2 Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά

2 Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 2.1 Εισαγωγή Η θερμοκρασιακή διαφορά μεταξύ δυο σημείων μέσα σ' ένα σύστημα προκαλεί τη ροή θερμότητας και, όταν στο σύστημα αυτό περιλαμβάνεται ένα ή περισσότερα ρευστά, η μετάδοση θερμότητας επιτείνεται και από τη μικροσκοπική κίνηση του ή των ρευστών. Σ' αυτήν την περίπτωση, η μετάδοση της θερμότητας λέγεται ότι γίνεται με μεταφορά και όταν η ροή προκαλείται από εξωτερικό αίτιο λέγεται εξαναγκασμένη, αλλιώς λέγεται φυσική. Κύριο χαρακτηριστικό της μεταφοράς θερμότητας είναι η εξάρτηση του ρυθμού μεταφοράς από διάφορες παραμέτρους, τόσο του χώρου όσο και του ή των ρευστών: γεωμετρικές, όπως π.χ. η διάμετρος και το μήκος του χώρου, ρευστοδυναμικές, όπως π.χ. το ιξώδες και η πυκνότητα του ρευστού, θερμικές, όπως π.χ. η ειδική θερμότητα, ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας κ.λπ. Η ομαδοποίηση αυτών των παραμέτρων σε αδιάστατους αριθμούς (π.χ. Re, Pr, Nu, Gr κ.ά.) επέτρεψε τον προσδιορισμό εξισώσεων, με βάση τα διαθέσιμα πειραματικά αποτελέσματα, που προβλέπουν ικανοποιητικά τον ρυθμό μεταφοράς της θερμότητας και διάφορα άλλα χαρακτηριστικά μεγέθη του μελετούμενου συστήματος, και βοηθούν σημαντικά στον σχεδιασμό νέων συσκευών ή τη βελτίωση παλαιών συσκευών. Σκοπός της άσκησης είναι η μελέτη της εξαναγκασμένης μεταφοράς θερμότητας σε αέρα που ρέει μέσα σε θερμαινόμενο σωλήνα και η σύγκριση των πειραματικών αποτελεσμάτων με τις προβλέψεις των εμπειρικών εξισώσεων. 2.2 Θεωρητικό μέρος Έστω σωλήνας στην επιφάνεια του οποίου έχει περιελιχθεί θερμαντική ταινία. Ο σωλήνας και η ταινία καλύπτονται από στρώμα μονωτικού υλικού για να περιορισθούν οι θερμικές απώλειες. Η θερμαντική ταινία τροφοδοτείται με ηλεκτρικό ρεύμα, ενώ στον σωλήνα διοχετεύεται αέρας από μια αντλία (φυσητήρα). Σε μόνιμη κατάσταση - σταθερές συνθήκες λειτουργίας - ένα μέρος της παρεχόμενης ηλεκτρικής ενέργειας μεταφέρεται στον αέρα του σωλήνα, ενώ το υπόλοιπο χάνεται στο περιβάλλον ως απώλειες θερμότητας, συνεπώς το ισοζύγιο ενέργειας γράφεται: παρεχόµενη µεταφερόµενη = ενέργεια ενέργεια απώλειες + θερµ ότητας ή Q ηλ = Q μετ + Q απ (2.1) Η παρεχόμενη ηλεκτρική ενέργεια υπολογίζεται από την τάση και ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος: Π. ΜΑΥΡΟΣ 9

