Εκτιµητές τύπου Strawderman για παραµέτρους κλίµακας

Transcript

1 Εκτιµητές τύπου Strawderman γι πρµέτρους κλίµκς Πνγιώτης Μποµποτάς ιδκτορική ιτριβή Πνεπιστήµιο Πτρών Τµήµ Μθηµτικών Πάτρ 21

2 Η προύσ ιδκτορική ιτριβή στοιχειοθετήθηκε µε το πρόγρµµ LaTEX (δινοµή MiKTeX). Γι την πργωγή των ριθµητικών ποτελεσµάτων κι των γρφικών πρστάσεων χρησιµοποιήθηκε το πρόγρµµ Mathematica.

3 Ευχριστίες Αισθάνοµι πρωτίστως την νάγκη ν ευχριστήσω ϑερµά τον δάσκλό µου κι επιβλέποντ, Κθηγητή κ. Στύρο Κουρούκλη γι την ευκιρί που µου προσέφερε, γι την ουσιστική κθοδήγησή του κι την πολύτιµη ϐοήθειά του στην εκπόνηση κι συγγρφή της διτριβής µου. Ευχριστώ ϑερµά τ µέλη της τριµελούς συµβουλευτικής µου επιτροπής Ανπληρωτές Κ- ϑηγητές κ.κ. Γιώργο Ηλιόπουλο κι Νικόλο Ππδάτο γι την πολύτιµη ϐοήθειά τους κι την άµεση ντπόκρισή τους όποτε τους Ϲητήθηκε. Ευχριστίες εκφράζω κι προς το Κοινωφελές Ιδρυµ Αλέξνδρος Σ. Ωνάσης γι την οικονοµική υποστήριξη της διτριβής µε υποτροφί. Τέλος, ϑ ήθελ ν ευχριστήσω την οικογένειά µου γι τη στήριξη κι την µέριστη συ- µπράστσή τους σε υτήν την πορεί µου. Πνγιώτης Μποµποτάς Πάτρ, Ινουάριος 21

4 ii

5 Περιεχόµεν Ευχριστίες i 1 Εισγωγή Ανσκόπηση ϐιβλιογρφίς Περιληπτική προυσίση των υπολοίπων κεφλίων Συµβολή της διτριβής Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ Στοιχεί Σττιστικής Θεωρίς Αποφάσεων Ανλλοίωτοι εκτιµητές Εκτιµητές Bayes κι εκτιµητές minimax Πράµετρος κλίµκς κι bowl-shaped συνρτήσεις Ϲηµίς Βελτιωµένοι εκτιµητές γι πρµέτρους κλίµκς Βελτιωµένοι εκτιµητές γι το λόγο πρµέτρων κλίµκς Εκτιµητές τύπου Strawderman γι πράµετρο κλίµκς Εκτίµηση ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς Εκτίµηση ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς Η εκθετική κτνοµή E(µ, σ) Εκτίµηση του σ ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς Εκτίµηση του σ ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς Η κνονική κτνοµή N p (µ, θ 2 I p ) Εκτίµηση του θ 2 ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς Εκτίµηση του θ 2 ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς Εκτίµηση ως προς τη συµµετρική συνάρτηση Ϲηµίς L(t) = t + 1/t Εκτιµητές τύπου Strawderman γι το ντίστροφο πρµέτρου κλίµκς Εκτίµηση ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς Εκτίµηση ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς Η εκθετική κτνοµή E(µ, σ) Εκτίµηση του 1/σ ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς Εκτίµηση του 1/σ ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς Η κνονική κτνοµή N p (µ, θ 2 I p ) Εκτίµηση του 1/θ 2 ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς

6 iv Εκτίµηση του 1/θ 2 ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς Εκτίµηση ως προς τη συµµετρική συνάρτηση Ϲηµίς L(t) = t + 1/t Εκτιµητές τύπου Strawderman γι το λόγο των δισπορών δύο κνονικών κτνοµών Μερικά προκτρκτικά ποτελέσµτ Εκτιµητές τύπου Strawderman πλής προσρµογής Εκτιµητές τύπου Strawderman διπλής προσρµογής Εκτιµητές τύπου Strawderman γι το λόγο των πρµέτρων κλίµκς δύο εκθετικών κτνοµών Εκτιµητές τύπου Strawderman πλής προσρµογής Εκτιµητές τύπου Strawderman διπλής προσρµογής Πράρτηµ 97 Synopsis 11 Βιβλιογρφί 12

7 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Εισγωγή Η προύσ διτριβή εντάσσετι ερευνητικά στην περιοχή της Σττιστικής Θεωρίς Αποφάσεων κι ειδικότερ στην (σηµεική) εκτίµηση πρµέτρου κλίµκς. Στο εισγωγικό υτό κεφάλιο γίνετι µί ιστορική νδροµή στο πρόβληµ εκτίµησης πρµέτρου κλίµκς πό την πλευρά της Σττιστικής Θεωρίς Αποφάσεων, ότν υπάρχει κι άλλη άγνωστη πράµετρος στην υπό µελέτη σττιστική κτνοµή. Στη συνέχει προυσιάζοντι συνοπτικά τ ποτελέσµτ της διτριβής νά κεφάλιο. 1.1 Ανσκόπηση ϐιβλιογρφίς Η µελέτη του προβλήµτος (σηµεικής) εκτίµησης πρµέτρου κλίµκς ή συνρτήσεών της πό τη σκοπιά της Σττιστικής Θεωρίς Αποφάσεων, ότν επί πλέον υπάρχει κι άλλη άγνωστη πράµετρος (nuisance parameter) στο υπό ϑεώρηση σττιστικό µοντέλο, έχει µκρά ιστορί, ρχής γενοµένης µε την εκτίµηση της δισποράς κνονικής κτνοµής µε άγνωστη µέση τιµή πό τον Stein (1964). Στην εργσί εκείνη ο Stein πέδειξε ότι, µε κριτήριο την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς, ο ϐέλτιστος νλλοίωτος εκτιµητής της δισποράς δηλδή ο κλύτερος εκτιµητής της µορφής (ϑετική στθερά) (δειγµτική δισπορά) είνι µη ποδεκτός (inadmissible), κτσκευάζοντς άλλον µε µικρότερη µέση τετργωνική Ϲηµί. Το ιστορικό υτό ποτέλεσµ προσέλκυσε το ενδιφέρον πολλών ερευνητών κι ποτέλεσε το ένυσµ γι την κτσκευή εκτιµητών πρµέτρων κλίµκς σε άλλες κτνοµές (πέρν της κνονικής), µε άλλες συνρτήσεις Ϲηµίς (πέρν της τετργωνικής συνάρτησης Ϲηµίς) κι σε άλλες διστάσεις (πέρν της µίς δηλδή σε πολυµετβλητές κτνοµές κι πρ- µέτρους), οι οποίοι έχουν µέση Ϲηµί (risk) µικρότερη πό υτήν του ϐέλτιστου νλλοίωτου εκτιµητή. Τέτοιοι εκτιµητές νφέροντι γενικά ως ϐελτιωµένοι εκτιµητές (improved estimators). Πρώτος µετά τον Stein (1964), ο Brown (1968) κτσκεύσε µί οικογένει ϐελτιωµένων εκτιµητών της πρµέτρου κλίµκς µίς γενικής κτνοµής µε επίσης άγνωστη πράµετρο ϑέσης (location-scale distribution), γι τυχούσ bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς. Οι εκτιµητές υτοί νφέροντι στη ϐιβλιογρφί ως εκτιµητές τύπου Brown. Ακολούθως, οι Brewster and Zidek (1974) προυσίσν δύο γενικές τεχνικές κτσκευής ϐελτιωµένων εκτιµητών. Οι

8 2 Εισγωγή τεχνικές υτές εφρµόζοντι επίσης γι τυχούσ bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς κι είνι επιτυχείς κυρίως (λλά όχι µόνον) ότν η υπό εκτίµηση πράµετρος είνι πράµετρος κλίµκς κι επί πλέον υπάρχει κι άλλη άγνωστη πράµετρος. Η πρώτη πό τις δύο υτές τεχνικές ϐσίζετι στη µέθοδο του Stein (1964) κι στην περίπτωση εκτίµησης της δισποράς κνονικής κτνοµής µε άγνωστη µέση τιµή νπράγει τον εκτιµητή του Stein (1964). Γι υτό το λόγο έχει επικρτήσει οι εκτιµητές που προκύπτουν µε υτήν την τεχνική ν νφέροντι στη ϐιβλιογρφί ως εκτιµητές τύπου Stein, η δε τεχνική ν νφέρετι ως τεχνική Stein. Η δεύτερη τεχνική πράγει εκτιµητές οι οποίοι είνι όρι κολουθιών εκτιµητών, ο πρώτος όρος των οποίων είνι ένς εκτιµητής τύπου Brown κι κάθε άλλος όρος τους είνι κλύτερος εκτι- µητής πό όλους τους προηγούµενούς του (δηλδή έχει µικρότερη µέση Ϲηµί). Οι εκτιµητές που προκύπτουν µε υτή την τεχνική έχουν κθιερωθεί στη ϐιβλιογρφί ως εκτιµητές τύπου Brewster and Zidek κι η τεχνική ως τεχνική Brewster and Zidek. Εν πλεονέκτηµ των τελευτίων ένντι των εκτιµητών τύπου Stein κι Brown είνι ότι, σε ορισµένες κτνοµές, είνι νλυτικές συνρτήσεις του δείγµτος κι συνεπώς δυνητικά ποδεκτοί (admissible) εκτιµητές. Πράγµτι, ο Proskin (1985), στη διδκτορική διτριβή του, πέδειξε ότι στην περίπτωση της τετργωνικής συνάρτησης Ϲηµίς ο εκτιµητής τύπου Brewster and Zidek της δισποράς της κνονικής κτνοµής µε άγνωστη µέση τιµή είνι ποδεκτός. Εκτός πό την κνονική κτνοµή, οι δύο τεχνικές εφρµόσθηκν στην εκθετική κτνοµή γι την εκτίµηση της δισποράς της ή γενικότερ δυνάµεών της, σε ένν ή περισσότερους πληθυσµούς, πό τους Zidek (1973), Brewster (1974), Rukhin and Zidek (1985), Elfesi and Pal (1991), Madi and Tsui (199a), στην inverse Gaussian κτνοµή γι την εκτίµηση της πρµέτρου δισποράς, πό τους Pal and Sinha (1989) κι Shorrock and McGibbon (1997). Ο Kubokawa (1994a) χρησιµοποιώντς µί νέ µέθοδο, πέτυχε ν νπργάγει τους εκτιµητές τύπου Stein κι Brewster and Zidek γι γενική πράµετρο κλίµκς κι bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς κτά ένν ενιίο τρόπο (ενώ οι Brewster and Zidek (1974) τους είχν προυσιάσει ως πόρροι δύο διφορετικών τεχνικών). Στην περίπτωση εκτίµησης της δισποράς κνονικής κτνοµής, ο Maruyama (1998) κτσκεύσε µί άλλη κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών στην οποί νήκει ο εκτιµητής των Brewster and Zidek (1974) κι, ως ορική περίπτωση, ο εκτιµητής του Stein (1964). Η µέθοδος του Maruyama (1998) επεκτάθηκε κι στην περίπτωση της εκθετικής κτνοµής πό τους Petropoulos and Kourouklis (22). Συγχρόνως περίπου µε τους Brewster and Zidek (1974), µί άλλη κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών υθίρετης ϑετικής δύνµης της δισποράς κνονικής κτνοµής µε άγνωστη µέση τιµή προυσιάσθηκε πό τον Strawderman (1974). Οι εκτιµητές υτοί νφέροντι ως εκτιµητές τύπου Strawderman. Οι Pal and Ling (1995, 1996) µελέτησν το ίδιο πρόβληµ εκτίµησης χρησιµοποιώντς την τεχνική του Strawderman (1974) ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς του Brown (1968), ενώ ο Sugiura (1988, 1989) την εφάρµοσε στην εκτίµηση δυνάµεων της γενικευµένης δισποράς. Οι Mathew et al. (1992a,b) χρησιµοποίησν την τεχνική του Strawderman (1974) κι προυσίσν ϐελτιωµένους εκτιµητές γι τη δισπορά των σφλµάτων σε έν µικτό γρµµικό µοντέλο (mixed effects model). Πρόσφτ, η ίδι τεχνική χρησιµοποιήθηκε πό τους Maruyama and Strawderman (26), οι οποίοι προυσίσν µί νέ κλάση ϐελτιωµένων γενικευµένων Bayes εκτιµητών τύπου Strawderman γι τη δισπορά κνονικής κτνοµής ως προς την τετργω-

