η λήθει της πρπάνω σχέσης προκύπτει ως ποτέλεσµ του ορισµού της πό κοινού συνάρτησης κτνοµής FY Y( των τυχίων µετβλητών Y Y πό την σχέση { } F ( P Y Y Y Y ( t t dt dt Y Y σε συνδυσµό µε το γεγονός ότι { Y Y } F Y Y ( P P { g ( g ( } x dx dx g x g x J(t t (h (t t h (t t dt dt Η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς πιθνότητς Y Y( των µετβλητών Y Y προκύπτει τότε πό την σχέση FY Y ( Y Y ( Πράδειγµ: Έστω Y + Y Τότε 8
έτσι ώστε h ( - κι h ( P ( P ( Y Y Πράδειγµ: Έστω ότι κι είνι νεξάρτητες τυχίες µετβλητές οι οποίες πριστάνουν τους χρόνους που πιτούντι γι την ολοκλήρωση δύο εργσιών Υποθέτοντς ότι οι µετβλητές κι έχουν την ίδι µορφή κτνοµής κι ότι υτή είνι η Γ µε πρµέτρους θ κι r η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς πιθνότητς των κι είνι x θ 0 r x r x r [Γ(r] θx θx ν 0 < x διφορετικά 0 < x Ας θεωρήσουµε τώρ τις µετβλητές Y + Y / Η πρώτη πό υτές τις µετβλητές πριστάνει τον συνολικό χρόνο που πιτείτι γι την ολοκλήρωση των δύο εργσιών ενώ η δεύτερη πριστάνει τον λόγο των χρόνων που πιτούντι γι τις δύο υτές εργσίες Ο µετσχηµτισµός x + x x/x είνι ένπρος-έν κι x h ( + Η Ικωβινή υτού του µετσχηµτισµού είνι x h ( + J( + ( + ( + + ( + Εποµένως η πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς πιθνότητς δινύσµτος (Y Y είνι η του τυχίου 9
Y Y ( J( (h ( h ( (+ 0 θ r (+ r r r- θ [Γ(r] 0 < + ν 0 < + διφορετικά r r θ θ Γ(r B(r r 0 r (+ r ν 0 < 0 < διφορετικά Πρτήρηση: Στο σηµείο υτό ξίζει ν σηµειωθεί ότι οι µετβλητές Y Y έχουν πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς πιθνότητς η οποί είνι το γινόµενο των περιθωρίων συνρτήσεων πυκνότητς των µετβλητών υτών οδηγώντς στο συµπέρσµ ότι οι µετβλητές Y Y είνι νεξάρτητες ΙΜΕΤΑΒΛΗΤΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ Μί ενδιφέρουσ περίπτωση των µετσχηµτισµών που µόλις εξετάσµε είνι οι λεγόµενοι διµετβλητοί γρµµικοί µετσχηµτισµοί Έστω Χ Χ δύο τυχίες µετβλητές µε πό κοινού συνάρτηση πυκνότητς πιθνότητς ( x x Ένς διµετβλητός γρµµικός συνδυσµός πό τις µετβλητές Χ Χ στις µετβλητές Y Y έχει την µορφή Y + Y + 0
Πρτηρούµε ότι ο µετσχηµτισµός υτός είνι έν-προς-έν ηλδή i i x + i x i τότε κι µόνο τότε ν x i b i + b i i όπου b b b b µε την προϋπόθεση ότι 0 Είνι προφνώς τότε κι εποµένως h + ( b + b h ( b b J( (b (b (b (b ( ( ( ( ( Από τ πρπάνω προκύπτει ότι η πό κοινού συνάρτηση κτνοµής των µετβλητών Y Y δίνετι πό την σχέση ( Y Y (b + b b + b Γι πράδειγµ ν ενδιφερόµστε γι τον µέσο Y ( + κι την διφορά Y - των µετβλητών Χ Χ τότε - - - κι b b b b - Εποµένως
Y Y ( ( + Πράδειγµ : Ας υποθέσουµε ότι κι είνι νεξάρτητες κι ισόνοµες τυποποιηµένες κνονικές µετβλητές ηλδή ~ N(0 ~ N(0 Έστω ότι Y κι Y ορίζοντι όπως κι προηγουµένως Τότε έτσι ώστε x π Y Y ( ( + + x [ π π ( + + ( π ] + ( 4π ( Προκύπτει εποµένως ότι οι περιθώριες κτνοµές των µετβλητών Y κι Y είνι + ( ( d ( Y Y Y π Y ( Y Y ( d + ( 4π Ισχύει τότε ότι ( ( ( κι εποµένως οι µετβλητές Y Y Y Y Y κι Y είνι νεξάρτητες κι Y ~ N(0 Y ~ N(0