Άσκηση 2. Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 10 Q ηλ = I V (2.2) (θεωρείται ότι όλη η ηλεκτρική ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα). Αν είναι γνωστός ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του μονωτικού υλικού (k μ ) και η μέση διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ των τοιχωμάτων του μονωτικού (ΔΤ μ ), τότε οι απώλειες μπορούν να υπολογισθούν ως η θερμότητα, που άγεται μέσα από το μονωτικό, από τον σωλήνα προς το περιβάλλον, κατά τη διεύθυνση της ακτίνας του σωλήνα: Q απ = 2π L T k µ θ µ R ln R 2 1 (2.3) όπου R 1 η εσωτερική και R 2 η εξωτερική ακτίνα του μονωτικού [m], και L θ το μήκος του σωλήνα, που θερμαίνεται [m]. Με συνδυασμό των εξισ. 2.1-2.3 προσδιορίζεται η θερμότητα Q μετ, που μεταφέρεται στον αέρα κατα τη διέλευσή του μέσα από τον θερμαινόμενο σωλήνα. Από τη γενική εξίσωση της μεταφοράς θερμότητας: Q = h A ΔΤ (2.4) και θεωρώντας ότι η μετάδοση θερμότητας με αγωγή είναι αμελητέα, προκύπτει ότι ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας (h) μπορεί να υπολογισθεί από την εξίσωση: h = Q T σ µετ A θ T α (2.5) όπου Α θ το εμβαδόν της εσωτερικής επιφάνειας στο θερμαινόμενο τμήμα του σωλήνα [m], εφ' όσον είναι γνωστές οι θερμοκρασίες του σωλήνα (Τ σ ) και της μάζας του αέρα (Τ α ) σε κάποια επιλεγόμενη εγκάρσια τομή του σωλήνα. Από την εξίσ. 2.5 φαίνεται ότι ο υπολογισμός για τον συντελεστή μεταφοράς h μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε σημείο του σωλήνα, σε μια συσκευή όπου μετρούνται: η τάση και η ένταση του τροφοδοτούμενου ηλεκτρικού ρεύματος, η παροχή του αέρα και οι θερμοκρασίες στα εσωτερικά και εξωτερικά τοιχώματα του σωλήνα και του μονωτικού. Η θερμοκρασία της μάζας του αέρα (Τ α ), που είναι απαραίτητη για την εξίσ. 2.5, υπολογίζεται από ισοζύγιο ενέργειας για τον αέρα στο επιλεγόμενο σημείο του σωλήνα: ή ενέργεια εισόδου προστιθέµενη + ενέργεια ενέργεια = εξόδου F C p T 0 + X L θ Q μετ = F C p T α (2.6) άρα Τ α = Τ 0 + X L θ Q µετ F C p (2.7)

Άσκηση 2. Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 11 όπου T 0 η θερμοκρασία του αέρα στην είσοδο του θερμαινόμενου σωλήνα [Κ], Χ η απόσταση του επιλεγόμενου σημείου από την αρχή του θερμαινόμενου τμήματος του σωλήνα [m], C p η ειδική θερμότητα του αέρα (κατά προσέγγιση σταθερή για τον αέρα: C p = 1005 J kg -1 K -1 ), F η παροχή του αέρα, που υπολογίζεται κατά προσέγγιση από την πτώση πίεσης στο διάφραγμα: 2 F = ρ Α δ C δ P δ ρ 0.5 (2.8) όπου ΔΡ δ η διαφορά πίεσης στο διάφραγμα [Pa], C δ η σταθερά του διαφράγματος (για το συγκεκριμένο διάφραγμα ισχύει: C δ = 0.613), A δ το εμβαδόν του ανοίγματος στο διάφραγμα [m 2 ] και ρ η πυκνότητα του αέρα στο διάφραγμα, που υπολογίζεται από τον νόμο των τελείων αερίων: Ρ ρ = R α T (2.9) όπου P η πίση του αέρα [Pa] και R α η σταθερά των αερίων για τον αέρα (R α = 287 J kg -1 K -1 ). Ο προσδιορισμός της πειραματικής