9 1.2 Περιληπτική προυσίση των υπολοίπων κεφλίων 3 νική συνάρτηση Ϲηµίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Σηµειώνουµε ότι η τεχνική του Strawderman (1974) δεν έχει εφρµοσθεί πό άλλους ερευνητές µέχρι τώρ σε άλλο σττιστικό µοντέλο, εκτός πό υτό της κνονικής κτνοµής. Τ ποτελέσµτ κι οι τεχνικές Stein, Brown κι Brewster and Zidek επεκτάθηκν κολούθως σε δύο νεξάρτητους πληθυσµούς µε άγνωστες πρµέτρους κλίµκς κι τουλάχιστον µί άγνωστη πράµετρο ϑέσης στο πρόβληµ εκτίµησης του λόγου πρµέτρων κλίµκς. Ετσι, υπάρχουν στη ϐιβλιογρφί ϐελτιωµένοι εκτιµητές του λόγου που είνι τύπου Stein, Brown κι Brewster and Zidek κι έχουν µικρότερη µέση Ϲηµί πό υτήν του ϐέλτιστου νλλοίωτου εκτιµητή ο οποίος, γι πράδειγµ, στην περίπτωση της κνονικής κτνοµής, είνι της µορφής (ϑετική στθερά) (λόγος δειγµτικών δισπορών). Στην περίπτωση του λόγου των δισπορών δύο νεξάρτητων κνονικών κτνοµών, τέτοιοι ϐελτιωµένοι εκτιµητές κτσκευάστηκν πό τους Gelfand and Dey (1988) κι Madi (1995), ενώ γι το λόγο των πρµέτρων κλίµκς δύο νεξάρτητων εκθετικών κτνοµών πό τους Madi and Tsui (199b). Επίσης, στην περίπτωση του λόγου των δισπορών δύο νεξάρτητων κνονικών κτνοµών οι Ghosh and Kundu (1996) προυσίσν κλάσεις ϐελτιωµένων ιερρχικών Bayes εκτιµητών, επεκτείνοντς σε δύο δείγµτ τη µέθοδο του Kubokawa (1994a) γι έν δείγµ. Οι πρπάνω εκτιµητές χρησιµοποιούν µόνον ένν πό τους εκτιµητές των πρµέτρων ϑέσης κι γι υτό ϑ νφέροντι ως ϐελτιω- µένοι εκτιµητές πλής προσρµογής (single adjustment improved estimators). Οι Kubokawa (1994b) κι Kubokawa and Srivastava (1996) γενίκευσν τ ποτελέσµτ του Kubokawa (1994a) στην εκτίµηση του λόγου πρµέτρων κλίµκς κι προυσίσν νέες κλάσεις ϐελτιω- µένων εκτιµητών, τους ϐελτιωµένους εκτιµητές διπλής προσρµογής (double adjustment improved estimators), οι οποίοι χρησιµοποιούν όλ τ δεδοµέν, γι κυρτή συνάρτηση Ϲηµίς L(t). Εν σηµντικό πλεονέκτηµ των ϐελτιωµένων εκτιµητών διπλής προσρµογής είνι ότι είνι κλύτεροι πό ντίστοιχους ϐελτιωµένους εκτιµητές πλής προσρµογής. Τέλος, οι Iliopoulos and Kourouklis (1999) χρησιµοποιώντς µί διφορετική µεθοδολογί γι την εκτίµηση του λόγου πρµέτρων κλίµκς, πό τη µί πλευρά νπρήγγν την κλάση των ϐελτιωµένων εκτιµητών διπλής προσρµογής του Kubokawa (1994b) κι πό την άλλη κτσκεύσν µί νέ κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών διπλής προσρµογής, ότν η συνάρτηση Ϲηµίς L(t) είνι κυρτή συνάρτηση του ln t. 1.2 Περιληπτική προυσίση των υπολοίπων κεφλίων Οπως νφέρθηκε στην Ενότητ 1.1, σε ντίθεση µε τις τεχνικές Stein, Brown, Brewster and Zidek κι Kubokawa, η τεχνική του Strawderman (1974) δεν έχει εφρµοσθεί πό άλλους ερευνητές µέχρι τώρ σε κάποιο άλλο σττιστικό µοντέλο, εκτός πό υτό της κνονικής κτνοµής. Εύλογ λοιπόν τίθετι το ερώτηµ κτά πόσον υτή η τεχνική µπορεί ν χρησιµοποιηθεί πέρν της κνονικής κτνοµής. Η διτριβή έχει ως σκοπό ν µελετήσει υτό το ερώτηµ. Πιο συγκεκριµέν, ντικείµενο της διτριβής είνι η µελέτη των προβληµάτων κτσκευής ϐελτιω- µένων εκτιµητών τύπου Strawderman γι πράµετρο κλίµκς ενός πληθυσµού κθώς κι γι το λόγο των πρµέτρων κλίµκς δύο νεξάρτητων πληθυσµών. Η προυσίση των επί µέρους ϑεµάτων κι ποτελεσµάτων της διτριβής υτής οργνώνετι ως εξής.

10 4 Εισγωγή Στο Κεφάλιο 2 περιέχοντι κάποιοι ορισµοί κι προυσιάζοντι, γι λόγους πληρότητς, γνωστά σχετικά ποτελέσµτ που φορούν σε ϐελτιωµένους εκτιµητές πρµέτρων κλίµκς κι λόγου πρµέτρων κλίµκς. Ολ τ ποτελέσµτ των υπολοίπων κεφλίων είνι πρωτότυπ. Στο Κεφάλιο 3 το κλσικό ποτέλεσµ του Strawderman (1974) γι την εκτίµηση της δισποράς κνονικής κτνοµής επεκτείνετι σε κτνοµές µε πράµετρο κλίµκς κι µί άλλη άγνωστη («ενοχλητική») πράµετρο γι την εκτίµηση της πρµέτρου κλίµκς ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Συγκεκριµέν, ϑεωρώντς τυπικές συνθήκες µονότονου λόγου πιθνοφνειών, κτσκευάζετι γι την πράµετρο κλίµκς µί νέ κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών τύπου Strawderman, ειδικής µορφής, ενώ ϑεωρώντς µί επί πλέον συνθήκη κτσκευάζετι µί ευρύτερη κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών τύπου Strawderman. Η µέθοδος πόδειξης των ποτελεσµάτων, πρά το γεγονός ότι διτηρεί το «σκελετό» της µεθόδου του Strawderman (1974), διφέρει (νπόφευκτ) τεχνικά πό υτήν επειδή ο Strawderman (1974) ϐσίζετι σε ειδικά χρκτηριστικά της κνονικής κτνοµής. Ακολούθως, τ γενικά ποτελέσµτ εφρµόζοντι στην εκθετική κι την κνονική κτνοµή (κι συνεπώς ισχύουν γι την κτνοµή Pareto κι την λογριθµοκνονική κτνοµή). Στην περίπτωση της εκθετικής κτνοµής δίνοντι νέες ικνές συνθήκες (δηλδή, διφορετικές πό υτές των Brewster and Zidek (1974) κι Kubokawa (1994a)) γι τη ϐελτίωση του κλύτερου νλλοίωτου ως προς µετσχηµτισµούς ϑέσης-κλίµκς εκτιµητή. Στη συνέχει, κτσκευά- Ϲοντι κλάσεις εκτιµητών που ικνοποιούν τις νέες συνθήκες, ποδεικνύετι ότι µί εξ υτών δεν ικνοποιεί τις συνθήκες των Brewster and Zidek (1974), ενώ συγχρόνως εµπλουτίζετι η οικογένει των ϐελτιωµένων εκτιµητών τύπου Brewster and Zidek µε µί νέ κλάση. Στην περίπτωση της κνονικής κτνοµής, νπράγοντι τ ποτελέσµτ των Strawderman (1974) κι Maruyama and Strawderman (26). Επί πλέον, κτσκευάζετι εκτιµητής τύπου Strawderman, ειδικής µορφής, στην περίπτωση της inverse Gaussian κτνοµής. Ακόµη, ποδεικνύοντι ποτελέσµτ γενικότερ κι ισχυρότερ πό υτά των Mathew et al. (1992a,b). Το κεφάλιο ολοκληρώνετι µε την κτσκευή εκτιµητών τύπου Strawderman, ειδικής µορφής, ως προς τη συµµετρική συνάρτηση Ϲηµίς L(t) = t + 1/t 2. Στο Κεφάλιο 4 το ποτέλεσµ του Strawderman (1974) επεκτείνετι σε κτνοµές µε πρά- µετρο κλίµκς κι µί άλλη άγνωστη («ενοχλητική») πράµετρο γι την εκτίµηση του ντιστρό- ϕου της πρµέτρου κλίµκς ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Η τεχνική πόδειξης είνι πρόµοι µε υτήν του Κεφλίου 3. Ακολούθως, τ γενικά ποτελέσµτ εφρµόζοντι στην εκθετική κι την κνονική κτνοµή. Στην περίπτωση της εκθετικής κτνοµής, ποδεικνύετι ότι οι νέες ικνές συνθήκες που δίνοντι γι τη ϐελτίωση του κλύτερου νλλοίωτου ως προς µετσχηµτισµούς ϑέσης-κλίµκς εκτιµητή είνι διφορετικές πό υτές των Brewster and Zidek (1974) κι Kubokawa (1994a). Κτσκευάζοντι κλάσεις εκτιµητών που ικνοποιούν τις νέες συνθήκες, ποδεικνύετι ότι µί εξ υτών δεν ικνοποιεί τις συνθήκες των Brewster and Zidek (1974), ενώ συγχρόνως εµπλουτί- Ϲετι η οικογένει των ϐελτιωµένων εκτιµητών τύπου Brewster and Zidek µε µί νέ κλάση. Το κεφάλιο κλείνει µε την κτσκευή εκτιµητών τύπου Strawderman, ειδικής µορφής, ως προς τη συµµετρική συνάρτηση Ϲηµίς L(t) = t + 1/t 2. Πέρν της δικής τους ξίς, τ