τιμής του συντελεστή h επιτρέπει τον υπολογισμό, στη συνέχεια, ορισμένων αδιάστατων αριθμών: αριθμός Nusselt (Nu): h D1 Nu = (2.10) k a όπου D 1 η εσωτερική διάμετρος του σωλήνα [m], και k α ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του αέρα [W m -1 K -1 ], αριθμός Stanton: h St = (2.11) ρ uc p για τη μέση τιμή της ταχύτητας του αέρα στον σωλήνα (u), όπου F ρ u = (2.12) A σ όπου Α σ το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα [m 2 ], συντελεστής τριβής f (του Moody): θεωρώντας αμελητέα την επιτάχυνση του αέρα, που προκαλείται από τη θέρμανσή του και θεωρώντας ότι η πτώση πίεσης οφείλεται μόνο στις τριβές: f 2D Lπ ρ P 1 σ = (2.13) ( ρ u) 2

Άσκηση 2. Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 12 όπου L π το μήκος του σωλήνα, στο οποίο γίνεται η μέτρηση για την πτώση της πίεσης [m], ΔΡ σ η πτώση πίεσης στον σωλήνα [Pa], και ρ η μέση πυκνότητα του αέρα στον σωλήνα (ρ 1.1 kg m -3 ). Oι τιμές των αδιάστατων αριθμών θα μπορούσαν να συγκριθούν με τις τιμές, που προέρχονται από ορισμένες εμπειρικές εξισώσεις, όπου οι αριθμοί Nu, St και f εκφράζονται ως συναρτήσεις των αριθμών Re και Pr: ρ u D Re = (2.14) µ f = 0.184 Re -0.2 (2.15) Nu = 0.023 Re 0.8 Pr 0.4 (2.16) St = 0.023 Re -0.2 Pr - 0.67 (2.17) Ειδικά για τον αριθμό St, πέραν της εξίσ. 2.17, υπάρχει η δυνατότητα υπολογισμού του από την τιμή του συντελεστή τριβής (f), μέσω της Aρχής της Αναλογίας του Reynolds: f St = (2.18) 8 Για την τυρβώδη (στροβιλώδη) ροή των αερίων, ο αριθμός Pr είναι κατά προσέγγιση σταθερός (Pr = 0.74). 3048 940 381 431 9 8 11 10 13 12 XΑΛΚΙΝΟΣ ΣΩΛΗΝΑΣ ΜΟΝΩΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΘΕΡΜΑΝΤΙΚΗ ΤΑΙΝΙΑ 1 397 2 314 3 168 168 168 168 50 4 5 6 7 Απόσταση θερμοζευγών από την αρχή του σωλήνα [σε mm] 1 2 3 4 5 6 7 8 10 12 9 11 13 1615 2012 2326 2494 2662 2830 2998 1296 2236 2617 1296 2236 2617 ΣΧΗΜΑ 2.1. Σχηματική παράσταση πειραματικής διάταξης. Με μικρούς αριθμούς οι θέσεις των θερμοζευγών (όλες οι διαστάσεις σε mm). 2.3 Πειραματική διάταξη H πειραματική διάταξη, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.1, περιλαμβάνει: έναν χάλκινο σωλήνα. Στην εξωτερική του επιφάνεια είναι τυλιγμένη θερμαντική ταινία, που τροφοδοτείται με ηλεκτρικό ρεύμα για τη θέρμανση του σωλήνα. Ο σωλήνας (και η

Άσκηση 2. Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 13 θερμαντική ταινία) φέρουν επικάλυψη από μονωτικό υλικό για να περιορίζονται οι θερμικές απώλειες, φυγοκεντρικό φυσητήρα, που τροφοδοτεί τον σωλήνα με αέρα, ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1. Στοιχεία πειραματικής διάταξης. Μήκος σωλήνα L σ 3.048 M Θερμαινόμενο μήκος σωλήνα L θ 1.752 M Mήκος μέτρησης πτώσης πίεσης L π 1.524 M Εσωτερική διάμετρος σωλήνα D 1 0.0326 m Εξωτερική διάμετρος σωλήνα D 2 0.0350 m Πάχος μονωτικού Χ μ 0.0250 m Συντελ. θερμικής αγωγιμότητας μονωτικού k μ 0.0415 W m -1 K -1 Διάμετρος ανοίγματος διαφράγματος D δ 0.040 m Eμβαδόν ανοίγματος διαφράγματος Α δ 0.0013 m 2 Eμβαδόν θερμαινόμ. επιφάνειας σωλήνα Α θ 0.1795 m 2 Εμβαδόν διατομής σωλήνα Α σ 0.000835 m 2 δεκατρία θερμοζεύγη: από αυτά, τα επτά βρίσκονται στο εσωτερικό τοίχωμα του σωλήνα, τρία στο εξωτερικό τοίχωμά του και τα άλλα τρία στην εξωτερική επιφάνεια του μονωτικού. Τα θερμοζεύγη είναι συνδεδεμένα με θερμόμετρο και η μέτρηση της θερμοκρασίας στο καθένα γίνεται με διακόπτη-επιλογέα δεκατριών θέσεων. θερμόμετρο για τη μέτρηση της θερμοκρασίας του αέρα κατά την είσοδό του στον χάλκινο σωλήνα, τρία μανόμετρα: το πρώτο μετρά την πίεση του αέρα κατά την έξοδό του από τον ανεμιστήρα, το δεύτερο τη διαφορά πίεσης σ' ένα διάφραγμα μετά την έξοδο από τον ανεμιστήρα, και το τρίτο την πτώση πίεσης μέσα στον σωλήνα. 2.4 Πειραματική διαδικασία H πειραματική διαδικασία περιλαμβάνει τα εξής στάδια: a) θέση σε λειτουργία του ανεμιστήρα και ρύθμιση της παροχής του αέρα στον σωλήνα με το κοχλιωτό καπάκι του. b) καταγραφή της θερμοκρασίας εισόδου του αέρα και των πιέσεων. c) τροφοδότηση της θερμαντικής ταινίας με ηλεκτρικό ρεύμα και ρύθμιση της τάσης και έντασης στις επιθυμητές ενδείξεις. d) καταγραφή των θερμοκρασιών των δεκατριών θερμοζευγών σε τακτά χρονικά διαστήματα, μέχρι να επιτευχθεί σταθερή κατάσταση (θερμοκρασίες κατά προσέγγιση σταθερές). 2.5 Επεξεργασία πειραματικών αποτελεσμάτων Έστω ότι κατά τη μελέτη της εξαναγκασμένης μεταφοράς καταγράφηκαν οι παρακάτω μετρήσεις.

Άσκηση 2. Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 14 ΠΙΝΑΚΑΣ 2.2. Ενδεικτικά πειραματικά αποτελέσματα. Ατμοσφαιρική πίεση Ρ ατμ 768 mm Hg Πίεση ανεμιστήρα (σχετική) Ρ ανμ 55.2 cm H 2 O Διαφορά πίεσης στο διάφραγμα ΔΡ δ 9.9 cm H 2 O Διαφορά πίεσης στον σωλήνα ΔΡ σ 15.1 cm H 2 O Ένταση ηλεκτρικού ρεύματος Ι 5 A Τάση ηλεκτρικού ρεύματος V 228 V Θερμοκρασία περιβάλλοντος Τ περ 21 C Θερμοκρασία αέρα στην είσοδο του σωλήνα Τ 0 32.5 C Για τη μετατροπή των πιέσεων: 1 cm νερού = 98.1 Pa, 1 mm Hg = 133.3 Pa. Θερμοκρασίες θερμοζευγών α/α 1 2 3 4 5 6 7 Τ [ C] 93.5 100.8 105.4 107.2 109.8 109.3 105.3 α/α 8 9 10 11 12 13 Τ [ C] 71.8 50.6 146.2 63.2 185.0 69.3 Από τις παραπάνω θερμοκρασίες σχεδιάζεται το διάγραμμα της κατανομής των θερμοκρασιών ("προφίλ") κατά μήκος του σωλήνα (Σχήμα 2.2). ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ [οc] 200 ΕΣΩΤ. ΘΕΡΜΟΖΕΥΓΗ 180 ΕΠΙΦ. ΣΩΛΗΝΑ 160 ΕΠΙΦ. ΜΟΝΩΤΙΚΟΥ 140 120 100 80 60 40 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΑΡΧΗ ΣΩΛΗΝΑ [mm] ΣΧΗΜΑ 2.2. Διάγραμμα θερμοκρασιών από τα θερμοζεύγη. Στη συνέχεια υπολογίζονται: η παρεχόμενη ηλεκτρική ενέργεια: Q ηλ = 5 228 = 1140 W οι απώλειες στο περιβάλλον: από τις θερμοκρασίες, που δίνουν τα θερμοζεύγη, που βρίσκονται στην εσωτερική και εξωτερική επιφάνεια του μονωτικού υπολογίζεται η μέση διαφορά θερμοκρασίας, που απαιτείται για τον προσδιορισμό των απωλειών θερμότητας: ΔΤ 1 = Τ 8 - Τ 9 = 71.8-50.6 = 21.2 Κ ΔΤ 2 = Τ 10 - Τ 11 = 146.2-63.2 = 83.0 Κ ΔΤ 3 = Τ 12 - Τ 13 = 185.0-69.3 = 115.7 Κ

Άσκηση 2. Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 15 ΔΤ μ = (21.2 + 83.0 + 115.7) / 3 = 73.3 Κ Q απ = 2π 0.0415 1.752 73.3 0.0350 + 2 0.025 ln 0.0350 = 37.7 W η μεταφερόμενη θερμότητα: Q μετ = 1140-37.7 = 1102.3 W η παροχή του αέρα: για τον υπολογισμό της απαιτούνται η πίεση και η πυκνότητά του στο διάφραγμα: Ρ α = Ρ ατμ + Ρ ανμ = 768 133.3 + 55.2 98.1 = 107.8 kpa T = T 0 = 32.5 + 273.16 = 305.7 K άρα η πυκνότητα του αέρα θα είναι: ρ = 107800 287 305.7 = 1.23 kg m -3 oπότε η παροχή του αέρα υπολογίζεται με βάση την πτώης πίεσης στο διάφραγμα: ΔΡ δ = 9.9 98.1 = 971.2 Pa 2 971.2 F = 1.23 0.0013 0.613 1.23 0.5 = 0.039 kg s -1 ο συντελεστής μεταφοράς θερμότητας: επιλέγεται κάποιο σημείο στον σωλήνα (π.χ., εκείνο, που απέχει από την αρχή του θερμαινόμενου σωλήνα Χ = 1.0 m). Η θερμοκρασία της εξωτερικής επιφάνειας του σωλήνα, γι' αυτό το σημείο, βρίσκεται από το διάγραμμα των θερμοκρασιών κατά μήκος του σωλήνα ("προφίλ"): T σ = 150.9 C = 424.1 K T α = 305.7 + 1.0 1.752 1102.3 0.039 1005 = 321,8 Κ άρα h = 1102.3 0.1795 424.1 321.8 = 60.0 W m -2 K -1 οι πειραματικοί αριθμοί Nu, St και f:

Άσκηση 2. Μετάδοση θερμότητας με εξαναγκασμένη μεταφορά 16 Nu πειρ = 60.0 0.0326 0.0278 = 70.4 F ρ u = = A σ 0.039 0.000835 = 46.7 kg m -2 s -1 h St = = 60.0 πειρ 46.7 1005 ( ρ u) C p = 0.0013 ΔΡ σ = 15.1 98.1 = 1481.3 Pa 2 0.0326 1.1 1481.3 f πειρ = = 0.0320 2 1.524 46.7 ( ) Oι τιμές αυτές μπορούν να συγκριθούν με τις τιμές, που προκύπτουν από τις εμπειρικέςθεωρητικές εξισώσεις: για μ α = 0.0000197 kg m -1 s -1 : Re = 46.7 0.0326 0.0000197 77300 (τυρβώδης ροή) f θεωρ = 0.184 (77300) -0.2 = 0.0194 Nu θεωρ = 0.02 (77300) 0.8 = 162.8 St θεωρ,1 = 0.028 (77300) -0.2 = 0.00295 και St θεωρ,2 = 0.032 8 = 0.004 ΠΙΝΑΚΑΣ 2.3. Συγκεντρωτικά αποτελέσματα υπολογισμών. Αδιάστατος αριθμός πειραματική τιμή εμπειρική εξίσωση Nu 70.4 162.8 f 0.0320 0.0194 St 0.0013 0.00295 St (αρχή του Reynolds) 0.00400