11 1.3 Συµβολή της διτριβής 5 ποτελέσµτ υτού του κεφλίου (όπως κι του Κεφλίου 3) είνι χρήσιµ (ουσιστικά, πρίτητ) κι στην κτσκευή εκτιµητών τύπου Strawderman γι το λόγο των πρµέτρων κλίµκς δύο κτνοµών, που είνι το ντικείµενο των δύο επόµενων κεφλίων. Στο Κεφάλιο 5 κτσκευάζοντι κλάσεις εκτιµητών τύπου Strawderman γι το λόγο των δισπορών, σ2 2/σ2 1, κνονικών κτνοµών, ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Οι εκτιµητές υτοί έχουν τις εξής ιδιότητες. Είνι συνρτήσεις όλων των δεδοµένων, άρ είνι εκτιµητές διπλής προσρµογής, είνι «λείοι», σε ντίθεση µε τους διθέσιµους στη ϐιβλιογρφί εκτιµητές τύπου Stein, κι έχουν πολύ πλή συνρτησική µορφή, σε ντίθεση µε τους διθέσιµους στη ϐιβλιογρφί εκτιµητές τύπου Brewster and Zidek. Επί πλέον, στην περίπτωση της συνάρτησης Ϲηµίς εντροπίς οι εκτιµητές µις εκ των κλάσεων ποδεικνύετι ότι είνι γενικευµένοι Bayes. Σε συνδυσµό, µάλιστ, µε την ξιοσηµείωτη ριθµητική ϐελτίωση ως προς τη µέση Ϲηµί που προσφέρουν ένντι των κλσικών εκτιµητών, ενδεχοµένως ν είνι «ελκυστικοί» κι σε σττιστικές εφρµογές. Η µέθοδος πόδειξης δεν είνι η τυπική γι το πρόβληµ εκτίµησης του σ2 2/σ2 1, η οποί (τυπική πόδειξη) πιτεί την επέκτση ποτελεσµάτων πό ένν πληθυσµό σε δύο πληθυσµούς (όπως έχει γίνει πό τους Gelfand and Dey (1988), Madi and Tsui (199b), Kubokawa (1994b), Kubokawa and Srivastava (1996), Ghosh and Kundu (1996)). Αντιθέτως, εφρµόζετι η µεθοδολογί των Iliopoulos and Kourouklis (1999) που νάγει το πρόβληµ εκτίµησης του σ2 2/σ2 1 σε δύο προβλήµτ ενός πληθυσµού, έν υτό της εκτίµησης του σ2 2 κι, το άλλο, υτό της εκτίµησης του 1/σ1 2. Ως προκτρκτικό ποτέλεσµ (νεξάρτητου ενδιφέροντος) κτσκευάζοντι, επίσης, νέες κλάσεις ϐελτιωµένων γενικευµένων εκτιµητών Bayes γι την κνονική κρίβει, 1/σ1 2, κολουθώντς την τεχνική του Strawderman (1974). Στο Κεφάλιο 6 κτσκευάζοντι κλάσεις εκτιµητών τύπου Strawderman γι το λόγο των πρµέτρων κλίµκς δύο εκθετικών κτνοµών. Τ ποτελέσµτ είνι νάλογ υτών του Κεφλίου 5. Η κτσκευή χρησιµοποιεί τους εκτιµητές των Ενοτήτων 3.3 κι 4.3 σε συνδυσµό µε τη µεθοδολογί των Iliopoulos and Kourouklis (1999). Το Πράρτηµ περιέχει ϐοηθητικά τεχνικά ποτελέσµτ. 1.3 Συµβολή της διτριβής Τ πρωτότυπ ποτελέσµτ της διτριβής περιέχοντι στ Κεφάλι 3, 4, 5 κι 6, η δε συµβολή της συνίσττι : ) Στην επέκτση γι πρώτη ϕορά στη ϐιβλιογρφί της τεχνικής του Strawderman (1974) πέρν της κνονικής κτνοµής κι σε άλλ σττιστικά µοντέλ γι την εκτίµηση πρ- µέτρου κλίµκς πό την πλευρά της Σττιστικής Θεωρίς Αποφάσεων. ϐ) Στην περίπτωση της εκθετικής κτνοµής, στην πργωγή νέων ικνών συνθηκών γι τη ϐελτίωση του κλύτερου νλλοίωτου ως προς µετσχηµτισµούς ϑέσης-κλίµκς εκτι- µητή της πρµέτρου κλίµκς κι του ντιστρόφου της πρµέτρου κλίµκς. γ) Στην περίπτωση της εκθετικής κτνοµής, στην κτσκευή νέων ϐελτιωµένων εκτιµητών της πρµέτρου κλίµκς κι του ντιστρόφου της πρµέτρου κλίµκς, η υπεροχή των

12 6 Εισγωγή οποίων δεν µπορεί ν ποδειχθεί µε τις υπάρχουσες στη ϐιβλιογρφί ικνές συνθήκες διότι δεν τις ικνοποιούν. δ) Στην κτσκευή ϐελτιωµένων εκτιµητών διπλής προσρµογής κι πλής µορφής γι το λόγο των δισπορών δύο κνονικών κτνοµών, ορισµένοι εκ των οποίων είνι, επί πλέον, γενικευµένοι Bayes. Κι σε υτή την περίπτωση, η υπεροχή υτών των ϐελτιωµένων εκτιµητών δεν µπορεί ν ποδειχθεί µε τις υπάρχουσες στη ϐιβλιογρφί ικνές συνθήκες διότι δεν τις ικνοποιούν. ε) Στην κτσκευή ϐελτιωµένων εκτιµητών διπλής προσρµογής γι το λόγο των πρµέτρων κλίµκς δύο εκθετικών κτνοµών, η υπεροχή των οποίων δεν µπορεί ν ποδειχθεί µε τις υπάρχουσες στη ϐιβλιογρφί ικνές συνθήκες διότι δεν τις ικνοποιούν.

13 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ Στο κεφάλιο υτό δίνοντι ορισµοί ϐσικών εννοιών κι κολούθως πρτίθεντι ορισµέν γνωστά ποτελέσµτ γι τ προβλήµτ εκτίµησης πρµέτρου κλίµκς κι λόγου πρµέτρων κλίµκς, πό την πλευρά της Σττιστικής Θεωρίς Αποφάσεων. 2.1 Στοιχεί Σττιστικής Θεωρίς Αποφάσεων Η Σττιστική Θεωρί Αποφάσεων ϑεµελιώθηκε πό τον Wald (195). Στηρίζετι στην ρχή ότι εσφλµένες εκτιµήσεις συνεπάγοντι Ϲηµί κι συνεπώς γι την πόφση χρησιµοποίησης ή µη ενός εκτιµητή η νµενόµενη Ϲηµί ϑ πρέπει ν πίξει κθοριστικό ϱόλο. Εστω δεδοµέν X µε κτνοµή P θ που εξρτάτι πό κάποι άγνωστη πράµετρο θ Θ R q, q 1. Το σύνολο Θ κλείτι πρµετρικός χώρος. Ας ϑεωρήσουµε το πρόβληµ (σηµεικής) εκτίµησης της τιµής τ(θ), όπου τ : Θ R p, p 1, είνι µί συνάρτηση. Εστω κόµ η συνάρτηση L: R p Θ R γι την οποί πιτούµε τις εξής δύο ιδιότητες : L(t, θ), t, θ, L(τ(θ), θ) =, θ. (2.1) Η τιµή L(t, θ) εκφράζει τη Ϲηµί που ϑ προκύψει εάν εκτιµηθεί η ποσότητ τ(θ) µε την τιµή t. Στη δεύτερη ιδιότητ εκφράζετι το γεγονός ότι η Ϲηµί είνι στην περίπτωση που η εκτίµηση είνι πολύτως κριβής (δηλδή, µε σφάλµ ). Η L(t, θ) νφέρετι ως συνάρτηση Ϲηµίς (loss function), η δε ξιολόγηση ενός εκτιµητή T (X) γίνετι µέσω της συνάρτησης κινδύνου R(T, θ) (risk function) που ορίζετι ως η µέση τιµή της συνάρτησης Ϲηµίς, δηλδή R(T, θ) = EL(T (X), θ). Ορισµός 2.1. Ενς εκτιµητής T 1 κλείτι κλύτερος πό τον T 2 (ή ϐελτιώνει τον T 2 ) ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς L(t, θ), ν R(T 1, θ) R(T 2, θ), θ Θ, R(T 1, θ) < R(T 2, θ), γι τουλάχιστον έν θ Θ.

14 8 Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ Σε υτήν την περίπτωση ο T 2 κλείτι µη ποδεκτός (inadmissible). Αν δεν υπάρχει κλύτερος εκτιµητής πό τον T 2, τότε υτός κλείτι ποδεκτός (admissible). Πρτήρηση 2.1. Ο εκτιµητής T 1 του πρπάνω ορισµού συχνά ϑ νφέρετι στη συνέχει κι ως ϐελτιωµένος εκτιµητής (improved estimator). 2.2 Ανλλοίωτοι εκτιµητές Εστω X R n, n 1, το σύνολο των δυντών τιµών δεδοµένων X κι G έν σύνολο έν προς έν κι επί µετσχηµτισµών του X στον ευτό του που είνι οµάδ µε πράξη τη σύνθεση. Θεωρούµε το πρόβληµ εκτίµησης του τ(θ) µε συνάρτηση Ϲηµίς L(t, θ) κι έστω A = τ(θ). Το σύνολο A κλείτι χώρος δράσης (action space) του προβλήµτος. Ορισµός 2.2. Το πρόβληµ εκτίµησης του τ(θ) κλείτι νλλοίωτο ως προς την οµάδ µετσχη- µτισµών G, ν g G υπάρχουν ντιστρέψιµοι µετσχηµτισµοί ḡ : Θ Θ κι g : A A, τέτοιοι ώστε ν τ δεδοµέν X έχουν κτνοµή P θ, ν ισχύουν τ κόλουθ. (i) Y = g(x) έχει κτνοµή Pḡ(θ), (ii) τ(ḡ(θ)) = g(τ(θ)), θ, (iii) L( g(t), ḡ(θ)) = L(t, θ), t, θ. Εστω ότι το πρόβληµ εκτίµησης του τ(θ) είνι νλλοίωτο ως προς G. Τότε δίνετι ο εξής ορισµός. Ορισµός 2.3. Ενς εκτιµητής T (X) του τ(θ) (µε τιµές στο A) κλείτι G-νλλοίωτος ν T (g(x)) = g(t (x)), g G, x X. Αν στην κλάση υτών των εκτιµητών υπάρχει κάποιος που ελχιστοποιεί τη συνάρτηση κινδύνου, τότε υτός κλείτι ϐέλτιστος G-νλλοίωτος (ή ο κλύτερος στην κλάση G) εκτιµητής του τ(θ). Από τον ορισµό του νλλοίωτου προβλήµτος εκτίµησης προκύπτει ότι κάθε µετσχηµτισµός g G επάγει έν µετσχηµτισµό ḡ του πρµετρικού χώρου Θ στον ευτό του. Εστω Ḡ το σύνολο υτών των µετσχηµτισµών. Ορισµός 2.4. Γι κάθε θ Θ το σύνολο ḡ(θ ): ḡ Ḡ λέγετι G-τροχιά (orbit) του θ. Η G-τροχιά του θ είνι δηλδή το σύνολο των θ Θ, τ οποί είνι εικόνες του θ µέσω (όλων) των µετσχηµτισµών ḡ Ḡ. Οι G-τροχιές ορίζουν κλάσεις ισοδυνµίς στον πρµετρικό χώρο Θ. Το επόµενο ϑεώρηµ προυσιάζει µί σηµντική ιδιότητ των νλλοίωτων εκτιµητών, η οποί σε ρκετές περιπτώσεις χρησιµεύει στην εύρεση του ϐέλτιστου G-νλλοίωτου εκτιµητή. Θεώρηµ 2.1 (Lehmann and Casella, 1998). Η συνάρτηση κινδύνου ενός G-νλλοίωτου εκτι- µητή T είνι στθερή σε κάθε G-τροχιά, δηλδή R(T, θ) = R(T, ḡ(θ)), θ Θ, ḡ Ḡ.

15 2.3 Εκτιµητές Bayes κι εκτιµητές minimax Εκτιµητές Bayes κι εκτιµητές minimax Στην Ενότητ 2.1 είδµε ότι έν γενικό κριτήριο ξιολόγησης του εκτιµητή T (X) είνι η συνάρτηση κινδύνου R(T, θ). Ιδνικά ϑ επιθυµούσµε ν κτσκευάσουµε ένν εκτιµητή µε την ελάχιστη δυντή συνάρτηση κινδύνου (γι κάθε θ Θ). Επειδή όµως κάτι τέτοιο δεν είνι εφικτό, µπορούµε ν νζητήσουµε ένν εκτιµητή T (X) ο οποίος ελχιστοποιεί ως προς T την πράστση R(T, θ)π(θ)dθ Θ όπου π(θ), θ Θ είνι µί συνάρτηση που έχει τις ιδιότητες της πυκνότητς πιθνότητς, δηλδή (i) π(θ), θ Θ κι (ii) Θ π(θ)dθ = 1. Η συνάρτηση π(θ) νφέρετι ως εκ των προτέρων κτνοµή (prior distribution) του θ κι µπορεί ν ϑεωρηθεί ότι είτε εκφράζει την προσωπική µς ντίληψη γι την πιθνή τιµή του θ, είτε συνοψίζει κάποιες εκ των προτέρων (δηλδή πριν τη συλλογή των δεδοµένων) πληροφορίες γι το θ. Τυπικά, η άγνωστη πράµετρος θ µπορεί ν ϑεωρηθεί ως τυχί µετβλητή µε κτνοµή π(θ). (Στην περίπτωση δικριτού πρµετρικού χώρου, τ πρπάνω ολοκληρώµτ ντικθίστντι µε θροίσµτ ή σειρές.) Ορισµός 2.5. Ο εκτιµητής T (X) κλείτι εκτιµητής Bayes του τ(θ) ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς L(t, θ) κι εκ των προτέρων κτνοµή π(θ) ν R(T, θ)π(θ)dθ R(T, θ)π(θ)dθ (2.2) Θ γι κάθε άλλον εκτιµητή T (X). κι Θ Εστω f(x; θ) η πυκνότητ πιθνότητς των δεδοµένων X, ϑέτουµε m(x) = Θ f(x; θ)π(θ)dθ π(θ x) = f(x; θ)π(θ). m(x) Τότε η συνάρτηση π(θ x) (µε µετβλητή το θ) νφέρετι ως εκ των υστέρων κτνοµή (posterior distribution) του θ κι έχει τις ιδιότητες πυκνότητς πιθνότητς. Η εκ των υστέρων κτνοµή π(θ x) µπορεί ν ϑεωρηθεί ότι πρέχει τις εκ των υστέρων πληροφορίες γι το θ, δηλδή πλη- ϱοφορίες που προκύπτουν πό τ δεδοµέν σε συνδυσµό µε την εκ των προτέρων κτνοµή. Το επόµενο ϑεώρηµ πρέχει ένν τρόπο εύρεσης του εκτιµητή Bayes. Θεώρηµ 2.2 (Lehmann and Casella, 1998). Υποθέτουµε ότι ισχύουν οι πρκάτω συνθήκες γι το πρόβληµ εκτίµησης του τ(θ) ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς L(t, θ). () Υπάρχει τουλάχιστον ένς εκτιµητής T µε πεπερσµένη συνάρτηση κινδύνου.

16 1 Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ (ϐ) Γι όλες σχεδόν τις τιµές x, υπάρχει µί τιµή T (x) η οποί ελχιστοποιεί ως προς t τη συνάρτηση EL(t, θ) X = x, όπου η µέση τιµή υπολογίζετι ως προς την εκ των υστέρων κτνοµή του θ. Τότε ο T (X) είνι ένς εκτιµητής Bayes. Πρτήρηση 2.2. Στην περίπτωση που η συνάρτηση π(θ) ικνοποιεί τις συνθήκες (i) π(θ), θ Θ κι (ii) Θ π(θ)dθ =, υτή νφέρετι ως γενικευµένη εκ των προτέρων κτνοµή (generalized prior distribution) κι ο εκτιµητής T (X) που πληροί την (2.2) νφέρετι ως γενικευµένος εκτιµητής Bayes (generalized Bayes estimator) κι υπολογίζετι όπως στο Θεώρηµ 2.2, εφόσον η συνάρτηση π(θ x) είνι πυκνότητ πιθνότητς. Μί άλλη µέθοδος εκτίµησης είνι ν νζητήσουµε εκείνον τον εκτιµητή T (X) που ελχιστοποιεί τη µέγιστη τιµή της συνάρτησης κινδύνου, sup θ Θ R(T, θ), δηλδή τη µέγιστη (ως προς θ) µέση Ϲηµί. Ορισµός 2.6. Ο εκτιµητής T (X) κλείτι εκτιµητής minimax του τ(θ) ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς L(t, θ) ν sup θ Θ R(T, θ) sup R(T, θ) θ Θ γι κάθε άλλον εκτιµητή T (X). 2.4 Πράµετρος κλίµκς κι bowl-shaped συνρτήσεις Ϲηµίς Ορισµός 2.7. Εστω X πολύτως συνεχής (ως προς το µέτρο Lebesgue) τυχί µετβλητή µε οικογένει πυκνοτήτων πιθνότητς σ 1 f(xσ 1 ): σ >. Τότε η πράµετρος σ κλείτι πράµετρος κλίµκς της κτνοµής της τυχίς µετβλητής X. Εστω X µί πρτήρηση πό κτνοµή µε ϑετικές τιµές κι πράµετρο κλίµκς σ. Θεω- ϱούµε την οµάδ µετσχηµτισµών G = g : R + R +, >, όπου g (x) = x, x R +. Το πρόβληµ εκτίµησης του σ είνι νλλοίωτο ως προς G ν η συνάρτηση Ϲηµίς έχει τη µορφή L (δ, σ) = L(δ/σ). Σε υτή την περίπτωση, οι G-νλλοίωτοι εκτιµητές είνι της µορφής T (X) = cx, c >.

17 2.5 Βελτιωµένοι εκτιµητές γι πρµέτρους κλίµκς 11 Από την (2.1) πιτείτι ν ισχύει L(1) =. Επίσης, λογική είνι κι η πίτηση ν υξάνετι η τιµή της συνάρτησης L(δ/σ) όσο η εκτίµηση δ «ποµκρύνετι» πό την τιµή της πρµέτρου σ, δηλδή ότν το δ/σ είτε ελττώνετι είτε υξάνετι. Αυτές οι πιτήσεις ικνοποιούντι πό την κλάση των bowl-shaped συνρτήσεων που ορίστηκε πό τον Brown (1968). Σύµφων µε τον Brown (1968), µί συνάρτηση L( ) ορισµένη στο σύνολο των πργµτικών ϑετικών ριθµών κλείτι bowl-shaped (ντίστοιχ, υστηρά bowl-shaped) ν υπάρχει t (, ), τέτοιο ώστε η L(t) ν είνι ϕθίνουσ (ντίστοιχ, γνησίως ϕθίνουσ) γι < t < t κι ύξουσ (ντίστοιχ, γνησίως ύξουσ) γι t > t. 2.5 Βελτιωµένοι εκτιµητές γι πρµέτρους κλίµκς Στην ενότητ υτή προυσιάζοντι γνωστοί ϐελτιωµένοι εκτιµητές πρµέτρων κλίµκς κι κυρίως της δισποράς πολυµετβλητής κνονικής κτνοµής. Κάποι πό υτά τ ποτελέσµτ είχν ρχικά εµφνιστεί στην περίπτωση τυχίου δείγµτος πό ένν πληθυσµό, όµως, γι οµοιοµορφί, εδώ όλ προυσιάζοντι στη (γενικότερη) κνονική µορφή γρµµικού µοντέλου. Θ πρέπει ν νφερθεί ότι εξιρετικές νσκοπήσεις του προβλήµτος εκτίµησης πρµέτρου κλίµκς έχουν γίνει πό τους Maatta and Casella (199), Pal et al. (1998) κι Kubokawa (1999). Το 1964 ο Stein προυσίσε έν πρόσµενο ποτέλεσµ. Ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς, πέδειξε ότι ο ϐέλτιστος νλλοίωτος εκτιµητής της δισποράς κνονικής κτνοµής N(µ, σ 2 ) µε άγνωστη µέση τιµή, δ = S n + 2, είνι µη ποδεκτός. Συγκεκριµέν ισχύει το πρκάτω ϑεώρηµ. Θεώρηµ 2.3 (Stein, 1964). Εστω X N p (µ, σ 2 I p ) κι S σ 2 χ 2 n νεξάρτητ δεδοµέν, όπου µ R p κι σ > είνι άγνωστ. Με συνάρτηση Ϲηµίς L(t, µ, σ) = (t/σ 2 1) 2, ο δ στην (2.3) είνι µη ποδεκτός γι την εκτίµηση του σ 2 κι ένς κλύτερος (ϐελτιωµένος) εκτιµητής είνι ο S δ S = min n + 2, S + X 2. (2.4) n + p + 2 Μί ερµηνεί του δ S έχει ως κολούθως. Ο δ ϐσίζετι µόνο στην πρτήρηση S. ηλδή δεν γίνετι χρήση πληροφοριών γι το θ = (µ, σ) που περιέχοντι στ υπόλοιπ δεδοµέν X. Ο ϐελτιωµένος εκτιµητής δ S χρησιµοποιεί κτά κάποιον τρόπο υτές τις πληροφορίες. Πρτηρούµε ότι είνι ο ελάχιστος µετξύ δύο εκτιµητών : του δ που είνι ο ϐέλτιστος νλλοίωτος κι του δ 1 = (S + X 2 )/(n + p + 2) που είνι ο ϐέλτιστος νλλοίωτος ότν είνι γνωστό ότι µ =. Ο έλεγχος λόγου πιθνοφνειών (t-test) πορρίπτει τη µηδενική υπόθεση H : µ =, ότν X 2 /S > C, C >. Συνεπώς, ο δ S επιλέγει µετξύ του δ κι του δ 1 νάλογ µε το εάν ο έλεγχος της H µε περιοχή πόρριψης X 2 /S > p/(n + 2) την πορρίπτει ή όχι. Τέτοιοι εκτιµητές όπως υτοί του Stein κλούντι ελεγχοεκτιµητές (testimators). Μί άλλη προσέγγιση γι τη ϐελτίωση του εκτιµητή δ, νπτύχθηκε πό τον Brown (1968), ο οποίος εµφάνισε µί κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών γι τη δισπορά κνονικής κτνοµής (2.3)

18 12 Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ ως προς οποιδήποτε υστηρά bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς, όπως ϕίνετι στο κόλουθο ϑεώρηµ. Θεώρηµ 2.4 (Brown, 1968). Εστω X N p (µ, σ 2 I p ) κι S σ 2 χ 2 n νεξάρτητ δεδοµέν, όπου µ R p κι σ > είνι άγνωστ. Τότε εάν L(t) είνι µί υστηρά bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς, ο ϐέλτιστος νλλοίωτος εκτιµητής του σ 2, δ = c S όπου c είνι η µονδική λύση της εξίσωσης E µ=,σ 2 =1L (cs)s = ως προς c, είνι µη ποδεκτός κι ένς ϐελτιωµένος εκτιµητής είνι ο d (r)s εάν W r, δ B = (2.5) c S εάν W > r, όπου W = X 2 /S, r > υθίρετο κι d (r) είνι η µονδική λύση της εξίσωσης E µ=,σ 2 =1L (ds)s W r = ως προς d. Οι Brewster and Zidek (1974) προυσίσν, ϐσιζόµενοι στην προσέγγιση του Brown (1968) έν ϐελτιωµένο εκτιµητή του σ 2, ο οποίος είνι νλυτική συνάρτηση των δεδοµένων. Πράλληλ, γενίκευσν την ιδέ του Stein (1964) γι οποιδήποτε υστηρά bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς. Θεώρηµ 2.5 (Brewster and Zidek, 1974). Εστω X N p (µ, σ 2 I p ) κι S σ 2 χ 2 n νεξάρτητ δεδοµέν µε µ R p, σ > άγνωστ κι δ = c S ο ϐέλτιστος νλλοίωτος εκτιµητής του σ 2 ως προς µί υστηρά bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς L(t). Γι W = X 2 /S, w >, έστω φ S (w), φ BZ (w) οι µονδικές λύσεις των εξισώσεων E µ=,σ 2 =1L (φ S S)S W = w =, E µ=,σ 2 =1L (φ BZ S)S W w = ως προς φ S, φ BZ, ντίστοιχ. Τότε οι εκτιµητές δ S = minφ S (W ), c S, (2.6) δ BZ = φ BZ (W )S (2.7) είνι κλύτεροι πό τον δ. Οι τεχνικές πό τις οποίες προκύπτουν οι εκτιµητές δ S κι δ BZ είνι οι τεχνικές Stein κι Brewster and Zidek, ντίστοιχ. Οι εκτιµητές της µορφής (2.6) νφέροντι ως εκτιµητές τύπου Stein κι οι εκτιµητές της µορφής (2.7) νφέροντι ως εκτιµητές τύπου Brewster and Zidek. Στην περίπτωση της τετργωνικής συνάρτησης Ϲηµίς, ο εκτιµητής στην (2.6) συµπίπτει µε εκείνον του Stein στην (2.4). Επίσης, πρτηρούµε ότι η φ BZ (W ) στην (2.7) είνι ίδι µε την d (W ) που εµφνίζετι στον εκτιµητή Brown (1968) στην (2.5). Οι τεχνικές Stein κι Brewster and Zidek δεν περιορίζοντι µόνο στην περίπτωση που τ δεδοµέν προέρχοντι πό κνονική κτνοµή. Μπορούν ν εφρµοσθούν κι στις περιπτώσεις της εκθετικής, της λογριθµοκνονικής, της Pareto, της inverse Gaussian κι κόµ σε

19 2.5 Βελτιωµένοι εκτιµητές γι πρµέτρους κλίµκς 13 γενικότερ µοντέλ που περιέχουν εκτός πό την υπό εκτίµηση πράµετρο κλίµκς κι άλλες «ενοχλητικές» πρµέτρους. Ο Kubokawa (1994a) ενοποίησε τις τεχνικές των Stein κι Brewster and Zidek, προτείνοντς µί τεχνική η οποί ϐσίζετι στην ιδέ έκφρσης της διφοράς των συνρτήσεων κινδύνου µέσω ενός ολοκληρώµτος. Θεώρηµ 2.6 (Kubokawa, 1994a). Εστω S κι T νεξάρτητ δεδοµέν, όπου S/σ κι T/σ έχουν πυκνότητες πιθνότητς g(s)i (, ) (s) κι h(t; λ)i (κ(λ), ) (t), ντίστοιχ, γι µί άγνωστη πράµετρο λ κι µί πργµτική συνάρτηση κ(λ) µε κ() =. Θέτοντς h(t) = h(t; ), H(x; λ) = x h(t; λ)i (κ(λ), )(t)dt κι H(x) = x h(t)dt, x >, υποθέτουµε ότι ισχύουν οι εξής συνθήκες. (Α1) Η g(c 1 x)/g(c 2 x) είνι γνησίως ύξουσ συνάρτηση του x > γι κάθε < c 1 < c 2. (Α2) Η H(x; λ)/h(x) είνι ύξουσ (µη ϕθίνουσ) συνάρτηση του x >. Εστω L(t) µί υστηρά bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς κι δ = c S a ο ϐέλτιστος εκτιµητής του σ a στην κλάση cs a : c >. Γι a > (ντίστοιχ, < ) ϑεωρούµε πολύτως συνεχή συνάρτηση φ : R + R + που ικνοποιεί (i) φ(w) είνι ύξουσ (ντίστοιχ, ϕθίνουσ) κι lim w φ(w) = c, (ii) L (φ(w)s a )s a g(s)h(ws)ds (ντίστοιχ, ), w >. Τότε γι W = T/S ο εκτιµητής φ(w )S a εάν W >, δ φ = c S a διφορετικά, είνι κλύτερος πό τον δ. Στην περίπτωση εκτίµησης της δισποράς κνονικής κτνοµής µί άλλη κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών (που ικνοποιούν τις συνθήκες του Kubokawa (1994a)) κτσκευάστηκε πό τον Maruyama (1998). Την ίδι εποχή µε τους Brewster and Zidek (1974), ο Strawderman (1974) προυσίσε µί διφορετική κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών η οποί δίνετι στο επόµενο ϑεώρηµ. Θεώρηµ 2.7 (Strawderman, 1974). Εστω X N p (µ, σ 2 I p ) κι S σ 2 χ 2 n νεξάρτητ δεδο- µέν µε µ R p, σ > άγνωστ κι δ = c S a ο ϐέλτιστος νλλοίωτος εκτιµητής του σ 2a, a >, ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς. Τότε ο εκτιµητής της µορφής δ ϕ = c (1 ϕ(w ))S a, (2.8) όπου W = X 2 /S κι η συνάρτηση ϕ(w) ικνοποιεί, γι κάποιο ε >, (ST1) (1 + w) ε ϕ(w) είνι ϕθίνουσ στο (, ),

20 14 Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ (ST2) ϕ(w) D(n, p, ε, a) γι w >, είνι κλύτερος πό τον δ. Το άνω ϕράγµ D(n, p, ε, a) δίνετι σε νλυτική µορφή πό τον Strawderman (1974). Οι ϐελτιωµένοι εκτιµητές της µορφής (2.8) που ικνοποιούν τις (ST1) κι (ST2) νφέροντι ως εκτιµητές τύπου Strawderman. Οι Pal and Ling (1995, 1996) µελέτησν το ίδιο πρόβληµ εκτίµησης χρησιµοποιώντς την τεχνική του Strawderman (1974) γι τη συνάρτηση Ϲηµίς ε- ντροπίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς του Brown (1968), ενώ ο Sugiura (1988, 1989) µελέτησε την εκτίµηση δυνάµεων της γενικευµένης δισποράς ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Πρόσφτ, οι Maruyama and Strawderman (26) χρησι- µοποίησν την τεχνική του Strawderman (1974) κι προυσίσν µί νέ κλάση ϐελτιωµένων γενικευµένων εκτιµητών Bayes της δισποράς κνονικής κτνοµής ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Θεώρηµ 2.8 (Maruyama and Strawderman, 26). Εστω X N p (µ, σ 2 I p ) κι S σ 2 χ 2 n νεξάρτητ δεδοµέν µε µ R p, σ > άγνωστ κι δ = c S ο ϐέλτιστος νλλοίωτος εκτιµητής του σ 2 ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς ή ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Τότε ο εκτιµητής της µορφής δ ϕ = c (1 ϕ(w ))S, (2.9) όπου W = X 2 /S κι η συνάρτηση ϕ(w) ικνοποιεί, γι κάποιο ε >, (ST1) (1 + w) ε ϕ(w) είνι ϕθίνουσ στο (, ), (ST2) ϕ(w) B 1 (ε) στην περίπτωση της τετργωνικής συνάρτησης Ϲηµίς, ή ϕ(w) B 2 (ε) στην περίπτωση της συνάρτησης Ϲηµίς εντροπίς, µε 2p B 1 (ε) = min p + n + 2, B 2 (ε) = min B, ( 1 + n 2pε 2pε Γ(p/2 + n/2 + 2ε + 2)Γ(n/2 + ε + 1) p + n + 2 Γ(p/2 + n/2 + ε + 2)Γ(n/2 + 2ε + 2) ) Γ(n/2 + 2ε)Γ(p/2 + n/2 + ε + 1) 1, Γ(n/2 + ε)γ(p/2 + n/2 + 2ε), κι B τη µονδική λύση της εξίσωσης x 1 ln(1 x) = (p + n)/n, είνι κλύτερος πό τον δ. Σηµειώνουµε ότι, το µεν B 1 (ε) είνι τροποποιηµένη µορφή των ντίστοιχων ϕργµάτων του Strawderman (1974) κι των Pal et al. (1998), το δε B 2 (ε) είνι µεγλύτερο πό το ντίστοιχο ϕράγµ των Pal and Ling (1995). Επίσης, µέσ πό την κλάση των γενικευµένων εκτιµητών Bayes του σ 2 που κτσκεύσν ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς ή τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς (γι την εκ των προτέρων κτνοµή ϐλέπε Maruyama and Strawderman (26)) κι οι οποίοι ικνοποιούν τις συνθήκες του Θεωρήµτος 2.8, προυσίσν τους εξής γενικευµένους εκτιµητές Bayes του σ 2 πλής µορφής.

21 2.6 Βελτιωµένοι εκτιµητές γι το λόγο πρµέτρων κλίµκς 15 Θεώρηµ 2.9 (Maruyama and Strawderman, 26). (i) Ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς, ο γενικευµένος εκτιµητής Bayes 1 + W S, < r max (n + 2)(r W ) min B1 (ε) ε 1 1 B 1 (ε), 1 ε 1 είνι κλύτερος πό τον ϐέλτιστο νλλοίωτο εκτιµητή του σ 2, δ = S/(n + 2). (ii) Ως προς τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς, ο γενικευµένος εκτιµητής Bayes 1 + W n(r W ) S, < r max min B2 (ε) ε 1 1 B 2 (ε), 1 ε 1 είνι κλύτερος πό τον ϐέλτιστο νλλοίωτο εκτιµητή του σ 2, δ = S/n. Ανάλογ, στην περίπτωση του προβλήµτος εκτίµησης της πρµέτρου κλίµκς εκθετικής κτνοµής E(µ, σ) µε µ R κι σ > άγνωστ, ϐελτιωµένοι εκτιµητές έχουν δοθεί πό τους Arnold (197), Zidek (1973) κι Brewster (1974), οι οποίοι προκύπτουν κι πό τον Kubokawa (1994a), ενώ µί διφορετική κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών (που ικνοποιούν τις συνθήκες του Kubokawa (1994a)) έχει δοθεί πό τους Petropoulos and Kourouklis (22). 2.6 Βελτιωµένοι εκτιµητές γι το λόγο πρµέτρων κλίµκς Εν πρόβληµ σχετικό ως προς τη δοµή µε το πρόβληµ εκτίµησης της δισποράς κνονικής κτνοµής είνι υτό της εκτίµησης του λόγου των δισπορών, ρ = σ2 2/σ2 1, δύο νεξάρτητων κνονικών πληθυσµών, όπου δηλδή ϑεωρούµε X N(µ 1, σ1 2), S 1 σ1 2χ2 n, Y N(µ 2, σ2 2), S 2 σ 2 2 χ2 m νεξάρτητ δεδοµέν µε µ 1, µ 2 R κι σ 1, σ 2 > άγνωστες πρµέτρους. Gelfand and Dey (1988) πέδειξν ότι ο ϐέλτιστος νλλοίωτος εκτιµητής του ρ ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς, Οι δ = n 4 m + 2 S 2 S 1 (2.1) είνι µη ποδεκτός. Συγκεκριµέν, ισχύει το κόλουθο ϑεώρηµ. Θεώρηµ 2.1 (Gelfand and Dey, 1988). Εστω X N p (µ 1, σ 2 1 I p), Y N q (µ 2, σ 2 2 I q), S 1 σ 2 1 χ2 n, S 2 σ 2 2 χ2 m νεξάρτητ δεδοµέν, όπου µ 1 R p, µ 2 R q κι σ 1, σ 2 > είνι άγνωστ. Ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς οι εκτιµητές n 4 S 2 δ 1 = max, n + p 4 S 2 m + 2 S 1 m + 2 S 1 + X 2, n 4 S 2 n 4 S 2 + Y 2 δ 2 = min,, m + 2 S 1 m + q + 2 S 1 είνι κλύτεροι πό τον δ στην (2.1). Οι εκτιµητές δ 1, δ 2 είνι ϐελτιωµένοι εκτιµητές τύπου Stein. Στην ίδι εργσί, οι Gelfand and Dey (1988) κτσκεύσν κι εκτιµητές του ρ µε την τεχνική του Brown, ενώ ϐελτιωµένους εκτιµητές τύπου Brewster and Zidek κτσκεύσε ο Madi (1995) γι οποιδήποτε υστηρά

22 16 Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς. Επίσης, οι Ghosh and Kundu (1996) προυσίσν κλάσεις ϐελτιωµένων ιερρχικών Bayes εκτιµητών ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς. Οι πρπάνω ϐελτιωµένοι εκτιµητές γι την εκτίµηση του ρ έχουν τη µορφή δ φ = φ(w 1 ) S 2 S 1 ή δ ψ = ψ(w 2 ) S 2 S 1, όπου W 1 = X 2 /S 1, W 2 = Y 2 /S 2, κι έτσι φήνουν πληροφορίες που περιέχοντι ντίστοιχ στ δεδοµέν Y, X γι την άγνωστη πράµετρο νεκµετάλλευτες. Ο Kubokawa (1994b) πέτυχε στην περίπτωση υστηρά κυρτής συνάρτησης Ϲηµίς (συνθήκη ισχυρότερη πό υστηρά bowl-shaped) ν κτσκευάσει ϐελτιωµένους εκτιµητές του λόγου των πρµέτρων κλίµκς δύο γενικών κτνοµών χρησιµοποιώντς όλ τ δεδοµέν. Θεώρηµ 2.11 (Kubokawa, 1994b). Εστω S i, T i, i = 1, 2, νεξάρτητ δεδοµέν, όπου S i /σ i κι T i /σ i έχουν πυκνότητες πιθνότητς g i (s i )I (, ) (s i ) κι h i (t i ; λ i )I (κi (λ i ), )(t i ), ντίστοιχ, γι µί άγνωστη πράµετρο λ i κι µί πργµτική συνάρτηση κ i (λ i ), µε κ i () =, i = 1, 2. Θέτοντς h i (t i ) = h i (t i, ), H i (x; λ i ) = x h i(t; λ i )I (κi (λ i ), )(t)dt κι H i (x) = x h i(t)dt, x >, i = 1, 2, υποθέτουµε ότι ισχύουν οι εξής συνθήκες : (Α1) Η g i (c 1 x)/g i (c 2 x) είνι γνησίως ύξουσ συνάρτηση του x > γι κάθε < c 1 < c 2, i = 1, 2. (Α2) Η H i (x; λ i )/H i (x) είνι ύξουσ (µη ϕθίνουσ) συνάρτηση του x >, i = 1, 2. Εστω L(t) µί υστηρά κυρτή συνάρτηση Ϲηµίς κι δ = c S 2 /S 1 ο ϐέλτιστος εκτιµητής του ρ = σ 2 /σ 1 στην κλάση cs 2 /S 1 : c >. (Α) Γι πολύτως συνεχή συνάρτηση φ : R + R + που ικνοποιεί (i) φ(w 1 ) είνι ϕθίνουσ κι lim w1 φ(w 1 ) = c, (ii) L (φ(w 1 )s 2 /s 1 )(s 2 /s 1 )g 1 (s 1 )g 2 (s 2 )H 1 (w 1 s 1 )ds 1 ds 2, w 1 > κι W 1 = T 1 /S 1 ο εκτιµητής φ(w 1 )S 2 /S 1 εάν W 1 >, δ φ = c S 2 /S 1 διφορετικά, (2.11) είνι κλύτερος πό τον δ. (Β) Γι πολύτως συνεχή συνάρτηση ψ : R + R + που ικνοποιεί (i) ψ(w 2 ) είνι ύξουσ κι lim w2 ψ(w 2 ) = c, (ii) L (ψ(w 2 )s 2 /s 1 )(s 2 /s 1 )g 1 (s 1 )g 2 (s 2 )H 2 (w 2 s 2 )ds 1 ds 2, w 2 >

23 2.6 Βελτιωµένοι εκτιµητές γι το λόγο πρµέτρων κλίµκς 17 κι W 2 = T 2 /S 2 ο εκτιµητής ψ(w 2 )S 2 /S 1 εάν W 2 >, δ ψ = c S 2 /S 1 διφορετικά, (2.12) είνι κλύτερος πό τον δ. (Γ) Αν δ φ, δ ψ είνι όπως στ (Α), (Β) ντίστοιχ, τότε ο εκτιµητής ( ) φ(w1 ) + ψ(w 2 ) c S2 /S 1 εάν W 1 >, W 2 >, φ(w 1 )S 2 /S 1 εάν W 1 >, W 2, δ φ+ψ c = ψ(w 2 )S 2 /S 1 εάν W 1, W 2 >, c S 2 /S 1 εάν W 1, W 2, (2.13) είνι κλύτερος πό τους δ φ, δ ψ (κι συνεπώς πό τον δ ). Σηµειώνουµε ότι εκτιµητές της µορφής δ φ, δ ψ στις (2.11), (2.12), ντίστοιχ, ϑ νφέροντι ως ϐελτιωµένοι εκτιµητές πλής προσρµογής (single adjustment improved estimators), επειδή χρησιµοποιούν έν µόνον πό τ T 1, T 2. Πιο συγκεκριµέν, ο δ φ ϑ νφέρετι ως ϐελτιωµένος εκτιµητής επέκτσης (improved expansion estimator) κι ο δ ψ ως ϐελτιωµένος εκτιµητής συρ- ϱίκνωσης (improved shrinkage estimator). Ο εκτιµητής στην (2.13) που συνδυάζει εκτιµητές πλής προσρµογής κι συνεπώς χρησιµοποιεί όλ τ δεδοµέν ϑ νφέρετι ως ϐελτιωµένος εκτιµητής διπλής προσρµογής (double adjustment improved estimator). Οι Iliopoulos and Kourouklis (1999) χρησιµοποιώντς µί διφορετική µεθοδολογί γι την εκτίµηση του λόγου σ 2 /σ 1 πό υτήν του Kubokawa (1994b), φ ενός µεν νπρήγγν την κλάση των εκτιµητών στην (2.13), φ ετέρου δε κτσκεύσν µί νέ κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών διπλής προσρµογής της µορφής ( ) φ(w1 )ψ(w 2 )/c S2 /S 1 εάν W 1 >, W 2 >, φ(w 1 )S 2 /S 1 εάν W 1 >, W 2, δ φψ/c = ψ(w 2 )S 2 /S 1 εάν W 1, W 2 >, c S 2 /S 1 εάν W 1, W 2, (2.14) ότν η tl (t) είνι ύξουσ (δηλδή η L(t) είνι ύξουσ ως προς ln t). Ανεξάρτητ πό τους Iliopoulos and Kourouklis (1999), η κλάση εκτιµητών στην (2.14) προυσιάστηκε κι πό τους Kubokawa and Srivastava (1996) χρησιµοποιώντς την τεχνική του Kubokawa (1994b), γι υστηρά κυρτή συνάρτηση Ϲηµίς. Τέλος, στην περίπτωση του προβλήµτος εκτίµησης του λόγου των πρµέτρων κλίµκς δύο εκθετικών κτνοµών, οι Madi and Tsui (199b) κτσκεύσν ϐελτιωµένους εκτιµητές πλής προσρµογής ως προς bowl-shaped συνάρτηση Ϲηµίς.

24 18 Βσικές έννοιες κι γνωστά ποτελέσµτ

25 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 Εκτιµητές τύπου Strawderman γι πράµετρο κλίµκς Στο κεφάλιο υτό, το κλσικό ποτέλεσµ του Strawderman (1974) γι την εκτίµηση της δισποράς κνονικής κτνοµής επεκτείνετι σε κτνοµές µε πράµετρο κλίµκς κι µί άλλη άγνωστη («ενοχλητική») πράµετρο γι την εκτίµηση της πρµέτρου κλίµκς ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς κι τη συνάρτηση Ϲηµίς εντροπίς. Ακολούθως, τ γενικά ποτελέσµτ εφρµόζοντι στην εκθετική κι την κνονική κτνοµή. Στην περίπτωση της εκθετικής κτνοµής δίνοντι νέες ικνές συνθήκες (δηλδή, διφορετικές πό υτές των Brewster and Zidek (1974) κι Kubokawa (1994a)) γι τη ϐελτίωση του κλύτερου νλλοίωτου ως προς µετσχηµτισµούς ϑέσης-κλίµκς εκτιµητή. Στη συνέχει, κτσκευάζοντι κλάσεις εκτιµητών που ικνοποιούν τις νέες συνθήκες. Στην περίπτωση της κνονικής κτνοµής - νπράγοντι τ ποτελέσµτ των Strawderman (1974) κι Maruyama and Strawderman (26). Η µέθοδος πόδειξης των ποτελεσµάτων, πρά το γεγονός ότι διτηρεί το «σκελετό» της µεθόδου του Strawderman (1974), διφέρει (νπόφευκτ) τεχνικά πό υτήν επειδή ο Strawderman (1974) ϐσίζετι σε ειδικά χρκτηριστικά της κνονικής κτνοµής. Το κεφάλιο ολοκληρώνετι µε την κτσκευή εκτιµητών τύπου Strawderman, ειδικής µορφής, ως προς τη συµµετρική συνάρτηση Ϲηµίς L(t) = t + 1/t 2. Το Κεφάλιο 3 είνι το κύριο κεφάλιο της διτριβής. Τ ποτελέσµτ των Ενοτήτων 3.1, 3.3.1, 3.4 έχουν δηµοσιευθεί στην εργσί Bobotas and Kourouklis (29), ενώ η Ενότητ 3.5 ποτελεί µέρος της εργσίς Bobotas, Iliopoulos and Kourouklis (29). 3.1 Εκτίµηση ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς Εστω S, X νεξάρτητες σττιστικές συνρτήσεις τέτοιες ώστε οι S/σ κι X/σ έχουν κτνοµές g(v)i(v > ) κι h(x; λ)i(x > κ(λ)) (3.1) ντίστοιχ, όπου λ = λ(µ, σ) είνι µί συνάρτηση των άγνωστων πρµέτρων µ κι σ µε σ >, κ(λ) είνι µί πργµτική συνάρτηση του λ κι I( ) είνι η δείκτρι συνάρτηση.

26 2 Εκτιµητές τύπου Strawderman γι πράµετρο κλίµκς Γι κάποιο λ = λ υποθέτουµε κ(λ ) = κι ϑέτουµε h(x) = h(x; λ ). Στη συνέχει, γι πλότητ του συµβολισµού, γι κάθε συνάρτηση f(x; λ) ϑέτουµε f(x; ) = f(x; λ ). Αυτό το µοντέλο µελετήθηκε γι πρώτη ϕορά πό τον Kubokawa (1994a) κι εµπεριέχει, ως τυπικές περιπτώσεις, την κνονική κι την εκθετική κτνοµή. Βσιζόµενοι στ δεδοµέν (S, X) ϑέλουµε ν εκτιµήσουµε το σ µε ένν εκτιµητή δ ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς L 1 (δ, σ) = (δ/σ 1) 2. Μετξύ των εκτιµητών της µορφής cs, c >, ο κλύτερος ως προς τη µέση τετργωνική Ϲηµί είνι vg(v)dv δ = c S, c = v 2 g(v)dv. (3.2) Υποθέτουµε ότι το c είνι κλά ορισµένο. Ακολουθώντς τον Strawderman (1974), στόχος µς είνι η ϐελτίωση του δ ϑεωρώντς εκτιµητές της µορφής c 1 ϕ(w )S εάν W >, δ ϕ = δ διφορετικά, όπου W = X/S κι η συνάρτηση ϕ(w) ικνοποιεί, γι κάποιο ε >, τις συνθήκες (1 + w) ε ϕ(w) είνι ϕθίνουσ στο (, ), ϕ(w) B(ε) γι w >. Ο όρος ϕθίνουσ (ύξουσ) χρησιµοποιείτι µε τη µη υστηρή έννοι. (3.3) Το B(ε) είνι έν κτάλληλο άνω ϕράγµ που πρέπει ν κθοριστεί έτσι ώστε ο δ ϕ ν ϐελτιώνει τον δ. Ενς τέτοιος εκτιµητής δ ϕ ϑ νφέρετι ως εκτιµητής τύπου Strawderman. Ως µί ειδική περίπτωση του δ ϕ, µελετούµε πρώτ εκτιµητές της µορφής δ (r) c 1 r (1 + W ) ε S εάν W >, = δ διφορετικά, όπου ε > κι r >. Στην περίπτωση υτή, η ϕ(w) = r (1 + w) ε τετριµµέν ικνοποιεί την πρώτη πό τις πρπάνω συνθήκες ενώ η δεύτερη ισχύει εάν r B(ε). Απιτούµε τις κόλουθες συνθήκες (τύπου) µονότονου λόγου πιθνοφνειών (ΜΛΠ) (οι ο- ποίες χρησιµοποιήθηκν επίσης πό τον Kubokawa (1994a)): (Α1) h(x; λ)/h(x) είνι ύξουσ ως προς x >. (Α2) g(c 1 x)/g(c 2 x) είνι ύξουσ ως προς x > γι < c 1 < c 2. Γι < u < 1, ϑέτουµε (3.4) κ(λ) = max 1 u,. (3.5) Το επόµενο ποτέλεσµ ποδεικνύει ότι ο εκτιµητής τύπου Strawderman δ (r) είνι κλύτερος πό τον κλσικό εκτιµητή δ, πρέχοντς συνεπώς µί πολύ πλή κλάση ϐελτιωµένων εκτιµητών γι το σ.

27 3.1 Εκτίµηση ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς 21 Θεώρηµ 3.1. Εστω ότι οι (Α1) κι (Α2) ισχύουν. Τότε, γι κάθε ε >, η µέση τετργωνική Ϲηµί του δ (r) στην (3.4) είνι υστηρά µικρότερη (ντίστοιχ, µικρότερη ή ίση) πό υτήν του δ στην (3.2) εάν < r < (ντίστοιχ, )B (ε), όπου B (ε) = 2c u ε+2 v 3 g(uv)h((1 u)v)dvdu 2 u ε+1 v 2 g(uv)h((1 u)v)dvdu 1 c u 2ε+2 v 3 g(uv)h((1 u)v)dvdu. (3.6) Απόδειξη. Εστω RD(δ, δ (r) ) = E(δ /σ 1) 2 E(δ (r) /σ 1) 2. Λόγω της µορφής των δ κι δ (r) έχουµε [ RD(δ, δ (r) r S ) = E c (1 + W ) ε σ = c r 2c S y (1 + w) ε σ c r S (1 + W ) ε σ 2 r 2c y c (1 + w) ε y 2 yg(y)h(wy; λ)i(wy > κ(λ))dydw. Με λλγή των µετβλητών u = 1/(1 + w) κι v = (1 + w)y πίρνουµε RD(δ, δ (r) ) = c r u 2c ε+1 uv 3 c ru ε+1 v 3 2v 2 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu = c r 2c u ε+2 v 3 g(uv)h((1 u)v; λ)dv c r 2 Ετσι, RD(δ, δ (r) ) εάν ] I(W > ) u 2ε+2 v 3 g(uv)h((1 u)v; λ)dv u ε+1 v 2 g(uv)h((1 u)v; λ)dv du. (3.7) r 2c u ε+2 v 3 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu 2 = B(ε; λ). u ε+1 c u 2ε+2 v 2 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu 1 v 3 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu (3.8) Η πόδειξη ολοκληρώνετι εάν δείξουµε ότι B (ε) B(ε; λ). Γράφουµε το B(ε; λ) στη µορφή B(ε; λ) = 2 uε+2 u2ε+2 v3 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu v3 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu

28 22 Εκτιµητές τύπου Strawderman γι πράµετρο κλίµκς 1 Αρχικά, ποδεικνύουµε ότι uε+1 uε+2 c v2 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu v3 g(uv)h((1 u)v; λ)dvdu = 2I 1 (ε; λ)1 c 1 I 2(ε; λ). (3.9) I 1 (ε; λ) I 1 (ε; ). (3.1) Εχουµε I 1 (ε; λ) = E λ U ε, όπου U έχει πυκνότητ f(u; λ) u 2ε+2 v3 g(uv)h((1 u)v; λ)dv, < u < 1. Επειδή η u ε είνι ϕθίνουσ, πό το Λήµµ Α.2, η (3.1) ϑ ισχύει εάν η f(u; λ)/f(u; ) είνι ϕθίνουσ. Τώρ, f(u; λ) f(u; ) v3 g(uv)h((1 u)v; λ)dv v 3 g(uv)h((1 u)v)dv [ h(y ; λ) E u I(Y > maxκ(λ), ) h(y ) (1 u) y3 g( u 1 uy)h(y; λ)dy y 3 g( u 1 u ] y)h(y)dy, όπου Y έχει πυκνότητ f u (y) y 3 g( u 1 u y)h(y), y >. Γι < u 1 < u 2 < 1, η f u1 (y)/f u2 (y) είνι ύξουσ ως προς y λόγω της (Α2), κι συνεπώς η (Α1) κι το Λήµµ Α.2 συνεπάγοντι ότι f(u 1 ; λ)/f(u 1 ; ) f(u 2 ; λ)/f(u 2 ; ), το οποίο ολοκληρώνει την πόδειξη της (3.1). Στη συνέχει ποδεικνύουµε ότι I 2 (ε; λ) I 2 (ε; ). (3.11) Θέτοντς β = maxκ(λ),, έχουµε I 2 (ε; λ) = = = uε 2 u y2 g(y)h( 1 u u uε 2 u y3 g(y)h( 1 u u y; λ)dydu y; λ)dydu y 2 g(y) y/(y+β) u ε 2 h( 1 u u y; λ)dudy y 3 g(y) y/(y+β) u ε 2 h( 1 u u y; λ)dudy y ε+1 g(y) β (z + y) ε h(z; λ)dzdy y ε+2 g(y) β (z + y) ε h(z; λ)dzdy = E λy 1, (3.12) όπου Y έχει πυκνότητ f(y; λ) y ε+2 g(y) β (z + y) ε h(z; λ)dz, y >. Οπότε, πό το Λήµµ Α.2, γι ν ποδείξουµε την (3.11) ρκεί ν δείξουµε ότι η f(y; λ)/f(y; ) είνι ύξουσ ως προς y >. Προς υτή την κτεύθυνση, πρτηρούµε ότι f(y; λ) f(y; ) β (z + y) ε h(z; λ)dz (z + y) ε h(z)dz [ ] h(z; λ) E y I(Z > β), (3.13) h(z) όπου Z έχει πυκνότητ k(z; y) (z + y) ε h(z), z >. Εστω τώρ ότι < y 1 < y 2. Τότε, η k(z; y 2 )/k(z; y 1 ) ((z + y 1 )/(z + y 2 )) ε είνι ύξουσ ως προς z >. Επί πλέον, πό την (Α1), η h(z; λ)i(z > β)/h(z) είνι ύξουσ. Συνεπώς, εφρµόζοντς το Λήµµ Α.2 στη µέση τιµή στην (3.13) συµπερίνουµε ότι f(y 2 ; λ)/f(y 2 ; ) f(y 1 ; λ)/f(y 1 ; ), το οποίο ολοκληρώνει την πόδειξη της (3.11). Τέλος, δείχνουµε ότι I 2 (ε; ) < c. (3.14)

29 3.1 Εκτίµηση ως προς την τετργωνική συνάρτηση Ϲηµίς 23 Από την (3.12) πίρνουµε y ε+1 g(y) I 2 (ε; ) = (z + y) ε h(z)dzdy y ε+2 g(y) (z + y) ε h(z)dzdy = E Y 1, (3.15) όπου Y έχει πυκνότητ f(y; ) y ε+2 g(y) (z + y) ε h(z)dz, y >. Εστω η πυκνότητ f (y) y 2 g(y), y >. Τότε, η f(y; )/f (y) ( ) εh(z)dz y/(z + y) είνι προφνώς γνησίως ύξουσ ως προς y > κι εποµένως, η (3.15) κι το Λήµµ Α.2 δίνουν I 2 (ε; ) = E Y 1 < y 1 f (y)dy = yg(y)dy/ y 2 g(y)dy = c. Συνδυάζοντς τις (3.9), (3.1), (3.11) κι (3.14) κτλήγουµε ότι B(ε; λ) 2I 1 (ε; )1 c 1 I 2(ε; ) = B (ε) >, σχέση η οποί ήτν προς πόδειξη. Πρτήρηση 3.1. Ορίζοντς ως C(ε; λ) τον προνοµστή του B(ε; λ) στην (3.8), η σχέση (3.7) µπορεί ν γρφεί ως RD(δ, δ (r) ) = c C(ε; λ)b(ε; λ) r r 2. Οπότε, η RD(δ, δ (r) ) είνι γνησίως ύξουσ γι < r < B(ε; λ)/2, γεγονός που συνεπάγετι ότι ο δ (r), < r < B (ε)/2, είνι κλύτερος πό τον δ λλά µη ποδεκτός φού ο δ (r ) µε r = B (ε)/2 είνι κλύτερος κι πό υτόν. Πρτήρηση 3.2. Σηµειώνετι ότι ο δ (r) είνι τόσο «λείος» (smooth) όσο κι ο ντίστοιχος εκτιµητής τύπου Brewster and Zidek κι συνεπώς πιο «λείος» πό τον εκτιµητή τύπου Stein. Οι (Α1) κι (Α2) είνι ήπιες συνθήκες κι ισχύουν, συγκεκριµέν, γι την κνονική, εκθετική κι άρ λογριθµοκνονική κι Pareto κτνοµή (ϐλέπε επίσης τις Ενότητες 3.3 κι 3.4). Πρκάτω, δίνουµε µερικές άλλες σηµντικές εφρµογές του Θεωρήµτος 3.1. Πράδειγµ 3.1 (Inverse Gaussian κτνοµή). Εστω X 1,..., X n, n 2, έν τυχίο δείγµ πό µί inverse Gaussian κτνοµή µε πυκνότητ (2πσx 3 ) 1/2 exp (x µ) 2 /(2σµ 2 x), x >, µ >, σ >. Θέτουµε S = n i=1 (X 1 i X 1 ) κι X = n( X 1) 2 / X. Η ελάχιστη επρκής σττιστική συνάρτηση είνι (S, X). Είνι γνωστό ότι S κι X είνι νεξάρτητ τέτοι ώστε S/σ χ 2 n 1 κι, ότν µ = 1, X/σ χ 2 1 (ϐλέπε Chhikara and Folks (1989)). Στο πράδειγµ υτό, το µοντέλο στην (3.1) ισχύει µε λ = (µ, σ), κ(λ) =, λ = (1, σ), g(v) την πυκνότητ της χ 2 n 1 κι h(x) την πυκνότητ της χ 2 1. Από την (3.2), έχουµε ότι δ = S/(n + 1). Οι εκτιµητές τύπου Stein κι τύπου Brewster and Zidek του σ έχουν δοθεί πό τους Pal and Sinha (1989) κι Kourouklis (1997). Η συνθήκη (Α1) έχει δειχθεί πό τον Kourouklis (1997, Corollary 2.2), ενώ η (Α2) είνι η γνωστή ιδιότητ ΜΛΠ της κτνοµής γάµµ ως προς την πράµετρο κλίµκάς της. Οπότε, πό το Θεώρηµ 3.1, ο δ (r) στην (3.4) είνι κλύτερος πό τον δ γι κάθε < r 2εΓ((n + 1)/2 + ε)γ((n + 4)/2 + 2ε) Γ((n + 4)/2 + ε)γ((n + 3)/2 + 2ε)(n + 2). Πράδειγµ 3.2 (Mathew et al., 1992a). Εστω S, V, U νεξάρτητες σττιστικές συνρτήσεις τέτοιες ώστε S σχ 2 n, V σ 1χ 2 p, U σ 2χ 2 q(β), όπου σ σ 1, σ σ 2 είνι ϑετικά κι β. Τ δεδοµέν υτά εµφνίζοντι γι πράδειγµ σε έν ισορροπηµένο µικτό γρµµικό µοντέλο